Integrais Múltiplos. Capítulo 5

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1 Cpítulo 5 Integris Múltiplos Neste pítulo vmos generlizr noção de integrl de um função rel de vriável rel, estendendo- o so de funções reis de vriável vetoril, f : D R m R. No âmbito ds funções de um vriável, o integrl de um função f : [, b] R + pode ser interpretdo geometrimente omo áre ompreendid entre o eixo dos xx e o gráfio d função (ver figur 5.1. Do ponto de vist teório, onstrução do integrl de funções reis de vriável rel é feit primeiro pr funções mis simples (funções onstntes em d elemento de prtições do intervlo [, b], estendendo-se depois funções mis geris trvés de um proesso de refinmento ds prtições (ver Fig. 5.. De um form pouo preis, podemos dizer que um função não negtiv de um vriável tem integrl, ou é integrável, no intervlo [, b] se qulquer proesso de refinmento do intervlo [, b] onduzir sempre o mesmo vlor limite, orrespondente à áre sob o gráfio d função. Iremos gor lrgr ests ideis funções de dus vriáveis. f Figur 5.1: Interpretção geométri de f(xdx 1

2 f f f b b b Figur 5.: Diverss proximções de f(xdx usndo funções em esd. d d d Figur 5.3: Representção do retângulo R [, b] [, d] e dus possíveis prtições. 5.1 Integris duplos em regiões retngulres Consideremos iniilmente que região de integrção orresponde um retângulo em R, [, b] [, d] {(x, y R : x b, y d} O integrl de um função f : R, designdo por f(x, ydxdy orresponderá, no so de f ser não negtiv, o volume ompreendido entre região do plno xy definid pelo retângulo R e o gráfio d função f, que não será mis que um superfíie sobre o mesmo retângulo (ver figur 5.4. Tl omo no so rel, iremos primeiro definir o integrl duplo pr funções em esd, isto é, pr funções que são onstntes em d elemento de um prtição de. Pr tl, onsideremos seprdmente prtições de [, b] e [, d]: P x { x, x 1, x,, x n 1, x n b}, P y { y, y 1, y,, y m 1, y m b}, x < x1 < < x n y < y1 < < y m O produto rtesino dests dus prtições, P P x P y define um prtição do retângulo, onstituíd por nm retângulos (ver Fig Definição 5.1 (Integrl duplo de um função em esd ej um retângulo em R, P P x P y um su prtição, s um função em esd

3 Figur 5.4: Interpretção geométri do integrl de um função de dus vriáveis. n prtição P, e ij o vlor (onstnte de s no elemento d prtição ddo pelo retângulo berto ]x i 1, x i [ ]y j 1, y j [. Então o integrl duplo de s em é definido pel fórmul s(x, y dxdy n m ij (x i x i 1 (y j y j 1. i1 j1 Observndo que o volume debixo do gráfio de um função em esd não é mis que som de volumes de prlelepípedos, motivção pr definição nterior torn-se evidente (ver Fig Figur 5.5: Além disso, omo o volume sobre d ij ]x i 1, x i [ ]y j 1, y j [ é ddo preismente por 3

4 vol( ij ij (x i x i 1 (y j y j 1 [ yj ] xj ij dx dy x j 1 y j 1 xi x i 1 [ yi y i 1 ij dy temos que, pr qulquer função em esd s(x, y, é válid fórmul s(x, y dx dy d ( s(x, y dx dy ( d ] dx, s(x, y dy dx (5.1 A generlizção do integrl duplo outrs funções é feit trvés d proximção dests por funções em esd, o que é trduzido pel definição seguinte. Definição 5. (Integrl duplo de um função limitd num retângulo ej f um função definid e limitd num retângulo berto R e s, t dus quisquer funções em esd tis que s(x, y f(x, y t(x, y, (x, y R. Dizemos que f é integrável em se existir um únio número rel I tl que s I t (5. pr qulquer pr de funções s, t. Ao número I hmmos integrl de f em e esrevemos f(x, ydx dy f I. Um outr form, porventur mis onstrutiv, de definir o integrl de um função limitd é trvés ds hmds soms de Riemnn. Um som superior de Riemnn é o integrl de um função em esd t f e um som inferior é o integrl de um função em esd s f. De fto, se definirmos os integris inferiores e superiores de Riemnn omo sendo, respetivmente, { } f(x, ydx dy sup s(x, ydx dy : s f é um função em esd { } f(x, ydx dy inf t(x, ydx dy : t f é um função em esd 4

5 onluímos que definição de integrbilidde que presentámos ntes é equivlente exigir que o integrl superior e inferior de Riemnn sejm iguis, sendo o seu vlor omum definido omo o integrl de Riemnn d função f. Exemplo 5.1 Consideremos função de Dirihlet, definid no qudrdo A [, 1] [, 1]. Est função tom o vlor 1 se x e y são rionis e o vlor zero no so ontrário; 1, x y D(x, y., x / y / Como o onjunto dos rionis é denso em R, existem rionis e irrionis em qulquer intervlo não vzio de R. Assim, em d elemento de um qulquer prtição do onjunto A teremos pontos onde função D tom o vlor zero e pontos onde função tom o vlor 1. Deste modo, qulquer função em esd s(x, y que proxime D inferiormente, verifi tmbém s(x, y. Pel mesm rzão, qulquer função em esd que proxime D superiormente verifi t(x, y 1. Finlmente, omo qulquer número I [, 1] verifiri ondição (5., onluímos que I não seri únio e portnto D não é integrável em A. A rterizção ds funções integráveis é um tem entrl d Análise Mtemáti, que envolve lguns oneitos delidos de um áre onheid omo Teori d Medid. Não sendo objetivo dest obr o profundmento dess importnte questão, limitmos-nos referir o seguinte resultdo: Teorem 5.3 ej f : R um função limitd em. Então f é integrável em (no sentido d definição 5. se e só se f é ontínu em quse tod prte em. Um função diz-se ontínu em quse tod prte se o onjunto dos seus pontos de desontinuidde tiver medid nul. Exemplos de onjuntos de medid nul em R são o onjunto vzio, onjuntos de pontos isoldos, sejm eles em número finito ou infinito, ou os gráfios de funções ontínus. Tmbém pode ser útil notr que interseções e reuniões, em número finito ou infinito, de onjuntos de medid mul tmbém têm medid nul. Exemplo 5. Como plição diret do teorem nterior, podemos grntir que qulquer função ontínu num retângulo é integrável nesse onjunto. Por exemplo, omo função sin(x + y é ontínu em R, e em prtiulr no retângulo [, π] [, π], sbemos que existe o integrl sin(x + ydx dy. 5

6 Figur 5.6: Exemplo 5.3 Considere-se seguinte função, definid no onjunto berto ], [ ], 1[, f(x, y { x + y, x > 4y, x 4y Trt-se de um função ontínu em todo o onjunto, à exepção dos pontos d urv x 4y (ver figur 5.6. Assim, sendo ess urv de pontos de desontinuidde um onjunto de medid nul (em R, o teorem nterior grnte que existe o integrl o f(x, ydx dy. Proprieddes dos integris duplos em retângulos O integrl duplo, tl omo foi definido n seção nterior, goz de proprieddes semelhntes às do integrl em R. 1. Lineridde: Dds dus funções f, g integráveis em, e onstntes α, β R tem-se que função αf + βg é integrável e (αf(x, y+βg(x, y dxdy α f(x, y dxdy+β g(x, y dxdy. Aditividde: e o retângulo for subdividido em dois retângulos, 1 ujos interiores não se intersetem então f f(x, y dx dy 1 f(x, y dx dy + 1 f(x, y dx dy. 3. Prínipio de omprção: Dds dus funções integráveis em tis que f(x, y g(x, y, (x, y temos f(x, y dx dy g(x, y dx dy. 6

7 Cálulo de integris duplos em retângulos O álulo de integris em R pode ser feito utilizndo fórmul de Brrow. Conretmente, se onheermos um primitiv, digmos H, d função integrnd h, sbemos que h(x dx [H(x] xb x H(b H(. Este resultdo pode ser utilizdo pr lulr integris duplos se onsiderrmos um generlizção d fórmul (5.1, obtid pr funções em esd. Teorem 5.4 ej f um função integrável no retângulo [, b] [, d] e suponhmos que o integrl A(y f(x, y dx existe pr qulquer y [, d]. Então, se o integrl d A(y dy existir, o seu vlor oinide om o do integrl duplo f(x, y dx dy, isto é d ( f(x, y dx dy f(x, y dx dy (5.3 Dem. Tomemos dus funções em esd s, t tis que s f t no domínio de integrção. Usndo o prinípio de omprção pr integris em R, podemos integrr ests desigulddes em ordem x, obtendo s(x, y dx f(x, y dx t(x, y dx. Reordndo que A(y f(x, y dx e integrndo gor em ordem y, temos d ( s(x, y dx dy d A(y dy d ( Por outro ldo, usndo fórmul (5.1, sbemos que t(x, y dx dy. d ( s(s, y dx dy s, d ( t(x, y dx dy t, donde onluímos que s d A(y dy t. 7

8 Finlmente, do fto de f ser integrável em e d rbitrriedde n esolh ds funções s e t, podemos onluir que o número I d A(y dy tem que oinidir om o integrl f. Convém notr que, om um demonstrção semelhnte à do teorem nterior, tmbém podemos firmr que se f for integrável em e o integrl A(x d f(x, y dy existir pr todo o x então, se A(x dx existir, oinide om o vlor do integrl duplo. Os integris ( d f(x, y dy dx e d ( f(x, y dx dy são designdos por integris iterdos ou integris suessivos de f. Normlmente, pr simplifir um pouo notção, dispensmos utilizção dos prênteses, ssumindo que ordem de integrção é definid pel ordem pel qul preem os símbolos dx e dy. Conretmente onvenionmos que d d f(x, y dx dy def f(x, y dy dx def d ( ( d f(x, y dx dy f(x, y dy dx. No so de função f ser ontínu em, temos o seguinte resultdo Teorem 5.5 ej f um função ontínu num retângulo [, b] [, d]. Então f é integrável em e tem-se f(x, y dxdy d f(x, y dydx d f(x, y dxdy. Este resultdo é muito importnte do ponto de vist prátio, já que os integris iterdos são efetivmente integris em R, luláveis trvés d plição suessiv d fórmul de Brrow. Exemplo 5.4 Clulemos o integrl de f(x, y x + y no retângulo [, 1] [, 3]. Como se trt de um função ontínu, sbemos que é integrável em, e que os integris iterdos oinidem om o vlor do integrl duplo que pretendemos lulr. Assim, 8

9 3 (x + y dx dy 3 ( x + y dx dy 3 [ ] 1 x1 3 x3 + xy dy x 3 [ y dy 3 y + 1 ] y3 y 17 y 6 O mesmo resultdo poderi ter sido obtido lulndo 3 (x + ydy dx ( 3 x + y dy dx [yx + 1 y ] y3 y dx (3x + 9/ x dx [ 1 3 x3 + 5 ] x1 x 17 x 6 Exemplo 5.5 Clulr o integrl d função f(x, y x os y + y sin x no retângulo [, π/] [, π]. π f π/ (x os y + y sin xdx dy π [ x ] xπ/ os y y os x dy x π (( (π/ os y y os π ( os π y os dy π [ ] ( π π yπ 8 + ydy y sin y + π 8 y 5. Integris duplos em regiões não retngulres A definição de integrl duplo que onsiderámos bsei-se n onstrução de prtições de um região retngulr - o domínio de integrção - pelo que estmos pr já limitdos o álulo de integris duplos nesse tipo de onjuntos. Pree pois nturl generlizr o álulo de integris outro tipo de regiões. 9

10 Definição 5.6 ej R um retângulo, um onjunto limitdo e f : R um função limitd. Dizemos que f é Riemnn - integrável em se função f : R definid por f(x, y { f(x, y (x, y (x, y \ for Riemnn-integrável em. Nesse so o vlor do integrl é definido omo f(x, ydxdy def f(x, ydxdy. O integrl num região é então definido prolongndo função por zero um retângulo que ontenh, o que reduz o problem o so iniilmente trtdo. Vmos iniilmente onsiderr dois sos prtiulres de regiões de R, ms que devidmente ombinds permitem desrever onjuntos bstnte mis geris. Regiões de tipo I e II Dizemos que região I é de tipo I se puder ser desrit n form I { (x, y R : x b, ϕ 1 (x y ϕ (x } (5.4 em que ϕ 1, ϕ : [, b] R são funções ontínus. Do mesmo modo dizemos que um região II é do tipo II de puder ser desrit n form II { (x, y R : y d, ψ 1 (y x ψ (y } (5.5 em que ψ 1, ψ : [, d] R são funções ontínus. Ests dus definições não são mutumente exlusivs, existindo regiões que são simultânemente dos dois tipos. Por exemplo um região retngulr ou irulr pode ser desrit indiferentemente omo um região de tipo I ou de tipo II. Exemplo 5.6 Consideremos região do plno definid pelo írulo de rio 1 entrdo n origem, isto é, {(x, y R : x + y 1}. O mesmo onjunto de pontos pode ser desrito omo I {(x, y R : 1 x 1, 1 x y 1 x } ou II {(x, y R : 1 y 1, 1 y x 1 y } pelo que pode ser vist omo um região de tipo I ou II. 1

11 y d x Ψ1 y x Ψ y y Φ x y Φ 1 x b x Figur 5.7: Regiões de tipo I (esquerd e de tipo II (direit. Vejmos gor omo lulr integris duplos em regiões de tipo I. Atendendo à definição 5.6, e onsiderndo um retângulo ]x 1, x [ ]y 1, y [ que ontenh I, temos que f(x, ydxdy I f(x, ydxdy x ( y x 1 y 1 f(x, ydy dx Agor, tendendo que f só pode ser não nul se x [, b] e, pr d x, y [ϕ 1 (x, ϕ (x], oinidindo om f nesses sos, é evidente que x ( y ( b ϕ (x f(x, ydy dx f(x, ydy dx. x 1 y 1 ϕ 1 (x Teorem 5.7 ej I um região do tipo I e f : I R um função ontínu em I. Então, f é integrável em I e o seu integrl pode ser luldo trvés d fórmul ( b ϕ (x f(x, ydxdy f(x, ydy dx. I ϕ 1 (x Repetindo os proedimentos nteriores pr regiões de tipo II temos tmbém o seguinte resultdo: Teorem 5.8 ej II um região do tipo II e f : II R um função ontínu em II. Então f é integrável em II e o seu integrl pode ser luldo trvés d fórmul ( d ψ (y f(x, ydxdy f(x, ydx dy. II ψ 1 (y 11

12 Exemplo 5.7 Clulemos xy dxdy em que {(x, y R : x 1, y x }, que orresponde o espço ompreendido entre o eixo ds bisss e o gráfio d função y x, no intervlo [, 1]. Tendo em ont que já está desrito omo um região de tipo I, sbemos que f(x, y dxdy xy dxdy ( [xy / ] yx y ( x xy dy dx dx x 5 / dx [ x 6 /1 ] x1 x 1/1. ( x(x / x / dx É interessnte observr que mesm região pode ser desrit omo sendo de tipo II, bstndo pr isso onsiderr que {(x, y R : y 1, y x 1}, pelo que o integrl duplo tmbém pode ser luldo omo f(x, y dxdy xy dxdy ( [yx / ] x1 x y ( dx y xy dx dy ( y 1 / y( y / dx y/ y / dy [ y /4 y 3 /6 ] y1 y 1/1. O exemplo nterior mostr que um mesmo integrl duplo pode ser luldo de forms distints, dependendo do modo omo desreve região de integrção. Embor o vlor luldo sej neessrimente o mesmo, s primitivs que surgem durnte os álulos não são em gerl s mesms, pelo que um dos proessos de álulo poderá ser mis simples do que o outro. O exemplo seguinte ilustr bem est situção. Exemplo 5.8 Consideremos o problem de proeder o álulo do integrl duplo x sin(y dydx. e pretendermos lulr o integrl om os limites de integrção tl omo estão olodos, o que orresponde um região do tipo I, temos ( sin(y dydx sin y dy dx, x o que levnt lgums difiulddes já que, embor função sin y sej ontínu e por isso primitivável, su primitiv não tem um expressão 1 x

