PROFª DRª ANA SÁ PROF DR FILIPE OLIVEIRA PROF DR PHILIPPE DIDIER

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1 ANÁLISE MATEMÁTIA II B PROFª DRª ANA SÁ PROF DR FILIPE OLIVEIRA PROF DR PHILIPPE DIDIER FAULDADE DE IÊNIAS E TENOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTIA 7 n

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3 Índice 1 álculo integrl em R n : Integris duplos Introdução Integrl duplo sobre domínios rectngulres Integris iterdos Teorem de Fubini. Aplicção do integrl iterdo o cálculo de volumes Integris duplos sobre domínios geris onjuntos básicos Mudnç de vriáveis Mudnç de vriáveis em coordends polres Exercícios Propostos Integris triplos 39.1 Integris triplos em domínios prlelepipédicos Teorem de Fubini e integrl triplo iterdo Integris triplos em domínios geris onjuntos básicos de R Aplicção o cálculo de volumes Mudnç de vriável nos integris triplos oordends cilíndrics oordends esférics Exercícios Propostos Integris de linh Linhs em R n Primeirs definições omprimento de um linh - bciss curvilíne Integrl urvilíneo Definição mpos vectoriis Integrção de um cmpo vectoril mpos de grdientes Forms diferenciis Forms diferenciis e cmpos vectoriis Teorem de Green Superfícies em R

4 ii ÍNDIE Integrl de superfície Fluxo de um cmpo de vectores Teorem de Stokes Teorem de Guss Exercícios Propostos Linhs em R n. oordends polres Integris de linh mpos vectoriis Teorem de Green Integris de superfície

5 pítulo 1 álculo integrl em R n : Integris duplos 1.1 Introdução Definem-se os integris múltiplos por meio de funções de váris vriáveis e limites de soms de modo nálogo o cso do integrl definido: ˆ b f(x)dx. Vejmos, de form breve, como se procede pr definir integrl de Riemnn pr funções reis de vriável rel. omeçmos por definir prtição de um intervlo de R. Definição Sejm,b R, < b. Ddos n + pontos x < x 1 < x < < x n 1 < x n < x n+1 b, o conjunto dos subintervlos d form [x i,x i+1 ], i,1,...,n, chm-se prtição de [,b]. NOTAS: 1. A prtição é um conjunto de subconjuntos, mis precismente: P {[x i,x i+1 ] : i N, i n}. O nome prtição result de n i[x i,x i+1 ] [,b] e do fcto de ddos dois quisquer elementos de P su intersecção ou é vzi ou se reduz um ponto.. A prtição P fic bem definid pelo conjunto P { x,x 1,x,...,x n 1,x n,x n+1 b} pelo que podemos identificr prtição P com o conjunto P. Pelo modo como definimos prtição, considermos o conjunto P ordendo, isto é, x i < x i+1, i,1,...,n. Definição 1.1. Sejm,b R, < b, f : [,b] R um função limitd e P um prtição de [,b]. hm-se som inferior de Drboux de f, reltiv à prtição P s P (f) n i (x i+1 x i ) inf x [x i,x i+1 ] f(x).

6 1. álculo integrl em R n : Integris duplos hm-se som superior de Drboux de f, reltiv à prtição P n S P (f) (x i+1 x i ) sup f(x). x [x i,x i+1 ] i NOTAS: 1. As soms superior e inferior estão bem definids. omo f é limitd em [,b], f é limitd em [x i,x i+1 ], isto é, o conjunto {f(x) : x [x i,x i+1 ]} é limitdo e, portnto, tem ínfimo e supremo.. É óbvio que s P (f) S P (f). Veremos que est propriedde se pode generlizr: pr um função limitd em [, b], qulquer som superior é mior ou igul qulquer som inferior. 3. Se f é um função não negtiv em [,b], dd um prtição P, som inferior de Drboux é igul à som ds áres dos rectângulos cujos ldos têm comprimento x i+1 x i e inf f(x) (ver Figur 1.1). x [x i,x i+1 ] Figur 1.1 Som inferior de Drboux. Anlogmente, som superior de Drboux é igul à som ds áres dos rectângulos cujos ldos têm comprimento x i+1 x i e sup x [x i,x i+1 ] f(x) (ver Figur 1.). Result de váris proprieddes ds prtições que se, b R, < b, f : [, b] R é um função limitd, o conjunto ds soms superiores é minordo (tods s soms inferiores são minorntes) e o conjunto ds soms inferiores é mjordo (tods s soms superiores são mjorntes); estes conjuntos têm, pois, ínfimo e supremo, respectivmente. Definição Sejm,b R, < b e f : [,b] R um função limitd. Ao ínfimo do conjunto ds soms superiores de f chm-se integrl superior de f em [,b] e represent-se b por f(x)dx. Ao supremo do conjunto ds soms inferiores de f chm-se integrl inferior b de f em [,b] e represent-se por f(x)dx. Se b f(x)dx b f(x)dx, diz-se que f é integrável à Riemnn em [, b]; este número chm-se integrl de f em [, b] e represent-se b f(x)dx b f(x)dx b f(x)dx.

7 1.1 Introdução 3 Figur 1. Som superior de Drboux. NOTAS: 1. Sejm,b R, < b e f : [,b] R um função limitd. O integrl superior de f em [,b] e o integrl inferior de f em [,b] existem (ver not ntes d definição).. Se f é contínu, não negtiv e integrável em [,b], o integrl de f é igul à áre d figur limitd pelo gráfico de f e pels rects x, x b e y (eixo dos xx) (ver Figur 1.3). Pr nos convencermos deste fcto, bst ter em cont s figurs 1.1 e 1. e definição. O integrl é o ínfimo do conjunto ds soms superiores, que são tods miores ou iguis que quel áre (ver Figur 1.), portnto, o integrl é mior ou igul que áre d figur referid. Por outro ldo, o integrl tmbém é o supremo do conjunto ds soms inferiores, que são tods menores ou iguis áquel áre (ver Figur 1.1), portnto, o integrl é menor ou igul que áre d figur referid. onclui-se ssim que o integrl é igul à áre d figur. Figur 1.3 O integrl é igul à áre d figur indicd. Seguiremos um cminho semelhnte este pr definir integrl de um função de dus vriáveis. A principl diferenç reside no fcto de em lugr de começrmos com um prtição do intervlo [, b], subdividimos um rectângulo R do plno, pssndo depois pr conjuntos mis complexos. Os teorems utilizdos no cálculo bseim-se em equções de curvs que constituem fronteir desses conjuntos sendo pois mis complicdos do que o teorem fundmentl do cálculo pr integris definidos.

8 4 1. álculo integrl em R n : Integris duplos omeçremos por definir o integrl de um função contínu f : R R no cso de um rectângulo R [,b] [c,d]: f(x,y)da. [,b] [c,d] A seguir, veremos como o integrl definido de um função de dus vriáveis (considerndo um dels constnte): nos permite clculr integris iterdos: [,b] [c,d] f(x,y)da F(x) ˆ b ˆ d c (ˆ d c f(x,y)dy, ) f(x,y)dy dx ˆ b F(x)dx. ontinuremos com o cálculo de integris em regiões mis geris do que rectângulos, ou sej, regiões delimitds por gráficos de funções contínus e veremos um plicção o cálculo d áre de superfícies. Finlmente, o conceito de jcobino visto n primeir prte deste curso será plicdo o problem d mudnç de vriáveis nos integris duplos. Estudremos o cso prticulr ds coordends polres. 1. Integrl duplo sobre domínios rectngulres omecemos por definir o integrl R f(x,y)dxdy, onde R é um rectângulo contido no domínio de f. Um rectângulo é o produto crtesino de intervlos de R: R [,b] [c,d] {(x,y) R : x b c y d} Figur 1.4 Um rectângulo.

