CAPÍTULO I INTRODUÇÃO

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1 CAPITULO - Introdução CAPÍTULO I INTRODUÇÃO O estado gasoso O estado gasoso é ertamente o estado de agregação sob o qual menos nos debruçamos, se pensarmos na observação que fazemos daquilo que nos rodeia. Todos sabemos que eiste (atmosfera, ombustíveis gasosos...), mas não é fáil enumerar um onjunto de propriedades que lhes sejam araterístias. Podemos ontudo afirmar, de forma simplista, que os gases fluem om etrema failidade, tem uma densidade baia, são bastante ompressíveis, e oupam todo o volume que lhes seja disponível. Vamos neste apítulo rever alguns onheimentos importantes sobre o estado gasoso, pois é frequentemente utilizado omo eemplo na demonstração dos fundamentos básios da Termodinâmia Químia. O modelo do gás perfeito No estudo da Termodinâmia não neessitamos de qualquer teoria aera da estrutura moleular, mas no entanto é bom termos em mente um modelo moleular para interpretar os seus resultados. Uma boa visão para um gás perfeito é o de um onjunto de moléulas, onsideradas partíulas pontuais, em movimento aleatório, om veloidades que aumentam om a temperatura, e sem interações entre si, eepto olisões elástias de muito urta duração. As propriedades fundamentais para estudarmos um sistema termodinâmio são o volume, V, a pressão, p, a temperatura, T, e a quantidade de matéria, ou número de moles, n. Um gás, num dado estado termodinâmio de equilíbrio, é araterizado univoamente por aquelas propriedades. No entanto estas propriedades não são independentes umas das outras, pois eiste uma equação de estado que relaiona todas estas propriedades. Essa equação para um gás perfeito é a equação dos gases perfeitos: pv n RT

2 CAPITULO - Introdução onde p é a pressão a que o gás está sujeito, T a sua temperatura absoluta, V o volume que oupa, n o número de moles de gás presente, e R é a onstante dos gases perfeitos. R 8.34 J.mol -.K al.mol -.K bar.m 3.mol - ou R.8 atm.l.mol -.K - Voltaremos a esta equação mais adiante. Por agora vamos reordar alguns oneitos básios sobre pressão e temperatura que importa ter presentes ao longo do urso. Estes oneitos são do maior interesse, pois todos os fenómenos químios dependem destas variáveis termodinâmias. Pressão A pressão onstitui om a temperatura o par de variáveis termodinâmias onsideradas omo independentes, pois é relativamente simples ontrolá-las num laboratório ou instalação industrial. A pressão é uma força eerida por unidade de área. Mede-se em várias unidades. A unidade de pressão do Sistema Internaional (SI) é o Pasal. O Pasal é uma unidade derivada deste sistema, e representa a pressão eerida pela força de N atuando numa área de m, isto é: Pa N m - Esta unidade é pouo prátia pois representa uma quantidade muito pequena. A sua relação om unidades mais prátias é a seguinte: bar kpa atm 35 Pa Usam-se ainda unidades mais pequenas omo o torr, que é muito aproimadamente igual ao milímetro de merúrio, mmhg: torr 33.3 Pa

3 CAPITULO - Introdução 3 Da relação anterior deriva outra igualdade importante que relaiona a atmosfera om esta última unidade: atm 76 torr O método mais simples de medida da pressão para zonas entre mbar e bar é o manómetro de merúrio. Um eemplo é a medida da pressão atmosféria om um barómetro. O prinípio básio desta medida é o equilíbrio entre uma oluna de merúrio e uma oluna de ar à superfíie líquida do merúrio. Considere-se a figura.: Figura.. Barómetro de merúrio Se o espaço aima da oluna de merúrio for um váuo perfeito, a pressão atmosféria, p, pode ser relaionada om a altura da oluna de merúrio, h, da seguinte forma: p F/A mg/a ρπr hg/πr ρhg onde F é a força eerida pela oluna de merúrio por unidade de área, A, m é a massa de merúrio, g é a aeleração da gravidade, e ρ é a densidade do merúrio. Os manómetros mais simples são em forma de U. O tubo em forma de U enontrase heio de merúrio, omo mostra a figura.:

4 CAPITULO - Introdução 4 Figura.. Manómetro de merúrio Um dos braços do manómetro enontra-se ligado ao sistema ao qual se pretende medir a pressão. O outro braço está fehado em váuo, ou aberto. Se está aberto, a pressão medida no sistema é relativa, isto é: P sist P man + P atm Se o tubo estiver fehado, P sist P man. Os manómetros de merúrio são utilizados em linhas de váuo, para operações de ontrole e medida de pressões relativamente baias. Para pressões mais reduzidas, na zona do váuo primário temos de reorrer a manómetros do tipo Pirani. Estes manómetros utilizam um filamento aqueido de um metal om um oefiiente de variação da resistênia om a temperatura elevado. A temperatura do filamento depende da ondutibilidade térmia do gás residual que, a baias pressões, varia linearmente om a pressão. Estes manómetros neessitam de alibração. Para o alto váuo utilizam-se manómetros de ionização. Para pressões mais elevadas reorre-se frequentemente a manómetros de tubo de Bourdon omo o da figura seguinte:

5 CAPITULO - Introdução 5 Figura.3. Manómetro de tubo de Bourdon O tubo de Bourdon é um tubo fehado na etremidade e enrolado. Quando a pressão é apliada o tubo tende a desenrolar provoando o movimento de um meanismo om ponteiro. Temperatura Todos sabemos intuitivamente o signifiado de temperatura, mas definir orretamente o termo é um pouo mais ompliado. Podemos afirmar que a temperatura é a propriedade que nos india a direção de um fluo de energia. Se o alor flui de um orpo A para um orpo B dizemos que A está mais quente, ou om temperatura mais elevada do que B. Se não há fluo de energia quando os orpos A e B estão em ontato então dizemos que estão em equilíbrio térmio. Supondo agora um orpo A em equilíbrio térmio om B e B em equilíbrio térmio om C então C e A estão também em equilíbrio térmio. Isto é a base da Lei Zero da Termodinâmia: Se A está em equilíbrio térmio om B e B em equilíbrio térmio om C, então C está também em equilíbrio térmio om A A lei zero da termodinâmia é o prinípio fundamental que permite onstruir termómetros. Estes são instrumentos que indiam uma variação de temperatura em

6 CAPITULO - Introdução 6 função de uma propriedade físia qualquer (omo por eemplo o omprimento de uma oluna de merúrio). Nos primórdios da termometria as temperaturas foram relaionadas om o omprimento de uma oluna de líquido, e as diferenças de omprimento observadas em ontato om gelo e em ontato om água em ebulição foram divididas em partes iguais, atribuindo-se graus ao valor mais baio. Esta é a esala em graus Celsius. Esta esala depende pois do fluido utilizado. Pelo ontrário, o volume de um gás é aproimadamente independente do tipo de gás, à medida que a densidade tende para zero. Esta propriedade permite estabeleer a esala de temperaturas termodinâmias. As temperaturas termodinâmias são designadas por T e medem-se em kelvin, K. A relação entre a esala termodinâmia de temperatura e a esala mais vulgarmente utilizada, ou esala em graus Celsius, C, é: T/K t/ C Nesta esala C orresponde eatamente a 73.5 K. A temperatura pode ser medida utilizando um termómetro de gases. A temperatura é medida omparando a pressão do gás quando está em ontato térmio om a amostra à qual se pretende medir a temperatura, e om um padrão adequado. Um padrão adequado é a água no seu ponto triplo (ver adiante no urso), a ondição únia de p e T em que a água oeiste simultaneamente nos três estados de agregação, sólido, líquido e vapor. A temperatura do ponto triplo é definida eatamente omo: T K Se a pressão medida quando o termómetro de gás está em ontato om a amostra é p, e a pressão quando está em ontato om T 3 é p 3, então a temperatura da amostra é dada por: T (p/p 3 )T 3

7 CAPITULO - Introdução 7 A relação anterior é eata apenas quando o gás se omporta idealmente, isto é, na zona das baias pressões. Na figura seguinte mostra-se um termómetro de gás a volume onstante: Figura.4. Termómetro de gás a volume onstante O termómetro anterior é evidentemente pouo prátio. Os termómetros de epansão fazem uso da dilatação das substânias omo propriedade termométria. O eemplo mais omum é o termómetro de merúrio. Estes termómetros são previamente alibrados, pois a dilatação da oluna de merúrio também depende do vidro utilizado. Para maior rigor das medidas de temperatura utilizam-se outros tipos de termómetros. Nos termómetros de resistênia de Platina é medida a resistênia da platina em ontato om a amostra, que por sua vez é função da temperatura. Outro tipo de termómetros são os termopares. Estes onsistem em duas junções de ondutores diferentes (eistem vários tipos). Uma das junções oloa-se a uma temperatura t onheida (pode ser o gelo em fusão) e a outra à temperatura t que se pretende medir. A força eletromotriz gerada é função da diferença de temperaturas, podendo assim determinar-se t. Para altas temperatura pode ainda utilizar-se um pirómetro óptio, em que é medida a radiação emitida pela fonte, num dado omprimento de onda, que por sua vez é função da temperatura.

8 CAPITULO - Introdução 8 Leis dos gases A equação dos gases perfeitos é uma lei limite, pois quando p, quase todos os gases obedeem a esta lei. A pressões próimas de atm e temperatura ambiente a maioria dos gases não se desvia muito deste omportamento. A equação dos gases perfeitos pode ser failmente deduzida das leis fundamentais dos gases. A primeira destas leis é a Lei de Boyle. Para n e T onstantes Boyle verifiou o seguinte: pv onstante Num gráfio p,v obtemos isotérmias omo as da figura seguinte: Figura.5. Isotérmias ideais de um gás Outra lei fundamental é a Lei de Charles e Gay-Lussa. Para n e p onstantes obtêm-se: V T e para n e V onstantes obtêm-se igualmente: P T Verifia-se assim que V T om uma onstante de proporionalidade que depende da pressão. Cada urva representa uma isobária e é traduzida por uma linha reta no diagrama V,T. Lord Kelvin reonheeu a importânia desta lei, definindo a partir dai uma esala de temperaturas absolutas, ou esala termodinâmia. De fato Lord Kelvin verifiou que etrapolando o volume de vários gases em função da temperatura, para volume nulo, obtém-se para todos uma interseção na ordenada que orrespondia a

9 CAPITULO - Introdução 9 C. A este valor atribuiu o valor de K, mantendo os intervalos entre graus iguais. Isto signifia que os C são preisamente 73.5 K. Esta esala é a únia om interesse em álulos termodinâmios. Isto pode ser observado na figura abaio: Figura.6. Isobárias ideais de um gás A ultima lei fundamental é a Lei de Avogadro. Para p e T onstantes temos: Juntando todas estas leis obtemos: V n V /p. T. n ou V nt/p V Constante nt/p Esta onstante é uma onstante universal e é a onstante dos gases perfeitos, R. A equação anterior vem então: pvm RT onde Vm é o volume molar do gás. Um mole de gás perfeito oupa em ondições PTP preisamente.44 litros.

