EURICO ARRUDA FILHO ESTUDO DA INFLUÊNCIA DA FLEXIBILIDADE DOS DISCOS NAS ROTAÇÕES CRÍTICAS DE ROTORES

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1 URICO RRU FILHO STUO INFLUÊNCI FLXIBILI OS ISCOS NS ROTÇÕS CRÍTICS ROTORS Ts apstada à Faculdad d ghaa do Campus d Guaatgutá, Uvsdad stadual Paulsta, paa a obtção do título d outo m ghaa Mcâca a áa d Pojtos Matas. Otado: Pof.. Clso Pto Moas Pa Guaatgutá 7

2 779 uda Flho, uco studo da fluêca da flxbldad dos dscos as otaçõs cítcas d otos. / uco uda Flho.- Guaatgutá : [s..], 7 f.: l. Iclu apêdc Bblogafa: f. -7 Ts doutoado Uvsdad stadual Paulsta, Faculdad d ghaa d Guaatgutá, 7 Otado: Pof.. Clso Pto Moas Pa. Mcâca dos sóldos I. Título CU 6.7

3 UNSP UNIVRSI STUL PULIST Faculdad d ghaa do Campus d Guaatgutá " STUO INFLUÊNCI FLXIBILI OS ISCOS NS ROTÇÕS CRÍTICS ROTORS" URICO RRU FILHO ST TS FOI JULG QU PR OBTNÇÃO O TÍTULO OUTOR M NGNHRI MCÂNIC PROGRM: NGNHRI MCÂNIC ÁR: PROJTOS MTRIIS PROV M SU FORM FINL PLO PROGRM PÓS-GRUÇÃO BNC XMINOR: Pof.. Maclo dos Satos Pa Coodado Pof.. CLSO PINTO MORIS PRIR Otado/UNSP-FG Pof.. JOSÉ GRLO TRNI BRNÃO UNSP-FG Pof.. MURO PRO PRS UNSP-FG Pof.. MÁRCIO TU LMI UNIFI Pof.. CRLOS LBRTO CHVS UNITU zmbo d 7

4 OS CURRICULRS URICO RRU FILHO NSCIMNTO FILIÇÃO //957 - TUBTÉ / SP uco uda l Pto uda 975/979 Cuso d Gaduação m ghaa Cvl. Uvsdad d Taubaté. 986/989 Cuso d Gaduação m Matmátca. Uvsdad d Taubaté. 99/99 Cuso d spclazação m dmstação d Podução Matas. Uvsdad d Taubaté. 99/995 Cuso d spclazação m Matmátca. Uvsdad d Taubaté. 999/ Cuso d Pós-Gaduação m ghaa Mcâca, ívl d Mstado. Uvsdad d Taubaté.

5 d modo spcal, à mha sposa Maa Hla aos mus flhos Líva Vcto, qu foam os gads ctvados paa qu u cotuass o cuso.

6 GRCIMNTOS m pmo luga agadço a us, fot da vda da gaça. gadço pla mha vda, mha tlgêca, mha famíla mus amgos, ao mu otado, Pof.. Clso Pto Moas Pa qu jamas dxou d m ctva. Sm a sua otação, ddcação apoo, o studo aqu apstado sa mpossívl, às fucoáas da Bblotca do Campus d Guaatgutá pla ddcação, pstza pcpalmt pla votad d ajuda, às sctáas da pós-gaduação, m spcal Rga lsa pla ddcação alga o atdmto, aos pofssos, fucoáos aos téccos Ubao Walt do patamto d ghaa Mcâca, qu muto auxlaam paa qu ss tabalho foss alzado.

7 st tabalho cotou com apoo da Uvsdad d Taubaté, atavés da Pó-toa d Psqusa Pós-gaduação.

8 RRU,.. studo da Ifluêca da Flxbldad dos scos as Rotaçõs Cítcas d Rotos. 7. f. Ts outoado m ghaa Mcâca - Faculdad d ghaa do Campus d Guaatgutá, Uvsdad stadual Paulsta, Guaatgutá, 7. RSUMO O pst tabalho vsa costata a altação as fqüêcas d ssoâca d otos, cosdado o fto da flxbldad dos dscos, bm como o momto flto aplcado ao xo dvdo ao fto goscópco. aáls po matz d tasfêca é utlzada paa obt as fqüêcas atuas do sstma, cosdado-o sm amotcmto, movmto m óbta ccula. Ralzou-s uma fas xpmtal, a fm d s vfca a toa dsvolvda, bm como obsva os modos d vba do dsco, do xo, do sstma dsco-xo, suas spctvas fqüêcas atuas. PLVRS-CHV: Fqüêcas d ssoâca, flxbldad dos dscos, sstmas dsco-xo, método das matzs d tasfêca.

9 RRU,.. Stud of th Ifluc of th Flxblt of scs th ctcal Rotatos of Rotos. 7. f. Thss octoat Mchacal gg - Faculdad d ghaa do Campus d Guaatgutá, Uvsdad stadual Paulsta, Guaatgutá, 7. BSTRCT Th ma objctv of ths wok s to vstgat th soat fqucs of otos, takg to accout ot ol th flxblt of th dscs, but also th bdg momt du to th goscopc ffct appld to th shaft. Th thocal aalss s basd th tasf matx tchqu. Th sstm was assumd to b udampd wth th shaftdsc ccula obt moto. xpmtal wok was cad out od to obta th mod shaps ad th atual fqucs of th dsc, shaft, ad of th dsc-shaft sstm. good colato was obsvd btw th thocal ad xpmtal sults. Kwods: soat fqucs, flxblt of th dscs, dsc-shaft sstm, tasf matx mthod.

10 LIST FIGURS Fgua. - Goscópo...7 Fgua. - Âgulos d ul...9 Fgua. - Compots vtoas d movmto... Fgua. - Compots vtoas das vlocdads... Fgua.5 - Báo da pcssão stacoáa... Fgua.6 - Momto cojugado...5 Fgua.7 - Quatdads d movmto...5 Fgua. - lmto lástco lmto d massa...8 Fgua. - stbução dos aés d massa mola... Fgua. - Modos d vbação... Fgua. - lmto massa lmto mola...5 Fgua.5 - l ccufcal d massa...69 Fgua.6 - tmat d fqüêcas...7 Fgua. - Modlagm do dsco...75 Fgua. - Momto sfoço cotat...76 Fgua. - sfoço dstbuído...76 Fgua. - xo dalzado com massas coctadas...8 Fgua.5 - fomação lástca d uma sção do xo...8 Fgua.6 - lmto d massa potual...86 Fgua.7 - stação od s localza o dsco...88 Fgua.8 - Sstma dsco-xo bapoado...9 Fgua.9 - Sstma dsco-xo com apoo flxívl...9 Fgua. - Foças xcdas plo apoo o xo...9 Fgua 5. - Fqüêca atual vsus otação do dsco...99 Fgua 6. - Baco d tsts - sco flxívl... Fgua 6. - Baco d tsts sao do dsco flxívl... Fgua 6. - Baco d tsts sao do dsco ígdo... Fgua 6. - Sstma atgdo a vlocdad cítca... Fgua 7. - Itação da flxbldad do dsco a lação otação/pcssão...7

11 LIST TBLS Tabla 5. - msõs dados do dsco do xo...97 Tabla 5. - Compaação dos valos obtdos paa fqüêcas atuas Hz...97 Tabla 5. - fto da otação do dsco as fqüêcas atuas...99 Tabla Fqüêcas atuas Hz obtdas a smulação... Tabla Fqüêcas atuas Hz obtdas paa pcssão sícoa... Tabla 6. - msõs dados dos dscos do xo... Tabla 6. - Fqüêcas atuas paa os dos dscos matlo pzolétco... Tabla 6. - Fqüêcas atuas paa os dscos...

12 LIST SÍMBOLOS LTRS LTINS Ídc do -ésmo lmto [-] I Númo d lmtos do dsco [-] Rgdz flxoal do -ésmo lmto [N/m] Módulo d lastcdad logtudal [N/m ] t spssua do -ésmo lmto mola [m] M al Massa do -ésmo al ccufcal [kg] Rao do -ésmo lmto [m] Y, flxão la do dsco, fução d ; [-] flxão la, fução d [m] Númo d ós damtas [-] p Númo d ós ccufcas [-] h Quatdad d movmto agula m lação ao poto O [-] o I p Momto d éca do oto m lação ao su xo d otação [kg.m ] pópa I t Momto d éca do oto m lação ao xo tasvsal qu [kg.m ] passa plo su cto M Momto total m too do xo [N.m] M x Momto m too do xo x [N.m] M Momto m too do xo [N.m] M z Momto m too do xo z [N.m] M, Momto flto, fução d, [N.m] m Momto flto, fução d [N.m] Q, Foça cotat, fução d, [N] q Foça cotat, fução d, [N] Z Vto d vaávs d stado [-] [] Matz d gdz do -ésmo lmto mola [-] [C ] Matz d cofct paa ós damtas [-] [R] Matz d aos do -ésmo lmto mola [-] x,, z Sstma d xos catsaos otatvos [-] xˆ, ˆ, zˆ Vtos utáos a dção dos xos catsaos [-] X, Y, Z Sstma d xos catsaos fcal [-] m Potêca géca [-] a, b Cofcts da quação polomal d dflxão d placas [-] cculas Cofct da solução homogêa da quação d dflxão d [-] placas cculas {} Matz dos cofcts da quação d dflxão d placas [-] cculas [T] Matz campo, pstado o fto do -ésmo al lástco [-] [P] Matz do cagamto do -ésmo lmto massa do dsco [-] [U d ] Matz d tasfêca global do dsco [-]

13 u,j lmtos da matz d tasfêca total do dsco [-] dt Valo do dtmat d uma matz ou submatz [-] d fcal d âgulo [-] G Momto goscópco do -ésmo lmto massa do dsco [Nm] I Momto d éca damtal do k-ésmo lmto massa [kg.m ] [F] Matz d tasfêca paa o -ésmo pa d lmtos massamola [-] do dsco {Z} Matz d tasfêca do dsco [-] [T] Matz d tasfêca global do dsco [-] [L] Matz do cagamto do fto goscópco do -ésmo lmto [-] d massa do dsco t,j lmtos da matz [T] [-] G Momto global qu o dsco xc sob o xo dvdo à [N/m] flxbldad ao fto goscópco G Rlação t o momto global a dflxão agula od o dsco [-] stá localzado Ídc qu df uma stação à squda do poto cosdado [-] Ídc qu df uma stação à dta do poto cosdado [-] stação ao logo do xo I Momto d éca d áa do xo [m ] G Módulo d lastcdad tasvsal do matal do xo [N/m ] Módulo d lastcdad logtudal do matal do xo [N/m ] l Compmto do -ésmo lmto do xo [m] Ídc das staçõs do xo [-] I Númo das staçõs do xo [-] U Tabalho d dfomação do xo [Nm] [UM] Matz d tasfêca do -ésmo lmto lástco do xo [-] [L] Matz d tasfêca do fto do dsco a stação od o [-] msmo s cota g,j lmtos da matz [G] M Massa do -ésmo lmto massa do xo [kg] M d Massa total do dsco [kg] S Áa da sção tasvsal do xo [m ] {Z} Vto d stado [-] UP Matz d tasfêca d poto do lmto [-] U Matz d tasfêca do fto do dsco a stação od o [-] msmo s cota UG Matz d tasfêca global do sstma dsco-xo [-] UF Matz qu psta o fto do apoo flxívl [-]

14 LTRS GRGS,, Âgulos d ul [-],, Vlocdads agulas statâas d pcssão, utação [-] otação pópa do goscópo OXYZ Sstma d fêca fxo [-] ˆx, ŷ, ẑ Vsos a dção dos xos otatvos Oxz [-] Oxz xos otatvos [-] Z Vso da dção do xo fxo Z [-] Vlocdad agula [ad/s] Âgulo adal d dflxão do dsco [ad], flxão agula do dsco, fução d, [ad/m] Massa po udad d compmto ccufcal [kg/m] Vlocdad agula do sstma d fêca otatvo [ad/s] Cofct d Posso do -ésmo lmto [-] Cofct do sfoço csalhat dpdt da sção tasvsal do xo [-] Massa spcífca do -ésmo lmto massa [kg/m ]

15 SUMÁRIO INTROUÇÃO...7. RVISÃO BIBLIOGRÁFIC...8. OBJTIVOS O TRBLHO...5. CONTÚO O TRBLHO...5 FITO GIROSCÓPICO...7. SPCTOS GRIS...7. GIROSCÓPIO Âgulos d ul...8. PRCSSÃO STCIONÁRI UM GIROSCÓPIO.... FITO GIROSCÓPICO PLICO O SISTM IXO ISCO... TRMINÇÃO VIBRÇÃO M ISCOS...8. O MÉTOO S MTRIZS TRNSFRÊNCI MMT spctos Gas Modlagm do sco quação da Rgdz Local...9. MOLGM MTRICIL..... Matz Campo cosda a lastcdad - mola flxão paa o lmto lástco Âgulo d flxão - matz lastcdad paa Momto Flto sfoço Cotat Q Matz Campo Casos spcas paa = = Matz Campo - paa Momto Flto sfoço Cotat Matz Campo - paa Âgulo d flxão Momto Flto sfoço Cotat Matz Poto Codçõs d Cotoo...7 VIBRÇÃO M UM SISTM ISCO-IXO...7. SPCTOS GRIS...7. MOLGM O ISCO lmto Massa lmto Mola Matz d Tasfêca do sco Codçõs d Cotoo NÁLIS O IXO lmto lástco lmto Massa MTRIZ TRNSFRÊNCI PR MSSS CONCNTRS...88

16 .. fto do sco MTRIZ TRNSFRÊNCI GLOBL O SISTM xo Bapoado Codçõs d Cotoo xo com poo Flxívl Codçõs d Cotoo CRITÉRIOS TRMINÇÃO S FRQÜÊNCIS NTURIS RSULTOS NLÍTICOS COMPRTIVOS PLICÇÃO M SISTMS INÂMICOS FRQÜÊNCIS NTURIS O SISTM ISCO-IXO Smulação compaação com uma fêca º caso Smulação plo MMT º caso NSIOS NO BNCO TST INTROUÇÃO OS O BNCO TSTS NSIOS SM ROTÇÃO Rsultados do sao do sstma dsco-xo NSIOS COM ROTÇÃO Rsultados do sao do sstma dsco-xo... 7 COMNTÁRIOS ISCUSSÕS ROTOR SISTM ISCO-IXO CONCLUSÕS PR TRBLHOS FUTUROS RFRÊNCIS... BIBLIOGRFI CONSULT...5 PÊNIC LGORÍTMO OS CÁLCULOS...8 PÊNIC B FLUXOGRM ROTIN...9

17 7 INTROUÇÃO vbação é um fômo físco qu stá cotuamt pst a atuza, também m máquas stutuas qu costtum sstmas físcos poduzdos plo homm. m algus dsss sstmas a vbação é vtal dv-s xploá-la, poém m outos sstmas é dsjávl busca-s duz-la. o logo do tmpo, o studo das vbaçõs a xclusvo d físcos matmátcos; o tato, com a volução dos matas dos pocssos d fabcação, o studo das vbaçõs passou a s assuto também da ghaa. Toda máqua ou stutua possu caactístcas dâmcas qu tfm a maa como o sstma spod às cagas dâmcas as quas stá sujta. stas caactístcas dâmcas são as fqüêcas atuas os modos d vbação do sstma. tualmt, o método utlzado pla dústa paa avala o compotamto vbatóo é sscalmt xpmtal Coutho, 99, codo m custos altos dmadado gad tmpo d dsvolvmto d pojto. sta foma, passou-s a t cssdad d métodos altatvos, qu pmtam smula o dsmpho dâmco dos compots do sstma, ada a fas d pojto, com mos custos. O studo d dâmca d otos é d sscal mpotâca paa o pojto d qupamtos otatvos, além dsso, sstmas opado m altas vlocdads apstam a cotbução do fto goscópco, gado a cssdad d uma aáls mas pofuda dss fômo. O custo lvado dos tsts xpmtas lva a cosda smulaçõs umécas paa vfca o pojto d qupamtos otatvos, vtado a obgação d alza xpmtos dfts paa cada tpo d vaávl a s studada. Cada vz mas, os modlos matmátcos têm sdo dalzados paa smula as codçõs d tabalho d sstmas otatvos avala su compotamto al, o tuto d s obt stmatvas do compotamto vbatóo dos sstmas dâmcos. sts modlos podm ada s mpgados a dtcção d falhas ou a otmzação d sstmas, lacoado as vaaçõs dos paâmtos do sstma su compotamto ao sm ftuadas xctaçõs.

18 8 Hoj m da, máquas otatvas tabalham com alta dsdad d fluxos d ga, dvdo às lvadas vlocdads as quas sus xos são submtdos, poddo oga poblmas d vbação stabldad dos otos. Todo st cáo mplca m altas cagas d éca, lvados ívs d vbação do dsco do xo, ocasoado stabldads dâmcas, as quas são d gad tss paa qu s possa pogostca o compotamto do sstma, acatado um acéscmo das xgêcas dos pojtos paa o dsvolvmto d máquas mas fcts, qu fucom lvs d poblmas d vbaçõs dsjávs qu obtham uma stabldad dâmca actávl. Isto ogou um aumto do úmo d psqusas sob dâmca d otos ocasoado avaços das téccas d aáls d vbaçõs dos métodos aalítcos. Busca-s mao cofabldad dos modlos matmátcos das téccas computacoas paa a smulação dos fômos dâmcos com pcsão. Paa s alza smulaçõs o mas fddgas possívl, é cssáo dsvolv modlos qu possam psta os sstmas as d foma cofávl. Com a faldad d studa o compotamto dâmco d sstmas otatvos, mutas psqusas têm sdo dsvolvdas utlzado tato téccas aalítcas como umécoxpmtas.. RVISÃO BIBLIOGRÁFIC O objtvo dsta sção é vsa os pcpas assutos qu dvão s abodados os capítulos sguts dst tabalho com a faldad d ota o su dsvolvmto. sta vsão tm xpssva mpotâca paa o dsvolvmto dsta psqusa, uma vz qu a msma é fudamtada tato m lvos téccos d autos cosagados da áa, como também m ltatua ctífca técca latóos d xpmtos pátcos. vsão d lvos téccos é patculamt mpotat paa a aqusção d coctos tócos sob os tmas dsvolvdos st tabalho. Já os latóos téccos vsam compd pcpalmt as psqusas alzadas m uvsdads o studo do assuto m pauta.

19 9 sta foma, a vsão acscta fomaçõs mpotats o cohcmto do atual cáo o qu s f às psqusas alzadas a áa. lém dsso, sta tm po objtvo sv como fot d psqusa d fêcas bblogáfcas paa tabalhos futuos. vsos métodos têm sdo psqusados utlzados o studo das soluçõs gas da vbação d xos flxívs, pod-s dstaca: Método d Ralgh-Rtz, Lalla 99, Método dos Modos ssumdos L, 996; Método d Galk Ym, 986; Yum, 99, Método dos lmtos Ftos MF Kag, 99; Mackl 999 Método das Matzs d Tasfêca Kam, 99; Tsa, 988. O Método das Matzs d Tasfêca apsta-s como uma famta xtmamt vatajosa a aáls dâmca d xos otatvos dvdo a sua vsatldad smplcdad o uso, ttato, cota-s um úmo scasso d publcaçõs sob su mpgo, sobtudo cosdado a fluêca do fto goscópco. O Método das Matzs d Tasfêca paa dagóstco d vbaçõs d flxão cou-s com o Método d Mklstad-Pohl Movtch, 967 qu cosst m uma tabulação d laçõs dâmco-lástcas d um sstma, o qual a fqüêca atual é obtda quado as codçõs d cotoo são satsftas. Um studo od o fto goscópco a flxbldad dos dscos são cosdados paa a obtção das fqüêcas d ssoâca d sstmas xo dscos, qu são pstados po mo d lmtos massa-mola é alzado po opk Shoup 97. mpgam o Método das Matzs d Tasfêca com a faldad da obtção das fqüêcas atuas os modos d vbação paa dvsas cofguaçõs xo-dscos. O tabalho d Iwatsubo, Shou Roj 98, pota-s a vbação d toção dos otos acoplados po gags. Icalmt, utlza uma técca uméca d cálculo qu usa o método d matz d tasfêca, paa obtção das vbaçõs lvs foçadas, od, paa smplfcação da aáls, a gdz do dt é modlada como uma mola la, o o da folga do pfl do dt é dscosdado. Os cálculos umécos foam alzados tão m tês casos; a foça qu ag a lha

20 do cotato é somt uma fução das otaçõs as gags, a foça qu ag a lha do cotato é uma fução das otaçõs da flxbldad das gags, dos otos ão são acoplados. Os autovalos, os modos d vbação são calculados os sultados são dscutdos. Suba 987 abodou m su tabalho, pocdmtos matmátcos d cálculo qu pmtam dtma as fqüêcas atuas d tos staadas paa dvsas stuaçõs d svço Paa sso stablcu uma fomulação qu pmtu a dtmação dssas fqüêcas, utlzado o método da matz d tasfêca. O pocdmto cosstu a dsctzação da stutua m lmtos d baas, massas dsctas, molas amotcdos vscosos, paa a pstação da stutua. No tabalho d Fag, Luo 987 o método d matz d tasfêca a toa d lmto d gos fowad backwad são usados o poblma da vbação lv d um oto flxívl com massa alatoamt dstbuída, com o fto goscópco lacoado com suas vlocdads cítcas fuçõs vbacoas cospodts. toa galzada é dsvolvda stdda, mpgada m combação com o método asstótco d Bogolubov-Mtopolsk paa dduz dos gupos d quaçõs dfcas d pma odm o stdo d s calcula a sposta tast do oto. O fômo do acoplamto do oto com duas vlocdads cítcas é também aalsado. Utlzado também o Método das Matzs d Tasfêca L, 99 faz o studo d uma vga otatva d Tmoshko cotdo váos dscos ígdos fos. Vfca também a stabldad dâmca d vgas ufoms com a sção tasvsal ão smétca paa dvsas codçõs d cotoo. O modlo d ul-boull é cosdado as vlocdads cítcas são obtdas, aalsado a stabldad da vga paa dfts codçõs d cotoo. Um método d matz gal d tasfêca GTMM é dsvolvdo o tabalho d L, Shh Kag 99, com a faldad d aalsa as spostas d stado stacoáo d sstmas compostos po oto-olamto com um xo dsqulbado. Nst caso, fo alzada a dvada da matz d tasfêca d sgmtos do xo cosdado as vaávs do stado do xo m um stdo cotíuo do sstma, apstado uma fomulação mas gal. O dsqulíbo do xo, a foça axal, o

21 toqu axal foam aalsados d modo qu a tgaldad do método d matz d tasfêca sja alcaçada. Paa dmosta a fcáca, um xmplo uméco é apstado paa stma o fto do dsqulíbo do xo as spostas d stado stacoáo plo método d GTMM d lmto fto FM. Kam 99 studou dsvolvu o Método das Matzs d Tasfêca utlzado como técca aalítca paa o studo do compotamto dâmco d sstmas otatvos. Sua mtodologa fo aplcada também m otos paa obtção dos modos d vbação. Coutho 99 apsta m su tabalho uma fomulação matcal qu tm como bas o Método das Matzs d Tasfêca, o stdo d s aalsa as fqüêcas atuas d xos homocétcos, admtdo a psça xclusvamt d xctação flxoal, ão cosdado a cotbução do fto goscópco. Rao 995 apstou m sua oba, o Método das Matzs d Tasfêca paa a aáls das vlocdads cítcas d um sstma xo-dsco cosdado o fto goscópco. lgus xmplos são apstados, dmosta qu a apoxmação dos sultados obtdos plo método das Matzs d Tasfêca é mas satsfatóa paa aplcaçõs computacoas qu o pocdmto d Holz covcoal. Kuma, Sujatha Gasa 997, m su tabalho chamam a atção paa a mpotâca da clusão d flxbldad do dsco as fqüêcas atuas d um oto m aáls dâmca. Tal aáls ajuda a pdz a sposta dâmca d otos com mas pcsão das fqüêcas atuas. m sua aáls utlzam uma placa côca qu é modlada atavés do método dos lmtos ftos do oto com a clusão da sua flxbldad. Um studo paamétco também fo xcutado paa vfca as caactístcas d fqüêca do sstma. O studo gualmt apsta a obtção dos modos d vbação d dscos adcoas. aáls d xos otatvos d tasmssão utlzado o Método das Matzs d Tasfêca fo utlzada também po Tosa Tamaga 998, paa dtmação das vlocdads cítcas dos xos lástcos. Uma matz d tasfêca fo fomulada paa a vbação lv paa vbaçõs foçadas. Um modlo oto-motobomba fo aalsado utlzado o método d lmto fto FM também o método d matz d tasfêca TMM paa compaação.

22 Su Mau alzam um studo aalítco das caactístcas dâmcas d um sstma oto-macal plo método d matz d tasfêca. xos gado do sstma são modlados como vgas d Tmoshko cosdado os ftos do momto goscópco. s gags acopladas ao xo são modladas como um pa d dscos ígdos coctado po um sstma mola-amotcdo, o o da tasmssão é smulado po uma xctação do dslocamto. matz d tasfêca d uma das gags é dtmada. vbação do sstma oto-olamto também é studada. São dtmadas fqüêcas atuas fomas cospodts da modaldad, sob dfts vlocdads d otação. Mats apstou a compaação t as aálss uméca xpmtal d um xo taso d um potótpo d um vículo automoto do tpo m-baja. O potótpo fo dsvolvdo utlzado o sstma d xo ígdo a suspsão tasa, sdo qu paa s dtma a fqüêca atual do xo alzous uma aáls uméca utlzado o método das Matzs d Tasfêca. Zu J publcam tabalho o qual o método d matz d tasfêca é dsvolvdo paa aalsa o sstma oto-olamto ão-la. O xo gado é dscto como sdo uma vga d Tmoshko, qu cosda o fto da éca d go. Matzs d tasfêca são dsvolvdas paa os lmtos do xo d Tmoshko, o lmto do dsco, dtmado-s a matz d tasfêca global. sposta d stado stacoáo d gos sub-hamôcos, sup-hamôcos é dtmado usado o método hamôco do cotapso. os xmplos umécos são apstados paa dmosta a fcáca dsta apoxmação. a-m t al. apstam um tabalho o stdo d ofc uma solução paa o poblma do cálculo das caactístcas da vbação d toção utlzado o método das matzs d tasfêca, apstado um ovo poto d vsta sob como cofma as fqüêcas atuas. m su tabalho, Gut aalsou a dfculdad m s cota um pocdmto fct computacoal paa s dtma os valos apoxmados das fqüêcas m codçõs plas d vlocdad d cagamto pos sto qu a solução d um poblma complxo d autovalo. Vfcou qu otas computacoas paa as aízs complxas do oto são mas dfícs do qu o poblma d cálculos da

23 vlocdad cítca. pstou o um pocdmto uméco pátco paa aalsa os gstos do oto. No tabalho d Lu, o método da matz d tasfêca é apstado com a faldad d s aalsa as stutuas d sstmas udmsoas. s fómulas paa calcula os autovalos basados st o método também são apstadas. O método é aplcado paa a aáls da smulação paa os autovalos d um oto com momto goscópco, as dfças obsvadas t os sultados da smulação o cálculo xato são pquas. O método da matz d tasfêca TMM é utlzado o tabalho d Lw, Fg, Hah, com a faldad d s pv o compotamto da vbação d sstmas las d olamto do oto. técca fo utlzada paa cota a sposta do dsqulíbo d sstmas statcamt dtmados com macas hdodâmcos. Su studo aplca uma smulação státca aos sstmas dtmados, pmtdo a utlzação pátca aos sstmas otatvos. técca é utlzada m sstmas smpls d oto com dos quato olamtos. Mosta-s qu, m sstmas statcamt dtmados, o dsqulíbo pod afta ão somt o tamaho da óbta a foma, mas também a dstbução d caga t os olamtos. awso avs, 5 m su tabalho apstam um pocdmto mas fcaz do Método das Matzs d Tasfêca, od apsta uma xtsão do método atavés d uma covgêca quadátca aplcada a fqüêca atual. O método é dscto lustado com a aplcação m poblmas d vbaçõs. Um modlo matmátco smpls qu dscv o movmto d um cojuto dsco ígdo d um xo flxívl gado é alzado po Masoud 5. O modlo foc um studo paamétco paa o compotamto dâmco do sstma poposto. É utlzada uma apoxmação Lagagaa combada com o método, qu cosst m dva as quaçõs qu gm o movmto paa st sstma. O modlo é composto d um xo cotíuo assmétco motado m duas susttaçõs sotópcas, sdo qu, um dsco ígdo com um úmo d lâmas flxívs d gdz d massa ufommt dstbuídas é colocado a xtmdad lv do xo. O fto da flxbldad da stabldad do sstma também é studado. O acoplamto t as

24 lâmas flxívs o xo causou um fto muto pquo as gõs d stabldad. Um studo qu dsvolv um método d matz d tasfêca modfcado paa aalsa as vbaçõs latas d toção do acoplamto do sstma smétco composto po oto-olamto com um toqu xto é apstado po Hsh, Ch L 6. Os âgulos d ul são usados dscv as otaçõs dos lmtos do xo do dsco. dcoalmt, paa alça a xatdão, o xo gado smtcamt é modlado pla vga d Tmoshko utlza-s usa um cocto d sstma cotíuo qu s mostou mlho qu o cocto covcoal. lém dsso, o método hamôco do cotapso é adotado sta apoxmação paa dtma as spostas d stado stacoáo. Falmt, dvsos xmplos umécos são apstados paa dmosta a aplcabldad dsta apoxmação. m su tabalho, Wag Xag 6 aalsam o compotamto dâmco d um sstma qu possu oto com uma tca tasvsal. O método d matz d tasfêca é usado xtsamt paa a aáls dâmca do oto, poém o auto cotou dfculdads m modla a tca. st studo popõ um modlo d tca com lagua cohcda paa smula o fto da dução local da gdz plo método d matz d tasfêca. st modlo é obtdo compaado sultados da aáls do lmto d um xo com uma tca m posção dmsõs cohcdas sus ftos são cotados os sultados do cálculo da matz, com um talh quvalt xpmtal o xo. gomta do xo as dfts modaldads d cagamto são cosdadas com a faldad d mlhoa a galzação do modlo. É poposto um xmplo da aplcação o stdo d calcula vlocdads cítcas d um sstma do oto-dsco com uma tca tasvsal m dfts posçõs. O método d matz d tasfêca é mpgado xtsamt.

25 5. OBJTIVOS O TRBLHO st tabalho tm como objtvo studa o compotamto dâmco d otos com dscos flxívs, apstado uma fomulação mplmtação d uma ota computacoal po mo do softwa MTLB, com lação ao Método das Matzs d Tasfêca, cosdado as fluêcas do fto goscópco as popdads dos macas. Tal studo é mpotat paa o lvatamto otmzação d paâmtos cítcos m compots mcâcos. Todos os pogamas d aáls dâmca d otos m uso atualmt cosdam os dscos como copos ígdos. sta apoxmação, galmt é satsfatóa, o tato pod s otmzada s o dsco apsta uma fqüêca póxma da fqüêca d ssoâca do oto. st studo pmt o famto dtfcação d faxas d tabalho dos paâmtos mas cítcos do sstma, poddo duz d maa xpssva, quaçõs matmátcas mdçõs xpmtas volvdas a cocpção tóco-xpmtal do sstma. O studo do fto goscópco tm como objtvo aalsa as taçõs dâmcas qu acotcm quado o sstma s cota sob a ação d vlocdad otacoal, como po xmplo, as vaaçõs sofdas pla fqüêca pla ampltud. Ptd-s dsta foma dtma o compotamto dâmco do sstma, paa qu s stablçam as vaávs qu tfm m su dsmpho vbatóo, d tal foma qu s possa stablc um modlo smplfcado paa sua aáls.. CONTÚO O TRBLHO O tabalho fo ogazado d foma qu pmta uma compsão gadual do fômo goscópco suas fêcas o sstma, dsvolvdo-s cada capítulo d foma sqücal. Icalmt, o capítulo, faz-s uma todução od é apstada a mpotâca do studo da dâmca d otos, o tuto d s obt stmatvas do

26 6 compotamto vbatóo dos sstmas dâmcos, modlos matmátcos a dtcção d falhas ou a otmzação d sstmas. No capítulo, alza-s a xposção do fto goscópco, dado-s êfas à caactzação dss fômo sob a ótca da físca da matmátca. São apstadas suas pcpas fluêcas o compotamto vbatóo do sstma xo-dsco, com o dsvolvmto da fomulação cssáa, dtmado-s a xpssão matmátca qu o dscv. O tabalho avaça com a apstação do Método das Matzs d Tasfêca, sus coctos, pocdmtos utlzação a smulação computacoal. O capítulo tata ada da fomulação matcal paa a aáls d vbaçõs d dscos flxívs, cosdado o fto goscópco. O modlamto do dsco é alzado atavés do Método das Matzs d Tasfêca. s fomulaçõs matcas paa a aáls d vbaçõs do xo lástco são alzadas o capítulo, bm como a dtmação da matz d tasfêca global a qual é composta plas fuçõs d tasfêca d cada compot do sstma, coduzdo a um modlo paa a obtção das caactístcas dâmcas do sstma xo-dsco. svolv-s também a mplmtação d uma ota computacoal utlzado o softwa MTLB, pmtdo a utlzação do Método das Matzs d Tasfêca paa os casos d macas ígdos macas flxívs, sdo qu algumas otas cotam-s lstadas o pêdc I. Na sqüêca, o capítulo 5, faz-s uma compaação dos sultados obtdos da aáls dâmca d um sstma dsco-xo-macal atavés d métodos aalítcos d fêcas, do Método das Matzs d Tasfêca. O capítulo 6 apsta uma sé d saos alzados o baco d tsts da UNSP - Guaatgutá, apstado sus sultados, compaado-os com os sultados obtdos atavés da mtodologa adotada. No capítulo 7 são apstadas as coclusõs obtdas a pat dos sultados cotados apsta sugstõs paa futuos tabalhos

27 7 FITO GIROSCÓPICO. SPCTOS GRIS No studo d vbaçõs dâmca d sstmas mcâcos, a aáls do compotamto das máquas otatvas hozotas omalmt é bastat complxa, sto poqu stas máquas são costtuídas po otos, xos, macas tc.. sta foma, paa o studo do compotamto dâmco é cssáo s dtma a tação d todos os compots do sstma, suas fluêcas. Nst capítulo, dscvm-s as caactístcas físcas do fto goscópco, bm como os fatos qu popcam su apacmto, ada as taçõs dâmcas dl povts.. GIROSCÓPIO Goscópo é um mcasmo qu cosst d um volat otatvo oto d massa m, qu stá apoado um xo cujos macas são colocados um supot ccula cada, com um pologamto qu s apóa uma colua Fgua. Bto Faha,. Fgua. - Goscópo

28 8 o ga o oto m too d su pópo xo, com vlocdad agula s, o sstma todo á ga m too do xo da colua com vlocdad agula p domada vlocdad d pcssão do goscópo. da mas, quado o goscópo sof pcssão m too d uma colua vtcal, o xo do oto omalmt oscla paa cma paa baxo. ssas osclaçõs do xo são domadas d utação, qu são pftamt vsívs quado as vlocdads são baxas. Sdo assm, a xtmdad do xo do oto dscv uma cuva odulada. m gal, as ls d Nwto mplcam o uso d fcas cas, poém quado s ptd aalsa o movmto d otação d um copo ígdo m lação a um fcal fxo, qu é o caso do movmto d um goscópo, é mas covt o uso d sstmas ão cas, como o sstma com coodadas otacoas. z-s qu há movmto goscópco, quado o xo m too do qual um copo cota-s odado, possu um movmto d otação m too d outo xo, qu é coplaa com o pmo Bto Faha,. Quado um copo potado d gad quatdad d movmto agula m too d um xo é foçado a mov-s d modo qu ss xo g m too d um sgudo xo, sug um movmto domado momto goscópco, qu pcsa s qulbado d alguma maa. Isto oco, po xmplo, as odas datas d um vículo quado faz uma cuva m alta vlocdad. Um goscópo apsta duas popdads fudamtas: éca goscópca ou gdz o spaço, qu é uma cosqüêca da pma L d Nwto, a pcssão, qu é a clação do xo m âgulo to at a qualqu foça qu tda a modfca o plao d otação. ssm, aplca-s galmt o tmo goscópo, a dscos motados m supots cadâcos, d tal foma qu possa ga lvmt m qualqu dção, fazdo com qu o momto goscópco ão possa s tasmtdo... Âgulos d ul Paa s obt a otação d um copo ígdo o spaço são cssáas tês coodadas dpdts,,, qu são domados âgulos d ul

29 9 pstam tês dslocamtos agulas qu lvam à tasfomação d um sstma d coodadas a outo, mboa as otaçõs ão sjam sob tês xos otogoas Fgua.. ssa sqüêca utlzada paa os âgulos ulaos,,, sua vaação com o tmpo, dfm as vlocdads agulas statâas,, d pcssão, d utação d otação pópa sp do goscópo, spctvamt, o stat cosdado. O movmto d sp d um oto goscópco é sposávl paa vta qu o copo m otação caa, matdo-s m pcssão m too d um xo vtcal. O movmto d copos ígdos com um poto fxo m um spaço cal sá aalsado, od Z é usualmt domado xo do copo o xo z domado d xo d pcssão. z x Fgua. - Âgulos d ul Utlzado-s o sstma d fêca fxo OXYZ, a vlocdad agula do goscópo pod s xpssa como sdo a soma das tês vlocdads agulas pacas, qu cospodm spctvamt à pcssão, à utação à otação pópa do goscópo.

30 Chamado d ˆx, ŷ ẑ os vsos a dção dos xos otatvos Oxz, d vso da dção do xo fxo Z fxo, tm-s a xpssão da vlocdad agula Fgua.: Z o. Zˆ. ˆ. zˆ. sdo: d d d,.a dt dt dt O sstma d xos otatvos, Oxz fxo o al to, é mas apopado paa s dtma os compots da vlocdad agula, pos são os xos pcpas d éca do goscópo mboa o acompahm m sua pcssão utação, ão patcpam d sua otação pópa. Fgua. - Compots vtoas d movmto Os compots do vto obtdo ão são otogoas, dsta foma, é cssáo s ftua a dcomposção do vto utáo Ẑ m compots ao logo dos xos x, dsta foma tm-s:

31 Zˆ s.ˆ x cos. zˆ. ftuado-s a substtução a., tm-s:. s.ˆ x. ˆ.cos. zˆ. sta foma, os compots d sgudo os xos móvs são: x. s,. cos z Tdo m vsta qu os xos coodados são os xos pcpas d éca, os compots do momto agula h o podm s obtdas atavés do poduto dos compots d plos momtos d éca do oto m lação à x, z, spctvamt. Chamado d I p o momto d éca do oto m lação ao su xo d otação pópa, d I t o momto d éca do oto m lação ao xo tasvsal qu passa plo su cto, ada, dspzado a massa dos aés, obtém-s: h o I.. s.ˆ x I.. ˆ I..cos. zˆ. t t p Os xos otatvos stão fxos o al to, ão possudo dsta foma, otação pópa, o qu pmt dca a vlocdad agula do sstma como sdo:. Zˆ. ˆ.5 Ou ada, substtudo o valo d Ẑ obtdo m.:. s.ˆ x. ˆ.cos. zˆ.6

32 Quado um copo ígdo ga m too d um poto fxo, obtém-s uma quação qu volv todos os momtos das foças aplcadas ao copo ígdo m lação a O. M o h o o h.7 Substtudo os valos obtdos paa h o das quaçõs..6 spctvamt, a quação.7 pod-s obt as tês quaçõs dfcas, cospodts a cada xo catsao: M x I t. s...cos I...cos p.8 M..cos.. I t s I p s cos.9 d M z I p.cos. dt. PRCSSÃO STCIONÁRI UM GIROSCÓPIO No movmto gatóo há um caso spcal o qual é possívl uma smplfcação das quaçõs atos. st caso é cohcdo como pcssão stacoáa, o qual o âgulo d utação as vlocdads agulas d pcssão, d otação pópa pmacm costats. Nst caso, a vlocdad agula do goscópo, su momto agula h, a vlocdad agula do sstma d fêca otatvo Fgua., duzm-s spctvamt à: = - s. xˆ z zˆ.

