log ( 2.8 ) tan( 3 ) sin ( 0. X 3 12 X 2 47 X 60 solve X 2 X 2. 2 X 4 0 solve X. José Antelo Cancela

Transcrição

1 log.8 tan sn solve.. L f a S h n f b n f x n 4 0 solve José Antelo Cancela

2 Índce Analítco. Introdução Dgtação de Textos Dgtação de Expressões Barras de Ferramentas Barra de ferramentas Math Barra de ferramentas Calculator Formatação Formatação de Texto Formatação da Precsão Formatação das Expressões Formatação das Constantes Formatação das Varáves Escolha da Posção e do Alnhamento Escolha da Posção Escolha do Alnhamento Defnção de Varáves Defnção de Funções Solução de Equações Operações com Matrzes Soma e Subtração de Matrzes Multplcação de Matrzes Multplcação de Matrz por um Número Dvsão de Matrz por um Número Matrz Transposta Matrz Inversa Determnante de uma Matrz Sstemas de Equações Função Lsolv Função Gven/Fnd Cálculo de Integras Integras Smples Integras Duplas Cálculo de Dervadas Dervadas de ª Ordem Dervadas de Ordem N Estudo de Regressões Regressão Lnear Regressão Polnomal José Antelo Cancela Pág.

3 . Construção de Gráfcos Formatação de Gráfcos Gráfcos de Duas Funções Erro: Exstênca e Propagação Exstênca do Erro Propagação do Erro Cálculo de Raízes Método Gráfco Método da Bpartção Método de Newton-Raphson Resolução de Sstemas de Equações Lneares Método da Elmnação de Gauss Método de Jacob Método de Gauss-Sedel Interpolação pelo Método de Lagrange Interpolação pelo Método de Newton Dferenças Dvddas Ajuste de Curvas pelo Método dos Mínmos Quadrados Ajuste Lnear Integração Numérca Método dos Trapézos Método de Smpson José Antelo Cancela Pág.

4 Cálculo Numérco. Introdução Quando se abre o MathCad é mostrado um arquvo novo, que consste de uma folha onde serão dgtados os textos, expressões ou fórmulas, conforme mostrado na Fg. abaxo. Para ncar a dgtação basta clcar com o cursor do mouse no local da tela onde esta se localzará e então dgtar o que se deseja.. Dgtação de Textos Para se dgtar um texto proceda da segunte forma: Clque com o cursor do mouse no local onde fcará o níco do texto Dgte aspas para nformar ao MathCad que se trata de um texto Dgte o texto Por exemplo: Introdução ao MathCad Clque novamente com o cursor do mouse em qualquer lugar fora do texto para nformar que termnou a dgtação ou tecle Enter.. Dgtação de Expressões Para se dgtar uma expressão matemátca proceda da segunte forma: Clque com o cursor do mouse no local onde fcará o níco da expressão. Dgte a expressão Por exemplo: + Dgte o operador = para nformar ao MathCad que deve ser mostrado o resultado. Clque novamente com o cursor do mouse em qualquer lugar fora da expressão para nformar ao MathCad que termnou a dgtação ou tecle Enter. José Antelo Cancela Pág.

5 . Barras de Ferramentas O texto e a expressão dgtados até agora são extremamente smples, dspensando qualquer ferramenta para sua dgtação. Para expressões mas complexas o MathCad dspõe de Barras de Ferramentas Toolbars para a ntrodução de dados e cálculo dos resultados. Ao se crar um arquvo novo Fg. são mostradas automatcamente duas barras de ferramentas: Standard, Mostra os comandos báscos de operação com arquvos. Formatng Mostra os comandos báscos de formatação de textos. Fg. Para ocultar ou exbr estas barras durante os trabalhos, selecone na barra de menus Vew e depos selecone a barra desejada Fg... Barra de ferramentas Math A barra de ferramentas Math é o meo de acesso as demas barras de ferramentas do MathCad, conforme mostrado na Fg...a. Estas barras serão vstas mas adante. Calculator Graph Matrx Calculus Programmng Evaluaton Boolan Greek Symbol Symbolc Keyword Fg. José Antelo Cancela Pág. 4

6 . Barra de ferramentas Calculator Como vsto anterormente, expressões smples podem ser dgtadas dretamente pelo teclado. Contudo, expressões mas complexas, como por exemplo as que envolvem funções trgonométrcas e exponencas, requerem o auxílo da barra de ferramentas Calculator. Para exbr a barra de ferramentas Calculator leve o cursor até a barra de ferramentas Math e clque no ícone Calculator, que fcará conforme Fg...a A título de exercíco, vamos calcular o valor das expressões abaxo: a Para ncar, clque com o cursor no lugar da tela onde fcará a expressão. Dgte o número.54 Dgte + mas ou clque na barra Calculator no símbolo + Addton. Aparecerá um pequeno quadrado preto após o snal de soma, nformando que se deve dgtar o próxmo valor. Fg...a O símbolo de decmal é o ponto e não a vírgula. Dgte o número.58 Dgte - menos ou clque na barra Calculator no símbolo -. Subtraton Aparecerá um pequeno quadrado preto após o snal de subtração, nformando que se deve dgtar o próxmo valor. Dgte o número.7 Dgte = gual ou clque na barra Calculator no símbolo = Evaluate Expresson que será mostrado o resultado da operação. b.54 x.58 Para ncar, clque com o cursor no lugar da tela onde fcará a expressão. Dgte o número.54 Dgte * astersco ou clque na barra Calculator no símbolo Multplcaton. Aparecerá um pequeno quadrado preto após o snal de multplcação, nformando que se deve dgtar o próxmo valor. Dgte o número.58 Dgte = gual ou clque na barra Calculator no símbolo = que será mostrado o resultado da operação. c 69 Para ncar, clque com o cursor no lugar da tela onde fcará a expressão. Clque na barra Calculator no símbolo Square Root José Antelo Cancela Pág. 5

7 Aparecerá o símbolo de raz quadrada com um quadradnho preto e com o cursor no lugar onde será dgtado o número. Dgte 69 Dgte = gual ou clque na barra Calculator no símbolo = que será mostrado o resultado da operação. d 5 69 Para ncar, clque com o cursor no lugar da tela onde fcará a expressão. Clque na barra Calculator no símbolo n Nth Root. Aparecerá o símbolo de raz enésma com um quadradnho preto no lugar do valor da raz e outro no lugar do número. Clque com o cursor no lugar da raz e dgte 5 Clque com o cursor no lugar do número e dgte 69 Dgte = gual ou clque na barra Calculator no símbolo = que será mostrado o resultado da operação. e sen.7. e Para ncar, clque com o cursor no lugar da tela onde fcará a expressão. Clque na barra Calculator no símbolo e Exponental Quando aparecer o símbolo de exponencal dgte. Tecle espaço para que o cursor do MathCad vá para o fnal da expressão. Dgte + mas ou clque na barra Calculator no símbolo + Addton. Clque na barra Calculator no símbolo de SIN Sne Clque no quadradnho preto e dgte.7 Dgte * astersco ou clque na barra Calculator no símbolo Multplcaton. Clque na barra Calculator no símbolo Tecle espaço para que o cursor do MathCad vá para o fnal da expressão. Dgte = gual ou clque na barra Calculator no símbolo = que será mostrado o resultado da operação. f e sen,5 Para ncar, clque com o cursor no lugar da tela onde fcará a expressão. Dgte.7 Dgte / barra ou clque na barra Calculator no símbolo de dvsão. Aparecerá a fração com um quadradnho preto no denomnador. José Antelo Cancela Pág. 6

8 Dgte.6 Tecle espaço para que o cursor do MathCad vá para o fnal da expressão. Dgte - menos ou clque na barra Calculator no símbolo -. Subtraton. Dgte 4 Dgte / barra ou clque na barra Calculator no símbolo de dvsão. Aparecerá a fração com um quadradnho preto no denomnador. Clque na barra Calculator no símbolo e Exponental Quando aparecer o símbolo de exponencal dgte Tecle espaço para que o cursor do MathCad vá para o fnal da expressão e. Dgte / barra ou clque na barra Calculator no símbolo de dvsão. Aparecerá a fração com um quadradnho preto no denomnador. Clque na barra Calculator no símbolo SIN Sne Clque no quadradnho preto e dgte.5 Dgte * astersco ou clque na barra Calculator no símbolo Multplcaton. Clque na barra Calculator no símbolo Tecle espaços até o cursor do MathCad chegar ao fnal da expressão. Dgte = gual ou clque na barra Calculator no símbolo = que será mostrado o resultado da operação. José Antelo Cancela Pág. 7

9 . Formatação O MathCad permte a formatação dferencada de textos, fórmulas e dos resultados numércos. Nas fórmulas é possível formatar as varáves de forma dferente das constantes.. Formatação de Texto Para formatar um texto proceda da segunte forma: Selecone o texto que quer formatar Selecone na barra de menu Format Text Quando aparecer a janela Text Format escolha a formatação desejada. Formatação da Precsão Os resultados das operações matemátcas realzadas podem ser formatados com um número fxo de casas decmas. Para sto, proceda da segunte forma: Selecone na barra de menu Format Result Na janela Result Format selecone: Number of decmal places:... Número de casas decmas Show tralng zeros:... Marque esta opção se quser que mostre zero quando não houver partes decmas. Show expoents n engneerng format:.. Marque esta opção se quser que os valores apareçam na notação de engenhara.. Formatação das Expressões O MathCad permte formatar as fontes das varáves e das constantes de fórmulas e funções de manera dstnta... Formatação das Constantes Fg...A Para formatação da fonte das constantes de expressões proceda da segunte forma: Selecone na barra de menu Format Equaton José Antelo Cancela Pág. 8

10 Na janela Equaton Format Fg... selecone na caxa de lstagem Style Name a opção Constants Clque no botão Modfy Na janela Constants escolha formatação adequada e clque OK. Na janela Equaton Format clque OK Fg.... Formatação das Varáves Para formatação da fonte das varáves de expressões proceda da segunte forma: Selecone na barra de menu Format Equaton Na janela Equaton Format Fg... selecone na caxa de lstagem Style Name a opção Varables Clque no botão Modfy Na janela Constants escolha formatação adequada e clque OK. Na janela Equaton Format clque OK A título de exercíco, construa e expressão abaxo formate-a da segunte forma: - Resultado: decmas - Constantes: Tmes New Roman, negrto tálco, tamanho - Resultado: Bookman Old Style, negrto, tamanho 4 Uma vez formatada a função deverá ter a aparênca abaxo log.8 8 tan sn Escolha da Posção e do Alnhamento.4. Escolha da Posção Para mudar a posção de uma expressão, proceda da segunte forma: Selecone a expressão. Mova o cursor até uma das bordas da seleção, até que o cursor do mouse mude para a forma de uma mão. Nesta posção, pressone o botão do mouse e, com ele pressonado, arraste a expressão para o local desejado..4. Escolha do Alnhamento O MathCad permte alnhar todas as expressões dgtadas, tanto na horzontal quanto na vertcal. Para efetuar este alnhamento, proceda da segunte forma: José Antelo Cancela Pág. 9

11 Selecone as expressões que serão alnhadas. Depos selecone na barra de menu: Format Algn regons Down para alnhamento vertcal ou Across para alnhamento horzontal José Antelo Cancela Pág. 0

12 4. Defnção de Varáves A defnção de varáves pode ser feta através do teclado ou usando a barra de ferramentas Calculator Fg. 4.. Para defnr varáves através do teclado proceda da segunte forma: Escreva a varável uma ou mas caracteres alfanumércos Dgte : dos pontos. O MathCad automatcamente acrescentará = depos dos dos pontos. Dgte o valor da varável Para defnr varáves usando a barra de ferramentas Calculator proceda da segunte forma: Escreva a varável uma ou mas caracteres alfanumércos Clque no ícone := Assgn Value da barra de ferramentas Fg. 4. Calculator Dgte o valor da varável. A título de exercíco, vamos defnr as varáves abaxo abaxo: a = 5 Para ncar, clque com o cursor no lugar da tela onde fcará a expressão. Dgte Dgte : dos pontos ou clque no ícone := Assgn Value da barra de ferramentas Calculator Dgte o número 5 b Sabendo-se que b = valor de Y a=.5 e que Y = senb+cosa determne o Como usaremos város símbolos gregos neste exercíco, vamos atvar a barra de ferramentas Greek Symbol Palette mostrada na Fg.4., que dspões de város destes símbolos Etapa : Defnção de b Para ncar, clque com o cursor no lugar da tela onde fcará a prmera varável. Clque no símbolo b da barra Greek Symbol Dgte : dos pontos ou clque no ícone := Assgn Value da barra de ferramentas Calculator Dgte Etapa : Defnção de a Clque com o cursor no lugar da tela onde fcará a segunda Fg. 4. José Antelo Cancela Pág.

13 varável. Clque no símbolo a da barra Greek Symbol Dgte : dos pontos ou clque no ícone := Assgn Value da barra de ferramentas Calculator Dgte.5* Etapa : Defnção de Y Clque com o cursor no lugar da tela onde fcará a varável Y. Dgte Y Dgte : dos pontos ou clque no ícone := Assgn Value da barra de ferramentas Calculator Dgte a expressão senb+cosa Etapa 4: Cálculo do valor de Y Uma vez defndas as varáves b, a e Y podemos agora determnar o valor de Y Clque com o cursor no lugar da tela onde fcará o valor de Y. Dgte Y Dgte = gual ou clque na barra Calculator no símbolo = que será mostrado o resultado da operação. José Antelo Cancela Pág.

14 5. Defnção de Funções O MathCad dspõe de funções de váras categoras, tas como matemátcas, trgo-nométrcas, estatístcas e mutas outras, todas elas prontas para serem utlzadas. Para acessar estas funções proceda da segunte forma: Selecone na barra de menu Insert Functon Aparecerá a janela Intert Functon Fg.5. Para seleconar a função, proceda da segunte forma: No quadro Functon Category selecone a categora da função ou selecone a categora Fg. 5 Todas. No quadro Functon Category selecone o nome da função. Clque OK. Além destas funções, o MathCad permte que outras funções sejam defndas para nosso uso específco, assunto este que será tratado agora. A defnção de funções é muto smlar a defnção de varáves, que consste bascamente de três etapas: Escolha do nome da função Colocação do snal de atrbução de valor Assgn Value Dgtação da função A título de exercíco vamos defnr as funções abaxo e calcular seu valor para um determnado valor da varável. a Sabendo-se que F = 5 +4, determne F,5 Clque com o cursor no lugar da tela onde fcará a varável F. Escreva F Dgte : dos pontos ou clque no ícone := Assgn Value da barra de ferramentas Calculator Escreva a função 5* * +4 Clque com o cursor no lugar da tela onde fcará o valor de F,5. Escreva F,5 Dgte = gual ou clque na barra Calculator no símbolo = que será mostrado o resultado da operação conforme abaxo. José Antelo Cancela Pág.

15 b Sabendo-se que F =,e sen +4, determne F0.57 Clque com o cursor no lugar da tela onde fcará a varável F. Escreva F Clque no ícone := Assgn Value da barra de ferramentas Calculator Escreva a função,e sen +4 Clque com o cursor no lugar da tela onde fcará o valor de F0,57. Escreva F0.57 Dgte = gual ou clque na barra Calculator no símbolo = que será mostrado o resultado da operação conforme abaxo. c Sabendo-se que F,Y =,75e,Y sen0,54 +4 Y,5 Clque com o cursor no lugar da tela onde fcará a varável F,Y Escreva F,Y Clque no ícone := Assgn Value da barra de ferramentas Calculator Escreva a função,75e,y sen0,54 +4 Y,5 Clque com o cursor no lugar da tela onde fcará o valor de F, Escreva F,, determne F,;,4 Dgte = gual ou clque na barra Calculator no símbolo = que será mostrado o resultado da operação. José Antelo Cancela Pág. 4

16 6. Solução de Equações O MathCad dspõe de dos métodos para cálculo de raízes de equações: o método numérco e o método analítco. Aqu nos deteremos no método analítco. Para calcular raízes de equações pelo método analítco precsaremos das barras de ferramentas Symbolc Fg. 6.a e Boolean Fg. 6.b. Por sso, leve o cursor do mouse até a barra de ferramentas Math e clque nos ícones destas barras para exb-las. Para determnar as raízes de uma equação pelo método analítco são necessáros os seguntes passos: º Dgte a equação sendo que o snal = a ser usado tem que ser o = Equal to da barra de ferramentas Boolean. º Uma vez dgtada a equação clque clque na palavra Solve da barra de ferramentas Symbolc. º No quadrado preto que surgrá depos da palavra solve dgte a varável que se quer determnar. A título de exercíco, determne as raízes das equações abaxo a Clque com o cursor no lugar da tela onde fcará a equação. Escreva 5 7 Clque no ícone = gual da barra de ferramentas Boolean Dgte o valor 0 Clque no botão solve da barra de ferramentas Evaluaton Tecle Enter que será mostrado o resultado como abaxo Fg. 6.a Fg. 6.b O snal = a ser usado é o Equal to da barra de ferramentas Boolean. Coloque o cursor no fnal da equação, conforme fgura abaxo Dgte = ou tecle = na barra de ferramentas Calculator que aparecerá o resultado conforme abaxo José Antelo Cancela Pág. 5

17 b 4 0 Clque com o cursor no lugar da tela onde fcará a equação. Escreva Clque no ícone = gual da barra de ferramentas Boolean Toolbar Dgte o valor 0 Clque no botão Solve da barra de ferramentas Symbolc Keyword Toolbar Tecle Enter que será mostrado o resultado como abaxo Para formatar o resultado com casa decmal, selecone o resultado, conforme abaxo. Selecone Format Result Preencha a caxa de dálogo Result Format conforme fgura ao lado e tecle OK. Será mostrado o resultado como abaxo. c Clque com o cursor no lugar da tela onde fcará a equação. Escreva Clque no ícone = gual da barra de ferramentas Boolean Dgte o valor 60 Clque no botão solve da barra de ferramentas Symbolc Tecle Enter que será mostrado o resultado como abaxo Para formatar o resultado com uma casa decmal, proceda da segunte forma: Selecone o resultado, conforme Fg. a. José Antelo Cancela Pág. 6

18 Fg. a Selecone Format Result Preencha a caxa de dálogo Format Result conforme Fg. b e clque OK O resultado fcará conforme Fg. c. Fg. c Fg. b José Antelo Cancela Pág. 7

19 7. Operações com Matrzes Para realzar operações com Matrzes precsaremos da barra de ferramentas Matrx. Por sso, leve o cursor até a barra de ferramentas Math e clque no ícone Matrx para atvar esta barra de ferramentas, mostrada na Fg.7.a. 7. Soma e Subtração de Matrzes Para se somar matrzes é necessáro que elas tenham o mesmo número de lnhas e colunas Para sto, vamos crar as matrzes MAT e MAT conforme abaxo e armazenar sua soma na matrz MATSOMA e sua subtração na matrz MATSUB.. a Cração da matrz MAT Clque com o cursor no ponto da tela onde fcará a matrz MAT Escreva MAT Clque no ícone := Assgn Value da barra de ferramentas Calculator Na barra de ferramentas Matrx clque no ícone Matrx Surgrá a janela Insert Matrx, solctando o número de lnhas e o número de colunas. Dgte para ambas e clque OK Aparecerá uma matrz com quadrados pretos no lugar onde serão dgtados os números, conforme Fg.7..a. Dgte os valores, utlzando a tecla TAB para passar Fg. 7..b para o próxmo. Uma vez concluída a dgtação, deverá estar conforme Fg.7..b. b Cração da matrz MAT Clque com o cursor no ponto da tela onde fcará a matrz MAT Escreva MAT Clque no ícone := Assgn Value da barra de ferramentas Calculator Na barra de ferramentas Matrx clque no ícone Matrx Surgrá a janela Insert Matrx, solctando o número de lnhas e o número de colunas. Dgte para ambas e clque OK Fg. 7..a Fg. 7..c Aparecerá uma matrz com quadrados pretos no lugar onde serão dgtados os números Dgte os valores, utlzando a tecla TAB para passar para o próxmo. Uma vez José Antelo Cancela Pág. 8

20 concluída a dgtação, deverá estar conforme Fg.7..c. c Cração da matrz MATSOMA Clque com o cursor no ponto da tela onde fcará a matrz MATSOMA Escreva MATSOMA Clque no ícone := Assgn Value da barra de ferramentas Calculator Dgte MAT + MAT. A equação deverá estar conforme abaxo. d Cração da matrz MATSUB Clque com o cursor no ponto da tela onde fcará a matrz MATSUB Escreva MATSUB Clque no ícone := Assgn Value da barra de ferramentas Calculator Dgte MAT - MAT. A equação deverá estar conforme abaxo. e Impressão das matrzes MAT e MATS Clque com o cursor no ponto da tela onde fcará a matrz MAT Escreva MAT Dgte = gual ou clque na barra Calculator no símbolo = que será mostrada a matrz MAT, que deverá estar conforme abaxo: Clque com o cursor no ponto da tela onde fcará a matrz MATS Escreva MATS Dgte = gual ou clque na barra Calculator no símbolo = que será mostrada a matrz MATS, que deverá estar conforme abaxo: 7. Multplcação de Matrzes Para se multplcar duas matrzes o número de lnhas da prmera deve ser gual ao número de colunas da segunda. Vamos multplcar as matrzes MAT e MAT e armazenar o produto na matrz MAT. Para sto dgte as matrzes MAT e MAT abaxo José Antelo Cancela Pág. 9

21 Escreva MAT Clque no ícone := Assgn Value da barra de ferramentas Calculator Dgte MAT * MAT. A equação deverá estar conforme abaxo. Escreva MAT Dgte = gual ou clque na barra Calculator no símbolo = que será mostrada a matrz MAT, que deverá estar conforme abaxo: 7. Multplcação de Matrz por um Número Vamos multplcar a matrz MAT pelo número,75 e armazenar o resultado na matrz MULT. Para sto, proceda conforme abaxo: Dgte a matrz MAT abaxo. Clque com o cursor no ponto da tela onde fcará a matrz MULT Escreva MULT Clque no ícone := Assgn Value da barra de ferramentas Calculator Escreva.75*MAT. A equação deverá estar conforme abaxo. Escreva MULT Dgte = gual ou clque na barra Calculator no símbolo = que será mostrada a matrz MULT, que deverá estar conforme abaxo: José Antelo Cancela Pág. 0

22 7.4 Dvsão de Matrz por um Número Vamos dvdr a matrz MAT pelo número,75 e armazenar o resultado na matrz DIV. Para sto, proceda conforme abaxo: Dgte a matrz MAT abaxo. Clque com o cursor no ponto da tela onde fcará a matrz DIV Escreva DIV Clque no ícone := Assgn Value da barra de ferramentas Calculator Escreva MAT/.75. A equação deverá estar conforme abaxo. Escreva DIV Dgte = gual ou clque na barra Calculator no símbolo = que será mostrada a matrz DIV, que deverá estar conforme abaxo: 7.5 Matrz Transposta As lnhas e colunas da matrz MATT, transposta da matrz MAT, correspondem às colunas e lnhas da matrz MAT, respectvamente, conforme abaxo: Dgte a matrz MAT abaxo. José Antelo Cancela Pág.

23 Clque com o cursor no ponto da tela onde fcará a equação. Escreva MATT Clque no ícone := Assgn Value da barra de ferramentas Calculator Escreva MAT Clque no ícone Matrx Transpose da barra de ferramentas Matrx. A equação deverá estar conforme abaxo: Clque com o cursor no ponto da tela onde fcará a matrz MATT Escreva MATT Dgte = gual ou clque na barra Calculator no símbolo = que será mostrada a matrz MATT, que deverá estar conforme abaxo: 7.6 Matrz Inversa Só admtem Matrz Inversa as matrzes cujo número de lnhas seja gual ao número de colunas. Dgte a matrz MAT abaxo. Clque com o cursor no ponto da tela onde fcará a matrz nversa. Dgte a matrz MAT Clque no ícone Y da barra de ferramentas Calculator Dgte - Leve o cursor do MathCad para o fnal da expressão teclando na barra de espaço. Dgte = gual ou clque na barra Calculator no símbolo = que será mostrada a matrz nversa, que deverá estar conforme abaxo: José Antelo Cancela Pág.

24 7.7 Determnante de uma Matrz Só se pode calcular o Determnante das matrzes cujo número de lnhas seja gual ao número de colunas. Dgte a matrz MAT abaxo. Clque com o cursor no ponto da tela onde fcará a expressão. Dgte a matrz DET Clque no ícone := Assgn Value da barra de ferramentas Calculator Clque no ícone Determnant da barra de ferramentas Matrx. Aparecerá um quadrado preto entre barras onde se deve dgtar o nome da matrz cujo determnante se deseja calcular. Dgte MAT e tecle Enter. A expressão deverá estar conforme abaxo: Clque com o cursor no ponto da tela onde fcará o determnante DET da matrz MAT. Dgte a matrz DET Dgte = gual ou clque na barra Calculator no símbolo = que será mostrado o determnante DET, que deverá estar conforme abaxo: José Antelo Cancela Pág.

25 8. Sstemas de Equações Um sstema de equações lneares é consttuído por n equações com n ncógntas. Para exemplfcar um sstema de três equações lneares sera do tpo abaxo: a + ay +a Z = a0 b + b Y +b Z = b0 c + c Y +c Z = c0 O MathCad dspõe de duas funções para solução de sstemas de equações: Função Lsolve e função Fnd. 8. Função Lsolv O procedmento para resolver este tpo de sstema utlzando o MathCad consste de três etapas: Etapa : Cra-se o determnante com os coefcentes das ncógntas, conforme abaxo: a a a = b b b c c c Etapa : Cra-se o determnante Y com as constantes das equações, conforme abaxo: Y= ao bo co Etapa : Utlza-se a função Lsolv da segunte forma: Escreva a varável que armazenará o resultado, por exemplo escreva R Depos de escrever R clque no ícone := Assgn Value da barra de ferramentas Calculator Selecone na barra de menu Insert Functon Na janela Insert Functon selecone a função Lsolve M v Fg.8.a. Fg. 8.a José Antelo Cancela Pág. 4

26 título de exercíco vamos resolver o sstema de quatro equações abaxo: + Y + 5Z + W = 8, - Y + Z + 4W =,8-5Y + Z + W = -, - Y + 4Z + 7W = 8,5 Para resolver este sstema precsaremos da barra de ferramentas Matrx. Por sso, leve o cursor até a barra de ferramentas Math e clque no ícone Matrx para atvar esta barra de ferramentas, mostrada na Fg.7.b acma. a Cração da matrz MAT Clque com o cursor no ponto da tela onde fcará o determnante Escreva MAT Clque no ícone := Assgn Value da barra de ferramentas Calculator Na barra de ferramentas Matrx clque no ícone Matrx Surgrá a janela Insert Matrx, solctando o número de lnhas e o número de colunas. Dgte 4 para ambas e clque OK Aparecerá uma matrz com quadrados pretos no lugar onde serão dgtados os números. Dgte os valores, utlzando a tecla TAB para passar para o próxmo. Uma vez concluída a dgtação, deverá estar conforme Fg.8.c. b Cração da matrz VET Clque com o cursor no ponto da tela onde fcará o determnante Y Escreva VET Clque no ícone := Assgn Value da barra de ferramentas Calculator Na barra de ferramentas Matrx clque no ícone Matrx Surgrá a janela Insert Matrx, solctando o número de lnhas e o número de colunas. Dgte 4 para lnhas e para colunas e clque OK Aparecerá uma matrz com quadrados pretos no lugar onde serão dgtados os números. Dgte os valores, utlzando a tecla TAB para passar para o próxmo. Uma vez concluída a dgtação, deverá estar conforme Fg.8.d. c Cração da função Lsolv Clque com o cursor no ponto da tela onde fcará a função Lsolv Escreva RES Clque no ícone := Assgn Value da barra de ferramentas Calculator Selecone na barra de menu Selecone na barra de menu Insert Functon Na janela Insert Functon selecone a função Lsolve M v e clque OK. Será mostrado o argumento da função Lsolv com dos quadrados pretos separados por vírgulas entre os parêntess. No prmero quadrado preto escreva MAT e no segundo quadrado escreva VET e José Antelo Cancela Pág. 5

27 depos tecle Enter Fg. 8.e d Calculo das raízes Clque com o cursor no ponto da tela onde fcará o vetor RES com os valores de, Y, Z e W Escreva RES Dgte = gual ou clque na barra Calculator no símbolo = que será mostrado o resultado da operação Fg. 8.f. Fg. 8.c Fg. 8.d Fg. 8.e Fg. 8.f Aplcando a metodologa acma, determne os valores de V,, Y, Z e W do sstema de equações abaxo: 4,5 V + 0,8 + 6,9 Y + 4, Z +,8 W + = 9,9 0,9 V +, + 4, Y +, Z + 0,6 W + = 9,9, V + 8,7 + 0, Y + 9,7 Z + 8, W + = 76,75 4, V + 5, +, Y + 6,4 Z + 5,7 W + = 5,87 5, V +, , Z + 5,7 W + = 6,80 A solução deverá estar conforme abaxo: Fg. 8.g Fg. 8.h Fg. 8. Fg. 8.j 8. Função Gven/Fnd Para resolver sstemas de equações utlzando a função Gven/Fnd proceda da segunte forma: Clque com o cursor no ponto da tela onde fcará a função Escreva Gven Dgte o sstema de equações José Antelo Cancela Pág. 6

28 Insra a função Fnd Clque na ferramenta Symbolc Evoluaton da barra de ferramentas Symbolc Utlzando o método descrto, calcule as equações do sstema abaxo: O snal = a ser usado é o Equal to da barra de ferramentas Boolean. José Antelo Cancela Pág. 7

29 9. Cálculo de Integras Para o cálculo de ntegras precsaremos da barra de ferramentas Calculus. Por sso, leve o cursor até a barra de ferramentas Math e clque no ícone Matrx para atvar esta barra de ferramentas, mostrada na ao lado. O cálculo de ntegras no MathCad pode ser feto pelo métodos Numérco e Analítco, conforme veremos adante. 9. Integras Smples Para calcular Integras smples sga as seguntes etapas: Etapa : Leve o cursor até a barra de ferramentas Calculus e clque no botão Defnte Integral. Aparecerá o símbolo de ntegral defnda, tendo quadrados pretos ndcando onde dgtar os lmtes nferor e superor e a função, conforme fgura ao lado. Etapa : Clque nos quadrados pretos e dgte a função e os lmtes de ntegração. Etapa : a Método Numérco: Dgte = gual ou clque na barra Calculator no símbolo = para calcular a Integral. b Método Analítco: Clque no botão Symbolc Evaluaton da barra de ferramentas Symbolc Keyword e depos tecle Enter para calcular a Integral. A título de exercíco vamos calcular as Integras abaxo: / a 0 COS d Leve o cursor até a barra de ferramentas Calculus e clque no botão Defnte Integral. Quando aparecer o símbolo de Integral dgte nos devdos locas os seguntes valores: Lmte nferor:... 0 Lmte Superor:... / Função:... Cosd José Antelo Cancela Pág. 8

30 a Método Numérco: Dgte = gual ou clque na barra Calculator no símbolo = Evaluate Expresson que será mostrado o resultado. b Método Analítco: Clque no botão Symbolc Evaluaton da barra de ferramentas Symbolc Keyword e depos tecle Enter que será mostrado o resultado. Método Numérco Método Analítco / b d 0 Calcule a ntegral executando os passos do tem a acma. Uma vez termnado deverá estar conforme fgura abaxo: Método Numérco Método Analítco c Calcule a ntegral executando os passos do tem a acma. Uma vez termnado deverá estar conforme abaxo: Método Numérco Método Analítco José Antelo Cancela Pág. 9

31 9. Integras Duplas O cálculo de ntegras duplas é feto da mesma manera que no caso das ntegras smples, que consste das seguntes etapas: Etapa : Leve o cursor até a barra de ferramentas Calculus e clque duas vezes no botão Defnte Integral. Aparecerá o símbolo de ntegral defnda dupla, tendo quadrados pretos ndcando onde dgtar os lmtes nferor e superor e as funções, conforme fgura ao lado. Etapa : Clque nos quadrados pretos e dgte a função e os lmtes de ntegração. Etapa : a Método Numérco: Dgte = gual ou clque na barra Calculator no símbolo = Evaluate Expresson que será mostrado o resultado. b Método Analítco: Clque no botão Symbolc Evaluaton da barra de ferramentas Symbolc Keyword e depos tecle Enter para resolver a Integral. Exemplos: Explo : Calcule a ntegral pelos dos métodos, executando os passos do tem a acma. Uma vez termnado deverá estar conforme abaxo. Método Numérco Método Analítco Explo : Calcule a ntegral pelos dos métodos, executando os passos do tem a acma. Uma vez termnado, o resultado do método numérco deverá estar conforme ao lado. Calcule agora o método analítco. Método Numérco José Antelo Cancela Pág. 0

32 0. Cálculo de Dervadas Para o cálculo de dervadas precsaremos das barras de ferramentas Calculus e Symbolc. 0. Dervadas de ª Ordem Seja a função: G = Para calcular a dervada de ª ordem desta função, proceda da segunte forma: Na barra de ferramentas Cálculos, clque na ferramenta Dervatve Fg.0.a. Preencha a ferramenta Dervatve conforme abaxo: Termnada a dgtação conforme acma, certfque-se que o cursor está no fnal da expressão. Clque na barra de ferramentas Symbolc na ferramenta Symbolc Evaluaton e depos tecle Enter. A expressão deve estar conforme abaxo: Pode-se também usar dretamente a função, sem dgta-la, como abaxo: G 6 5 d d G Pode-se também, armazenar a dervada em uma função, como abaxo: H d d G H Desta forma podemos calcular o valor da dervada da função em qualquer ponto, como abaxo: José Antelo Cancela Pág.

33 0. Dervadas de Ordem N Seja a função: G = Para calcular a dervada de ª ordem desta função, proceda da segunte forma: Na barra de ferramentas Cálculos, clque na ferramenta Nth Dervatve Fg.0.a Preencha a ferramenta Nth Dervatve conforme abaxo: Termnada a dgtação conforme acma, certfque-se que o cursor está no fnal da expressão. Clque na barra de ferramentas Symbolc na ferramenta Symbolc Evaluaton e depos tecle Enter. A expressão deve estar conforme abaxo: Pode-se também usar dretamente a função, sem dgta-la, como abaxo: G 6 5 d G d 6 6 Pode-se também, armazenar a dervada em uma função, como abaxo: H d G d H 6 6 Desta forma podemos calcular o valor da dervada da função em qualquer ponto, como abaxo: H d G d H.58 5 José Antelo Cancela Pág.

34 . Estudo de Regressões Os estudos de regressão tem por fnaldade determnar a função que melhor representa uma sére de valores conhecdos. Uma vez obtda esta função, pode-se então estmar um valor futuro, obvamente admtndo que o cenáro que gerou os valores conhecdos não venha a mudar no futuro. Os tpos de regressão mas conhecdos são o Lnear, Exponencal, Polnomal, Logarítmca e Méda Móvel. Nós nos deteremos exclusvamente nos métodos Lnear e Polnomal.. Regressão Lnear A Regressão Lnear consste em determnar a equação da reta Fg.0..a que melhor representa uma séra de valores conhecdos Fg.0..b. Fg. 0..a Fg. 0..b Em resumo, queremos determnar a equação: Y = a + b Onde: a b Coefcente angular da reta Intercessão com o exo das abscssas A determnação dos coefcentes a e b da reta consste de quatro etapas, conforme abaxo: Etapa : Construção da matrz MAT com N lnhas número de pontos conhecdos e colunas, tendo na prmera coluna os valores de varável ndependente e na segunda coluna os valores de Y varável dependente, conforme fgura ao lado. José Antelo Cancela Pág.

35 Etapa : Informar ao MathCad qual coluna contem os valores de e qual contem os valores de Y. Isto é feto da atraves do batão Matrx Column da barra de ferramentas Matrx, conforme abaxo: Etapa : Executar as funções conforme abaxo: Slope,Y... para determnar o coefcente angular a Intercept,Y... para determnar a Intercessão com o exo das abscssas b a:=slope,y b:= Intercept,Y Etapa 4: Determnar os valores de a e b, dgtando conforme abaxo: a = b = Explo : Determne a equação da reta que melhor representa os pontos abaxo: 0,0 0,5,0,5,0,5,0,5 4,0 4,5 Y 7,50 7,850 0,850 0,800,650 4,700 5,000 6,00 9,800 9,55 Etapa : Construção da matrz MAT Clque com o cursor no ponto da tela onde fcará a matrz MAT Escreva MAT Clque no ícone := Assgn Value da barra de ferramentas Calculator Na barra de ferramentas Matrx clque no ícone Matrx Surgrá a janela Insert Matrx, solctando o número de lnhas e o número de colunas. Dgte 0 para lnhas e para colunas e clque OK Aparecerá uma matrz com quadrados pretos no lugar onde serão dgtados os números. Dgte os valores, utlzando a tecla TAB para passar para o próxmo. Uma vez concluída a dgtação, deverá estar conforme Fg.0..c. Etapa : Defnção das colunas de e Y a Defnção da coluna de José Antelo Cancela Pág. 4

36 Clque com o cursor no ponto da tela onde fcará Escreva Clque no ícone := Assgn Value da barra de ferramentas Calculator Na barra de ferramentas Matrx clque no ícone Matrx Column Quando surgr o argumento de Matrx Column conforme fgura ao lado clque o quadrado nferor e dgte MAT. Depos clque no quadrado superor e dgte 0 e tecle Enter. a Defnção da coluna de Y Clque com o cursor no ponto da tela onde fcará Y Escreva Y Clque no ícone := Assgn Value da barra de ferramentas Calculator Na barra de ferramentas Matrx clque no ícone Matrx Column Quando surgr o argumento de Matrx Column conforme fgura ao lado clque o quadrado nferor e dgte MAT. Depos clque no quadrado superor e dgte e tecle Enter. Etapa : Executar as funções Slopevx, vy e Intercept,Y a Defnção do coefcente a Clque com o cursor no ponto da tela onde fcarão valor de a Escreva a Clque no ícone := Assgn Value da barra de ferramentas Calculator Selecone na barra de menu Insert - Functon Na janela Insert - Functon selecone a função Slopevx, vy e clque OK. Aparecera o argumento da função Slopevx, vy com dos quadrados pretos ndcando onde dgtar os dados. No prmero quadrado e dgte e no segundo dgte Y, conforme fgura ao lado e tecle Enter. b Defnção do coefcente b Clque com o cursor no ponto da tela onde fcarão valor de b Escreva b Clque no ícone := Assgn Value da barra de ferramentas Calculator Selecone na barra de menu Insert - Functon Na janela Insert - Functon selecone a função Intercept,Y e clque OK. Aparecera o argumento da função Intercept,Y com dos quadrados pretos ndcando onde dgtar os dados. No prmero quadrado e dgte e no segundo dgte Y, conforme fgura ao lado e tecle Enter. Etapa : Determnação dos coefcentes a e b Clque com o cursor no ponto da tela onde fcarão valor de a Escreva a Dgte = gual ou clque na barra Calculator no símbolo = para calcular o valor de a e José Antelo Cancela Pág. 5

37 tecle Enter. Clque com o cursor no ponto da tela onde fcarão valor de b Escreva b Dgte = gual ou clque na barra Calculator no símbolo = para calcular o valor de a e tecle Enter. O resultado deverá ser: a =.86 b = Desta forma, a reta que melhor representa os pontos dados é dada pela equação abaxo: y.86x Regressão Polnomal A Regressão Polnomal consste em determnar o polnômo que melhor representa uma séra de valores conhecdos. Esta determnação consste de quatro etapas, conforme abaxo: Etapa : Construção da matrz MAT com N lnhas número de pontos conhecdos e colunas, tendo na prmera coluna os valores de varável ndependente e na segunda coluna os valores de Y varável dependente, conforme fgura ao lado. Etapa : Informar ao MathCad qual coluna contem os valores de e qual contem os valores de Y. Isto é feto da atraves do botão Matrx Column da barra de ferramentas Matrx, conforme abaxo: Escreva Clque no ícone := Assgn Value da barra de ferramentas Calculator Escreva MAT Clque no botão Matrx Column da barra de ferramentas Matrx. Aparecerá o quadrado preto entre os símbolos <> como expoente de MAT onde se deve dgtar 0, conforme abaxo. Escreva Y Clque no ícone := Assgn Value da barra de ferramentas Calculator Escreva MAT Clque no botão Matrx Column da barra de ferramentas Matrx. Aparecerá o quadrado preto entre os símbolos <> como expoente de MAT onde se deve dgtar, conforme abaxo. Etapa : Informar ao MathCad qual a ordem do polnômo a ser usado no ajuste polnomal. Isto é José Antelo Cancela Pág. 6

38 feto da segunte forma: Escreva K ou uma outra varável Clque no ícone := Assgn Value da barra de ferramentas Calculator Escreva ou outra ordem e tecle Enter. Etapa 4: Armazenar em uma varável a função regressmx, vy,n, conforme abaxo: Escreva W ou uma outra varável Clque no ícone := Assgn Value da barra de ferramentas Calculator Selecone na barra de menu Insert Functon Na janela Insert - Functon selecone a função regressmx, vy,n, e clque OK. Aparecera o argumento da função regressmx, vy,n, com três quadrados pretos ndcando onde dgtar os dados. o No prmero quadrado e dgte o No segundo quadrado e dgte Y o No tercero quadrado e dgte K o Tecle Enter. A função deverá estar conforme abaxo. Etapa 5: Crar o polnômo através da função nterpw,,y,s, conforme abaxo: Escreva FZ Clque no ícone := Assgn Value da barra de ferramentas Calculator Selecone na barra de menu Insert Functon Na janela Insert - Functon selecone a função nterpvs, Mx,My,x, e clque OK. Aparecera o argumento da função nterpvs, Mx,My,x, com três quadrados pretos ndcando onde dgtar os dados. No prmero quadrado e dgte W No segundo quadrado e dgte No tercero quadrado e dgte Y No quarto quadrado e dgte Z Tecle Enter. A função FZ, que é o polnômo de ordem K deverá estar conforme abaxo. Exercíco: Determne o polnômo de 6ª ordem que melhor representa os valores abaxo e calcule seu valor nos pontos =,75 e =, F 0,470 7,7,089,606 49,79 55,59 95,44,75 78,008 7,857 José Antelo Cancela Pág. 7

39 Etapa : Construção da matrz MAT Clque com o cursor no ponto da tela onde fcará a matrz MAT Escreva MAT Clque no ícone := Assgn Value da barra de ferramentas Calculator Na barra de ferramentas Matrx clque no ícone Matrx Surgrá a janela Insert Matrx, solctando o número de lnhas e o número de colunas. Dgte 0 para lnhas e para colunas e clque OK Aparecerá uma matrz com quadrados pretos no lugar onde serão dgtados os números. Dgte os valores, utlzando a tecla TAB para passar para o próxmo. Uma vez concluída a dgtação, deverá estar conformefgura ao lado Etapa : Defnção das colunas de e Y Informar ao MathCad qual coluna contem os valores de e qual contem os valores de Y. Isto é feto da atraves do botão Matrx Column da barra de ferramentas Matrx, conforme abaxo: Escreva Clque no ícone := Assgn Value da barra de ferramentas Calculator Escreva MAT Clque no botão Matrx Column da barra de ferramentas Matrx. Aparecerá o quadrado preto entre os símbolos <> como expoente de MAT onde se deve dgtar 0, conforme abaxo. Escreva Y Clque no ícone := Assgn Value da barra de ferramentas Calculator Escreva MAT Clque no botão Matrx Column da barra de ferramentas Matrx. Aparecerá o quadrado preto entre os símbolos <> como expoente de MAT onde se deve dgtar, conforme abaxo. Etapa : Defnção da ordem do polnômo Informar ao MathCad qual a ordem do polnômo a ser usado no ajuste polnomal. Isto é feto da segunte forma: Escreva K ou uma outra varável Clque no ícone := Assgn Value da barra de ferramentas Calculator Escreva 6 ou outra ordem e tecle Enter. Etapa 4: Armazenar em uma varável a função regressmx, vy,n José Antelo Cancela Pág. 8

40 Escreva W Clque no ícone := Assgn Value da barra de ferramentas Calculator Selecone na barra de menu Insert Functon Na janela Insert - Functon selecone a função regressmx, vy,n, e clque OK. Aparecera o argumento da função regressmx, vy,n, com três quadrados pretos ndcando onde dgtar os dados. o No prmero quadrado e dgte o No segundo quadrado e dgte Y o No tercero quadrado e dgte K o Tecle Enter. A função deverá estar conforme acma. Etapa 5: Crar o polnômo FZ através da função nterpw,,y,s Escreva FZ Clque no ícone := Assgn Value da barra de ferramentas Calculator Selecone na barra de menu Insert Functon Na janela Insert - Functon selecone a função nterpvs, Mx,My,x, e clque OK. Aparecera o argumento da função nterpvs, Mx,My,x, com três quadrados pretos ndcando onde dgtar os dados. No prmero quadrado e dgte W No segundo quadrado e dgte No tercero quadrado e dgte Y No quarto quadrado e dgte Z Tecle Enter. A função FZ, que é o polnômo de 6ª ordem e deverá estar conforme abaxo. Etapa 6: Defnção dos coefcentes Escreva W Dgte = gual ou clque na barra Calculator no símbolo = para vsualzar o vetor com os coefcentes do polnômo e clque Enter. O vetor deverá estar conforme fgura ao lado. Para calcular os valores nos pontos =,75 e =,47 proceda conforme abaxo: Escreva F.75 Dgte = gual ou clque na barra Calculator no símbolo = para vsualzar o valor do polnômo no Termo Independente Coefcente de Coefcente de Coefcente de Coefcente de 4 Coefcente de 5 Coefcente de 6 José Antelo Cancela Pág. 9

41 ponto =,75 e clque Enter. Escreva F.47 Dgte = gual ou clque na barra Calculator no símbolo = para vsualzar o valor do polnômo no ponto =,47 e clque Enter. O resultado deverá estar conforme abaxo: Exercíco: O hstórco de consumo de determnada matéra em uma empresa é mostrado na Fg. A. Estme o consumo para os meses seguntes, utlzando um polnômo de 5º grau. Solução: Para construr a matrz polnomal, vamos numerar os meses, conforme Fg. B. Desta forma, uma vez construído o polnômo, calcularemos os valores futuros calculando o valor do polnômo para, 4 e 5, conforme abaxo. Fg. B Fg. A José Antelo Cancela Pág. 40

42 . Construção de Gráfcos Para a construção de gráfcos precsaremos da barra de ferramentas Graph. Por sso, leve o cursor até a barra de ferramentas Math e clque no ícone Graph Palette para atvar esta barra de ferramentas, mostrada na ao lado. Para a construção de gráfcos de funções proceda conforme abaxo: Clque com o cursor no ponto da tela onde fcará a função Dgte a função F Clque na barra de ferramentas Graph no tpo do gráfco desejado. Aparecerá a estrutura do gráfco com os exos conforme fgura ao lado. Dgte no quadrado do exo das abscssas o nome da varável e no do exo das ordenadas o nome da função. A título de exercíco vamos construr o gráfco da função abaxo: Para sto, proceda conforme abaxo: Clque com o cursor no ponto da tela onde fcará a função Dgte a função Clque na barra de ferramentas Graph no ícone -Y Plot. Aparecerá a estrutura do gráfco com os exos e os quadrados para dgtar o nome da varável e da função. No quadrado do exo das varáves dgte No quadrado do exo das abscssas dgte F Tecle Enter. O gráfco deve estar conforme abaxo. Lmte superor de F Lmte nferor de F Lmte nferor de Lmte superor de José Antelo Cancela Pág. 4

43 . Formatação de Gráfcos Conforme vsto no tem anteror, o gráfco é gerado automatcamente pelo MathCad, sem podermos escolher os lmtes nem a escala. No gráfco traçado acma, os lmtes de, entre -0 e +0 foram dtados pelo programa. Isto pode gerar um gráfco que não atenda perfetamente, prncpalmente quando estamos nteressados em conhecer o comportamento da função dentro de certos lmtes da varável. Desta forma, torna-se necessáro alterar as propredades do gráfco gerado. A título de exercíco vamos formatar o gráfco de F gerado no tem anteror da segunte forma: Lmte nferor de :... 0 Lmte superor de :... 5 Lmte nferor de F:... 0 Lmte superor de F: Para sto, proceda da segunte forma: Clque com o cursor do mouse no lmte nferor de. Apague o valor -0 e dgte 0 Clque com o cursor do mouse no lmte superor de. Apague o valor +0 e dgte 5 Clque com o cursor do mouse no lmte nferor de F. Apague o valor -8.8 e dgte o valor 0 Clque com o cursor do mouse no lmte superor de F. Apague o valor 45.7 e dgte o valor 50 O gráfco deve estar conforme abaxo: Além dos lmtes superor e nferor do gráfco podemos formatar também outras propredades, como lnhas de grade, tpos de exo, escala, etc. Vamos formatar o gráfco acma com as seguntes propredades: a Adconar grades horzontal e vertcal b Mudar a escala vertcal para que os valores fquem múltplos de 0 José Antelo Cancela Pág. 4

44 Para sto proceda conforme abaxo Dê um duplo clque sobre o gráfco. Aparecerá a caxa de dálogo Formatng Currently Selected -Y Plot mostrada abaxo Selecone as opções conforme fgura acma e clque OK. Formate o gráfco nas abas Traces e Label para que fque conforme abaxo. José Antelo Cancela Pág. 4

45 . Gráfcos de Duas Funções A construção de gráfcos de duas ou mas funções segue os mesmo procedmento que a dos gráfcos de apenas uma função. Para nformar ao MathCad as funções que devem ser plotadas, elas devem ser escrtas no exo das abcssas separadas por, vírgula. Seja, por exemplo, construr os gráfcos das funções abaxo, F e H. F H 50 Uma vez formatado, o gráfco das funções fcará conforme abaxo Dgte F,H José Antelo Cancela Pág. 44

46 . Erro: Exstênca e Propagação. Exstênca do Erro O Erro está presente em todos os campos do Cálculo Numérco, pos: Os valores, em s, não são exatos. Isto decorre do processo de medção, do erro do meddor e da ncerteza do valor verdadero. Por exemplo, um valor de 50m, com uma ncerteza de ±0,, é algo no ntervalo de 49,8 e 50, Quando efetuamos operações com esses valores, o Erro se propaga. Quando efetuamos operações com valores que carregam ncertezas, ela é levada para os resultados. Isto é chamado de Propagação do Erro. Os métodos numércos são, freqüentemente, aproxmados Isto realça que os métodos numércos não são, freqüentemente, exatos. Este método procura valores aproxmados, buscando dmnur o erro e cada teração que é feta. Arredondamento O computador representa números reas com um número fnto de dígtos, sendo abrgado e aproxmá-los quando este demandarem mas dígtos do que ele está programado para usar. Um exemplo é o número e o número e, que terão que ser arredondados, pos seus nfntos dígtos não podem ser representados no computador. Quando representamos um valor por M ± µ, M muto maor que µ, chamamos: µ... Desvo Absoluto ou Erro Absoluto µ / M... Desvo Relatvo ou Erro Relatvo M é o valor absoluto de M. Propagação do Erro Sejam os números abaxo, a e b: a = 60 ± b = 0 ± Desta forma, os valores máxmos e mínmos de a e b são: a:... De 58 a 6 b:... De 7 a a + b José Antelo Cancela Pág. 45

47 A Soma a + b vara de 85 a a - b 58-5 A Subtração a - b vara de 5 a 5 6 x.046 a x b 58 x A Multplcação a x b vara de.566 a.046 Seja: ea... Erro absoluto de a eb... Erro absoluto de b Teremos: a O Erro Absoluto da Soma a ± ea + b ± eb = a + b ± ea + eb O Erro Absoluto da Soma é a soma dos erros absolutos das parcelas. b O Erro Absoluto da Subtração a ± ea - b ± eb = a - b ± ea + eb O Erro Absoluto da Subtração é a soma dos erros absolutos das parcelas. c O Erro Absoluto da Multplcação a ± ea x b ± eb = a. b ± a. eb + b. ea O Erro Absoluto da Multplcação é a soma dos erros absolutos das parcelas, ponderado pelo valor das parcelas. Para analsar o Erro Relatvo, consderemos: José Antelo Cancela Pág. 46

48 Esoma... Erro Relatvo da soma Esub... Erro Relatvo da subtração Eprod... Erro Relatvo da multplcação Ea... Erro Relatvo d e a Eb... Erro Relatvo de b d O Erro Relatvo da Soma Esoma = esoma / a+b = ea / a+b +eb / a+b E soma ea a eb b.. a a b b a b E soma a b Ea. Eb. a b a b O Erro Relatvo da Soma é a soma dos erros Relatvos de cada parcela, ponderada pela respectva parcela. e O Erro Relatvo da Subtração E sub e sub a. a b ea a eb b ea a b eb a b E sub a b Ea. Eb. a b a b O Erro Relatvo da Subtração é a soma dos erros relatvos do mnuendo com o erro relatvo do subtraendo, ponderados pelas respectvas parcelas. f O Erro Relatvo do Produto E prod e a. b prod eb b ea a José Antelo Cancela Pág. 47

49 O Erro Relatvo do Produto é a soma dos erros relatvos dos fatores. g O Erro Relatvo da Dvsão E dv ea eb. a b b. b a b ea a eb b O Erro Relatvo da Dvsão é a soma dos erros relatvos do dvdendo e do dvsor. José Antelo Cancela Pág. 48

50 4. Cálculo de Raízes Um caso clássco de cálculo de raízes de equações são as de segundo grau, da forma: a. x b. x c 0 As duas raízes são dados pela fórmula: x b b 4. a. c. a Contudo, exstem expressões cuja solução não é tão smples, como nos casos abaxo: e x x 0 cos x x 0 Ln x x 0 Também os polnômos, com grau superor a não tem solução smples. Vamos ver adante alguns métodos numércos para cálculos de raízes destas equações, com resultados que, embora aproxmados, estejam dentro de lmtes estabelecdos. 4. Método Gráfco Um gráfco bem plotado pode nos dar uma dea bastante acurada das raízes de equações e, dependendo da precsão requerda, pode resolver nossos problemas. Caso a precsão requerda não seja atendda por este método, ele pode servr de entrada para outros métodos mas aprmorados, que nos levem a precsão desejada. Seja a função: G cos O gráfco da função fcará conforme abaxo: Pela análse do gráfco, constatamos que raz da equação encontra-se entre 0,0 e,0. Caso este erro não seja admssível, poderemos usar esta resposta como ponto de partda para métodos mas precsos. José Antelo Cancela Pág. 49

51 4. Método da Bpartção Este método tenta melhorar a precsão dos resultados obtdos por outros métodos aproxmados como, por exemplo, o método gráfco. º Passo: Escolha de a e b Ele parte de um ntervalo entre dos pontos, a e b, onde exste apenas uma raz, que é o ponto onde a função muda de snal. Os pontos a e b são escolhdos de forma que entre eles exsta apenas uma raz. f x, Sen, x 5,8 55,5 x No gráfco acma podemos afrmar que entre os pontos abaxo exste apenas uma raz: Entre,6 e,8... exste apenas uma raz... a =,6 e b =,8 Entre,8 e,... exste apenas uma raz... a =,8 e b =, Entre,4 e,8... exste apenas uma raz... a =,4 e b =,8 Vamos escolher o ntervalo com a =,6 e b =,8 º Passo: Calcular o ponto médo c c a b José Antelo Cancela Pág. 50

52 º Passo: Calcular o valor da função nos pontos a, b e c Calcula-se Fa, Fb e Fc. Calcula-se também Fa x Fc Podemos agora montar a prmera lnha na nossa planlha Excel, que fcará conforme abaxo: f x, Sen, x 5,8 55,5 x 4º Passo: Posção da Raz Agora vamos reduzr o ntervalo de procura da raz. Para sso vamos determnar se a raz está entre a e c ou entre b e c. e descartar o ntervalo que não contém a raz. A raz está entre b e c. Do gráfco acma constatamos que: A raz está entre b e c José Antelo Cancela Pág. 5

53 fa > 0 e fc > > então fa x fc > 0 fb < 0 e fc > > então fb x fc < 0 Concluímos então que: fa x fc > > A raíz está entre b e c fa x fc < > A raíz está entre a e c 5º Passo: Reduzr o Intervalo de Procura Como vmos, a raz está entre b e c. Desta forma, abandonamos o ntervalo de procura entre a e c. Abandonamos o ntervalo entre a e c O Gráfco fca de segunte forma: Na lnha repetmos b e a assume o valor de c José Antelo Cancela Pág. 5

54 Este Método da Bpartção permte chegar tão próxmo da raz quanto se quera, pos, como descrto acma, a cada teração o ntervalo é dvddo por dos e pode-se contnuar até atngr a precsão descrta. No exercíco acma fo defndo um erro < 0,00. Desta forma, vamos repetr a processo acma até que fa, fb e fc < 0. Uma vez termnado, a planlha estará da segunte forma: Encontramos a raíz na ª teração, cujo valor é,758 Pode-se também utlzar a função lógca SE para determnar os valores de a e b, a partr da ª teração, conforme mostrado abaxo. Os valores de a e b da ª teração células B4 e C4 tem que, obrgatoramente, ser dgtados. Colocando função SE, a planlha fca de segunte forma: José Antelo Cancela Pág. 5

55 Agora seleconamos as células B4:I4 e arrastamos a alça de preenchmento do Excel até entrarmos a precsão desejada. Também podemos determnar raízes de equações pelo Método da da Bpartção utlzando o MathCad, conforme abaxo: F. sn === a Iteração =============================== a.6 b.8 Condções Incas a b c F a F c a.6 b.8 c.7 F a F b.886 F c === a Iteração =============================== a c Escolha do Intervalo a b c F a F c a.7 b.8 c.75 F a F b.886 F c José Antelo Cancela Pág. 54

56 === a Iteração =============================== b c a b c F a F c 0.04 a.7000 b.7500 c.750 F a F b F c === 4a Iteração =============================== a c a b c F a F c a.750 b.7500 c.775 F a F b F c 0.76 === 5a Iteração =============================== b c a b c F a F c a.750 b.775 c.7 F a F b 0.76 F c === 6a Iteração =============================== b c a b c F a F c.0 0 a.750 b.7 c.78 F a F b F c José Antelo Cancela Pág. 55

57 === 7a Iteração =============================== b c a b c F a F c a.750 b.78 c.766 F a F b F c === 8a Iteração =============================== b c a b c F a F c a.750 b.766 c.758 F a F b F c === 9a Iteração =============================== a c a b c F a F c a.758 b.766 c.76 F a F b F c === 0a Iteração =============================== b c a b c F a F c a.758 b.76 c.760 F a F b F c José Antelo Cancela Pág. 56

58 === a Iteração =============================== b c a b c F a F c a.758 b.760 c.759 F a F b F c === a Iteração =============================== b c a b c F a F c a.758 b.759 c.758 F a F b F c === a Iteração =============================== b c a b c F a F c a.758 b.758 c.758 F a F b F c Também podemos determnar raízes de equações pelo método da Elmnação da Bpartção através de programação conforme feto abaxo, utlzando o Pascal, conforme abaxo: José Antelo Cancela Pág. 57

59 José Antelo Cancela Pág. 58

60 4. Método de Newton-Raphson Este método selecona um ponto da função, próxmo da raz, e calcula a dervada da função neste ponto. Seleconamos o ponto xo, calculamos a dervada de fx, que corta o exo x no ponto x Assm temos: Contnuaremos calculando pontos xn até a dferença entre o últmo e o penúltmo pontos calculados esteja dentro da precsão desejada. Assm,temos: Vamos calcular uma raz da equação abaxo: f x, Sen, x 5,8 55,5 x Uma vez construído o gráfco da função seleconamos um ponto qualquer próxmo da raz José Antelo Cancela Pág. 59 F 5 0 5

61 Para este exercíco vamos escolher o ponto.8 e vamos estabelecer um erro <0.00. Assm temos: F. sn o Ponto F 0 d d0 F o Ponto F 0 d d0 F 0 Erro o Ponto F 0 d d0 F 0 Erro o Ponto F 0 d d0 F 0 Erro Desta forma, na 4ª teração atngmos a precsão especfcada e encontramos uma raz.758 José Antelo Cancela Pág. 60

62 5. Resolução de Sstemas de Equações Lneares Os métodos de resolução de Sstemas Lneares podem ser dvddos em Métodos Dretos e Métodos Iteratvos. Independentemente do grupo escolhdo, ambos vsam a resolução de equações do tpo abaxo: Na forma matrcal, o sstema de equações lneares acma fca conforme abaxo: a j Coefcentes das ncógntas, que formam a Matrz dos Coefcentes. b j Termos Independentes, que formam o Vetor dos Termos Independentes. x j São as ncógntas, que formam o Vetor das Incógntas. Os prncpas Métodos Dretos são: Elmnação de Gauss Fatoração LU Os prncpas Métodos Iteratvos são: Jacob Gauss-Sedel Devemos ter em mente que estes são Métodos Iteratvos o número de terações necessáras para atngr a solução está condconado a precsão desejada e que pode ocorrer dos sstema não convergr. Pode ser demonstrado que a condção sufcente, mas não necessára para haver convergênca é que a matrz dos coefcentes seja Dagonalmente Domnante. José Antelo Cancela Pág. 6

63 Em uma matrz Dagonalmente Domnante, para cada lnha, o termo da dagonal prncpal é, em módulo, maor ou gual que a soma dos demas termos da lnha e, pelo menos em uma lnha, o módulo é maor. 5. Método da Elmnação de Gauss Consdere a sstemas de equações abaxo, no qual os coefcentes das ncógntas abaxo da dagonal prncpal são todos zero. A solução deste tpo de sstema de equações, em que os termos abaxo da dagonal prncpal são todos nulos, é medata, pos resolvendo a tercera equação temos: Resolvendo a ª equação temos:,, Analogamente, resolvendo a prmera equação teremos: O Método da Elmnação de Gauss enquadro-se no grupo dos Métodos Dretos e o objetvo é converter um dado sstema de equações para sua forma trangular coefcentes nulos abaxo da dagonal prncpal. Portanto, este método é composto de duas fases: ª Fase forward: Converter o sstema orgnal em um sstema trangular. Elmnar a varável de todas as equações, a partr da segunda. Depos, elmnar a varável de todas as equações, a partr da tercera e, assm sucessvamente. ª Fase backward: Resolver o sstema, começando pela últma varável, depos a penúltma, etc. Seja o sstema de três equações abaxo: José Antelo Cancela Pág. 6,5 7,07,69,9 4,75,6,50,50,0,5

64 a.5 a.5 a.6 b 4.75 a 4.0 a 6.50 a.50 b 8.0 a. a 4. a.70 b.85 a MAT a a a VET a a a a a b b b MAT VET ======= a Lnha = a Lnha - a Lnha x k ======= k a a a a a k a a a k a a a k b b bk a MAT a a a VET a a a a a b b b MAT VET ======= a Lnha = a Lnha - a Lnha x k ======= k a a a a a k a a a k a a a k b b bk a MAT a a a VET a a a.50 a a MAT VET b b b José Antelo Cancela Pág. 6

65 ======= a Lnha = a Lnha - a Lnha x k ======= k a a a a a k a a a k a a a k b b bk a MAT a a a VET a a a a a b b b MAT VET ======= RESULTADOS ======= Usando solução de equações: Pode-se usar também uma lnguagem de programação e crar um programa para determnar as raízes de um sstema pelo Método de elmnação de Gauss. O programa utlzado abaxo fo o PASCALZIM, Versão 5..., desenvolvdo com fnaldades educaconas e de lvre utlzação. José Antelo Cancela Pág. 64

66 O programa desenvolvdo e respectvos resultados são mostrados a segur: José Antelo Cancela Pág. 65

67 Program Metodo_Gauss; Var A: Array[..,..] of Real; B: Array[..] of Real;, j: Integer; k, k, k: Real;,, : Real; Begn {===== A ---> Matrz dos coefcentes =====} A[,]:=.50; A[,]:=.50; A[,]:=.60; A[,]:=4.0; A[,]:=6.50; A[,]:=.50; A[,]:=.0; A[,]:=4.0; A[,]:=.70; {===== Bx--> Vetor dos termos ndependentes =====} B[]:=4.75; B[]:=8.0; B[.85; Wrteln'Matrz A e vetor B'; For := to do Begn {Impressão de A e B} For j:= to do Begn Wrte A[,j], ' - '; End; Wrte '--> ',B[]; Wrteln; Wrteln; End; Wrteln; {===== a Lnha = a Lnha - a Lnha x k =====} k:= A[,]/A[,]; For := to do Begn; A[,]:= A[,]-A[,]*k End; B[]:=B[]-B[]*k; {===== a Lnha = a Lnha - a Lnha x k =====} k:= A[,]/A[,]; For := to do Begn; A[,]:= A[,]-A[,]*k End; B[]:=B[]-B[]*k; {===== a Lnha = a Lnha - a Lnha x k =====} k:= A[,]/A[,]; For := to do Begn; A[,]:= A[,]-A[,]*k End; B[]:=B[]-B[]*k; {====== Impressão de A e B ============} Wrteln; wrteln; Wrteln'Matrz de Gauss'; For := to do Begn For j:= to do Begn Wrte A[,j], ' - '; End; Wrte '--> ',B[]; Wrteln; Wrteln; End; {======= Impressão das Raízes ==========} := B[]/A[,]; := B[]-A[,]*/A[,]; := B[]-A[,]*-A[,]*/A[,]; Wrteln'Raízes: '; José Antelo Cancela Pág. 66

68 Wrteln ' = ',; Wrteln; Wrteln ' = ',; Wrteln; Wrteln ' = ',; Wrteln; Wrteln'Tecle ENTER p/ Termnar'; End. José Antelo Cancela Pág. 67

69 Determnar as raízes do sstema de equações abaxo, pelo Método de elmnação de Gauss, utlzando o PASCALZIM. Program Metodo_Gauss_4Eq ; Var A: Array[..4,..4] of Real; B: Array[..4] of Real;, j: Integer; k, k, k, k4, k5, k6: Real;,,, 4: Real; {A4x4 ---> Matrz dos coefcentes} Begn A[,]:=.55; A[,]:=.70; A[,]:=4.47; A[,4]:=.0; A[,]:=6.4; A[,]:=5.4; A[,]:=.9; A[,4]:=.47; A[,]:=.4; A[,]:=5.90; A[,]:=9.57; A[,4]:=8.0; A[4,]:=.95; A[4,]:=.8; A[4,]:=8.; A[4,4]:=0.5; {B4x ---> Vetor dos termos ndependentes} B[]:=9.650; B[]:=0.4600; B[]:=.50; B[4]:=5.000; {====== Impressão de A e B =====================} Wrteln'Matrz A e vetor B'; For := to 4 do Begn For j:= to 4 do Begn Wrte A[,j], ' ; '; End; Wrte '--> ',B[]; Wrteln; Wrteln; End; Wrteln; {===== a Lnha = a Lnha - a Lnha x k =====} k:= A[,]/A[,]; For := to 4 do Begn; A[,]:= A[,]-A[,]*k End; B[]:=B[]-B[]*k; {===== a Lnha = a Lnha - a Lnha x k =====} k:= A[,]/A[,]; For := to 4 do Begn; A[,]:= A[,]-A[,]*k End; B[]:=B[]-B[]*k; {===== a Lnha = a Lnha - a Lnha x k =====} k:= A[,]/A[,]; For := to 4 do Begn; A[,]:= A[,]-A[,]*k End; B[]:=B[]-B[]*k; José Antelo Cancela Pág. 68

70 {===== 4a Lnha = 4a Lnha - a Lnha x k4 =====} k4:= A[4,]/A[,]; For := to 4 do Begn; A[4,]:= A[4,]-A[,]*k4 End; B[4]:=B[4]-B[]*k4; {===== 4a Lnha = 4a Lnha - a Lnha x k5 =====} k5:= A[4,]/A[,]; For := to 4 do Begn; A[4,]:= A[4,]-A[,]*k5 End; B[4]:=B[4]-B[]*k5; {===== 4a Lnha = 4a Lnha - a Lnha x k6 =====} k6:= A[4,]/A[,]; For := to 4 do Begn; A[4,]:= A[4,]-A[,]*k6 End; B[4]:=B[4]-B[]*k6; {====== Impressão de A e B =====================} Wrteln'Matrz de Gauss'; For := to 4 do Begn For j:= to 4 do Begn Wrte A[,j], ' ; '; End; Wrte '--> ',B[]; Wrteln; Wrteln; End; {===== Cálculo das Raízes ======================} 4:= B[4]/A[4,4]; := B[]-A[,4]*4/A[,]; := B[]-A[,]*-A[,4]*4/A[,]; := B[]-A[,]*-A[,]*-A[,4]*4/A[,]; Wrteln'Raízes: '; Wrteln ' = ',; Wrteln; Wrteln ' = ',; Wrteln; Wrteln ' = ',; Wrteln; Wrteln ' 4= ',4; Wrteln; Wrteln'Tecle ENTER p/ Termnar'; End. José Antelo Cancela Pág. 69

71 Podemos também aplcar o Método Elmnação de Gauss duas vezes, prmero zerando os elementos abaxo da dagonal prncpal e depos acma. Seja o Sstema de equações abaxo: Vamos aplcar o Método Elmnação de Gauss duas vezes para determnar as raízes: a.5 a.5 a.6 b 4.75 a 4.0 a 6.50 a.50 b 8.0 a. a 4. a.70 b.85 a a a MAT a a a VET a a a b b b MAT VET ===== a Lnha = a Lnha - a Lnha x k ========= k a a a a a k a a a k a a a k b b b k a a a MAT a a a VET a a a b b b MAT VET José Antelo Cancela Pág. 70

72 ===== a Lnha = a Lnha - a Lnha x k ========= k a a a a a k a a a k a a a k b b b k a MAT a a a VET a a a.50.8 a a.60 MAT VET 0.9 b b b ====== a Lnha = a Lnha - a Lnha x k ========= k a a a a a k a a a k a a a k b b b k a MAT a a a VET a a a a a.60. MAT VET b b b ====== a Lnha = a Lnha - a Lnha x k4 ========= k4 a a a a a k4 a a a k4 a a a k4 b b b k4 José Antelo Cancela Pág. 7

73 a MAT a a a VET a a a a a b b b MAT VET ====== a Lnha = a Lnha - a Lnha x k5 ========= k5 a a a a a k5 b b b k5 a a a MAT a a a VET a a a b b b MAT VET ====== a Lnha = a Lnha - a Lnha x k6 ========= k6 a a a a a k6 b b b k6 a a a MAT a a a VET a a a b b b MAT VET b b x.50 x.00 x a a b a.50 José Antelo Cancela Pág. 7

74 5. Método de Jacob Os Métodos Dretos tem o nconvenente de alterar a matrz ncal que, no caso de grandes matrzes, pode levar a erros não toleráves. Os Métodos Iteratvos mantém nalterada a matrz prncpal, partndo de uma aproxmação ncal, melhorando contnuamente a aproxmação, até alcançar uma solução acetável. O Método de Jacob sola uma varável em cada equação e aplcar às outras uma aproxmação ncal chegando-se assm a a outra aproxmação, que, espera-se, seja melhor que a anteror. Assm, dado um sstema de n equações e n ncógntas, teremos: x f x, x,..., x n x f x, x,..., xn... x n f n x, x,..., xn Vamos resolver o sstema abaxo pelo Método de Jacob =================== a ITERAÇÃO ================ A A A José Antelo Cancela Pág. 7

75 =================== a ITERAÇÃO ================ D A A D A A D A A D.5 D 0.90 D 0.5 =================== a ITERAÇÃO ================ D A A D A A D A A D 0.7 D D José Antelo Cancela Pág. 74

76 =================== 4 a ITERAÇÃO ================ D A A D A A D A A D 0.8 D 0.0 D 0.75 =================== 5 a ITERAÇÃO ================ D A A D A A D A A D 0.5 D 0. D 0.0 José Antelo Cancela Pág. 75

77 =================== 6 a ITERAÇÃO ================ D A A D A A D A A D D D =================== 7 a ITERAÇÃO ================ D A A D A A D A A D 0.09 D 0.08 D 0.04 José Antelo Cancela Pág. 76

78 =================== 8 a ITERAÇÃO ================ D A A D A A D A A D 0.05 D 0.04 D 0.0 =================== 9 a ITERAÇÃO ================ D A A D A A D A A Desta forma, temos que as raízes do sstema de equações são: = -,5 =,5 =,5 D D D ========== F I M ========== José Antelo Cancela Pág. 77

79 A resolução de Sstemas de Equações pelo Método de Jacob também pode ser feto utlzando o Mcrosoft Excel, conforme abaxo: =ABSD7-D4 José Antelo Cancela Pág. 78

80 Desenvolver um programa em PASCAL para determnar as raízes do sstema de equações pelo Método de Jacob, com precsão de centésmos. Caso a precsão não seja alcançada na centécma teração, o programa deve ser encerrado. Ao fnal, apresentar o resultado, o erro e o número de terações. O programa desenvolvdo e respectvos resultados são mostrados abaxo: José Antelo Cancela Pág. 79

81 Program JACOBI; var,, : real; {Raízes das equações} D, D, D: real; {Dferença entre a raíz N e a N-} A, A, A: real; {Armazena o valor da N- teração} B, B, B: real; I: nteger; Begn :=0; :=0; :=0; D:=; D:=; D:=; B:=0; B:=0; B:=0; I:=0; {Número de terações} I:=0; {Número de terações} End. whle D>=0.00 and D>=0.00 and D>=0.00 and I<00 do begn :=B; :=B; := *-.76*/5.996; {Calcula na a equação} A:=; D:=abs-B; {Dferença entre a teração atual e a anteror} :=B; :=B; := *-.9*/5.5; {Calcula na a equação} A:=; D:=abs-B; {Dferença entre a teração atual e a anteror} :=B; :=B; :=.0-.09*-.88*/7.0; {Calcula na a equação} A:=; D:=abs-B; {Dferença entre a teração atual e a anteror} B:=A; B:=A; B:=A; I:=I+; {Contador de Iterações} end; wrteln'número de terações: ',I; wrteln; wrteln' = ', ; wrteln' = ', ; wrteln' = ', ; wrteln; wrteln'd = ', D; wrteln'd = ', D; wrteln'd = ', D; wrteln; wrteln'tecle <ENTER> para Termnar'; José Antelo Cancela Pág. 80