9 1. Integrl duplo sobre domínios rectngulres 5 Qundo introduzimos o integrl de Riemnn pr funções d rect rel, começámos pel noção de subdivisão do intervlo de integrção [, b]. Aqui, vmos considerr subdivisões dos intervlos que definem o rectângulo e obter dess form um prtição de R: Definição 1..4 Ddos n + pontos x < x 1 <... < x n 1 < x n+1 b e m + pontos c y < y 1 <... < y m 1 < y m+1 d, o conjunto dos subrectângulos d form chm-se prtição de R. R ij [x i,x i+1 ] [y j,y j+1 ], Figur 1.5 Um prtição do rectângulo R. Note-se que cbámos de subdividir o rectângulo R em (m + 1)(n + 1) rectângulos com propriedde R i n j m e verificndo pr (i,j) (k,l), int(r ij ) int(r kl ). Definição 1..5 Sejm f : D R R um função limitd, R um rectângulo contido em D e P um prtição de R. hm-se som inferior de Drboux de f, reltiv à prtição P R ij s P (f) n m i j R ij inf f(x,y), (x,y) R ij onde R ij (x i+1 x i )(y j+1 y j ) é áre do rectângulo R ij. D mesm form, chm-se som superior de Drboux de f, reltiv à prtição P S P (f) n m i j R ij sup f(x,y). (x,y) R ij

10 6 1. álculo integrl em R n : Integris duplos Figur 1.6 Soms inferiores de Drboux. Figur 1.7 Soms superiores de Drboux. Estmos gor em condições de dr seguinte definição: Definição 1..6 Sejm f : D R R um função limitd e R um rectângulo contido em D. Diz-se que f é integrável em R se sup s P (f) inf S P(f), P P P P onde P é o conjunto de tods s prtições de R. Define-se nesse cso o integrl de f em R por: f(x,y)dxdy sup s P (f) inf S P(f). P P P P R NOTA: Se f é contínu, não negtiv e integrável em R, o integrl de f é igul o volume d figur limitd pelo gráfico de f e pelos plnos x, x b, y c, y d e z (plno xy) (ver Figur 1.8). Pr nos convencermos deste fcto, bst ter em cont s figurs 1.6 e 1.7 e definição. O integrl é o ínfimo do conjunto ds soms superiores, que são tods miores ou iguis que quele volume (ver Figur 1.7), portnto, o integrl é mior ou igul o volume d figur referid. Por outro ldo, o integrl tmbém é o supremo do conjunto ds soms inferiores, que são tods menores ou iguis àquele volume (ver Figur 1.6), portnto, o integrl é menor ou igul o volume d figur referid. onclui-se ssim que o integrl é igul o volume d figur. No exemplo seguinte fzemos o cálculo, usndo s soms de Drboux, de um integrl duplo num cso simples. Em prticulr, provmos que o integrl duplo 1dA da, R R

11 1. Integrl duplo sobre domínios rectngulres 7 Figur 1.8 O integrl é igul o volume d figur indicd. que dá o volume do sólido de ltur 1 construído sobre o rectângulo R, tem o vlor d áre do rectângulo R. Designremos ess áre por A(R). EXEMPLO 1: onsideremos função f : R R definid por f(x,y) 1. Pr tod prtição P do rectângulo [,b], com s notções nteriores, tem-se: S P (f) n m i j R ij sup f(x,y) (x,y) R ij n i j m (x i+1 x i )(y j+1 y j ) ( )) n m (x i+1 x i (y j+1 y j ) (x n+1 x )(y m+1 y ) (b )(d c). i j D mesm form, se obtém s P (f) (b )(d c). Assim, dxdy (b )(d c) A(R). R Figur 1.9 O integrl é igul o volume d figur indicd. Admitiremos o resultdo seguinte que nos dá um condição suficiente pr um função ser integrável:

12 8 1. álculo integrl em R n : Integris duplos Teorem 1..1 Sejm R um rectângulo e f : D R R um função contínu num conjunto berto contendo R. Então f é integrável em R. Vimos, o estudr o integrl em R, que um função descontínu pens num número finito de pontos de um intervlo I ind er integrável. Tmbém no cso de funções reis de dus vriáveis reis há um teorem que grnte existênci de integrl de lgums funções descontínus. Figur 1.1 Um função descontínu em R, ms integrável. Teorem 1.. Sej f : R R um função limitd no rectângulo R e suponhmos que o conjunto de pontos onde f é descontínu está contido n união de um número finito de gráficos de funções reis de vriável rel, contínus. Então f é integrável em R. Vejmos, sem demonstrr, lgums proprieddes dos integris duplos: Proposição 1 Sej f um função rel de dus vriáveis reis. 1. Sejm R 1 e R dois rectângulos tis que int(r 1 ) int(r ). Se f é integrável em R 1 e em R, e se R R 1 R é um rectângulo, então f é integrável em R e f da f da + f da. R R 1 R. Se f é integrável num rectângulo R então f é integrável em R e f da f da. 3. Sej f um função integrável num rectângulo R. Então f da. R R 4. Sejm f 1 e f dus funções integráveis num rectângulo R, e sej c R um constnte. Então (f 1 + cf )da f 1 da + c f da. R R R R

13 1.3 Integris iterdos Integris iterdos Tl como contece pr integrção em R, poucos integris podem ser clculdos directmente prtir ds soms de Drboux. Neste cpítulo vmos introduzir um método que permite clculr lguns integris duplos prtir de integris simples. onsideremos um função contínu f : [,b] [c,d] R. Pr todo o x [,b] podemos definir um função f x : [c,d] R por: f x (y) f(x,y), y [c,d]. Qulquer que sej x, f x é um função contínu logo o integrl usul: ˆ d c f x (y)dy ˆ d c f(x,y)dy está bem definido. A este processo chm-se integrção prcil em ordem y. De mneir equivlente podemos definir integrção prcil em ordem x por: ˆ b f y (x)dx ˆ b f(x,y)dx, onde função contínu f y é definid pr todo y [c,d], por f y (x) f(x,y), x [,b]. EXEMPLO 1: onsideremos função f(x,y) y x +. Vmos integrr prcilmente f em ordem x e em ordem y no rectânglo [1,] [,3]. Utilizndo s regrs de cálculo do integrl definido temos: ˆ y ( 4 ) x + dx [y log(x + )] 1 y log. 3 D mesm form: 1 ˆ 3 [ ] 3 y 1 x + dy x + y 5 (x + ). EXEMPLO : onsideremos função f(x,y) 1 + x 1 + y + xy. Vmos integrr prcilmente f em ordem x e em ordem y no rectângulo [,1]. Temos: ( 1 + x ( 1 + x 1 + y + xy) dx 1 + y + xy) dy [ x + x y + x y ] 1 4 3(1 + y ) + y ] 1 [(1 + x )rctg(y) + x y3 (1 + x ) π x 3. omo vimos nestes exemplos, o integrl prcil em ordem x d função f é um função de y. D mesm form, o integrl prcil em ordem y é um função de x. Vmos dmitir o resultdo seguinte, cuj demonstrção si do âmbito deste curso:

14 1 1. álculo integrl em R n : Integris duplos Proposição Sej f : [, b] [c, d] R um função contínu. Então s funções I(y) ˆ b f(x,y)dx e J(x) ˆ d c f(x,y)dy definids, respectivmente, nos intervlos [c, d] e [, b], são funções contínus. Sendo contínus, ests funções podem ser integrds nos seus domínios respectivos: Definição Os integris e ˆ d c ˆ b I(y)dy J(x)dx chmm-se integris iterdos. ˆ d c ˆ b [ˆ b [ˆ d c ] f(x,y)dx dy ] f(x,y)dy dx EXEMPLO 3: lculr os integris iterdos de f(x,y) e, Utilizndo os cálculos nteriores temos: ˆ 3 ˆ 1 ˆ ˆ 3 1 y x + dxdy ˆ 3 ˆ y dy dx x + 1 y log ˆ d ˆ b c ˆ b ˆ d c y x + f(x,y)dxdy f(x,y)dy dx, no rectângulo [1,] [,3]. ( [ 4 y ( 4 ) dy 3) ] 3 log 5 ( 4 ) 3 log 3 [ ] 5 5 (x + ) dx log(x + ) 5 ( 4 ) 1 log. 3 EXEMPLO 4: lculr os integris iterdos de f(x,y) 1 + x 1 + y + xy no rectângulo [,1] : ( 1 + x 1 + y + xy) dxdy ( 1 + x 1 + y + xy) dy dx ( 4 3(1 + y ) + y ) dy ( (1 + x ) π 4 + x ) dx 3 [ 4 y3 rctg(y) [(x + x3 3 )π 4 + x 6 ] 1 ] 1 π , π EXEMPLO 5: álculo do integrl iterdo de um função do tipo f(x,y) g(x)h(y) com g e h dus funções contínus em [,b] e em [c,d], respectivmente. Temos: ˆ b ˆ d ˆ b (ˆ d ) (ˆ b ) (ˆ d ) g(x)h(y)dy dx g(x) h(y) dy dx g(x) dx h(y) dy. c De form nálog tem-se que: ˆ d ˆ b c g(x)h(y) dx dy ˆ d c c (ˆ b ) (ˆ d ) (ˆ b ) h(y) g(x) dx dy h(y) dy g(x) dx. c c O fcto dos integris iterdos dos últimos exemplos serem iguis não é cidentl, como veremos de seguid.