33 h I s xˆ t I p z. zˆ. s xˆ cos. zˆ. Sdo qu, cos é o compot ao logo do xo d otação pópa, z da vlocdad agula total do goscópo. Como são costats, o vto quatdad d movmto agula, também o é, m módulo dção, m lação ao sstma otatvo d fêca, sua dvada / t m lação a tal sstma também é ula; Logo: h h. M h qu s alta, após substtução das quaçõs.. m: M I I cos s ˆ,.5 p z t Z z z. ^ z. s. xˆ.ẑ. ^ O x Fgua. - Compots vtoas das vlocdads

34 Cosdado qu é váldo atbu paa pquos âgulos d utação: cos, a quação.5 pod s scta como: s M I I. ˆ p z t.6 O sgudo mmbo da quação.6 psta o cojugado qu dv s aplcado m too d um xo ppdcula ao xo d pcssão ao xo d otação pópa do goscópo paa mat sua pcssão stacoáa m too do xo d pcssão com âgulo d utação costat; v Fgua.5. Z z.ẑ.ẑ B B O M x Fgua.5 - Báo da pcssão stacoáa. FITO GIROSCÓPICO PLICO O SISTM IXO ISCO O movmto goscópco apac o sstma vbat xo-dsco quado o xo d otação pópa do dsco muda d dção. Isto causa o apacmto d um momto ou cojugado m um xo, o qual é ppdcula aos xos d otação pópa d pcssão Fgua.6.

35 5 z Y. s. zˆ X.xˆ xo d go Z.xˆ.xˆ x M Fgua.6 - Momto cojugado ftuado a dcomposção da vlocdad agula d pcssão o sstma acoplado ao dsco, calculado as quatdads d movmto m lação ao xo ppdcula ao xo d pcssão o d otação Fgua.7, tm-s: z Y I t.. s. zˆ X xo d go Z O.cos.ˆ x s.ˆ z I p.. xˆ x M Fgua.7 - Quatdads d movmto

36 6 O momto sultat m too do xo pod s obtdo po mo do poduto vtoal da q..7; M h.7 Sdo qu:. s zˆ.cos xˆ.7a Fazdo o poduto vtoal, têm-s: M xˆ.cos I p. ˆ zˆ. s I s t...8 M I. s I ² s cos ˆ p t.9 Paa pquos âgulos d dflxão do xo pod-s apoxma cos s, potato: M I I. ².. p. t ou ada: M I I... p t quação. pmt dtma o momto qu dv s aplcado a fm d qu o sstma t m pcssão com âgulo d utação ; ou sja: M I. I.... t p

37 7 sta quação. pmt calcula o momto qu o dsco xc sob o xo d otação dvdo ao fto goscópco, caso o sstma t m pcssão com âgulo d utação.

38 8 TRMINÇÃO VIBRÇÃO M ISCOS. O MÉTOO S MTRIZS TRNSFRÊNCI MMT.. spctos Gas O Método das Matzs d Tasfêca MMT costtu-s uma famta vsátl pcsa, útl a aáls dâmca d stutuas tdo m vsta a facldad m sua mapulação, comptdo o mo técco-ctífco com o Método dos lmtos Ftos lmda, 99. psta-s os pcípos os coctos do Método das Matzs d Tasfêca, com a faldad d s faz uma aplcação dta ao sstma xo/dsco/macal. Com a faldad d faclta a dscção do Método das Matzs d Tasfêca, é cssáo toduz algus coctos báscos. lmto - é a mo pat m qu a stutua s dvd quado d sua dsctzação pod s d campo campo lástco ou d poto massa potual Fgua.. Sstma - é composto d cto úmo d lmtos, cada lmto stá stuado t dos potos do sstma Fgua.. m... lmto lástco m... lmto d massa Fgua. - lmto lástco lmto d massa Vaávs d stado - são as gadzas d tss do sstma, dt as quas, as dflxõs la agula, os momtos flto os sfoços cotat.

39 9 Vto d stado - é uma matz colua composta plas vaávs d stado do sstma, spcfcado os dslocamtos as foças tas m um poto do sstma, sdo st poto o xtmo d um lmto lmda, 99. Matz Tasfêca - lacoa os vtos d stado t dos potos do sstma, tasfdo um vto d stado paa outo, cosdado paa sso as caactístcas lástcas ou dâmcas do lmto ou sgmto. Galmt os potos scolhdos são os xtmos do lmto. S a matz tasfêca lacoa as codçõs sob os dos lados d um lmto d campo lástco, ssa matz d tasfêca cb o om d Matz Campo, s la lacoa as codçõs dos dos lados d uma massa potual, é domada Matz Poto... Modlagm do sco modlagm tm po objtvo, toa possívl a aáls do compotamto mcâco m stuaçõs cítcas m stuaçõs stávs, pmtdo assm o quacoamto d uma stuação qu ão poda s obtda m sstmas as, dvdo às lmtaçõs do sstma dsco-oto-macal. Na modlagm d osso sstma, calmt o dsco dv s duzdo a um modlo quvalt, possívl d s quacoado. Paa tato, dv-s pstá-lo po uma sé d aés ccufcas, domados aés d massa aés d placa, cada qual localzado m uma posção dstta cohcda, ao logo do ao do dsco. O al d massa ão apsta popdads lástcas, mas dv cosda o momto d éca da massa, uma vz qu o msmo xc um momto d ação dâmca a stação od stá localzado cotbudo a vbação do dsco. O al d placa apsta popdads flxoas, quvalts ao tcho al do dsco, poém ão possu massa é cosdado d spssua costat. t dos aés d massa, xst um al ccufcal d placa... quação da Rgdz Local

40 m tmos d paâmtos locas, pod-s quacoa a gdz flxoal do - ésmo al lástco sgudo do -ésmo al d massa, como: t. od: é o módulo d lastcdad logtudal, t é a spssua do -ésmo lmto, é o cofct d Posso do -ésmo lmto. massa do -ésmo al ccufcal sá obtdo po: M al t. od: é a massa spcífca do -ésmo lmto massa, é o ao do -ésmo lmto. massa po udad d compmto ccufcal, é obtda po: M = al t. Qualqu massa adcoal, povt, po xmplo, da cotbução d pás a xtmdad do dsco, podá s cosdada ssa massa dstbuída. Fgua. apsta a modlagm adotada.

41 + Fgua. - stbução dos aés d massa mola. MOLGM MTRICIL.. Matz Campo cosda a lastcdad - mola quação qu gova a dflxão d um al lástco ccufcal sm massa, spssua costat, t duas staçõs é Tmoshko Woowsk, 959: Y,. Paa o studo das placas cculas é covt utlza-s um sstma d fêcas m coodadas polas, sdo a ogm das coodadas cocdt com o cto da placa. Logo, a quação. pod s scta m coodadas polas Tmoshko Woowsk, 959: Y,.5 Os modos d vba são dsctos plos ós adas damtas, podm s pstados cofom Fgua..

42 = ós damtas p = ós ccufcas Fgua. - Modos d vbação... flxão paa o lmto lástco Fução d flxão Y dv s scolhda d foma adquada, com a faldad d dscv os modos damtas adas, potato adota-s. Y cos,.6, Y, logo:.. cos.7 ssm, após dtma as dvadas pacas ftua as dvdas smplfcaçõs tm-s: d d d d d d d d +.8

43 quação.8 é d foma qudmsoal da quação. homogêa, possu solução do tpo Iv Mullaux, 959: =. m.9 Od, m é a potêca géca d. Substtudo a solução.9 a quação.8 obtém-s a xpssão, a sgu: m m m m mm m mm + m. quação. tm como possívs aízs os fatos dvsos do tmo dpdt, ou sja, as povávs soluçõs são: m = ± ; m = ± ou m = ± ftuado-s a substtução d m = ± a quação. vfca-s qu ambos os casos são soluçõs, potato, a xpssão. pod s duzda paa a foma: m m m m B m m B m m B. Compaado a xpssão. com., obtêm-s os valos d B: ; B Substtudo-s os valos d B a quação do º gau m m B, obtêm-s as aízs mascts:

44 m m m m sta foma, pod-s afma qu as aízs da quação. são: m m, m, m ; stas aízs focm quato soluçõs homogêas dsttas, xcto paa o caso m qu = =. ssm, paa o caso gal, tm-s:, paa ;. od:,, são costats a sm dtmadas. Nos casos od as aízs são duplas, tm-s:, paa ;., paa.. s quaçõs.,.. dscvm a foma da flxão paa o lmto lástco.

45 5... Âgulo d flxão - matz lastcdad paa O Âgulo Radal d flxão do dsco, m qualqu poto, sá Tmoshko Woowsk, 959:, cos,.5 Paa o caso gal da quação. tm-s: ; Momto Flto O módulo po udad d compmto ccufcal do vto momto flto a dção tagcal Tmoshko Woowsk, 959 é dado po: m M cos, Y Y Y.7 Sdo qu, paa o caso gal, as quaçõs.6,..7 solvdas, focm: M cos, M cos cos cos,

46 6 m cos cos cos cos vddo toda a xpssão po cos, tm-s: m.8 Sabdo qu a dvada pacal: Substtudo a quação.8, tm-s: [ m ] ] [ ] [ m.9 } ] [ ] [

47 7 Smplfcado as xpssõs t,,, tm-s: [ ] [ ] = [ ] [ ] = [ ] = [ ] = [ ] [ ] = - Substtudo os sultados das smplfcaçõs, a quação.9 tm-s: m { + [ ] } Colocado m vdêca: m {.

48 8... sfoço Cotat Q v-s agoa, dtma o sfoço cotat Q o xtmo d cada al d dsco po udad d compmto ccufcal é dado po Tmoshko Woowsk, 959: q Q cos,. Paa o caso gal, solvdo cada dvada pacal m pats spaadas, têms: a ]cos ] [ ]cos [ b ]cos [

49 9 ]cos [ c cos cos d cos cos cos cos cos cos cos cos Rudo as xpssõs d a, b, c, d, d foma covt, tm-s:

50 5 { q } k pós as smplfcaçõs, tmos: } { q. codção d stado m qualqu lmto ccufcal do dsco é dfda plos quato paâmtos mutuamt dpdts qu são spctvamt a dflxão la Y, o âgulo d dflxão, o momto flto M o sfoço cotat Q m qualqu lmto ccufcal do dsco, todos foam dtmados po mo das quaçõs.,.6,.., dfm o vto d stado paa o sstma, dvdo s pstado a foma matcal qu é mas covt, ou sja: Z } { C R. od: {Z} é o Vto d stado } { q m Z.