82 5. Método de Gauss-Sedel O Método de Gauss-Sedel é uma varação do Método de Jacob. Ele também parte de uma aproxmação ncal, geralmente 0, 0, 0,...,0, porém à medda que as raízes são determnadas, elas são usadas desse ponto em dante nas terações seguntes. Este método tende a convergr mas rápdo que o Método de Jacob. Vamos resolver o mesmo sstema pelo Método de Gauss-Sedel. =================== a ITERAÇÃO ================ A A A =================== a ITERAÇÃO ================ 0.66 D A A D A A D A A D.9 D D 0.9 José Antelo Cancela Pág. 8

83 =================== a ITERAÇÃO ================ 0.66 D A A D A A D A A D D 0.0 D 0.08 =================== 4 a ITERAÇÃO ================ D A A D A A D A A D 0.00 D 0.0 D José Antelo Cancela Pág. 8

84 =================== 5 a ITERAÇÃO ================ D A A D A A D A A D D 0.00 D =================== 6 a ITERAÇÃO ================ D A A D A A D A A D D D Desta forma, temos que as raízes do sstema de equações são: = -.5 =.5 =.5 ========== F I M ========== José Antelo Cancela Pág. 8

85 Neste caso em partcular do Método de Gauss-Sedel, é alcançada uma precsão de centésmos na 5ª teração. Comparando o Método de Gauss-Sedel com o Método de Jacob, verfcamos que, neste caso partcular, a precsão atngda pelo Método de Jacob na 9ª teração é atngda pelo Método de Gauss-Sedel na 6ª teração. A resolução de Sstemas de Equações pelo Método de Gauss-Sedel também pode ser feta utlzando o Mcrosoft Excel, conforme abaxo: =-0,66-0,7*F-,88*H/4,968 =ABSD7-D4 =9,604-0,87*D4-,59*H/4,576 =5,695-0,905*D4-,5*F4/5,907 Analogamente ao que fo feto no Método de Jacob, podemos desenvolver um programa em Pascal para determnar as raízes do sstema de equações pelo medo de Gauss-Sedel. José Antelo Cancela Pág. 84

86 Desenvolver um programa em PASCAL para determnar as raízes do sstema de equações pelo Método de Gauss-Sedel, com precsão de centésmos. Caso a precsão não seja alcançada na qunquagésma teração, o programa deve ser encerrado. Ao fnal, apresentar o resultado, o erro e o número de terações. Program GAUSS_SEIDEL ; var A: Array[..,..] of Real; B: Array[..] of Real; n: Integer;,, : real; {Raízes do Stema} D, D, D: real; {Dferença entre a n-éssma teração e a anteror} A, A, A: real; {Armazena o valor do n-éssma teração} I: nteger; {Contador de terações} Begn A[,]:=5.996; A[,]:=0.88; A[,]:=.76; B[]:=0.6; A[,]:=0.998; A[,]:=5.5; A[,]:=.9; B[]:=.76; A[,]:=.09; A[,]:=.88; A[,]:=7.0; B[]:=.0; End. :=0; :=0; :=0; D:=; D:=; D:=; I:=0; whle D>=0.00 and D>=0.00 and D>=0.00 and I<50 do begn A:=; A:=; A:=; := B[]-A[,]*-A[,]*/A[,]; {Calcula na a equação} := B[]-A[,]*-A[,]*/A[,]; {Calcula na a equação} := B[]-A[,]*-A[,]*/A[,]; {Calcula na a equação} D:=absA-; {Dferença entre a teração atual e a anteror} D:=absA-; D:=absA-; I:=I+; end; wrteln; wrteln'número de terações: ',I; wrteln; wrteln'raízes:'; wrteln' = ', ; wrteln' = ', ; wrteln' = ', ; wrteln; wrteln'erro:'; wrteln' D = ', D; wrteln' D = ', D; wrteln' D = ', D; wrteln; wrteln'tecle <ENTER> para Termnar'; José Antelo Cancela Pág. 85

87 Interpolação Polnomal Seja a tabela abaxo, formada por n+ pontos, Y N Y Y0 Y Y Y... YN O objetvo da Interpolação Polnomal é passar por n+ pontos um polnômo de grau n, Px: Px = an x n + an- x n- +.+ a x + a x +a0 Trata-se, então de calcular os n+ coefcentes de Px, an, an-,, a, a, a0, de modo que o polnômo passe pelos n+ pontos da tabela. Temos, então: Px0 = y0 Px = y Pxn = yn Px0 = an x0 n + an- x0 n- + + a x0 + a x0 + a0 = y0 Px = an x n + an- x n- + + a x + a x + a0 = y Px = an x n + an- x n- + + a x + a x + a0 = y.... Pxn = an xn n + an- xn n- + + a xn + a xn + a0 = yn Temos, então, um sstema de n equações e n ncógntas, onde as ncógntas são os coefcentes an, an-,, a, a, a0 do polnômo. Sob a forma matrcal, o sstema fcara como abaxo: Uma vez mas, recordemos o sgnfcado de cada elemento do sstema acma: 0, Y0... Par de coordenadas por onde passará o Polnômo. José Antelo Cancela Pág. 86

88 a... Coefcentes do Polnômo, que são as ncógntas do sstema. Demonstra-se que o determnante da matrz dos pontos, DET, cujo nome é Determnante de Valdemonde, é dado por: DET = x0 x x0 x... x0 xn x x.. x xn... xn- xn Pode ser demonstrado, também, que a solução exste e é únca. Desta forma, exste um únco polnômo de grau n que passa pelos n+ pontos dados. Exste um tpo de sstema que tem um valor de determnante muto pequeno quando comparado ao valor de seus elementos e uma pequena alteração em um dos elementos acarreta uma grande varação no resultado. Este tpo de sstema é chamado de Sstema Mal Condconado. O Determnante de Valdemonde é um Sstema Mal Condconado. José Antelo Cancela Pág. 87

89 José Antelo Cancela Pág Interpolação pelo Método de Lagrange 0... N Y Y0 Y Y Y... YN Deseja-se passar um polnômo de grau n pelos pontos acma. O Método de Lagrange constró n+ polnômos de grau n, que são: L0, L, L, L,... Ln. Estes polnômos são construídos conforme fórmula abaxo: O Polnômo de Lagrange, construído a partr dos n polnômos acma, é dado por: A título de exercícos, vamos determnar o Polnômo de Lagrange que nterpola os pontos Y Como vmos acma, os n polnômos e o polnômo nterpolador de Lagrange são: n n L L Y L Y L Y L Y L n n o L L L L L Y L Y L Y L Y L o

90 Passando para o MathCad, temos a solução: 0 0 Y0 4 Y Y 0 4 Y 44 L0 L L L P Y0L0 YL YL YL Fazendo a verfcação dos resultados, temos abaxo o valor do polnômo nos pontos dados e respectvo gráfco. A dvergênca verfcada entre os valores reas e os valores polnomas deve-se a erros de arredondamento. Caso se deseje, pode-se fazer a solução algébrca para comparar os resultados, conforme abaxo; José Antelo Cancela Pág. 89

91 José Antelo Cancela Pág. 90 Temos então que o Polnômo é: Desenvolvendo no MathCad, temos: L ,750. 0,875. 0,5. 0 L L L.,667. 0, L L 08 0, 0,5. 0, L L.,5 0, L Y L Y L Y L Y L o L L L L L 4 5,9989 0,00. L

92 José Antelo Cancela Pág Interpolação pelo Método de Newton Dferenças Dvddas Seja o conjunto de pontos, Y de uma função Y = F. Defne-se Operador Dferença Dvdda de Prmera Ordem sobre os pontos, Y e +,Y + como: Note-se que Dy é na verdade uma aproxmação da prmera dervada da função nesse ponto. As Dferenças Dvddas das ordens superores também são aproxmações das dervadas dessa ordem. Defne-se Operador Dferença Dvdda de Segunda Ordem sobre os pontos, Y, +, Y + e +, Y + como: Defne-se Operador Dferença Dvdda de Tercera Ordem sobre os pontos, Y, +, Y + e +, Y + e +, Y + como: Defne-se Operador Dferença Dvdda de Ordem r sobre os pontos, Y, +, Y + e +, Y +,..., +r, Y +r como: Defne-se Operador Dferença Dvdda de Ordem Zero sobre os pontos, Y, +, Y + e +, Y +,..., +r, Y +r como: 0,,,...,, n x x y y x x x F x F Dy 0,,,...,, n x x Dy Dy y D 0,,,...,, n x x y D y D y D n,..., 0,, r n r,..., 0,, r r r r x x y D y D y D n y y D,..., 0,,, 0

93 O Polnômo Interpolador com Dferenças Dvddas é um polnômo da forma: n P x y x x. Dy x x. x x. D y x x. x x... x x D y n. 0 Seja o conjunto de pontos abaxo: 0 x 4 8 y Os valores das dferenças dvddas são: x y Dy D y D y /-= -6-9,5+6/4-= 5,5,04-5,5/8-= 0, /4-= -9,5 -,5+9.5/8-=, /8-4 = -,5 8 6 P=0+-.DY0+-.- D Y D Y0 P= , ,64 P x 0,64.5 José Antelo Cancela Pág. 9

94 5.6 Ajuste de Curvas pelo Método dos Mínmos Quadrados O Teorema dos Mínmos Quadrados estabelece que, se um número de meddas é realzado de um mesmo evento físco, onde exste probabldade de erro, então o valor mas provável do valor da medda é aquele que torna a soma dos quadrados dos erros um mínmo Ajuste Lnear Este teorema pode ser aplcado ao caso em que se deseja passar uma lnha reta por um conjunto de pontos. Consdere o conjunto de pontos abaxo: 0... N Y Y0 Y Y Y... YN Exste, então, uma reta, da forma abaxo, que representa o valor mas provável para esses pontos com um valor de erro mínmo. y a b. x O quadrado dos somatóro dos erros é dado por: n n. y a b x Para determnar os valores de a e b que tornam o erro mínmo, calcula-se a dervada e guala-se a zero. n a n b [ y [ y a b. x ] b Evdencando e e dvdndo por n a expressão, temos: a a b. x ] n n [ y a bx x [ y ] 0 a bx ] 0 n n y n a n n n bx 0 n n bx n y n n a n n y a b x 0 0 José Antelo Cancela Pág. 9

95 José Antelo Cancela Pág. 94 Levando este valor para expressão, temos: O Coefcente de Determnação R determna o quanto a reta está próxma dos pontos dados. Este coefcente vara entre 0 e e, quanto mas próxmo de, melhor é o ajuste. A título de exercíco, vamos ajustar o conjunto de pontos abaxo por uma reta. b x y a n bx b x y y x 0 n x x x b y y x 0 ] [ n n x x x b y y x 0 n n x x x y y x b 0, , ,4 b n n x R