15 1.4 Teorem de Fubini. Aplicção do integrl iterdo o cálculo de volumes Teorem de Fubini. Aplicção do integrl iterdo o cálculo de volumes. Historicmente, o cálculo de integris iterdos é bsedo num método geométrico desenvolvido pelo mtemático itlino Bonventur vlieri ( ) pr clculr o volume de certos sólidos: Proposição 3 (Método d secção) Sej S um sólido de R 3 e consideremos fmíli {P x } x b dos plnos pssndo por (x,,) e prlelos o plno yz tl que: 1. S está contido entre P e P b,. A áre d intersecção P x S é dd por A(x). Se função A : [,b] R for integrável então o volume V de S é ddo por: V ˆ b A(x) dx. Figur 1.11 O Método d Secção. NOTAS: 1. Vmos dr um interpretção geométric deste resultdo. hm-se S x intersecção entre P x e S, o cilindro de bse S x e ltur o infinitésimo dx tem por volume A(x)dx. O volume de S é ddo pel som desses volumes infinitesimis. Note-se que se trt qui de um interpretção intuitiv: não existem lturs infinitesimis!. A proposição é obvimente válid se substituirmos P x por um fmíli {P y } c y d de plnos prlelos o plno xz desde que S estej contido entre P c e P d. O mesmo contece com plnos prlelos xy.

16 1 1. álculo integrl em R n : Integris duplos EXEMPLO 1: álculo do volume do sólido S delimitdo pelo plno z 1 x e o rectângulo R [,1] : Pr x [,1], intersecção do plno P x, pssndo por (x,,) e prlelo o plno yz, com o sólido S é um rectângulo de comprimento 1 e de lrgur 1 x; su áre é dd por A(x) 1 x. O Método d Secção permite-nos concluir que o volume de S é: V (1 x)dx ] 1 [x x 1. Figur 1.1 O sólido do Exemplo 1. EXEMPLO : Volume de um sólido de revolução Sej f um função contínu e não negtiv no intervlo [, b]. onsideremos região R do plno limitd pelo eixo dos xx, s rects de equção x, x b e o gráfico de f, R {(x,y) R : y f(x) x [,b]}. Figur 1.13 Um sólido de revolução. A rotção de R em torno do eixo dos xx permite-nos definir um sólido de revolução S. Sej P x, pr cd x [,b], o plno pssndo por (x,,) e prlelo o plno yz. A secção

17 1.4 Teorem de Fubini. Aplicção do integrl iterdo o cálculo de volumes. 13 S x P x S é um disco de centro (x,,) e rio f(x). A áre de S x é dd por : Logo pelo Método d Secção, o volume de S é: A(x) π [f(x)]. V ˆ b π [f(x)] dx. O resultdo seguinte permite-nos firmr que nos integris duplos sobre rectângulos ordem de integrção é irrelevnte, e fz ligção entre o integrl duplo construído com s soms de Drboux e os integris iterdos: Teorem (Teorem de Fubini) Sej f : R [, b] [c, d] R um função contínu. Então ˆ d ˆ b ˆ b ˆ d f(x,y)da f(x,y)dxdy f(x,y)dy dx. R c c Demonstrção: A demonstrção rigoros deste teorem está for do âmbito deste curso. Vmos dr pens um idei geométric no cso em que função f é não negtiv. Qundo construímos o integrl duplo como limite de soms de Drboux, vimos que o volume V do sólido S limitdo superiormente pel superfície de equção z f(x, y) e inferiormente pel região R é ddo por: V f(x,y)da. R Figur 1.14 Os cortes n superfície S. Grçs o Método d Secção temos um outr mneir de clculr esse volume. onsideremos pr x [,b] o plno P x pssndo por (x,,) e prlelo o plno yz. Fixndo x x no intervlo [,b], intersecção S x P x S é um região pln limitd pelos plnos xy, y c, y d e curv de equção z f(x,y). Recorrendo à teori de integrção de funções reis, áre de S x é dd por: A(x ) ˆ d c f(x,y)dy.

18 14 1. álculo integrl em R n : Integris duplos O Método d Secção permite-nos concluir que o volume de S é: ˆ b ˆ b [ˆ d ] ˆ b ˆ d V A(x)dx f(x,y)dy dx f(x,y)dy dx. c Vmos gor plicr o método d secção à fmíli de plnos Q y pssndo por (,y,) e prlelos xz. Fixndo y y no intervlo [c,d], intersecção R y Q y S é um região pln limitd pelos plnos xy, x, x b e pel curv de equção z f(x,y ). omo nteriormente, áre de R y é dd por: B(y ) ˆ b f(x,y )dx. Aplicndo o Método d Secção, temos que: ˆ d ˆ d [ˆ b ] V B(y)dy f(x,y)dx dy Podemos então concluir que V f(x,y)da c R c ˆ d ˆ b c f(x,y)dxdy c ˆ d ˆ b c ˆ b ˆ d c f(x,y)dxdy. f(x,y)dy dx. EXEMPLO 3: álculo do volume do sólido limitdo superiormente pel superfície de equção z y x e inferiormente pel região rectngulr R [ 1,1] [1,3]. Figur 1.15 O sólido do Exemplo 3. V ˆ (y x )dy dx 1 [ y 3 3 x y ] 3 1 dx 1 ( 6 3 x) dx 16. EXEMPLO 4: álculo do volume do sólido limitdo superiormente pelo prbolóide elíptico z 16 x y, os plnos x, y e os três plnos coordendos (ver Figur 1.16). V ˆ ˆ ˆ (16 x y )dxdy ( y) dy 4 3 ˆ [ y y 3 ] 48. ] [16x x3 3 xy dy

19 1.5 Integris duplos sobre domínios geris 15 Figur 1.16 Dus perspectivs do prbolóide elíptico do Exemplo Integris duplos sobre domínios geris Definimos nteriormente integrl duplo sobre um conjunto rectngulr. Pretendemos generlizr ess definição outrs regiões limitds do plno. Ddo que regiões no plno podem ser muito complexs, vmos restringir-nos três tipos de conjuntos. No que se segue usremos expressão fronteir suficientemente regulr com o seguinte sentido: fronteir do domínio é constituíd por curvs que representm os gráficos de funções reis de vriável rel, contínus num intervlo. Adinte veremos com mis profundidde o significdo dest expressão. Figur 1.17 Um conjunto limitdo. Sej um conjunto limitdo do plno, com fronteir suficientemente regulr. onsideremos f : R R um função limitd em. Sendo limitdo, existe um rectângulo R que contém. Pr definir o integrl duplo de f sobre região, começmos por prolongr f o

20 16 1. álculo integrl em R n : Integris duplos rectângulo R. Sej f o prolongmento de f definido do seguinte modo: f(x,y) { f(x,y), se (x,y),, se (x,y) R \. Definição Se f é integrável no rectângulo R então f é integrável em. Podemos definir f da R f da. NOTAS: 1. N relidde, é sempre o cso se f for contínu no conjunto e se fronteir de for regulr. Veremos n secção seguinte exemplos de tis conjuntos.. É importnte notr que definição do integrl duplo de f sobre não depende d escolh do rectângulo R. Sej R um rectângulo tl que R,temos: f da R R f da + R \R f da. Verific-se que pr todo (x,y) R \ R, temos f(x,y), logo : R \R f da. 3. Se f(x,y) em temos f(x,y) em R. onsideremos o sólido S limitdo superiormente pel superfície de equção z f(x,y) e inferiormente pelo conjunto. Sej S o sólido limitdo superiormente pel superfície de equção z f(x,y) e inferiormente pelo rectângulo R. A diferenç entre os dois sólidos é constituíd pelos pontos de R que não pertencem e tem um contribuição nul pr o volume de S, logo S e S têm o mesmo volume: Volume(S) Volume( S) f da. De modo gerl, sejm f 1 e f dus funções integráveis num conjunto e tis que: f 1 f. O volume do sólido S limitdo superiormente pelo gráfico de f 1 e inferiormente pelo gráfico de f é: Volume(S) (f 1 f )da. Est definição não é útil pr clculr directmente integris duplos sobre regiões geris, no entnto, sbendo que esses integris podem ser interpretdos como volumes podemos clculr certos csos simples.