10 CAPITULO - Introdução Misturas No aso de misturas de gases perfeitos podemos apliar a Lei de Dalton. A pressão eerida por uma mistura de gases perfeitos (A + B) é a soma das pressões eeridas pelos gases individuais, oupando o mesmo volume: p p A + p B Como a fração molar de um dos omponentes na mistura é y A n A /(n A + n B ) então obtêm-se failmente: p A y A p onde p A é a pressão parial de A e p é a pressão total. Vamos ahar esta equação muito útil mais adiante. Gases reais Os gases reais são imperfeitos pois eistem interações intermoleulares, isto é, forças repulsivas e atrativas entre os átomos ou moléulas. Os desvios à idealidade são mais importantes a altas pressões e ondições etremas de temperatura. Uma das formas mais simples de visualizar estes desvios onsiste em representar o fator de ompressibilidade em função da pressão. O fator de ompressibilidade é dado por: z pv m /RT Na figura seguinte mostra-se a variação de z om a pressão para um gás real, omparativamente ao omportamento de um gás perfeito.

11 CAPITULO - Introdução Figura.7. Variação do oefiiente de ompressibilidade om a pressão. Quando z > as forças repulsivas são dominantes e os gases são mais difíeis de omprimir que um gás perfeito, e para z < as forças atrativas são dominantes e o gás mais fáil de omprimir. Vejamos agora um diagrama p,v m mostrando as isotérmias eperimentais para um gás real, tomando omo eemplo o CO. Figura.8. Isotérmias eperimentais para o CO

12 CAPITULO - Introdução Como se pode observar, para valores de V m elevados e temperaturas mais altas as isotérmias reais são semelhantes às isotérmias de um gás perfeito. Esta onlusão permite-nos epandir a equação dos gases perfeitos da seguinte forma: pv m RT ( + B p + C p +... ) Esta epressão é a equação de estado do virial, sendo os oefiientes B e C os respetivos oefiientes de virial, dependentes uniamente da temperatura. É uma etensão importante da equação dos gases perfeitos. A temperatura para a qual o º oefiiente do virial é nulo designa-se por temperatura de Boyle, isto é B (T T B ), verifiando-se que, por oinidênia, a esta temperatura o gás se omporta omo perfeito. Vejamos agora o que aontee om a ondensação do gás. Consideremos um dado volume de uma amostra de gás, iniialmente no estado A, que é diminuído a temperatura onstante. Próimo de A a pressão do gás aumenta mais ou menos de aordo om a Lei de Boyle. Começam a surgir desvios quando o volume se aproima de B. No ponto C ( que orresponde a era de 6 atm no aso do dióido de arbono) omeça a ondensação do gás. Este ponto é hamado de ponto de orvalho. Ao longo da linha CDE eistem duas fases presentes, a líquida e a gasosa. A linha CDE representa pois a urva de pressão de vapor do líquido à temperatura da eperiênia. No ponto E (ponto de bolha) toda a amostra é liquefeita. Qualquer redução de volume posterior requer um enorme aumento de pressão (E para F por eemplo). A isotérmia à temperatura T, neste aso 3.4 C, é bastante importante e orresponde à isotérmia rítia. O ponto assinalado om um * é o ponto rítio do fluido. Aima desta temperatura é impossível formar-se líquido, seja qual for a pressão apliada. Se a amostra for omprimida à temperatura T não se formam duas fases, mas uma únia fase que oupa todo o volume disponível. A temperatura, volume e pressão do ponto rítio são designados por temperatura rítia, T, pressão rítia, p, e volume rítio, V. Para obter O líquido, por eemplo, temos de obter temperatura inferiores a 54.8 K e depois omprimir o gás isotermiamente. Equação de van der Waals

13 CAPITULO - Introdução 3 Uma das modifiações mais notáveis da equação dos gases perfeitos é devida a van der Waals. Após estudos om o CO van der Waals hegou à onlusão de que os hoques entre as partíulas do gás e as paredes do reipiente eram reduzidas pelas forças atrativas entre as partíulas do gás, omo mostra a figura: Figura.9. Forças atrativas entre as partíulas de um gás A pressão real é então igual à pressão ideal, menos um termo proporional ao número de enontros entre as partíulas, isto é (n/v) : p real p ideal - an /V em que a é uma onstante para ada gás. Por outro lado, o volume efetivo disponível às partíulas de gás é o volume total oupado menos um termo dependente do volume intrínseo das moléulas do gás, i.é: V ef V - nb onde b é uma onstante. Substituindo estes valores na equação dos gases perfeitos obtemos:

14 CAPITULO - Introdução 4 (p + an /V )(V - nb) nrt Reorganizando a epressão em termos do volume molar obtemos: RT a p V b V m m Esta equação é a equação de estado de van der Waals e foi a ª equação a entrar em linha de onta om as forças intermoleulares. Prinípio dos estados orrespondentes A equação de van der Waals onduz, para T < T, a isotérmias próimas das eperimentais. Vejamos uma figura mais detalhada das isotérmias eperimentais para o CO, na proimidade do ponto rítio: Figura.. Isotérmias eperimentais para o CO na proimidade do ponto rítio O omportamento real pode omparar-se om o omportamento dado pela equação de van der Waals. A equação reproduz razoavelmente o omportamento real do gás. Contudo, para T < T a equação tem um omportamento anómalo pois,

15 CAPITULO - Introdução 5 sendo úbia no volume, apresenta na região bifásia (zona de equilíbrio líquido/ vapor) três raízes para o volume. Uma é o volume molar do líquido a outra é o volume molar do gás e a tereira não tem signifiado físio. À medida que nos aproimamos de T o máimo e mínimo da urva aproimam-se, fundindo-se preisamente no ponto rítio. Na isotérmia rítia tanto a ª omo a ª derivada são nulas (ponto de infleão) pelo que podemos esrever, para um mole de gás: p p V V T Calulando estas derivadas a partir da equação de van der Waals obtemos: T p RT a V b V p RT V T T ( V b) a + V 3 p V RT 6a 3 4 ( V b) V T T Resolvendo simultâneamente as três equações enontramos o valor de T, p e V em função de a e b, isto é: V 3b a T 8 7Rb a p 7b A validade da equação de van der Waals pode ser testada alulando o valor do oefiiente de ompressibilidade no ponto rítio, z p V /RT. Substituindo as equações aima o valor obtido é z.375. Este valor é muito aproimado ao valor apresentado por vários gases, onfirmando assim a validade da equação de van der Waals.

16 CAPITULO - Introdução 6 Vejamos agora omo podemos utilizar os resultados anteriores para omparar vários gases. Vamos definir um onjunto de variáveis reduzidas dadas por: p R p/p ; T R T/T ; V R V/V van der Waals esperava que diferentes gases om o mesmo volume reduzido e om a mesma temperatura reduzida eeressem a mesma pressão reduzida. Na realidade isto verifia-se pois entrando om os valores dos parâmetros reduzidos na equação de van der Waals e utilizando os valores de a e b em termos de p e T, obtemos: p p R RTRT a VV b VV R R e finalmente, ap 7b 8aTR a 7b 3bV b 9bV R ( R ) R p R 8TR V 3 3 V R R A equação anterior é uma equação de estado universal, que não depende do tipo de gás. Assim, dois gases diferentes om os mesmos valores de T R e p R têm o mesmo V R, dizendo-se que estão em estados orrespondentes. Uma onsequênia direta do prinípio dos estados orrespondentes é que o fator de ompressibilidade é apenas função de T R e p R. A figura seguinte mostra o fator de ompressibilidade em função de p R, para vários T R, e para diferentes moléulas:

17 CAPITULO - Introdução 7 Figura.. Fator de ompressibilidade em função de variáveis reduzidas para vários gases Podemos verifiar que a universalidade se verifia. Esta, pode dizer-se, foi a maior ontribuição de van der Waals para a Ciênia dos fluidos. Conheendo as onstantes rítias podemos, para um dado gás alular o valor de z e a partir do gráfio anterior obter o volume que o gás oupa. Esta universalidade sofre alguns desvios para gases om moléulas muito polares. A importânia do trabalho de van der Waals foi reonheida de diversas formas, inluindo a edição de um selo omemorativo da atribuição do prémio Nobel. Figura.. Selo omemorativo da atribuição do prémio Nobel a Johannes Diderik van der Waals

18 CAPÍTULO II INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE ESPECIAL Albert Einstein em 95. Neste ano ele publiou na revista Annalen der Physis a Teoria da Relatividade. Logo, o trabalho tornou-se famoso em todo o mundo.

19 II. CONSIDERAÇÕES GERAIS: A Físia proposta por I. Newton no séulo XVII tinha omo base fatos fortes e onvinentes, integralmente baseados na observação da natureza. Tão onvinentes que foi amplamente utilizada nos séulos seguintes sem ser questionada. Os prinípios da Meânia Newtoniana determinaram pratiamente todo o desenvolvimento ténioientífio dos dois séulos que preederam. A Meânia Newtoniana arateriza-se de forma marante por não questionar a validade de seus oneitos, omo por eemplo, a questão sobre o referenial no qual são feitas as medidas e a influênia do método de medida sobre as grandezas em questão. Mesmo nos nossos dias, os oneitos estabeleidos pela Meânia Newtoniana permaneem firmemente ligados ao nosso raioínio otidiano. Estes oneitos estavam tão fortemente enraizados que atravessaram vários séulos sem que alguém questionasse seus fundamentos. As leis de Newton naturalmente dependem do referenial de observação. Elas só são válidas nos hamados refereniais ineriais, que são aqueles que desloam-se relativamente entre eles om veloidades onstantes. Se tivermos dois refereniais ineriais, um movendo om veloidade onstante em relação ao outro, não há eperimento que possamos fazer para revelar qual referenial esta em repouso e qual esta se movendo. Esta araterístia entre refereniais ineriais é hamada de prinipio da relatividade Newtoniana. Uma araterístia importante deste resultado é que o movimento absoluto não pode ser detetado. O primeiro físio a questionar alguns oneitos newtonianos foi o físio alemão Ernst Mah. Em seu teto intitulado The Siene of Mehanis de 883, Mah epressa rítias à dinâmia de Newton. Mah levantou a questão sobre a distinção entre movimento absoluto e relativo, disutiu o problema da inéria dos orpos e, aima de tudo, apontou omo ponto frao da dinâmia newtoniana sua onepção de espaço e tempo absolutos. Esta onepção newtoniana esta bem ilustrada na seguinte passagem dos Prinipia : Absolute, true and mathematial time, of itself and by its own true nature, flows uniformly on, without regard to anything eternal.

