CENTRO DE PESQUISAS DE ENERGIA ELÉTRICA

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1 CEPEL CENTRO DE PESQUISAS DE ENERGIA ELÉTRICA Modelo DECOMP DETERMINAÇÃO DA COORDENAÇÃO DA OPERAÇÃO A CURTO PRAZO Manual de Referência Versão 28

2 Modelo DECOMP ii INTRODUÇÃO.... AGRADECIMENTOS... 2 O PROBLEMA DE PLANEJAMENTO DA OPERAÇÃO SISTEMAS PURAMENTE TÉRMICOS SISTEMAS HIDROTÉRMICOS SISTEMAS INTERLIGADOS PLANEJAMENTO DE OPERAÇÃO DE CURTO PRAZO FUNÇÃO DE CUSTO FUTURO ALGORITMO DE SOLUÇÃO DO PROBLEMA PROGRAMAÇÃO DINÂMICA DUAL ESTOCÁSTICA PROGRAMAÇÃO DINÂMICA DUAL DETERMINÍSTICA Algorimo de solução PROGRAMAÇÃO DINÂMICA DUAL ESTOCÁSTICA TEMPO DE VIAGEM Formulação do modelo Exemplo MODELO DECOMP CARACTERÍSTICAS GERAIS DO SISTEMA: Cenários de afluência Represenação de paamares de carga Configuração dinâmica Limies de inerligação enre subsisemas Conraos de imporação/exporação de energia Represenação de curvas de défici por paamar Resrições eléricas Resrição de ranspore enre Iaipu 50 e 60 Hz e os subsisemas SU/SE Acoplameno com o modelo NEWAVE: cálculo das energias armazenada e afluene média Represenação de subsisemas acoplados hidraulicamene CARACTERÍSTICAS ESPECÍFICAS DAS USINAS HIDROELÉTRICAS: Enchimeno de volume moro Cronograma de manuenção Vazão deplecionada mínima Represenação de Unidades Elevaórias Resrições hidráulicas especiais Resrições de balanço hídrico por paamar para as usinas a fio d água Volume de espera para amorecimeno de cheias Engolimeno Máximo das Turbinas Produividade variável: Função de produção energéica Evaporação Reiradas de água para ouros usos... 54

3 Modelo DECOMP iii Aleração de dados do cadasro de usinas hidráulicas Tempo de viagem da vazão defluene dos aproveiamenos Traameno das bacias especiais Geração de pequenas usinas CARACTERÍSTICAS ESPECÍFICAS DAS USINAS TÉRMICAS Geração mínima nas usinas érmicas Cronograma de manuenção CARACTERÍSTICAS DO PROCESSO DE OTIMIZAÇÃO Inegração com modelos de planeameno da operação a médio prazo NEWAVE e BACUS Penalidades para Inercâmbio enre subsisemas e verimenos em reservaórios Revisão da políica do mês inicial Esudos com reomada do processameno Esudos com solução por PL único Anecipação do despacho das usinas a GNL Mecanismos de Aversão ao Risco REFERÊNCIAS ANEXOS CASO-EXEMPLO DE OCORRÊNCIA DE CMO NEGATIVO NO MODELO: EXEMPLOS DE CÁLCULO DE ENERGIA ARMAZENADA E AFLUENTE PARA SUBSISTEMAS ACOPLADOS HIDRAULICAMENTE OCORRÊNCIA DE GAP NEGATIVO NO PROCESSO DE CONVERGÊNCIA TRATAMENTO PARA EVITAR A OCORRÊNCIA DE PEQUENAS INVIABILIDADES NOS RESULTADOS DE CASOS VIÁVEIS NOTA TÉCNICA 0/20 - PROCEDIMENTOS PARA VERIFICAÇÃO E AJUSTE DOS COMANDOS DAS USINAS A GNL NO MODELO DECOMP REGISTROS TG DESPACHO COM ANTECIPAÇÃO MÍNIMA DE 60 DIAS DAS USINAS GNL... 83

4 Modelo DECOMP Inrodução O planeameno da operação de sisemas hidroérmicos de geração de energia elérica abrange um largo especro de aividades, desde o planeameno plurianual aé a programação diária da operação dos reservaórios. Devido ao pore e complexidade dese problema, é necessária a sua divisão em diversas eapas. Em cada eapa, são uilizados modelos com diferenes graus de dealhe para represenação do sisema, abrangendo períodos de esudos com horizones disinos (médio prazo, curo prazo e programação diária). Na eapa de médio prazo são realizados esudos para horizones de aé 5 anos à frene com o obeivo de definir quais serão as parcelas de geração hidráulica e érmica que minimizam o valor esperado do cuso de operação, sendo o sisema represenado aravés de um modelo equivalene [7]. Na eapa de curo prazo, a parir das informações obidas na eapa de médio prazo, deerminam-se as meas individuais de geração das usinas hidráulicas e érmicas do sisema, bem como os inercâmbios de energia enre subsisemas [8]. Finalmene na programação diária, define-se uma programação horária de geração que aenda as meas esabelecidas na eapa anerior, sueia às condições operacionais da rede elérica [9]. O modelo DECOMP foi desenvolvido para aplicação no horizone de curo prazo. Seu obeivo é deerminar as meas de geração de cada usina de um sisema hidroérmico sueio a afluências esocásicas de forma a minimizar o valor esperado do cuso de operação ao longo do período de planeameno. Ese cuso de operação é composo de gasos com combusíveis nas unidades érmicas e evenuais penalizações pelo não aendimeno da demanda (déficis no aendimeno). O modelo represena as resrições físicas e operaivas associadas ao problema (conservação da água, limies de urbinameno, defluência mínima, armazenameno, aendimeno à demanda, ec.). A incereza acerca das vazões afluenes aos diversos aproveiamenos do sisema é represenada aravés de cenários hidrológicos. Ese relaório apresena uma descrição do problema de planeameno da operação de sisemas hidroérmicos inerligados e sua formulação como um problema de oimização e sua paricularização ao modelo DECOMP.. Agradecimenos Os auores agradecem a colaboração de Bóris Garbai Gorensin do CEPEL, Cesar Lucio Corrêa de Sá Jr. e Frederico Guilherme S. M. Casro, da. ELETROBRÁS, Albero Sergio Kligerman e Danielle Bueno de Andrade do ONS, dos represenanes das empresas no GCOI Grupo Coordenador para a Operação Inerligada e dos represenanes das empresas no SGEVM-CP, Subgrupo Especial de Validação de Modelos Curo Prazo.

5 Modelo DECOMP 2 2 O problema de planeameno da operação O obeivo básico do planeameno da operação é ober, para cada eapa, as meas de geração de cada usina (hidro e ermoelérica) do sisema de forma a aender a demanda e minimizar o valor esperado do cuso de operação ao longo do período de planeameno. Ese cuso é composo pelo cuso variável de combusível das usinas ermoeléricas e pelo cuso aribuído às inerrupções de fornecimeno de energia, represenado por uma função de penalização dos déficis de energia (cuso do défici). 2. Sisemas puramene érmicos Em sisemas de geração composos somene de unidades ermoeléricas, o cuso de cada usina depende basicamene do cuso de combusível. Porano, o problema de operação consise em deerminar a combinação de usinas que minimize o cuso oal de combusível (carvão, óleo, nucleares, ec.) necessário para aender a demanda, saisfazendo os limies de geração em cada usina érmica. Em sua versão mais simples, ese problema se resolve colocando as usinas em ordem crescene do cuso de produzir um MWh adicional (o cuso incremenal) e ausando a operação às fluuações da demanda. O úlimo gerador alocado é chamado de gerador marginal, pois ele aenderá a qualquer acréscimo exra de carga que ocorra. Todos os geradores com cuso inferior ao marginal operam em sua capacidade máxima e os geradores com cuso de operação superior ao do marginal não enram em operação. Ainda que exisam faores adicionais que ornam ese problema mais complexo (perdas de energia, limiações nas linhas de ransmissão, cusos de parida, limies na axa de variação da produção energéica, ec.), o problema de operação ermoelérico em caracerísicas básicas, resumidas a seguir: a. é desacoplado no empo, quer dizer, uma decisão de operação hoe não em efeio no cuso de operação do próximo eságio; b. as unidades êm um cuso direo de operação, quer dizer, o cuso de operação de uma unidade não depende do nível de geração de ouras unidades. Além disso, a operação de uma unidade não afea a capacidade de geração ou a disponibilidade de oura unidade; c. a confiabilidade do fornecimeno de energia depende somene da capacidade oal de geração disponível e não da esraégia de operação das unidades do sisema. 2.2 Sisemas hidroérmicos Ao conrário dos sisemas puramene ermoeléricos, sisemas com uma porcenagem subsancial de geração hidroelérica podem uilizar a energia armazenada "gráis" nos reservaórios do sisema para aender a demanda, subsiuindo assim a geração dispendiosa das unidades ermoeléricas. Enreano, o volume de água afluene aos reservaórios é desconhecido, pois depende basicamene das chuvas que irão ocorrer no fuuro. Além disso, a disponibilidade de energia hidroelérica é limiada pela capacidade de armazenameno nos reservaórios. Iso inroduz

6 Modelo DECOMP 3 uma relação enre uma decisão de operação em uma deerminada eapa e as conseqüências fuuras desa decisão. Por exemplo, se decidirmos uilizar as provisões de energia hidroelérica para aender o mercado hoe e no fuuro ocorrer uma seca, pode vir a ser necessário uilizar geração ermoelérica de cuso elevado ou, mesmo, inerromper o fornecimeno de energia. Por ouro lado, se oparmos por fazer uso mais inensivo de geração ermoelérica, conservando elevados os níveis dos reservaórios e ocorrerem vazões alas no fuuro, poderá haver verimeno no sisema, o que represena um desperdício de energia e, em conseqüência, um aumeno desnecessário no cuso de operação. Esa siuação esá ilusrada na Figura 2.. Decisão Afluências Fuuras Conseqüências operaivas minimizar o cuso de combusível esvaziando os reservaórios alas baixas operação econômica défici maner os reservaórios cheios e usar geração ermoelérica alas baixas verimeno operação econômica Figura 2. - Processo de decisão para sisemas hidroérmicos O problema de planeameno da operação de sisemas hidroérmicos possui caracerísicas que podem ser assim resumidas [3]: é acoplado no empo, ou sea, é necessário avaliar as conseqüências fuuras de uma decisão no presene. A solução óima é um equilíbrio enre o benefício presene do uso do água e o beneficio fuuro de seu armazenameno, medido em ermos da economia esperada dos combusíveis das unidades érmicas. a ese problema dinâmico se agrega o problema da irregularidade das vazões afluenes aos reservaórios, que variam sazonalmene e regionalmene. Ademais, as previsões das afluências fuuras são, em geral, pouco precisas. A incereza com respeio as vazões, aliada a incereza com respeio à demanda de energia, faz do planeameno da operação de sisemas hidroérmicos um problema essencialmene esocásico.

7 Modelo DECOMP 4 é acoplado no espaço, ou sea, há inerdependência na operação de usinas hidroeléricas, pois a quanidade de água liberada em uma usina afea a operação de oura siuada a usane. o valor da energia gerada por uma hidroelérica somene pode ser medido em ermos da economia resulane nos cusos de geração érmica ou déficis eviados e não direamene como uma função apenas do esado da usina. os obeivos de economia de operação e confiabilidade de aendimeno são claramene anagônicos: a máxima uilização da energia hidroelérica disponível a cada eapa é a políica mais econômica, pois minimiza os cusos de combusível. Enreano, esa políica é a menos confiável, pois resula em maiores riscos de déficis fuuros. Por sua vez, a máxima confiabilidade de fornecimeno é obida conservando o nível dos reservaórios o mais elevado possível. Enreano, iso significa uilizar mais geração ermoelérica e, porano, aumenar os cusos de operação. O equilíbrio enre os cusos de operação e a confiabilidade é obido aravés do cuso do défici, que represena o impaco econômico associado à inerrupção do fornecimeno. A deerminação do cuso do défici é um problema muio complexo, porém fundamenal para a deerminação da políica de operação mais adequada para o sisema. Se o cuso do défici é muio baixo, resula em uma uilização excessiva dos reservaórios e, porano, em maiores riscos de racionameno no fuuro. Se o cuso de défici é muio alo, resula em uma uilização excessiva dos recursos ermoeléricos do sisema e, porano, em cusos de operação elevados. 2.3 Sisemas inerligados A exisência de inerligações com os sisemas vizinhos permie uma redução dos cusos de operação, aravés do inercâmbio de energia e um aumeno da confiabilidade de fornecimeno, aravés da reparição das reservas. No caso de sisemas puramene érmicos, os cusos de combusível proporcionam um mecanismo naural de coordenação para a roca de energia enre os sisemas. Se o cuso de operação da érmica mais cara operando no sisema A (a érmica marginal) é US$ 45/MWh e o cuso correspondene no sisema B é US$ 40/MWh, é inuiivo que a operação mais econômica para o sisema A é receber energia de B. Observa-se que os inercâmbios de energia enre os sisemas érmicos resulam na oimização global dos cusos de operação do sisema inerligado. Em ouras palavras, os resulados que se obêm com sisemas independenes fazendo inercâmbios com base nos cusos das érmicas marginais são os mesmos que se oberiam se os sisemas fossem operados de forma conuna, como um único sisema. Também é imporane observar que a coordenação enre os sisemas se faz unicamene aravés de cusos, iso é, o sisema B não em informações sobre o sisema A (ipo e disponibilidade dos equipamenos, demanda, ec.) ou vice-versa. Iso facilia os conraos de inercâmbio, endo em visa que não é necessário comparilhar informações comerciais. No caso de sisemas hidroérmicos, é necessário inicialmene deerminar o valor da geração hidroelérica. Como discuido nas seções aneriores, o valor da energia hidroelérica é o valor

8 Modelo DECOMP 5 da geração érmica que se poderia subsiuir hoe ou no fuuro. Ese valor se calcula como uma eapa do processo de deerminação da políica óima. Com ese conceio, pode-se represenar uma hidroelérica como uma érmica cuo cuso marginal de operação (CMO) é o valor da água. Enreano, é imporane observar que ese valor não se mede de maneira isolada em cada usina, pois depende da operação conuna do sisema. Em ouras palavras, se a políica óima hidroérmica de cada empresa for calculada de maneira isolada, os inercâmbios de energia poseriores, mesmo baseados nos valores da água de cada empresa, não resulam na operação mais econômica possível. Em resumo, para ober os ganhos operaivos máximos de um sisema hidroérmico inerligado, é necessário operar o sisema de maneira inegrada, iso é, oimizando de forma conuna a operação de odos os subsisemas, com o obeivo de minimizar o cuso de operação oal.

9 Modelo DECOMP 6 3 Planeameno de operação de curo prazo Mais formalmene, o obeivo de planeameno da operação é enconrar uma esraégia de operação que, para cada eságio do período de planeameno, dado o esado do sisema no início do eságio, forneça as meas de geração para cada usina do sisema. Esa esraégia deve minimizar o valor esperado do cuso de operação ao longo do período, composo de cuso de combusível mais penalizações por evenuais falhas no aendimeno. Supondo conhecidas as afluências no início do eságio, o problema de conrole resulane pode ser resolvido por uma recursão de programação dinâmica esocásica (PDE) do ipo acaso-decisão : α β α = + A X U () ( X ) E min C ( U ) ( X ) s.a. ( ) X = + f X, A, U g + ( X + ) 0 h ( U ) 0 para = T, T-,..., ; para odo X A recursão () é feia para cada eságio do período de esudo. O horizone de esudo se represena por T e β é a axa de descono. A duração de cada eságio e do horizone dependem das caracerísicas do sisema. As variáveis de esado X incluem as caracerísicas do problema que afeam a decisão de operação. No caso de sisemas hidroérmicos, exisem ipicamene duas classes de variáveis de esado: volumes armazenados nos reservaórios no início do eságio, V,e alguma informação acerca da endência hidrológica. Esa informação pode ser dada, por exemplo, pelas vazões incremenais afluenes aos reservaórios nos eságios aneriores. O número de eságios passados que se represenam esá direamene associado à ordem do modelo esocásico e varia para cada sisema. A é o veor de volumes afluenes incremenais durane o eságio. A X represena a disribuição de probabilidades da afluência A condicionada ao esado do sisema X. As variáveis de decisão do problema em cada eapa, U, incluem os volumes urbinados, Q, e veridos, S, nos reservaórios. C (U ) é o cuso imediao associado à decisão U e α (X ) represena o valor esperado do cuso de operação do eságio aé o final do período de planeameno sob a hipóese de operação óima. A equação de ransição de esado, X f ( X A U ) conservação de água: V + = V + A + M( Q + S ) + =,,, corresponde à equação de onde M é a mariz de incidência das usinas hidroélericas ( m i,i = -, m i, = se i esá imediaamene a monane de e m i, = 0 nos ouros casos). As resrições associadas ao esado do sisema, g ( X ) correspondem a limies nos volumes armazenados nas usinas + + 0

10 i i i V V V Modelo DECOMP 7 i i onde V + e V +são, respecivamene, os limies inferior e superior de armazenameno do reservaório i. As resrições associadas às variáveis de decisão, h ( U ) 0, correspondem a limies superiores nos volumes urbinados Q Q e limies inferiores na defluência oal da usina i Q + S Q i i i i As usinas ermoeléricas são represenadas por grupos de érmicas com cusos semelhanes, consiuindo as usinas érmicas. O défici de fornecimeno de energia (core de carga) é represenado incluindo-se uma usina érmica ficícia de capacidade de geração infinia e cuso de operação diferenciado para cada percenual de não aendimeno do mercado em cada paamar de carga. A geração ermoelérica e os inercâmbios são represenados de maneira indirea aravés da função de cuso imediao C(U). Esa função represena o cuso de geração érmica necessária para complemenar o aendimeno da demanda na eapa (o aendimeno esá garanido pela inclusão de uma érmica ficícia). Ese complemeno é a diferença enre a demanda e a energia hidroelérica produzida pelos volumes urbinados Q NH i i GH( U ) = ρ Q i= onde ρ i é a produividade da i-ésima usina hidroelérica. Deve-se noar que a produividade é, de fao, uma função da defluência oal e dos volumes inicial e final do reservaório i: ρ i = ρ ( V i, V i +, Q i, S i ) Enreano, nas derivações que se seguem, ρ i será considerado consane. O raameno adoado para considerar a sua variação será descrio no iem Porano, o cálculo do cuso imediao de operação a cada eságio pode ser obido resolvendose o seguine problema de programação linear: onde: NS NT ( ) C ( U ) = min C G = sueio a NH NT i ρ i i= = r Ω ( (, ) (, )) Q + G + f r i f i r = D G G G (4) f ( i, r) f ( i, r) (5) para =,..., NS; número oal de subsisemas. (2) (3)

11 NH NT NT G G C D e G Modelo DECOMP 8 número oal de usinas hidroeléricas do -ésimo subsisema. número oal de usinas érmicas. número oal de usinas érmicas do -ésimo subsisema. represena o número do subsisema considerado, =,..., NS represena as usinas ermoeléricas, =,..., J geração da ermoelérica no eságio (MWh) limies mínimo e máximo de geração de no eságio (MWh) cuso de geração da érmica ($/MWh) demanda de energia do -ésimo subsisema no eságio (MWh) f (i,r) inercâmbio de energia do subsisema i para o subsisema r (MWh) no eságio. f, (i,r) Ω limie de inercâmbio de energia do subsisema i para o subsisema r (MWh) no eságio. conuno de subsisemas direamene conecados ao subsisema A resrição (3) represena o balanço de energia em cada subsisema. A resrição (4) represena os limies de geração ermoelérica e a resrição (5) os limies de inercâmbio de energia. A função de cuso imediao para disinos valores de U esá represenada na Figura 3. Observa-se que o cuso de complemenação ermoelérica diminui à medida que as energias urbinadas aumenam. Cuso Imediao Figura 3. - Função de Cuso Imediao Energia Turbinada 3. Função de Cuso Fuuro

12 A função ( X ) α + + Modelo DECOMP 9 represena o valor esperado do cuso de operação da eapa + aé o horizone T, a parir do esado X + e é por isso conhecida como função de cuso fuuro. Observa-se que o cuso de operação depende dos valores das variáveis de esado. A função de cuso fuuro permie comparar o cuso de uilizar os reservaórios na eapa, aravés da energia urbinada (função de cuso imediao C (U)), ou guardar a água para uma uilização fuura. A Figura 2.2 represena as duas funções para disinos valores de U. Observa-se que o cuso fuuro aumena com a energia urbinada na eapa, á que iso implica em esvaziar os reservaórios. Cuso Imediao Cuso Fuuro Energia Turbinada Figura Funções de cuso imediao e cuso fuuro A recursão () requer como dado de enrada a função de cuso fuuro para a úlima eapa, α T + ( X T + ). Como viso na Inrodução, esa função é calculada na eapa de médio prazo por modelos de planeameno que usualmene êm como variáveis de esado X a energia armazenada e as energias afluenes nos meses aneriores, sendo expressa por: p α T + α T + α T + EARM T + αt + + EAFT + l. EARM T + l= EAFT + l onde, sem perda de generalidade esá sendo considerado apenas um subsisema. A função de cuso fuuro do modelo DECOMP, expressa em ermos dos volumes armazenados em cada usina do sisema pode ser expressa por: α T + α T + Vi α T + V i O acoplameno do modelo DECOMP com um modelo de planeameno da operação de curo prazo é alcançado considerando que a função de cuso fuuro do horizone de planeameno, dada pelo modelo de médio prazo, pode ser expressa em ermos dos volumes armazenados nos reservaórios, uilizando a regra da cadeia: conhecidas as energias afluenes nos meses aneriores, é possível ober, para cada usina do sisema, a derivada da função de cuso fuuro do horizone de curo prazo a parir da função de cuso fuuro de médio prazo:

13 Modelo DECOMP 0 α T + α T + EARM T + V i = EARM T + V Como a energia armazenada é dada por: emos e, porano, EARM EARM V α V T + i NH = ρ i= J i T + V i i T + = J i α = EARM T + ρ T + J i ρ i onde J i é o conuno de usinas composo pelo reservaório i e odas a usane dele. Obs.: a energia afluene média no primeiro mês é calculada considerando as energias afluenes no período de esudo e a duração efeiva do mês correspondene à diferença enre o oal de horas considerado no Programa Mensal de Operação e o número de horas da úlima semana do primeiro mês que perencem ao mês seguine. Caso seam informadas as energias afluenes em semanas aneriores ao início do período de esudo esas serão consideradas no cálculo da energia afluene média, como apresenado no iem Algorimo de Solução do Problema Em eoria, o problema () poderia ser resolvido por um algorimo de programação dinâmica esocásica (PDE). Ese algorimo possui muias caracerísicas ineressanes: é relaivamene fácil de implemenar, é aplicável a problemas muli-eságios, permie represenar não linearidades, ec. Enreano, a consrução da função de cuso fuuro é feia discreizando o espaço de esados X em um conuno de valores e resolvendo a equação () para cada um deses valores. Como a esraégia de operação deve ser calculada para odas as possíveis combinações de volumes armazenados e endências hidrológicas, o problema orna-se rapidamene inraável do pono de visa compuacional. Supondo que cada um dos NH níveis de armazenameno, V, e afluências no eságio anerior (endência hidrológica), A, seam discreizados em N inervalos, em-se N NH 2 esados discreizados. Porano, o número de esados discreizados e, consequenemene o esforço compuacional, cresce exponencialmene com o número de variáveis de esado. Iso significa que a resolução da equação () pelo algorimo de PDE orna-se inviável mesmo para sisemas de usinas hidroeléricas basane reduzidos. Por exemplo, supondo N = 20 inervalos de discreização e 5 usinas hidroeléricas em-se 0 rilhões de esados possíveis. Uma das maneiras de eviar esa maldição da dimensionalidade consise em aproximar a função de cuso fuuro aravés de funções

14 Modelo DECOMP analíicas. A meodologia proposa baseia-se no fao de que a função de cuso fuuro pode ser represenada exaamene aravés de uma função linear por pares e usa uma relaxação desa função como aproximação, sem necessidade de discreizar o espaço de esados. Esa meodologia, baseada em programação dinâmica esocásica é denominada programação dinâmica dual esocásica (PDDE) e será descria no capíulo a seguir.

15 Modelo DECOMP 2 4 Programação Dinâmica Dual Esocásica 4. Programação Dinâmica Dual Deerminísica O conceio de programação dinâmica dual será ilusrado considerando o problema de operação hidroérmica () de dois eságios em que a afluência a cada usina hidroelérica, em qualquer eságio do período de planeameno, é conhecida. Ese problema pode ser represenado por: min s / a c x A x + c x 2 2 b E x + A x b Ese problema pode ser inerpreado como um processo de decisão em dois eságios: no eságio, escolhe-se uma decisão x viável, x *, al que Ax * b. Dada a decisão x *, resolvese o problema de oimização do 2 eságio: min s / a c x 2 2 * A x b E x Observe que x * é um valor conhecido e passa para o lado direio do conuno de resrições do problema. Os veores x e x 2 represenam os volumes finais das usinas hidroeléricas, as vazões urbinadas, as gerações érmicas, ec., no primeiro e segundo eságio respecivamene. O obeivo do processo é minimizar a soma das cusos do primeiro e segundo eságios cx + c2x2. O cuso do segundo eságio, c 2 x * 2, onde x * 2 é a solução óima do problema de 2 eságio, pode ser viso como uma função da decisão x, do problema de eságio, iso é: ( x ) = min α 2 2 s / a c x A x b E x O problema de dois eságios (6) pode, porano, ser rescrio como: min c x + α ( x ) s / a A x b onde α ( x ) é o valor da solução óima de (8) para cada x. A esruura do problema (9) é semelhane à recursão de programação dinâmica, onde c x represena o cuso imediao e ( x ) fornece informações acerca das consequências fuuras (2 eságio) da decisão x. α (6) (7) (8) (9)

16 Modelo DECOMP 3 O princípio de decomposição de Benders [] é uma écnica que permie consruir aproximações para a função α ( x ), baseadas na solução ieraiva dos problemas de e 2 eságios, como descrio a seguir. O comporameno da função cuso fuuro, α ( x ), pode ser caracerizado a parir do dual do problema de 2 eságio, sob a hipóese de linearidade dese problema. Sea o dual do problema (7): ( ) α ( x ) = max π b E x 2 s / a π A c 2 2 onde o veor π represena as variáveis duais. Noe que na formulação dual a decisão x esá na função obeivo. Consequenemene, o conuno de resrições π A2 c2 define uma região viável para o problema (0) que não depende da decisão de eságio x e pode ser 2 π = π, π, K, π P. caracerizada pelo conuno de odos os ponos exremos ou vérices { } Como a solução óima de um problema de programação linear sempre corresponde a um vérice da região viável, o problema (0) pode, em princípio, ser resolvido por enumeração: ( ) i 2 α ( x ) = max π b E x s / a i 2 P {,, K, } π π π π O problema () pode ser rescrio da seguine forma: α ( x ) = min s / a α α α M α sendo α uma variável escalar. π 2 π π P ( b2 Ex) ( b E x ) 2 ( b E x ) 2 Como α é maior do que ou igual a cada π i ( b2 Ex) paricular, maior do que ou igual ao ( ) (0) () (2) para odo i =, K, P, α é, em { π i b2 Ex i P} max, =, K,. Como a função obeivo do problema (2) é minimizar α, esa resrição será aendida na igualdade. Porano, a solução dese problema é igual a solução óima do problema () e, consequenemene, igual a solução óima do problema (0). Ese problema possui uma inerpreação geomérica ineressane: a função de cuso fuuro ( x ) é uma função linear por pares da decisão x, cuos componenes são hiperplanos α definidos por π i ( b E x ) 2. Iso implica que a função de cuso fuuro pode ser caracerizada

17 Modelo DECOMP 4 sem discreização dos valores x, sendo suficiene o conhecimeno dos coeficienes π i hiperplanos supore. Sabe-se da eoria de programação linear que o valor da função obeivo do problema primal e do problema dual coincidem na solução óima. Como o problema (2) é equivalene ao i problema (0), pode-se concluir que as resrições α π ( b2 Ex ) do problema (2) definem a função de cuso fuuro α ( x ) do problema original (9). O problema de dois eságios (6) pode enão ser rescrio como: min s / a c x A x π ( b E x ) α 2 π ( b E x ) α P π ( b E x ) α b 2 2 M 2 + α 0 0 M M M M 0 Desa forma, o problema original de decisão de dois eságios (6) pode ser escrio somene em função das variáveis do problema de eságio mais a variável escalar α. { π i b2 Ex, i =, K, P} Apesar do conuno de resrições ( ) dos (3), ser muio grande, somene algumas delas esarão aivas na solução óima. Iso sugere o uso de écnicas de relaxação, na qual as resrições são sucessivamene adicionadas ao problema a cada ieração, fornecendo uma aproximação mais precisa para a função cuso fuuro aé alcançar uma olerância preesabelecida. 4.. Algorimo de solução O algorimo programação dinâmica dual (PDD) para o problema de dois eságios é descrio pelos seguines passos: a Inicialize o conador de ierações J = 0 ; o limie superior para a solução óima z = + ; a aproximação inicial da função cuso fuuro $ α ( x ) = 0, para odo x (iso significa que não esá disponível nenhuma informação sobre o conuno de ponos exremos ou b vérices π) e um valor para a olerância de convergência TOL. Resolva o problema relaxado min c x + $ α s / a A x π ( b E x ) $ 2 α 0 =, K, J b * * c Sea ( x, $α ) a solução óima do problema (4). Pode-se ver que: z = cx * + $α * (5) (4)

18 d e Modelo DECOMP 5 é um limie inferior para a solução do problema original (9), pois o problema (4) é uma versão relaxada do problema (3). Dada a decisão x,, resolva o problema de 2 eságio: * α ( x ) = min c 2 x 2 s / a * A x b E x Sea x, 2 a solução óima do problema (6). O par (x,, x, 2 ) é uma solução viável do problema (9), mas não necessariamene a solução óima. Um limie superior pode ser calculado por: * * { } z = min z, c x + c x f Se (z z ( x * x2 * ) (6) 2 2 (7) TOL) o problema esá resolvido e a solução óima corresponde ao par, associado ao limie superior _,z. Caso conrário, execue os procedimenos de (g) para melhorar a aproximação da função de cuso fuuro. g Sea π* o veor de muliplicadores simplex associados às resrições do problema (6). Sabe-se da eoria de programação linear que ese veor é uma solução básica viável do problema dual (0), e porano um vérice da região viável π A c. Ese vérice pode 2 2 ser usado para formar uma nova resrição do ipo π * ( b2 Ex) α 0, denominada core de Benders, que será adicionada ao problema relaxado (4). J * h Faça J = J +, π = π e vá para (b). Os passos a) h) descrevem o algorimo de decomposição de Benders. Maiores dealhes podem ser enconrados em [],[] e [2]. Na práica, é usual rescrever o core de Benders π * ( b2 Ex) α 0 descrio no passo (g) da seguine forma: sea w * o valor da solução óima do problema (6) e π* o veor de muliplicadores simplex associado. Da igualdade de soluções óimas dos problemas primal e dual podemos escrever: * * * w = π ( b2 Ex ) (8) Colocando (π* b 2 ) em evidência, obém-se: * * * * 2 π b = w + π E x Subsiuindo na expressão π * ( b2 Ex) α 0, obém-se uma expressão alernaiva para o core de Benders: * * * w + π E( x x) α 0 (9) Esa expressão é úil para a exensão esocásica do algorimo de Benders, descria a seguir. O algorimo PDD pode ser esendido para problemas muli-eságios. Sea o problema de decisões sequenciais com T eságios:

19 min s / a c x + c x + L + c x 2 2 A x Modelo DECOMP 6 E x + A x b Ese problema pode ser represenado por: min c x + α ( x ) s / a A x E x + A x b b E x + A x b T T T T T T T M b (20) (2) onde α ( x ) represena as consequências da decisão de eságio, x, nas decisões dos demais eságios. Esa função é calculada por: α( x ) = min c x + L + c x 2 2 s / a A x b E x E x + A x b E x + A x b T T T T T Repeindo ese procedimeno (T-2) vezes obém-se: α onde α T ( x ) = min c x + α ( x ) T 2 T 2 T T T T T T T T T T T 2 T 2 M (22) s / a (23) ( x ) é a função do T-ésimo eságio: ( x ) min c x α T T = T T A x b E x s / a (24) A x b E x T T T T T O algorimo de solução do problema muli-eságios é: a Inicialize o conador de ierações J = 0 ; o limie superior para a solução óima z = + ; a aproximação inicial da função cuso fuuro $ α ( x ) = 0, para odo x e para odo =, K, T (iso significa que não esá disponível nenhuma informação sobre o conuno de ponos exremos ou vérices π associados a cada eságio) e um valor para a olerância de convergência TOL. b Resolva o problema aproximado de eságio:

20 min c x + $ α s / a A x π ( ) $ 2 b2 Ex α 0 =, K, J Modelo DECOMP 7 b x * * cua solução óima: (, α $ ) * * c calcule z = cx + $α d Repia para = 2,,T (simulação forward ) * Dado x +, resolva o problema aproximado do -ésimo eságio:] $ α ( x ) = min c x + $ α s / a * A x b E x π ( ) $ + b + E x α 0 ou w + π * E ( x x ) $ α * As equações A x b E x (25) (26) represenam as resrições do eságio e as equações π + ( b + E x ) $ α 0 =, K, J represenam a aproximação da função cuso fuuro $ ( x ) exceo para = T, onde $ ( x ) é sempre igual a zero. α α T * * x α A solução óima dese problema é (, $ ) * * e O veor ( x, K, x T ) é uma solução viável do problema (20), mas não necessariamene a solução óima. Porano, T * z = min z, c x = é um limie superior da solução óima. f Se (z z TOL) o problema esá resolvido e a solução óima corresponde ao veor * * ( x, K, x T ) associado ao limie superior _,z. Caso conrário, vá para (g). g Faça J = J +. Repia para = T,,2 (recursão bacward ) Resolva o problema de oimização: min c x + $ α s / a A x $ α b E x π ( b E x ) $ + + α 0 * ou w + π E ( x x ) $ α 0 T * + + α α As equações π + ( b + E x ) $ 0 =, K, J represenam a aproximação da função cuso fuuro $ ( x ) exceo para = T, onde $ ( x ) é sempre igual a zero. Sea π J α T T (27) o veor de muliplicadores simplex associado ao conuno de resrições do problema (27) na solução óima. π J medem a variação do cuso de operação do

21 h Modelo DECOMP 8 eságio aé o final do período de planeameno T devido a variações marginais nos níveis de armazenameno dos reservaórios no início do eságio (ou final do eságio ( ) ), represenados por x *. Eses muliplicadores são usados para formar uma nova resrição do ipo π ( b E x ) $ α 0 (core de Benders) que será adicionada à função $ α ( x ), obendo-se uma nova aproximação. Vá para (b). O algorimo de programação dinâmica dual acima descrio apresena diversas vanagens: não necessia discreizar o espaço de esados; fornece a cada ieração limies superior e inferior para a solução óima, permiindo um balanço enre o esforço compuacional e a precisão deseada; o problema de oimização é decomposo numa sucessão de subproblemas de um único eságio, podendo omar parido de algorimos especializados e, finalmene, o algorimo pode ser esendido para raar de problemas esocásicos, como será mosrado a seguir. Observação: No anexo 7.2 é descria uma siuação no problema de planeameno da operação que pode levar a problemas de convergência no algorimo resulando em gaps negaivos. São indicados procedimenos que podem ser adoados para conornar ese problema. 4.2 Programação Dinâmica Dual Esocásica Uma caracerísica imporane do algorimo de programação dinâmica é a capacidade de represenar problemas de oimização esocásica. Em paricular, considerando o problema de operação hidroérmica orna-se possível represenar a esocasicidade das afluências aos reservaórios. A exensão do algorimo de PDD para problemas de oimização esocásica será ilusrada aravés de um problema de dois eságios no qual o problema de 2 eságio depende dos valores que uma ou mais variáveis aleaórias podem assumir. Supondo que o veor b no problema (4) possa assumir 2 valores, b, b 2, com probabilidades p, p 2, respecivamene (p + p 2 = ), o problema consise em deerminar a esraégia que minimiza o valor esperado do cuso de operação: z = min c x + p c x + p c x s / a A x E x + A x b E x + A x b O problema acima corresponde ao seguine processo de decisão: eságio: deermine uma solução viável x al que Ax * b ; * * eságio: enconre o veor ( x, x ), solução do problema abaixo: b (28)

22 z = min p c x + p c x s / a Modelo DECOMP 9 * A2 x22 * b22 Ex A x b E x O problema (29) pode ambém ser decomposo em 2 subproblemas de oimização independenes: min s / a min s / a c x 2 2 * A x b E x c x 2 22 * A x b E x onde as soluções de (30) e (3) são ponderadas pelas probabilidades p, p 2 respecivamene. Assim como no caso deerminísico, a solução de cada subproblema de 2 eságio é uma função da decisão x do problema de eságio. Porano, o problema (28) pode ser rescrio como: (29) (30) (3) z = min c x + α ( x ) s / a A x b (32) onde c x represena o cuso imediao. A função α ( x ) represena o valor esperado do cuso fuuro (valor esperado das consequências da decisão x no fuuro) e é um poliedro convexo que pode ser consruído a parir do valor esperado dos muliplicadores simplex associados a cada subproblema: onde α ( x ) = p α ( x ) + p α ( x ) α α Seam π 2 2 ( x ) = min 2 2 s / a ( x ) = min c x π e 2 * w2 * s / a A2 x2 b2 Ex π c x A x b E x π os muliplicadores simplex associados às resrições dos problemas (30) e (3), e w e os valores das soluções óimas correspondenes. O core de Benders associado ao problema (32) é:

23 ... ( ) ( ) p π b E x + p π b E x α Ou alernaivamene pela equação (9): * * * * ( ( )) ( ( )) p w + π E x x + p w + π E x x α Agrupando, em-se: * * * * * w + π E ( x x ) α onde w = pw + p2w2 e π = p π + p 2 π 2 Modelo DECOMP 20 A exensão para problemas esocásicos e muli-eságios é imediaa. É fácil noar que para o caso em que a cada eságio () há m possíveis cenários de afluências, a evolução do sisema de reservaórios apresena uma esruura em árvore, como ilusrado na Figura 3.. Cada ramo da árvore indica um possível cenário de afluências. X 2 m m m m m.. m m 2.. m T- T Figura 3. - Esruura em árvore da evolução do sisema de reservaórios ao longo do período de planeameno 4.3 Tempo de viagem Para alguns aproveiamenos hidreléricos não se pode considerar que odo o volume defluene das usinas de monane durane o eságio esea disponível no mesmo eságio. Nese caso, o volume afluene à usina pode ser obido aravés da propagação das defluências de monane. Uma maneira simplificada de realizar esa propagação consise em considerar o empo de viagem inervalo de empo médio que as defluências consomem aé alcançar a

24 Modelo DECOMP 2 usina a usane empregando um faor de proporcionalidade ao volume defluene. A Figura 4.2 abaixo ilusra ese conceio para um sisema composo por duas usinas hidreléricas em cascaa. Pode-se observar nese exemplo que as afluências que alcançam o reservaório de usane no eságio foram defluídas do reservaório de monane nos eságios, -, -2 e -3, com faores de proporcionalidade iguais a,, 2 e 3 respecivamene. Considerar o empo de viagem como um faor fixo de propagação dos volumes permie que ese aspeco sea incorporado ao modelo DECOMP, resulando em uma modelagem mais precisa para aqueles sisemas hidroérmicos em que o empo de viagem não pode ser desprezado, como por exemplo, a bacia do rio São Francisco. Para a considerar eses aspecos, a formulação do modelo deve ser esendida, como será mosrado a seguir Figura Represenação do empo de viagem 4.3. Formulação do modelo Considere-se o problema muli-eságio abaixo, no qual o esado do sisema esá definido apenas em função das variáveis de um eságio:

25 min s / a c x + c x + L + c x 2 2 A x Modelo DECOMP 22 E x + A x b E x + A x b E x + A x b T T T T T Como foi viso no iem 4., a solução dese problema pode ser obida aravés de um algorimo de PDDE. Um dos passos fundamenais dese algorimo consise no refinameno da aproximação $α da função de cuso fuuro α ( x ). Esa função $α é dada por: $ α π ( b E x ) =,, J ou, equivalenemene + + K $ * α w + π E ( x x ) =,, J + + K onde w + é a solução do problema do eságio (+) na ieração e π + as variáveis duais associadas. Cabe ressalar que, para cada ieração, a aproximação da função de cuso fuuro $α incorpora um novo segmeno linear que depende apenas da solução x * e que é expressa apenas em função de x, veor que define o esado do sisema no eságio. Por ouro lado, quando o problema é al que o veor de esado no eságio depende de diversos eságios aneriores, a esruura do core de Benders se alera. Por exemplo, considerando-se um problema de 6 eságios no qual o esado depende de rês eságios, a formulação fica: min s / a c x + c x + c x + c x + c x + c x A x E x + A x b E x + E x + A x b E x + E x + E x + A x b T T E x + E x + E x + A x b M E x + E x + E x + A x b Esa formulação pode ser idenificada com o caso em que o empo de viagem enre os aproveiamenos não pode ser desprezado. Empregando-se um raciocínio análogo ao que foi desenvolvido no iem anerior, ese problema pode ser decomposo numa sucessão de subproblemas de um único eságio. Para o eságio = 6, emos: w = min c x s / a A x b E x E x E x 3 b b

26 Considerando-se π 6 Modelo DECOMP 23 o veor de muliplicadores simplex associados às resrições e w 6 o valor da solução óima do problema para x, = 3, 4 e 5, podemos escrever: w6 = π 6 ( b6 + E5 x5 E4 2 x4 E3 3 x3 ) e, porano, o core de Benders para o eságio 5 é: 2 3 α w + π E ( x x ) + E ( x x ) + E ( x x ) [ ] O problema de um eságio resulane para o eságio 5 fica, enão: w = min c x s / a α α A x b E x E x E x 2 3 [ ( 5 5) 4 ( 4 4 ) 3 ( 3 3) ] w + π E x x + E x x + E x x onde o veor x 5 é a variável de decisão dese eságio. Podemos escrever, porano: w = min c x s / a α A x b E x E x E x ( a) [ ] π E x + α w + π E x + E ( x x ) + E ( x x ) ( b) Sendo π 5 e λ 5 os veores de muliplicadores simplex associados às resrições (a) e (b) e w 5 o valor da solução óima do problema para x, = 2, 3 e 4, emos: [ ] [ w + π E x ] λ w = π b E x + E x + E x + Desa forma, o core de Benders para o eságio 4 fica: α [ ( ) ( ) ( )] [ E ( x x ) E ( x x )] 4 5 π w + E x x + E x3 x3 + E2 3 x2 x λ π + Assim, para o eságio 4, a formulação do problema é: w = min c x + α s / a Sendo π 4 e λ λ5 π A x b E x E x E x ( a) [ ] [ E x E ( x x )] ( π E + λ π E ) x + α w + π E x + E ( x x ) + E ( x x ) ( b) os veores de muliplicadores simplex associados às resrições (a) e (b) e w 4 valor da solução óima do problema para x, =, 2 e 3, pode ser escrio:

27 2 3 [ ] [ w π E x ] w = π b E x + E x + E x + λ λ λ π E x O core de Benders para o eságio 3 fica: α Modelo DECOMP 24 [ ( ) ( ) ( )] [ E ( x x ) E ( x x )] [ E ( x x )] 3 4 π w + E x x + E x2 x2 + E 3 x x λ π λ λ π que, como pode ser deduzido, é a formulação geral do core para ese problema em qualquer eságio. Ressale-se que a aualização da função de cuso fuuro leva em cona os efeios das esados definidos em eságios aneriores ao eságio correne, implicando em modificação na fórmula geral de aualização da função de cuso fuuro. Desa forma, a formulação geral para o core de Benders para qualquer eságio para um problema cuo esado é definido por L eságios aneriores é dada por: L l α w + + π + [ E + l ( x + l x + l ] l = L L l + + λ + i π + + [ E + l ( x + l x + l ] = i = l = A generalização para problemas esocásicos é feia de maneira análoga àquela apresenada no iem 4.2, considerando-se valores esperados para w, π e λ Exemplo Ese procedimeno pode ser ilusrado para o caso em que o sisema hidroelérico é composo por apenas duas usinas em cascaa, sendo o empo de viagem enre elas represenados pelos faores,, 2 e 3 para os lags 0,, 2 e 3 respecivamene, como na Figura. As variáveis que fazem a ligação enre os eságios são dadas pelos volumes armazenados no final do eságio e pelos volumes urbinados e veridos no eságio. Agrupando esas variáveis no início do veor de esados x emos: onde: K x = ( v, v, q, q, s, s, ) v i = volume final armazenado na usina i no final do eságio q i = volume urbinado na usina i no eságio s i = volume verido na usina i no eságio Sem perda de generalidade, podemos escrever: 2 x = ( v, v, d, d 2, K ) onde d i represena o volume oal defluene na usina i no eságio. Empregando a fórmula geral acima, o core de Benders para o eságio é dado por:

28 Modelo DECOMP 25 [ 2 3 ( ) ( ) 2 ( 2 2 )] 2 [ E x 3 ( x ) E ( x x ) ] 3 [ E ( x x )] α w + π E x x + E x x + E x x λ π λ λ π l Nese caso, as marizes E que represenam o acoplameno enre os eságios são escrias como: E = 0 0 e, para l >, l E = l onde l é o faor no eságio para o lag l (defasagem). Fazendo π = ( π, π ) α 2 emos: w ( π ) ( v v ) 2 [ v v d d d d 2 d 2 d 2 ] 2 [ 3 2 d d d d ] 2 3 [ d ( ) 3 ( d )] ( π ) ( ) + ( ) + ( ) + ( ) λ ( π ) ( ) + ( ) λ λ π ou, agrupando os ermos: α w ( π ) ( v v ) ( π ) ( v v ) [ π λ π λ λ π ] [( π ) + λ + π + 2 ) ]( d d ) 2 [ π 3 ( ) + 2 ]( d 2 d 2 ) ( ) + ( ) + ( ) ( d d ) + 2

29 Modelo DECOMP 26 5 Modelo DECOMP O modelo DECOMP foi desenvolvido pelo CEPEL para o planeameno da operação de sisemas hidroérmicos a curo prazo empregando a meodologia de PDDE descria no capíulo anerior. No modelo de oimização desenvolvido, esão incorporadas as seguines caracerísicas para operação do sisema hidroérmico: Caracerísicas gerais de operação do sisema: Cenários de afluência; Represenação de paamares de carga; Configuração dinâmica; Limies de inerligação enre subsisemas; Conraos de imporação/exporação de energia; Represenação de curvas de défici por paamar. Resrições eléricas; Resrição de ranspore enre Iaipu 50 e 60 Hz e os subsisemas SU/SE; Acoplameno com o modelo NEWAVE: cálculo das energias armazenada e afluene média; Represenação de subsisemas acoplados hidraulicamene; Caracerísicas específicas das usinas hidroeléricas: Enchimeno de volume moro; Cronograma de manuenção; Vazão deplecionada mínima; Represenação de Unidades Elevaórias; Resrições hidráulicas especiais; Resrições de balanço hídrico por paamar para as usinas a fio d água; Volume de espera para amorecimeno de cheias; Produividade variável: Função de produção energéica; Evaporação; Irrigação; Desvios de água; Aleração de dados do cadasro de usinas hidráulicas; Tempo de viagem da vazão defluene dos aproveiamenos; Traameno das bacias especiais; Geração de pequenas usinas. Caracerísicas específicas das usinas érmicas: Geração mínima em usinas érmicas; Cronograma de manuenção.

30 Caracerísicas do processo de oimização Modelo DECOMP 27 Inegração com modelos de planeameno da operação a médio prazo (NEWAVE e BACUS); Penalidades para inercâmbios enre subsisemas e verimenos em reservaórios; Revisão da políica no mês inicial; Esudos de Resar. 5. Caracerísicas gerais do sisema: 5.. Cenários de afluência A esocasicidade das vazões é inroduzida no modelo DECOMP aravés da consrução de cenários de vazões mensais afluenes às usinas do sisema. Eses cenários hidrológicos podem ser represenados aravés de uma árvore de afluências, com probabilidades de ocorrência associadas a cada ramo. A Figura 5. apresena uma esruura de cenários para um horizone de esudo de 4 meses, onde o primeiro mês esá dividido em 5 semanas com afluências suposas conhecidas. A previsão das vazões para o mês inicial e os cenários de afluências para os demais meses do período de planeameno devem ser fornecidos pelo usuário. Os cenários de afluências podem ser gerados a parir de um modelo esocásico, como por exemplo o GEVAZP primeiro mês demais meses Figura 5. - Esquema de represenação dos cenários de afluência 5..2 Represenação de paamares de carga A represenação da curva de demanda por paamares foi incluída no modelo modificando-se as equações de conservação de água e aendimeno a demanda em cada eságio, bem como inroduzindo limies de urbinameno para cada um dos paamares de carga, como mosrado nas formulações simplificadas a seguir: Conservação de água:

31 Modelo DECOMP 28 V + = V + a Aendimeno ao mercado: Limies de urbinameno: onde: V (i) a (i) δ K ( q + s ) ( q ( ) + s ( ) ) δ = M NH NT GH i) + i= = ( GT ( ) = D =,...,K q q i=,,nh, =,...,T, =,...,K : volume armazenado no i-ésimo reservaório no início do eságio : vazão afluene incremenal à i-ésima usina hidroelérica no eságio : duração do paamar de carga : duração do eságio M(i) : conuno de usinas imediaamene a monane de i q (i) : vazão urbinada pela i-ésima usina no paamar do eságio q (i) : vazão urbinada máxima para a i-ésima usina durane o eságio (i) : vazão verida pela i-ésima usina no paamar do eságio K : número de paamares de carga GH (i) : energia gerada pela i-ésima usina hidrelérica no paamar do eságio s GT ( ) :energia gerada pela -ésima usina érmica no paamar do eságio D : mercado de energia no paamar do eságio Nese caso, o modelo permie especificar o uso de resrições de geração média não decrescene por paamar de carga ( resrições escada ) de al modo que, para cada usina, ano hidráulica quano érmica, a geração (MWmed) no paamar de carga mais elevado sea maior do que ou igual à geração no paamar da carga menos elevado. ATENÇÃO : A uilização das resrições-escada no modelo DECOMP, conugadas com a presença de resrições físicas diferenciadas para os paamares, pode levar à ocorrência de CMOs negaivos nos resulados do modelo. Iso ocorreria em alguns casos onde a melhor solução para o sisema, perane às resrições físicas exisenes em cada paamar, envolvesse um comporameno não crescene na geração de deerminada(s) usina(s) ao longo dos paamares. O caso-exemplo mosrado no anexo 7. represena uma siuação onde iso pode ocorrer.

32 5..3 Configuração dinâmica Modelo DECOMP 29 A enrada de novas unidades hidráulicas no sisema é represenada por meio de alerações nos dados de cadasro levando-se em cona a daa a parir da qual deve-se considerar a modificação na configuração do sisema. Nesa versão, supõe-se que os novos aproveiamenos á esão cadasrados Limies de inerligação enre subsisemas Pode-se represenar no modelo as linhas de ransmissão inerligando os diversos subsisemas. Para cada inercâmbio, é possível definir limies mínimos e máximos de fluxo de energia por eságio e paamar de carga Conraos de imporação/exporação de energia A incorporação de conraos de imporação e/ou exporação de energia (regisros CI e CE) permie a represenação de conraos de compra/venda de energia enre os subsisemas em esudo e ouros subsisemas cua operação não esea represenada no esudo (ex. Argenina). Os conraos de imporação/exporação são represenados no problema de oimização como usinas érmicas, considerando a convenção de sinal posiivo/negaivo, respecivamene, para imporação/exporação, na função obeivo e resrição de aendimeno à demanda do subsisema conraane. onde: NH NT NCE NCI GH + GT ( ) g + i= = i= i= NCE: número de conraos de exporação no eságio e paamar NCI: número de conraos de imporação no eságio e paamar g = D Ese recurso permie ainda a represenação de conraos ae-or-pay. É possível definir, para cada eságio e paamar de carga, limies mínimos e máximos de energia conraada por conrao Represenação de curvas de défici por paamar O modelo DECOMP permie que o cuso do não aendimeno à carga, em cada subsisema, eságio e paamar, sea fornecido aravés de uma curva linear por pares, que relaciona cusos disinos às diferenes parcelas de carga não aendida. Caso não sea fornecida essa curva, o modelo represenará o défici aravés de uma usina érmica de capacidade infinia, com cuso correspondene ao maior valor enre $5000/MWh e o cuso da érmica mais cara informada Resrições eléricas Exisem ponos no sisema elérico brasileiro que merecem especial aenção, por problemas de ransmissão ou por sobrecarga. Para considerar eses ponos, foram incluídas resrições

33 Modelo DECOMP 30 eléricas especiais, que raduzem limiações de geração em conunos de usinas hidroeléricas, usinas érmicas, inercâmbios enre subsisemas e/ou conraos de exporação e imporação. Esas resrições específicas de operação são escrias como combinações lineares da forma: LI NHR i= H GH + NTR = T ( ) GT ( ) + NIR l= ( l) In( l) + I NCR m= C ( m) g( m) LS onde: NHR : número de usinas hidroeléricas na resrição NTR : número de usinas érmicas na resrição NIR : número de inercâmbios na resrição NCR : número de conraos na resrição H : faores de ponderação para as usinas hidroeléricas na resrição T : faores de ponderação para as usinas érmicas na resrição I : faores de ponderação para os inercâmbios na resrição C : faores de ponderação para os conraos na resrição GH(i): energia gerada pela i-ésima usina hidrelérica na resrição GT(): energia gerada pela -ésima usina érmica na resrição In (l) : fluxo de energia no l-ésimo inercâmbio na resrição, ou sea, energia inercambiada enre os subsisemas de origem e desino do inercâmbio l g (m) : fluxo de energia conraada no m-ésimo conrao na resrição. LI : limie inferior da resrição elérica LS : limie superior da resrição elérica Cabe ressalar que esas resrições são basane flexíveis, pois podem represenar: gerações mínima e/ou máxima em uma usina: LI GH LS gerações mínimas e/ou máximas de um conuno de usinas: LI GH( ) + GH(2) + L + GH( NHR) LS resrições de sobrecarga de um pono do sisema: LI H () GH() + L+ + () In() + L+ ( I H I ( NHR NIR ) GH( ) In( NIR NHR ) ) + LS T () GT() + L+ T ( NTR ) GT( NTR )

34 Modelo DECOMP 3 Adicionalmene, é possível impor que o limie inferior sea igual ao limie superior ( LI = LS) e, desa forma, represenar, por exemplo, meas obrigaórias de geração para uma deerminada usina, inercâmbio ou grupo de usinas e/ou inercâmbios. As resrições eléricas são inroduzidas no modelo por eságio e paamar. Na represenação acima, os índices do eságio e paamar foram suprimido para não sobrecarregar a noação. Caso uma resrição elérica envolva uma usina ermoelérica a GNL (que em seu despacho realizado anecipadamene, conforme Relaório Técnico DP/DEA 36587/09), o modelo fará um pré-processameno da resrição para a consideração da paricipação da geração da usina GNL, conforme descrio no anexo 7.4, onde foi incluída na ínegra a Noa Técnica 0/20 Procedimenos para verificação e ause dos comandos das usinas a GNL no modelo DECOMP. O criério de ause implemenado é o criério com base nos cusos das usinas Resrição de ranspore enre Iaipu 50 e 60 Hz e os subsisemas SU/SE Considerando a represenação de Iaipu como uma usina do subsisema Sudese, sua capacidade de ranspore de energia para os subsisemas Sul e Sudese é realizada pela incorporação opcional de um conuno de resrições específico para ese fim, que incluem a incorporação do nó de Ivaiporã ao sisema. A Figura 5.2 ilusra a represenação da inerligação de Iaipu com a inclusão desse nó. Ressala-se que a usina esá siuada na região Sudese, mas a sua geração oal é reparida, por meio de resrições, enre as linhas de ransmissão de 50Hz e 60Hz. A carga da ANDE esá incorporada à geração 50Hz.

35 Modelo DECOMP 32 ANDE SE 50Hz Iaipu (IT) 60Hz S Ivaiporã (IV) Figura 5.2 Represenação da inerligação de Iaipu Balanço no nó Iaipu: GH ( Iaipu) = IT50 + IT60 Balanço no nó Ivaiporã: IT 60 + SUIV + SEIV = IVSU + IVSE Combinando as duas equações aneriores obêm-se a equação que relaciona a geração de Iaipu com os inercâmbios envolvendo o nó Ivaiporã: GH ( Iaipu) IVSU IVSE + SUIV + SEIV = IT50 Respeiando-se ainda: GH ( Iaipu) GH ( Iaipu) IVSU IVSE SUIV SEIV IVSU IVSE SUIV SEIV onde: GH (Iaipu) : geração de Iaipu no eságio ; IT60 : geração de Iaipu 60 Hz no eságio IT50 : geração de Iaipu 50 Hz no eságio, para aendimeno do Sudese e da carga da ANDE; IVSU : fluxo de Ivaiporã para o subsisema Sul no eságio ; IVSE : fluxo de Ivaiporã para o subsisema Sudese no eságio ; SUIV : fluxo do subsisema Sul para Ivaiporã no eságio ; SEIV : fluxo do subsisema Sudese para Ivaiporã no eságio ; GH (Iaipu) : geração máxima de Iaipu no eságio ;

36 Modelo DECOMP 33 IVSU : limie máximo do fluxo de Ivaiporã para o subsisema Sul no eságio ; IVSE : limie máximo do fluxo de Ivaiporã para o subsisema Sudese no eságio ; SUIV : limie máximo do fluxo do subsisema Sul para Ivaiporã no eságio ; SEIV : limie máximo do fluxo do subsisema Sudese para Ivaiporã no eságio ; 5..9 Acoplameno com o modelo NEWAVE: cálculo das energias armazenada e afluene média Para o acoplameno com a função de cuso fuuro do modelo de médio prazo (NEWAVE), são necessárias as energias armazenadas médias no insane de acoplameno, correspondenes ao úlimo eságio do horizone do esudo do DECOMP. Além disso, devem ser conhecidas as energias afluenes, em cada subsisema, verificadas nos p meses que anecedem o eságio de acoplameno, onde p é a ordem do modelo auo-regressivo adoado para as séries de afluências para o subsisema no modelo NEWAVE. Finalmene, deve-se er acesso à Função de Cuso Fuuro consruída pelo NEWAVE para o insane de acoplameno. Com odas esas informações, o modelo DECOMP deerminará, para as diferenes alernaivas de operação para cada subsisema, o valor oal do cuso fuuro. As energias afluenes, em cada subsisema, verificadas nos meses que anecedem o período de esudo são dados de enrada do DECOMP, enquano as dos demais meses são calculadas pelo modelo. As energias afluenes (expressos em MWh) são calculadas, a cada eságio, considerando a duração dos eságios correspondenes. Para o acoplameno, esses valores são calculados considerando a duração do més médio uilizado no modelo NEWAVE, igual a horas, de modo a maner a coerência com as unidades dos cores da função de cuso fuuro Cálculo das energias armazenadas As energias armazenadas em cada subsisema são calculadas levando-se em consideração, para cada reservaório, os volumes de água esocados e a soma das produividades de odas as usinas por onde a água deverá passar anes de aingir o oceano, calculadas segundo a alura equivalene de cada usina. A expressão geral adoada para cálculo é: onde : EARM EARM: Energia armazenada no subsisema; NR : V i : = NR i= número de reservaórios do subsisema; V i ρ i volume do i-ésimo reservaório do subsisema; e ρ i acum : produividade acumulada do reservaório i, calculada para a alura equivalene. Se uma deerminada usina apresenar número oal de máquinas inferior ao número de unidades para moorização de base, é considerada produividade nula para a mesma. acum

37 Cálculo das energias afluenes Modelo DECOMP 34 As energias afluenes a cada subsisema, em deerminado eságio, são calculadas levando-se em consideração, para cada usina, sua afluência incremenal e a soma acumulada de produividades semelhane à uilizada no cálculo da energia armazenada, porém nese caso a alura uilizada para o cálculo é a correspondene a 65% do volume úil das usinas. onde : EAFL = EAFL: energia afluene ao subsisema; NH : A i : NH i A i ρ número de usinas hidroeléricas no subsisema; acum i afluência incremenal à i-ésima usina do subsisema; e ρ i acum : produividade acumulada do reservaório i, calculada para a alura correspondene a 65% de seu volume úil. Se uma deerminada usina apresenar número oal de máquinas inferior ao número de unidades para moorização de base, é considerada produividade nula para a mesma. No caso da exisência de empo de viagem enre aproveiamenos, ese deve ser levado em consideração no cálculo da energia naural afluene apenas no caso de acoplameno hidráulico, como mosrado no iem Energia afluene média no primeiro mês de esudo O primeiro mês do período de esudo possui algumas paricularidades que devem ser consideradas ao se calcular a energia afluene média para acoplameno com o NEWAVE. Uma parcela desse mês pode consiuir-se de semanas passadas, caso o esudo no DECOMP esea sendo iniciado em uma semana que não sea a primeira semana do mês. Além disso, alguns dias da primeira semana do mês (sea ela passada ou presene) podem perencer ao mês civil anerior, o mesmo aconecendo com a úlima semana do mês, em relação ao mês civil seguine. Considerando esas paricularidades, a energia afluene média mensal no primeiro mês do esudo para cada subsisema é dada por: onde: nsp EAFL média = nsp nsem ( ES NH ) + ES 68 + EA 68 + ( EA NH ) i= 2 68 i = ( nsp + nsem 2) + NH + NH nsem : número de semanas passadas doº mês do esudo; nsem : número de semanas a serem oimizadas no º mês de esudo ; Ndias : número de dias do mês anerior incluídos na primeira semana do º mês de esudo Ndias 2 : número de dias do mês seguine incluídos na úlima semana do º mês de esudo. i nsem nsem

38 Modelo DECOMP 35 O número de horas da primeira e úlima semana do º mês são calculadas da forma (nese exemplo, o mês em 5 semanas) Além disso emos: NH = Ndias NH nsem = Ndias ES i : energias afluenes ocorridas nas semanas passadas ao início do período de esudo (informadas pelo usuário); EA : energias afluenes previsas para as semanas do período de esudo Represenação de subsisemas acoplados hidraulicamene A represenação no modelo DECOMP de subsisemas acoplados hidraulicamene deve ser feia de acordo com o procedimeno que foi adoado no modelo de médio prazo (NEWAVE) para represenação desses subsisemas. Suponha que emos 3 usinas A, B e C em cascaa, sendo as usinas A e C com reservaório e a usina B a fio d água. A usina A se enconra no subsisema S, de monane, enquano as usinas B e C esão localizadas no subsisema de usane S2. A figura 5.3 a seguir ilusra esa siuação: A S B S2 C Figura 5.3 Acoplameno enre subsisemas As duas siuações de acoplameno enre subsisemas uilizadas aualmene no sisema brasileiro são o acoplameno enre o SE e o NE no Rio São Francisco (enre as usinas de Três Marias e Sobradinho) e o acoplameno enre o SE e o N no Rio Tocanins (envolvendo as usinas de Serra da Mesa e Laeado, no SE, e Tucuruí, no N). Há duas formas de se represenar eses acoplamenos no modelo NEWAVE: a) Com uilização de usina ficícia Nese caso, a usina A é duplicada, criando-se uma nova usina A (Fic). A cascaa é quebrada em duas, desacoplando-se os subsisemas conforme mosra a Figura 5.4: A 3 24 S A (Fic) B C S2

39 Modelo DECOMP 36 Figura 5.4 Acoplameno enre subsisemas com uilização de usinas ficícias A poência insalada da usina A permanece com a usina original. A usina A (fic) não êm máquinas, apenas um reservaório, com volume correspondene a EZ % do armazenameno oal da usina original. Esa represenação vem sendo uilizada aé enão para os dois casos de acoplameno verificados no sisema brasileiro. Nesa siuação é necessário fornecer ao modelo DECOMP o percenual EZ para odos os reservaórios do subsisema de monane. No caso de Três Marias, a usina ficícia apresena o mesmo volume úil da usina original (EZ = 00%), enquano que para Serra da Mesa Ficícia ese percenual é de 55%. b) Sem uilização de usina ficícia Nesa represenação as usinas são consideradas na mesma cascaa original. A disinção enre os subsisemas é feia ao se dividir as energias armazenada e afluene na cascaa enre os dois subsisemas Cálculo das energias armazenada e afluene com acoplameno enre subsisemas As fórmulas de cálculo para as energias armazenada e afluene são as mesmas apresenadas no iem Para esabelecer a divisão desa energia enre os subsisemas de monane e usane, enreano, respeiam-se os seguines procedimenos: Se o acoplameno no NEWAVE iver sido feio aravés de usina ficícia, as energias armazenada e afluene para o subsisema de monane serão compuadas considerando apenas os volumes, afluências incremenais e produividades das usinas nese subsisema. Além disso, no cálculo da energia afluene para o subsisema de usane, serão consideradas odas as vazões incremenais às usinas do subsisema de monane, muliplicadas por odas as produividades no subsisema de usane. Se o acoplameno no NEWAVE iver sido feio sem as usinas ficícias, as energias armazenada e afluene para o subsisema de monane serão calculadas considerando-se odas as produividades na cascaa, inclusive as das usinas do subsisema de usane. No iem anerior, a única exceção se dá quando uma usina a fio d água no subsisema de monane não apresena nenhum reservaório a usane na cascaa que perença ao mesmo subsisema. Nese caso, a conribuição de sua vazão incremenal para a energia afluene do subsisema de monane é calculada incluindo somene as produividades no subsisema de monane, com as demais produividades conribuindo para a energia afluene do subsisema de usane. No Anexo 7.2 apresenam-se exemplos de cálculo das energias armazenada e afluene para os casos com e sem a uilização de usinas ficícias Consideração do empo de viagem no cálculo da energia naural afluene para subsisemas com acoplameno hidráulico Caso deva ser considerado o empo de viagem enre dois aproveiamenos localizados em diferenes subsisemas hidraulicamene acoplados, deve-se considerar, para o cálculo da energia afluene ao subsisema de usane, em um deerminado eságio, para o acoplameno com o NEWAVE as vazões incremenais à usina de monane em eságios aneriores.

40 Modelo DECOMP 37 S S2 2 3 Tv = 5 dias Figura 5.5a Exemplo de acoplameno hidráulico enre subsisemas, com empo de viagem (TV) enre ambos No exemplo indicado na Figura 5.5a, as energias afluenes seriam calculadas pelas expressões: EAFL ( ) = A ( ) ρ ' acum * EAFL ( ) = ( A ( ) + A ( )) ρ 2 2 onde A * () correspondenem às vazões incremenais da usina que chegariam à usina 2 no eságio. No exemplo acima (Figura 5.5a), considerando um horizone de esudo de dois meses (mês inicial com 4 semanas), A * () assumiria, de acordo com o indicado nas Figuras 5.5b e 5.5c, os seguines valores : Eságios a 4 (mês inicial, períodos semanais) acum 2 + A 3 ρ acum 3 Eságios d 6d 5d 2 Duração dos eságios : 7 dias Figura 5.5b Mês inicial * 6 ( 2) ( 3) ( ) = A A ( 2) + A ( 3) ( 2) ( 3) onde : : duração do eságio semanal (-i) : duração do eságio semanal -i (lags, 2 e 3)

41 Modelo DECOMP 38 Como indicado na Figura 5.5b, no eságio, o volume oal afluene à usina 2 é dado por uma composição enre os volumes de água incremenais à usina nos períodos de lag 2 (6/7) e lag 3 (/7). Transformando esses volumes em uma vazão média para o eságio, deve-se muliplicar as vazões incremenais nas duas semanas passadas pelos faores (6/7)x(7/7) = (6/7) e (/7)x(7/7) = (/7), respecivamene. Eságio 5 (segundo mês, período mensal) Eságios d 7d 7d ( -5)d 5d 5d 2 Duração dos eságios : 7 dias ( a 4) dias (5) Figura 5.5c Segundo mês * ( 5) 7 ( ) 7 ( 2) A ( ) = A ( ) + A ( ) + A ( 2) + ( ) ( 2) onde : + ( 3) A ( 3) ( 3) (-i) : duração do eságio semanal anerior (lags, 2 e 3) : duração do eságio mensal; para o segundo mês, esse valor corresponderá à diferença [(número de dias do mês 2) (número de dias do mês 2 que perencem à úlima semana do mês inicial)] As conribuições das vazões incremenais à usina nos períodos passados são calculadas da seguine forma : o mês 2 (eságio 5) possui dias; desa forma, como indicado na Figura 5.5c, ( -5)/ da vazão afluene à usina no mês 2 chegaria a usina 2 no mesmo mês; para as semanas 3 e 4, 00% do volume de água incremenal à usina chegaria a usina 2 no mês 2; logo, ransformando esse volume em uma vazão média para o segundo mês, deve-se muliplicar a vazão incremenal oal nessas duas semanas pelo faor (7/7)x(7/ ) = (7/ ); e

42 Modelo DECOMP 39 finalmene, da quanidade de água afluene à usina na semana 2, apenas /7 chega a usina 2 no mês 2; ransformando ese valor em vazão média para o mês 2, obém-se um faor de (/7)x(7/ ) = (/ ) para a conribuição da vazão incremenal da semana Caracerísicas específicas das usinas hidroeléricas: 5.2. Enchimeno de volume moro O enchimeno de volume moro é represenado aravés de uma vazão mínima para armazenameno em cada eságio. A parir desa vazão, o modelo calcula volumes mea mínimos de modo que o volume armazenado na usina em cada eságio sea, no mínimo, igual a eses valores. Com o obeivo de se maner uma vazão mínima defluene durane o período de enchimeno, ambém é possível informar os valores mínimos de defluência para cada eságio. O prazo de enchimeno de volume moro é um dado de enrada do modelo e, caso não sea viável aendê-lo, o programa repora o não aendimeno desa resrição Cronograma de manuenção A represenação dos cronogramas de manuenção programada dos grupos urbina-gerador é feia aravés de axas de disponibilidade média no eságio, fornecidas ao modelo DECOMP. Essas axas devem ser calculadas, para cada usina, levando-se em consideração (i) o período de manuenção da unidade e (ii) a poência indisponilizada Vazão deplecionada mínima O valor defaul para defluência mínima nos aproveiamenos hidráulicos é nulo. Nesa versão é possível incorporar, como resrição de defluência mínima, um percenual da vazão mínima hisórica (regisros RQ). Caso um aproveiameno enha uma axa de defluência que não sea um percenual da vazão mínima hisórica, esse valor deve ser fornecido no regisro UH. O valor de vazão mínima informado no regisro UH em prioridade em relação ao regisro RQ e é fixado para odos os eságios do esudo. A resrição de vazão defluene mínima é considerada hard e deverá ser aendida, em cada eságio, pela oimização. Caso esas imposições ornem o problema inviável, o programa repora uma mensagem para o usuário ao final do processameno Represenação de Unidades Elevaórias Uma unidade elevaória consise em um equipameno uilizado para reirar água de um reservaório a uma coa inferior (reservaório de usane) e a enviar para um reservaório em uma coa superior (reservaório de monane), iso é, desviar o caminho naural do curso d água (Figura 5.6). Tal operação é vanaosa quando se obém um ganho de produividade, ao se desviar a água em relação ao caminho naural desa.

43 Modelo DECOMP 40 Qafl A A Q A + S A Unidade Elevaória i Q B i Figura 5.6 Exemplo de uma unidade elevaória, que bombeia água da usina A para a usina B O modelo uilizado para represenar uma unidade elevaória consise somene de uma variável para represenar a vazão bombeada, Q B i, i =,, NUNE, onde NUNE é o número oal de unidades elevaórias exisenes. A represenação de uma unidade elevaória no modelo se dá em duas resrições: a resrição de conservação da água de cada usina do sisema e a resrição de balanço energéico para cada subsisema. Nas resrições de conservação da água, o volume bombeado em uma deerminada unidade elevaória é acrescido ao volume afluene no eságio para a usina de monane, e deduzido do volume final para a usina de usane: V + A = V A + Qafl A Q A S A Q B A V + B = V B + Qafl B Q B S B + Q B A onde Qafl indica a vazão afluene às usinas, seam ela incremenais ou resulanes da operação de usinas a monane. Nas equações de demanda (iem 5..2), acresce-se o consumo de energia para a operação da unidade elevaória à demanda do subsisema ao qual a usina perence. Ese consumo de energia consise na vazão bombeada muliplicada pelo consumo específico da unidade. NH NT GH i) + i= = Qafl B NUNE ( GT ( ) = D + κ ( l) Q ( l) =,...,K B l= Q B + S B B onde κ(l) é o consumo específico da unidade (MW / (m 3 /s)) Resrições hidráulicas especiais As resrições hidráulicas especiais permiem que seam inroduzidas no modelo algumas resrições operaivas próprias de deerminada usina ou conuno de usinas em uma bacia hidroelérica. Elas são uma alernaiva para a represenação, por exemplo, de algumas regras operaivas das bacias do Alo Tieê e Paraíba do Sul Esas resrições especificam limies máximos e mínimos, em um dado aproveiameno, para a vazão afluene ou defluene, faixas de operação para a vazão defluene de um conuno de usinas e faixas para os volumes armazenados em um conuno de reservaórios.

44 Resrição Hidráulica de Vazão Afluene (RHA) Modelo DECOMP 4 A resrição hidráulica de vazão afluene em por obeivo especificar limies mínimos e máximos para a quanidade de água afluene a uma dada usina do sisema, para deerminados eságios do esudo. Se i é a usina hidrelérica para a qual se inseriu a -ésima resrição hidráulica de vazão afluene, em-se: A onde: A + i ( Q + S ) + ( Desv ) A M i D M i : conuno de usinas a monane da usina i; i (Q + S ) : vazão defluene de cada uma das usinas a monane da usina i; D i : conuno de usinas com canal de desvio para a usina i; Desv : desvio de água realizado pela usina ; A i : Vazão incremenal à usina i; A e A : limies inferior e superior para -ésima resrição hidráulica de vazão afluene. As resrições hidráulicas de vazão afluene podem ser especificadas para cada um dos eságios do período de esudo. Na represenação acima, o índice do eságio foi suprimido para não sobrecarregar a noação Resrição Hidráulica de Vazão Defluene (RHQ) A resrição hidráulica de vazão defluene consise em uma resrição que possibilia deerminar faixas de operação para algumas variáveis do problema, como vazão defluene, desvios de água e bombeamenos. Além disso, ese ipo de resrição permie que o usuário combine faixas de operação para essas variáveis. A -ésima resrição hidráulica de vazão defluene, para um dado paamar de carga e eságio do esudo, pode ser represenada por: onde: Q NHR i= c def i Qdef i + NHR = c D Desv NHR : número de usinas hidroeléricas na resrição NUER : número de unidades elevaórias na resrição + NUER bomb cl l= Qbomb Qdef: vazão defluene das usinas da resrição, no paamar e eságio especificado Desv: desvios de água das usinas da resrição, no paamar e eságio especificado Qbomb: bombeamenos nas unidades elevaórias da resrição, no paamar e eságio especificado c def, c D, c bomb : faores para as diversas variáveis e usinas na resrição Q e Q : limies inferior e superior para -ésima resrição hidráulica de vazão defluene. l Q

45 Modelo DECOMP 42 Na represenação acima, o índice do eságio e do paamar foi suprimido para não sobrecarregar a noação Resrição Hidráulica de Volume Armazenado (RHV) A resrição hidráulica de volume inclui, além das variáveis presenes nas RHQs, os armazenamenos nos reservaórios. Além disso, esas resrições são aplicadas para o eságio como um odo, e não por paamar como é o caso das RHQs. A -ésima resrição hidráulica de volume armazenado, para um dado eságio do período de esudo, pode ser represenada por: V NHR i= c def i Qdef i + NHR = c D Desv + NUER bomb cl l= Qbomb l + NRR m= c V m Varm m V onde: NHR : número de usinas hidroeléricas na resrição; NUER : número de unidades elevaórias na resrição; NRR : número de reservaórios na resrição; Qdef: vazão defluene das usinas da resrição, no paamar e eságio especificado; Desv: desvios de água das usinas da resrição, no paamar e eságio especificado; Qbomb: bombeamenos nas unidades elevaórias da resrição, no paamar e eságio especificado; Varm: Volumes armazenados no final do eságio especificado, para os reservaórios da resrição; c def, c D, c bomb, c V : faores para as diversas variáveis e usinas na resrição; V e V : limies inferior e superior para -ésima resrição hidráulica de volume armazenado. Na represenação acima, o índice do eságio foi suprimido para não sobrecarregar a noação Resrição de Armazenameno Mínimo nos Subsisemas (RHE) A resrição de armazenameno mínimo nos subsisemas consise em uma resrição que possibilia deerminar um valor de energia armazenada mínima para os subsisemas em um ou mais eságios definidos pelo usuário. As energias armazenadas nos subsisemas consideradas nesas resrições são calculadas, por defaul, al como no acoplameno com o modelo de médio prazo, segundo a alura equivalene de cada usina. No enano, o usuário pode fornecer dados para o cálculo dos valores das produividades que desee que seam consideradas nesas resrições, em subsiuição à produividade equivalene. A resrição de armazenameno mínimo para o subsisema pode ser represenada por:

46 Modelo DECOMP 43 NR Mea V ρ i= i acum i onde : Mea : limie da resrição de armazenameno mínimo para o subsisema ; NR : número de reservaórios do subsisema ; V i : volume do i-ésimo reservaório do subsisema; e ρ i acum : produividade acumulada do reservaório i, calculada para a alura equivalene (defaul), ou segundo dados fornecidos pelo usuário Resrições de balanço hídrico por paamar para as usinas a fio d água Esas resrições eviam que as usinas a fio d água armazenem água de um paamar para ouro denro do mesmo eságio. Elas são opcionais e podem ser aplicadas individualmene às usinas a fio d água. Assim, recomenda-se sua uilização para os aproveiamenos a fio d água cua capacidade de regularização na práica sea inferior aos inervalos de empo enre os paamares leve, médio e pesado ao longo do dia. Esas resrições são aplicadas por usina e paamar para cada um dos eságios do período de esudo. A resrição para uma usina i, no eságio e paamar, é represenada da seguine forma: A = Q v i v i ( Q ( ) + S ( ) ) + ( D ( ) ) + ( Q ( ) + S ( ) ) + M D( i) M + i S + Ev + Qalern onde (i), (i) e (i) correspondem, respeivamene, ao urbinameno, verimeno e evenual desvio de água realizado pela usina i no paamar do eságio. M i é o conuno de usinas à monane da usina i e M TVi o conuno de usinas à monane de i com empo de v i viagem de um aproveiameno para o ouro. As parcelas Q v i ( ) e S ( ) indicam os urbinamenos e verimenos de cada usina do conuno M TVi, no insane -v -i, onde v -i é o empo de viagem da água de para i. Q S D Os valores de A (i), Ev (i) e Qalern (i) correspondem à afluência incremenal, vazão evaporação e dedução de água para usos alernaivos ao longo de cada paamar. Sendo D a duração oal do eságio, K o número de paamares de carga no eságio e d a duração de cada paamar, pode-se ober esas parcelas a parir dos respecivos valores oais ao longo do eságio (represenados com a supressão do sub-índice ): TV i =

47 Modelo DECOMP 44 d A = A D d Ev = Ev D d Qalern = Qalern D v d i v i ( Q ( ) + S ( ) ) = ( Q D v i ( ) + S v i ( ) ) Volume de espera para amorecimeno de cheias De modo a considerar as resrições operaivas para conrole de cheias, o modelo DECOMP represena os volumes de espera para amorecimeno de cheias definidos a priori. Eses volumes são informados ao modelo aravés do fornecimeno do máximo volume armazenável em cada usina para cada eságio semanal e mensal. Esa represenação não modifica o valor da energia armazenável máxima em cada reservaório, que é calculada considerando como limie superior o volume armazenável máximo sem levar em cona o volume para conrole de cheias Engolimeno Máximo das Turbinas O engolimeno máximo oal do conuno de urbinas de uma usina hidroelérica, dada uma deerminada vazão defluene q, pode ser obido pela seguine expressão: onde: h : h : : = ( )., alura de queda líquida da usina; alura de queda efeiva da usina, dada pela média das aluras efeivas (de cadasro) dos conunos de unidades geradoras da usina, ponderadas pelo número de unidades em cada conuno; vazão efeiva da usina, que corresponde à soma das vazões efeivas de cadasro de suas unidades geradores; α: faor que depende do ipo das urbinas da usina: => 0,5 para urbinas Francis e Pelon; => 0,2 para urbinas Kaplan. Para a deerminação de é necessário conhecer o valor de alura de queda líquida, que por sua vez depende do volume do reservaório e da vazão defluene, que são variáveis de decisão do problema DECOMP. Enreano, o cálculo desse urbinameno máximo deve ser realizado a priori, anes de se resolver o problema de oimização do modelo DECOMP. Para

48 Modelo DECOMP 45 conornar essa quesão, considera-se um cálculo a priori de, com as seguines premissas: para a coa de monane ( ), adoa-se o volume armazenado das usinas no início do esudo ( ), á que se deseam resulados mais acurados para os primeiros períodos (semanas); Como o engolimeno máximo diminui com a vazão defluene, assume-se a princípio uma hipóese de que a vazão defluene corresponde ao urbinameno máximo da usina, pois é o valor aé o qual há um esímulo naural para que a usina deflua, á que a parir dese valor haverá verimenos. Esa segunda hipóese leva a um caráer recursivo para o valor da coa de usane ( ), uma vez que a mesma é afeada pelo próprio valor de urbinameno máximo que se desea calcular. A expressão a seguir ilusra esse aspeco: = ( )., onde o ermo corresponde às perdas de queda fornecidas no cadasro que, dependendo da usina, podem ser dadas em % ou em valor absoluo (m). Ese efeio recursivo é conornado adoando-se, para o cálculo de, o resulado do algorimo ieraivo ilusrado na Figura 5.7, onde indica o número da ieração e adoou-se o valor de m3/s para a olerância. INÍCIO: ( ) = ; =0; ( ) = ( ) ( ). = + N ( ) ( ) <? S FIM: ( ) Figura Cálculo recursivo para o engolimeno máximo da urbina de uma unidade geradora.

49 Modelo DECOMP 46 Consideração da defluência mínima obrigaória no cálculo de Quando o urbinameno da usina esiver no seu valor máximo e houver verimenos influenciando a coa do canal de fuga, o valor de calculado aneriormene (que assumiu = ) será oimisa, uma vez que a vazão verida eleva a coa do canal de fuga, diminuindo ainda mais o valor de. Embora não sea possível prever a priori essa possibilidade de verimeno, á que a defluência é resulado do problema de oimização, há siuações em que o verimeno é ineviável e pode ser deecado anes de se resolver o problema de oimização. Com base na diferença enre as afluências oais naurais ( ) a cada usina hidroelérica e ao conuno de reservaórios à monane de, e levando-se em consideração os volumes armazenado inicial e máximo ( ) de, pode-se calcular uma defluência mínima obrigaória ( ) da usina hidroelérica, como segue: = {, ( )}, onde a primeira parcela do ermo não nulo à direia corresponde à afluência naural que chega à usina e a segunda parcela corresponde ao armazenameno exisene no reservaório para absorvê-la. Porano, se a diferença enre essas parcelas for posiiva, haverá uma defluência mínima obrigaória. Duas siuações ainda podem ocorrer nesse caso: < : nese caso, a defluência mínima obrigaória é menor do que o "esimulo" máximo de defluência para o reservaório, e maném-se o valor para o cálculo do engolimeno máximo; > : nese caso, haverá verimeno e o valor de engolimeno máximo é cálculado com base no valor de. Desa forma, o valor a ser adoado para o engolimeno máximo das urbinas do gerador será dado por:, = ( ), onde = {, }.

50 Modelo DECOMP Produividade variável: Função de produção energéica O modelo DECOMP formula o problema de despacho hidroérmico como um problema de programação linear (PPL) no qual a função obeivo consise em minimizar o cuso de operação ao longo do período de planeameno. Como o foi viso no iem 3, a energia hidroelérica produzida pelos reservaórios varia com a produividade da usina, que é uma função não linear do volume armazenado, vazão urbinada e vazão verida. A modelagem mais simples para a produividade de uma usina é considerá-la consane, o que leva a um modelo puramene linear. Em geral, oma-se o valor da produividade média da usina, o qual corresponde à produividade associada ao esvaziameno compleo do reservaório a parir do volume máximo e considerando o nível de usane fixo e igual à coa média do canal de fuga. Esa aproximação pode resular em meas de geração muio oimisas ou pessimisas, pois despreza a perda ou ganho de poência relaiva à variação do nível de armazenameno do reservaório. Com o obeivo de inroduzir na formulação do modelo informações acerca da variação da produividade sem perder as facilidades de uma modelagem linear para o problema, foi desenvolvida inicialmene em [3] uma aproximação linear por pares, onde a geração da usina era compuada em função de duas variáveis: o volume disponível médio do reservaório no período e a vazão defluene oal do período. A descrição dos aspecos específicos dessa abordagem pode ser enconrada nos manuais de referência do modelo aneriores à versão 2.. A parir da versão 2., foi implemenada uma esraégia alernaiva de cálculo da função de produção, desenvolvida em [4], onde a geração das usinas hidroeléricas passou a ser modelada em função de rês variáveis: volume armazenado médio, vazão urbinada e vazão verida. Porano, a maior conribuição dessa nova modelagem é a consideração do verimeno de forma independene do urbinameno, o que leva a uma maior acurácia no cálculo da função. Além disso, foram realizados alguns aprimoramenos no cálculo da envolória convexa da função, como será descrio poseriormene. Daqui em diane, faremos menção a essa função como "função de produção hidroelérica aproximada (FPHA)", cuos conceios físicos são basicamene os mesmos da modelagem em vigor no modelo DECOMP aé a versão 2, com exceção das diferenças mencionadas no parágrafo anerior. Uma descrição mais dealhada dessa função pode ser enconrada no relaório [5], que descreve a implemenação da modelagem da FPHA no modelo DESSEM. A concepção da função de produção é represenar o mais fidedignamene possível as equações físicas que regem o processo de conversão da energia poencial hidráulica em energia elérica ao longo de um inervalo de empo. Analisando-se esse conuno de equações, chegou-se à conclusão de que é conveniene expressar maemaicamene o valor da energia elérica produzida pela usina hidrelérica no período como uma função das seguines variáveis: o volume disponível médio no período (V = v i ), onde v i é o volume da usina no início do período; a vazão urbinada oal da usina Q no período; a vazão verida da usina S no período, a parir da expressão da função de produção exaa da usina, descria a seguir.

51 Funçao de produção hidroelérica EXATA (FPH) Modelo DECOMP 48 A função de produção hidroelérica exaa, denoada por FPH, consise na geração fornecida pela usina, a parir de valores conhecidos de V, Q e S. Porano a função FPH = GH(V,Q,S) é obida de forma exaa, a parir dos dados cadasrais das usinas referenes às unidades geradoras e ao reservaório. Essa função é dada pela expressão: { Pdisp; Q ( h ( V) h ( Q, S } GH = min ρ )) [MWmed] () esp mon onde: GH = geração na usina hidroelérica; us phd P Ddisp = poência disponível pode ser produzida pelo conuno de geradores da usina no período (leva em consideração a poência insalada e evenuais manuenções); ρ esp = produividade específica = r med ; r med = rendimeno médio do grupo urbina-gerador (em p.u.); h mon (.) = coa média de monane (polinômio volume armazenado X coa); h us (.) = coa média de usane (polinômio vazão defluene X nível de usane); phd = coeficiene (considerado consane) de perdas hidráulicas nas ubulações; A Figura 5.8 abaixo ilusra a geração real da usina hidrelérica de Furnas, como função (nãolinear) do armazenameno e da vazão defluene, considerando que só há urbinameno. Ressala-se que, no caso paricular de usinas à fio d água, a FPH se orna função apenas da vazão urbinada, pois o volume armazenado é consane. Figura Função de Produção Energéica Real

52 Funçao de produção hidroelérica APROXIMADA (FPHA) Modelo DECOMP 49 Embora a função de produção hidroelérica, em geral, sea não-linear e não-côncava, a análise de seu comporameno para diversos aproveiamenos indica que, denro das faixas normais de variação do volume disponível e da vazão urbinada nesas usinas, é possível consruir uma aproximação desa função, que sea linear por pares e côncava, e que minimize os desvios com relação aos valores da função exaa. Esa aproximação permie associar as vanagens das propriedades linear e côncava com a precisão de uma represenação não-linear. Os passos para consrução dessa função são descrios a seguir: º Passo: Cálculo de uma grade de ponos para a FPH A função de produção energéica FPH pode ser calculada para um conuno de N ponos {V i, Q i =,...,m e =,...n} no plano V Q, que é denominado grade de discreização da função. Para cada um desses ponos, calcula-se a geração GH i pela expressão exaa (), considerando um valo nulo de verimeno (S=0). Com resulado, obém-se uma função discreizada GH i (V i,q ) no espaço ridimensional. 2º Passo: Cálculo da envolória convexa da função discreizada, no plano V x Q Mesmo que a função sea côncava no plano referene ao urbinameno, a função ridimnensional FPH = GH(V,Q) apresenará em geral um comporameno não côncavo, devido ao produo enre o urbinameno e a alura de queda na expressão (). Desa forma, para ornar possível a consrução de um modelo linear por pares, deve-se, inicialmene, ausar uma envolória convexa para a região abaixo da curva da FPH. Essa envolória é definida como menor função côncava cuo gráfico esá acima da função original não-côncava, em odos os seus ponos, e é represenada por um conuno de M planos, que passarão a consiuir a FPHA da usina. A Figura 5.9 dá um exemplo dessa envolória, considerando, para uma melhor visualização apenas a variável Q. Ressala-se que ese procedimeno é realizado no espaço ridimensional (V,Q,GH). GH env. convexa FPE original Q Figura 5.9 Exemplo de consrução da envolória convexa para a região abaixo da FPE, para um valor de V consane. A Figura 5.0 a seguir ilusra uma região hipoéica definida por essa envolória convexa, denoada por C, para o caso de uma usina com reservaório. Os ponos brancos correspondem àqueles onde a FPH real não encosa na sua envolória convexa, indicando regiões onde essa função não é côncava.

53 Modelo DECOMP 50 C G V Q Figura 5.0 Exemplo ilusraivo de envolória convexa para a região abaixo da FPH, para o caso de usinas com reservaório. Vale ressalar que, se a FPH for mal comporada (ou sea, não côncava) em uma grande pare da grade definida no plano V Q, aumenar o número de ponos na discreização não resulará em um modelo mais acurado, uma vez que odos os ponos na região não côncava da curva serão eliminados durane o cálculo da envolória convexa. Algorimos para a deerminação de envolórias convexas em espaços ri-dimensionais são pesados do pono de visa compuacional. No enano desenvolveu-se, na nova modelagem da FPHA, um algorimo próprio que, além de ser basane eficiene, pode ser adapado para as paricularidades da função de produção. Após a aplicação da envolória convexa, obém-se um modelo inicial denominado FPHA 0, que seria represenado por uma função côncava e linear por pares, consruída direamene a parir do subconuno de planos que compõem a envolória convexa. Enreano, esse modelo é, por consrução, sempre uma aproximação oimisa da FPH, ou sea, o valor de geração FPHA 0 (V,Q) é sempre maior ou igual ao valor exao GH(V,Q) obido pela expressão (). Esse efeio é reduzido com a aplicação de um faor de correção, como será apresenado a seguir. 3º Passo: Aplicação de um faor de correção Uma represenação mais realisa pode ser obida aplicando-se um faor de correção α para o modelo FPHA 0, calculado de forma a minimizar o desvio quadráico médio enre a FPHA 0 e a FPH, considerando ainda somene o plano V Q, com valores nulos para verimeno. FPHA( V, Q) = α FPHA 0 ( V, Q), (2) Ese procedimeno é ilusrado na Figura 5., para um valor fixo de volume armazenado:

54 Modelo DECOMP 5 GH(V,Q) FPH FPHA 0 FPHA Q Figura 5. Esquema ilusraivo do ause realizado na FPHA 0 na grade V Q, para minimizar o erro médio quadráico em relação à FPH. Cálculo do Faor de correção α O faor de correção α é calculado de forma a minimizar o erro médio quadráico enre a função exaa GH(V,Q) e os valores corrigidos (após a aplicação desse faor) para a FPHA, considerando uma amosra significaiva de m n ponos quaisquer na região de ause: m n RMS = ( GH ( vi, q ) α. FPHA0 ( vi, q )) mn i= = O valor de α que minimiza a expressão acima é dado por: 2 α = m n i= = m FPHA (v, q )GH (v, q ) n i= = 0 i FPHA (v, q ) 0 i 2 i (3) 4º Passo: Modelagem do Verimeno Aé enão, considerou-se a variação da geração apenas em relação a V e Q, para um valor de verimeno (S) nulo. Iso ocorre porque, como o gráfico da FPH é, em geral, não côncavo na dimensão do verimeno, não é ineressane compuar uma envolória convexa incluindo ambém ponos para valores não nulos de verimeno. Em vez disso, opou-se por uma aproximação secane no eixo da variável S, que passa pelos ponos (V i,q i,0,gh(v i,q i,0)) e (V i,q i,s ref,gh(v i,q i, S ref )), como mosrado na Figura 5.. Noe que esses ponos esão no espaço R 4, porano a figura indica um core dessa função para valores fixos V i e Q i de volume armazenado e urbinameno.

55 Modelo DECOMP 52 GH(V i,q i,s) GH(V i,q i, 0) GH S GH(V i,q i,s ref ) S ref S max S Figura 5.2 Aproximação da FPE na dimensão S. O pono de inerseção S ref, denominado verimeno de referência, indicado na Figura 5.2, pode ser fixo ou variável de acordo com o par (V i,q i ). Adoou-se o procedimeno de calcular o valor de S ref de modo a minimizar, para cada pono (V i,q i ), a soma dos desvios quadráicos enre a FPHA e a FPH, no inervalo enre S = 0 é S = S max, sendo S max um valor limie de verimeno definido para cada usina. Adoa-se aualmene para S max um valor igual ao dobro da vazão naural de longo ermo (MLT) fornecida pelo arquivo MLT.DAT, ou o dobro da capacidade de urbinameno da usina (caso a vazão MLT da usina sea nula nesse arquivo). 5º Passo: Expressão final para a função Uma vez consruída a FPHA, de acordo com os procedimenos descrios nas seções aneriores, a geração das usinas hidráulicas no problema de oimização de despacho hidroérmico resolvido pelo modelo DECOMP é modelada pelas seguines resrições : GH i, i, i, i, i, α ( γ 0 + γ V V i + γ Q Qi ) + γ S Si,,..., Ki 0 Q i, Qi, GH GH, i, i, para cada usina i e período, onde: K i : índice que percorre odos os hiperplanos (cores) da FPHA =, (4) i, i, γ 0, γ 0, γ 0 e γ 0 : parâmeros de cada hiperplano. 0 i, V Q i, S + Vi + Vi V i = : Volume armazenado médio da usina i no período ; 2 Q i, Q i, vazão urbinada pela i-ésima usina durane o eságio limie de urbinameno da i-ésima usina durane o eságio S i, vazão verida pela i-ésima usina durane o eságio Por quesões de simplicidade, desprezaram-se os faores de conversão de unidades das vazões Q e S médias no período (em m 3 /s) e volume V (em hm 3 ) para valores de geração média no período (MW).

56 vdis i, volume disponível no i-ésimo reservaório no eságio GH i, geração da i-ésima usina durane o eságio GH i M i, geração máxima na i-ésima usina para o eságio duração do eságio Conuno de usinas imediaamene a monane de I Modelo DECOMP 53 Ressala-se que, caso a curva de demanda sea represenada por paamares (iem 5..2), haverá um conuno de resrições para cada paamar: τ i, i, i, τ i, τ i, α( γ 0 + γ V Vi + γ Q Qi, ) + γ S Si,,..., Ki GH, 0 Q i, Qi, GH GH, i, i, =, (4) ou sea, a função será a mesma, aplicada de forma independene às variáveis urbinameno e verimeno associadas ao referido paamar. O volume considerado para fins de cálculo de geração será o mesmo para odos os paamares, viso que eles não seguem ordem cronológica. Ressala-se que o aendimeno ao conuno de inequações (4) é saisfeio por qualquer pono na região abaixo da curva da FPHA. Enreano, como o obeivo do PPL é minimizar o cuso oal de operação, é naural que a geração encose nos planos da FPHA, á que uma geração hidroelérica menor do que a á fornecida pela função levaria a um cuso de operação maior ou igual ao cuso incorrido em uilizar a geração obida com a função. Janela de Ause da FPHA Os planos da FPHA são consruídos observando-se a faixa operaiva permiida para V e Q em cada eságio, que é obida considerando os limies físicos da usina, suas disponibilidades (descarando as unidades em manuenção) e suas resrições operaivas, eléricas e hidráulicas. Obém-se, desa forma, valores mínimos e máximos operaivos para as variáveis V e Q. O obeivo de se definir essa anela é permiir o ause da FPHA somene na região em que a usina efeivamene pode operar em cada eságio, visando uma melhor aproximação A Função de produção hidroelérica aproximada dinâmica (FPHAD): O desempenho da modelagem da FPHA depende do número de ponos uilizados para a discreização da FPH, durane a consrução do modelo. O ideal seria uilizar o maior número de ponos possível. Enreano, o uso de um número excessivo de ponos levaria a um grande aumeno no amanho da mariz do PPL a ser resolvido. Por exemplo, em um esudo com 00 usinas hidroeléricas, 20 períodos de empo e 500 resrições por usina, eríamos de resrições somene para a FPHA. Iso leva a um aumeno significaivo no empo de processameno. De forma a deerminar de forma acurada a geração das usinas hidroeléricas em um empo aceiável, foi desenvolvido em [6] um méodo alernaivo para a consrução dos cores (inequações) da função de produção hidroelérica de cada usina. Nessa proposa, uiliza-se um modelo linear por pares dinâmico para a FPHA, denominado de FPHAD, pelo qual as inequações (cores) do modelo vão sendo inroduzidas de forma ieraiva, ao longo da resolução do problema. A idéia dessa esraégia é permiir que a solução final para a geração

57 Modelo DECOMP 54 das usinas possa esar em qualquer pono da sua região viável de operação, e não sofra influência sensível da localização dos ponos de quebra da função. Além disso, ao não inroduzir direamene odas as aproximações lineares no problema, se poderia uilizar um modelo mais dealhado para a FPHA das usinas (com um maior número de cores), diminuindo ainda os desvios médios enre a FPHA e a função de produção exaa da usina Evaporação No problema linear de despacho hidroérmico do DECOMP, a represenação da evaporação da água nos reservaórios é opcional. O usuário escolhe os reservaórios nos quais deverá ser considerada a evaporação. Nese caso, a cada eságio e cenário do período de planeameno o programa aualiza o coeficiene de evaporação ( vap ) referene ao volume inicial do reservaório, obendo o percenual de volume a ser desconado (evaporado) do balanço hidráulico da usina, ou sea: V + = (.0 vap ) V + a sendo vap obido aravés do polinômio: K ( q + s ) ( q ( ) + s ( ) ) δ = M * * 2 * 3 * [ ] [ ] [ ] [ ] 4 vap = a + a2 V + a3 V + a4 V + a5 V onde V min{ V, V a } * = + Conforme expresso na equação de conservação da água acima, a consideração de evaporação modifica o coeficiene do ermo referene ao volume inicial. Porano, conforme dealhado no capíulo 4, a função de cuso fuuro erá seus coeficienes (π i, ) aualizados pelos respecivos percenuais, enão: π i, = (.0- vap )π i, Caso sea uilizada a opção PL único, a parcela V (i) é subsiuída pelo volume associado à alura equivalene dos reservaórios de regularização. Nesa opção (PL único) exise ambém a possibilidade do usuário fornecer os volumes esimados dos reservaórios ao final dos eságios que desear que subsiuam o valor defaul associado à alura equivalene Reiradas de água para ouros usos Pare da vazão afluene às usinas hidroeléricas pode ser desviada para permiir ouros usos da água. No modelo DECOMP eses desvios podem ser represenados, a cada eságio, segundo duas abordagens: Reiradas de água para ouros usos que deverão sempre ser aendidas O modelo DECOMP permie a represenação, a cada eságio, de reiradas de água a monane dos aproveiamenos (p.ex., irrigação), conforme a vazão definida pelo usuário. Aravés desse recurso ambém podem ser considerados reornos de água (reirada com axas negaivas). Esas resrições serão sempre aendidas e, caso esas imposições ornem o problema inviável, o programa repora uma mensagem para o usuário ao final do processameno. i

58 Modelo DECOMP Desvios de água cuo não aendimeno é associado a um cuso A cada um desses desvios esá associado um cuso de não aendimeno e uma axa de reorno, fornecidos pelo usuário e que são considerados durane o processo de oimização energéica. Considera-se ainda que o reorno dos desvios pode ocorrer na mesma usina de onde foi feia a reirada ou em uma oura usina a usane da mesma. A implemenação no modelo DECOMP foi feia respeiando essas indicações, de modo a assegurar que, no caso do não aendimeno a uma reirada, haa ambém uma diminuição no reorno, na mesma proporção da reirada. Quando o desvio e o reorno ocorrem a monane da mesma usina hidroelérica, ese recurso ambém pode ser uilizado para represenar usos consulivos, para al basa que seam fornecidos o valor realmene consumido pelo ouro uso da água (diferença enre a reirada e o reorno) e para a axa de reorno o valor zero Aleração nas equações de balanço hídrico Os desvios são incluídos no modelo aravés da aleração nas equações de balanço hídrico. Para que o não aendimeno a eses desvios não leve à inviabilidade da solução, são acrescenadas folgas relaivas às reiradas de água ( F ), e aos respecivos reornos ( F ( )), sendo que: R F Q da da F ( ) R ( ) R Dessa forma, as vazões efeivas de reirada e reorno são dadas por: da Q R daef ef = Q F da da ( ) = R ( ) F ( ). R Na função obeivo, as folgas F da (i) são penalizadas com o valor do cuso de não aendimeno aos desvios, fornecido pelo usuário. As equações de balanço hídrico modificadas, para cada um dos casos mencionados, ficariam da seguine forma: No caso de reirada e reorno na mesma usina: (i) Q da R(i)

59 Modelo DECOMP 56 npa V + + Q + S ( Q ( m) + S ( m)) Fev Fda + FR = = m M i v i v i = V + A + ( Q ( m) + S ( m)) Ev Qda + R (i) m M TVi onde: V + i ( ) é o volume armazenado na usina i, no eságio +; Q (i) é a vazão urbinada na usina i, no eságio ; S (i) é a vazão verida na usina i, no eságio ; M i é o conuno de usinas à monane da usina i; A (i) é a vazão afluene à usina i, no eságio ; M vi é o conuno de usinas à monane da usina i, com empo de viagem de um aproveiameno para o ouro; Ev (i) é a perda por evaporação da usina i, no eságio ; Qda (i) é a vazão de reirada de água requerida da usina i, no eságio ; R (i) é a vazão de reorno da água desviada da usina i, no eságio ; represena cada paamar de carga e npa, o oal deses; sendo que o ermo à esquerda coném as variáveis de decisão e o da direia, as variáveis de esado para o eságio. No caso de reirada na usina i e reorno na usina : Usina i Q da (i) Usina R(i) Para a usina i, à monane da qual seria feia a reirada: npa V + + Q + S ( Q ( m) + S ( m)) Fev Fda = = m M i

60 Modelo DECOMP 57 v i i = V + A + ( Q ( m) + S ( m)) Ev Qda m M TVi v Para a usina, à monane da qual se daria o reorno da água: npa V + ( ) + Q ( ) + S ( ) ( Q ( m) + S ( m)) Fev ( ) + FR ( ) = = m M i v i v i = V + A ( ) + ( Q ( m) + S ( m)) Ev ( ) + R ( ) m M TVi Relação enre reiradas e reornos de água As reiradas Q da (i) e reornos R ( ) equação no modelo: R ( ) = α Q, esão relacionados pela adição da seguine sendo α o percenual de reorno da água para o desvio considerado, fornecido pelo usuário Equação final de balanço hídrico considerando reiradas e reornos da Finalmene, subsiuindo R ( ) nas equações de balanço hídrico, em-se: No caso de reirada e reorno na mesma usina: npa V + + Q + S ( Q ( m) + S ( m)) Fev ( α ) Fda = = m M i v = V A ( Q i v i + + ( m) + S ( m)) Ev ( α ) Qda m M TVi No caso de reirada na usina i e reorno na usina : npa V + + Q + S ( Q ( m) + S ( m)) Fev Fda = = m M i v i i = V + A + ( Q ( m) + S ( m)) Ev Qda m M TVi v

61 Modelo DECOMP 58 npa V + ( ) + Q ( ) + S ( ) ( Q ( m) + S ( m)) Fev ( ) + α Fda = = m M i v = V A ( ) ( Q i v i + + ( m) + S ( m)) Ev ( ) + α Qda m M TVi Aleração de dados do cadasro de usinas hidráulicas Os dados das usinas hidroeléricas, consanes do arquivo de cadasro hidr.da, podem ser alerados individualmene por eságio, caracerizando uma represenação flexível de cada aproveiameno ao longo do período de esudo Tempo de viagem da vazão defluene dos aproveiamenos O modelo DECOMP é capaz de represenar o empo de viagem da água enre usinas hidroeléricas adacenes em uma bacia hidroelérica (ver iem 4.3). Eses empos de viagem são considerados nas resrições de balanço hídrico das usinas hidroeléricas e nos cores de Benders consruídos para a resolução do problema, bem como no cálculo da energia naural afluene aos subsisemas com acoplameno hidráulico (iem ). As vazões incremenais à usina de monane, que são dado de enrada para o modelo (ver [4], iem ), devem ser calculadas levando em cona o empo de viagem aé a usina de usane Traameno das bacias especiais Algumas bacias hidrográficas do sisema inerligado brasileiro, ais como Paraíba do Sul e Alo Tieê, êm a sua operação hidroenergéica deerminada aravés de procedimenos de simulação específicos que não êm por obeivo minimizar o cuso de operação do sisema. A consideração desas bacias para deerminação da operação do sisema pode ser feia de duas formas. A primeira consise na inrodução das regras operaivas denro do processo de oimização resolvido pelo modelo DECOMP. Uma segunda forma de consideração seria simular as bacias separadamene, uilizando ferramenas como o SHP [5], e poseriormene fornecer ao modelo DECOMP as gerações e cargas resulanes nessas bacias, para serem abaidas ou acrescidas à demanda do subsisema à qual perencem Consideração denro do processo de oimização do DECOMP Caso as regras operaivas da bacia possam ser raduzidas ou aproximadas por equações/inequações lineares envolvendo as gerações, defluências e bombeamenos das usinas, recomenda-se a uilização das Resrições Hidráulicas Especiais (iem 5.2.5) e a inclusão de unidades elevaórias na configuração (iem 5.2.4). Desa forma é possível aender aos requisios da bacia considerando a oimização do sisema como um odo.

62 Consideração como abaimeno / acréscimo de carga Modelo DECOMP 59 Caso as regras operaivas da bacia seam de difícil linearização, ou esa aproximação se orne indeseável para a precisão requerida na operação, a represenação dessas bacias pode ser considerada como abaimeno de carga. O usuário fornece, para cada um dos eságios considerados no esudo, o oal de geração hidrelérica de cada uma dessas bacias. Ese oal é subraído da carga do sisema e o modelo DECOMP obém enão a políica óima de operação das demais usinas do sisema. Nese caso, devem ser fornecidas, ambém, as energias naurais afluenes nos eságios do esudo e, para o eságio horizone, a energia armazenável máxima na bacia, para correa inerpreação da função cuso fuuro do eságio horizone. Nese caso, a equação de aendimeno à demanda de energia no eságio para o paamar é dada por: onde: NH NT GH + GT = D i= = i NBE g NBE: Número de bacias especiais consideradas exernamene na configuração g (i) geração na i-ésima bacia hidrelérica especial no eságio e paamar Geração de pequenas usinas Podem exisir no sisema uma série de usinas de pequeno pore, cua inclusão denro do processo de oimização cenralizada do sisema se orne inadequada ou desnecessária. Pode-se enão proceder de forma semelhane à opção de raameno das bacias especiais, dealhado no iem anerior. As gerações e energias afluene / armazenada das usinas devem ser fornecidas Caracerísicas específicas das usinas érmicas 5.3. Geração mínima nas usinas érmicas A consideração de geração mínima nas usinas érmicas é incorporada fornecendo-se um valor mínimo de geração para cada usina érmica em cada eságio do período de planeameno. Essa geração é considerada como geração mínima obrigaória e é desconada do mercado referene ao subsisema da usina érmica. O cuso desa geração mínima é somado ao cuso de operação de cada eságio. Nese caso, a equação de aendimeno à demanda de energia no eságio para o paamar é dada por: onde: NH NT NT GH + GT = D i= = = GT GT (i) : geração mínima na -ésima usina érmica durane o eságio e paamar

63 Modelo DECOMP 60 GT (i) : geração acima da mínima, para -ésima usina érmica, durane o eságio e paamar Cronograma de manuenção De forma semelhane às usinas hidroeléricas, pode-se fornecer um faor para a manuenção programada de cada usina érmica, em cada período de esudo. Ese faor levaria em cona a quanidade de horas que cada unidade da usina permanece em manuenção e as suas respecivas poências, além da duração oal do eságio e da poência insalada na usina. 5.4 Caracerísicas do Processo de Oimização 5.4. Inegração com modelos de planeameno da operação a médio prazo NEWAVE e BACUS. Para o cálculo da políica de operação no curo prazo, o modelo DECOMP necessia dos dados de uma função de cuso fuuro gerada por um modelo de planeameno de médio prazo. O modelo esá habiliado para uilizar os valores da função de cuso fuuro fornecidos pelos modelos BACUS e NEWAVE, como indicado em [4]. O modelo NEWAVE represena os reservaórios de maneira agregada, aravés dos chamados reservaórios equivalenes de energia (REE). Na meodologia radicional, considerava-se apenas um único REE por subsisema, porém recenemene passou a haver a possibilidae de considerar vários REEs em um mesmo subsisema. Assim, o modelo NEWAVE informa ao modelo DECOMP a composição de usinas hidroeléricas em cada REE Penalidades para Inercâmbio enre subsisemas e verimenos em reservaórios O modelo DECOMP considera que os verimenos das usinas esão sueios a penalidades, arbiradas de modo a forçar o modelo a buscar uma operação que não permia verimenos desnecessários no sisema. O modelo aribui ainda penalidades para os inercâmbios, com o obeivo de eviar inercâmbios desnecessários e, em caso de exisência de perdas nos inercâmbios, eviar que o modelo enconre uma operação que ransfira verimenos enre subsisemas. O modelo adoa valores defaul para essas penalidades, que podem ser modificados pelos usuários, como indicado em [4] Revisão da políica do mês inicial O modelo DECOMP permie que seam feias revisões semanais da políica deerminada na primeira semana do mês inicial do período de esudo, considerando as revisões feias nas previsões das vazões para as demais semanas do mês inicial. Para al, deve ser fornecido o arquivo conendo as previsões aualizadas para as vazões afluenes nas diferenes usinas do sisema, bem como os valores das energias afluenes verificadas, em cada subsisema, na semana inicial (ver [4] regisro ES).

