CÁLCULO DE CRITICALIDADE PELO MÉTODO LTS N. Av. Ipiranga, nº , Porto Alegre, RS, Brasil

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1 CÁLCULO DE CRIICALIDADE PELO MÉODO LS Cláudia Helena F. BAISELA *, Maco úllio de VILHEA ** e Volnei BORGES ** * Instituto de Mateática / PUCRS Av. Ipianga, nº , Poto Alege, RS, Basil ** Pogaa de Pós-Gaduação e Engenhaia Mecânica / UFRGS Av. Osvaldo Aanha, nº 99 - º anda , Poto Alege, RS, Basil RESUMO Este tabalho visa avalia paâetos de citicalidade (fato de ultiplicação e espessua cítica) pelo étodo LS e placas planas hoogênea e heteogênea consideando odelo de u gupo e espalhaento isotópico. O étodo LS se baseia nos seguintes passos: aplicação da tansfoada de Laplace e u conjunto de equações de odenadas discetas, solução analítica do sistea linea algébico paa o fluxo angula tansfoado e econstução dos fluxos angulaes pela técnica de expansão de Heaviside. A vantage da etodologia poposta está na deteinação dos paâetos de citicalidade atavés da esolução de ua equação tanscendental. Resultados nuéicos são apesentados. I. IRODUÇÃO O étodo LS (,) apesenta ua solução analítica paa o poblea de odenada disceta unidiensional e ultigupo de tanspote de nêutons paa placas planas. Esta foulação te po pincípio a aplicação da tansfoada de Laplace e u conjunto de equações de odenadas discetas (S ), deteinando u sistea linea algébico que pode se esolvido analiticaente paa os fluxos angulaes tansfoados, sendo então aplicada a técnica de expansão de Heaviside paa deteinação dos fluxos angulaes. al foulação foi posteioente estendida paa esolução de pobleas bi () e tidiensionais () no sistea de coodenadas catesianas e de odenadas discetas no sistea de coodenadas cuvilíneas (5), alé de soluciona pobleas se sietia aziutal (6). Recenteente foi povada a convegência do étodo LS no caso unidiensional usando teoia de sei-gupos (7), be coo desenvolvido u étodo ecusivo paa invesão da atiz LS paa valoes elevados de ( 00) (8), o que apliou a classe de pobleas S possíveis de see esolvidos, alé de eleva a pecisão dos esultados no sentido de que o contole do núeo de algaisos significativos coetos é feito auentando-se o valo de. Este tabalho visa avalia paâetos de citicalidade (fato de ultiplicação e espessua cítica) pelo étodo LS e placas planas hoogênea e heteogênea, consideando odelo de u gupo e espalhaento isotópico pelo étodo LS. A vantage desta etodologia poposta está na deteinação dos paâetos de citicalidade atavés da esolução de ua siples equação tanscendental. o caso do cálculo do fato de ultiplicação obseva-se que a aplicação da foulação LS eliina o uso do clássico étodo da potência. Paa tal, o texto é apesentado da seguinte aneia: na seção II é feita ua descição da aplicação do étodo LS na esolução de pobleas de odenadas discetas (S ) unidiensionais e co u gupo de enegia; na seção III são apesentados esultados nuéicos e, na seção IV, são feitas consideações sobe os esultados obtidos. II. A FORMULAÇÃO LS Paa desceve a aplicação do étodo LS considea-se ua placa plana hoogênea, espalhaento isotópico, u gupo de enegia e ausência de fonte extena. A equação S que desceve este poblea é dada po:

2 d Ψ ( x) + σ ( x) Ψ ( x) dx νσ f σ s0 Ψ ( x) ω + Ψ ( x) ω K co :, pa, 0 x a, sendo a a espessua da placa, e sujeita às condições de contono Ψ Ψ () f, > 0 (a) ( a ) g, < 0, (b) onde é a ode de quadatua; são as aízes do polinôios de Legende, odenadas da seguinte foa: < < L< + < 0 < < L < < ; ω são os pesos da quadatua de Gauss; σ é a seção de choque acoscópica total; σ s,0 é a seção de choque de espalhaento de ode zeo; σ f é seção de choque de fissão; K é o fato de ultiplicação de nêutons, cabendo salienta que existe u especto de autovaloes eais a se deteinado, onde o aio dente estes autovaloes é epesentado po K eff ; ν é o núeo édio de nêutons eitidos po fissão; Ψ ( x) Ψ( x, ) epesenta o fluxo angula na dieção e f e g são os fluxos incidentes nas fonteias do doínio co dieção, sendo conhecidas coponentes do fluxo angula e x, nas dieções positivas, e coponentes e x a, nas dieções negativas. A aplicação da tansfoada de Laplace às equações () deteina o sistea σ sψ Ψ + Ψ σ s, 0 νσ + K f Ψ ω, () A σ cω cω cω s + L cω σ cω cω s + L (a) M M O M cω cω σ cω L s + Ψ col[ Ψ L Ψ ], (b) onde Ψ ( s ) epesenta o fluxo angula tansfoado na dieção e Ψ ( 0 ) o veto foado pelas coponentes do fluxo angula nas dieções e x, onde Ψ col[ Ψ L Ψ ]. (c) Consideando-se A ( s ) a invesa da atiz A ( s ), então o sistea () apesenta solução Ψ A Ψ( 0 ), () sendo que a deteinação de A ( s ) epesenta ua gande dificuldade a se enfentada, já que a atiz A ( s ) apesenta eleentos na diagonal pincipal que são dependentes do paâeto coplexo s. A solução apesentada paa este poblea peite ua decoposição da atiz A ( s ) segundo suas colunas (). Assi, a atiz A ( s ) é dada po A P s s, (5) onde P são as atizes (x) dos coeficientes da decoposição e fações paciais da atiz A ( s ), obtidas pela elação: :. Reodenando-se os teos da equação (), abindo-se o soatóio e, etiando-se o -ésio teo νσ f e toando-se c σ s,0 +, obté-se u sistea K (x) que pode se epesentado geneicaente po: P d ds [ det A ] Adj ( A ) s s, (5a) A Ψ Ψ( 0 ), () sendo e s são as aízes do polinôio caacteístico da atiz A ( s ). Assi, po () e (5) te-se: Ψ P Ψ( 0 ). (6) s s

3 A tansfoada invesa de Laplace pode se facilente obtida pela técnica de Heaviside, deteinando o veto Ψ ( x ), dado po sx Ψ( x) P e Ψ, (7) sendo Ψ ( x ) definido coo Ψ( x) col[ Ψ ( x) L Ψ ( x)]. (7a) a pática, a solução oiginalente poposta paa o étodo LS, descita po (7), apesenta o inconveniente de não se apopiada paa soluciona pobleas de tanspote envolvendo gandes espessuas, devido a eos de oveflow oiginados na avaliação de exponenciais co aguentos s positivos. o entanto, esta dificuldade pode se contonada efetuando-se ua udança de base, o que deteina a solução: s Ψ( x) e ( a x ) s x e Ψ * + ( ) P P 0, (8) s > 0 s < 0 [ ] Ψ ( x) col Ψ ( x) L Ψ ( x), (9a) P são atizes (x) esultantes da decoposição e fações paciais da atiz A ( s ) na egião, s são as aízes do polinôio caacteístico da atiz A ( s ) na egião e Ψ angula e x definido coo * ( x ) é o veto de coponentes do fluxo x (oige da egião ) na nova base, [ ] * * * Ψ ( x ) col Ψ ( x ) L Ψ ( x ), (9b) sendo Ψ * ( x ) a coponente do fluxo angula odificado, aplicado e x x, na dieção e egião. Da esa foa que no poblea hoogêneo, são conhecidas coponentes do fluxo angula e x 0, nas dieções positivas e coponentes e x R a, nas dieções negativas. este caso, paa que o veto do fluxo angula fique copletaente deteinado nas fonteias da placa, deve se tabé consideadas as condições de continuidade do fluxo angula nas intefaces de cada egião. onde Ψ * ( 0 ) C ( a ) Ψ ( 0 ) é o veto de coponentes que epesenta os fluxos angulaes odificados oiginados pela udança de base e x e definido po [ ] * * * Ψ col Ψ L Ψ, (8a) sendo Ψ * ( 0 ) a coponente do fluxo angula odificado e x na dieção. A aplicação do étodo LS ao poblea () consideando-se ua placa plana heteogênea de R egiões, onde x, : (R - ) epesenta o ponto que deliita as egiões e ( + ), é ua genealização. este caso, a foulação LS deve se aplicada e cada ua das R egiões (), deteinando ua solução paa a -ésia egião que pode se expessa coo: Ψ s x x x x e ( ) s ( ) e * + Ψ ( x ) P P, (9) s > 0 s < 0 co x < x < x, : R, onde Ψ ( x) é o veto de coponentes do fluxo angula na egião, dado po III. RESULADOS UMÉRICOS A segui são apesentados exeplos de utilização da foulação LS paa solução de pobleas de citicalidade. os pobleas e são apesentados esultados paciais obtidos co o auxílio do softwae MAHEMAICA co e, no poblea, foi efetuada a invesão da atiz A ( s ) atavés do algoito de zasa (9). Poblea : Considea-se ua placa plana hoogênea, sujeita a condições de contono do tipo vácuo e aos seguintes paâetos: espessua a c, σ.0c -, σ s0.9c - e νσ f.c -. A aplicação das condições de contono ipostas ao poblea: Ψ Ψ, po (a) e Ψ Ψ, po (b), deteina o sistea hoogêneo: Ψ 0 Ψ 0 * A Ψ, (0) Ψ 0 Ψ 0