21 1.6 onjuntos básicos 17 EXEMPLO: Sendo {(x,y) R : x + y 1} e f função constnte de vlor 3, clculr: f da. O sólido limitdo superiormente pelo gráfico de f e inferiormente por é um cilindro de ltur 3 e áre d bse π. Logo o seu volume é 3π: f da 3π. 1.6 onjuntos básicos N secção nterior, o definir integrl duplo em regiões não rectngulres, fizémos referênci três tipos de conjuntos. Nest secção vmos definir esses conjuntos e deduzir um método reltivmente gerl pr clculr integris duplos sobre esses conjuntos. Definição Um região V do plno diz-se verticlmente simples se existirem, b R, < b, g 1 e g dus funções contínus em [,b] tis que: V {(x,y) R : x b g 1 (x) y g (x)}. Figur 1.18 Um conjunto verticlmente simples. Proposição 4 Sej f contínu num região, V, verticlmente simples. Então V f da ˆ b ˆ g (x) g 1 (x) f(x,y)dy dx. Demonstrção: Sej R [, b] [c, d] um rectângulo que contém V. Definimos como n secção nterior um função f: { f(x,y), se (x,y) V, f(x,y), se (x,y) R \ V.

22 18 1. álculo integrl em R n : Integris duplos Por definição e plicndo o Teorem de Fubini, temos: ˆ b f da f da V R ˆ d c f(x,y)dy dx. Sendo f nul no complementr de V e igul f em V temos pr x b: ˆ d c f(x,y)dy Logo podemos concluir que: f da V ˆ g (x) g 1 (x) f(x,y)dy ˆ b ˆ g (x) g 1 (x) ˆ g (x) g 1 (x) f(x,y)dy dx. f(x,y)dy. EXEMPLO 1: lculemos o integrl (x + y)da, onde D é o conjunto representdo n Figur O conjunto D é um conjunto verticlmente simples: D D {(x,y) R : 1 x 1 x y 1 + x }. Figur 1.19 Um conjunto verticlmente simples. D 1 (x + y)da +x 1 x (x + y)dy dx ( 3x 4 x 3 + x + x + 1)dx 1 1 [ xy + y ] 1+x x dx [ 3x5 5 x4 4 + x3 3 + x + x ] EXEMPLO : álculo do volume do sólido limitdo superiormente pelo plno z 1 x e inferiormente pel região: V {(x,y) R : x 1 x y 1 + x }.

23 1.6 onjuntos básicos 19 Figur 1. Volume sobre um conjunto verticlmente simples. Sendo V verticlmente simples, pel proposição nterior temos que o volume do sólido é ddo por: +x (1 x)da (1 x)dy dx [y xy] 1+x x dx V (1 x + x x 3 )dx De mneir nálog podemos definir: x [x x + 3 ] 1 x3 x Definição Um região H do plno diz-se horizontlmente simples se existirem c,d R, c < d, h 1 e h dus funções contínus em [c,d] tis que: H {(x,y) R : c y d h 1 (y) x h (y)}. Figur 1.1 Um conjunto horizontlmente simples. Tl como no cso ds regiões verticlmente simples, temos pr s regiões horizontlmente simples o resultdo seguinte: Proposição 5 Sej f contínu num região, H, horizontlmente simples. Então ˆ d ˆ h (y) fda f(x,y)dxdy. H c h 1 (y)

24 1. álculo integrl em R n : Integris duplos EXEMPLO 3: álculo do volume do sólido limitdo superiormente pelo gráfico d função f(x,y) x e limitdo inferiormente pel região: H {(x,y) R : y 1 y x e y }. Sendo H horizontlmente simples o volume do sólido é ddo por: 1 ˆ ey 1 [ ] e y xda ˆ xdxdy ˆ 3 x3 dy 3 H y 3 [ 3 e3 y ] 1 5 y 5 ( ) e3. 15 y (e 3 y y 3 )dy Figur 1. O domínio de integrção do Exemplo 3. Note-se que há regiões do plno que são simultnemente horizontl e verticlmente simples. hmremos regiões mists esse tipo de conjuntos. Figur 1.3 Um região mist. EXEMPLO 4: O círculo {(x,y) R : x + y 1} é um região mist (ver Figur 1.3). De fcto é horizontlmente simples:

25 1.6 onjuntos básicos 1 e verticlmente simples: {(x,y) R : 1 x 1 1 x y 1 x }, {(x,y) R : 1 y 1 1 y x 1 y }. EXEMPLO 5: O conjunto {(x,y) R : x 1 x y x} é verticlmente simples. Verific-se que: logo é um conjunto misto. {(x,y) R : y 1 y x y}, Figur 1.4 Um região mist. De modo gerl, se f é um função contínu num região mist, tem-se: ˆ b ˆ g (x) ˆ d ˆ h (y) f da f(x,y)dy dx f(x,y)dxdy. g 1 (x) EXEMPLO 6: lculemos o integrl c h 1 (y) (x + y )da onde é o conjunto representdo n Figur 1.5. A região de integrção é um região mist. onsiderndo est região como verticlmente simples temos: ˆ ˆ x ˆ ] x (x + y )da (x + y )dy dx [x y + y3 dx x 3 x ˆ ) [ ] (x 3 + 8x3 3 x4 x6 14 dx 3 3 x4 4 x5 5 x onsiderndo região como horizontlmente simples temos: ˆ 4 ˆ y ˆ 4 [ x (x + y )da (x + y 3 )dxdy 3 + xy y ] y y dy

26 1. álculo integrl em R n : Integris duplos Figur 1.5 A região de integrção do Exemplo 6. ˆ 4 ( y ) [ y 5 y3 4 y3 ] 4 y dy 5 + y y Em certos csos lgum dos integris iterdos precedentes pode não ser fácil de clculr, utilizndo-se então um técnic denomind mudnç d ordem de integrção ou inversão d ordem de integrção. Vejmos lguns exemplos. EXEMPLO 7: álculo de ˆ 8 ˆ 3 y e x4 dxdy invertendo ordem de integrção. lculr directmente este integrl iterdo torn-se impossível porque função f(x) e x4 não dmite um primitiv que se escrev de form elementr. O primeiro psso é interpretr este integrl iterdo como um integrl duplo num conjunto horizontlmente simples: ˆ 8 ˆ e x4 dxdy e x4 da, 3 y com {(x,y) R : y 8 3 y x }. Figur 1.6 O conjunto do Exemplo 7.

27 1.6 onjuntos básicos 3 om jud d representção gráfic de (ver Figur 1.6), o segundo psso é notr que é um região mist: {(x,y) R : x y x 3 } é verticlmente simples, logo: ˆ 8 ˆ e x4 dxdy 3 y ˆ EXEMPLO 8: álculo de [ye x4] x 3 dx ˆ e x4 da x 3 e x4 dx ˆ ˆ x3 [ ] e x4 4 e x4 dy dx 1 4 (e16 1). x x 3 sen(y 3 )dy dx invertendo ordem de integrção. Figur 1.7 O conjunto do Exemplo 8. Notr que este integrl iterdo é um integrl duplo sobre um região verticlmente simples: {(x,y) R : x 1 x y 1}. om jud de um representção gráfic verific-se que é um conjunto misto: {(x,y) R : y 1 x y}, logo: [ x 4 x 3 sen(y 3 )dy dx x 4 sen(y3 ) ] y dy x 3 sen(y 3 )da ˆ y y [ 4 sen(y3 )dy 1 ] 1 1 cos(y3 ) x 3 sen(y 3 )dxdy 1 cos(1). 1 EXEMPLO 9: lculemos o volume do sólido limitdo superiormente pel superfície de equção z x e inferiormente pel região: {(x,y) R : y 1 y x 1}.

