Exemplo 3.1: Aproximação da temperatura ao longo de uma barra, conhecidas as temperaturas em alguns pontos o C 0,5 25 o C 1,0 22 o C

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1 . Apomaçõs om Elmtos Ftos st apítlo apsta apomaçõs po lmtos ftos q osst basamt m sbstt m sstma otío po m sstma dsto d lmtos qvalt. São apstados mplos d apomaçõs odas ostção d fçõs d tpolação basadas m lmtos tasfomaçõs gométas d dvadas d tgas.. Galdads.. Apomação odal Df-s o o d ma fção apomat d omo. Dsta foma pod-s popo a P. Algs mplos são apstados a sg. Emplo.: Apomação da tmpata ao logo d ma baa ohdas as tmpatas m algs potos. T 0 0 o C 05 5 o C 0 o C Pod-s o aso popo ma tpolação d tês ofts a foma: T T a a a.

2 6 Sbsttdo os valos ohdos das tmpatas a Eq.. obtém-s: a 8 a 6 sltado a solção apomat: a o 0 C ; T Emplo.: Solção d ma qação dfal da foma. d d f 0 < <.5a om odçõs d otoo 0 0; 0.5b ohdos os valos f 05 f f 0 paa otos valos d.5 Uma apomação q satsfa as odçõs d otoo é da foma: a s π.6 As dvadas pma sgda da fção.6 são sptvamt: d d π a os π.7a d d a s π π.7b

3 7 Tomado obtém-s a pasão a s π a sπ.8 Sbsttdo a fção.5.7b a qação.5a obtém-s 5 4 π π a ; a Em gal pod-s omo á fo vsto df a P a P a P o a a < P P P > < P > { a}.9 a a qal P P P satsfam as odçõs do apítlo. a s são paâmtos gas da apomação. o otto do método d lmtos ftos os valos odas da fção o vaávl q s q oh a são s.0 Assm o

4 8 < > < > { }. a qal agoa são domadas fçõs d tpolação são valos odas m potos do lmto ós o odos da vaávl. As fçõs d tpolação dvm satsfa as sgt popdad: s. 0 s O o dfdo pla qação. o poto sá tão 0. Emplo.: Apomação d ma fção ohda m potos. Paa satsfa a popdad. as fçõs d tpolação podm s da foma d polômos d Lagag o aso d 4 po mplo sltaá ; 4 4

5 9 4 4 ; 4 4 ; ; S é ma fção d váas vaávs po mplo s { } > < > <.4 st aso om ; > <.. Apomação po Elmtos Ftos A ostção d ma fção apomat é dfíl qado o úmo ós d paâmtos amta. O poblma s ompla ada mas qado o domío V é d foma ompla s a fção d apomação dv satsfa as odçõs d otoo sob sa fota. O método d apomação odal po sbdomío smplfa a ostção d é mto fál d s mplmtado m omptado. Ess método osst m:

6 40 dtfa ma sbdvsão motagm m sbdomíos -df ma fção apomat método d apomação odal. Cada fção V do domío V ; dft sob ada sbdomío plo pod dpd d vaávs odas d otos sbdomíos vhos omo o aso d apomação po spls. O método d apomação po lmtos ftos é m método patla d apomação po sbdomíos q apsta as sgts patladads: a apomação sob m sbdomío V dpd apas dos valos odas daql sbdomío o lmto; a apomação é qda gaat m to mímo ga d otdad sob ada lmto ss otoos t-lmtos. Dfçõs - Os potos do sbdomío od a fção é avalada são hamados ós d tpolação o smplsmt ós. - As oodadas gométas d tas potos são hamadas oodadas odas. - Os valos da fção os ós são hamados vaávs odas. Apomaçõs po lmto fto podm s aatadas plos sgts passos dsttos: - a gomta d todos os lmtos dv s dfda aaltamt; - fçõs d tpolação apopadas dvm s ostídas paa ada lmto. Va Dhatt G. Toot G. 984 Th Ft Elmt Mthod Dsplad oh Wl & Sos Chhst 509 p.. Dfção Gométa dos Elmtos.. ós Gométos Um oto d potos é sloado o domío V paa df a gomta dos lmtos. Ests potos hamados ós gométos podm algmas vs od om os ós d tpolação. O domío V é tão sbdvddo m m oto d