13 simples em termos ds funções hbitulmente utilizds. Assim, pesr de sbermos que o integrl existe, não o onseguimos lulr por este proesso. No entnto, se pudermos esrever região de integrção omo sendo do tipo II, s primitivs que surgem serão diferentes. N verdde, e ssim, {(x, y R : x 1, x y 1} {(x, y R : y 1, x y} x sin(y dydx y sin(y dxdy ( y sin y dx dy [ x sin y ] xy x dy y sin y sin y dy ] y1 os y [ os y. Cálulo de áres Vimos no iníio deste pítulo que, no so de funções não negtivs, o integrl duplo orresponde o volume d região de R 3 ompreendid entre região de integrção ontid no plno xy e superfíie definid pelo gráfio de f. Por outrs plvrs, orresponde o volume de um prism uj bse é o onjunto, no plno xy, e o topo é o gráfio d função f. e estivermos integrr um função onstnte, o volume é ddo pelo produto entre áre d bse (que é áre do onjunto e ltur do prism (o vlor onstnte de f. Em prtiulr, se integrrmos função onstnte f(x, y 1, o vlor do volume orrespondente o integrl duplo oinide om o vlor d áre de. Resumidmente, sendo R um onjunto limitdo, su áre será dd por Are( 1 dxdy, sempre que este integrl exist. Exemplo 5.9 Clulr áre do onjunto limitdo pelos gráfios ds funções y e x e y e x e pels rets x e x 1 (ver figur 5.8. Começmos por observr que o onjunto em us pode ser esrito omo {(x, y R : x 1, e x y e x }. 13

14 Or, nesse so teremos Are( 1 dydx e x e x 1 dydx e x e x dx [ e x + e x] x1 x e + e 1 [y] yex ye x dx 1 x Figur 5.8: Representção gráfi do onjunto referido no exemplo?? Integrção em regiões mis geris empre que região de integrção não for de tipo I ou II, tentremos deompo-l em regiões desses tipos. Conretmente, se não é de tipo I ou II ms se pode esrever omo reunião de onjuntos om interiores disjuntos 1,, n, sbemos que f(x, ydxdy f(x, ydxdy f(x, ydxdy. n Exemplo 5.1 Cálulo d áre d região do plno definid por {(x, y R : y 1 x, y x, y x}. Apesr de não ser de tipo I nem de tipo II, pode ser deomposto omo 1 (ver figur em que s regiões 1 e são de tipo I, efetivmente 1 {(x, y R : (1 5/ x, x y 1 x } {(x, y R : x ( 1 + 5/, x y 1 x } 14

15 pelo que o álulo d áre pode ser feito omo Are( 1 dxdy x x ( dxdy + 1 dxdy 1 1 dydx ( x x dydx ( Figur 5.9: Representção gráfi d região onsiderd no exemplo?? 5.3 Mudnç de vriável em integris duplos Aontee por vezes que form ds regiões de integrção ou o tipo de função integrnd tornm o álulo do integrl duplo em oordends rtesins demsido omplexo, sendo mis vntjoso onsiderr um mudnç de vriável. No so unidimensionl este oneito orresponde o método de integrção por substituição. Vmos então onsiderr um trnsformção bijetiv e difereniável, om invers difereniável, entre um região W R e região iniil de integrção, omo se ilustr n figur 5.1, em que d ponto (x, y é imgem de um ponto (u, v T, i.e. x H 1 (u, v, y H (u, v. Nests ondições é válid fórmul 15

