Introução à Teori os Números - Nots 2 Divisibilie em Z Prof Crlos Alberto S Sores 1 Apresentção Definição 1.1 Sejm, b números inteiros. Dizemos que ivie b (ou é ivisor e b, ou b é múltiplo e ou b é ivisível por ) se existe um número inteiro c tsl que b = c. Se é ivisor e b notremos b, cso contrário, notremos b. Proposição 1.2 Sejm, b, c, números inteiros. Então: () 0, 1 b e. (b) 1 = ±1 e 0 b b = 0. (c) b e c c b. () b e b c c. (e) b e b = ±b. (f) b e b 0 b (g) b e c bx + cy x, y Z. (h) b ± c ( b c). (i) b x xb x Z. (j) c 0 (c cb b). Prov. Provremos pens os itens (f) e (g) eixno os emis como exercícios. (f) Como b, existe c Z tl que b = c e, portnto, b = c. Como b 0, teremos c 0 e, í, c 1, o que nos lev c, seguino í o resulto. (g) Como b e c, existem números inteiros r 1, r 2 tis que b = r 1 e c = r 2. bx + cy = r 1 x + r 2 y = (r 1 x + r 2 y), isto é, bx + cy. Logo 1
Proposição 1.3 Sejm x, y números reis e n N. Então x n y n = (x y)(x n 1 + x n 2 y +... + xy n 2 + y n 1 ). (1) Em prticulr, se x, y são números inteiros, então (x y) (x n y n ) n N. Prov. O cso n = 1 é ireto. Pr n 2 bst notr que (x y)(x n 1 + x n 2 y +... + xy n 2 + y n 1 ) = (x y)( n 1 i=0 xn 1 i y i ) = = n 1 i=0 xn i y i n 1 i=0 xn 1 i y i+1 = x n + n 1 i=1 xn i y i n 2 i=0 xn 1 i y i+1 y n = = x n + n 1 i=1 xn i y i n 1 i=1 xn i y i y n = x n y n. Aplicção 1.4 Mostre que, seno n um número nturl, teremos n 2 (n + 1) n 1 Solução 1.5 Em sl! Aplicção 1.6 Mostre que, seno n um número nturl, teremos 13 9 2n 2 4n. Solução 1.7 Em sl! Aplicção 1.8 Pr quis números inteiros n teremos n + 2 n 4 + 2? Solução 1.9 Em sl! Aplicção 1.10 Mostre que 9 10 n + 3.4 n+2 + 5 n N. Solução 1.11 Em sl! Exercício 1.12 1) Use inução pr mostrr que 8 3 2n + 7. 2) Use inução pr mostrr que 169 3 3n+3 26n 27. 3) Mostre que 13 2 70 + 3 70. 4) Pr quis números inteiros n teremos n 2 n 3 + 4? 5) Pr quis números inteiros n teremos n + 2 n 4 + 2n 3 + n 2 + 1? 6) Mostre que pr too número nturl n teremos 3 n 3 n. 7) Mostre que pr too número nturl n teremos 5 n 5 n. 2
8) Mostre que pr too número nturl n teremos 9 10 n 1. 9) Mostre que pr too número nturl n teremos 17 10 2n+1 + 7 2n+1. 10) Mostre que pr too número nturl n teremos 53 7 4n 2 4n. 11) Mostre que 9 (10 n+1 9n 10) pr too nturl n. 2 Divisão Eucliin Lem 2.1 Sejm, b, r 1, r 2 números reis tis que r 1, r 2 < b. Então r 1 r 2 < b. Prov. Poemos supor, sem per e generlie, que r 1 r 2 e, í, teremos b = b r 2 + r 2 r 1 + r 1 > r 2 r 1 = r 1 r 2. Teorem 2.2 (Divisão Eucliin em N) Sejm, b números nturis. números inteiros não-negtivos r e q tis que Existem únicos b = q + r com 0 r <. (2) Prov. Mostremos, inicilmente, que tis números existem e, posteriormente, mostrremos unicie. Pr tnto, consiere o conjunto X = {n N; b < n}. Como X, por exemplo, 2b X, temos, pelo PBO que X possui um menor elemento. Sej q 0 > 0 tl elemento e q = q 0 1 0. Como q / X temos b q, ou in, b q 0. Seno r = b q, mostremos que r <. Se r, teremos b (q + 1) 0, ou