20 3 Mah observa que, sendo o tempo medido neessariamente pelo movimento repetitivo de um orpo ou sistema físio omo, por eemplo, um pêndulo ou o movimento da Terra, é lógio que as medidas de intervalos de tempo devem, de alguma forma, estar onetadas om o movimento. Semelhante, o oneito de espaço deve estar intimamente ligado om as propriedades do sistema de medida e não deve ser onsiderado omo algo absoluto. Tais rítias não ausaram muito efeito de imediato, mas oasionalmente foram de profunda importânia para um jovem físio hamado A. Einstein. Einstein foi fortemente atraído pelas idéias de que os oneitos físios devam ser definidos em termos de grandezas mensuráveis. Portanto, a maneira de observação e realização de medidas físias deve influeniar os oneitos físios, inluindo o espaço e o tempo, onsiderados absolutos por Newton. Este pensamento, muito diferente do absolutismo newtoniano, gerou uma revolução nos oneitos da Físia, ulminando om o apareimento da relatividade, a qual será brevemente disutida neste apítulo. II. A CAMINHO DA RELATIVIDADE: O EXPERIMENTO DE MICHELSON-MORLEY A teoria ondulatória da luz foi elaborada alguns anos antes da demonstração de sua natureza eletromagnétia. Para os pioneiros no ampo da Óptia pareia natural pensar na luz omo ondas que se propagavam num meio elástio, hamado éter. Além de neessário para epliar a propagação da luz, o éter também representava o repouso absoluto, ou o sistema em relação ao qual tudo se desloa. As observações de difração e interferênia om luz eram perfeitamente epliadas pela teoria do éter. Tais fatos fortaleeram de tal forma a teoria que muitos ientistas da époa a aeitavam sem questionamento. Com o desenvolvimento da teoria eletromagnétia da luz em 864 por Mawell e sua inquestionável omprovação eperimental por Hertz em 887, a teoria do éter fiou relegada a segundo plano. Isto porque já não era mais neessário um meio elástio para epliar a propagação da luz. Apesar de não mais neessário para epliar a natureza de propagação da luz, o éter ainda auilia outros oneitos. Várias rítias e questões omeçaram a surgir om respeito a eistênia do éter. Apesar disto, a idéia básia que a luz propaga-se relativamente a alguma espéie de sistema de referenia universal mantinha vivo o éter. Para melhor entender as

21 4 impliações da idéia do éter om respeito à propagação da luz, vamos onsiderar uma situação físia análoga a propagação da luz num meio. Seja um rio de largura D, no qual a água flui om veloidade v, omo mostrado na figura. Fig.. Esquema mostrando a viagem de um baro em duas situações De uma das margens do rio, dois baros (denominados A e B) omeçam a movimentar-se om veloidade V. Esta é a veloidade que advém da potênia do motor do baro, independente da veloidade das águas. O baro A faz uma viagem até a margem oposta e retorna. O baro B movimenta-se paralelamente ao rio e também retorna ao ponto de partida. Vamos alular o tempo gasto por ada uma destas viagens, sabendo que ambas perorreram a mesma distânia. Começando om o baro A, a orrenteza tenderá a arregá-lo para a direita do ponto pretendido de hegada na margem oposta, om uma veloidade v paralela ao rio. Assim, para que sua trajetória seja perpendiular ao rio, V deve ter um omponente v na direção do rio, anelando a veloidade deste. Isto faz om que a veloidade resultante na direção perpendiular ao rio seja V. Da omposição vetorial das veloidades temos que (ver figura.): V V + V De modo que: V ' V v V

22 5 desta forma o tempo de viagem do baro A será: t A D / V v / V Fig.. Composição vetorial para o movimento perpendiular à orrenteza. Para o baro B, a situação é um pouo diferente. Sua veloidade é aresida de v quando seu movimento é a favor da orrenteza e deresida de v quando oposto à orrenteza. Como resultado o tempo total da viagem do baro B é: t B D D + V + v V v D / V v / V É fáil observar que t B > t A e que a razão entre os tempos é dada por: t t A B v / V O resultado aima nos mostra algo interessante: se soubermos a veloidade absoluta dos baros (V) e medirmos a razão entre os tempos de movimento nas duas situações, podemos obter a veloidade do rio v. Esta observação pode ser usada de uma forma análoga para estudar o problema da propagação de ondas de luz no éter. Se eistir um éter preenhendo todo o espaço, nós, da Terra, que estamos nos movimentando ao redor do Sol e, portanto, estamos navegando pelo éter om a nossa veloidade de translação. Para qualquer observador loalizado na Terra o éter movimenta-se om essa mesma veloidade.

23 6 A fim de detetar o movimento e a eistênia do éter, pode-se usar dois feies de luz ao invés de dois baros. Imagine o sistema mostrado na figura.3: Fig..3 Interferômetro usado por Mihelson Um feie de luz intenso, ao inidir sobre um divisor de feies (superfíie parialmente espelhada), é dividido em dois feies que propagam-se perpendiularmente nas direções dos espelhos A e B. O aminho de A é suposto perpendiular ao fluo do éter hipotétio, enquanto B é paralelo. Após fazerem uma viagem de ida e volta em ada um dos aminhos, os feies retornam ao mesmo plano de observação. Esta situação é, obviamente, muito semelhante ao eemplo do baro no rio, visto anteriormente. Se os dois aminhos têm eatamente o mesmo omprimento ou diferem por um número inteiro de omprimentos de onda, ambos os feies hegam ao ponto de observação em fase. Assim produzem uma interferênia onstrutiva, o que leva o observador a preseniar um máimo na intensidade da luz. No entanto, a eistênia do éter movimentando-se, omo mostrado na figura, ausaria (em analogia ao eemplo dos baros) uma diferença nos tempos gastos pelos feies A e B para perorrerem seus respetivos aminhos. De modo que estes feies de luz não mais atingiriam o plano de observação em fase. Com isto a interferênia observada não seria mais onstrutiva, mas parialmente destrutiva. De uma forma muito simplifiada este é, em essênia, o eperimento de Mihelson e Morley, realizado em 887. No eperimento real, os espelhos A e B não eram perfeitamente perpendiulares, fazendo om que no plano de observação apareesse uma série de franjas de interferênia (regiões laras e esuras), devido à diferença em aminho entre os raios de luz adjaentes (figura.4)

24 7 Fig..4 Franjas observadas no interferômetro É laro que o aparelho estaionário, omo mostrado na figura 3, não permite de forma alguma a observação do efeito previsto, ou seja, a diferença entre os tempos de perurso dos feies A e B. Assim, om o aparelho numa determinada posição temos um determinado padrão de franjas de interferênia. Rodando o dispositivo de 9º, os dois aminhos são omutados om relação ao movimento do éter, de modo que o feie que requeria t A para perorrer o braço do interferômetro passa a requerer t B e vie-versa. Como resultado, se houver uma diferença nestes tempos haverá um desloamento observável das franjas de interferênia à medida que o sistema todo é rodado. Vamos alular o movimento destas franjas após a rotação do dispositivo. Como vimos, a diferença entre os tempos de perurso é: t t B t A D / V v / V D / V v / V e, no presente aso, v é a veloidade do éter que orresponde à veloidade de translação da Terra (v ~ 3 4 m/s), enquanto V 3 8 m/s é a veloidade da luz. Com estes valores temos que: v V v ~ -8 C e neste aso as epressões aima podem ser epandidas usando a epansão binomial para <. ( + ) n + n... + n

25 8 de modo que uma boa aproimação para t é: D v t + v + ou D v t Esta diferença de tempo, orresponde a uma diferente de aminho de d t e se d orresponde a uma variação n franjas de interferênia d λ n e, portanto, t n λ Dv λ No eperimento realizado por Mihelson e Morley, D era da ordem m, o omprimento da luz usada era λ ~ 5 nm (nm -9 m) e, portanto, ao girarmos o aparelho 9º espera-se uma variação nas franjas de: 4 ( 3 ) 7 8 ( 3 ) n. franjas 5 Como este valor é invertido pela rotação, troando A por B, há uma reversão de fases, espera-se observar.4 franjas de desloamentos no total. Isto seria failmente observado segundo as estimativas de Mihelson, que previa uma sensibilidade de. franjas. O eperimento foi, mesmo, repetido em estações diferentes do ano para eliminar a possibilidade da terra estar momentaneamente em repouso em relação ao éter.

26 9 Contudo, para surpresa de todos não foi observada nenhuma variação no padrão das franjas, embora o eperimento fosse repetido em ondições diversas. Esqueendo a idéia do éter, o eperimento de Mihelson-Morley tem um aspeto muito importante om respeito à veloidade da luz quando emitida por fontes em movimento. A fonte esta fia na mesa rotatória e, portanto, podemos imaginar que a diferença de tempos de perurso alulados anteriormente seriam resultados das diferenças de veloidade da luz dependendo da direção da fonte. Ou seja, dependendo da direção que o feie é mandado, a veloidade variará desde + v até v. Esta edição de veloidades oorre de aordo om as transformadas de Galileo, apliável a orpos meânios, em movimento, et. A variação de veloidade também ausaria a variação de tempos e, portanto, de fase ao se rodar o eperimento, devendo oorrer um desloamento das franjas. Várias tentativas de eperimentos de M M usando diferentes onfigurações foram realizados e os resultados estão reunidos no gráfio da figura abaio. [Etraído de M. A. Handshy, Am. J. Phys. 5, 987 (94)] Desloamento de franjas esperado

27 Em resumo, o eperimento de M M também sugere a independênia da veloidade de propagação da luz om o movimento da fonte, violando o Prinipio da Independênia dos Movimentos de Galileo. Este resultado é de etrema importânia para o estabeleimento da relatividade. O eperimento de Mihelson-Morley não foi a únia tentativa eperimental de determinação do referenial absoluto. Em 94, Trouton e Noble realizaram um eperimento visando observar o torque num apaitor arregado. Considere duas argas de valor ± q, ligadas por uma haste rígida, segundo a figura.5. Como as forças de Coulomb estão na direção da haste, não há nenhum torque no sistema. Porém, omo as leis de Mawell são válidas somente no referenial fio em relação ao éter, o movimento das argas pelo éter faz om que isto represente a eistênia de uma densidade de orrente nas equações e, então, além dos ampos elétrios devido as argas, omo indiado na figura.5. Este onjunto de forças ausariam um torque de defleteria a haste. Trouton e Noble idealizaram um deliado sistema de suspensão onde pequenas defleões poderiam ser detetadas através da rotação de um espelho. Observações variadas foram realizadas para vários ângulos de v (veloidade do éter) om relação a haste, porém as defleões observadas nuna passaram de 5% do valor que era esperado, aso a idéia do éter fosse verdadeira. Fig..5 Capaitor de Trouton-Noble. As forças F advém do movimento das argas pelo éter. O resultado negativo do eperimento de Mihelson e Morley permitiu várias onlusões. Uma primeira possível epliação proposta por Mihelson era que o éter poderia ser arrastado pela Terra. Assim, movimenta-se junto om esta não permitindo observar variações no eperimento. Este fato requer uma força Terra-éter, o que era pouo provável de eistir e também produz disordânias em outro eperimento, o de aberração estelar, que disutiremos mais adiante. Uma Segunda alternativa, é que o éter ainda eiste, mas a luz não é uma onda propagando-se neste meio, mas sim omposta de partíulas sujeitas às leis da meânia Newtoniana. Neste aso, a veloidade destas

28 partíulas só dependeriam da veloidade da fonte e não do meio, não havendo, assim, nenhum efeito retardador, não ausando nenhum desloamento no padrão de interferênia. Isto é uma hipótese absurda, visto que as próprias franjas observadas demonstram o seu aráter ondulatório. Apesar de absurdo, esta Segunda hipótese germina a idéia de que aso a veloidade da luz seja independente do movimento da fonte (o que é de alguma forma uma nova lei da meânia), o resultado obtido faz muito sentido. Mesmo impliando que a luz omo um efeito ondulatório se propague obedeendo as leis da inemátia. De onlusivo os eperimentos eterminaram a idéia do éter e várias de suas propriedades. Destruindo o que foi uma das idéias mais respeitadas de sua époa. Contudo, não podemos esqueer que este eperimento germinou uma das hipóteses mais importantes em relatividade. Fitz-Gerald e, independentemente, H. Lorentz apresentaram uma hipótese interessante para justifiar a observação de Mihelson-Morley. Eles lançaram a idéia de que nenhuma variação de franjas seria observada se o braço do enterferometro paralelo ao movimento da terra sofresse uma ontração por um fator de ( v / ) /. Chegou-se a generalizar que qualquer orpo em movimento através do éter sofreria tal ontração paralela ao seu movimento. As onsiderações do Lorentz eram baseadas em um novo tipo de transformação de oordenadas usando um novo oneito de tempo real que dependerá do sistema de referenia. II.3 A MECÂNICA NEWTONIANA E A VELOCIDADE LIMITE De aordo om a meânia Newtoniana, não há, em prinipio, um limite superior para a veloidade imposta a um orpo. Imaginemos por eemplo um orpo sujeito a uma força onstante. Após um determinado intervalo de tempo t, supondo que iniialmente ele estava em repouso, temos que a veloidade adquirida pelo orpo será: K t F. d s om K v M