16 Figur 5.1: Trnsformção d região de integrção f(x, ydxdy T J H (u, v f(h 1 (u, v, H (u, vdudv (5.6 desde que o determinnte d mtriz Jobin d trnsformção H, definido por J H (u, v H 1 u H u H 1 v H v se nule, qunto muito, num onjunto de medid nul. Deste modo, trnsformmos o álulo do integrl duplo em de um função ds vriáveis x, y no álulo de um integrl duplo em T de um função ds vriáveis u, v. Nturlmente este proedimento será útil se o segundo integrl for de álulo mis simples que o primeiro. Coordends polres Um exemplo lássio de mudnç de vriáveis em integris duplos é pssgem pr oordends polres, em que d ponto de oordends rtesins (x, y pss ser desrito pelo pr (ρ, θ, em que ρ é distâni à origem e θ [, π[ é um ângulo formdo om o eixo dos xx. Conretmente, x H 1 (ρ, θ ρ os θ, y H (ρ, θ ρ sin θ. Pr est trnsformção o determinnte d mtriz Jobin é os θ ρ sin θ J(u, v sin θ ρ os θ ρ(os θ + sin θ ρ. Assim temos que, 16

17 f(x, ydxdy T ρf(ρ os θ, ρ sin θdρdθ. Exemplo 5.11 Clulr o integrl de f(x, y x + y no onjunto {(x, y R : x + y 1}. Or, pr os pontos deste onjunto, distâni à origem pode tomr todos os vlores entre e 1, enqunto o ângulo pode tomr qulquer vlor entre e π. Assim, neste so T {(ρ, θ : θ π, ρ 1}, pelo que, usndo fórmul de mudnç de vriável x + y dxdy T π π ρ (ρ os θ + (ρ sin θ dρdθ ρ dρdθ 1/3dθ π/3. π [ ρ 3 /3 ] ρ1 ρ dθ Note-se que o álulo direto do integrl em oordends rtesins seri mis trblhoso. endo {(x, y : 1 x 1, 1 x y 1 x }, terímos x + y dxdy 1 1 x 1 x x + y dydx. 5.4 Integris impróprios A form omo definimos o integrl duplo olo restrições reltivmente o tipo de regiões de integrção e às funções integrnds que podemos onsiderr, devendo mbos ser limitdos. No entnto, surgem frequentemente situções em que é neessário proeder o álulo de integris em que um ou mbs s restrições nteriores não são verifids. Reordemos que em R lssifimos os integris impróprios omo sendo de 1 espéie, espéie ou mistos. e g : [, + [ R for limitd e integrável em qulquer onjunto d form [, b], b >., hmmos + g(xdx um integrl impróprio de 1 espéie e dizemos que é onvergente se existir e for finito o limite lim b + g(xdx def 17 + g(xdx.

18 De modo nálogo, se g : ], b] for limitd e integrável em qulquer intervlo d form [, b], < b, dizemos que o orrespondente integrl impróprio é onvergente se existir e for finito o limite lim g(x dx def g(x dx. Considerndo gor um função g :], b] R limitd e integrável em qulquer intervlo do tipo [, b], < < b ms que não é limitd num vizinhnç de x, hmmos g(x dx um integrl impróprio de espéie e dizemos que este é onvergente se existir e for finito o limite lim + g(x dx def g(x dx. Est definição pode ser dptd filmente no so de singulridde se situr no outro extremo do intervlo. Ests definições podem obrir situções mis geris se o intervlo de integrção for deomposto em intervlos (limitdos ou ilimitdos que orrespondm integris impróprios de um dos tipos referidos. De form nálog o so unidimensionl, os integris múltiplos impróprios são definidos trvés de um proesso de pssgem o limite de integris próprios. Infelizmente, devido à diversidde de possibiliddes de formção de um limite em R m, m > 1, definição de integris múltiplos impróprios é bstnte mis delid que no so m 1. Regressndo os integris duplos, iremos, por motivos ténios, olornos n situção prtiulr d integrção de funções não negtivs em onjuntos simples de R, em que por simples entendemos onjuntos que, ou são retângulos, ou podem ser simultnemente desritos omo regiões de tipo I e II, eventulmente ilimitds. Diremos nest situção que estmos pernte um integrl duplo impróprio se, durnte o álulo dos integris iterdos, nos deprrmos om lgum integrl impróprio (em R. O integrl será onsiderdo onvergente se os integris iterdos o forem. Exemplo 5.1 Clulr A f(x, ydxdy, om A {(x, y R : x, y }. O integrl duplo lulr será A f(x, ydxdy + ( + f(x, ydy dx. Assim, pr que o integrl duplo sej onvergente, é sufiiente que o integrl + f(x, ydy : ψ(x sej onvergente pr qulquer x, e que 18