sej, b q 0 0, o que contrri o fto e q 0 X. Logo r = b q < e, portnto, b = q + r com 0 r <. Mostremos, gor, que tis números q e r stisfzeno (??) são únicos. Sejm q 1, q 2, r 1, r 2 stisfzeno (??), isto é, b = q 1 + r 1 e b = q 2 + r 2. Então, teremos q 1 q 2 = r 2 r 1, ou in, q 1 q 2 = r 2 r 1. Ms, pelo lem nterior, temos r 2 r 1 < o que nos lev q 1 q 2 < e, í, q 1 = q 2, o que nos lev r 2 = r 1 Teorem 2.3 (Divisão Eucliin em Z) Sejm, b números inteiros com 0. Existem únicos números inteiros r e q tis que b = q + r com 0 r <. (3) Prov. A unicie é mostr tl como no teorem nterior e, portnto, só nos rest mostrr existênci e tis números. Note que, pr o cso b = 0, bst fzermos 0 = 0 + 0. 3
Consieremos b > 0 e < 0. Neste cso, temos > 0 e plicno o teorem nterior, obteremos q e r tis que b = q( ) + r com 0 r < =. Portnto, temos, b = ( q) + r com 0 r <, e existênci está ssegur neste cso. Consieremos, gor, b < 0 e > 0. Neste cso, temos b > 0 e plicno o teorem nterior, obteremos q e r tis que b = q + r com 0 r < =. Portnto, temos, b = ( q) r. Se r = 0, n temos fzer, cso contrário, fzemos b = ( q) r = ( q) + r com 0 < ( r) < = e, í segue o resulto. Consieremos, gor, b < 0 e < 0. Neste cso, temos b, > 0 e plicno o teorem nterior, obteremos q e r tis que b = q( ) + r com 0 r < =. Portnto, temos, b = q r. Novmente, se r = 0, n temos fzer, cso contrário, fzemos b = q r = q+ r = com 0 < ( r) < =, ou in, b = (q+1)+( r) = (q+1)+( r) com 0 < ( r) < e, í segue o resulto. Observção 2.4 1) Os números q e r em (??) são chmos, respectivmente, quociente e resto ivisão e b por 2) Aplicno (??) pr = 2 teremos que qulquer número inteiro poe ser escrito como 2q ou 2q + 1, respectivmente chmos e números pres e ímpres. 3) Fixo um número nturl k, (??) nos mostr que qulquer número inteiro b poe ser escrito em um, e somente um, s forms qk, qk + 1,..., qk + (k 1). 4) Um número inteiro n será ito um quro(perfeito) se existe um inteiro x tl que n = x 2. 5) Um número inteiro n será ito um cubo(perfeito) se existe um inteiro x tl que n = x 3. Aplicção 2.5 Seno n um número nturl, mostre que o resto ivisão e n 2 por 6 não poe ser igul 2. Solução 2.6 Em sl! Aplicção 2.7 Determine o menor número nturl múltiplo e 5 que eix resto 2 quno iviio por 3 e por 4. Solução 2.8 Em sl! Aplicção 2.9 Seno n um número nturl, mostre que o resto ivisão e 10 n por 9 é 1. Solução 2.10 Em sl! Exercício 2.11 1) Sejm e b números inteiros não nulos tis que o quociente e o resto ivisão e por b sejm, respectivmente, q e r. Determine o quociente e o resto ivisão e: () por b, (b) por b e (c) por b. 4
2) () Mostre que não existe n tl que 7 (n 2 + 1). (b) Mostre que não existe n tl que 7 (4n 2 3). 3) Sbeno que o resto ivisão e um inteiro b por 7 é 5, clculr o resto ivisão por 7 os seguintes números: () b, (b)10b + 1, (c) 2b, () b 2 + b + 1, (e) 3b + 7 4) Mostre que equção x 3 + 7x + 17 = 0 não possui solução inteir. 5) () Seno e b números ímpres, mostre que 2 2 + b 2 ms 4 2 + b 2. (b) Mostre que som os quros e ois números nturis ímpres não poe ser um quro perfeito. 6) Sej n um número nturl. Mostre que um, e pens um, número e c tern bixo é múltiplo e 3. () n, n + 1, n + 2 (b) n, n + 2, n + 4 (c) n, n + 10, n + 23 () n, n + 1, 2n + 1 7) Mostre que () se n é ímpr, então n 2 1 é ivisível por 8. (b) se n não é ivisível por 2, nem por 3, então n 2 1 é ivisível por 24. (c) n N, 4 n 2 + 2. 8) O resto ivisão e um inteiro n por 20 é 8. Qul o resto ivisão e n por 5? E por 4? 9) Mostre que se um número inteiro é um quro e um cubo, então é form 7q ou 7q + 1. 10) () Mostre que too número inteiro ímpr que é um quro é form 5q ou 5q ± 1. (b) Com que lgrismo poe terminr representção eciml e um número nturl quro perfeito? Justifique! (c)se três números nturis, b e c stisfzem 2 = b 2 + c 2, então entre eles existe um múltiplo e 2 e um múltiplo e 5. 11) Mostre que, e n inteiros consecutivos, um, e somente um eles, é ivisível por n. 5
12) Sejm e b números inteiros com 0. Mostre que existem únicos números inteiros q e r tis que b = q + r com r < 2. 3 Máximo Divisor Comum Definição 3.1 Seno um número inteiro, D inicrá o conjunto e seus ivisores positivos, isto é, D = {n N; n }. Exemplo 3.2 Determine D 48. Solução 3.3 É simples ver que D 48 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48} Definição 3.4 Um número inteiro p > 1 será ito primo se D p = {1, p} Definição 3.5 Sejm e b números inteiros com pelo menos um eles não nulo. Chmmos máximo ivisor comum os números e b, inico por mc(, b), o mior elemento pertencente o conjunto D Db. Exemplo 3.6 Determine mc(48, 18) Solução 3.7 Temos D 48 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48} e D 18 = {1, 2, 3, 6, 18}. Logo, mc(48, 18) = 6. Observção 3.8 1) Como pr qulquer número inteiro temos D = D, é simples perceber que mc(, b) = mc(, b) = mc(, b) = mc(, b). Temos, in, que mc(, b) = mc(b, ). 2) Dois números inteiros e b serão itos primos entre si se mc(, b) = 1. 3) Se 0 é um número inteiro, então mc(0, ) = e mc(k, ) = k Z. 4) mc(, 1) = 1 Z. 5) Seno p um número primo, então mc(, p) = 1 ou mc(, p) = p. Além isso, mc(, p) = p p. Exemplo 3.9 Sejm, b números inteiros não nulos tis que mc(, b) = 1. mc(, ± b) = 1. Mostre que 6
Solução 3.10 Sej = mc(, ± b). Então, temos que e ( ± b), o que nos lev concluir que b, isto é, é um ivisor comum e e b e, portnto, como mc(, b) = 1, teremos = 1. O teorem seguir eve ser muito bem compreeenio pois nos lev váris consequêncis. Teorem 3.11 Sejm e b ois números inteiros não simultnemente nulos ( 2 + b 2 > 0) e = mc(, b). Então, é o menor número nturl que poe ser escrito como som e um múltiplo e e um múltiplo e b, isto é, existem números inteiros x e y tis que = x + by e é o menor número que poe ser escrito est form. Prov. Consiere o conjunto Γ = {x + by > 0, x, y Z}. Note que pelo menos um os números ou b é elemento e Γ e, portnto, Γ. Pelo PBO, Γ possui um menor elemento, igmos, c = x 0 + by 0. Mostremos que c e c b. Pel