28 4 1. álculo integrl em R n : Integris duplos Sendo horizontlmente simples, o volume procurdo tem por expressão: 1 V x da ˆ x dxdy. y Não sbemos clculr um primitiv d função x Temos que mudr ordem de integrção. Sendo um conjunto misto: temos: V ˆ x [ 9 (x3 + 1) 3 {(x,y) R : x 1 y x } x dy dx ] 1 9 (3 1). [ ] x y x dx x x dx EXEMPLO 1: lculemos o integrl Figur 1.8 O conjunto do Exemplo 9. x sen(y )dy dx. A função sen(y ) não é elementrmente primitivável em ordem y, portnto, vmos inverter ordem de integrção. {(x,y) R : x 1 x y 1} {(x,y) R : y 1 x y}. Podemos escrever iguldde sendo o integrl fcilmente clculdo: ˆ y sen(y )dxdy x sen(y )dy dx ˆ y sen(y )dxdy, sen(y )[x] y dy y sen(y )dy [ ] 1 cos(y ) 1 cos(1).

29 1.7 Mudnç de vriáveis 5 Figur 1.9 O conjunto do Exemplo 1. Teorem (Teorem d Médi) Sejm D um conjunto básico e f : D R um função contínu. Então existe (, b) D tl que f(x,y)da f(,b)a(d), onde A(D) é áre de D. 1.7 Mudnç de vriáveis D Qundo estudámos o integrl definido, vimos que lguns integris são mis fáceis de clculr utilizndo um integrção por substituição: ˆ b f(x)dx ˆ β α f(φ(t))φ (t)dt, onde f é um função contínu e φ é um função bijectiv de clsse 1 tl que φ(α) e φ(β) b. Vmos gor ver um fórmul nálog no cso dos integris duplos. Suponhmos que um Figur 1.3 O conjunto S é trnsformdo no conjunto R. região S no plno uv é trnsformd, de form injectiv, num região R no plno xy pels equções x x(u, v), y y(u, v) (ver Figur 1.3). R é imgem de S por est trnsformção e S é imgem invers de R. De fcto, qulquer função f(x,y) definid em R pode ser encrd

30 6 1. álculo integrl em R n : Integris duplos como um função f(x(u,v),y(u,v)) definid em S. A questão é sber como se relcion o integrl de f(x,y) sobre R com o integrl de f(x(u,v),y(u,v)) sobre S. Sejm R e S dois conjuntos básicos de R : por exemplo conjuntos que sejm horizontl ou verticlmente simples. Sej T : S R um função vectoril definid por: (u,v) S, T(u,v) (x(u,v),y(u,v)). Sbemos que se T for diferenciável em (u,v ) podemos definir o seu jcobino nesse ponto: x (x, y) (u,v) (u,v ) u (u x,v ) v (u,v ) y u (u y,v ) v (u,v ) Teorem Sejm f : R R um função contínu e T : S R um função vectoril tl que T(S) R e (i) T é de clsse 1, (ii) T é injectiv no interior de S, (iii) o jcobino de T não se nul em int(s): Então R (u,v ) int(s), f(x,y)da EXEMPLO: lculemos o integrl S (x, y) (u,v) (u,v ). f(x(u,v),y(u,v)) (x, y) (u, v) dudv. (x xy y )dxdy usndo mudnç de vriável ( R u + v definid por T(u,v), v u ), e onde R é região do primeiro qudrnte limitd 3 3 pels curvs y x + 4, y x + 7, y x e y x + 1 (ver Figur 1.31). A função T trnsform s rects que definem o conjunto R ns rects v 4, v 7, u e u 1. Além disso, o jcobino de T é portnto, (x, y) (u,v) (u,v ) R ˆ 7 ˆ x u (u,v ) y u (u,v ) R x v (u,v ) 1 y 3 v (u,v ) 3 (x xy y )dxdy (x + y)(x y)dxdy 4 1 ˆ uv dudv v [ u ] 1 dv ˆ v dv S [ v 4 1 uv dudv 3 ]

31 1.7 Mudnç de vriáveis 7 Figur 1.31 O conjunto S é trnsformdo no conjunto R Mudnç de vriáveis em coordends polres No cso ds coordends polres, função de substituição tem seguinte expressão: T : [,+ [ [,π[ R T(r,θ) (x(r,θ),y(r,θ)) (r cos θ,r sin θ). T é sobrejectiv, é injectiv em ],+ [ ],π[ e o jcobino é diferente de zero nesse conjunto: x x (x, y) (r,θ) cos θ r sin θ r θ y y r cos (θ) + r sin (θ) r. sinθ r cos θ r θ Logo, no cso ds coordends polres, fórmul de mudnç de vriável nos integris duplos é: f da f(r cos θ,r sin θ)r dr dθ, R onde o conjunto R é o conjunto R visto no plno ds coordends polres. R Est função é prticulrmente útil porque trnsform regiões rectngulres no plno rθ em regiões circulres no plno xy. Por exemplo, se >, T plic região do plno rθ n região R {(r,θ) : r θ < π} R {(x,y) : x + y } do plno xy, como se pode ver no Exemplo. Mis gerlmente, quisquer que sejm α e β, α < β < π, T trnsform região R {(r,θ) : r α θ < β} do plno rθ n região R do plno xy que é o sector circulr d bol fechd de centro em (,) e rio compreendido entre os ângulos α e β. omo se pode ver no Exemplo 1, T trnsform regiões rectngulres do plno rθ em coros circulres no plno xy.

32 8 1. álculo integrl em R n : Integris duplos EXEMPLO 1: álculo de R e x +y da onde R está definido por (ver Figur 1.3): R {(x,y) R : x y 1 x + y 4}. O primeiro psso pr clculr este integrl é encontrr o conjunto R que é representção de R no plno ds coordends polres. Figur 1.3 O conjunto R do Exemplo 1. Utilizndo um representção geométric de R tem-se que s condições x y correspondem no plno ds coordends polres : Notndo que: θ π. x + y (r cos θ) + (rsenθ) r (cos θ + sen θ) r, tem-se que condição 1 x + y 4 corresponde no plno ds coordends polres : 1 r 4 1 r. Podemos concluir que R se represent no plno ds coordends polres por: R {(r,θ) : 1 r θ π }. Finlmente, pelo teorem d mudnç de vriável plicdo às coordends polres tem-se: ˆ πˆ e x +y da e r ˆ π [ ] r dr dθ re r 1 dr dθ er dθ π 4 (e4 e). R R 1 EXEMPLO : lculemos o volume do sólido S limitdo pelo plno z, o cilindro x +y 1 e o prbolóide de equção z x + y. A intersecção do cilindro com o plno z é circunferênci de equção x + y 1. O sólido estuddo é ssim limitdo superiormente pelo prbolóide e inferiormente pelo disco x + y 1 do plno xy. O volume de S é ddo pelo integrl duplo: V (x + y )da, R 1

33 1.7 Mudnç de vriáveis 9 Figur 1.33 O sólido do Exemplo. onde R {(x,y) R : x + y 1}. No plno ds coordends polres, R represent-se como o conjunto: R {(r,θ) : r 1 θ < π}. Figur 1.34 Os conjuntos R e R do Exemplo. Utilizndo mudnç de vriáveis em coordends polres temos: ˆ π r 3 dr dθ V r 3 dr dθ R EXEMPLO 3: álculo de (x + y)da onde R é região R ˆ π [ r 4 4 ] 1 dθ π. R {(x,y) R : x + y 4 (x ) + y 4 x y }. Notndo que: x + y (r cos θ) + (rsenθ) r (cos θ + sen θ) r, verificmos que condição x + y 4 corresponde no plno ds coordends polres : r 4 r,

34 3 1. álculo integrl em R n : Integris duplos Figur 1.35 Os conjuntos R e R do Exemplo 3. e condição (x ) + y 4 corresponde : (r cos(θ) ) + r sen (θ) 4 r 4cos(θ). Podemos concluir que R se represent no plno ds coordends polres por: Então R ˆ π 3 ˆ π 3 ˆ π 3 ˆ π 3 (x + y)da 16 3 R R {(r,θ) : r 4cos(θ) θ π 3 }. ( ) ˆ π 3 r cos(θ) + r sen(θ) r dr dθ ˆ 4cos(θ) r ( ) cos(θ) + sen(θ) dr dθ ( ) [ r 3 ] 4cos(θ) ˆ π ( ) ( 3 64 cos(θ) + sen(θ) dθ cos(θ) + sen(θ) 3 3 cos3 (θ) 8 ) dθ 3 ( 64 3 cos4 (θ) 8 3 cos(θ) sen(θ)cos3 (θ) 8 ) 3 sen(θ) dθ ( ) 1 + cos(θ) dθ + [ 8 3 sen(θ) 16 3 cos4 (θ) + 8 ] π 3 cos(θ) 3 16 ( 1 + cos(θ) + cos(4θ) 3 16 [ 3 3 θ + sen(θ) sen(4θ) 8π ) dθ ] π π EXEMPLO 4: lculemos o integrl R y da onde R é região representd n Figur A curv que delimit o conjunto chm-se crdióide e, em coordends polres, tem equção r 1 + cos θ.