19 o integrl + ψ(x dx sej onvergente. Conretizndo pr o so de f(x, y e x y temos que A e x y dxdy + ( + + lim b + + ( e x dx e x y dy dx e x e y dy dx lim b + e x dx + ( + + e x lim b + lim b + e x e y dy dx [ e y ] yb y dx [ e x ] xb x 1. Exemplo 5.13 e X e Y são vriáveis letóris independentes om distribuições X N(µ 1, σ1 e Y N(µ, σ o vetor letório (X, Y tem função de densidde onjunt dd por { 1 f(x, y exp 1 ( x µ1 1 ( } y µ πσ 1 σ Ms expressão nterior definirá efetivmente um função densidde de probbilidde? e ssim for, devemos ter em prtiulr R f(x, ydxdy 1. Pr lulr o integrl proposto é onveniente onsiderr mudnç de vriáveis pr (ρ, θ dd por i. e., x µ 1 σ 1 x ρ os θ, σ 1 y µ σ ρ sin θ x σ 1 ρ os θ + µ 1, y σ ρ sin θ. ujo Jobino é ddo por J(ρ, θ σ 1 σ ρ. Assim, o integrl proposto pode ser luldo omo R f(x, y dxdy + π + π lim b + ρσ 1 σ πσ 1 σ exp { (ρ os θ 1 π ρexp{ ρ /}dθdρ ρe ρ / dρ lim b + ( e b / lim b + σ } (ρ sin θ dθdρ + ρe ρ / [ e ρ / ] ρ1 Vemos então que função densidde propost verifi pelo menos ondição de probbilidde totl ser ρ

20 5.5 Integris em dimensão superior Todos os spetos formis d definição de integrl que onsiderámos no so de funções de dus vriáveis podem ser repetidos em dimensões superiores, tornndo-se possível lulr integris em subonjuntos de R n, om n >. uponhmos sem perd de generlidde que R n é um onjunto do tipo {x R n : x 1 b, ϕ 1 (x 1 x ψ 1 (x 1, ϕ (x 1, x x 3 ψ (x 1, x,, ϕ n 1 (x 1,, x n 1 x n ψ n 1 (x 1,, x n 1 } em que s função ϕ i, ψ i, i 1, n 1, são funções ontínus nos subonjuntos dequdos de. Então o integrl duplo pode ser luldo trvés dos n integris iterdos: f(x 1,, x n dx 1 dx n f(xdx [ b [ ψ1 (x 1 [ ψ (x 1,x ] ] ] ψn 1 (x 1,,x n 1 f(xdx n dx n 1 dx 1. ϕ (x 1,x ϕ n 1 (x 1,,x n 1 ϕ 1 (x 1 Diferentes ordenções ds vriáveis drão origem diferentes integris iterdos ms, no so d função ser integrável, todos eles resultm no mesmo vlor. Tl omo no so dos integris duplos, so região de integrção não sej deste tipo, devemos deompô-l em onjuntos que possm ser esritos nest form. Exemplo 5.14 Clulr o integrl d função f(x, y, z x + y + z no ubo [, 1] 3. f(x, y, zdxdydz ( ( (x + y + zdz ( [x z + yz + z /] z1 zdy ( (x + y + 1/dy dx dy dx dx [x y + y / + y/] y1 y dx (x + 1/ + 1/dx [x 3 /3 + x] x1 x 4 3.

21 Exemplo 5.15 Clulr o integrl d função f(x, y, z x+y+z no ilindro uj bse é o írulo de entro n origem e rio 1 e om ltur. A região de integrção pode ser dd por {(x, y, z R 3 : 1 x 1, 1 x y 1 x, z }, pelo que o integrl triplo pretendido pode ser luldo omo 1 1 [ 3 π f(x, y, zdxdydz 1 x 1 x 1 1 x [zx + zy + z /] z zdydx 1 x [ xy + y + y ] y 1 x y dx 1 x 1 (x + y + zdzdydx 1 x 1 ( 1 x ( x + 3x + 3rsin(x ] x1 1 x (x + y + dydx 4x 1 x x dx x 1 1