4 onde A é a atiz (x) esultante da aplicação das condições de contono na solução dada pela equação (8). O sistea hoogêneo (0) apesenta solução não-tivial se, e soente se, det(a), () sendo () ua equação tanscendental do paâeto K eff que pode se solucionada pelo étodo da bissecção. Paa tal, são necessáias duas apoxiações iniciais paa o paâeto K eff e o estabeleciento do núeo de iteações a see efetuadas. Assi, paa ua apoxiação inicial K eff. 95, veifica-se que as aízes do polinôio caacteístico da atiz A ( s ) são: s , s , s i e s i. Co estes valoes, são deteinadas as seguintes atizes P s: P P , (a) , (b) P R I + i (c) e P R I i, (d) sendo R e (e) I. (f) A atiz A apesenta os seguintes eleentos: A i () este caso, det( A ) i. U pocediento análogo pode se utilizado paa ua nova apoxiação, co K eff. 96. Paa tal, te-se det( A ) i. Obseva-se então que ealente se veifica a pesença de ua aiz ente as duas apoxiações popostas, já que tanto as pates eais quanto as iagináias dos deteinantes calculados apesenta vaiação de sinal. O esultado nuéico obtido paa K eff após 50 iteações co a apoxiação LS é K eff.950, podendo se copaado co o deteinado pelo código AIS (0), co a esa ode de quadatua, paa o qual te-se K eff Poblea : Considea-se ua placa heteogênea, foada po duas egiões co 5c de espessua cada, sujeita `as condições de contono do tipo eflexão e x, vácuo e x e aos paâetos listados na ab.. ABELA. Paâetos do Poblea Dados Geoéticos Região Região σ (c - ).0.0 σ s0 (c - ) νσ f (c - ) A utilização do étodo LS na esolução de pobleas e eios heteogêneos eque a aplicação da foulação e cada ua das egiões da supefície e questão. Assi, faz-se necessáio que todos os paâetos do poblea apesente u índice adicional, epesentado po, efeente à egião e questão. A placa oiginal deste poblea podeia se vista coo duas placas justapostas, confoe a epesentação abaixo.

5 Re giao Re giao Reflexão Vácuo x x 5 x 0 Figua. Repesentação Gáfica paa a Placa Heteogênea Descita no Poblea Pelo esquea da Fig. obseva-se facilente que abas as egiões envolvidas possue oige no ponto x e exteidade no ponto x 5 da espectiva egião e que as condições de contono são: Ψ Ψ (0) +, > 0 (a) Ψ ( 5), < 0 (b) Pelas condições de contono apesentadas e (a) te-se: Ψ Ψ Ψ Ψ e e elação às condições (b) ve: Ψ Ψ Ψ, (c) Ψ Ψ ( 5) Ψ ( 5) (d) Paa que o veto do fluxo angula fique então copletaente deteinado nas fonteias x 0 e x R a, deve se tabé consideadas as condições de continuidade do fluxo angula na inteface das egiões. Assi, ve: Ψ Ψ Ψ Ψ ( 5) Ψ ( 5) Ψ ( 5) Ψ ( 5) Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ ( 5) Ψ ( 5) Ψ ( 5) Ψ ( 5) Ψ (e) A aplicação das condições (c), (d) e (e) deteina u sistea hoogêneo expesso da seguinte foa: * Ψ Ψ Ψ 0 * Ψ Ψ Ψ 0 * Ψ ( 5) Ψ Ψ 0 * Ψ ( 5) Ψ * Ψ A Ψ A, () * Ψ ( 5) Ψ Ψ 0 * Ψ ( 5) Ψ Ψ 0 * Ψ ( 5) Ψ 0 * Ψ ( 5) Ψ 0 onde A é a atiz (8x8) esultante da aplicação das condições de contono na solução dada pela equação (9) co a devida tanslação no eixo x apesentada na Fig.. O sistea hoogêneo () apesenta solução não-tivial se, e soente se, det(a), (5) sendo (5) ua equação tanscendental do paâeto K eff a se solucionada pelo étodo da bissecção. Assi, te-se det( A ) i paa ua apoxiação inicial K eff 5. e det( A ) i paa outa apoxiação K eff 6., obsevando-se a pesença de ua aiz ente as duas apoxiações apesentadas. O esultado nuéico obtido após 50 iteações co a apoxiação LS é K eff.59 e pode se copaado ao deteinado po Reed (), paa a apoxiação S 8, onde K eff.59. Poblea : Considea-se ua placa heteogênea ( egiões) onde a x a no cobustível e x > a paa o efleto. oa-se c > e c <, νσ f onde cα σ s0 + denota o núeo édio de K eff nêutons secundáios eitidos po colisão na egião α. São apesentadas as condições: Ψ ( x, ) Ψ ( x, ), onde α indica o cobustível e α o efleto, σ, σ, c -, Ψ (, ) e Ψ ( a, ) Ψ ( a, ), (-, ). Considea-se c e c conhecidos e então busca-se a eia-espessua citica a. Os esultados nuéicos obtidos paa a co 8 são copaados aos obtidos po Buat, Ishiguo e Siewet () na ab.. ABELA. Espessuas Cíticas paa o Poblea c c LS 8 B-I-S () α IV. COCLUSÃO A análise dos esultados paa os pobleas popostos aqui apesentados deonsta a viabilidade de utilização do étodo LS na esolução de pobleas de citicalidade, sendo que a pecisão dos esultados pode se elhoada auentando-se, já que a convegência do α

