Leandro César Xavier de Carvalho*, Edson Luiz da Silva, Erlon Cristian Finardi. UFSC - Labplan UFSC - Labplan UFSC Labplan

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1 SNPTEE SEMINÁRIO NACIONAL DE PRODUÇÃO E TRANSMISSÃO DE ENERGIA ELÉTRICA GPL a 2 Ouubro de 25 Curiiba - Paraná GRUPO VII GRUPO DE ESTUDO DE PLANEJAMEO DE SISTEMAS ELÉTRICOS - GPL Análise Comparaiva enre a Represenação Individualizada das Usinas Hidreléricas e o Modelo a Reservaório Equivalene no Problema do Planejameno da Operação Energéica Leandro César Xavier de Carvalho, Edson Luiz da Silva, Erlon Crisian Finardi. UFSC - Labplan UFSC - Labplan UFSC Labplan RESUMO O objeivo do problema de planejameno da operação do sisema hidroérmico brasileiro consise em deerminar a esraégia de geração de modo que o cuso de operação aociado seja o menor poível ao longo do horizone de esudo. Nese arigo é apresenada uma análise comparaiva enre as duas principais formas de represenação do sisema hidrelérico no modelo de planejameno da operação de médio prazo: o reservaório equivalene de energia e a modelagem das usinas individualizadas. A análise é feia a parir de uma configuração hidroérmica ese, onde a esraégia de geração é deerminada com base em um algorimo de Programação Dinâmica Dual Dual (PDDE). PALAVRAS-CHAVE Sisemas Hidroérmicos, Planejameno da Operação Energéica, Programação Dinâmica Dual Esocásica.. - IRODUÇÃO O problema do planejameno da operação energéica de médio prazo em como objeivo principal a deerminação da políica óima de operação de um sisema de geração. No paradigma aual do sisema brasileiro, ea políica é represenada pelos monanes mensais de geração ermelérica e hidrelérica, ao longo de um horizone de planejameno de cinco anos, de al modo que o cuso operaivo aociado seja o menor poível (Silva, 2). Devido a capacidade finia de armazenameno de água nos reservaórios, o Problema da Operação de Médio Prazo (POMP) em como uma de suas principais caracerísicas o acoplameno emporal, uma vez que a disponibilidade fuura da energia no sisema depende das vazões afluenes que incorrerão aos reservaórios (Forunao e alii, 99; Silva, 2). A impoibilidade de se anever precisamene as afluências que irão ocorrer no fuuro caraceriza o problema como esocásico. Eas caracerísicas, adicionadas ao elevado número de usinas do sisema, ornam o problema de grande pore e, porano, de difícil solução. Desa forma algumas simplificações são neceárias para a obenção de uma solução de boa qualidade, onde o esforço compuacional ambém é um requisio que deve ser levado em consideração. Nee senido, a principal simplificação reside na modelagem empregada na represenação das usinas hidreléricas no problema. Eas usinas, em cada subsisema, são agregadas em um único reservaório equivalene que recebe, armazena e fornece energia, e por uma usina que gera a fio d água. Para cada subsisema, o reservaório equivalene represena o conjuno de usinas hidreléricas que pouem reservaórios de regularização, enquano a usina a fio d água represena o conjuno de usinas com eas caracerísicas (Arvaniidis e Rosing, 97). Tal procedimeno de agregação é baseado na esimaiva da produção de energia elérica decorrene do compleo deplecionameno de odos os reservaórios do sisema, considerando um dado conjuno inicial de volumes armazenados. Uma vez que a alura de queda em cada usina é uma função do nível dos reservaórios, a energia Rua Francisco Rocha, 827 Cj 82 - CEP Curiiba - PR - BRASIL Tel.: (4) Fax: (4) leandro@wisesysems.com.br

2 2 elérica oal produzida é dependene das regras operaivas nees reservaórios. Nee senido, dado que a individualidade dos reservaórios é perdida, orna-se neceário adoar uma regra de operação para o reservaório equivalene que emule o comporameno operaivo do conjuno dos reservaórios. No caso brasileiro considera-se que os reservaórios operam em níveis percenuais idênicos de armazenameno, enchimeno e deplecionameno, o que pode afasar o sisema da solução óima uma vez que as decisões aociadas a uma usina hidrelérica dependem de sua posição na cascaa (Cruz e Soares, 996). Por sua vez, alernaivamene à Represenação a Reservaório Equivalene (REQ), exise a poibilidade de modelar as usinas hidreléricas de forma individualizada. Procedendo-se desa forma, é poível represenar de forma mais precisa as caracerísicas operaivas individuais de odos os reservaórios do sisema, ais como vínculos hidráulicos, verimenos e urbinamenos localizados, enre ouros, sem que seja neceária a adoção, a priori, de uma regra operaiva. Enreano, devido a exceiva carga compuacional exigida pela écnica de solução empregada, a represenação individualizada é ainda uma alernaiva que não é usualmene adoada no planejameno da operação do sisema brasileiro. O objeivo dese arigo consise em fazer uma análise comparaiva das políicas operaivas e os respecivos cusos envolvidos, obidos pela adoção da represenação a reservaório equivalene de energia e por meio de usinas individualizadas (Carvalho, 22). Para io, faz-se o uso de uma configuração hidroérmica realisa, composa de 5 usinas hidreléricas e seis usinas ermeléricas que perencem ao sisema elérico brasileiro. São mosrados, de forma comparaiva, os cusos operaivos envolvidos, os respecivos cusos marginais médios por subsisema, níveis de armazenameno, enre ouras análises FORMULAÇÃO DO PROBLEMA O problema de operação energéica é caracerizado por um proceo de decisões seqüenciais, onde, a oimalidade de uma decisão aual depende de um conjuno de aconecimenos fuuros. Dee modo, é neceário decidir a cada eságio de empo o nível de geração hidrelérica, a complemenação ermelérica e o inercâmbio com os subsisemas adjacenes, levando-se em consideração o benefício fuuro da uilização da água. A ferramena maemáica uilizada no presene rabalho, para resolver ese problema é o algorimo de PDDE (Pereira e Pino, 985), a qual viabiliza a oimização esocásica de múliplos reservaórios, a parir de um proceo ieraivo, onde não há neceidade da discreização dos níveis de armazenameno. Na represenação de usinas individualizadas o problema do planejameno da operação pode ser represenado pelas seguines equações: s.a: z = Min CT j = j GT j NUH i ui + GT j + i= j= sv Ω X + α + β sv, + ρ ( F F ) = D (2) i, + ( ui + si ) ( uik + sik ) k M i + sv, = X i + y i () (3) onde:,i,j sv NS NUH, j X i, + X i, + X i, + u i ui u i GT j GTj GT j α + πi, + X i, + δ p, + = KNS, i = K NUH, = KT indexador de subsisemas, usinas hidreléricas e usinas ermeléricas, respecivamene; subsisema adjacene ao subsisema ; número de subsisemas; número de usinas hidreléricas e ermeléricas, respecivamene do subsisema ; CT cuso do combusível para as usinas ermeléricas j perencene a cada subsisema ; GT j energia gerada pela ermelérica j do subsisema no eságio ; k usinas imediaamene a monane da usina i do subsisema ; (4) Esa regra é comumene conhecida como operação em paralelo.