35 1.7 Mudnç de vriáveis 31 No plno de coordends polres, R represent-se como um conjunto R ddo por: R {(r,θ) : r 1 + cos θ θ π }. Figur 1.36 O conjunto R do Exemplo 4. Logo utilizndo mudnç de vriáveis em coordends polres tem-se: R y da rsen(θ)r dr dθ R ˆ π [ r 3 sen(θ) 3 ] π (1 + cos(θ))4 [ 1 ˆ π ] 1+cos(θ) +cos(θ) dθ ˆ π r sen(θ)dr dθ sen(θ) (1 + cos θ) 3 dθ 3

36 3 1. álculo integrl em R n : Integris duplos 1.8 Exercícios Propostos 1. lcule os seguintes integris () (b) (c) (d) ˆ 3 ˆ π π 4 1 ˆ 1 x y dx; cos(x + y)dy; (x + y )dx; (1 + 4xy)dx;. lcule os seguintes integris (e) (f) (g) ˆ 3 (4 x y)dy; x y dy; x y dx. () (b) (c) 1 ˆ 3π ˆ 3 5π ˆ e ˆ log() 1 1 xdy dx; sen (x)dy dx; e x dxdy; (d) (e) (f) ˆ 1 ˆ π π ˆ 3 x 4 ye x y dy dx; xsen(y) dx dy; x x + y dy dx. 3. lcule os seguintes integris () xda, onde R {(x,y) R : x 1 1 y 1}; (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) R R R R R R R D e x+y da, onde R {(x,y) R : x y }; (xy + 3)dA, onde R {(x,y) R : 1 x 1 y 3}; e y da, onde R {(x,y) R : x 3 y }; y (x + 1) da, onde R {(x,y) R : x 1 1 y }; y sec (xy)da, onde R {(x,y) R : x π 4 y 1}; y sen(xy)da, onde R {(x,y) R : 1 x y π}; xy dxdy, onde D {(x,y) R : x 3 y 4}.

37 1.8 Exercícios Propostos Esboce região de integrção: () (b) ˆ y ˆ x f(x,y)dxdy; f(x,y)dy dx; (c) (d) ˆ ˆ x 1 f(x,y)dy dx; y f(x,y)dxdy. 5. Invert ordem de integrção: () (b) (c) (d) ˆ ˆ 9 x ˆ ˆ 4 x ˆ x ˆ 3 3y f(x,y)dy dx; f(x,y)dy dx; f(x,y)dy dx + f(x,y)dxdy. 6. lcule os seguintes integris ˆ ˆ x 1 f(x,y)dy dx; () (b) (c) (d) (e) (f) (g) ˆ y ˆ x 1 x ˆ 4 ˆ 1 ˆ 3 ˆ x+ x y 3 dxdy; dy dx; x log(xy)dy dx; 1 ˆ π ˆ sen(x) sen(x) ˆ 1 x 1 x y x dy dx; 1 + y e x dxdy; xy dy dx; x y dy dx; (h) (i) (j) (k) (l) (m) y x ˆ 4 ˆ ˆ π sen(x )dxdy; (1 y ) 1 dy dx; x e x dxdy; y y y cos(x 5 )dxdy; ˆ x xcos(xy)cos (πx)dxdy; x y dy dx. 7. Sej f(x,y) um função contínu em R. Determine os limites de integrção do integrl f(x,y)dxdy, qundo é: () {(x,y) R : y 8x y x y + 4x 4 }; (b) {(x,y) R : (x 1) + (y 3) 1}; (c) {(x,y) R : x 4 y x 1 y 4 }.

38 34 1. álculo integrl em R n : Integris duplos 8. Sej f(x,y) contínu no conjunto S R tl que S f(x,y)da ˆ 3 ˆ 5 y 4y/3 f(x,y)dxdy. () Determine o conjunto S e invert ordem de integrção. ˆ 4 (b) Resolv o problem supondo que f(x,y)da 9. lcule os seguintes integris: () (b) ˆ π ˆ π Q sen (x)sen (y)dxdy; y 3 e tx 4 dxdy, onde Q [,t] [1,t]. S ˆ y 4 4 y 1. Sej f definid em D [1,] [1,4] por { (x + y), se x y x f(x,y), nos restntes pontos de D Admitindo que existe 11. onsidere o integrl f(x, y) da, clcule-o. D ˆ 8 x x 4 dy dx + ˆ 1 x x 4 dy dx. f(x,y)dxdy. () Interprete o integrl como um áre de um subconjunto S R e clcule ess áre. (b) Invert ordem de integrção. (c) lcule xda e interprete geometricmente. S 1. lcule áre ds seguintes regiões: () Domínio limitdo por y x e y x; (b) Domínio limitdo por xy 1, xy, x y, y 4x, no primeiro qudrnte; (c) Domínio limitdo por y 8x,y x,y + 4x Determine, utilizndo integris duplos, áre do trpézio com vértices nos pontos (1, 1), (6,1), (,3) e (5,3). 14. Os seguintes integris iterdos representm o volume de um sólido. Fç um esboço do sólido e clcule o respectivo volume. () ˆ 5 ˆ 1 4dxdy;

39 1.8 Exercícios Propostos 35 (b) (c) ˆ ˆ ( x y)dy dx; (x + y )dxdy. 15. lcule, utilizndo integris, o volume compreendido entre os plnos z, z 1, x, x 1, y e y lcule os seguintes volumes: () Volume do sólido limitdo superiormente pelo cilindro prbólico z 1 x e inferiormente pelos plnos xy, y 1 e y. (b) Volume do sólido limitdo pelo plno x + y + 3z 6 e os plnos coordendos. (c) Volume do sólido limitdo pelos plnos z 1 + x + y, x, y 1 e os plnos coordendos. (d) Volume do sólido do 1 o octnte limitdo pelo prbolóide z x +y, o plno x+y 1 e os plnos coordendos. (e) Volume do sólido do 1 o octnte limitdo pelo cilindro prbólico z x e os plnos x y, y, z e x. 17. lcule o volume do subconjunto de R 3 limitdo por z x + y, z 6, x, y. 18. Interprete o integrl ˆ 1 y x + 4y 3 dxdy como volume de um sólido e clcule-o. 19. lcule o volume d região do primeiro octnte limitdo pels superfícies z x + y +, x + y 16 e z.. Determine o volume d região de R 3 limitd por x + y 1, x + z lcule o volume de um dos sólidos limitdos pels superfícies y 4x, z (x +y ), z 7.. lcule o volume do sólido limitdo pelo prbolóide z 1 x y e o plno z 1 y. 3. lcule o volume do sólido limitdo pelo prbolóide z 4 x y e o plno xy. 4. Dd um superfície pln S do plno xy cuj densidde é σ, chm-se centro de mss dess superfície um ponto de S cujs coordends (x,y) são dds por xσ dxdy y σ dxdy S x σ dxdy, y S σ dxdy S Determine s coordends do centro de mss de um superfície qudrngulr de ldo em que densidde em cd ponto é directmente proporcionl à distânci um dos ldos do qudrdo. S