ivisão Eucliin temos que = qc + r com 0 r < c. Temos, então, r = (1 x 0 q) + b( y 0 q). Se 0 < r < c, teremos r Γ, o que contrri c ser o menor elemento e Γ, logo r = 0, isto é, c. De mneir nálog mostrmos que c b e, portnto, c mc(, b). Temos, in, como e b, existem n 1 e n 2 tis que = n 1 e b = n 2, ou in, Logo, c =. c = x 0 + by 0 = n 1 x 0 + n 2 y 0 = (n 1 x 0 + n 2 y 0 ) c c. O teorem cim nos permite provr importnte crcterizção seguir. Teorem 3.12 Sejm e b ois números inteiros tis que 2 + b 2 > 0. Um número nturl será o mximo ivisor comum e e b se, e somente se, é um ivisor comum e e b e qulquer ivisor comum e e b é tmbém um ivisor e. Prov. Sej = mc(, b). Pelo teorem nterior existem números inteiros x 0 e y 0 tis que = x 0 +by 0, o que nos mostr que qulquer ivisor comum e e b é tmbém um ivisor e. Por outro lo, se e b e lém isso qulquer ivisor comum e e b é tmbém ivisor e c, teremos que c qulquer que sej c ivisor comum e e b, portnto = mc(, b). Convém, neste ponto, tecermos lgums consierções respeito os ois teorems nteriores, quis sejm: 1. Seno, b ois números inteiros não mbos nulos o mc(, b) não só é o mior ivisor comum e e b como tmbém é múltiplo e qulquer ivisor comum e e b, isto é, c e c b c mc(, b). 7
2. Seno, b ois números inteiros não mbos nulos o mc(, b) = está bem efinio e este número é o menor número positivo que poe ser escrito n form x + by com x, y Z. Em prticulr, mc(, b) = 1 x, y Z tis que x + by = 1. 3. Suponhmos, b ois números inteiros não mbos nulos e c um número inteiro. Então x, y Z tis que x + by = c mc(, b) c. 4. Consiere ois números inteiros, b tis que mc(, b) = 1. Então, existem números inteiros x, y tis que x + by = 1 e, portnto, mc(x, y) = 1. 5. Dos números inteiros, b não mbos nulos, existem números inteiros x, y tis que x + by = mc(, b). Como mc(, b) e mc(, b) b teremos o que nos lev mc(, b) x + b mc(, b) y = 1 mc( mc(, b), b ) = mc(x, y) = 1. mc(, b) 6. Se é um número inteiro positivo tl que e b, teremos, in, que mc(, b ) = 1 mc(, b) =. Exemplo 3.13 Seno mc(, b) = 1 mostre que mc(, b ) = 1 Solução 3.14 Seno mc(, b) = 1, existem x, y Z tis que x + by = 1, ou in, x + y y + by = 1, isto é, Logo, mc(, b ) = 1. (x + y) + y(b ) = 1. Temos, in, um crcterizção interessnte que é pelo teorem bixo. Teorem 3.15 Sejm, b, c e números inteiros tis que 2 + b 2 > 0 e c 2 + 2 > 0. Então mc(, b) = mc(c, ) D Db = D c D. Prov. Sejm mc(, b) = mc(c, ). Suponhmos u D Db. Pelo teorem nterior, temos que u mc(, b) = mc(c, ), em prticulr, u D c D, isto é, D Db D c D. D mesm form mostrmos que D c D D Db. Suponhmos, gor, que D Db = D c D e sejm = mc(, b) e = mc(c, ). Temos D Db e, portnto, D c D, o que nos lev. De mneir nálog mostrmos que e, í, concluimos que =. 8