3 3 D demanda do subsisema no eságio ; F sv, inercâmbio de energia do subsisema para o subsisema sv no eságio ρ produibilidade da usina i do subsisema ; z valor esperado do cuso de operação do eságio aé o final período de planejameno; α + valor esperado do cuso fuuro aociado a decisão omada no eságio aé o final do horizone de planejameno; conjuno de subsisemas direamene conecados ao subsisema ; Ω M i conjuno de usinas imediaamene a monane da usina i perencenes ao subsisema ; X i veor do nível de armazenameno do reservaório i no início do eságio ; y i veor de afluência incidene em cada usina i durane o eságio ; u, s veores de vazões urbinada e verida, respecivamene, em cada usina i durane o eságio ; i i X i, +, X i, + i i veores que represenam o limie inferior e superior do nível de armazenameno de cada reservaório i; u, u veores que represenam o limie inferior e superior da vazão urbinada de cada usina i; π derivada da função objeivo com relação ao volume armazenado na usina i do subsisema i, + no início do eságio +; δ ermo consane relacionado com o p-ésimo segmeno linear que compõe a função de cuso p, + fuuro. β axa de aualização;,t índice de eságios de empos e número de eságios avaliados, respecivamene. Conforme pode ser viso em (2) uma aproximação adoada foi a consideração da função de produção das usinas hidreléricas ser represenada por uma função linear, dependendo apenas do volume urbinado no eságio. Adicionalmene considera-se na modelagem que o sisema de ransmião é represenado apenas pelos limies de inercâmbios. O Défici é represenado por uma ermelérica ficícia com cuso elevado. Em (4) as consanes com barra superior represenam os limies máximos das variáveis relacionadas, analogamene, a barra inferior represena o limie mínimo da variável. A formulação acima é dependene apenas de uma série de vazões afluenes; enreano, pode-se expandir al formulação para um modelo esocásico, o qual considera que as afluências são variáveis aleaórias independenes no empo, seguindo ainda uma disribuição uniforme PDED APLICADA AO POMP Para ilusrar as principais caracerísicas exisenes em um algorimo de PDDE, será considerado aqui um problema com dois eságios de empo, onde no segundo eságio exisem dois cenários de afluências: min cx + pcx pcx s.a.: Ax b (5) Ex + Ax 2 2 b2 Ex + Ax b onde: x x 2, x 22 p, p 2 c, c 2 b b 2, b 22 A, A 2 represena as decisões de geração hidrelérica e ermelérica ao longo do primeiro eságio, iso é, vazões urbinada e verida, volumes armazenados, níveis de geração; represena as decisões de geração hidrelérica e ermelérica ao longo do segundo eságio, iso é, vazões urbinada e verida, volumes armazenados, níveis de geração, considerando a ocorrência dos cenários de afluência e 2, respecivamene; probabilidade aociada aos cenários de afluências e 2, respecivamene; cuso uniário imediao aociado aos eságios e 2, respecivamene; veor de recursos no início do primeiro eságio; veor de recursos no início do segundo eságio aociado com os cenários de afluência e 2, respecivamene; mariz de incidência aociada com os eságios e 2, respecivamene, que descrevem o acoplameno espacial exisene enre os reservaórios;

4 4 mariz de ransição de esados que descreve o acoplameno emporal exisene enre os dois eságios E do problema. Uma maneira de se resolver o Problema (5) consise em esquecer as conseqüências das decisões omadas no primeiro eságio, iso é, deerminar um x viável, A x b, ignorando o acoplameno emporal exisene com o segundo eságio. Dese modo, uma vez conhecido x, as decisões de segundo eságio são omadas da seguine maneira: min pcx pcx s.a: A2x2 b2 Ex (6) Ax b Ex O problema acima pode ainda ser dividido em dois ouros problemas independenes, conforme mosrado a seguir: ω 2 = min pcx 2 2 ω 22 = min p2cx 2 22 (7) (8) s.a: A x b E x s.a: A x b E x Pode-se noar que os problemas (7) e (8) dependem da decisão omada ao longo do primeiro eságio, ou seja, x. Aim, é poível reescrever (6) da seguine maneira: min cx +α 2( x) (9) s.a: Ax b onde α 2 ( x ) corresponde ao valor esperado dos cusos de operação obidos nos problemas (7) e (8). Observe ainda que α 2 ( x ) pode ser viso como uma função condicionada a um dado x selecionado. No caso de problemas de programação linear, é poível mosrar que α 2 ( x ) é um poliedro convexo, que pode ser consruído, de forma ieraiva, uilizando écnicas de relaxação ais como, a Decomposição de Benders (Benders, 962). Ea meodologia uiliza os muliplicadores de Lagrange aociados com a solução primal dos problemas (7) e (8), os quais são os coeficienes angulares do poliedro aproximado. Mais precisamene, ee muliplicador corresponde ao valor da água aociado com um específico reservaório, represenando a axa de variação na função objeivo causada pela variação uniária no armazenameno dee reservaório. O algorimo correspondene à PDDE é descrio na seqüência. () inicie uma aproximação para α 2( x ). Usualmene, em problemas de planejameno da operação de médio prazo, esa aproximação consise em ornar α 2( x ) nulo devido ao fao que na primeira ieração odas as resrições que compõem ee poliedro são relaxadas; (2) resolva (9), obendo x. É poível mosrar que z = cx +α 2( x) é um limie inferior para a solução óima de (5); (3) de poe de x, resolva os problemas de segundo eságio (7) e (8), onde x e x são soluções óimas aociadas a cada cenário de afluência; (4) ( x, x, x ) é uma solução viável, mas não neceariamene é a solução óima. O valor da função objeivo, 2 22 z = c x + p c x + p c x é, dese modo, um limie superior para o óimo valor de (5); (5) se z z é menor que uma cera olerância, o problema enão esá resolvido. De oura forma, exisem muliplicadores de Lagrange que esão aociados com as soluções primais de (7) e (8) que são usados para melhorar a aproximação da função α 2( x ); (6) se o conador de ierações é menor que o número máximo permiido, enão vá para o pao 7. Caso conrário, pare; (7) vole ao pao (2). O segmeno linear (core de Benders) que é calculado ao longo da correne ieração é manido, devido ao fao que a função α 2( x ), linear por pares é gradualmene consruída. O procedimeno acima pode ser exrapolado para problemas que apresenam vários eságios de empo. Todavia, deve-se lembrar que exise um grande número de combinações que envolvem os cenários fuuros de afluências, crescene com o número de eságios e reservaórios. Para sobrepujar ea dificuldade, deve-se amosrar um número 2 suficienemene grande de cenários, de modo que a solução poa ser enconrada com um bom nível de precisão e um moderado esforço compuacional. O algorimo proposo para resolver ese problema é composo de duas eapas: O número de cenários apropriado é mais bem dealhado na seção de resulados.

5 5 () eapa forward, na qual os ponos { xs, =, T e s=, S} são compuados de acordo com (6)-(9), onde, s aqui represena o índice aociado aos cenários de afluências. A aproximação do poliedro convexo, para cada eságio de empo, é realizada com base nees ponos visiados; (2) eapa backward, onde o valor esperado dos cusos de operação e dos muliplicadores de Lagrange (valores da água), obidos semelhane a (7) e (8), são uilizados para a consrução do poliedro convexo. Admiindo afluências equiprováveis, o valor do limie superior para o cuso oal de operação é calculado como a média dos cusos efeivos aociados aos S cenários de afluências amosrados na eapa forward: T S z = cx, s S () = s= Por sua vez, o limie inferior é ambém um valor médio, só que calculado com base nos cusos oais aociados com cada cenário no primeiro eságio: z = ω () S s S s = Devido a simulação de Mone Carlo realizada (eapa forward), exise uma incereza em orno do valor esperado para z, porém desconhecido. Aim, o criério de convergência deve ser definido em orno da incereza relacionada com ee valor. Io é poível de realizar consruindo, para ano, um inervalo de confiança de 95% ao redor do valor de z : IC95% = [ z.96 σ ; z +.96 σ ] (2) s s onde σ s represena o desvio padrão ao redor do verdadeiro valor esperado de z. A solução óima é enão definida quando o limie inferior, calculado em (), perence ao inervalo de confiança acima. Noe ainda que, devido a variação da amosra de afluências, o limie inferior pode apresenar um valor superior a z RESERVATÓRIO EQUIVALEE DE ENERGIA Na meodologia do REQ os volumes armazenados são ransformados em energias armazenadas e as séries de vazões afluenes aos reservaórios são ransformadas em séries de energias afluenes. Somando-se eas energias para odas as usinas com reservaório do subsisema obêm-se as séries de energia conrolável. Analogamene, para as usinas a fio d água são obidas as séries de energia a fio d água. Dealhes com respeio ao modelo a REQ podem ser visos em (Arvaniidis e Rosing, 97). Considerando que as energias conroláveis e fio d água em um dado eságio são variáveis aleaórias independenes no empo, a formulação do problema de oimização, referene a um eságio e cenário de energia afluene s, uilizado na PDDE é dada por: s.a: z = Min CT j = j= j GT j sv ( Fsv, F, k Ωi + α + β gh + g + ) = m ea + + gh j + ev = ea + ec + efio evm evm evp + ea + ea g k g k gh gh g f, sv f, sv + π p, + ea+ δ p, + α k (3) onde: ea energia armazenada no subsisema no início do eságio ; gh energia hidrelérica gerada pelo subsisema no início do eságio ; ev energia verida no subsisema no eságio ; ec energia conrolável do subsisema, eságio;

6 6 efio energia fio d água do subsisema, eságio ; evm energia de vazão mínima no subsisema no eságio ; 5. - AVALIAÇÕES DAS METODOLOGIAS O sisema elérico brasileiro aualmene é represenado por quaro subsisemas: Sul (S), Sudese (SE), Nore (N) e Nordese (NE), os quais esão inerligados por um sisema de ransmião. Com o propósio de invesigar a aplicação e as diferenças das meodologias discuidas nese rabalho, opou-se em uilizar um sisema ese reduzido, preservando-se as caracerísicas do sisema, sendo composo de 5 hidreléricas e seis ermeléricas, agrupadas em quaro subsisemas. As demandas de cada subsisema são consideradas consanes e esão apresenadas na Tabela, onde ainda pode ser viso a capacidade insalada de geração de origem hidrelérica, ermelérica e a energia aegurada dos respecivos subsisemas. Os valores de energia aegurada para cada subsisema foram esimados pela soma das energias aeguradas das respecivas usinas hidreléricas, adicionados da capacidade oal das ermeléricas. TABELA Principais dados do sisema hidroérmico ese. Subsisema Capacidade Insalada por Segmeno Capacidade Insalada Toal Energia Aegurada Demanda Hidrelérico (MW) Termelérico (MW) MW MW-médio MW-médio SE S NE N Toal A inerligação enre os subsisemas é represenada pela capacidade máxima de inercâmbio nas linhas de ransmião. A configuração do sisema, aim como os limies de inercâmbio em MW-médio, esão mosrados esquemaicamene na Figura. N NE 5 SE S FIGURA Inerligação enre subsisemas. Para que as decisões omadas ao longo do horizone de planejameno não sofram inerferência das condições finais imposas no úlimo eságio, é neceário e suficiene esender o esudo para nove anos, ou seja, 8 eságios. Com relação às condições iniciais, em-se que o volume inicial de cada reservaório é arbirado em 5% dos respecivos volumes máximos operaivos. Na simulação foram consideradas 2 seqüências de afluências na eapa forward e 25 valores de afluência na eapa backward, realando-se que ais valores de vazões afluenes foram gerados de um soreio baseado no hisórico de vazões, onde a endência hidrológica e esacionaridade foram desprezadas. A REQ permie redução do pore do problema, pois há menos equações envolvidas na modelagem do sisema e ambém um menor número de variáveis de decisão, consequenemene a solução do problema orna-se mais rápida. O algorimo de PDDE uilizado em ambas as represenações foi codificado uilizando a linguagem de programação Forran 9 e o sofware de oimização requerido foi a OSL (Opimizaion Subrouine Library) (IBM, 994). Para a execução do algorimo, fez-se uso do sisema operacional LINUX, uilizando proceador Ahlon de Ghz com 256 Mbyes de memória RAM. O empo médio de proceameno, considerando a represenação a reservaórios equivalenes, foi de 57 minuos. Por sua vez, no modelo a usinas individualizadas, ee empo foi de 2 horas e 45 minuos.