40 36 1. álculo integrl em R n : Integris duplos Mudnç de vriáveis e coordends polres 1. lcule os seguintes integris () (b) (c) (d) ˆ ˆ 4 x ˆ ˆ y y D D 4 x x y dy dx; y y x + y dxdy; (x + y)da, onde D {(x,y) R : 1 x + y 5}; x y 3 da, onde D {(x,y) R : x + y 1 x y }.. Determine áre d região pln S {(x,y) R : x + y 1 (x 1) + y 1}. 3. Determine áre d figur pln limitd por (x 1) + y 1, (x ) + y 4, x, y, y 3 x. 4. lcule áre do conjunto R definido por {(x,y) : x + y 1 x + y 4 x + y x }. 5. lcule áre d região do 1 o qudrnte limitd pels curvs x +y 1, x +y 4, y x e y 3x. 6. Determine o volume do sólido compreendido entre os cilindros x + y 1, x + y 4, o plno xy e o prbolóide z x + y. 7. Determine o volume do sólido compreendido entre os prbolóides 3z 4 x y e z x + y. 8. lcule o volume d região limitd por z x + y, x + y 4 e z. 9. lcule, utilizndo integris duplos, o volume do sólido limitdo pels superfícies x +y + z 9 e x + y + z lcule o volume do sólido limitdo pels superfícies cilíndrics x +y 4x e z 4x. 11. lcule o volume do sólido do interior do prbolóide z x +y, limitdo pels superfícies x + y + z 9 e z Determine o volume do sólido limitdo pel prte d esfer x + y + z que é interior o prbolóide z x + y. 13. lcule o volume do sólido limitdo pels superfícies x + y 4, x + y 9, z, z lcule o volume do sólido do 1 o octnte limitdo pels superfícies x + y + z 9, x + y + z 4, z x + y, x, y, z.

41 1.8 Exercícios Propostos lcule o volume do sólido limitdo pelo prbolóide z 4 x y e o plno xy. 16. lcule o volume do sólido limitdo pel semi-esfer z 16 x y e o cilindro x + y onsidere função T : D R R definid por T(x,y) (x+y,x y). Verifique que é um mudnç de vriáveis e, utilizndo-, clcule áre do conjunto definido pels curvs (x + y) 4(x y) e x y onsidere função T : D R R definid por T(x,y) (x y,xy). Verifique que é um mudnç de vriáveis e, utilizndo-, clcule o integrl (x + y )xy da D onde D é região do 1 o qudrnte limitd pels curvs y x, y x 1, xy 1 e xy. 19. onsidere função T : D R R definid por T(x,y) (x y,xy). Verifique que é um mudnç de vriáveis e, utilizndo-, clcule o integrl (x y )x y (x + 4y )da D onde D é região do 1 o qudrnte limitd pels hipérboles x y 1, x y 3, xy 1 e xy.

42 38 1. álculo integrl em R n : Integris duplos

43 pítulo Integris triplos.1 Integris triplos em domínios prlelepipédicos Utilizndo um processo nálogo o d construção do integrl duplo, vmos definir o integrl de funções dependentes de três vriáveis. Sej P um região prlelepipédic de R 3, isto é, o conjunto definido por: P {(x,y,z) R 3 : 1 x b 1 y b c 1 z c } [ 1, ] [b 1,b ] [c 1,c ], representdo n Figur.1. Figur.1 Um prlelepípedo. De modo nálogo o processo visto no csos dos rectângulos de R, podemos subdividir P em pequenos prlelepípedos (ver Figur.): Definição.1.11 Ddos n + pontos 1 x < x 1 <... < x n < x n+1, m + pontos b 1 y < y 1 <... < y m < y m+1 b e l + pontos c 1 z < z 1 <... < z l < z l+1 c, o conjunto dos (m + 1)(n + 1)(l + 1) prlelepípedos d form P ijk [x i,x i+1 ] [y j,y j+1 ] [z k,z k+1 ],

44 4. Integris triplos Figur. Um prtição de um prlelepípedo. chm-se prtição de P. NOTA: De modo nálogo o cso ds prtições de rectângulos, temos: P P ijk i n j m k l e verificndo pr P ijk P i j k, int(p ijk) int(p i j k ). Definição.1.1 Sej f : D R 3 R um função limitd, P um prlelepípedo contido em D e Π um prtição de P. hm-se som inferior de Drboux de f, reltiv à prtição Π s Π (f) n m l i j k V (P ijk ) inf f(x,y,z), (x,y,z) P ijk onde V (P ijk ) (x i+1 x i )(y j+1 y j )(z k+1 z k ) é o volume do prlelepípedo P ijk. D mesm form, chm-se som superior de Drboux de f, reltiv à prtição Π n m l S Π (f) i j k V (P ijk ) sup f(x,y,z). (x,y,z) P ijk

45 .1 Integris triplos em domínios prlelepipédicos 41 Definição.1.13 Sej f : D R 3 R um função limitd e P um prlelepípedo contido em D. Diz-se que f é integrável em P se sup s Π (f) inf S Π(f), Π P Π P onde P é o conjunto de tods s prtições de P. Define-se nesse cso o integrl de f em P por: P f(x,y,z) dv sup s Π (f) inf S Π(f). Π P Π P Tl como no cso dos integris duplos, pode provr-se o seguinte: Proposição 6 Sej P um prlelepípedo. Se f é contínu em P então f é integrável em P. O integrl triplo verific s mesms proprieddes que o integrl duplo: Proposição 7 Sej f : D R 3 R um função limitd. 1. Sej P P 1 P um prlelepípedo reunião de dois prlelepípedos P 1 e P tis que int(p 1 ) int(p ). Se f é integrável em P 1 e em P, então f é integrável em P e P f dv f dv + P 1 P f dv.. Sej f integrável num prlelepípedo P. Então f é integrável em P e P f dv P f dv. 3. Sej f um função integrável num prlelepípedo P. Então f dv. P 4. Sejm f 1 e f dus funções integráveis num prlelepípedo P, e sej c R um constnte. Então (f 1 + cf )dv f 1 dv + c f dv. P P P

46 4. Integris triplos. Teorem de Fubini e integrl triplo iterdo omo no cso dos integris duplos, um método prático pr clculr os integris triplos é escrevê-los n form de integris iterdos. O Teorem de Fubini generliz-se os integris triplos d form seguinte: Teorem..6 (Teorem de Fubini) Sej f : P [ 1, ] [b 1,b ] [c 1,c ] R um função contínu. Então ˆ ˆ b ˆ c ˆ ˆ c ˆ b f(x,y,z)dv f(x,y,z)dz dy dx f(x,y,z)dy dz dx c 1 P 1 b 1 ˆ c ˆ b ˆ c 1 b c 1 f(x,y,z)dxdy dz. b 1 NOTAS: 1. O Teorem de Fubini grnte-nos que há 6 mneirs de clculr integrção é irrelevnte. P f dv : ordem de. onsideremos, por exemplo, o primeiro integrl iterdo do teorem: ˆ ˆ b ˆ c 1 b 1 c 1 f(x,y,z)dz dy dx. Este clcul-se de modo similr os integris iterdos duplos: ˆ ˆ b ˆ c ˆ (ˆ b (ˆ c ) ) c 1 f(x,y,z)dz dy dx f(x,y,z)dz dy dx. 1 b 1 1 omeçndo por integrr em ordem z e considerndo s vriáveis x e y como constntes: ˆ c c 1 b 1 c 1 f(x,y,z)dz A(x,y), seguir integrndo o resultdo em ordem y considerndo vriável x constnte: ˆ b b 1 A(x,y)dy B(x), pr finlmente integrr o resultdo em ordem x: ˆ 1 ˆ (ˆ b (ˆ c ) ) B(x)dx f(x,y,z)dz dy dx. 1 b 1 3. Nos cálculos nteriores dmitiu-se que sendo f contínu pr todo x função A(x,y) é contínu em ordem y, e B(x) tmbém é contínu. Sendo ssim, fz sentido integrr esss funções. c 1