6 étodo foi povada. É ipotante essalta que no caso da avaliação do fato de ultiplicação este étodo eliina a necessidade de cálculo do fluxo angula, contaiaente ao étodo da potência. AGRADECIMEOS O segundo auto agadece ao Conselho acional de Desenvolviento Científico e ecnológico (CPq), Basil, pelo apoio pacial no desenvolviento deste tabalho. REFERÊCIAS BIBLIOGRÁFICAS [] Baichello, L. B. and Vilhena, M.., A Geneal Appoach to One-goup, One-diensional anspot Equation, Kentechni, vol. 58, p.8-8, 99. [] Baichello, L. B., Ua foulação Analítica paa a Solução Analítica do Poblea de Odenadas Discetas Unidiensionais, ese de Doutoado, Pogaa de Pós-Gaduação e Engenhaia Mecânica, PROMEC- UFRGS, 99. [] Zabadal, J., Vilhena, M.. and Baichello, L. B., Solution of the Discete Odinates Equation at wo Diension by the LS Method, Poceedings of the 9th Bazilian Meeting on Reacto Physics and eal Hydaulics, Caxabú, Bazil, p.90-9, 99. [] Zabadal, J., Vilhena, M.. and Baichello, L. B., Solution of the hee-diensional One-Goup Discete Odinates Poble by the LS Method, Annals of uclea Enegy, vol., n., p.-, 995. [5] Zabadal, J., Vilhena, M.. and Baichello, L. B., An Analytical Solution fo the wo-diensional Discete Odinates Poble in a Convex Doain, Pogess in uclea Enegy, vol., p.5-8, 997. [6] Segatto, C. F. and Vilhena, M.., Extension of the LS Foulation Without Aziutal Syety, Annals of uclea Enegy, vol., n., p.70-70, 99. [7] Pazos, R. P. and Vilhena, M.., Convegence of the LS ethod using the C 0 -seigoup theoy, In pepaation. [8] Banche, J., Cadona, A. V. and Vilhena, M.., Recusive Method to Invet the LS Matix, Pogess in uclea Enegy, in pess. [9] zasa, Z., An Efficient Algoith fo Patial Faction Expansion of the Linea Matix Pencil Invese, Jounal of the Fanlin Institute, vol., p.65-77, 987. [0] Stepane, J., he DP Suface Flux Integal euton anspot Method fo Slab Geoety, uclea Science and Engineeing, vol. 78, p.5-65, 98. [] Reed, W. H., ew Diffeence Schees fo the euton anspot Equation, uclea Science and Engineeing, vol. 6, p.09-, 97. [] Buat, A. R., Ishiguo, Y. and Siewet, C. E., euton anspot in wo Dissiila Media with Anisotopic Scatteing, uclea Science and Engineeing, vol. 6, p.7-77, 976. ABSRAC he ai of this wo consists in the evaluation of citicality paaetes (ultiplication facto and citical thicness) by the LS ethod in unidiensional slabs hoogeneous and heteogeneous consideing one-goup odel and isotopic scatteing. he idea of the LS ethod encopasses the following steps: application of the Laplace tansfo into a set of discete odinates equations, analytical solution of the algebaic linea syste fo the tansfoed angula fluxes and econstuction of the angula fluxes by the Heaviside expansion technique. he novel featue of the poposed ethod is based upon in the deteination of citicality paaetes by solving a tanscendental equation. ueical esults ae epoted.

7 CÁLCULO DE CRIICALIDADE PELO MÉODO LS Cláudia Helena F. BAISELA *, Maco úllio de VILHEA ** e Volnei BORGES ** * Instituto de Mateática / PUCRS Av. Ipianga, nº , Poto Alege, RS, Basil ** Pogaa de Pós-Gaduação e Engenhaia Mecânica / UFRGS Av. Osvaldo Aanha, nº 99 - º anda , Poto Alege, RS, Basil KEYWORDS: tanspot equation, citicality, ultiplication facto, Laplace tansfo, LS ethod.