A reengenharia do Cálculo segunda parte

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1 A reengenhri do Cálculo segund prte Prcino-Pereir, Trcisio 15 de fevereiro de 219 preprints d Sobrl Mtemátic no Editor Trcisio Prcino-Pereir trcisio@sobrlmtemtic.org Resumo Este é o segundo dum série de rtigos em que estrei escrevendo o plnejmento do meu livro de Cálculo, possivelemnte com o mesmo título seguido dum número de ordem. Neste estou mostrndo, resumidmente, o Cálculo Diferencil e Integrl ds funções polinomiis. plvrs chve: função polinomil, derivd de funções polinomiis, integrl de funções polinomiis. This is the second pper of series into plning my book in Clculus to finl drft. The title of the ppers will reflect they re together in gol by the nmes contining numbers which will identify their precedence, roughly. In this pper I m deling with the Differentil nd Integrl Clculus of polynomil functions in very resumed wy. keywords: derivtive of polynomil functions, integrl of polynomil functions, polynomil functions. trcisio@sobrlmtemtic.org 1

2 1 O desenvolvimento deste rtigo Eu vou desenvolver integrl e derivd do monômio f(x) = x n e pr simplicidde do texto, coerente com o objetivo dest série de préprints, eu vou me restringir o cso n = 3 deixndo pr leitor à expnsão o cso gerl dum polinômio qulquer. Estou usndo sem nenhum outr referênci o rtigo [9] que justific porque posso usr soms de Riemnn uniformes n proximção d integrl definid e tmbém vou usr o resultdo finl do [8] que mostr como clculr integrl do monômio f(x) = x n. O objetivo qui é chegr o teorem fundmentl do Cálculo Integrl. Nest primeir seção, eu vou mostrr que s funções polinomiis são contínus, o que todo mundo já sbe, e não represent nenhum novidde não ser porque estou usndo continuidde sequencil que é ignord nos livros de Cálculo. Com isto estrei montndo o prequesito pr s dus seções seguintes: integrl e derivd. 1.1 Continuidde ds funções polinomiis Vou me restringir o cso f(x) = x n,n = 3 um vez que os demis csos não oferecem nenhum novidde. Tmbém pr simplificr lingugem e notção, e eu estrei me referindo um função contínu, f qundo n verdde quero dizer f(x) = x n,n = 3. A teori que se encontr por bixo é que os números reis são clsses de equivlênci de sucessões de Cuchy do nel de tods s sucessões de números reis com o quociente sendo feito com o idel mximl ds sucessões que convergem pr zero tendo como consequênci um corpo. Entretnto num livro de Cálculo é suficiente mostrr s proprieddes dos limites que será o que vou fzer qui. A trdução dest frse mtemátic de ltíssimo nível, fim dum bo grdução é que s proprieddes do limite vlem: som de limites é o limite d som, produto dos limites é o produto dos limites, liás, est é um ds dificulddes do Cálculo presentd n form como o é hbitulmente, cois que pretendo romper qui, dificuldde. Tmbém, menos que eu o explicite o contrário, estrei sempre trblhndo com funções definids num intervlo fechdo d ret, ou no cso complexo, definids n bol B[,r] pr r suficientemente grnde e o usr est notção pr s bols, quero me referir às bols fechds. As proprieddes do limite são, n verdde, construção dos números reis que frá prte dum rtigo dest sequênci. A continuidde sequencil equivle pr o conjunto dos números reis, ou dos números complexos, à definição com épsilon e delts, fto este que é ignordo n grnde miori dos livros de Cálculo tornndo grnde miori ds demonstrções tortuoss comprds com s que vou fzer qui. Teorem 1 (As funções polinomiis) são contínus Dem : É consequênci de que o produto do limite é o limite do produto. Sej f(x) = x n,n = 3; (1) (x n ) n N ;x n ; um sucessão convergente; (2) então lim f(x n) = f(); (3) n= A equção (eq.1.3) é consequênci do limite do produto que é o produto dos limites. A sucessão (x n ) n N em lguns csos precis de pequens restrições um ds quis é que todos os termos um número finito estejm dentro do domínio de definição f, e isto precis ser dito. Ms não frei nenhum menção este observção n sequênci. q.e.d.

3 2 A INTEGRAL 2 E pr um polinômio qulquer vle que som dos limites é o limite d som. A continuidde deve ser trtd com bstnte cuiddo, por um ldo el se torn, no contexto ds funções polinomiis um exceção à regr, ms el é necessári pr grntir que s soms de Riemnn uniformes representm o limite comum de tods s soms de Riemnn no contexto em que estou trblhndo, e entendo que este ssunto deve ser trtd de form mrginl, o que signific, dr-lhe importânci ms slientndo que fz prte dum conceitução mis mpl que se plic qui o universo dos elementos que serão usdos. Isto dá um sensção de inutilidde o conceito de continuidde que é comum no ensino do Cálculo. Como entender que é importnte continuidde se tods s funções usds são contínus não ser lgums construíds especilmente pr serem exemplos de funções descontínus? Entretnto descontinuidde fz prte d vid diári, pens é de difícil observção e pens os pesquisdores envolvidos com questão é que podem observr su presenç. Um exemplo interessnte se me ocorreu outro dis observndo o comportmento dos insetos: eles procurm o encontro entre prede e o piso extmente porque í se dá um descontinuidde n luminosidde e que em lguns csos se dá por um frest do encontro d prede com o piso que eles percebem como um burco. Ms é muito difícil formulr este exemplo sob form dum equção, entretnto é um bom exemplo pr mostrr que existe descontinuidde e sugerir que se gurde um pouco pois é no estudo ds derivds que será fácil construir exemplos: curv d luz trvessndo um meio tem um derivd descontínu e função módulo tem um gráfico semelhnte oferecendo mesm descontinuidde n derivd. Ms é preciso chegr à derivd pr que preçm exemplos significtivos que não possm ser etiquetdos como produzidos pr se flr dum conceito que prece não ter exemplos n vid rel. Ns dus próxims seções vou trtr, neste ordem, d integrl e d derivd, reservndo um qurt seção pr o Teorem Fundmentl do Cálculo que poderá ser continução de qulquer ds dus nteriores, num tenttiv de me pzigur com os que preferem começr pel derivd. Sempre que volto est questão lembro-me dum ocsião em que, recentemente tendo feito concurso pr o Dep de Mtemátic d UEM, brindrm-me com um turm de repetentes pr dr uls de Cálculo. Comecei pel integrl ouvindo reclmções de lguns dos experimentdos repentes: ms não pode! ind não deu derivd!. Ao que lhes respondi, or, est é um turm de repetentes, todos qui já virm derivd! Lmento que Cournt não tenh ido fundo em su inversão, eu precisei de 3 nos pr refzer quilo que ele deixou incompleto, tlvez ele se ssustsse com possibilidde de enfrentr repetentes, cois muito comum entre os estudnte de Cálculo. Cournt foi um mrco importnte em minh formção como mtemático porque me iniciei em seu livro de Cálculo, inicilmente n verão em português ms posteriormente dquiri versão em inglês. Penso que um ds crcterístics de minh formção inicid com este livro mrcnte foi de que devemos mostrr o estudnte o cminho que poderá ser desenvolvido no futuro ms mnter os pés no presente. Então, devem precer teorems importntes no texto, ms nem sempre é importnte que preçm s demonstrções ou se precerem que sejm em letr pequen crcterizndo que o importnte e entender o teorem, fzer uso dele e gurdr um mior mdurecimento pr então dominr demonstrção que muits vezes pode ser feit com mis fcilidde posteriormente e estrei dndo qui lguns exemplos disto. O objetivo é brir horizontes e não fechá-los. 2 Integrl ds funções polinomiis Há lgum coincidênci entre est seção e últim seção de [8]. Ali o objetivo er mostrr um plicção do uso dos determinntes de Vndermonde que é o detlhe que vou omitir qui.

4 2 A INTEGRAL 3 N seção nterior provei que s funções polinomiis f são contínus e como tl uniformemente contínus sobre intervlos fechdos ou bols fechds e consequentemente s soms de Riemnn uniformes são um válido representnte de clsse pr o número f(x)dx. Interess-me gor determinr fórmul pr o cálculo exto dest integrl o que vou fzer no cso prticulr de f(x) = x 3 seguindo o método que venho usndo. Fcilmente leitor generlizrá o método pr o cso f(x) = x n e o meu trblho fic simplificdo. Considere seguinte list de equções e os comentários que vou tecer em seguid. f(x)dx = = f(x)dx n 1 k= f(x)dx+ f(x)dx f(x)dx = (4) f(x)dx; (5) f(k x) x = x n 1 k= k 3 x 3 = (6) = x 4 n 1 k 3 = x 4 P(n); x = b n ; (7) k= N equção (eq.2.4) usei um propriedde geométric d integrl que me permite dividir um integrl usndo um ponto médio, qui usei o zero e seri preciso estbelecer, e o fço gor, que [,b] de modo poder usá-lo como ponto médio. Observe que isto é um ds vntgens de que eu estej trblhndo com funções polinomiis, els estão definids em qulquer intervlo d ret ou do plno complexo de modo que sempre posso fzer est hipótese. N equção (eq.2.5) eu reescrevi integrl usndo o ponto médio e usndo outr propriedde d integrl que implic n troc do sinl compnhndo um troc n ordem dos terminis d integrção. A integrl é sensível o sentido em que estiver sendo clculd: f(x)dx = b f(x)dx = (8) Isto vi me permitir um simplificção nos cálculos que vou usr n próxim equção. N equção (eq.2.6) trnsformei o problem o cálculo d integrl usndo condição inicil. zero e um condição finl não zero. Mis frente você vi ver grnde vntgem em fzer ssim, e mesmo som se Riemnn ficou simplificd. Agor prece som de Riemnn uniforme que represent este cálculo proximdmente e n equção (eq.2.7) prece fórmul finl que depende dum polinômio P que clcul s soms ds terceirs potêncis dos n primeiros números nturis. Este polinômio, confir [7], é um polinômio do gru 4, sendo o resultdo gerl que som ds potêncis p dos n primeiros números nturis é P(n) em que P é um polinômio do gru p + 1. Tmbém você encontr em [7], o método pr encontrr equção de P em que prece um determinnte de Vndermonde e ind melhor em [8] em que mostro que interess clculr pens dois determinntes que são de Vndermonde. E no cso ds terceirs potêncis equção de P é P(x) = x2 +2x 3 +x 4 ; (9) 4

5 2 A INTEGRAL 4 que substituído n equção (eq.2.7) me dá x 4 n 1 k= k 3 = x 4 (n 1) 2 +2(n 1) 3 +(n 1) 4 4 = (1) = b4 ((n 1) 2 +2(n 1) 3 +(n 1) 4 ) 4n 4 = b4 (n 1) 2 + 4n 4 + 2b4 (n 1) 3 4n 4 + b4 (n 1) 4 4n 4 ; (11) b lim 4 ((n 1) 2 +2(n 1) 3 +(n 1) 4 ) n= 4n 4 f(x)dx = b4 4 ; = lim n= b 4 (n 1) 4 4n 4 = (12) b = lim n= 4 = b4 4 ; (13) b f(x)dx = 4 4 ; f(x)dx = b4 4 4 ; (14) Preciso explicr pssgem entre s equções cim, devido o uso do operdor limite. N equção (eq.2.1) e n equção (eq.2.11) eu usei ritmétic. N equção (eq.2.12) eu usei limite de sucessões. Eu vou deixr est explicção pr um rtigo posterior em que estrei construindo os números reis prtir de sucessões de números rcionis. Entretnto posso dintr que n equção (eq.2.11) você tem dus frções que dependem d vriável n em que o gru do numerdor é menor do que o gru do denomindor e nestes csos o operdor limite lhes tribui o vlor zero no o que é um propriedde deste operdor que precis ser estudd como frei em outro rtigo dest sequênci. N terceir frção s potêncis são iguis e operdor limite tribu à frção (n 1)4 o vlor 1 resultndo no vlor clculdo n n 4 equção (eq.2.13) E foi crid um notção pr simplificr o resultdo expresso n equção (eq.2.14) que é f(x)dx = F(x) b x4 ;F(x) = 4 ; (15) Vou retornr est expressão no finl d próxim seção qundo vou fzer conexão entre integrl e derivd com o Teorem Fundmentl do Cálculo Integrl. Ms vou dintr um pouco o serviço observndo que defini um nov função F pr compor est notção que simplific o cálculo d integrl. Deixe-me terminr mostrndo-lhe um outr propriedde d integrl que justific bem definição d função F que vou chmr de primitiv de f. Observe que clculei f(x)dx = b4 4 ; b f(x)dx = 4 4 ; x x f(x)dx = b4 4 4 ; (16) f(t)dt = x4 4 ; (17) N equção (eq.2.16) eu simplesmente copiei os resultdos que obtive nteriormente, e n equção (eq.2.17) eu fiz dus modificções: escrevi x f(t)dt e é preciso comentr um pouco respeito e pr tornr convers mis vívid, deixe-me escrever est expressão de novmente: f(t)dt; f(y)dy; f(x)dx; (18)

6 3 A DERIVADA 5 observndo que representm extmente mesm expressão. Neste momento é um pouco complicdo discutir o significdo de todos os símbolos envolvidos, ms n próxim seção vou conseguir vnçr um pouco mis neste sentido. Entretnto, já gor, deixe-me dizerlhe n expressão f(x)dx não tem sentido escolher um vlor pr x o que lguns utores chegm mesmo dizer que n expressão você não pode dr-lhe um vlor. f(x)dx não tem x o que é exto um vez que O símbolo dx tmbém não tem x e tmbém não é um vriável à qul se lhe poss dr um vlor. Ms existe um conexão entre x e dx que vou poder deixr mis clr n próxim seção. Há utores que sugerem que o símbolo d integrl foi construído com um longmento do somtório qundo se proveitou pr trnsformr diferenç x em dx. Eu não sei se est evolução corresponde à verdde históric, ms em frncês o sinl de integrl é chmdo de somme. É possível que est evolução tenh lgum justifictiv. Entretnto há dus questões que me fstm de usr est justifictiv: Pensr no dx como corruptel de x jud mnter vivo um conceito que nunc conseguiu encontrr um justifictiv teóric que é o infinitésimo. Não existem infinitésimos, e voltrei n próxim seção o ssunto. A notção de Leibniz é um exemplo de formlismo que mostr como Mtemátic é um met lingugem e como tl nd ext. A notção de Leibniz justific perfeitmente o dx e vou retornr el n próxim seção. Se eu lhe disser que tem imprecisões n Mtemátic, ou que Mtemátic não é um ciênci ext eu não estri dizendo nenhum mentir. Ms não é o meu objetivo dizer isto qui e sim dizer que Mtemátic é um lingugem que está longe de ter um estrutur unificd e que inclusive exitem diversos pesquisdores, mtemáticos, trblhndo n crição de teoris n tenttiv de encontrr um unificção gerl pr Mtemátic e possivelmente eles irão flhr com este objetivo específico ms certmente irão crir outrs teoris interessntes umentndo o gru de destruturção d Mtemátic... ms extmente est desestruturção é que torn Mtemátic um bonit teori. Qundo os bourbquists começrm o seu projeto e de cert form continundo o projeto de Hilbert, ms possivelmente não perceberm impossibilidde do projeto demonstrd por Gödel. Se nem mesmo é possível ter-se um xiomtizção complet dos números nturis, como grntir que Mtemátic tod tenh consistênci. O melhor dest históri é que nós, os mtemáticos, conseguimos viver muito bem com os defeitos inerentes d Mtemátic e conseguimos nos dptr em cd momento pr que os nossos cálculos fiquem extos... O limite é um destes problems que pervs Mtemátic e vou retornr ests questões n próxim seção qundo discutir notção de Leibniz. É válido flr que resolvi um equção diferencil de primeir ordem onde terminologi, condição inicil é mrcnte o crcterizr prtir de que ponto se mede um fenômeno que é este o significdo no Cálculo d integrl, clculr quntidde do fenômeno que f descreve. 3 A derivd ds funções polinomiis A derivd é usulmente introduzid geometricmente como o coeficiente ngulr d ret tngente o gráfico dum função e pss pelo uso dum sucessão de rets secntes que fornecem um proximção pr o coeficiente ngulr d ret tngente.