47 . Teorem de Fubini e integrl triplo iterdo 43 EXEMPLO 1: lculemos o integrl ˆ ˆ 3 1 (x y + z 3 )dz dxdy: ˆ ˆ 3 ˆ 1 [y x3 3 + x (x y + z 3 )dz dxdy ] 3 dy 1 ˆ ˆ ˆ 3 ( ) 6 3 y dy ] 1 [x yz + z4 dxdy [ ] 6 6 y + y ˆ ˆ 3 1 ( x y + 1 ) dxdy EXEMPLO : lculemos o integrl ˆ π ˆ π 4 ˆ π ˆ π ˆ π ˆ π 4 ˆ π cos(x)sen(y)tg(z)dxdz dy EXEMPLO 3: lculemos o integrl cos(x)sen(y)tg(z)dxdz dy: ˆ π ˆ π 4 [ ] π sen(x) sen(y)tg(z)dz dy [ ] π [ ] π 4 log(cos(z)) sen(y)dy log( ) cos(y) 1 log(). ˆ ˆ 3 1 xyz dz dy dx: ˆ ˆ 3 1 [9x y ] xyz dz dy dx dx 1 ˆ 7 xdx 1 [xy z3 [ 7 4 x 3 ] 1 ] 3 dy dx 7 4. ˆ 1 9xy dy dx EXEMPLO 4: lculemos o integrl ˆ 1 1 [y x y4 4 (xz y 3 )dz dy dx ] dx 1 ˆ 1 ˆ [x z 1 (xz y 3 )dz dy dx: y3 z [ x (x 4)dx 4x EXEMPLO 5: lculemos o integrl I P ] 1 1 ] 1 dy dx 8. ˆ 1 ( ) x y3 dy dx yz sen(xy)dv. Vmos ver neste exemplo que um escolh correct d ordem de integrção pode fcilitr os cálculos. Sendo função integrnd contínu, pelo Teorem de Fubini tem-se: I ˆ ˆ π 1 yz sen(xy)dz dy dx ˆ ˆ π 1 [ z ] 1 y sen(xy)dy dx 1 ˆ ˆ π 1 y sen(xy)dy dx.

48 44. Integris triplos Integrndo por prtes o integrl em y tem-se: logo: 1 1 I 1 ˆ 1 ˆ Primitivndo por prtes tem-se: 1 ˆ ([ y cos(xy) ] π 1 x ( π cos(πx) [ sen(xy) + x x ( π cos(πx) + sen(πx) x x ˆ π ( cos(xy) x ) dx ] π ) dx. P( π cos(πx) ) sen(πx) + P( sen(πx) x x x ), P( π cos(πx) + sen(πx) x x ) sen(πx) x Finlmente, pel regr de Brrow tem-se: ) )dy dx +. I 1 [ sen(πx) ]. x 1 Note-se que pelo Teorem de Fubini, mudndo ordem de integrção pr: I ˆ π ˆ o integrl é muito mis fácil de clculr: I 1 ˆ π ˆ 1 ˆ π [ z ] 1 1 yz sen(xy)dz dxdy, y sen(xy)dxdy 1 (cos(y) cos(y))dy 1 [ ˆ π.3 Integris triplos em domínios geris [ ] cos(xy) dy 1 sen(y) sen(y) ] π. Sej S R 3 um conjunto limitdo. Define-se o integrl triplo em S de modo semelhnte o utilizdo pr o integrl duplo. onsideremos f : S R 3 R um função limitd. Pr definir o integrl triplo de f no conjunto S, começmos por substituir f pel função f definid d seguinte mneir: { f(x,y,z), se (x,y,z) S, f(x,y,z), se (x,y,z) P \ S, onde P é um prlelepípedo que contém S. A função f está definid em P, portnto, considerr su integrbilidde sobre o prlelepípedo P fz todo o sentido (ver Figur.3).

49 .3 Integris triplos em domínios geris 45 Figur.3 O domínio e um prlelepípedo que o contém. Definição.3.14 A função f é integrável em S se f for integrável no prlelepípedo P. Nesse cso, temos: f dv f dv. NOTAS: S 1. N relidde, é sempre este o cso se f for contínu no conjunto S e se fronteir de S for regulr. Veremos n secção seguinte exemplos de tis conjuntos e como clculr os seus integris.. omo vimos no cso do integrl duplo, definição do integrl triplo de f em S não depende d escolh do prlelepípedo P..3.1 onjuntos básicos de R 3 No âmbito deste curso, o cálculo de integris triplos será somente feito em certos tipos de conjuntos, que designremos por conjuntos básicos, e que pssmos definir. Definição.3.15 Um região S R 3 diz-se de tipo I se existirem um conjunto básico,, de R, e dus funções contínus, u 1, u, de R tis que S estej limitdo superiormente pelo gráfico de u e inferiormente pelo gráfico de u 1 : S {(x,y,z) R 3 : (x,y) u 1 (x,y) z u (x,y)}. P EXEMPLO 1: Os conjuntos S 1 {(x,y,z) R 3 : x 1 y 4 x z x y}

50 46. Integris triplos Figur.4 Um conjunto básico do tipo I. e S {(x,y,z) R 3 : y x y y 1 xy z x} são conjuntos de tipo I (ver Figur.5). Figur.5 onjuntos básicos do tipo I. Veremos seguir como clculr integris nestes conjuntos. Temos o resultdo seguinte: Proposição 8 Sej f : D R 3 R um função contínu. Se S D é um região de tipo I então (ˆ ) u (x,y) f(x,y,z)dv f(x,y,z)dz da. S u 1 (x,y) Demonstrção: Vmos demonstrr o resultdo no cso em que é um conjunto verticlmente simples de R : {(x,y) R : 1 x g 1 (x) y g (x)}. O rciocínio no cso de um conjunto horizontlmente simples é idêntico. Sendo S limitdo é possivel encontrr um prlelepípedo P, P [ 1, ] [b 1,b ] [c 1,c ]

51 .3 Integris triplos em domínios geris 47 que contém S. Sendo f contínu e o conjunto S de fronteir regulr tem-se que f é integrável em S e por definição: f(x,y,z)dv f(x,y,z)dv, onde f é definid por: S f(x,y,z) P { f(x,y,z), se (x,y,z) S,, se (x,y,z) P \ S. Note-se que por definição de f, pr todo x [ 1, ], y [b 1,g 1 (x)[ ]g (x),b ] e z [c 1,c ], temos f(x,y,z). Logo pr x [ 1, ] e y [b 1,g 1 (x)[ ]g (x),b ] tem-se: ˆ c c 1 f(x,y,z)dz, o que nos permite concluir que pr x [ 1, ], ˆ b (ˆ c b 1 c 1 ) f(x,y,z)dz dy ˆ g (x) (ˆ c g 1 (x) c 1 ) f(x,y,z)dz dy. Por definição de f tem-se de modo nálogo que pr todo x [ 1, ], y [g 1 (x),g (x)] e pr z [c 1,u 1 (x,y)[ ]u (x,y),c ]: f(x,y,z). Logo pr tis vlores de x e y tem-se: ˆ c c 1 f(x,y,z)dz ˆ u (x,y) u 1 (x,y) f(x,y,z)dz ˆ u (x,y) u 1 (x,y) f(x,y,z)dz, logo pr x [ 1, ], ˆ b (ˆ c b 1 c 1 ) f(x,y,z)dz dy ˆ g (x) (ˆ u (x,y) g 1 (x) u 1 (x,y) f(x,y,z)dz ) dy. Os cálculos nteriores e o Teorem de Fubini permitem-nos concluir que: f(x,y,z)dv ˆ ˆ b ˆ c P 1 b 1 c 1 ˆ ˆ g (x) (ˆ u (x,y) 1 g 1 (x) EXEMPLO : lculemos o integrl S u 1 (x,y) f(x,y,z)dz f(x,y,z)dz dy dx ) dy dx. dv onde o sólido S é ddo por: S {(x,y,z) R 3 : x 1 y 1 x 1 xy z 1 + x + y}

52 48. Integris triplos Figur.6 O domínio de integrção do Exemplo é um conjunto básico do tipo I. (ver Figur.6). S é de tipo I, logo pel proposição nterior: S dv x +x+y x 1 xy dz dy dx (x + y + xy)dy dx x [xy + y (x(1 x ) + (1 x ) ) (1 + x) dx ( x 5 + x4 x3 x + 3 x + 1 [ ] 1+x+y z dy dx 1 xy ) dx 3 5. ] 1 x (1 + x) dx Definição.3.16 Um região S R 3 diz-se de tipo II se existir um conjunto básico,, de R, e v 1, v dus funções contínus de R tis que: S {(x,y,z) R 3 : (y,z) v 1 (y,z) x v (y,z)}. Figur.7 Um conjunto básico do tipo II. Por meio de um rciocínio nálogo o que foi feito pr s regiões de tipo I, prov-se: