Matemática A Semiextensivo V. 1

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1 Semiextensivo V. 1 Exercícios 01) a) ( 6) 6 b) ( 6) 6 c) 5 5 d) e) f) Lembre-se de que todo número elevado a zero é igual a 5 um! 0) B 0) E 04) E 1 g) Lembre-se de que: n a m h) m n a Temos: população mundial ; habitantes ; consumo médio diário de água por pessoa 150 litros 1,5. 10 litros; um ano 65 dias, dias. Sendo V volume de água (em litros) necessário para abastecer a população humana durante um ano. Segue que: V ,5. 10., ,. 10 1, litros. a) Falsa. ( 6 8 ) 6 4 ( 6) 4. a) Falsa. ( ) 8 e a) Falsa e a) Falsa. ( ) 59. a) Verdadeira (11. 6) (96) , , ) B Sejam: Massa próton m p Massa elétron m e Do problema, temos que: m p 1, e m p m e m e m p 1800 m 17,. 10 e 18,. 10 m e 0, kg 06) B 07) D 08) D 09) A 10) A 0, , [ (. ) ] [ ( ) ] [ ] [ ] (a 1 + b 1 ) 1 1 b a + a b + ab ab + ( ab) ab a b ( a+ b) ( a + b) Pelos dados do problema: M 9, e N 1, , , , Ou seja M < N. Dada fórmula do IMC, sendo h a altura, em metros, temos: 0 60 h h h, ou seja h 1,7 m. Da fórmula IAC, sendo p% a porcentagem de gordura corporal, temos: P 17,. 17, 18 17,. 1, 18 7,5 Como, para atingir a normalidade, ela deve ter IAC de 6%, a redução deve ser: 5,7 6 1,5%, logo seu IAC deve ser reduzido em cerca de 1 ponto percentual. 7 Obs.: vamos admitir que reduzir o excesso de gordura em 1% significa reduzir o IAC em 1 ponto percentual. 1

2 11) A 1) A 1) B 14) A 15) E 16) C Entre as estrelas das classes espectrais representadas na tabela, a que tem temperatura em torno de 5 vezes maior que a do sol é da classe espectral BO. Assim, sua luminosidade é. 10 4, ou seja, é 0000 vezes a luminosidade do sol , fazendo o m.m.c. entre os 5. 5 índices dos radicais: a+ a + a 5 a a + a. a + a. a. a a a+ a. a+ a a a.( 1+ a+ a ) 1 + a + a a a Da geometria sabemos que o retângulo possui lados opostos paralelos e iguais, sabemos também que o perímetro de uma figura geométrica é a soma de todos os seus lados. Logo:. (x + 1) +. (x 1) 4 x + + 4x 4 6x 4 x 4 6 x 4 Portanto, seus lados são: x e x 1 7. Calculando a área do retângulo temos A m 01, x 06, (0,1x 0,6) (1 0,4x) 1 0, 4x 0,x 1, 1,x 0,x + 1,x + 1, 1,4x 4, x 4, x 14, Consideremos: 17) B x Lontra marinha y Ouriço-do-mar z Lagosta Do problema: x + y + z x y z 0000 x + y z x + y z y + y z 4y Logo: x + y + z y + y + 4y y y 0000 y x 6, ou seja, 6 ques- Consideremos: x questã certa y questão errada Do problema: x+ y 50 4x y 10 x+ y x y 10 5x 180 x tões certas. 18) 06 Consideremos: x tiro certo y tiro errado Do problema: x + y 5 50x 5y 05 Multiplicando-se a primeira equação por 5 e aplicando o método da adição ao sistema equivalente, temos: 5x+ 5y x 5y 05 55x 0 x 0 6, ou seja, 6 tiros certos ) A Consideremos: m cédula R$5,00 n cédula R$10,00 Do problema: m + n 6 5m+ 10n 175 Multiplicando-se a primeira equação por ( 5) e aplicando o método da adição ao sistema equivalente, temos: + 5m 5n 10 5m + 10n 175 5n 45 n 45 5 n 9

3 0) D Sendo x o alcance, em metros, do primeiro salto, devemos ter: x + (x 1,) + (x 1, 1,5) 17,4 x,9 17,4 x 17,4 +,9 x 1, x 1, x 7,1 Assim, o alcance no primeiro salto deve estar entre 7,0 m e 8,0 m. 1) A A Arroz F Feijão C Carne Do problema: A + F + C 500 F A C + 50 F C F 50 C A 50 Logo: A + F + C 500 A + A + A A 550 A 550 A 110, ou seja, para 1 refeição 5 são consumidos 110 gramas de arroz. Como F A e C A 50 temos: F A F. (110) 0. C A 50 C (110) Como são 400 refeições: A g 44 kg. F g 88 kg. C g 68 kg. ) E ) A Sendo x o salário deste indivíduo: x 8 x 1 6 x 1 7x 7x 1x 8x 6000 x x7x x 6000 x Consideremos: x ingresso para camarote y ingresso para pista Do problema: ingresso vendido antes do show tem 50% de desconto. Assim: 00. (0,5x) (0,5y) 000 (ingressos vendidos antes do dia do show.) 00x + 100y 8000 (ingressos vendidos no dia do show) 100x+ 150y 000 Logo: 00x+ 100y 8000 Multiplicando-se a primeira equação por ( ) e aplicando o método da adição ao sistema equivalente, temos: + 00x 00y x + 100y y y 80 (ingresso para pista vendida no dia do show). Logo, o ingresso vendido para pista antes do dia do show custou R$40,00 (50% de R$80,00). 4) A Do problema: A + B + C B A C A 5) C Logo: A + B + C A + A + A A+ 4A+ A A A De acordo com o enunciado, serão enviados 500 folhetos do segundo tipo. Cada um deles deve ter selos: um de R$0,65; um de R$0,60 e um de R$0,0. Para tanto, podem ser usados R$1000,00. O que sobrar do dinheiro deve ser utilizado para o envio de folhetos do primeiro tipo. Cada um destes leva um selo de R$0,65. O cuso do folheto : 0,65 + 0,60 + 0,15 1,45 1, R$75,00 Assim, para enviar 500 folhetos do segundo tipo, são usados R$75,00 e sobram R$75,00 para remessa de folhetos do primeiro tipo. Como o custo do folheto do primeiro tipo é de R$0,65, temos: n 75 4,07, serão enviados, dessa maneira, 4 065, folhetos do primeiro tipo e 500 do segundo. Tanto os folhetos do primeiro quanto do segundo tipo usam um selo de R$0,65, portanto, o número destes é: ) B 7) B Como foi dado 0% de desconto nos ingressos, cada um passará a custar 80% do valor antigo. Logo, multiplicando os valores por 0,8, temos: 0. 0, ,8 8 Considere: x número de pagantes com meia-entrada. (100 x) número de pagantes com entrada inteira. Assim: 8x + (100 x) x x 100 8x 400 x 50. Como 1 kg 1000 g, temos que: P + Q 1000 e 0,1 + 0,18Q 19.

4 Fazendo Q 1000 P e substituindo na segunda equação: 0,1P + 0,18(1000 P) 19 0,1P ,18P 19 0,1P 0,18P ,0P 1 P 1 00, P 400 8) 64 litros Os 4 litros de combustível que foram colocados no tanque da caminhonete representam 5 1 de sua capacidade. Chamando de x a capacidade total de combustível desta caminhonete, temos que: x 4 x 19 x ) 4 kg m a Massa do aço m M Massa da madeira C A Custo 1 kg de aço C M Custo 1 kg de madeira Do problema: m A + m M m M m A C A 1 C C C M M A Como foi gasto o mesmo valor na compra de cada material, temos: C A. m A C M. m M C A. m A C A. ( m A ) C A. m A 96 C A C A. m A 4C A. m A 96 C A m a 96 CA m a 4 kg 4 C 0) a) S {, } b) S {, 5} c) S {0, 6} d) S {1, 7/} e) S { 4, } f) S {, } A a) x 9 0 x 9 x ± 9 x ± S {, } b) x 7x Aplicando a fórmula de Bhaskara: x ± ( 7) ( 7) 4.( 1)( 10) 7 ± ( 1) x 7 ± 9 7 ± x x 7 4 S {, 5} c) x 6x 0 x(x 6) 0 x 0 ou x 6 0 x 6 S {0, 6} d) x + 9x 7 0 Aplicando a fórmula de Bhaskara: x ± ( )( 7) 9 ± ( ) x 9 ± 5 9 ± 5 x x S {1, 7 } 1) C ) C ) C e) x 7x 1 0 Aplicando-se a fórmula de Bhaskara: x ± ( 7) ( 7) 4.( 1)( 1) 7 ± ( 1) x 7 ± ± x x S { 4, } f) x 16 0 x 16 x 16 x 8 x ± 8 x ±. x ± S {, } x + x 4 x + x 4 0 x' 6. x" 7 (não serve) Logo, é múltiplo de. x 4x + 0 x' x" 1 Logo, duas raízes reais e distintas. x + x 10 0 x' 5 e x" Logo: ( A B) ( 5 ) ( 7) 49 4

5 4) B c. ( ) c 1 b ( 1) b Logo: b c ( 1); b c ) C 6) B x x x + 5x x 5x + 0 x 5± ( 5) ± ±. 4 4 x' x" 1 Logo, a e b x 5x ( x 5 x+ 6 ) 0 7x 14 7( x ) x 5x x' x" (não serve, pois zera o denominador) Logo: S {} 7) E x 1 + 1e x + y y xy 1+y 5 y x x. ( x) 1 + y x x 1 + x x x x x 4x (x ) 0 x 0 x 8) (N 1) + N a) R (6 1) b) (N 1) + N c) N N N 0 N 4N (N ) 0 N 0 N 9) A 40) A x + px + q 0 r 1 r q. 6 p ( + ) 5 x + rx + s 0 r 1 r S. 6 R ( + ) 1 Logo: x + px + s 0 x 5x 6 0 x' 6 x" 1 x + (1 + 5m m )x + (m + 1) 0 para x (1 + 5m m ). 1 + m m m + m m + 5m + 0 m 5m 0 m 5 5 ± ( ) 4. ( ) 5± m 5 ± ± 4 4 m' 1 4 m" 4 1 Portanto: m' + m" ) 7 N número de funcionários C cota de cada um no início Antes: 700 N C Depois da desistência: 700 N C N 700 N ( N ) 8NN ( ) NN ( ) + NN ( ) 700N 700N N 16N N N N' 5 (não serve) N" 7 5

6 4) D N Número de amigos V O valor que cada um daria no início. Antes: 4 N V Depois: 4 N V N 4 N N 4( N ) 19NN ( ) NN ( ) + NN ( ) 4N 4N N 57N 19N 57N ( 19) N N 54 0 N' 6 (não serve) N" 9 4) B N Número de perfumes vendidos em dezembro. P Preço unitário de venda em dezembro. Dezembro: 900 N P Janeiro: 1000 N+ 5 P N N N 900( N 5) 10NN ( 5) NN ( + 5) + + NN ( + 5) 1000N 900N N 50N 10N + 150N ( 10) N + 15N N' 0 (não serve) N" 15 44) 1 Logo: P n: número de dias x: km/dia 600 n x e 600 n x + 10 x n 600 n n 600( n ) 10n( n ) nn ( ) + nn ( ) 600n 600n n 0n 10n 0n ( 10) 45) D 01. Falsa. 15 dias 0. Falsa. 15 dias 04. Correta. 40 km 08. Correta. 40 km n n n' 1 (não serve) n" 15 T toal do orçamento no início da festa. C cota de cada um no início. Antes: T 50 C Depois: T C T T T T T 10T T C (inicial) 50 Cota final: ) V F V V V V V F 47) B A {{},, 6} Verdadeiro. {} A Falso. A (vazio é um subconjunto, portanto usamos ) Verdadeiro. A Verdadeiro. {6} A (é um subconjunto de A) Verdadeiro. {{}} A (é um subconjunto de A) Verdadeiro. {, 6, 5} A (pois 5 não pertence a A) Verdadeiro. A A Falso. A {} ({z} é elemento de A, portanto usamos ) {0, 7, 1} {x, y, 1} como não há ordem entre os elementos de um conjunto, então x 0 e y 5 ou x 7 e y 0, logo x + y 7. 48) a) A B C {1,,, 5, 7, 8} b) (A B) C {1,, 5} {1,, 7, 8} {1, } c) (A C) B {1,,, 7, 8} {,, 5} {1, 7, 8} d) (B C) A {} {1,, } A B e) C A A (A B) {1,, } {, } {1} 6

7 49) C X {0, 1,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1, 1} A {0, 1,, 5, 9} B {, 5, 7, 9} A B C X X (A B) {0, 1,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1, 1} {0, 1,, 5, 9} {, 4, 6, 8, 10, 11, 1, 1} 50) A 51) A 5) B 5) B 54) C (A B) (A C) {a, b, c, d, e, f, g} {b, d} {a, c, e, f, g} A C {b}, C B {a, e}, A B C {c} (A C) (C B) (A B C) {a, b, c, e} A {,, 4, 5}, B {1,, 5}, C {1,, } A B {, 4}, B C {5} (A B) (B C) {, 4, 5} D {1,, 4, 8,, 6, 1, 4} ou {1,,, 4, 6, 8, 1, 4} ordenado de forma crescente m {0,, 6, 9, 1, 15, 18, 1, 4,...} S Dnm {, 6, 1, 4} Logo N P(5) 4 16 Observe que A C e C A, ou seja, eles são disjuntos ou possuem uma intersecção. Na segunda afirmação, B (A C), temos que B contém A C. Logo, A C não são disjuntos. Temos assim: A B A 55) D Observe que A B, logo temos duas possibilidades: A B ou A B. a) Falsa. pois x A, logo x B, pois A é subconjunto de B. b) Falsa. Pois pode ser que A B. c) Falsa. Pois se A B, podemos ter x B e x A. d) Verdadeira. Pois se x B, logo x A, porque A B. e) Falsa. A B A. 56) 65 B C {64, 01, 08} A {16, 0, 00, 08} (B C) A {64, 01} 57) 64 A B {a, b} B C {e, j, i, k} (A B) (B C) {a, b, e, j, i, k} Logo, a quantidade de subconjuntos é ) 05 59) B 60) D A {0, 1,,, 5, 7} B {0,, 4, 6,, 5, 7} A B {0,,, 5, 7} N(A B) N(A) + N(B) N(A B) x x x x 1 Observe que 1 se inscrevem em A e em B. Logo, os que se inscreveram somente em A: N(A) 600 rejeitam A N(B) 500 rejeitam B N(A B) x rejeitam os Por fim, observe que D (A C), logo: B A A D Dos entrevistados, rejeitam um dos partidos ou os dois. N(A B) N(A) + N(B) N(A B) x x x x 00 7

8 61) a) 50%. b) 15%. a) Observe que 1 praticam as duas modalidades. Logo, praticam somente natação e 1 1 praticam somente futebol. E praticam um único esporte % b) Note que x x 51 praticam algum tipo de esporte. Logo 9 alunos não praticam nada % 6) D 6) C 64) C 65) C N(A) 50 biotecnologia N(B) 10 proteção N(A B) 90 ambos Somente em A: Somente em B: Que investiram: Que não investiram: Analisando as afirmações, I, II, III, IV estão corretas. N(A) febre N(B) 16 dor no corpo N(C) 4 náusea N(A B) 10 N(A C) 8 N(B C) 10 N(A B C) 6 Logo, o total é N(A) + N(B) + N(C) N(A B) N(A C) N(B C) + N(A B C) N(A B C) N(A) + N(B) + N(C) N(A B) N(A C + N(A B C) N(A B C) Logo, N(A B C) N(A) + N(B) + N(C) N(A B) N(A C N(B C) + N(A B C) N(A B C) Assim, as pessoas que não assistem a nenhum programa é Temos % 66) E 67) D X 10% 4% 1% % 8% 7% 0% Observe que 100% 7% 8% não preferem nenhuma marca. Dessa forma, as pessoas que não preferem x e y são 0% + 8% 48% J R Y I. Falsa. Pois o total de regiões é 660. II. Verdadeira. Basta analisar o diagrama acima. I. Falsa. As pessoas que leem somente jornal são 150. Logo, ) 15 N(A) 0 N(A B) 8 N(B A) N(B) 01. Verdadeira. N(A B) N(A) N(A B) Verdadeira. N(B) pois N(B A) N(B) N(A B) 15 N(B) 8 N(B) 04. Verdadeira. N(A B) Verdadeira. N(A B) N(A B) Falsa. N(A) N(B) N(A B) L Z 8

9 69) A Vamos considerar os espectadores das três modalidades em três conjuntos distintos. Devemos ressaltar que o total de público da dança de rua foi 400; o do jazz, 95% de 400, ou 990, e o do ballet, 90% de 400, ou 780. Se 105 pessoas assistiram às três danças, então 1505 viram ballet e dança de rua; 75 viram ballet e jazz e 595 viram dança de rua e jazz. Por fim, 1895 assistiram somente ballet, 015 somente viram jazz e 1995 viram somente dança de rua. D J B Portanto, ) F V V F F V F V V V F 71) D x 0, x 0, x + y ) 41/90 0, , ) A 74) E I. Verdadeira. B C < 1 B < C II. Verdadeira. BC < C BC C < C C B < 1 Por eliminação: a) Falsa. Pois A e B possuem uma infinidade de elementos. b) Falsa. Pois 1 4 A e 1 4 B. 75) D c) Falsa. Pois 1 1 A, mas B. d) Falsa B, mas A. a) Falsa.. b) Falsa. ( + ) + ( ) 4 c) Falsa. 11 e 1, respectivamente,, e, Estão entre e 4. d) Verdadeira. 1 < < 5. 76) 05 e) Falsa. ( ) ( 5) ( ) Verdadeira. É uma dizima periódica, logo pertence ao conjunto dos nacionais. 0. Falsa. π 9,869 que é irracional. 04. Verdadeira. n ; N Falsa. Como II, logo não pode ser escrito na forma a (cuja forma é dos nacionas). b 16. Falsa. Pois x + 0 x ±, que é um número complexo. 77) a) S { 1, 6} b) S {5} c) S d) S {10, 4/} a) x 5 7 x 5 7 x 5 7 x 1 x x 6 x 1 S { 1, 6} b) x + 5 x + 15 x x 15 x + 5 x + 15 x + 5 x 15 x 10 4x 0 x 5 x 5 S { 5, 5} c) x 1 x 6 x 1 x 6 x 1 x + 6 x 6 x 18 x x 6 0 x 6 x S { 18} 9

10 78) B d) x + x 7 x + x 7 x + x + 7 x 10 x 4 S {10, 4 } 4 ( x + 1) 4 x + x + 1 x + x 1 S { 1} 79) A 80) A x 4 x 4 x 5 0 x 4. x 5 0 x y y 4y 5 0 Por Bhaskara: y' 5 y" 1 Logo, x 5 ou x 1. A segunda opção é descartada. Assim, z 5, x 5 ou x 5 x + x 15 0 x y y +. y 15 0 Por Bhaskara: y' y" 5 Portanto, x e x 5. Pela definição de módulo, x 5 é descartado. Logo temos x, x ou x Assim, + ( ) 0 81) S { ; 1; 1; } 8) C x x + 0 por propriedade, x x x x + 0 x y y y + 0 (por Bhaskara) y' y" 1 x, temos x e x x 1, temos x 1 e x 1 S {1; 1; ; } (x 14x + 8) 11 x 14x x 14x ) A I. x 14x x 14x Possui duas raízes irracionais, pois Δ 88. II. x 14x x 14x x' x" 7 (por Bhaskara) A equação possui raízes reais e distintas, duas da equação (I) e uma equação (II). x x + x I. x x + x x 5x x' 5 x" 1 II. x x + x + x x + + x 0 x x 1 0 x' x" ) D Logo x 1 0 x 1 0 x 1 I. x 1 x 1 5 x 1 5 x 6 x 1 5 x 4 II. x 1 x 1 1 x 1 1 x x 1 1 x 0 Logo ) a) ], 4] b) ], [ [8, [ c) [, 4] ]5, 8[ d) [, 4] ]5, 8[

11 a) A B ], 8[ (A B) C ], 4] b) A C ], [ (A C) B ], [ [8, + [ c) A B C ]4, 5] A B C C B B (A B C) [, 4] ]5, 8[ d) (A C) ]4, 5] B (A C) [, 4] ]5, 8[ 86) a) A B [, 4 ] b) A B ], [ C (A B) 87) a) R b) (1, 4) c) ], 6[ [4, [ d) ], 4] a) A C ], [ ou R b) A B ]1, 4[ B c) C R R B ], 6[ [4, [ d) R C ], 4] 88) 15 89) 11 90) A A {,, 4, 5, 6,..., 16, 17} B {1,, 5, 7, 9,...} A B {, 5, 7, 9, 11, 1, 15, 17} (A B) C {, 5, 7} Logo Correta. 0. Correta. 08. Corretas. 04. Falsa. A B C R. 08. Falsa. A B C ], [ (A C) ], [ (B C) (A C) (B C) 11