29 Por eemplo, seja um orpo onstantemente sujeito a aeleração da gravidade (g 9.8 m/s ). Partindo do repouso, após um ano sua veloidade seria igual à veloidade da luz no váuo. Após dois anos seria duas vezes esta veloidade. Assim, a veloidade atingida paree ilimitada. No entanto, quando tentamos obter veloidades tão altas quanto a luz, observamos um dramátio desvio da meânia newtoniana. Este eemplo pode ser visto omo um primeiro aso que demonstra que a meânia lássia onvenional não é adequada para todas as situações. É difíil obter altas veloidades om orpos que nos rodeiam no nosso otidiano. No entanto, om elétrons, devido a sua massa relativamente pequena em relação à sua arga, podemos atingir altíssimas veloidades através da apliação de ampos. Assim, onsideremos o arranjo eperimental da figura 6. Fig..6 Aelerador linear para elétrons O eperimento onsiste em medir o tempo de vôo de elétrons viajando através de um aelerador linear (Lina), que pode produzir elétrons om energias até a ordem de 5 MeV. Elétrons são injetados por um aelerador tipo Van der Graaff no Lina. Antes de penetrarem no Lina passam por um detetor sinalizando a entrada do pulso, sofrem então uma aeleração por forças elétrias. Após passarem pelo sistema, um diso de alumina freia o feie e um novo detetor mostra a hagada do pulso. A duração entre ambos os pulsos representa o tempo de vôo entre os etremos do Lina e permite o álulo da veloidade atingida pelos elétrons, ou outro tipo de partíula arregada. A energia inétia dos elétrons é determinada através da RF e da veloidade om que os elétrons são injetados. Para várias energias, medimos a veloidade através do tempo de vôo e os resultados estão mostrados na tabela..

30 3 8 K (MeV) t vôo ( seg) V ( 8 m/seg) Tabela. Os resultados são bastante distintos do que seria obtido aso a meânia newtoniana fosse utilizada. Isto fia mais evidente se fizermos um gráfio mostrando v vs K. Fig..7 Gráfio de veloidade final quadrátia versus a energia de aeleração. A previsão da meânia lássia é valida somente para baios valores de K. A veloidade paree ter uma valor limite de 3 8 m/s. Mais ainda, os resultados pareem onsistentes om a hipótese de que há uma veloidade limite para qualquer objeto, e esta é a veloidade da luz no váuo. Este resultado desperta muito a nossa uriosidade. Afinal, por que não é possível obter veloidades arbitrariamente altas se podemos forneer uma quantidade pratiamente ilimitada de energia a um orpo? Vamos ser tolerantes e aeitar que por alguma razão esta veloidade limite eiste. Imaginemos então que podemos realizar o eperimento aima, em um sistema de referenia om veloidade.85 na mesma direção dos elétrons. Para os pesquisadores deste novo sistema de referenia o limite também seria. Assim, pelas regras de adição

31 4 de veloidade que onheemos, quando para o referenial em movimento a partíula tem veloidade máima de, no laboratório mediríamos.85, violando laramente o limite que lançamos por hipótese. Estaria isto aonteendo devido ao fato que estamos somando erroneamente as veloidades? Vamos resolver o problema do movimento de um orpo sujeito a uma força onstante, modifiando levemente a dinâmia que onheemos. Após um determinado tempo t, F.t mv, mas vamos tomar omo num toque de mágia a massa omo sendo: m m ( v / ) -/, m é a massa do orpo quando este tem v. Assim, temos: Ft m o v ( v / ) isolando v temos: v ( t) m + Ft Vamos analisar dois asos etremos: ) Ft << m m / Ft >>, v(t) Ft / m Ft << m. Como é previsto pela meânia lássia. ) Ft >> m, v (t) Mostrando que pequenos impulsos reproduzem os resultados esperados pela meânia lássia. Já para grandes impulsos paree produzir-se uma veloidade limite, omo medida no eperimento omo elétrons. Estes fatos que mostramos despertam ainda mais nossa uriosidade para o desenvolvimento de uma nova meânia, onde as relações omo a mostrada por m m ( v / ) sejam válidas. É eatamente isto que desenvolveremos em nosso apítulo de relatividade.

32 5 II.4 TEORIA DA RELATIVIDADE ESPECIAL (a) Os Postulados Sempre que menionamos o movimento de um orpo, evidentemente estamos nos referindo ao movimento relativo a um determinado sistema de referênia. Este sistema de referênia pode ser um objeto, a superfíie da Terra, o entro da galáia, et. O que é importante é sempre espeifiar este sistema de referênia para todos os movimentos a que nos referimos. A idéia disutida anteriormente, da introdução do éter, foi uma tentativa de estabeleer um referenial universal absoluto, o qual falhou e deiou a idéia lara de que não eiste um sistema de referênia absoluto. Imaginemos dois balões em movimento asendente, de modo que um balão só pode observar o outro. Para o mais rápido o movimento do outro é desendente e vie-versa. Não há maneira de determinar o movimento real dos balões (om relação a Terra) se um só pode observar o outro. É importante neste ponto que tenhamos laro o fato que sem um sistema de referênia, o oneito de movimento pode não ter o menor signifiado. A teoria da relatividade espeial é o resultado do fato que não eiste um sistema de referênia absoluto. Esta teoria desenvolvida por Albert Einstein em 95 trata o problema de sistemas de referênia em movimento om veloidades onstantes (v onstante) uns em relação aos outros. No aso, de refereniais aelerados, o movimento deve ser analisados segundo a teoria da relatividade geral, que não será etensivamente analisada neste urso. A teoria da relatividade espeial é normalmente baseada em dois postulados fundamentais. º. Postulado: As leis da Físia devem ser desritas pelo mesmo onjunto de equações quando em qualquer sistema de referênia que se desloa om veloidade uniforme. Este postulado nos paree natural e nos faz muito sentido se analisarmos o fato de que não eiste um sistema de referênia absoluto. De modo que, para determinarmos e desrevermos o movimento de um orpo é preiso sempre ter o referenial. Caso eistisse uma dependênia das leis físias que desrevem o movimento, de aordo om o

33 6 fato do referenial usado estar ou não estaionário no espaço, signifia que poderíamos deidir absolutamente sobre o movimento do orpo. Para isto, bastaria analisar no seu sistema de referenia o movimento de um tereiro orpo, o que sabemos não ser o possível. º. Postulado: A veloidade da luz em qualquer sistema de referênia tem o mesmo valor, independente do movimento do referenial. Este postulado, de alguma forma, pode ser visto omo seguindo diretamente do postulado anterior e viola, de alguma forma, nossos oneitos intuitivos, baseados em nossa eperiênia otidiana; segundo a qual uma fonte que se movimenta om veloidade v deveria emitir luz agora se propagaria om + v. A própria natureza ondulatória da luz (omo em outros efeitos ondulatórios), assegura que sua veloidade de propagação deve ser propriedade do meio somente e não da fonte. A fim de justifiar e mostrar que este postulado é muito razoável, vamos onsiderar a determinação da veloidade da luz. Aeitando o primeiro postulado, que é muito razoável, tomamos que as equações de Mawell sejam válidas em qualquer referenial movendo-se om veloidade onstante. Neste aso, a equação da onda para propagação no váuo seria:. E 4πρ B E. t. B H 4π D j + t µε E E t onde µ e ε são a permissividade magnétia e elétria do váuo. Como já sabemos do nosso urso de eletromagnetismo, desta equação de onda a veloidade de propagação da radiação é dada por: µε

34 7 que depende somente das onstantes µ e ε do meio, sendo de maneira alguma dependente do movimento da fonte. A veloidade de propagação da luz, prevista pelas equações de Mawell, depende somente do meio e não do referenial. Supondo que os postulados aima sejam verdadeiros, muitos resultados interessantes podem ser deduzidos e onfirmados através de medidas eperimentais. Isto orresponde a um dos grandes triunfos da físia moderna. (b) Evidênias Eperimentais do Segundo Postulado Uma possível evidênia eperimental para o segundo postulado pode ser obtida se medirmos a veloidade da luz proveniente de uma fonte em movimento. Uma destas evidênias advém de observações feitas om estrelas duplas. Imagine um sistema de estrelas duplas, A e B, rotaionando ao redor de seu entro de massa (fig..8). Fig..8 - Estrela dupla emitindo luz Para um observador na Terra (T) é possível determinar se a estrela aproima-se através do efeito Doppler na luz emitida pela estrela. Considerando que a luz propaga om a mesma veloidade independente da fonte, a veloidade da estrela medida aqui na Terra omo função do tempo seria uma senóide (fig..9). Fig..9 - Veloidade das estrelas medida pelo efeito Doppler

35 8 Imagine agora que, quando a estrela se aproima, a veloidade é maior do que quando se afasta. Neste aso, a luz emitida na aproimação hega mais rápido ao observador do que na outra situação. O resultado é que o efeito Doppler observado depende de uma forma ompliada da posição resultando em uma senóide distorida omo função do tempo (fig..). Fig.. - Distorção esperada aso a veloidade da luz dependesse da veloidade da fonte. Num aso etremo, a luz emitida durante a aproimação poderia hegar ao observador antes da luz emitida durante seu próprio ilo de afastamento. Neste aso a medida seria onfusa, revelando dois ou mais valores para a veloidade num determinado instante. A observação eperimental de um sistema binário omo "Castor - C", mostra que o dado oinide muito bem omo a senóide, demonstrando a validade do segundo postulado. () Mudanças de Referênias: Transformações de Coordenadas Um fato importante em Físia é a araterização de um efeito do ponto de vista de observadores distintos. A maneira de se fazer isto é através das hamadas transformações de refereniais. Ao realizarmos tais transformações, teremos informações de omo um determinado evento físio será observado em um outro sistema de oordenadas em movimento em relação ao primeiro. A neessidade de manter válidas ertas leis fundamentais ao se fazer mudanças de oordenadas, apresentam onseqüênias interessantes, onde residem muitos dos fundamentos da relatividade espeial.