7 3 A DERIVADA 6 Não tenho nenhum créscimo significtivo fzer qui não ser n discussão sobre o limite que considero que foi um ds descoberts que fiz o longo ds diverss tenttivs de tornr o ssunto lógico dentro do qudro do ensino de Cálculo. O limite represent um slto lógico bem visível n construção dos números reis que será trtdo num dos rtigos dest sequênci e que é declrdo por Cournt em seu primeiro volume de Cálculo, [2], como o limir d Mtemátic Superior. Considere seguinte sucessão de cálculos f(x) = x 3 ; x > ; (19) f(x+ x) f(x) = (x+ x) 3 x 3 = (2) = x 3 +3x 2 x+3x x 2 + x 3 x 3 = (21) f = 3x 2 x+3x x 2 + x 3 ; (22) f x = 3x2 +3x x+ x 2 ; (23) lim x= f x = 3x2 ; (24) A pssgem pr s equções (eq.3.2), (eq.3.21), (eq.3.22), (eq.3.23), é ritmétic, todos os cálculos envolvidos se explicm com s regrs d ritmétic. A pssgem pr equção (eq.3.24), não é ritmétic e eu não sei lhe dr um justifictiv senão flndo que usei um novo operdor plicdo n expressão contid n equção (eq.3.23) que no primeiro membro tem um frção cujo denomindor é x, que não pode ssumir o vlor zero, ms o operdor limite encontr um vlor pr est expressão, neste cso, simplesmente clculndo o vlor d expressão à direit dndo-lhe o vlor x =. Qundo for possível encontrr, pel vi d ritmétic, um simplificção d expressão f x em que o denomindor sej elimindo, fcilmente posso obter o resultdo d plicção do operdor limite simplesmente clculndo o vlor d expressão substituindo x =. Extmente porque não se sbe explicr est pssgem é que não temos nenhum lgoritmo computcionl pr o cálculo de limites e com visão computcionl que temos hoje este lgoritmo não será escrito, trduzindo, não sbemos o que é limite for d Mtemátic onde ele é explicdo de forms vrids, tlvez mis precis como um filtro o longo dum cdei que é impossível usr nos primeiros nos do ensino universitário té porque nem todos os professores o entenderim. Ms linh de rciocínio que usei cim é possível de ser presentd com o comentário educdo e honesto de que não sbemos explicr o que é limite, ms que funcion, um pouco n linh d nedot d ferrdur pendurd n sl do físico Bohr, em lgum lugr de Copenhgue n décd de 2 qundo ele dizi que não creditv, obvimente, que ferrdurs dessem sorte, entretnto, crescentv, dizem que dá, mesmo pr queles que não creditm nisto, como Bohr que não creditv n sorte ds ferrdur, ms se beneficiou dels, vi por i presentção busc com do limite no Cálculo. A gente não sbe o que é, ms funcion! E não tem nenhum desonr, Cournt tmbém não sbi, ms sbi que funcionv, e soube fzer uso extensivo ns equções diferenciis prciis ds quis ele foi o mestre dos mestres de su époc. Consequênci d sequênci de cálculos ds equções(eq.3.19), (eq.3.2), (eq.3.21), (eq.3.22), (eq.3.23), (eq.3.24), é o próximo teorem deduzido de f(x) = x 3 : Teorem 2 (Derivd ds ) funções polinomiis Se f(x) = x n então f (x) = nx n 1 Como n construção de números reis eu vou mostrr em rtigo vindouro, que o operdor limite nos permite descobrir pontos de convergêncis de sucessões e mesmo definir novos tipos de números, gor, o limite plicdo um sucessão de secntes vi nos dr o coeficiente ngulr plvr chve Bohr vr mostr-lhe um versão dest históri...

8 3 A DERIVADA 7 d ret tngente o gráfico dum função, se est tngente existir. Flo de sequênci de rets tngentes porque eu poderi ter definido x n = 1 ;n 1;n N; (25) n e f n é o coeficiente ngulr dum ret tngente que pss nos pontos (x,f(x)),(x+ x n,f(x+ x n )); Você pode obter vários gráficos de rets tngente um função usndo o progrm TylorPolinomio.gnuplot que você encontr em [3, progrms]. Redefin função f e su derivd df logo no começo e deixe o progrm rolr com o comndo gnuplot TylorPolinomio.gnuplot Tudo que você precis, lém de bixr o progrm é tergnuplot instldo e o comndo cim funcion perfeitmente num terminl dum distribuição Linux. Definição 1 função diferenciável Um função é diferenciável se tiver um ret tngente em todos os pontos de seu gráfico. As funções polinomiis são diferenciáveis, els tem um ret tngente em qulquer ponto de seus gráficos mesmo que estejm definids em conjuntos mis mplos que intervlos d ret. 3.1 Teorem Fundmentl do Cálculo Vou unificr s teoris d integrl e d derivd usndo função primitiv que eu já defini n construção d integrl. N equção (eq.2.15) eu defini função F que chmei de primitiv d função f e gor, como sei clculr derivds de polinômios posso clculr derivd d função F ms o fzê-lo vou introduzir notção de Leibniz pr derivds porque vou tmbém dr um primeir justifictiv pr o símbolo dx que prece ns integris. Tenho F(x) = x4 4 ; (26) F (x) = df(x) dx = 4x3 4 = x 3 = f(x); (27) f(x)dx = F(b) F() = F b ; (28) N equção (eq.3.26) estou relembrndo o vlor d integrl que defini como funço definid com uxílio dum integrl e que chmei de primitiv el é um polinômio, ou como se costum chmr, um monômio. N equção (eq.3.27) clculei derivd do polinômio 4x3 4 que está multiplicdo pel constnte 1 4 que si for no cálculo do limite pelo fto de ser um constnte. N equção (eq.3.28) voltei escrever expressão d integrl em que se vê derivd, F = f, precendo no integrndo. Estou colocndo em relção primitiv e derivd, derivd d primitiv é função que prece dentro d integrl. Observe que o vlor d integrl é diferenç entre dois vlores d primitiv e isto vi ter um explicção interessnte mis frente. A notção de Leibniz representou um dos problems complicdos de resolver pelos que sempre tentrm unificr notção d Mtemátic. Ao clculr derivd não existe nenhum frção pesr de que muitos utores se refirm quociente de diferenciis que não existe em lugr

9 3 A DERIVADA 8 nenhum como você viu qundo eu clculei derivd d função f(x) = x 3, ms hvi um quociente de diferençs que num psse ritmético eu fiz desprecer frção permitindo-me o clculo do limite tribuindo o vlor zero à diferenç x. Nem sempre s coiss se pssm de modo ssim tão simples, e Cournt tinh rzão qundo dizi que o limite se encontrv no limir d Mtemátic superior. Apesr disto, como no cso d ferrdur de Bohr frção de Leibniz funcion como um frção qundo derivd existe e podemos efetur cálculos usndo est frção como se el fosse um frção verddeir, e existisse. Est notção, por um ldo místic e muito útill, conduziu lguns utores fzer referênci coiss pr s quis nunc se conseguiu dr um explicção lógic e forml que são os infinitesimis e o quociente de diferenciis. Em prticulr este objeto sem nenhum inclusão teóric dentro d Mtemátic, chmdo infinitésimo ficou por muito tempo crindo entulhos e emperrndo compreensão de muit cois nest vã tenttiv de explicr derivd como um quociente de infinitésimos. A frção de Leibniz é um símbolo que funcion muito bem, e extmente pode ser operdo com um frção, pens formlmente em conjunto com o símbolo d representndo derivd. Sbendo fzer uso dequdo, frção de Leibniz é um bom instrumento, pens não queir encontr-lhe o numerdor e o denomindor! O dx que prece dentro do símbolo d integrl vem d notção de Leibniz querendo dizer que estmos clculndo integrl dum derivd tendo como resultdo um primitiv que se-lhe for plicdo o operdor derivd vi reproduzir est função derivd. Por exemplo, o cálculo seguinte é legl y = F(x) = x f(t)dt dy = df = f(x)dx; (29) e místic está em que x que prece n equção nterior em dois locis diferentes nd tem um que ver com o outro. Se você escrever 4 f(t)dt (3) o resto d expressão perde sentido. A verdde é que usmos vriáveis pr representr expressões mtemátics porque não temos outr form de fzê-lo, um exemplo bem simples é um polinômio que escrevemos como P(x) = 1+3x+5x 2 (31) qundo tudo que querimos dizer er que P é um polinômio que tem coeficientes 1,3,5 num cert ordem e qui funcion escolher um vlor qulquer, numérico, como x = 3, pr se clculr o vlor do polinômio com este vlor. Vouintroduzir um método de derivção quefz uso indireto d frção de Leibniz e quemostr que seu uso funcion embor não exist nenhum frção no cálculo d derivd.

10 3 A DERIVADA A derivção implícit Considere seguinte sequênci de cálculos e posterior sequênci de comentários. x 2 +y 2 = r 2 ; (32) 2xdx+2ydy = ; (33) dy dx = x y ; (34) y = f(x) = r 2 x 2 = (r 2 x 2 ) 1 2; (35) f (x) = 1 2 (r2 x 2 ) = 1/2 y = F(x) = (r 2 x 2 ) 1 2 ; (36) f (x) = 1 2y ; (37) x f(t)dt dy = df = f(x)dx; (38) A equção (eq.3.32) é equção do círculo de rio r e centro n origem. N equção (eq.3.33) eu clculei som ds derivds de tods s expressões polinomiis deixndo-s multiplicds por um diferencil indicndo qul foi vriável reltivmene à qul que derivd foi clculd. É isto que se chm de derivção implícit. Depois, supondo que s entiddes dx e dy existissem, eu fiz um cálculo ritmético pr obter equção (eq.3.34) que me diz que o coeficiente ngulr d ret tngente o círculo, em qulquer ponto em que este coeficiente ngulr poss ser clculdo, é ddo pelo quociente x y que é o inverso do coeficiente ngulr d ret que contém o rio, com o sinl trocdo. E isto está perfeito! Qundo dus rets forem perpendiculres, seus coeficientes ngulres são m, 1 m ; O rio é sempre perpendiculr à tngente no círculo, e té pode ser usdo como definição de círculo, é equção diferencil do círculo! Círculo é únic curv em que tngênte é sempre perpendiculr à norml. Usei derivção implícit e frção de Leibniz pr obter um resultdo correto. N equção (eq.3.35) eu defini equção d prte superior do circulo cuj derivd clculei usndo regr pr o cálculo de polinômios obtendo um resultdo errdo que está expresso n equção (eq.3.36). Está errdo porque está incompleto, flt lgum cois e você pode conferir com equção (eq.3.34) que flt 2x no numerdor. Pr corrigir o erro, eu vou novmente usr derivção implicit e tmbém frção de Leibniz e vou convidá-l compnhr seguinte sequênci de cálculos e lhe peço que lei os comentários que vou fzer depois. x = g(s) = r 2 s 2 ;y = f(x) = x; (39) y = f(x) = f(g(s)) = r 2 s 2 ;s = x; (4) dy = f (x)dx = f (g(x))g (s)ds; regr d cdei (41) dy = f (x)dx = x = 1 2y ; (42) dx = g (s)ds = 2sds; (43) dy dx = 2s 2y = s y = x y ; (44)

11 3 A DERIVADA 1 A equção (eq.3.44) corrige o erro cometido nteriormente cuj rzão foi que nquele momento eu ignorv regr d cdei que descobri gor usndo derivd implícit e vou deixr que você credite ou não, que eu não conheci ind regr d cdei, ms você pode ver que com derivção implícit eu descobri, e derivd implícit é um simbolismo que está intimmente envolvido com frção de Leibniz o quelhemostr quegrnde prtedsdescoberts quefzemos em Mtemátic ocorre pel simples mnipulção de símbolos que tem significdo dentro dum contexto locl ms que podem perder sentido num contexto um pouco mis mplo como eu lhe mostrei n equção (eq.3.3). É preciso fzer um crític os cálculos feitos ns equções (eq.3.39) (eq.3.43). Quem o mostr são os cálculos nteriores usndo pens derivção implícit, d equção (eq.3.32) té equção (eq.3.34). Apens eu queri cometer o erro, considero erros os spectos mis instrutivos