7 4 lmtos V d foma smpls. Cada lmto é aaltamt amt dfdo m tmos dos ós gométos ptts àql lmto ss otoos... Rgas d Patção d m Domío m Elmtos A sbdvsão d m domío V m domío d lmto fto satsfa os sgts dos qmtos: V dvá a dos lmtos dsttos podm t potos oms apas sob ss otoos s tas otoos stm; hma tsção o spposção é pmtda. Cotoos oms podm s potos lhas o spfís. b os lmtos motados ão podm da hm bao dto do domío apoma a gomta do domío al tão póma qato possívl... Foma d algs Elmtos Clássos Va Dhatt G. Toot G. 984 Th Ft Elmt Mthod Dsplad oh Wl & Sos Chhst 509 p...4 Elmto d Rfêa O lmto d fêa o lmto mst é tlado paa smplfa as pssõs aalítas d lmtos d foma ompla. Tal lmto V é dfdo m m spaço abstato admsoal om ma foma gométa smpls. A gomta do lmto fêa é tão mapada a gomta do lmto al sado tasfomaçõs gométas omo lstado a Fga.. Fga. Elmto fêa mapado o lmto al.

8 4 tpo: A tasfomação gométa do lmto fêa paa m lmto al é do τ :.5 Assm paa ada lmto tm-s omo lstado a Fga. τ :.6 Em gal as oodadas o lmto fêa podm s oloadas a foma: τ [ ]{ } :.7 Fga. Mapamto d lmtos as dfts m msmo lmto mst. Emplo: Tâglo om ós m tâglo d ós omo lstado a Fga. as oodadas dto do lmto são < >.8a

9 4 < >.8b as qas são oodadas o lmto fêa são fçõs d tasfomação gométa. o lmto d fêa a fção apomat sá. Emboa lmto al a fção apomat é dsttas las assmm o msmo valo m potos ospodts: [ ] qato o sam fçõs.9 Paa lsta a tasfomação do lmto fêa paa m lmto al osda o aso d m tâglo om ós omo lstado a Fga.. O lmto mst é dfdo omo: 0 0 Fga. Elmto o spaço d fêa à sqda lmto o spaço al à dta. As fçõs d tasfomação.8 dvm satsfa as odçõs:

10 44 s 0 s Dsta foma dv-s t 0 0 ; 0 0 ; 0 0 As fçõs q satsfam as odçõs atos são da foma:.0 Assm os potos do lmto mst mapam m o lmto al. Os lados do lmto mst: 00 0 ; ospodm aos lados do lmto al: ; sptvamt. A tasfomação é ma paa ma s a mat do aobao da tasfomação é ão sgla. A mat do aobao é dada a foma o aso bdmsoal: [ ] Com as fçõs d tasfomação gométa.0 as oodadas são da foma: a mat do aobao sá pssa omo

11 45 [ ] O dtmat da mat aobaa sá: dt [ ] dt A. E: Dmost q o dtmat da mat do aobao é..5 Elmtos Clássos Va Dhatt G. Toot G. 984 Th Ft Elmt Mthod Dsplad oh Wl & Sos Chhst 509 p...6 Coodadas odas Cotvdad dos Elmtos m sstma global d fêa os ós são mados sqalmt d até POI potato as oodadas dos ós podm s amaadas m aa d dmsõs COORD POI DIM. A tabla. lsta a mação dos potos sas sptvas oodadas. Tabla. ós globas sas oodadas Poto POI POI POI Os lmtos são mados sqalmt d até ELEM. Cada lmto tá m dtmado úmo d ós OS. Os lmtos ss sptvos ós são

12 46 gadados m aa d dmsõs K C O E C E L E M O S. Loalmt m lmto os ós são mados d à OS. A Tabla. lsta a otvdad d ma malha Tabla. Elmtos sa otvdad. Elmto OS o o o os o o o os ELEM o lm o lm o lm os A Fga.4 lsta ma malha gada m m pogama dsvolvdo o DEM po Apado 006. A gão é m sto d ooa d ao to 4 ao to 8 mo âglo 0 o mao âglo 60 o dvsõs o ao 4 dvsõs o âglo. Fga.4 Malha d lmtos taglas m sto d ooa.

13 47 As oodadas dos ós otvdad dos lmtos omo saída do gado d malhas são mostadas a sg. MalhaD - GMalD v.0 úmo d lmtos da malha; úmo d ós da malha 4 0 úmo do ó; Coodada- do ó; Coodada- do ós E E E E E000 0E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E000 úmo do lmto; Tpo do Elmto; ós do lmto TRG0 6 5 TRG0 6 TRG TRG0 7 5 TRG TRG TRG TRG TRG TRG0 6 7 TRG0 7 TRG0 7 8 TRG TRG TRG TRG TRG TRG0 6 9 TRG TRG0 4 8 TRG TRG TRG TRG

14 48. Apomação Basada m Elmto d Rfêa.. Foma Algéba da Fção Apomat o lmto al a fção é apomada omo:. < > { } a qal V ; são os valos d são as fçõs d tpolação o lmto al. o lmto mst a tpolação sá da foma: os ós d tpolação. a qal { } { }. são as vaávs odas do lmto são as fçõs tpolação o lmto mst. As oodadas o lmto mst são dfdas pla Eq..7. Obsvaçõs: m gal fçõs são sadas apas paa os lmtos mas smpls pos dpd das oodadas d ada lmto sdo potato dfts paa ada lmto; fçõs são dpdts da gomta do lmto al V. Um úo oto d fçõs pod s sado paa todos os lmtos q têm o msmo lmto mst o lmto d fêa. O lmto mst é aatado po sa foma ss ós gométos ss ós d tpolação.

15 49... Fçõs d Itpolação paa m Tâglo d ós Cosd m tâglo m q os ós d tpolação são também ós gométos os véts do tâglo. Domado os ós d as vaávs odas são: { }. A tpolação la sob o lmto al sá da foma > <.4 A tpolação la também pod s sposta a foma:.5 A Eq..5 aplada aos ós do lmto fo o sstma:.6 Q pod s sto a foma matal omo { } { } A.7 A solção do sstma.7 paa os ofts s slta

16 50 { } A.8 S A é ão sgla la pod s vtda a vsa d A pod s obtda omo T C A A A dt a qal o dtmat é allado po A dt os lmtos da mat d ofatos A C são allados omo m m C m M m q m M são os mos omplmtas. m M é dfdo omo o dtmat da mat lmado a lha m ola. A mat d ofatos tão sá da foma: A C.9 Após váas maplaçõs algébas obtém-s os ofts a foma: A A A dt dt dt.0 os qas sbsttídos a Eq..5 lva a fção apomat a foma:

17 5 A dt.a o T A dt.b Sabdo q A A dt ompaado as Eqaçõs.b.4 obtém-s as fçõs d tpolação a foma: A A A. om A. Está m oto d fçõs. paa ada lmto V. á o lmto mst a tpolação sá da foma: > <.4 a qal

18 5.5 as laçõs t oodadas globas loas são dadas po.6a.6b As fçõs d tpolação gométa são as pópas fçõs d tpolação o sa ; ; Usado o lmto mst stá m úo oto.5 paa todos os lmtos da malha pos m úo lmto mst vsto atomt. V mapa m ada lmto al V omo.. Popdads da Fção Apomat A sg são apstadas algmas popdads das fçõs d apomação: a Popdad fdamtal da apomação odal Pod-s obsva q a apomação po lmto fto satsfa as popdads da apomação odal. Os valos da fção apomat od om os valos da fção ata m todos os ós d tpolação.

19 5 < > da qal slta 0 s s.7 Smlamt sado a apomação o lmto mst: < > da qal slta 0 s s.8 b Cotdad dto do lmto S a fção apoamat todas sas dvadas até odm s são qdas sm otías tas fçõs d tpolação d msma qaldad dvm s sadas. Cotdad t-lmto S a fção apoamat sas dvadas até odm s são qdas sm otías sob m otoo omm om oto lmto tão sas dvadas até odm s podm dpd apas das vaávs odas sob o otoo

20 54 omm. Cosd pmamt a otdad atavés d m otoo omm om o lmto adat. < > Podtos dvm s los s ão pt ao otoo omm. Daí 0.9a qado stá sob m otoo ão pt àql otoo. Smlamt sob o lmto mst 0 qado stá sob m otoo ão stá sob aql otoo. A otdad das dvadas atavés d m otoo omm é aalogamt sta omo: < > a qal 0.9b qado stá loalado sob o otoo omm ão. A odção péva paa m lmto mst bdmsoal é: 0