51 5 [R] é a matz d aos do lmto d mola R.5 C é a matz d cofcts paa ós damtas, sdo fução também do cofct d Posso C.6 é a matz dos cofcts da quação d dflxão d placas cculas.7 [] é a matz d gdz do lmto d mola.8 Paa o -ésmo lmto ccufcal, localzado após a -ésma stação, pods scv as quato quaçõs paa a stação póxma do -ésmo al massa; od a otação squda dta é usada paa sgfca as dfts

52 5 staçõs, as quas são atos ao -ésmo al d massa, como mostado a Fgua.. Na stação, a costat as quaçõs das costats {} dvm s dtfcadas com o ídc paa lmba sua assocação como o -ésmo al d mola. Tm-s tão, m otação matcal; Z C R.9 Na outa xtmdad do msmo al lástco, tmos, potato a quação cospodt, a foma matcal sá: Z C R. x lmto mola q m m q m lmto massa m q Fgua. - lmto massa lmto mola

53 5 Icalmt, lma-s a matz dos cofcts da quação d dflxão d placas cculas. sta foma, obtêm-s: Z C R R C T Z. Pod-s tão scv: Z T Z. m sguda, alza-s o poduto R R, obtdo-s: R R =. tmado a matz C

54 5 C = 8. tmado a matz.5 q m Z.6 q m Z Matz Campo Casos spcas paa = = Nos casos m qu as aízs da quação dfcal.7 são duplas, ou sja, quado = quado =, utlza-s as quaçõs.. spctvamt. stas quaçõs podm s sctas com sus cofcts abtáos modfcados, com a faldad d s lma algus tmos logaítmcos ao s substtu = as quaçõs já dsvolvdas.

55 55, paa. ;, da msma foma,. paa. ;...5. Matz Campo - paa v-s dtma os lmtos paa o caso = Âgulo d flxão O dsvolvmto é smlhat ao do caso gal, ou sja, paa o caso, tdo m vsta as quaçõs: q..6, cos, Y q.. ; paa, q..5, cos, Y, q..8, as quaçõs.6.5 pod-s obt qu: =.8

56 56 plcado a quação. tmos: ou Momto Flto O módulo po udad d compmto ccufcal do vto momto flto a dção tagcal Tmoshko Woowsk, 959 é dado po quação.7: q.7 m M cos, Y Y Y ou M cos, Y Y m cos cos m cos cos

57 57 m cos cos Smplfcado substtudo =, tm-s: m. m.... sfoço Cotat v-s agoa, dtma o sfoço cotat Q o xtmo d cada al d dsco Tmoshko Woowsk, 959: q Q cos,. tmado cada dvada spaadamt, tm-s: a cos ou

58 58 cos b cos ou cos c cos l cos d cos ou cos. cos Substtudo os valos cotados paa as dvadas pacas a quação., aplcado a codção =, obtém-s:

59 59 q q, q. codção d stado do lmto ccufcal do dsco a codção = é dfda plos quato paâmtos mutuamt dpdts qu foam dtmadas qu dfm o vto d stado paa o sstma, dvdo s pstado a foma matcal qu é mas covt, ou sja: Z } { C, R. Z } {, C R. od: } { q m Z. R.5

60 6 l l l l, o C.6.7 [] é a matz d gdz do lmto d mola.8, o C.9 Z } { C, R Z } {, C R Z, o C R R, o C Z.5

61 Matz Campo - paa v-s dtma os lmtos paa o caso = Âgulo d flxão O dsvolvmto é smlhat ao do caso gal, ou sja, paa o caso tdo m vsta as quaçõs:, q..6 Y, cos, Y q..5, cos,, q..9., as quaçõs.6.5 pod-s obt qu: q..8 = plcado a quação. tmos: -.5

62 Momto Flto O módulo po udad d compmto ccufcal do vto momto flto a dção tagcal Tmoshko Woowsk, 959 é dado po: q.7 m M cos, Y Y Y M cos, m cos cos cos cos cos m m cos cos m 6 m 6

63 6 m 6 Smplfcado aplcado a codção =, tm-s: m m.5... sfoço Cotat v-s agoa, dtma o sfoço cotat Q o xtmo d cada al d dsco Tmoshko Woowsk, 959: q.. q Q cos, tmado cada dvada spaadamt, tm-s: a Y Y cos cos = cos cos = cos

64 6 = cos = cos = ; cos b Y cos = = cos 6 6 = = cos 6 6 c Y cos 6 = = cos 6 d Y cos Y cos =

65 65 cos f Y cos = cos Substtudo os valos cotados paa as dvadas pacas a quação., aplcado a codção =, obtém-s: Rudo as paclas, aplcado a codção =, obtém-s: cos Q cos cos Q cos 8 Q 8 Q.5

66 66 codção d stado do lmto ccufcal do dsco a codção = é dfda plos quato paâmtos mutuamt dpdts qu foam dtmadas qu dfm o vto d stado paa o sstma, dvdo s pstado a foma matcal qu é mas covt, ou sja: Z } { C, R.5 Z } {, C R.55 od: { } q m Z R.56.57

67 67 l l, C.58 R R.59 6, C.6 Z } { C, R.5 Z } {, C R.55 Z } {, C R R C, - = {.6 Z}

68 68 s quaçõs foam sctas a foma matcal, pod-s ada scv m uma foma mas compacta lmda, M. T., 987. Z T Z.6 od: T cospod a matz campo, pstado o fto do -ésmo al lástco stuado t os potos, com o +,. T = C R, R - C,.. Matz Poto O al ccufcal d massa a posção povoca vaaçõs o vto Z stado poscoado ats dst al, stas vaaçõs são tasfdas paa o poto qu s cota a xtmdad posto dst al. pós sm stablcdos os paâmtos cssáos paa o vto stado, a matz d tasfêca paa uma massa potual al ígdo, sm dmsõs pod s obtda usado a Fgua.5, as quaçõs d qulíbo podm s sctas como lmda, 987:.6.6 m m.65 plcado o qulíbo d foças o al ccufcal d massa, vfca-s a cotbução dvdo à psça das foças: Foça d éca dvdo à osclação do al d massa a fqüêca d pcssão.

69 69 Foça ctífuga do al, o caso d go do al com uma vlocdad d otação. x stação q m... s.. q k m m m q m lmto massa lmto lástco.. Y lmto lástco q m Fgua.5 - l ccufcal d massa sta foma, tm-s: q q s, No caso do âgulo s pquo, pod-s cosda s ; tão tm-s: q q, ou ada

70 7 q.66 q m: scvdo as quaçõs.6,.6, a foma matcal, sulta { Z } [ P] { Z}.67 od: P Com as quaçõs.6.67, pod-s obt a quação d coêca, qu lacoa a posção, com a posção +,, potato: Z T P Z.68 od: P cospod ao fto do cagamto do -ésmo al d massa, stuado t os potos,,... Codçõs d Cotoo Icado com o pmo al a xtmdad xta do dsco, aplcado a fómula d coêca da quação.68, pod-s df o valo do vto d stado Z o poto ou sja, o al mas to como sdo: Z P T P... T P Z.69

71 7 scto d foma mas compacta: Z U d Z.7 od: U d =P T P... T P Sdo qu U d é a matz d tasfêca do dsco, qu psta o compotamto a fluêca das codçõs da xtmdad xta do dsco, m lação às codçõs da xtmdad ta. Paa s aplca o Método das Matzs d Tasfêca, cosda-s as codçõs d cotoo paa a xtmdad xta do dsco, stmado-s um valo paa a fqüêca atual, o qu pmt calcula as codçõs a xtmdad ta do dsco. pós avgua-s s os sultados obtdos stão d acodo com o poblma cosdado. Uma ova stmatva d fqüêca atual dvá s alzada, caso as codçõs d cotoo ão sjam satsftas a pma ttatva, st pocdmto dvá s ptdo quatas vzs fom cssáas, até qu as codçõs d cotoo sjam satsftas. Pod-s tão psta a quação.7 a foma: m q u u u u u u u u u u u u u u u u m q.7a Paa o caso gal, m qu o dsco fxo m sua xtmdad ta, lv m sua xtmdad xta, tm-s as sguts codçõs d cotoo:

72 7 m q plcado stas codçõs d cotoo a quação.7a tm-s qu:.7 m q u u u u u u u u u u u u u u u u.7 ftuado o poduto, dtma-s as quaçõs: u u.7 u u.7 Tdo m vsta qu os valos d são dfts d zo, as codçõs d cotoo são tão satsftas s o dtmat da quação é zo. u u dt = u u.75 modo qu sta quatdad pod s pstada gafcamt Fgua.6 m fução da fqüêca, paa stablc as fqüêcas atuas do dsco.

73 7 dt m P= P= P= q Fqüêca m Fgua.6 - tmat d fqüêcas s dvsas soluçõs xstts pstam os possívs modos d vba com dfts úmos d ós ccufêcas como a Fgua.6. v-s obsva qu o dsvolvmto aqu dscto só é valdo quado o ao to do dsco fo dft d zo. Caso o ao sja zo, dv-s ftua ova aáls a solução homogêa paa o caso gal - quação. paa os casos od as aízs são duplas - quaçõs... Outas codçõs d cotoo também podm s cosdadas, como po xmplo, dscos com a xtmdad ta lv xtmdad xta fxa, obtdos assm, dft dtmat.

74 7 VIBRÇÃO M UM SISTM ISCO-IXO. SPCTOS GRIS dtmação das fqüêcas atuas atavés do método das matzs d tasfêca MMT dpd do gau da pcsão d suas dsctzaçõs. No stdo d faclta sta opação, st capítulo, fomulam-s as Matzs d Tasfêca d váos lmtos, os quas pmtm a modlagm dos compots stutuas. sta foma, é mpscdívl dsvolv a fomulação matcal do fto goscópco d cada al do dsco, dos lmtos do xo, dos cagamtos xtos das massas coctadas, possbltado assm a aáls do sstma dsco-xo, dtmado suas fqüêcas atuas.. MOLGM O ISCO modlagm do dsco é ftuada d maa aáloga ao apstado o capítulo, qual sja, facoado-s o dsco m uma sé d aés ccufcas localzados m posçõs dsttas ao logo do ao do dsco, sdo lmtos lástcos d spssua costat lmtos d massa coctada qu são agupadas altadamt. Fgua. lusta tas lmtos. Os sobsctos dtfcam as staçõs quato a sua localzação m lação ao lmto-massa aalsado... lmto Massa No caso d dfomação do dsco com um só ó damtal, qualqu lmto ala staá m um plao. st plao sá gado d um âgulo dado po:.

75 75 m q m q q m q - m - G lmto lástco Fgua. - Modlagm do dsco lmto d Massa O al d massa sá cosdado como uma massa ígda, possudo momto d éca pola I p momto d éca damtal I t. vá s cosdado o fto goscópco qu apac m cada al ccufcal qu ga com uma otação d stá sujto a uma vlocdad d pcssão, possudo ada dslocamto agula d ampltud. O momto sultat dvdo às foças d éca fto goscópco d cada al pod s pstado como: G t I p I.. st momto é compsado pla dfça d sfoços cotats -. Como o al d massa é tdo como um copo ígdo, o momto dstbuído ão cotbu com sfoços, potato tm-s: q q m m.