36 9 (.) Transformações Galileanas Vamos supor que estejamos num sistema de referênia S no qual um determinado evento oorra no tempo t, nas oordenadas (, y, z). Um observador estaionário num sistema de referênia S' que move-se om respeito a S om uma veloidade v, observará o mesmo evento omo oorrido no tempo t', nas oordenadas (', y', z'). Para simplifiar, vamos supor v v (figura.). A pergunta que fazemos é: Qual é a relação entre, y, z, t e ', y', z', t'? Vamos tomar que o tempo em ambos sistemas é medido a partir do instante em que as origens de S e S' oinidem, de modo que: Fig.. - Um evento físio observado de dois sistemas de referênias. ' vt e não havendo movimento relativo nas direções y e z, temos: y' y z' z e omo de nossa eperiênia otidiana, não há razão nenhuma para areditar que os relógios maradores de tempo em ambos os refereniais sejam diferentes, temos: t' t

37 Estas relações estão onetando o evento observado em dois refereniais distintos e são hamadas de Transformações Galileanas. Para onheer a relação entre as veloidades medidas em ada um destes refereniais, basta tomarmos as derivadas temporais (já que o tempo é omum em ambos), e obtemos: z z y y v dt dz v v dt dy v v v dt d v ' ' ' ' ' ' Vamos agora parar para pensar se as transformações Galileanas (tanto de oordenada quanto de veloidade), ontém os dois postulados básios disutidos anteriormente. Com relação ao segundo postulado, está evidente que as transformações Galileanas o violam, bastando para isto olhar a primeira equação aima, para o aso que v. O primeiro postulado é seriamente violado se onsiderarmos as equações de Mawell que desrevem os fenômenos eletromagnétios. Isto porque variações espaiais e temporais são misturadas de forma tal a fazer om que as equações originais peram sua forma. Vamos onsiderar a equação de onda eletromagnétia e fazer a transformação: + + t E z E y E E a transformação para ', y', z', t': ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' E v t E v t E t E t E E v t E E t t E z z E d y y E E E

38 ' t y' y ' y v t' t ' t... ' E E E + + y' z' t' E + E v v ' t' ' E A equação de onda para a radiação eletromagnétia não é invariante ao realizarmos a transformação Galileana. Isto é bastante estranho já que a onda eletromagnétia eiste em ambos refereniais e não há dúvida quanto a isto. Claramente está violando o primeiro postulado. Desta forma, onluímos que as transformações Galileanas violam os postulados básios da relatividade e para preservar sua validade devemos requerer um outro tipo de transformação entre as oordenadas de dois sistemas de referênia que enontram-se em movimento relativo. (.) Transformações de Lorentz Como vimos, as transformações de Galileu não ondizem om os postulados de relatividade, os quais onordamos que possuem grande sentido físio e, portanto, devem ser verdades. Uma transformação alternativa é neessária para manter os postulados verdadeiros. Vamos supor que tenhamos uma transformação que seja proporional à relação da transformação Galileana. Assim, tomamos: ' γ ( - vt) onde γ é uma onstante que deverá ser determinada. Uma pergunta natural que fazemos neste ponto é: "Por que este "hute" é aeitável?". Primeiramente a linearidade entre ' e é razoável, pois já que um evento observado em (S) deve orresponder a um únio evento observado em ' do referenial S". Caso tivéssemos algo do tipo ' α, teríamos mais de uma possibilidade no referenial S' para observação de um únio evento em S'. Além disto, sabemos que a

39 transformação proposta aima deve onordar om a transformação Galileana para a meânia ordinária, onde baiíssimas veloidades estão envolvidas. Assim γ perto da unidade representa o limite da meânia otidiana de baias veloidades. Do fato que as equações da físia, inluindo as equações de transformação de refereniais, devem Ter a mesma forma em ambos os refereniais S e S', preisamos somente troar o sinal de v, para desta forma levar em onta a mudança de direção do movimento e obtermos omo função de ' e t' no referenial S'. Revisando, a situação agora orresponde à observação de um evento que aontee em no tempo t para o referenial S. E que no referenial S' (que se desloa om veloidade v om relação a S) o mesmo evento é observado em ' e t'. Segundo a nossa proposta de transformação (fig..), a relação entre as oordenadas são: Fig.. ' γ (-vt) γ (' + vt') Como não há movimento relativo nas direções y e z, não há nada que indique diferenças entre y e y' e entre z e z', de modo que: y' y e z' z Note que os tempos t e t' não são iguais. Isto pode ser onfirmado se substituirmos ' na equação de.

40 3 γ ('+ vt') γ - γ vt + γ vt' de onde tiramos: γ t t v ' γ + γ Com isto, as equações de transformação obtidas são: ' γ ( vt) y' y z' z γ t' γt + v γ Para que estas transformações estejam de aordo om a relatividade, elas devem satisfazer ambos postulados disutidos anteriormente. Como ondição iniial, onsideramos que em t ambos os sistemas de referênias tenham suas origens oinidentes, de modo que: t, t' > ' orresponde Vamos tomar que em t t' uma lâmpada é aessa na origem S (que oinide om a origem S'). Como a luz propaga-se om a mesma veloidade em ambos os sistemas de referênia, temos as seguintes equações de movimento para a luz: t (em S) ' t' (em S') A fim de determinarmos a onstante γ, vamos tomar a equação ontendo t' e ' e substituir t' pela epressão aima: γ ' γt + γv

41 4 e substituindo ' γ (-vt) ( ) + v t vt γ γ γ γ eliminando desta questão tiramos: ( ) v t v t γ γ γ γ γ + oloando t em evidênia: ( ) + t v v γ γ γ γ γ mas omo vimos anteriormente, no referenial S, t, de modo que toda a epressão entre olhetes deve ser igual à unidade e, portanto: ( ) / v v v v + + γ γ γ γ γ γ γ γ permitindo obter o valor da onstante prourada. Utilizando esta onstante, temos que a transformação ompleta para um evento medido no referenial S para o mesmo evento medido no referenial S' (que se desloa om v na direção ) é:

42 5 vt ' v / y' y z' z t' v ( t ) v / Estas são as hamadas transformações de Lorentz, porque foram primeiramente sugeridas pelo físio alemão H. A Lorentz, omo sendo as transformações para mudança de referenial em movimento uniforme que mantêm invariantes as equações do eletromagnetismo. Somente muitos anos mais tarde é que Einstein entendeu o signifiado ompleto destas transformações. Elas ontêm embutidos os dois postulados fundamentais da relatividade espeial. Vamos supor que desejamos determinar a transformação inversa, isto é, dado um evento medido em S', omo enontramos as medidas feitas para o mesmo evento em S? A mudança é óbvia, basta mudarmos v por -v, já que a veloidade relativa é invertida e troamos ' e t t'. Esta substituição determina as transformações de Lorentz inversas: ' + vt' v / y y' z z' t t' + v v ' / (.3) A Simultaneidade de Eventos: Das transformadas de Lorentz, dois pontos hamam, de imediato, nossa atenção. Primeiramente, se tivermos dois eventos que oorrem simultaneamente num sistema de referênia, não neessariamente eles serão simultâneos num outro referenial. Para ver isto vamos supor que duas lâmpadas separadas por L no referenial S sejam aesas simultaneamente por um observador neste referenial. Como isto é visto por um observador em S'? Para o referenial S, t t t. Para o observador no referenial S'

43 6 t ' t ' v ( t ) ( v / ) v ( t ) ( v / ) de modo que a diferença de tempo entre os eventos para S' é: t' t ' t ' v ( ) ( v / ) omo - L t' Lv / ( v / ) Um segundo ponto importante a ser observado das transformações é que quando a veloidade relativa v entre os refereniais S e S' é bastante pequena, quando omparadas om a veloidade da luz (v/ «), as transformações de Lorentz são reduzidas às transformações Galileanas, omo já havíamos requerido anteriormente. Este fato permite nos anteipar a seguinte onlusão: as peuliaridades da relatividade espeial que estudaremos neste urso só serão marantes nos asos ou em irunstânias onde grandes veloidades estão presentes. Os efeitos da relatividade passam pratiamente desperebidos nos movimentos rotineiros do dia-a-dia. (.4) A Contração Espaial Vamos onsiderar outra importante onseqüênia das transformadas de Lorentz. Seja uma haste oloada ao longo da direção no referenial S. Neste referenial as oordenadas das etremidades da haste são e, de modo que seu omprimento para o referenial S é: L o -

44 7 que denominaremos de omprimento da barra no referenial no qual a barra está em repouso. Consideremos agora, a mesma grandeza omprimento" medida num referenial S' que se movimenta om veloidade v paralela à barra. Fig..3 Chamado de L o omprimento da barra medido pelo referenial S' a pergunta que fazemos é: Qual a relação entre L e L o?. Ou em outras palavras, se numa rodovia eiste no aostamento uma barra no hão e um arro trafegando pela rodovia. Este mede a barra mais omprida, igual, ou mais urta do que seu tamanho medindo em repouso? Para alularmos o omprimento L da Barra (em S') vamos apliar as transformadas de Lorentz às oordenadas das etremidades. Usando as epressões e fazendo a diferença de om, e onsiderando que ambas posições das etremidades podem ser lidas simultaneamente, ' + vt' v / ' + vt' v / L L L v / ' ' v / ou L L ( v / )

45 8 Assim, "o omprimento de um objeto em movimento em relação ao observador paree mais urto do que quando o objeto está em repouso em relação ao observador". Este fenômeno é onheido omo ontração de Lorentz-Fitz-Gerald. Observemos que devido à dependênia da epressão om y não faz nenhuma diferença quem hamamos S ou S'. Se o omprimento de um foguete na plataforma de partida é L o, observaremos um omprimento L após o foguete adquirir veloidade v, quando medimos daqui da terra. Da mesma forma para o astronauta no foguete, tudo que fiou na Terra apresenta um omprimento mais urto por um fator de (-(v/) ) /. O omprimento de um objeto é máimo quando medido por um observador em repouso em relação a ele. O fator (-(v/) ) / é eatamente a razão entre L/L o e, portanto, representa a porentagem de diminuição do tamanho do objeto. L L v / Para um orpo om veloidade de Km/seg., a ontração seria: L L o que representa uma ontração de.56%. Caso o orpo tenha veloidade de.9, teria uma ontração da ordem de 44%. É importante salientar que a ontração espaial somente oorre nas oordenadas da direção do movimento. Se o movimento é paralelo a, as dimensões y e z não são inalteradas e representam as mesmas medidas em S e S'. (.5) Dilatação Temporal Como já vimos, as transformações de Lorentz levam ao resultado não tradiional de que intervalos de tempo são afetados pelo movimento relativo. Relógios em movimento om relação ao observador pareem andar diferente do que quando em repouso. Se um aonteimento é observado omo tendo a duração de tempo t no

46 9 referenial S, o mesmo evento tem uma duração menor no referenial S'. Este efeito é onheido omo dilatação temporal. Vamos derivar a dilatação temporal a partir das transformadas de Lorentz. Imaginemos um relógio num ponto ' do referenial S' em movimento. Quando um observador neste referenial observar t', um observador no referenial S enontrará t, de modo que: t t ' + v v' / Após a deorrênia de um intervalo de tempo t' em S' o observador deste referenial mede t, enquanto o observador em S observa t, tal que: t t v ' + v' / Subtraindo ambas relações: t t t' t' v / omo t - t t e t' - t' t' t t' v / que é a relação para a dilatação temporal para um relógio em movimento. Como um eemplo para a dilatação temporal, vamos onsiderar as partíulas hamadas mésons - µ. Estas partíulas apresentam um tempo de vida da ordem -6 seg. e pode aqui ser onsiderado omo um pequeno relógio. Isto signifia que após sua produção, deorre este intervalo de tempo médio medido no referenial em que o méson está em repouso (referenial de repouso) até que o méson - µ deai em elétrons. Os mésons - µ são produzidos na alta atmosfera por raios ósmios provenientes do espaço e são observados em grande quantidade ao nível do mar, mas se levarmos em onta sua

47 3 veloidade da ordem de m/seg., e seu tempo de vida t o -6 seg., a distânia que tais partíulas poderiam perorrer antes de deair seria: y vt o m omo eles são riados em altitudes pelo menos vezes maiores e deveriam deair antes de atingirem a superfíie. Vamos agora resolver o problema mais realistiamente usando relatividade. Primeiramente, eaminando o problema do referenial da partíula, no qual seu tempo de vida é -6 seg. e no qual haverá um perurso de 6 m, em média, antes do deaimento. Esta distânia é, no entanto, mais urta do que aquela observada por um observador na Terra pelo fator (-(v/) ) /. Ou seja, a distânia para um observador na superfíie da Terra seria: y y y 6 v / y v / 998 (. ) ~ 95m o que justifia plenamente observar tais partíulas na superfíie. Alternativamente, podemos analisar o problema a partir de um observador na superfíie da Terra. Nesse referenial, o tempo de vida é alterado pela dilatação temporal, e o novo tempo de vida é: t t' v / 6 (.998) seg e, portanto, a distânia perorrida antes do deaimento é: y o v t m que também justifia perfeitamente a observação destas partíulas na superfíie da Terra.