21 55 Cotdad t lmtos adats tm dsmphado m papl mpotat o dsvolvmto do método. O ga d otdad a s matdo t lmtos adats é poblma dpdt sá dstdo postomt. d Polômos ompltos omo fçõs d tpolação O o d tamto pod s ddo plo désmo do tamaho do lmto. Em mtos poblmas é ssáo d o o as dvadas das fçõs d apomação. Paa assga q o o tda a o om m désmo o tamaho do lmto é ssal q a fção apoamat otha m tmo ostat ão lo. A apomação é tão apa d psta a fção ostat dto do lmto. Paa assga q o o / / tda a o om m désmo o tamaho do lmto é também ssal q otha m tmo m. Dst modo s / é ostat / sá apa d psta aqla ostat atamt. Em gal s o o sob sas dvadas até odm s são paa ds om o tamaho do lmto a pssão. dv ot m polômo omplto até odm s. Além do mas s a fção sas dvadas até o ga s são otías atavés d otoos oms om lmtos adats tão o o d tamto paa sas dvadas até odm s tdão a o m todo o domío V ldo ss otoos. Qado as odçõs d otdad t-lmtos ão são satsftas ovgêa ada pod s obtda m algs asos. Dfçõs S apas os valos das fçõs são otíos atavés d otoos a fção é dta s d lass s d lass 0 C. Qado a fção sas dvadas são otas la é dta C. Em gal s a fção todas as sas dvadas até odm α são otías la é dta s d lass α C.

22 Um lmto é sopaaméto s as fçõs d tasfomação gométa são dêtas Às fçõs d tpolação. Paa ada lmto os ós gométos d tpolação são dêtos. Um lmto é psdo-paaméto s as fçõs mas om os msmos moômos. 56 são dfts Um lmto é sb-paaméto qado os polômos gométos são d ma odm mas baa do q os polômos d tpolação. El é sppaaméto o aso oposto. Elmtos sp-paamétos ão possm a popdad d moada atomt. O úmo d vaávs odas assoadas om o úmo total d ós d tpolação d m lmto é hamado d úmo d gas d lbdad dof..4 Costção d Fçõs Fçõs d tasfomaçõs gométas fçõs d tpolação têm popdads dêtas. Elas podm s algmas vs ostídas om polômos tdo as popdads dstas atomt. Tas polômos são fqtmt d Lagag o d Hmt ttato hm método d ostção tm sdo otado paa todos os asos. Um úmo d fómlas bm ohdas tm sdo otado paa lmtos lássos. A sg sá dsto m método sstmáto d ostção paa todos os lmtos..4. Método Gal d Costção a Esolha da bas polomal m lmto mst pod-s sv fçõs ohdas dpdts P moômos dpdts. A solha das fçõs mpotats o método d lmto fto. omo ma ombação la d P q são mas fqtmt P é ma das opaçõs mas

23 57 a dof.40 a dof a P P P P { a} O oto d fçõs P ostt a bas polomal da apomação. O úmo d tmos a bas dv s gal ao úmo d gas d lbdad dof do lmto. Uma bas polomal omplta é smp pfda mas sto só é possívl apas paa s poos asos d valos tos dof. A Tabla. dá ma dação do ga do polômo úmo d gas d lbdad paa lmtos b tdmsoas. A Tabla.4 mosta bass d polômos ompltas ompltas pa algs lmtos lássos. Paa ost fçõs d tasfomação gométa sloa-s pssõs da msma foma paa P { a } P { a } P { a }.4 O úmo d fçõs d ós gométos do lmto. P ofts { } a { } a { } a é gal ao úmo Tabla. Ga d polômo qdo úmo d gas d lbdad. Ga do polômo D D D dof dof dof

24 58 Dmsõs Ga do Bas Complta polômo Bas Polomal P dof la qadáta la qadáta 6 la 4 0 qadáta Bas omplta bla 4 8 tla Dfçõs Os ofts { a } são hamados vaávs galadas do lmto paa dstg-los das vaávs odas { }. A pssão P { a} df ma apomação galada paa. dstg-la da apomação odal { } Os ofts { } a { } a { } a são hamados oodadas galadas do lmto paa dstg-los das oodadas odas { } { } { } b Rlação t vaávs galadas odas

25 59 Em ada ó d tpolação d oodadas { } a fção odal : assm o valo dof { } P P P P P P P P P dof dof dof dof dof dof { a} { } [ P ]{ a}.4 dst modo vtdo a mat odal [ P ] d odm dof { a} { } P.4 Smlamt paa as oodadas tm-s { } [ P ]{ a } { } [ P ]{ a } { } [ P ]{ a }.44 assm vtdo [ P ] { a } [ P ] { } { a } [ P ] { } { a } [ P ] { }.45 Epssõs aalítas paa Sbsttdo.4 m.40

26 60 { } P P.46a o { }.46b a qal P P.47 D maa smla { } { } { }.48 a qal P P.49 d Dfação da fção Dfado.46a obtém-s { } { } { } B P P P P.50