76 76 O momto sultat total sá obtdo po tgação do momto dvdo a um sfoço d csalhamto dstbuído sodalmt sob o al, cofom Fgua. Fgua. a sgu: q m m Fgua. - Momto sfoço cotat z q q. s d.d =s x G Fgua. - sfoço dstbuído Logo, o momto total do al pod s scto como:

77 77. d s s q q G I.. d s q q G I. s q q G I. I q q G.5 justado as quaçõs.,..5 obtém-s: p t I I. I q q p t I I. I q q I q q. p t I I q I q + p t I I...6 s quaçõs qu podm s obtdas atavés da modlagm, Fgua. são spctvamt:.7.8 s quaçõs.,.6,.7.8 aajadas a foma matcal fcam:

78 78 p t q m I I q m.9 Na foma matcal codsada fca: Z L Z. od: [L] é a matz do cagamto do fto goscópco do -ésmo lmto d massa do dsco: [L] = p t I I.. lmto Mola o Capítulo tm-s: q..6 Z T Z od: cospod a matz campo, pstado o fto do -ésmo al lástco stuado t os potos, com o +,. T quação pod ada s scta a foma: Z T Z.

79 79.. Matz d Tasfêca do sco O agupamto d um lmto massa mola do dsco pod s fto combado as quaçõs..., L T Z Z. od: F L T psta a matz d tasfêca paa o pa d lmtos massa mola. v-s obsva qu ambos os lados possum a msma fêca, potato a matz d tasfêca global pod agoa s obtda, cado do cto do dsco - até a xtmdad, como: Z F F F Z. Z U d Z.a od: U = F F F, qu psta a matz d tasfêca global do dsco. d.. Codçõs d Cotoo stação a boda do dsco sá cosdada lv, apsa d s possívl std sta aáls paa clu o fto d pás a xtmdad do dsco. stação o cto do dsco sá cosdada gdamt lgada ao xo, sto mplca m dz qu, s o xo tv uma dflxão agula d, tão a dflxão agula o dslocamto do cto do dsco são:, m q.

80 8 stas codçõs d cotoo podm s sdas a quação.a, dsta foma tm-s: u u u u u u u u u u u u u u u u.. m. q..5 alsado a sub-matz fomada plas lhas fos, tm s: u u u u. u. u u u m q.6 sta quação pod s xpadda solvda paa obt v m tmos d como: m u u m u q u.6a u u m u q u.6b Paa obt como sgu: m, multplca-s a quação.6a po soma-s as duas u u. u u. u m u u q u.7a. u. u u. u m u. u q u u.7b. Somado as quaçõs.7a.7b, tm-s:

81 8 u. u u. u u. u u. u u. u u u m. m u. u.8 u u. u. u u u. u. u u. u Pocddo da msma foma, paa obt q, tm-s: u. u u. u m u. u q u u.8a. u. u u. u m u. u q u u.8b. Somado as quaçõs..8a.8b, tm-s: u. u u. u u. u u. u u. u u u. q q u. u u u.9. u. u u u. u. u u. u Paa s dtma o momto, dvdo à flxbldad, qu o dsco xc sob o xo, ada, o fto goscópco dv-s ftua a tgação dos ftos d. q Cosdado o momto postvo a dção d, tm-s: m G. s sd. m s sd. s s G m q. G. m q.

82 8 ftuado a substtução das quaçõs.8.9 m., vm: G u. u u. u u. u u. u u. u u. u u. u u. u u. u u. u G u. u u. u u. u u. u u. u u. u u. u u. u u. u u. u. lação G cotada a quação. é compaávl à gdz dâmca, dscv a tação t a dfomação o momto flxoal t o dsco o xo como fução da gomta, das popdads do matal da vlocdad d otação pcssão.. NÁLIS O IXO Paa s dsctza o xo, dv-s substtuí-lo po um cojuto d xos lástcos sm massa, tcalados po massas potuas fgua.. dota-s sta modlagm dvdo ao fato d pmt o studo solado da matz d campo d poto. l m Fgua. - xo dalzado com massas coctadas Sdo qu o ídc dtfca a stação ao logo do xo.

83 8.. lmto lástco Cosd um lmto d gdz costat da stação - até, tdo a flxão. ; gdz ao csalhamto G compmto l Fgua.5. I Od:. S é o módulo d lastcdad logtudal do matal do xo I é o momto d éca d áa do xo G é o módulo d lastcdad tasvsal do xo S é a áa da sção tasvsal do xo l q m l m q Fgua.5 - fomação lástca d uma sção do xo acodo com Pstl Lck 96, solado o lmto d campo lástco, ou sja, o xo dspovdo d massa, as sguts codçõs d qulíbo dvm s satsftas: q q. m m q. l.5

84 8 s quaçõs lmtas da vga podm s mapuladas d foma a foc a dflxão la, a dflxão agula, o momto flto o sfoço cotat a stação m tmos da stação -. Utlzado as toas do tabalho d dfomação a flxão o csalhamto, tm-s: d I m U.6 qu é o tabalho d dfomação do xo a flxão d S G q U.7 qu psta o tabalho d dfomação o csalhamto d I m m u.8.. d S G q q u.9 sta foma, paa a flxão tm-s: d I q m.. I q I m.....6

85 85 d. d I q I m I q I m , paa o csalhamto, tm-s: S G q d S G q dflxão da stação m lação à stação - sá: S G l q I l q I l m dflxão agula d stação m lação à stação - sá: I l q I m Rudo as quaçõs.,.5.. a foma matcal, vm: q m l I l I l S G l I l I l l q m

86 86 Ou, a foma codsada, vm: UM Z Z.. od: UM é a matz d tasfêca do -ésmo lmto lástco do xo Z é o vto d stado a squda da -ésma stação.. lmto Massa l m q q m Fgua.6 - lmto d massa potual alsado o lmto d massa potual da fgua.6 obsva-s, a ausêca d foças xtas sm o fto goscópco qu:..5

87 87 m m.6 Po mo da sguda l d Nwto, dtma-s a lação t os sfoços cotats: M q q. M q q.. M q q...7 od: M é a massa do lmto massa do xo scvdo as quaçõs.,.5,.6,.7 m foma matcal, sulta m: q m M q m.8 Ou ada, m otação codsada, Z UP Z.9 od: é a matz d tasfêca d poto do lmto UP é o vto d stado a dta da --ésma stação Z

88 88. MTRIZ TRNSFRÊNCI PR MSSS CONCNTRS.. fto do sco Md.. q G. m m q Fgua.7 - stação od s localza o dsco cosda: Na stação m qu o dsco stá localzado, cofom Fgua.7, dv-s Md.. - qu é a foça d éca tasvsal G. - qu é o momto dvdo a flxbldad do dsco o fto goscópco sta foma, pod-s obsva qu a matz d tasfêca paa a stação a qual o dsco stá coctado ao xo stação dvá s obtda cosdado as quaçõs d qulíbo sta stação, assm:..

89 89 G m m.. q q Md... sulta m: scvdo as quaçõs.,.,.,. m foma matcal, m q Md. G m q. Ou ada, m otação codsada, U Z Z.5 Sdo U a matz d tasfêca do fto do dsco a stação od o msmo s cota..5 MTRIZ TRNSFRÊNCI GLOBL O SISTM.5. xo Bapoado Icado d uma xtmdad do xo, pod-s chga a outa, cludo a stação od o dsco stá localzado como Fgua.8: Z UM f UPf... UM UP... U... UM UP UM Z f.6 Ou ada, m otação codsada,

90 9 UGZ Z f.7 Sdo UG a matz d tasfêca global do sstma dsco-xo g g g g g g g g UG.8 g g g g g g g g ISCO lmto massa IXO massa potual f xo lástco lmto mola Fgua.8 - Sstma dsco-xo bapoado.5.. Codçõs d Cotoo plcado as codçõs d cotoo, m ambos os apoos as xtmdads do xo, sdo sts cosdados como ótulas apoos smpls, tm-s: m f m.9 f.5

91 9 plcado as codçõs d cotoo a quação.7, tado a sub-matz d tss, tm-s: g g g g q g g g g.5 sja: sta quação, coclu-s qu o dtmat da sub-matz dv s ulo, ou g g dt = g. g g. g g g.5.5. xo com poo Flxívl Icado d uma xtmdad do xo, pod-s chga a outa, cludo a stação od o dsco stá localzado como Fgua.9: ISCO lmto massa IXO massa potual xo lástco f+ lmto mola Fgua.9 - Sstma dsco-xo com apoo flxívl

92 9 Nst caso, sá cssáo df a matz cospodt ao apoo flxívl. s foças xcdas plo apoo flxívl o xo podm s obsvadas a Fgua.. q k. q c.. Fgua. - Foças xcdas plo apoo o xo s quaçõs dcots do apoo flxívl são: sfoço cotat: q q k. c...5 Momto flto: flxão la: m m.5.55 Âgulo d dflxão:.56 Logo, tm-s:

93 9 m q k c. m q.57 Qu ada pod s scto d uma foma matcal mas compacta: Z UF. Z.58 od: UF cospod a matz qu psta o fto do apoo flxívl. Icado d uma xtmdad do xo od s cota o apoo flxívl, pods chga a outa, cludo a stação od o dsco stá localzado utlzado: Z UFf UM f UPf... UM UP... U... UM UP UM UF Z f.59 Ou ada, m otação codsada, Z f UG. Z.6 flxívl Od: UG é a matz d tasfêca global do sstma dsco/xo/apoo g g g g g g g g UG.6 g g g g g g g g

94 9.5.. Codçõs d Cotoo plcado as codçõs d cotoo, m ambos os apoos as xtmdads do xo, sdo sts cosdados como apoos flxívs, tm-s: m f m.6 q f q.6 plcado as codçõs d cotoo a quação.6, tado a sub-matz d tss, tm-s: g g g g.6 sja: sta quação, coclu-s qu o dtmat da sub-matz dv s ulo, ou g g dt = g. g g. g g g.65 O valo da fqüêca atual qu aula o dtmat sá a solução..6 CRITÉRIOS TRMINÇÃO S FRQÜÊNCIS NTURIS Cohcdo-s as codçõs d cotoo, sto é, os vtos d stado os potos xtmos do xo, utlza-s a sub-matz da quação.5 paa o caso d xo bapoado quação.65 paa o caso d apoos flxívs, paa dtmação das fqüêcas atuas d vbação autovalos. quação.5 paa o caso d xo bapoado quação.65 paa o caso d apoos flxívs, dv s satsfta, ou sja, o dtmat da sub-matz dv s ulo ou póxmo d zo.

