Aula 5 - Parte 1: Funções. Exercícios Resolvidos

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1 Aula 5 - Parte : Funções Exercícios Resolvidos Construção de Funções: a) O valor pago por usuário que acessou a internet por x horas em uma lan house é dado pela função y(x) = a +, 5x, em que a é o custo inicial (bandeirada). Sabendo que uma pessoa acessou a rede por horas e pagou R $ 8,00 reais, encontre: i) O valor do custo inicial a (bandeirada). Resp: a +.5 = 8 = a = 8 5 = 3 ii) O valor pago por um usuário que acessou a rede por 5 horas: Resp: y(5) = a +, 5 5 = 3 +, 5 = R$ 5, 50 b) Um veículo de passeio gasta, no perímetro urbano, litro de gasolina a cada 9 km percorridos. Considerando que cada litro de gasolina custa R$,70, faça o que é pedido abaixo: i) Construa as funções que relacionam as seguintes variáveis: A distância percorrida d (em km) em função do número de litros l de combustível gasto no percurso: Resp: d = 9 l, com l 0 O custo com o combustível c em função do volume (em litros) l de combustível consumido: Resp: c =, 70 l, com l 0 O gasto com combustível c em função da distância percorrida d (em km): Resp: c =, 70 d, com d 0. 9 ii) Qual o valor gasto mensalmente com combustível se uma pessoa percorre, por dia, em média 40 km? Resp: Custo Diário: c =, = R$,00 por dia. 9 Custo Mensal: 30 = R$ 360,00 por mês.

2 c) Para um atendimento domiciliar, um técnico de informática X cobra R$ 60,00 a visita e R$ 45,00 a hora trabalhada. Outro técnico, Y, cobra R$ 40,00 a visita e R$ 50,00 a hora de trabalho. As frações de hora são cobradas pelos dois técnicos. Faça o que se pede: i) Construa as funções para o custo do atendimento domiciliar em função do tempo de trabalho (t), para a contratação do técnico X e do Y, respectivamente. Resp: Técnico X: C X = t, com t 0 Técnico Y: C Y = t, com t 0 ii) A partir de quanto tempo é mais econômico contratar o técnico X? Resp: Devemos inicialmente encontrar o momento em que o custo dos técnicos é o mesmo, ou seja: C X = C Y Assim: t = t = 5 t = 0 = t = 4horas. Notemos que o custo por visita do técnico X é maior do que o do técnico Y (60, 40, respectivamente) e o custo por hora de trabalho do técnico X é menor do que o do Y (45 e 50, respectivamente). Temos 3 situações para analisar: Se a duração do serviço for pequena, inferior a 4 horas, então o custo de contratar o técnico Y será menor, pois esse tem o menor custo por visita; Se o trabalho durar 4 horas é indiferente contratar o técnico X ou o Y; A partir de 4 horas, fica mais econômico contratar o técnico X, cujo custo da hora trabalhada é menor. Logo, é mais econômico contratar o técnico X, quando a duração do serviço for superior a 4 horas. Encontre o Domínio das Seguintes Funções: a) y = 4x + 3x Resp: Notemos que nesta função as operações envolvidas são soma e produto e assim a função y = 4x + 3x está bem definida para qualquer valor de x. Logo, D = IR. b) y = x + 3 x Resp: Notemos que o numerador x + 3 está definido para qualquer x IR e o quociente só

3 faz sentido se o denominador for diferente de zero. Portanto, D = IR\{0}. Esse conjunto pode ser também representado de outras formas: D = {x IR x 0} ou (, 0) (0, + ) ou {x < 0 ou x > 0}. c) y = 4 x Resp: Como a divisão não está definida quando o denominador é igual a zero, é necessário que: x 0 = d) y = 3x + 5 x x. Logo, D = IR\{}. Resp: Lembremos que a função raiz quadrada só está definida quando o radicando for maior ou igual a zero. Assim temos de analisar 3x + 5 e x. 3x + 5 x 3x x 0 3x 5 x 5 3 x Mostrando essas desigualdades na reta real temos: Figura : Representação do domínio de y = 3x + 5 x. Portanto, o domínio é o intervalo que torna válida as duas condições. Assim, D = {x IR x 5 3 }. e) y = x 3 4x Resp: A função não está definida para os valores de x que anulem o denominador, ou seja, que anulem o polinômio x 3 4x. Assim, x 3 4x 0 = x(x 4) 0 = x 0; x ; x 3. Logo, D = IR\ {, 0, }

4 3 Identifique quais funções são limitadas: a) y = 3x + 4 Resp: A função não é limitada, pois y assume valores arbitrariamente grandes ou pequenos, se fizermos x tão grande ou tão pequeno quanto desejarmos. b) y = cosx Resp: A função não é limitada, pois quanto mais aproximamos cosx de zero, valores cada vez maiores. Obs: cosx se aproxima de zero, quando x fica próximo de π ± k π, com k Z. cosx, assume x 3 c) y = x 3 + x x Resp: Em primeiro lugar vamos fatorar o denominador, para facilitar a análise do polinômio x 3 + x x. Pode ser facilmente verificado que x= é uma das raízes e assim o polinômio pode ser fatorado como: (x )(x + x + ) = (x )(x + ) Assim, quando x se aproxima de ou de -, o numerado assume valores diferentes de zero e o denominador se aproxima de zero, fazendo com que a função tome valores tão grandes quanto desejarmos. Portanto, a função não é limitada. 6x4 + d) y = x + Resp: Notemos que o denominador e o númerador são sempre positivos para qualquer valor de x. Portanto, y > 0 e o domínio de y é D = IR. Para x = 0 = y =. Se x 0, podemos fazer as seguintes operações para colocar a função em uma forma mais fácil de ser analisada: 6 ( ) x y = = 4 x + x x +. Dividindo o numerador e o denominador por x = x 4, temos: x 4 + x 4 6x 4 y = 4 = 4 x + x x 3 + 6x 4 + x. Comparando + com +, temos que: x 6x + +, pois: 6x x ( ) + x = + + = ( ) + x x 4 6x > +, lembrando que ( ) x 4 x 6x 4 6x 4 x > 0.

5 Logo, 0 < 4 + ( ) 6x ( x ) = 4. x + x Portanto, a função é limitada em 4.