Proposição 3.16 () Sejm, b números inteiros tis que 2 + b 2 > 0 e t um número inteiro não-nulo. Então mc(t, tb) = t mc(, b) (b) Sejm, b números inteiros tis que 2 + b 2 > 0 e t um número inteiro não-nulo tl que t e t b. Então mc(, b) = 1 mc(, b). t t t Prov. ()(Primeir Prov) Sej = mc(, b) e = mc(t, tb). Como e b temos que t t e t b e, portnto, t. Sbemos, pelo teorem 1.8, que existem números inteiros x 0 e y 0 tis que x 0 + by 0 =, ou in, t x 0 + t by 0 = t, o que nos lev t(±x 0 ) + tb(±y 0 ) = t e, í, temos que t. ()(Segun Prov) Fçmos mc(, b) =. Então, temos, Como, pr too t Z não nulo temos mc(, b ) = 1. t t = ± e t b t = ± b, teremos Logo, somos levos ( ) t mc t, t b t ( t mc t (b) Pelo item nterior, temos ( mc(, b) = mc t ) t, tb t ), t b t ( = mc, b ) = 1. ( ) t = 1 mc t, tb = 1 mc(t, tb) = t = t mc(, b). t ( = t mc t, b ) ( mc t t, b ) = 1 mc(, b). t t Proposição 3.17 () Sejm e t números inteiros primos entre si, isto é, mc(, t) = 1 e b um número inteiro tl que t b. Então t b. Em prticulr, se um número primo p é tl que p b, então p ou p b. (b) Se mc(, b) = 1, então mc(c, b) = mc(c, b). Prov. () Pelo teorem 1.8, existem números inteiros x 0, y 0 tis que x 0 + ty 0 = 1. Logo, bx 0 + bty 0 = b e, como, t bx 0 e t bty 0, temos que t b. 9
(b)(primeir Prov) É clro que D c Db D c Db. Sej t D c Db. Então t c e t b. Como mc(, b) = 1, teremos mc(t, ) = 1 e, portnto, pelo item nterior, t c, isto é, D c Db D c Db. (b)(segun Prov) Fzeno mc(c, b) = teremos mc(c, b) = mc( c, b ) = 1. Como mc(, b) = 1 e mc(c, b) =, existem números inteiros x, y, z, w tis que Logo, temos x + by = 1 e cz + bw =. Como, c e b somos levos (x + by)(cz + bw) = cxz + b(cyz + xw + byw) =. xz c + b (cyz + xw + byw) = 1 mc(c, b ) = 1 mc(c, b) = = mc(c, b). Aplicção 3.18 Se mc(, b) = 1, mostre que mc( n, b m ) = 1 n, m N. Solução 3.19 Mostremos, inicilmente, vi inução, que mc(, b m ) = 1 m N. Como mc(, b) = 1, o resulto é válio se m = 1. Suponhmos o resulto vereir pr m, isto é, suponhmos que mc(, b m ) = 1. Então, temos mc(, b m+1 ) = mc(, bb m ) = mc(, b m ) = 1. Portnto, o resulto é válio pr too m nturl. De mneir nálog mostrmos que mc( n, b) = 1 n N. Mostremos, gor, por inução sobre n que mc( n, b m ) = 1. Sbemos que mc(, b m ) = 1 e, portnto, o resulto é vereiro pr n = 1. Suponhmos que mc( n, b m ) = 1 e, í, teremos mc( n+1, b m ) = mc( n, b m ) = mc( n, b m ) = 1. Temos, ssim, o resulto emonstro pr toos os números nturis n e m. 4 Algoritmo e Euclies Incilmente, vejmos um lem que nos será muito útil em váris plicções. 10
Lem 4.1 Sejm, b números inteiros tis que 2 + b 2 > 0 e n um número nturl. Então mc(, b) = mc(, b + n) = mc(, b n) = mc( + nb, b) = mc( nb, b). Prov. Mostremos que mc(, b) = mc(, b + n) trvés o teorem 1.10. Devemos mostrr que D Db = D Db+n. Sej t D Db. Temos, então, que t e t b + n, o que nos lev t D Db+n. Suponhmos, gor, t D Db+n e, portnto, t e t n + b + n = b, isto é, t e t b. Logo, t D Db. As emis igules são obtis mesm form. Aplicção 4.2 Pr c número nturl n etermine mc(n 2 + 1, n + 1) Solução 4.3 Temos mc(n 2 + 1, n + 1) = mc(n 2 + 1 n(n + 1), n + 1) = mc(1 n, n + 1) = mc(2, n + 1) = 1 se n é pr e 2 se n é ímpr. O próximo teorem nos levrá o chmo Algoritmo e Euclies. Teorem 