7 7 O monane de geração ermelérica obida em ambas as represenações não apresenou diferenças significaivas. Enreano, a sua disribuição ao longo do horizone de planejameno apresenou comporameno disino. No subsisema SE, por exemplo, verificou-se concenração de geração ermelérica no início do período de esudo na REQ. Como conseqüência, os Cusos Marginais de Operação (CMOs) apresenaram valores elevados nos eságios iniciais, conforme pode ser viso na Figura 2. Por ouro lado na abordagem a UI os CMOs obidos mosraram-se mais sensíveis em relação as variações de armazenameno. Iso ocorre porque esa represenação é mais resriiva e, consequenemene, os valores de energia armazenada são inferiores aos obidos na represenação a REQ. Conforme pode ser viso na Figura 3, os CMOs que anecedem ao érmino do período seco apresenam elevações significaivas, fornecendo uma sinalização econômica adequada do esado do sisema. EAR_REQ CMO EAR_UI CMO % Energia armazenada Máxima R$/MWh % Energia armazenada Máxima R$/MWh FIGURA 2 - Energia Armazenada & CMOs para o FIGURA 3 - Energia Armazenada & CMOs para o SE REQ. SE UI. Observou-se nos esudos realizados que a configuração do sisema e a dimensão do horizone de esudo afeam consideravelmene o desempenho das meodologias. O cuso oal de operação para a represenação a REQ foi de R$ ,, o qual decorre apenas do cuso aociado à complemenação ermelérica, pois não há seqüência com défici no período de esudo. Na abordagem a UI o valor do cuso oal de operação é de R$ ,. Ese monane é composo pelo cuso do combusível das ermeléricas que corresponde a R$ ,, ou seja, 67% do valor do cuso oal; a pare resane é decorrene do cuso do défici. Os cusos oais de operação ao longo do horizone de planejameno esão represenados na Figura 4. A abordagem a usinas individualizadas permie uma represenação mais realisa do problema, pois são consideradas as caracerísicas individuais de cada usina e os vínculos hidráulicos exisenes enre elas. No caso avaliado, os valores médios das gerações foram semelhanes em ambas as meodologias; na represenação a REQ houve um aumeno de 87,2 MW-médios de geração hidráulica, correspondendo a,6% de aumeno em relação ao méodo a UI. Os monanes de geração hidrelérica são apresenados na Figura 5. REQ UI REQ UI 6,. 4, 6 R$ 2, MWmédio 5., FIGURA 4 - Cusos de Operação. SE S NE N Subsisemas FIGURA 5 - Energia Hidrelérica Gerada. No subsisema SE a grande capacidade de armazenameno dos reservaórios propiciou uma regularização cíclica e semelhane em ambas às meodologias. Ocorreu uma leve diferença no modelo a UI, devido ao fao de ser mais resriivo em relação aos limies de armazenamenos de cada usina, conforme pode ser verificado na Figura 6. Na represenação a REQ, pare-se da premia que os reservaórios de um mesmo subsisema são deplecionados em paralelo, ou seja, deplecionam-se os mesmos percenuais de armazenameno. Por ouro lado, na represenação a UI o próprio modelo define a regra de operação de modo a usar os recursos do sisema de forma óima, porano não adoando neceariamene a operação paralela dos reservaórios, conforme pode ser viso na Figura 7, que mosra o armazenameno de duas usinas do SE. Observe que os armazenamenos percenuais deas usinas são disinos para cada eságio de planejameno.