48 3 (.6) Alguns Eslareimentos sobre Medidas em Repouso e em Movimento. Após termos estudado duas importantes onseqüênias das transformações de Lorentz: a ontração espaial e a dilatação temporal, uma série de dúvidas envolvendo situações distintas surgem naturalmente. Vamos onsiderar uma série de situações que sejam ilustrativas e eslareedoras. Antes de iniiarmos, é importante afirmar que a maneira om que medidas de tempo e omprimento são realizadas por diferentes observadores são fundamentais em relatividade, e embora muitas vezes uma determinada situação seja totalmente equivalente entre onsiderarmos um referenial em movimento e outro parado ou vieversa, estas situações são bastante distintas na maneira om que as grandezas são medidas e isto deve distinguir totalmente os dois sistemas de referênia. Consideremos iniialmente medidas de intervalos de tempo. Seja uma plataforma rígida sobre a qual é oloada uma fonte de liz, um espelho e um relógio, omo mostra a figura abaio: Fig..4 - Plataforma / fonte de luz. Vamos imaginar dois eventos, a saber saída e retorno de um pulso de luz emitido pela fonte. Queremos medir o intervalo de tempo entre dois eventos: saída e retorno. Para um observador sobre a plataforma esta é uma questão trivial e o tempo medido é eatamente t' L/. Independentemente da plataforma estar em movimento, o tempo de oorrênia de ada evento foi medido pelo mesmo relógio que estava presente em ada um dos eventos entre os quais estamos medindo o intervalo de tempo. O evento global iniiou e terminou no mesmo relógio, ou seja, a medida de tempo foi realizada para os dois eventos na mesma posição em S'. Este é denominado de intervalo de tempo próprio, medido sempre pelo mesmo relógio.

49 3 Considere agora a plataforma em movimento om veloidade v. Vejamos omo um observador estaionário, vendo a plataforma se desloar, vê o evento aima. O quadro visto pelo observador está representado abaio, os dois eventos não mais oorrem no mesmo ponto. Fig..5 - Plataforma em movimento om fonte de luz Levando em onta o fato que a veloidade da luz propaga-se om veloidade, a distânia total perorrida pela luz agora é (L + (v t/) ) / e, portanto, temos que: t v t L + de onde podemos resolver para t e tirarmos: t L v / Assim, o intervalo de tempo deorrido entre os dois mesmos eventos é diferente para os dois refereniais. É etremamente importante observar que no segundo aso, referenial S em repouso, os dois eventos oorreram em diferentes pontos do espaço, enquanto no primeiro referenial fio na plataforma eles oorreram no mesmo ponto. Isto fez om que no aso do referenial estaionário, oorrendo em pontos diferentes, os eventos foram neessariamente medidos om relógios diferentes, já que se fossem feitos pelo mesmo relógio, signifiaria que o relógio teve que se movimentar junto om a plataforma. O que desaraterizaria nossa onsideração que trata de um observador em

50 33 repouso. Assim, o intervalo de tempo medido por este observador é o intervalo de tempo impróprio. E a dilatação temporal pode ser mais apropriadamente esrita omo: t próprio t impróprio v / Este eemplo tem omo mensagem prinipal salientar as diferenças intrínseas de omo uma medida é realizada num sistema de referênia em repouso ou em outro em movimento. Para relatividade espeial o "relógio" que mede o tempo de oorrênia dos eventos deve ser oloado preisamente na posição onde o evento oorre. Alguém pode perguntar omo o observador em S no eemplo anterior mede o tempo entre os eventos, já que o relógio tem que estar fio? Certamente ele deve possuir uma oleção de relógios sinronizados (no mesmo ponto do espaço) e levados para as várias diferentes posições, omo mostrado na fig..6. Assim, a medida que o dispositivo se desloa, ele passa pela linha de relógios e a diferença de tempo ou o intervalo de tempo entre dois eventos é medido pela diferença de leituras entre dois relógios. No aso dos eventos onsiderados, entre os relógios 3 e 3. Note que eiste uma diferença oneitual bastante grande entre os tempos medidos por observadores em S e S' e entender isto é essenial para entendermos as onseqüênias da relatividade espeial. Fig..6 - Seqüênia de relógios apazes de medir intervalos de tempo no referenial em repouso. É muito omum, quando desrevemos a dilatação temporal, a afirmação que relógios em movimento andam mais devagar. Não há nada errada om isto, mas leva a um aparente paradoo. Suponha que um relógio A esteja em movimento om relação a outro B. Desta forma, A anda mais devagar que B. No entanto, do ponto de vista do relógio A, B é que anda mais devagar, isto ria uma ontradição. A qual na verdade não eiste, já que somente em um dos refereniais a diferença de tempo entre dois eventos

51 34 poderá ser medida por um únio relógio. Tempo em relatividade só tem signifiado quando representa a diferença de oorrênia entre dois eventos, e neste aso o tempo próprio é sempre menor. O aparente paradoo aima na verdade não eiste. Lembrando que a relatividade espeial trata de efeitos inemátios entre observações do mesmo evento feitas de diferentes refereniais. Assim, sempre é válido dizer que os relógios em movimento andam mais devagar, se soubermos o que signifia. No entanto, seria mais apropriado se dissermos que: "O relógio que mede o intervalo de tempo próprio entre dois eventos, mede um intervalo menor do que relógios medindo o intervalo de tempo impróprio entre estes mesmos eventos". É ainda importante salientar que o meanismo do relógio não é afetado pelo movimento, e que é errôneo dizer que a dilatação temporal ou qualquer outro efeito em relatividade oorre devido ao fato que a observação feita de um evento leva algum tempo para atingir o observador, porque aminha om a veloidade da luz. Após esta breve disussão sobre medidas de tempo, vamos semelhantemente fazer medidas de omprimento. O importante aqui é omo estas medidas são realizadas por diferentes observadores, ou o que entendemos por medida de omprimento. Com isto poderemos verifiar a ontração espaial de uma forma alternativa. Seja um veíulo que se desloa om veloidade v perorrendo um ponto A, até outro B, obrindo uma distânia L num tempo L/v. O intervalo de tempo medido pelo observador no veíulo é um intervalo próprio, já que saída e hegada são medidas pelo mesmo relógio. Por outro lado, o tempo L/v medido no referenial S (parado em relação a A-B) é impróprio, pois foi medido neessariamente por relógios diferentes. Deve fiar laro que os dois eventos que estamos medindo aqui são: arro passa pela mara A, arro passa pela mara B e lembramos que qualquer medida deve ser feita om o instrumento (no aso relógio) na posição do evento, pois omo vimos realizadas em posições diferentes não neessitam ser simultâneas.

52 35 Fig..7 - Medida da distânia A B por um observador em movimento Assim, temos que: (S') tempo próprio L/v (-(v/) ) / (S) tempo impróprio L/v Como a veloidade é a mesma em ambos sistemas de referênia, o omprimento medido pelo piloto do veíulo (S') é: L' vt (tempo próprio) L' L v / enquanto L é medido em S. É importante notar que a dilatação temporal leva neessariamente a ontração espaial, já que a veloidade é preservada entre os dois refereniais. Além disso, deve fiar laro que a relatividade espeial onstitui-se no efeito inemátio em medidas e, portanto, de um modo geral, omprimento é medido através do onheimento da veloidade e do tempo. A utilização de réguas é uma medida puramente estátia e, portanto, feita em referenial onde o objeto a ser medido está em repouso. Vamos analisar um segundo eperimento de medida espaial. Seja uma barra om duas maras A e B separadas por uma distânia L, que se movimenta om relação a outra barra na qual temos as maras A' e B'. Quando medidas no referenial de repouso das barras, ambas distânias tem dimensão L. Tiramos agora uma fotografia quando a primeira barra desloa-se em relação a Segunda om veloidade v. A questão é AB e A'B' serão iguais na foto? Ou seja, se A oinide om A', B' oinidirá om B? Para evitar problemas om atrasos na propagação da luz a âmera é oloada eatamente a meia distânia das maras (fig..8).

53 36 Fig..8 - Comparação de duas barras de mesmo tamanho, uma em movimento e a outra em repouso. É evidente que na fotografia ambas as maras oinidirão, já que estamos realizando o mesmo tipo de medida e omparando eventos distintos em pontos distintos do espaço. Não estamos de forma alguma fazendo uma medida inemátia, onde o efeito de sua veloidade se manifeste. A fim de verifiarmos a ontração espaial é preiso termos um observador em movimento fazendo medida de tempo. Se onsiderarmos um observador em A, ele medirá um intervalo de tempo entre os eventos A passa A' e A passa B' (fig..9) que é um intervalo de tempo próprio. Enquanto se ompararmos o intervalo medido por dois relógios posiionados em A' e B' mediremos o tempo impróprio L/v. Desta forma, para o observador em A (em movimento), a medida de L pode ser tirada de : L' v L v v ou seja L' L v Fig..9 - Esquema do eperimento para medir distânia entre AB pelo observador em movimento.

54 37 Baseado no eperimento aima, afirmamos que o omprimento entre as maras (que poderia ser o metro padrão) sofreu uma ontração quando medida no referenial em movimento. Daí afirmamos que, para um observador em movimento os objetos em repouso pareem ontrair de tamanho. Isto gera um aparente paradoo: "Como pode ser que um metro padrão movendo-se paree ter diminuído de tamanho om respeito a outro no laboratório, quando para um observador no metro em movimento, o laboratório está se movendo e, portanto, para ele o metro no laboratório deve ter ontraído?" Este aparente paradoo pode ser failmente resolvido se lembrarmos que dois eventos que oorrem simultaneamente em um referenial não são simultâneos num segundo referenial em movimento om relação ao primeiro. No aso em questão, os eventos A passa por A' e B passa por B' são simultâneos no laboratório (por eemplo, medidas om auílio da fotografia), mas não são simultâneos para um observador movendo-se em relação ao laboratório. E não sendo simultâneos não podem ser usados para medida de omprimento, omo sendo uma medida em repouso. Assim, o paradoo não eiste porque embora seja "relativamente equivalente" o movimento de ambos refereniais, as medidas realizadas nestes refereniais são ompletamente não equivalentes. O primeiro passo para entendermos os resultados previstos pela relatividade espeial é entender o signifiado da realização de uma medida. (.7) Massa Relativístia Até agora, vimos que grandezas fundamentais omo tempo e omprimento só têm signifiado quando o referenial no qual elas são observadas é espeífio, e que os valores destas grandezas medidas neste referenial estão relaionadas om as feitas em outro referenial. Isto faz om que um dado evento que oorra no tempo e no espaço tenha aspetos diferentes em ada referenial. No entanto, segundo o primeiro postulado da relatividade, as leis de movimento observadas em ada referenial deve ter a mesma forma. Vamos analisar a olisão elástia entre dois orpos sendo observada de dois sistemas de referênia distintos e vamos onsiderar os prinípios de onservação de momentum e energia.