4.4 Sejm > b números nturis. Então: 1. Se r é o resto n ivisão Eucliin e por b, teremos mc(, b) = mc(b, r) 2. (Algoritmo e Euclies) Se plicrmos ivisão Eucliin tnts vezes qunto necessário e form obtermos r j = q j+1 r j+1 + r j+2, 0 r j+2 < r j+1 pr j = 0, 1, 2,..., n 1 e r 0 =, r 1 = b e r n+1 = 0, então mc(, b) = r n (o último resto não-nulo). Prov. 1. Supono = qb + r, 0 r < b notmos que, pelo lem nterior, teremos mc(, b) = mc( bq, b) = mc(r, b). 2. Aplicno qunts vezes necessáris o lem nterior, teremos mc(, b) = mc(r 0, r 1 ) = mc(r 1, r 2 ) =... = mc(r n 1, r n ) = mc(r n, 0) = r n. 11
Aplicção 4.5 Determine mc(84, 20) Solução 4.6 Temos 84 = 4.20 + 4 e 20 = 5.4 + 0, logo, pelo teorem nterior, temos mc(84, 20) = 4. Aplicção 4.7 Determine mc(522, 82). Determine números inteiros x 0, y 0 tis que 522x 0 + 82y 0 = mc(522, 82). Solução 4.8 Inicilmente, plicno o Algoritmo e Euclies, eterminemos o mc(522, 82). Então: 522 = 6.82 + 30 82 = 2.30 + 22 30 = 1.22 + 8 22 = 2.8 + 6 8 = 1.6 + 2 e, portnto, mc(522, 82) = 2. Pr eterminr números x 0, y 0 tis que 522x 0 + 82y 0 = mc(522, 82) utilizmos o seguinte lgoritmo. Reescrevemos s igules cim, isolno os restos, isto é: 30 = 522 6.82; 22 = 82 2.30; 8 = 30 22; 6 = 22 2.8 e 2 = 8 6. Agor, prtino últim igule, n orem invers em que fizemos vmos substituino os restos. Observe: 2 = 8 6 = 8 (22 2.8) = 22 + 3.8 = 22 + 3(30 22) = 4.22 + 3.30 = 4(82 2.30) + 3.30 = 4.82 + 11.30 = 4.82 + 11(522 6.82) = 11.522 70.82, isto é, temos x 0 = 11 e y 0 = 70. Aplicção 4.9 Determine números inteiros x 0, y 0 tis que 1001x 0 + 109y 0 = mc(1001, 109). Solução 4.10 Tl como no exemplo cim, temos 1001 = 9.109 + 20; 109 = 5.20 + 9; 20 = 2.9 + 2; 9 = 4.2 + 1 mc(1001, 109) = 1 Reescreveno s igules isolno os restos, teremos 20 = 1001 9.109; 9 = 109 5.20; 2 = 20 2.9; 1 = 9 4.2. Substituino, teremos: 1 = 9 4.2 = 9 4.(20 2.9) = 4.20 + 9.9 = 4.20 + 9(109 5.20) = 49.20 + 9.109 = 49(1001 9.109) + 9.109 = 49.1001 + 450.109. Portnto, temos x 0 = 49 e y 0 = 450. Aplicção 4.11 Seno, b números inteiros istintos primos entre si, mostre que mc( 5 b 5, b) = mc( b, 5) b Solução 4.12 Incilmente, lembrmos que 5 b 5 = ( b)( 4 + 3 b + 2 b 2 + b 3 + b 4 ) e, portnto, temos 5 b 5 b = 4 + 3 b + 2 b 2 + b 3 + b 4. 12
Devemos mostrr, então, que mc( 4 + 3 b + 2 b 2 + b 3 + b 4, b) = mc( b, 5). Teremos mc( 4 + 3 b + 2 b 2 + b 3 + b 4, b) = mc( 4 + 3 b + 2 b 2 + b 3 + b 4 3 ( b), b) = = mc(2 3 b + 2 b 2 + b 3 + b 4, b) = mc(2 3 b + 2 b 2 + b 3 + b 4 2 2 b( b), b) = mc(3 2 b 2 +b 3 +b 4, b) = mc(3 2 b 2 +b 3 +b 4 3b 2 ( b), b) = mc(4b 3 +b 4, b) = = mc(4b 3 + b 4 4b 3 ( b), b) = mc(5b 4, b). Agor, utilizno resultos nteriores, temos mc(, b) = 1 mc(b, b) = 1 mc(b 4, b) = 1 mc(5b 4, b) = mc(5, b). Exercício 4.13 1. Encontrr, usno o lgoritmo e Euclies, o máximo ivisor comum os seguintes pres e números: () 542 e 234 (b) 9652 e 252 (c) 4276 e 1234 2. Determine números inteiros x e y tis que () 93x + 81y = 3 (b) 43x + 128y = 1 3. Mostre que os números e Fiboncci stisfzem () mc(f n, F n+1 ) = 1 e (b) mc(f n, F n+3 ) = 1 ou 2 4. Seno mc(, b) = 1, mostre que mc(2 + b, + 2b) = 1 ou 3. 