64 5.4.4 Esudos com reomada do processameno Modelo DECOMP 6 Aravés dese recurso, o usuário poderá dividir a execução de um caso em duas eapas. Na eapa inicial, o processo de convergência será inerrompido após um número especificado de ierações; na eapa seguine, o modelo coninuará o processameno do caso a parir da úlima ieração definida na fase inicial. Para que o caso possa ser reprocessado, devem ser fornecidos os arquivos com os dados de enrada, além dos arquivos indicados em [4] (iem 3.3.3) Esudos com solução por PL único Aravés dese recurso, o usuário poderá opar pela solução do problema aravés de um único PPL (Problema de Programação Linear). Para esa opção, deve-se aender às seguines condições:. Número máximo de 24 eságios; 2. Apenas um cenário de vazões por eságio, para odos os eságios; 3. Sem função de cuso fuuro para acoplameno no final do horizone. A formulação do problema de oimização na opção PL-único é: Minimize {Cuso de geração érmica + Cuso de Défici de Energia + Cusos de Imporação/Exporação de Energia + Cuso de Penalidades} s.a.: - Equações de conservação da água (seção 5..2) para odas as usinas hidroeléricas e eságios V ( q + s ) ( q ( ) + s ( ) ) δ K + = V + a,, = M i =,...,NH, =,...T - Equações de aendimeno ao mercado (seção 5..5) para odos os subsisemas, eságios e paamares, NH NT NCE NCI GH i= = i= i= i s s i s i s + GT ( ) g + g = D ( s), s =,...,NS, =,...T, =,...NPAT, incluindo, possivelmene, inerligações enre os subsisemas (seção 5..4) - Resrições RHA para odos os eságios (seção ) A A + i ( Q + S ) + ( Desv ) A M i D - Resrições RHQ para odos os eságios (seção ) Q NHR i= c def i Qdef i + NHR = c D i Desv + NUER bomb cl l=, =,...,NRHA, =,...T Qbomb l Q =,...,NRHQ, =,...T, onde o índice do paamar foi suprimido para não sobrecarregar a noação.

65 - Resrições RHV para odos os eságios (seção ) Modelo DECOMP 62 V NHR i= c def i Qdef i + NHR = c D Desv + NUER bomb cl l= Qbomb l + NRR m= c V m Varm m V, =,...,NRHV, =,...T, - Resrições RHE para odos os eságios (seção ) NR acum Mea V ρ, i= i i =,...,NRHE, =,...T, - Resrições de função de produção (5.2.9) para odas as usinas hidroeléricas e paamares / eságios GH,,,, ( vdis ) + ( γ vdef ) gh λ +, i, i, i, i, i, i=,.nh, =, NRFP, =, NPAT, =,...T, - Resrições eléricas especiais (seção 5..7) para odos os paamares e eságios LI NHR i= H GH + NTR = T ( ) GT ( ) + NIR l= ( l) In( l) I LS i=,.nre, =, NPAT, =,...T, além dos limies imposos a odas as variáveis em odos os eságios e paamares, e das paricularidades mencionadas ao longo dese documeno, como reiradas da água, enchimeno de volume moro, ec... Para adapação a ese méodo de solução foram feias as seguines alerações: a) Evaporação: Considere o cálculo para um deerminado insane de empo. Para faciliar a exposição, o índice de empo será suprimido, e serão omiidos evenuais faores de conversão de unidades. A função Evap(V) fornece a evaporação como função do volume armazenado do reservaório. Vref é um volume de referência para a aproximação do cálculo da evaporação, o qual pode ser fornecido pelo usuário (aravés do regisro VP, para cada usina). As usinas para as quais não iverem sido fornecidos eses regisros erão Vref igual ao volume referene à alura equivalene do reservaório. Calcula-se a derivada da evaporação em relação ao volume armazenado, no pono V = Vref, Evap EVAP = ( V ref ) denoada por V. A evaporação no eságio de empo considerado é enão aproximada pela relação:

66 Evap( V ) = Evap( V = ref ) + ( V V [ Evap( V ) V ] + V. ref EVAP EVAP ref Modelo DECOMP 63 ref ) = EVAP Considera-se para V o volume médio no eságio, V = (Vi+ Vf)/2. Com isso, em-se: EVAP EVAP Evap( Vmed ) = [ Evap( Vref ) EVAPVref ] + Vi + V f 2 2. O ermo em colchees enra no RHS da equação de balanço hídrico do eságio, e os dois úlimos ermos enram na mariz do PL (com exceção de Vi para =, que é conhecido e compõe o RHS). b) Operação de soleira de veredor e canal de desvio: Nesa opção é considerada sempre a possibilidade de verimeno ou desvio, sem a verificação das coas dos reservaórios em relação às coas das soleiras dos veredores ou canais de desvio Anecipação do despacho das usinas a GNL Aravés dese recurso, é possível a realização do despacho anecipado de érmicas a GNL. A meodologia implemenada esá descria no Relaório Técnico DP/DEA 36587/09. Esa implemenação foi feia apenas para o modo de solução por decomposição de Benders. Na opção PL único, as érmicas a GNL devem ser informadas nos regisros das demais érmicas, pois não erão raameno diferenciado, uma vez que o problema resolvido envolve odo o horizone de esudo Mecanismos de Aversão ao Risco Aravés dese recurso, é possível incorporar ao modelo DECOMP mecanismos de aversão ao risco com visas à redução da probabilidade de déficis fuuros, sendo possível a escolha exclusiva de um dos seguines mecanismos: CAR (Curva de Aversão ao Risco), CVaR (Valor Condicionado ao Risco) ou SAR (Superfície de Aversão a Risco). Para maiores dealhes das modelagens deses mecanismos ver os seguines relaórios: SAR: CEPEL, Noa Técnica n o 65, Mecanismos Alernaivos de Aversão a Risco Superfície de Aversão a Risco, Maio de 203. CVaR: CEPEL, Noa Técnica n o 66, Mecanismos Alernaivos de Aversão a Risco - Valor Condicionado a um Dado Risco, Maio de 203. CAR: CEPEL, Noa Técnica Saus do Processo de Inrodução de Meodologias de Aversão ao Risco no Modelo NEWAVE, Julho de 2003.

67 Modelo DECOMP 64

68 Modelo DECOMP 65 6 Referências [] Benders, J. F., Pariionimg procedures for solving mixed variables programming problems, Numer. Mah., 4, , 962. [2] Cosa, J.P., Prado, S., Gorensin, B.G., Sá Jr., C.L.C., Modelo DECOMP Termo de Referência do Proóipo (994). Brasil. [3] Cunha, S.H.F, Prado, S. e Cosa, J.P., Modelagem da produividade variável de usinas hidreléricas com base na consrução de uma função de produção energéica, XII Simpósio Brasileiro de Recursos Hídricos, ABRH, anais 2, , Nov 997. [4] A.L. Diniz, M.E.P. Maceira, A four-dimensional model of hydro generaion for he shor-erm hydrohermal dispach problem considering head and spillage effecs, IEEE Trans. Power Sys., v. 23, n.3, pp , Aug [5] A.L. Diniz, M.E.P. Maceira, L.A. Terry, "Modelagem da função de produção das usinas hidroeléricas no modelo DESSEM-PAT", Relaório Técnico CEPEL DP/DEA - 928/05 (revisado em aneiro de 2008). [6] A. L. Diniz, "Processo ieraivo de consrução da função de produção das usinas hidroeléricas para o problema de coordenação hidroérmica", XX SNPTEE - Seminário Nacional de Produção e Transmissão de Energia Elérica, Recife, Nov/2009. [7] GCOI. Deerminação de Inercâmbios de Energia enre Subsisemas Equivalenes pela Equalização do Valor da Água. Relaório SCEN/GTMC-0/87. [8] GCOI. Descrição de Funções e Procedimenos para a Elaboração do Programa Mensal de Operação e suas Revisões. Relaório SCEN/GTMC-02/92. [9] GCOI. Funções da Programação Diária da Operação dos Sisemas Inerligados Sul e Sudese. Relaório SCEN/GTMC-02/94. [0]Gorensin, B.G., Cosa, J.P., Pereira, M.V.F., Araripe Neo, T.A., Oimização Esocásica da Operação de um Sisema Mulireservaório (989), X SNPTEE, Brasil. []Lasdon, L. S., Opimizaion heory for large sysems, McMillan Company, New Yor, 970. [2]Pereira, M.V.F., Pino, L.M.V.G., Sochasic opimizaion of a mulireservoir hydroelecric sysem: a decomposiion approach, Waer Res. Res., vol 2, n 6, , June, 985. [3]Terry, L. A. e al., "Coordinaing he Energy Generaion of he Brazilian Naional Hydrohermal Elecrical Generaing Sysem", Inerfaces 6, Jan-Feb 986, pp [4] CEPEL, Modelo DECOMP Manual do Usuário Versão.0, 2003.

69 Modelo DECOMP 66 [5] CEPEL, Descrição das Regras de Operação do Simulador Hidroenergéico do Paraíba do Sul (SHP), Relaório Técnico 577/99, 999.

70 7 Anexos Modelo DECOMP Caso-Exemplo de Ocorrência de CMO Negaivo no Modelo: A seguir apresena-se um caso exemplo de uma siuação onde pode ocorrer um CMO negaivo nos resulados do modelo, conforme explicado no iem 5.2. Nese exemplo, o limie de inercâmbio enre os subsisemas NE e NO é de 900 MW para o paamar leve, baixando para 750 MW no paamar médio. Ese é um caso de uma resrição física diferene por paamar. Mosra-se o comporameno do modelo nos dois casos: sem e com a uilização de resrições escada, e o cálculo do CMO para o subsisema Nore, no paamar médio, com a resrição escada.. Siuação sem resrições escada: CMO = 46,74 VA = 4,84 CMO = 46,74 VA = 46,74 CMO = 4,84 VA = 4,84 CMO = 46,74 VA = 46,74 NO NE NO NE GH = limie INT < limie GH < limie INT = limie CMO = 05,27 CMO = 05,27 SE SE Paamar Leve Paamar Médio In(NO -> FC) = 900 SU In(NO -> FC) = 750 SU

71 Siuação com resrições escada: Modelo DECOMP 68 CMO = 46,74 VA = 4,84 CMO = 46,74 VA = 46,74 CMO = 4,84 VA = 4,84 CMO = 46,74 VA = 46,74 NO NE NO NE GH = GH (Pa. Medio) INT < limie GH < limie INT = limie CMO = 05,27 CMO = 05,27 SE SE Paamar Leve Paamar Médio In(NO -> FC) = 900 SU In(NO -> FC) = 750 SU Duração dos Paamares: LEVE: Médio: 6H 89 h PESADO: 8 H Cálculo do CMO para o subsisema Nore, no paamar médio, com a resrição escada: CMO = 4, ,84 (6/89) Cuso Incremenal de Geração no NO no paamar médio CI de Geração no NO no paamar leve Benefício Incremenal de Geração no NE no paamar leve

72 Modelo DECOMP Exemplos de cálculo de energia armazenada e afluene para subsisemas acoplados hidraulicamene a) Acoplameno enre subsisemas SEM usinas ficícias no NEWAVE : S 2 EARM = V x (ρ h + ρ 2 h 2 + ρ 3 h 3 +ρ 4 h 4 + ρ 5 h 5 ) + V 3 x (ρ 3 h 3 + ρ 4 h 4 + ρ 5 h 5 ) EARM 2 = V 5 x (ρ 5 h 5 ) S EAFL = I x (ρ h + ρ 2 h 2 + ρ 3 h 3 +ρ 4 h 4 + ρ 5 h 5 ) + I 2 x (ρ 2 h 2 + ρ 3 h 3 + ρ 4 h 4 + ρ 5 h 5 ) + I 3 x (ρ 3 h 3 + ρ 4 h 4 + ρ 5 h 5 ) EAFL 2 = I 4 x (ρ 4 h 4 + ρ 5 h 5 ) + I 5 x (ρ 5 h 5 ) b) Acoplameno enre subsisemas COM usinas ficícias no NEWAVE : (FIC) EZ % 4 5 EARM = V x (ρ h +ρ 2 h 2 +ρ 3 h 3 ) + V 3 x (ρ 3 h 3 ) EARM 2 = V* 3 x (ρ 4 h 4 + ρ 5 h 5 ) + V 5 x (ρ 5 h 5 ) EAFL = I x (ρ h +ρ 2 h 2 +ρ 3 h 3 ) + I 2 x (ρ 2 h 2 +ρ 3 h 3 ) + I 3 x (ρ 3 h 3 ) EAFL 2 = (I + I 2 + I 3 ) x (ρ 4 h 4 + ρ 5 h 5 ) + I 4 x (ρ 4 h 4 + ρ 5 h 5 ) + I 5 x (ρ 5 h 5 )

73 Modelo DECOMP Ocorrência de gap negaivo no processo de convergência A ocorrência de gaps negaivos no modelo DECOMP deve-se a evenuais mudanças no PL durane o processo ieraivo do méodo de Benders. Uma dessas mudanças ocorre quando o modelo alera, durane o processo ieraivo, o limie superior de verimeno de uma deerminada usina ao verificar que o seu nível de armazenameno esá inferior ao volume correspondene à soleira do veredor. A definição do limie superior de verimeno de uma usina i, em cada eságio, cenário e ieração, é realizada aravés do seguine ese: Se Vol(i) + Vmin(i) < Vol Soleira Veredor(i) LimSup Ver(i) = 0 Onde: Vmin(i) = volume mínimo do reservaório; Vol Soleira Veredor(i) = volume referene à cora da soleira do veredor; LimSup Ver(i) = limie superior de verimeno; O nível de armazenameno Vol(i) uilizado nese ese é calculado da seguine forma: Vol(i) = Vinic(i) + Afl_Na(i) + Afl_Tviagem(i) TaxaVM(i) Taxeva(i) Taxair(i) Desv_agua(i) + Reorno_desv(i) Onde: Vinic(i) = volume do reservaório no início do eságio; Afl_Na = afluência naural ao reservaório; Afl_Tviagem(i) = afluência de eságios aneriores, proveniene de usinas a monane com empo de viagem de vazão defluene; TaxaVM(i) = axa de enchimeno de volume moro; Taxeva(i) = axa de evaporação no reservaório; Taxair(i) = axa de irrigação; Desv_agua(i) = reirada de água para ouros usos; Reorno_desv(i) = reorno da reirada de água para ouros usos. Como exemplo, apresena-se a seguir um caso prospecivo de dois meses, com base na revisão 2 do PMO de seembro de 2006, cuo relaório de convergência resulane foi:

74 Modelo DECOMP 7 No caso em quesão, as usinas Jaguari, Paraibuna, Sa Clara Pr, Serra da Mesa, Caconde e Laes iveram o limie superior de verimeno zerado em algum momeno do processo ieraivo. As usinas de Jaguari e Paraibuna iveram o limie superior de verimeno zerado em odos os eságios, cenários e ierações, pois os níveis de armazenameno calculados foram sempre inferiores à coa de soleira. Especificamene no caso desas usinas, como o verimeno foi zerado em odos os eságios, cenários e ierações, não modificamos o problema de uma ieração para a oura, e por ese moivo, não causaria gap negaivo. A usina de Sa Clara Pr eve o seu limie superior de verimeno zerado no primeiro eságio, nas duas ierações (uma vez que o armazenameno inicial no primeiro eságio não muda enre as ierações), e no segundo eságio, apenas em alguns cenários da primeira ieração. No caso de Sa Clara Pr exise sim, uma mudança no problema enre a primeira e a segunda ierações, levando à possibilidade de ocorrência de gap negaivo. Vimos que esa mudança decorreu da modificação do esado inicial da usina no segundo eságio, enre a primeira e a segunda ierações. Quano à usina Serra da Mesa, no primeiro eságio, o esado de armazenameno inicial e as afluências consideradas não foram suficienes para aingir a coa da soleira, por ese moivo o verimeno foi zerado nas duas ierações. No segundo eságio, ambém observamos em Serra da Mesa uma diferença enre a primeira e a segunda ierações, al como observado para Sa Clara Pr. Na primeira ieração o esado de armazenameno inicial (volume inicial + volume mínimo) foi de ,75 hm 3, e nos cenários 3, 2, 9 e 2, o nível de armazenameno calculado foi inferior à coa da soleira. Na segunda ieração, no enano, o esado de armazenameno inicial foi maior que na primeira ieração (26.503,75 hm 3 ), fazendo com que o nível de armazenameno ficasse acima da soleira em odos os cenários, ou sea, o problema foi modificado enre a primeira e a segunda ierações podendo levar à ocorrência de gaps negaivos. No caso da usina Caconde seu limie superior de verimeno foi zerado no segundo eságio, nos cenários 2, 4, 6, 7, 8, 0, 2, 6, 9 e 2, apenas na primeira ieração. Tal como no caso