27 6 Smáo d opaçõs paa ost Esolha da bas polomal Avalação da mat odal [ P ] P Ivsão d [ P ] Cállo d dof P [ P ] dft. Estas opaçõs são aladas ma úa v paa ada lmto mst Eío: Cost as fçõs d foma paa m lmto sopaaméto qadlatal d 4 ós..4. Popdads Algébas d Fçõs a ada fção d tpolação é fomada omo o podto to do polômo d bas P a -ésma ola da mat P. P { }.5 C a qal C é a -ésma ola d P [{ C } { C } { C } ] P.5 A fção P os ofts sdo os tmos da ola. é tão ma ombação la da fção o polômo d bas

28 6 b Pós-mltplado a Eq..47 po [ P ] obtém-s [ P ] P [ P ] [ P ] P.5 após sa a dfção d [ P ] P P P P P P P dof dof P P dof dof dof dof dof P o dof.54 P P dof A Eq..54 mosta a aatísta da stta algéba das fçõs d foma P ptm ao polômo d bas sado paa. Ela mosta q os tmos ost. Tal qação pod s mpgada paa vfa s qalq dado polômo p é lído dpdtmt a bas das fçõs d. A sgt dtdad dv s satsfta: dof p p.55 Po mplo s os moômos stão otdos m dv s vfa q

29 6 dof dof dof Eío: vfq o aso dos moômos lídos a ostção do qadláto d 4 ós. Dfação Eq..54 od ao sltado P P dof dof.56 A pssão.54 tamt om as laçõs s ; 0 s s ; 0 s 0 ; 0 dof P P dof são mto úts paa vfa fomas plítas d fçõs d tpolação dvadas. sas.5 Tasfomação d Opados Dfas As qaçõs govats d poblmas físos são stas o domío al volv fçõs dsohdas sas dvadas t. Vsto q a

30 64 apomação. o spaço do lmto al é fqtmt mto omplada é mas ovt tabalha o spaço do lmto d fêa. { }.57 tamt om a tasfomação { } τ :.58 A tasfomação sdo ma paa ma tm-s τ :.59 Vsto q a vsa da tasfomação τ é mto dfíl d ost to m aso d lmtos smpls. É mlho tabalha o spaço do lmto d fêa. Paa pssõs otdo dvadas m lação ao spaço al é ssáo obt pssõs qvalts o spaço do lmto mst. Tas pssõs dpdm da mat do aobao da tasfomação..5. Dvadas Pmas Como f pla ga da ada pod-s obt q

31 65 O ma foma matal tm-s.60a O d foma smplfada { } { }.60b o lmto mst slta a qação.6a o { } { }.6b a qal.6 Esvdo a mat do aobao a foma smbóla o aso mas gal

32 66 A vsa da máta do aobao sá da foma: [ ] dt C T dt [ ] M M M M M M M M M a qal M são os mos omplmtas. st aso slta dt.6 a qal o dtmat do aobao é dado po dt.64 os asos bdmsoas sltaão: D [ ] ;.65 D [ ] ; Cállo dos tmos d [ ] Sab s q.66 dt { } { } { }.67 a qal { } { } { } aobao é: são as oodadas gométas dos ós. A mat do

33 67 [ ] [ { } { } { }] os os.68 Tasfomação d ma tgal A mdaça d vaávs.58 pmt mda a tgação d ma fção f o domío gométo al mst V V m ma tgação mas smpls o spaço do lmto ddd f dt[ ] f V V dd d.69 o spaço al dv d d d o lmto d fêa; dmost q om d d d d d d d d d d d d : Eío: patdo d dv d d d dv ddd dt [ ] d d d.6 Cállo d Fçõs sas Dvadas da Mat do aobao Em gal ssta-s d apomaçõs d t. Estas apomaçõs são sadas paa avala tgas sob o volm d m lmto:

34 68 f dv.70a V Q o lmto mst fa a foma: f dt[ ] dv V.70b Além do mas stas tgas são avaladas po téas méas galmt são apomadas omo: W f [ ] dt[ ].70 a qal são oodadas d m oto d potos d tgação po mplo potos d Gass; W são fatos d podação psos da fómla d tgação méa { } { }; [ ] [ o poto. dt são a vsa da mat do aobao s dtmat avalados ot q as pssõs paa / são dpdts da foma al do lmto. Todos os állos são o spaço do lmto d fêa. Etão é ssáo avala sas dvadas apas ma v paa ada tpo d lmto. A mat do aobao s dtmat ttato dpdm das oodadas gométas d ada lmto dvm potato paa ada lmto.

35 69 Eío: mplmta otas méas paa alla / [ ] paa lmtos taglas d 6 ós qadlatas d ós.