55 38 Na olisão elástia a energia meânia é onservada. Sejam duas partíulas A e B, A está iniialmente em repouso no referenial S e B está iniialmente em repouso no referenial S', o qual se move om veloidade v relativa a S na direção + (fig..). Ambos os orpos são idêntios. Fig.. - Iníio da olisão entre dois orpos. A veloidade v A em S e B tem veloidade v' B em S' Num determinado intervalo de tempo, simultaneamente A omeça a mover-se om V A na direção +y enquanto B move-se om V' B na direção -y'. Para simplifiar, vamos tomar V A V' B fazendo om que ada orpo seja idêntio ao outro em ada um dos refereniais. O aspeto da olisão vista por ada um dos refereniais é diferente. No entanto, para ada um o omportamento da olisão é o mesmo, de modo que S "vê" A da mesma forma que S' "vê" B (fig..). A olisão omo vista por ada um dos refereniais está mostrada abaio: Fig.. - Colisão vista por um dos refereniais.

56 39 Após a olisão, A retorna na direção -y om veloidade V A, enquanto B retorna na direção +y' om veloidade V' B. Se a distânia entre eles era iniialmente Y, o observador em S enontra a olisão em y Y/ enquanto que para S' oorre y'y/. O tempo gasto por A para sair da posição iniial, olidir e regressar é T o, que medido por S é: T Y V A e para B medido em S' T o Y/V' B. Para o observador em S, o momentum é onservado e, portanto, a omponente y do momentum permite esrever m A V A m B V B onde m A, m B, V A, V B são as massas e veloidades medidas em S. A veloidade V B, pode ser alulada em S omo: Y V B T onde T é o tempo neessário para B realizar sua ida e retorno quando medido por S. Como este tempo visto por S' é T o, temos que T T o (-(v/) ) -/, de aordo om a dilatação temporal vista anteriormente. Assim, a veloidade de B medida por S é: V B Y v T / e usando V A Y/T e V B na equação de onservação de momentum, tiramos: m A m B v / Como assumimos iniialmente que A e B são idêntios quando em repouso om relação a um observador omum, devemos atribuir a diferença entre as massas ao fato que eles estão em movimento relativo. Assim, da mesma forma que espaço e tempo,

57 4 massa também é uma grandeza que depende do movimento relativo entre o observador e o objeto observado. Se hamamos m A m o omo sendo a massa medida quando o orpo está em repouso em relação a S, a massa medida por um observador em S' (para o qual a massa desloa-se om v) será m B m e, portanto: m m v / é a relação relativístia para a massa. A massa medida para um orpo que desloa-se om veloidade v é maior do que aquela medida quando o orpo está em repouso. Assim, a massa relativístia é uma onseqüênia do fato que a lei de onservação de momentum deve ser válida em ambos os refereniais omo assegurado pelo primeiro postulado da relatividade. Com respeito à meânia newtoniana, ela é válida se o momentum é definido omo mv e, portanto, a segunda lei de Newton passa a ser epressa por: d m v F dt v / d dt ( mv) ou seja, sempre devemos onsiderar a variação temporal do momentum e não apenas da veloidade. O aumento relativístio da massa só é importante para veloidades próimas à veloidade da luz. No momento, somente partíulas atômias e subatômias omo elétrons, prótons, mésons, et são os que apresentam veloidades sufiientes para que efeitos relativístios sejam medidos. Historiamente, a primeira onfirmação eperimental da massa relativístia foi feita em 98 quando Buherer verifiou que a relação e/m para elétrons era maior para elétrons lentos. Algumas medidas eperimentais da relação m(v)/mo para elétrons são mostradas no gráfio (Fig..) a seguir:

58 4 Fig.. - Variação da massa inerial do elétron omo função da veloidade. O valor iniial de mo é denominado de massa de repouso, enquanto m é hamado de massa inerial. Esta nomenlatura aplia-se para todas as partíulas. (.8) A Relação Massa e Energia A partir dos postulados da relatividade espeial é possível obter uma importante relação entre massa-energia, o que onsiste numa das mais famosas relações obtidas por A. Einstein. Utilizando a definição de energia inétia omo sendo o trabalho realizado por uma força para trazer o orpo do repouso até o presente estado de movimento, podemos esrever para o aso da força paralela ao desloamento: K s Fds onde F é o omponente da força apliada na direção do movimento (desloamento ds). Usando F d (mv)/dt, temos: K s ( mv) d dt ds s vd ( mv) que pode ser substituído pela relação da massa relativístia, K s vd m v v /

59 4 Integrando por partes, temos: K m v v v m v / vdv v / + m v / ou seja: K m m ( m m ) que estabelee que a energia inétia de um orpo é igual ao aumento de sua massa omo onseqüênia de seu movimento relativo, multipliado pela veloidade da luz ao quadrado. Se interpretamos m omo a energia total do orpo E, quando o orpo não apresenta movimento K, terminamos om o fato que o orpo apresenta omo energia total para o seu estado de repouso a energia E m que é denominada de energia de repouso. Como m orresponde à energia total do orpo ela resulta da adição de energia inétia om a energia de repouso, ou seja: E K + m o m sendo m m o (-(v/) ) / temos que: E m v / Vamos tomar esta relação e elevar ao quadrado: m 4 4 m v /

60 43 de onde obtemos: m - m v m Como p mv, obtemos: m 4 p + m 4 ou E p + m 4 Como sendo a relação momentum energia relativístia amplamente utilizada em olisões, et. (.9) Diagramas Espaço-Tempo Ao derivarmos as transformações de Lorentz anteriormente, somente onsideramos asos onde a luz se propaga na direção. Poderíamos, no entanto, ter tratado o problema para a luz propagando-se em qualquer direção. Afinal, a omposição de todas as direções resulta na luz propagando-se om a mesma veloidade. Vamos onsiderar o seguinte eemplo: Suponhamos que um flash de luz é emitido em t na origem de S. Este pulso propaga-se em todas as direções de modo que num instante mais tarde t, o pulso alançou a região orrespondente a uma esfera de raio r t e entrada na origem de S. Se o mesmo fenômeno é observado do referenial S', uja origem só oinide om a origem de S em t' t. O mesmo fato é observado, sendo agora uma esfera de raio r' t' e entrada na origem de S'. Tomemos a equação r t e esrevendo em termos das oordenadas artesianas temos: + y + z t usando as transformações de Lorentz para, y, z e t, obtemos: γ (' + vt') + y + z γ (t' + v' / )

61 44 desenvolvendo, obtemos: γ ( - v / ) + y + z γ t ( - v ) de onde temos que: + y + z' t que novamente define uma esfera entrada na origem de S'. Assim, a luz é desrita omo epandindo-se esferiamente em ambos os sistemas de referênia. Uma forma bastante onveniente de mostrar a "estória" ompleta de um determinado movimento unidimensional é através de um diagrama representando nos eios posição e tempo, ou melhor, t. Estes diagramas são ostumeiramente menionados omo diagramas de Minkowski, em homenagem ao ientista que os introduziu. Neste diagrama, um evento em S é desrito pelas oordenadas (, t) e em S' por (', t'), as quais estão relaionadas pelas transformações de Lorentz. É interessante utilizar t ao invés de tempo por uma questão de esala e também devido ao fato que a propagação da luz neste sistema é representada pela bissetriz do quadrante t. Outros sistemas de referênia são representados no mesmo diagrama, por eios não ortogonais. Refereniais om veloidade positiva em S apresentam eios formando ângulos menores que 9 e refereniais om veloida des negativas, ângulos maiores que 9 (fig..5). Fig..3 - Eios para vários refereniais.

62 45 Qualquer evento P tem duas oordenadas em ada referenial determinadas troando-se retas paralelas aos respetivos eios e passando pelo ponto. Automatiamente, temos as leituras de oordenadas em diversos refereniais. Notemos que a quantidade: r (t) - é um invariante do problema, sendo verdadeira em qualquer referenial e, por isso, é denominada de invariante do espaço-tempo. Isto signifia que, dado um evento, em qualquer referenial a quantidade aima tem o mesmo valor. Não vamos nos ater a interpretação de r, porém r representa a propagação de um sinal de luz e r - temos a esala dos eios do sistema. É importante notar que no diagrama de Minkowski os eios representando os vários refereniais não apresentam a mesma esala. De fato, a hipérbole - (t) determina os pontos da esala dos vários refereniais. Fiará omo eeríio verifiar que a quantidade r é um invariante. Se estivermos onsiderando dois eventos distintos de e t, a quantidade s ( t) ( ) é hamado de intervalo no espaço-tempo; e para qualquer referenial que observe este evento é, também, um invariante. No aso de s é laro que estamos tratando de eventos onetados via raio de luz. As quantidades invariantes em relatividade são importantes porque representam o equivalente às onstantes de movimento que estamos aostumados. De um modo geral, estas quantidades envolvem quatro grandezas distintas e por isso são denominadas de quadro-vetores. Assim, o quadro-vetor espaço-tempo (visto anteriormente) relaiona as três oordenadas espaiais e o tempo (, t). Um outro quadro-vetor importante é o momento-energia (p, E/) que representa o estado dinâmio da partíula. Da mesma forma que espaço-tempo, a quantidade p + p y + p z E

63 46 é um invariante físio, tendo o mesmo valor para qualquer referenial inerial. Assim, onsideremos uma partíula em repouso num determinado referenial. Neste aso seu quadro-veto é (, E /). Para um outro referenial, esta partíula pode estar desloandose de modo que (p, E/). Da invariânia deste quadro-vetor obtemos que é a relação energia-momentum obtida anteriormente. (.) Cinemátia Relativístia e as Transformadas de Veloidade Um dos postulados da relatividade espeial definido no omeço de nossa eposição estabelee que a veloidade da luz no espaço livre tem o mesmo valor para todos os observadores independentemente de seus movimentos relativos. No entanto, sabemos de nossa eperiênia otidiana que este resultado não é válido para bolas atiradas de trens em movimento ou disparos de espingardas feitos em movimento, et. A fim de obtermos resultados que englobem ambos os asos, vamos determinar a partir das transformações de Lorentz as leis de omposição de veloidade. Ou melhor, as relações que transformam veloidades observadas num referenial para veloidades observadas em outros refereniais. Vamos novamente onsiderar dois refereniais S e S', om S' movendo-se om veloidade v na direção om relação a S. Seja também um objeto que se move om veloidade (V, V y, V z ) no referenial S. A pergunta que fazemos é: Como esta veloidade está relaionada om a outra. (V ', V y', V ' ) medida no referenial S'? Para um observador em S as omponentes da veloidade são: V V V y z d dt dy dt dz dt enquanto que para um observador em S'

64 47 V V V ' y' z' d' dt' dy' dt' dz' dt' Considerando as transformações de Lorentz, temos que o diferenial das variáveis são dados por: V ' d' dt' d vdt v dt d Utilizando-se estas equações aima, obtemos que: V ' d dt v ou v d dt V ' V v v V De forma semelhante: V y' dy' dt' dy dt vd v / de onde tiramos: V dy dt y' v / v d dt V y' V y v v V / e finalmente para a veloidade Z,

65 48 V z' V z v / V v Estas três relações onstituem as transformações relativístias de veloidade, e é interessante notar que as omponentes de veloidade y' e z' são afetadas pela omponente e não somente por y e z, omo no aso das transformadas de oordenadas. Se onsiderarmos situações onde v «, de modo que v/ ~, obtemos que omo esperado e de aordo om a observação de fatos do otidiano. Imaginemos (V, V y, V z ), neste aso temos que obter as transformadas inversas, as quais podem ser obtidas troando v por -v e oloando V, V y, V z no lugar de V ', V Y',V z' e vie-versa. Assim, as transformadas são: V V V y z V' + v vv + V V y' z' v vv + / v / vv + Como eemplo ilustrativo, imaginemos uma fonte de luz que desloa-se om veloidade v. Qual é a veloidade da luz medida por um observador em repouso? Considerando as transformadas inversas aima om V ', temos: + v V v + e V y V z. As relações de transformação de veloidades são importantes para uma série de efeitos observáveis e que veremos a seguir.