8 8 REQ UI 25 Iumbiara Ilha Soleira % Energia armazenada máxima %Volume uíl de armazenameno FIGURA 6 - Energia Armazenada - SE. FIGURA 7 - Volume Úil UI CONCLUSÕES Ese arigo apresenou duas meodologias de represenação de usinas uilizadas no planejameno da operação energéica para um sisema predominanemene hidroelérico. Para resolver o problema em ambas as represenações fez-se uso da PDDE. A represenação por usinas individualizadas oferece a vanagem de poibiliar uma melhor represenação do sisema, adicionalmene, os CMOs nesa modelagem mosraram-se mais sensíveis aos níveis de armazenameno dos reservaórios, enreano a represenação a UI requer um esforço compuacional significaivo. Idenificou-se ambém que as condições de conorno do problema podem influenciar significaivamene a convergência da solução, principalmene na represenação a UI. Reale-se que a função de produção das usinas foi considerada linear e que a correção da alura equivalene merece ser invesigada e melhor represenada, para aperfeiçoameno da políica de operaiva. Por ouro lado, a modelagem por reservaórios equivalenes permie a obenção de resulados saisfaórios, com um esforço compuacional moderado. Com base nos resulados obidos, conclui-se que a modelagem a REQ ende a ser mais oimisa, pois não regisrou défici consequenemene o cuso de operação obido foi menor. Com o uso de compuadores de alo desempenho e a uilização de écnicas de proceameno paralelo (Finardi, 999; Silva e Finardi, 23) pode-se suplanar o obsáculo do elevado empo compuacional requerido para a solução dee problema e represenar de forma mais realisa as caracerísicas das usinas pela modelagem individualizada REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Arvaniidis, N.V & Rosing, J. (97a). Opimal Operaion of Mulireservoir Sysems Using a Composie Represenaion. IEEE Transacion on Power Apparaus and Sysem, New York, v. PAS-89, n. 2, p Arvaniidis, N.V. & Rosing, J. (97b). Composie Represenaion of a Mulireservoir Hydroelecric Power Sysem. IEEE Transacion on Power Apparaus and Sysem, New York, v. PAS-89, n. 2, p Benders, J.F. (962). Pariioning Procedures for Solving Mixed Variables Programming Problems. Numerische Mahemaik, v. 4, p Carvalho, L.C.X. de. (22). Planejameno de sisemas hidroérmicos: uma análise enre as represenações a usinas individualizadas e a reservaórios equivalenes equivalenes de energia. Florianópolis. Dieração de Mesrado, Cenro Tecnológico, Universidade Federal de Sana Caarina. Cruz Jr, G. & Soares, S. (996) Non-Uniform Composie Represenaion of Hydroelecric for Long Term Hydrohermal Scheduling. IEEE Transacions on Power Sysems, v., n. 2. Cruz Jr, G. & Soares, S. (998) Modelo Equivalene Não Linear para o Planejameno da Operação a Longo Prazo de Sisemas de Energia Elérica. Campinas, São Paulo. Tese de Douorado, Universidade Esadual de Campinas. Finardi, E.C. (999) Planejameno da operação de Sisemas hidroérmicos uilizando proceameno de alo desempenho. Florianópolis. Dieração de Mesrado, Universidade Federal de Sana Caarina. Forunao, L.A M. F., Neo, T.A.A., Pereira, M.V.F., e alii. (99). Inrodução ao Planejameno da Expansão e Operação de Sisemas de Produção de Energia Elérica. Nierói, RJ - Universidade Federal Fluminense. IBM (994). OSL Opimizaion Subrouine Library User s Guide. Release. Pereira, M.V. F., Pino L.M.V.G. (985). Sochaic Opimizaion of Mulireservoir Hydroeleric Sysem: A Decomposiion Approach. Waer Resources Research, vol. 2 n o 6, pp , June 985. Silva, E.L. da. (2) Formação de Preços em Mercados de Energia Elérica.. ed. Poro Alegre: Ediora Sangra Luzzao, 2. Silva, E. L & Finardi, E. C. (23). Parallel Proceing Applied o he Planning of Hydrohermal Sysems, IEEE Transacions on Parallel and Disribued Sysems, Vol 4, Number 8, Augus 23.