95 95 mtodologa aqu aplcada cosst m adota um valo cal d fqüêca as quaçõs do sstma costata s paa as codçõs d cotoo adotadas, o dtmat da sub-matz é ulo. Caso sta costatação ão ocoa, dv-s atbu um ovo valo d fqüêca calcula, pocddo smp dsta foma até o stat m qu o valo adotado satsfaça as codçõs mpostas. Quado sto oco, stá dtmado o valo da fqüêca atual do sstma. v-s obsva ada qu, dsd qu o sstma sja abalzado po paâmtos coctados, l tá váas aízs, qu são as fqüêcas atuas do sstma, tatas quato fom suas aízs lmda, 987.

96 96 5 RSULTOS NLÍTICOS COMPRTIVOS 5. PLICÇÃO M SISTMS INÂMICOS fomulação dsvolvda st tabalho pmt a mplmtação d uma ota computacoal po mo do softwa MTLB, com lação ao Método das Matzs d Tasfêca MMT, capaz d dtma as fqüêcas atuas autovalos do dsco, do xo do sstma dsco-xo. Com o tuto d s apua a pcsão do Método das Matzs d Tasfêca MMT, foam smulados dvsos poblmas dspoívs a ltatua. sts poblmas foam scolhdos d maa a pmt o studo do fto goscópco, pod-s obsva atavés dos sultados obtdos tabulados a sgu, qu o método mostou-s pcso, poddo s aplcado a uma fdad d casos poblmas pátcos. Os valos obtdos como fqüêcas atuas atavés d fomulaçõs das fêcas ctadas st tabalho foam compaados com os dados obtdos atavés da fomulação dsvolvda, d modo a s pmt aalsa as dfças obtdas. 5. FRQÜÊNCIS NTURIS O SISTM ISCO-IXO 5.. Smulação compaação com uma fêca º caso shlma ubaks 967 studam m su tabalho, o fto goscópco as vlocdads cítcas d um sstma fomado po dsco motado m xo cuto. O xo é pstado cosdado a massa a lastcdad dstbuídas cotuamt, o qu pmt uma mlho apoxmação dos valos das fqüêcas cítcas. Tabla 5. foc as dmsõs os dados d um sstma dsco-xo saado po shlma ubaks 967, sdo vfcados os valos da vlocdad cítca paa a ª ª fqüêcas atuas paa um sstma b apoado, postomt compaados com os sultados obtdos da fomulação do método da matz d tasfêca, cofom

97 97 mostado a Tabla 5.. Paa s gaat a gdz do dsco a smulação alzada plo MMT, utlza-s paa módulo d lastcdad logtudal o valo. 6 N/m. Tabla 5. - msõs dados do dsco do xo spcfcação Valo Udad âmto xto do dsco,56 m âmto to do dsco, m spssua do dsco, m Númo d lmtos o dsco 6 - âmto do xo, m Vão t apoos,7 m Módulo d lastcdad logtudal do xo, N/m Módulo d lastcdad tasvsal 8, N/m Módulo d Posso, - Massa spcífca 78 kg/ m Númo d lmtos o xo 9 - Os sultados obtdos utlzado o Método das Matzs d Tasfêca, compaação com os sultados apstados po shlma ubaks 967 fms ao dsco ígdo colocado a ¼ do vão Tabla 5.. Tabla 5. - Compaação dos valos obtdos paa fqüêcas atuas Hz Pcssão ta Pcssão Rtógada Fqüêcas Natuas ª ª ª ª ª ª Rsultados da Rfêca Hz, 6, 8,,6, 7, Rsultados do MMT Hz, 68,9,8, 5,9 7,5 svo dos Rsultados % -5,9 -,9-7, -,5 8,8 -,9

98 Smulação plo MMT º caso Foam alzadas smulaçõs plo método das matzs d tasfêca, cosdado o fto goscópco a flxbldad dos dscos, admtdo-s paa os dscos flxívs, paa os dscos ígdos duas stuaçõs: a pcssão dta fowad a pcssão tógada backwad, cosdado-s a vaação da vlocdad d otação m lação à vlocdad d pcssão. Os dados dmsõs do dsco do xo cotam-s a Tabla 5... Tabla 5. - msõs dados do dsco do xo paa smulação spcfcação Valo Udad âmto xto do dsco,8 m âmto to do dsco, m spssua do dsco, m Módulo d lastcdad logtudal do dsco flxívl, Módulo d lastcdad logtudal do dsco ígdo, N/m 6 N/m Númo d lmtos o dsco 6 - âmto do xo, m Vão t apoos, m Módulo d lastcdad logtudal do xo, Módulo d lastcdad tasvsal 8, N/m N/m Módulo d Posso, - Massa spcfca 78 kg/ m Númo d lmtos o xo 9 - Tabla 5. apsta os valos das fqüêcas atuas obtdas m smulação plo método das matzs d tasfêca, cosdado o fto da otação do dsco com ó damtal qu s cota a ¼ do vão, com lação vlocdad d otação/pcssão gual a. sts sultados foam plotados mostados a Fgua 5..

99 99 Tabla 5. - fto da otação do dsco as fqüêcas atuas Rotação do dsco [Hz],,6,8,8,7,59,8,77 6,7 7,96 9,55 Fqüêca Natual [Hz] 8,5 8,6 8,9 8, 8, 8, 8,79 9,5,6,5,7 Rotação do dsco [Hz],,7, 5,9 7,5 9,,69,8,87,8 79,58 Fqüêca Natual [Hz], 5,6 6,76 8,6 9,67,5,66, 5,7,58 8,8. Fq ca Natual Hz. vl. ot./vl. ó damtal, pc. zo = ó adal..... Rota o do Roto Hz Fgua 5. - Fqüêca atual vsus otação do dsco. Tabla 5.5 apsta os valos das fqüêcas atuas obtdas m smulação plo método das matzs d tasfêca, cosdado o fto goscópco paa

100 dsco ígdo dsco flxívl, cosdado os casos d pcssão dta pcssão tógada. Tabla Fqüêcas atuas Hz obtdas a smulação Rlação: vlocdad otação vlocdad pcssão,,,,,,,,6,8,5,75,85,,,, 5, Pcssão ta 8, 9,,5,7 7, 8, 9,,,5,8,,,7,9,,,9 sco flxívl Pcssão Rtógada 8, 7, 6,9 6,5 6, 6, 6, 6, 5,9 5,8 5, 5,,8,7,,8,8 Pcssão ta,6 5, 6,5 7,8 9, 9,6 9,8,,5,8,8 6, 7,,8,7,8, sco ígdo Pcssão Rtógada,,7,,,9,8,7,6,5,,5, 9,7 7,7 6,6,9,8 tabla 5.6 apsta os valos das fqüêcas atuas obtdas m smulação plo método das matzs d tasfêca, cosdado o fto goscópco paa dsco ígdo dsco flxívl, cosdado os casos d pcssão sícoa dta pcssão sícoa tógada. Tabla Fqüêcas atuas Hz obtdas paa pcssão sícoa Pcssão Sícoa ta Rtógada ª Fqüêca Natual [Hz],7,75 ª Fqüêca Natual [Hz] 6,6,7 ª Fqüêca Natual [Hz],8 6,5

101 6 NSIOS NO BNCO TST 6. INTROUÇÃO Foam alzados saos o baco d tsts do Laboatóo d âmca Vbaçõs Mcâcas do patamto d Mcâca da UNSP - Guaatgutá, com a faldad d s compova a mtodologa dsvolvda st tabalho. Fo utlzado um sstma mcâco, composto d dsco ígdo, dsco flxívl, xo d dâmto costat macas com olamtos auto-compssados d olos, qu pmtm lv dflxão agula momto flto ulo, como mposção das codçõs d cotoo. Fgua 6. mosta o dsco flxívl, colocado a / do vão, sdo saado. O moto acoado utlzado é d cot cotíua com a faldad d pmt vaação d otação do sstma xo-dsco, a otação fo dtmada po mo d tacômto. Foam também, dtmadas as fqüêcas atuas do sstma sm otação, utlzado um qupamto composto d dspostvo paa xctação do sstma matlo pzolétco, um tasduto paa mdção da gadza d tss, um aalsado d spcto. Fgua 6. - Baco d tsts - sco flxívl

102 6. OS O BNCO TSTS Tabla 6. - msõs dados dos dscos do xo spcfcação Valo Udad âmto xto dos dscos, m âmto to dos dscos,8 m spssua do dsco, m spssua do dsco,9 m Módulo d lastcdad logtudal dos dscos, N/m Massa do dsco, kg Massa do dsco,866 kg âmto do xo,8 m Vão t apoos,56 m Módulo d lastcdad logtudal do xo, Módulo d lastcdad tasvsal 8, N/m N/m Cofct d Posso, - Massa spcífca 78 kg/ m Fgua 6. - Baco d tsts sao do dsco flxívl

103 Fgua 6. - Baco d tsts sao do dsco ígdo 6. NSIOS SM ROTÇÃO 6.. Rsultados do sao do sstma dsco-xo Utlzado o qupamto composto d dspostvo paa xctação do sstma matlo pzolétco, um tasduto, um aalsado d spcto, fo possívl obt as fqüêcas atuas do sstma sm otação. Os sultados obtdos cotam-s a Tabla 6.. Tabla 6. - Fqüêcas atuas paa os dos dscos matlo pzolétco Fqüêcas Natuas Hz ª ª sco flxívl 6 sco ígdo 8 -

104 6. NSIOS COM ROTÇÃO 6.. Rsultados do sao do sstma dsco-xo Com a motagm apstada a Fgua 6., com o dsco poscoado a / do vão t os macas, matda a lação vlocdad d otação/vlocdad d pcssão gual a, obtv-s os valos paa fqüêcas atuas lacoados a Tabla 6. Tabla 6. - Fqüêcas atuas paa os dscos ª Fqüêca Natual Hz ISCO ISCO xpmtal 9, 8,6 Modlagm plo MMT 8, 7,5 svo dos Rsultados %,,9 Fgua 6. - Sstma atgdo a vlocdad cítca