5. Determine toos os inteiros n tis que (n + 1) (n 2 + 1). 6. Mostre que se, b são inteiros stisfzeno mc(, 3) = (b, 3) = 1, então 2 + b 2 não é um quro. 7. Mostrr que mc(, bc) = 1 se, e somente se, mc(, b) = mc(, c) = 1. 8. Mostrr que se b c, então mc( + c, b) = (, b). 9. Mostrr que se mc(, c) = 1, então mc(, bc) = mc(, b). 10. Determine o menor número nturl form 36x + 54y. Justifique! 11. Seno n um número nturl, mostre que 13
() mc(n, 2n + 1) = 1 (b) mc(n + 1, n 2 + n + 1) = 1 (c) mc(2n + 1, 9n + 4) = 1 () mc(n! + 1, (n + 1)! + 1) = 1 12. Mostre que mc(, + b) b quisquer que sejm, b N. 13. Seno, m números nturis, mostre que ( ) () mc 2m 1, + 1 = ( + 1, 2m) +1 ( ) (b) mc 2m+1 +1, + 1 = ( + 1, 2m + 1) +1 14. Determine: ( ) 2 () mc 40 +1, 2 8 +1 28 + 1 ( ) 2 (b) mc 50 +1, 2 10 +1 210 + 1 5 Mínimo Múltiplo Comum Definição 5.1 Seno um número inteiro não-nulo, M inicrá o conjunto e seus múltiplos positivos, isto é, M = {n N; n}. Note que M = {, 2, 3,...}. Exemplo 5.2 Determine M 48. Solução 5.3 M 48 = {48, 96, 144,...} Definição 5.4 Sejm e b números inteiros não-nulos. Chmmos mínimo múltiplo comum os números e b, inico por mmc(, b), o menor elemento pertencente o conjunto M Mb. Exemplo 5.5 Determine mmc(48, 18) Solução 5.6 Observno que M 18 = {18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144,...} e, utilizno o exemplo nterior, temos que mmc(48, 18) = 144 14
Observção 5.7 1. Como pr qulquer número inteiro temos M = M = M, é simples perceber que mmc(, b) = mmc(, b) = mmc(, b) = mmc(, b). Temos, in, que mmc(, b) = mmc(b, ). 2. É simples ver que mmc(k, ) = k k Z. 3. mmc(, 1) = Z\{0}. Proposição 5.8 Sejm e b ois números inteiros não-nulos e m = mmc(, b). Então, m é ivisor e qulquer múltiplo comum e e b, isto é, se c M Mb então m c. Prov. Sej c um ivisor comum e e b. Pel ivisão Eucliin poemos escrever c = mq + r com 0 r < m. Então, r = c mq e, portnto, r é um múltiplo comum e e b e, seno m o menor múltiplo comum, evemos ter r = 0. A proposição cim nos permite provr importnte crcterizção bixo. Teorem 5.9 Sejm e b ois números inteiros não-nulos. Um número nturl m será o mínimo múltiplo comum e e b se, e somente se, m é um múltiplo comum e e b e qulquer múltiplo comum e e b é tmbém um múltiplo e m. Prov. Seno m = mmc(, b) e c um múltiplo comum e e b temos, grçs à proposição cim, que m c. Por outro lo, se m e b m e, lém isso, qulquer múltiplo comum e e b é tmbém múltiplo e m, teremos que m c qulquer que sej c múltiplo comum e e b, portnto, m = mmc(, b). O resulto mis importnte que relcion mc(, b) e mmc(, b) é o pelo teorem bixo. Teorem 5.10 Sejm e b números inteiros não-nulos. Então, temos mc(, b).mmc(, b) = b. Prov. (Primeir emonstrção)sejm mc(, b) = e mmc(, b) = m. Fçmos m = b e mostremos que m = m. Note que m = b b = e, portnto, m e b m, ou in, m M Mb e, seno m o menor número e M Mb, temos que m m. Temos in que, m = m m b = m(x 0 + by 0 ) b 15 = m x 0 b + m by 0 b N