dum texto, se forem bem utilizdos como penso que qui foi! Vou terminr est seção fzendo mis um uso d derivção implícit pr descobrir outr regr de derivção. Acompnhe os cálculos e lei os comentários depois dos mesmos. z = f(x,y) = xy; (45) dz = f (x,y) = (xy) = ydx+xdy; (46) (uv) = vdu = udv; (47) N equção(eq.3.45)eudefini umfunção dedus vriáveisecd um delséum função de um outr vriável o que não me interess. N equção (eq.3.46) eu clculei derivd implícit d expressão n equção nterior seguindo est regr de derivção pel qul eu derivo tods s expressões reltivmente cd vriável nel contid deixndo o símbolo dx, dy ou dz conforme vriável sendo derivd, o resultdo finl é um som dests expressões que você vê n equção (eq.3.46): dz ydx xdy = dz = ydx+xdy; Agor eu vou interpretr o resultdo obtido e n últim expressão d equção (eq.3.46) eu vejo um som que é idêntic à que escrevi n equção (eq.3.47) que me diz que derivd do produto uv é som d derivd de u multiplicd por v com derivd de v multiplicd por u. Est é regr do produto pr derivds que descobri usndo derivd implícit. Eu vou voltr num próximo rtigo ests questões completndo s ideis e lhe mostrndo que descobert dests regrs usndo derivd implícit pens me sugerem um resultdo e que eu posso fzer um demonstrção forml dele. Em sum, mnipulção símbolic bre perspectivs, cri conjecturs que precism ser demonstrds.

12 Índice Remissivo Bohr ferrdur, 6, 8 Bourbki, Nikols, 5 bourbquists, 5 círculo equção diferencil, 9 condição inicil, 3 conjectur, 1 continuidde, 2 polinômios, 1 derivd funções polinomiis, 6 regr do produto, 1 derivção implícit, 9 descontinuidde, 2 diferenciável função, 7 derivd, 8 limite, 6 operdor limite, 4 primitiv, 7 função, 7 quntidde do fenômeno, 5 regr d cdei, 1 teorem fundmentl do Cálculo, 4 Vndermonde determinnte, 3 equção diferencil, 5 ferrdur de Bohr, 6, 8 frção de Leibniz, 7 função derivd, 8 função diferenciável, 7 implícit derivd, 1 derivção, 9 infinitesimis, 8 infinitésimo, 5 quociente de, 8 Leibniz frção, 7 notção, 7 notção de, 5 limite operdor, 4 um operdor, 6 limites proprieddes, 1, 2 notção de Leibniz, 7 operdor 11

13 REFERÊNCIAS 12 Referêncis [1] Tom M. Apostol. Clculus vol I. Blisdell Publishing Compny, [2] Richrd Cournt. Differentil nd Integrl Clculus I. Interscience Publishers Wiley clssics librry, [3] T Prcino-Pereir. Págin de cálculo i, 213. [4] Trcisio Prcino-Pereir. Cálculo Numérico Computcionl. Sobrl Mtemtic, 27. [5] Trcisio Prcino-Pereir. Integrl de riemnn. Technicl report, Sobrl Mtemátic, 27. [6] Trcisio Prcino-Pereir. Um psseio no cálculo diferencil e integrl. Technicl report, Sobrl Mtemátic, 217. [7] Trcisio Prcino-Pereir. Soms notáveis, determinnte de vndermonde e integrl de polinômios. Technicl report, Sobrl Mtemátic, 218. [8] Trcisio Prcino-Pereir. Determinntes. Technicl report, Sobrl Mtemátic, 219. [9] Trcisio Prcino-Pereir. A reengenhri do cálculo. Technicl report, Sobrl Mtemátic, 219.