e, portnto, m m N, o que nos lev m m. Logo, m = m. ( ) (Segun Demonstrção) Inicilmente mostremos que mc mmc(,b), mmc(,b) = 1. b Pr tnto, sej um número nturl ivisor comum e mmc(,b) e mmc(,b). Então, existem b números nturis n e m tis que mmc(, b) b isto é, mmc(, b) o que nos lev concluir que mmc(,b) múltiplo comum temos que = n e = nb e mmc(, b) mmc(, b) = m, = m, mmc(, b) mmc(, b) e, í, = 1. Logo, o único ivisor comum positivo e mmc(,b) é um múltiplo comum e e b. Seno mmc(, b) o menor ( mmc(, b) mc, mmc(, b) b b ) = 1. e mmc(,b) Agor, terminmos emonstrção o teorem, notno que ( ) ( ) mc mmc(,b) = 1 mc b.mmc(,b) = 1, mmc(,b) b b,.mmc(,b) b 1.mc (b.mmc(, b),.mmc(, b)) = 1 mmc(, b).mc(, b) = b. b é 1 e, portnto, 6 Equções Diofntins Estremos interessos em resolver equções o tipo x + by = c em Z Z, isto é, queremos eterminr, se existirem, soluções inteirs pr est equção. Um equçõ este tipo é comumente chm equção iofntin liner e gru 2. O teorem bixo, prticmente, resolve qulquer equção o tipo. Teorem 6.1 Um equção o tipo x + by = c possui solução em Z Z se, e somente se, c mc(, b). Se este é o cso, e se (x 0, y 0 ) é um solução equção, então su solução gerl será por x = x 0 + b t e y = y 0 t t Z, one = mc(, b). Prov. A primeir prte o teoem é simples, já que sbemos que existem números inteiros x 0 e y 0 tis que x 0 = by 0 = mc(, b). Vejmos segun prte. Inicilmente, se (x 0, y 0 ) é um solução equção, teremos ( ) (x 0 + b t) + b(y 0 t) = x 0 + by 0 = c, 16
isto é, x = x 0 + b t e y = y 0 t, com t Z, é in um solução. Suponhmos (x 0, y 0 ) um solução e (x, y) um outr solução. Então, teremos, (x x 0 ) = b(y 0 y), ou in, (x x 0) = b (y 0 y). Então, b (x x 0) e, como, mc( b, ) = 1 teremos que b (x x 0) e, portnto, existe t Z tl que t b = (x x 0) ou in, x = x 0 + b t. De mneir nálog mostrmos que y = y 0 t e, como, (x x 0 ) = b(y 0 y) teremos que t = t, isto é, x = x 0 + b t e y = y 0 t. Exemplo 6.2 Resolver equção 80x + 24y = 16. Solução 6.3 Em sl! Exercício 6.4 1) () Seno m um múltiplo comum e e b, mostre que m = mmc(, b) mc( m, m b ) = 1. (b) Se r e s são números inteiros tis que r = sb então, r mc(r, s) = sb mc(r, s) = mmc(, b). 2) Sejm, b, n números nturis. Mostre que mmc(n, nb) = n.mmc(, b). 3) Seno n um número nturl etermine mmc(n 2 + 1, n + 1). 4) Seno e b números não-nulos, mostre que () mc(, b) = mmc(, b) = b. (b) se b = 2, então, mmc(, b) = mc(, b) 2. 5) Sejm, b, c números nturis. Mostre que () mc(, mmc(b, c)) = mmc(mc(, b), mc(, c)) (b) mmc(, mc(b, c)) = mc(mmc(, b), mmc(, c)). 6) Resolver equção 11x + 7y = 58. Est equção possui soluções positivs? Justifique! 7) Resolv s equções: () 30x + 17y = 201 (b) 8x + 13y = 23 17
8) Determine o menor inteiro positivo que tem restos 11 e 35 quno iviio, respectivmente, por 37 e 48. 9) Seno e b números nturis, mostre que existem números nturis x e y tis que x by = mc(, b). 18