66 49 II.5 - Apliações e Eemplos em Relatividade Espeial Vamos nesta parte onsiderar alguns eemplos que são apliações dos vários oneitos disutidos até o momento. (a) O Paradoo dos Gêmeos Como dissemos anteriormente, intervalos de tempo medidos por observadores em movimento são menores. Vamos analisar a seguinte situação: Dois gêmeos estão em repouso na Terra. Um dos gêmeos toma um foguete e parte para uma viagem a um planeta distante. Enquanto este está em sua viagem, o gêmeo que fiou na Terra afirma que o relógio de seu irmão anda mais devagar e, portanto, quando este retornar a Terra ele será mais jovem do que ele que permaneeu na Terra. Podemos, no entanto, perguntar omo o gêmeo do foguete vê a situação. Para ele, em repouso em relação ao foguete, é omo se seu irmão que fiou na Terra tivesse viajado junto om a Terra e retornado. Assim, quando se reenontraram, o gêmeo que estava no foguete pensa que seu irmão que fiou na Terra está mais jovem. Afinal, quem está mais jovem? Fig..4 - Esquema representando o paradoo dos gêmeos. Este aparente paradoo é resolvido se observarmos uidadosamente que as situações epostas aima não são equivalentes. A situação físia do gêmeo na Terra observar a viagem do foguete não é equivalente à situação onde o gêmeo no foguete observa a viagem da Terra. A diferença físia entre as situações é que o gêmeo do foguete sofrerá períodos de movimento aelerado (iníio, retorno e fim), enquanto que, para seu irmão, na Terra isto não oorre. Este movimento aelerado distingue laramente

67 5 as duas situações. Isto permite onluir que o gêmeo do foguete é o que está mais jovem. Esta situação pode ser resolvida matematiamente, envolvendo uma disussão quando os observadores estão aelerados, o que é mais apropriado para a teoria da relatividade geral. Assim, omo vimos, a situação não apresenta reiproidade. Para mostrarmos isto, vamos demonstrar que o tempo deorrido em relógios movimentando-se no espaço tempo depende do aminho realizado pelos relógios. Consideremos dois relógios R e R, iniialmente sinronizados e loalizados em omo mostra a fig..4. O relógio R permanee em repouso no ponto enquanto R faz uma viagem que passa por alguns pontos e retorna ao ponto, om veloidade tomada omo v.8. Fig..5 - Representação no diagrama t vs da situação dos gêmeos. Na figura mostramos o diagrama espaço-tempo (t vs ) para a situação desrita. O relógio R move-se de para A e, então, retorna a B. O relógio R apenas desloa-se no eio do tempo, enquanto R move-se também no eio das oordenadas. Calulamos o tempo deorrido em ada um dos relógios. A relação entre o tempo próprio e o impróprio é: dτ dt v / dt d onde usamos vdt d. Para o desloamento do relógio R, d (não há desloamento de oordenadas) e, portanto, o intervalo de tempo deorrido entre o desloamento B será:

68 5 τ B dt T B T T já para o aminho OAB, o tempo deorrido será: A B dτ + dτ dτ dt τ A A A ( d) omo d vdt, temos: A v v T τ dt ou τ T v / Observamos que τ > τ mostrando que quando os relógios voltam a ser onfrontados no ponto B sempre haverá uma diferença, sendo que o relógio que desloase sempre mostrará um tempo menor. Conlusão: o gêmeo no foguete estará mais jovem do que seu irmão. Note que os trehos de aeleração foram desprezados. (b) Emissão de luz por um objeto em movimento Seja um objeto (por eemplo um átomo) que move-se om veloidade v ao longo da direção. O referido orpo emite raios de luz, que no seu próprio sistema de referênia faz um ângulo θ om o eio '. A pergunta que queremos responder é: Qual será o ângulo θ entre o feie de luz e o eio observado no referenial em repouso (fig..6)?

69 5 Fig..6 - Emissão de luz por fonte em movimento. No referenial S' a luz propaga-se om: U ' os θ' U y' sen θ' usando as relações de transformação de veloidades: U U y osθ ' + v osθ ' + v v osθ ' v osθ ' + + senθ ' v / v osθ ' + Desta forma o ângulo θ é definido omo: U tanθ U y senθ ' v / osθ ' + v / Consideremos agora, que o orpo em questão emita luz em todas as direções uniformemente, quando visto de seu referenial. Devido a relação angular anterior, para um observador, o ângulo de emissão om relação à direção de movimento paree fiar menor. A onseqüênia disto é que para um observador parado a luz paree estar mais onentrada ao longo da direção do movimento. (fig..7).

70 53 Fig..7 - Anisotropia de emissão omo feito relativístio. No limite v, sen θ o que implia que toda luz aminha onentrada na direção do movimento. Isto é uma observação rotineira nos aeleradores. Para pequenas veloidades, podemos epandir: + v v e osθ ' v v osθ ' de onde tiramos: v senθ senθ ' senθ ' mostrando a onentração da luz ao longo da direção de movimento. Emissões ao longo de θ ou π não são afetadas pelo movimento. Eemplos prátios desta observação podem ser feitos em aeleradores de elétrons e prótons. () O Efeito Cerenkov Como vimos, a massa relativístia de um orpo impõe uma espéie de limite na veloidade que o orpo pode ter om respeito a um observador.

71 54 m m v / Quando a veloidade do orpo aproima-se da veloidade da luz, sua massa aproima-se do infinito. Neste aso, uma força infinita seria neessária para oloar o orpo numa veloidade tal que sua massa seria infinita, e omo não eistem massa ou forças infinitas onluímos que não há orpos desloando-se om veloidade superior ou igual a. Em determinados meios omo água, vidro, ar, et., a veloidade da luz é inferior ao seu valor no váuo. E em tais meios podemos enontrar partíulas que se movem om veloidade superior à da luz naqueles meios, jamais, no entanto, superior à luz no váuo. Fig..8 - Partíula radiante num meio, deiando um one de radiação após sua passagem Quando partíulas arregadas propagam-se em tais meios om veloidades aima da luz naquele meio, um one de luz é emitido (Fig..8) num proesso pareido daquele das ondas emitidas por um baro que propaga-se om uma veloidade aima das veloidades das ondas na água. Esta radiação emitida é denominada de Radiação Cerenkov. Consideremos o meio de índie de refração n, definido omo: n velo. luz váuo velo. luz meio

72 55 de modo que a veloidade da luz no meio é /n, que no aso em questão é inferior à veloidade v da partíula. À medida que a partíula arregada propaga-se no meio, olisões provoam emissão de luz, que propaga-se à veloidade /n. A radiação emitida propaga-se em todas as direções, mas omo a partíula é mais rápida, a frente de onda da radiação propaga-se e nuna atinge a partíula. Pelo esquema aima, a radiação originada no ponto propaga-se t/n, enquanto que a partíula desloou-se de vt, deiando para trás este one de Cerenkov. O ângulo de abertura do one é dado por: ( / n) sen θ vt nv (d) Derivação Alternativa da Relação Massa-Energia A dedução do equivalente massa-energia pode ser feita de várias formas diferentes. Uma das formas sugeridas por Einstein utiliza a noção de que o entro de massa de um sistema não pode mover-se quando não eistem agentes eternos atuando sobre o sistema. Neste eemplo, imaginemos uma aia fehada e vedada. De uma das etremidades desta aia é emitido um pulso de luz, omo mostra a fig..9. Quando a emissão oorre, a aia sofre um reuo devido à onservação de momentum. Quando a radiação é reabsorvida no outro lado o momentum é removido da aia e novamente o sistema volta ao repouso. Durante o tempo de vôo do pulso de luz dentro da aia, esta sofreu um desloamento s. Como areditamos que o entro de massa não mudou de posição, devemos aeitar que o pulso de luz transferiu uma erta quantidade de massa de um etremo para outro da aia. Fig..9 - Sistema imaginado para obtenção da relação massa-energia.

73 56 Vamos alular a quantidade de massa transferida pela luz, a fim de que o entro de massa não seja alterado. Para simplifiar o problema, vamos supor que metade da massa da aia está onentrada em ada etremo da mesma e, portanto, iniialmente distantes L/ do entro de massa. O pulso de luz, que apresenta massa zero, arrega um momentum dado por P pul E/, pois pela relação E (p) + (m ) om m e, sendo E a energia orrespondente do pulso. Vamos onsiderar que esta quantidade de energia transferida orresponde a uma massa m. Antes de emitir a aia tem massa M e após M - m, e veloidade v. Do prinípio de onservação de momentum: P aia P pulso ( M m) E de onde obtemos: E V ( M m) E M já que M» m dado por: O tempo de vôo da luz é da ordem de t L/ e, assim, o desloamento da aia é EL s vt ~ M Após a luz ser absorvida e a aia deiar de mover-se, temos M/ - m de massa à esquerda e M/ + m à direita. Como supusemos que o entro de massa não alterou, a transferênia de massa deve ter sido ompensada pelo desloamento de modo que: M L m + s M L + m s resolvendo, temos:

74 57 M s M EL m E m L L M Como vimos, a energia E m é assoiada à partíula eiste uma quantidade de massa de repouso m o, de modo que desontando a energia de repouso, o resto é energia inétia. Assim: E inétia ~ v m + m mv reduzindo-se à epressão já onheida. Assim, para baias veloidades podemos esrever: E mv + m (e) Luz Propagando-se num Meio em Movimento: O Coefiiente de Arrastamento A luz passando por um meio que tem índie de refração n, propaga-se om veloidade /n. Se o meio desloa-se om veloidade v paralelo à propagação da luz, qual é a veloidade observada por um referenial fora do meio (Fig..3), em repouso? Fig..3 - Luz propagando-se num meio em movimento Usando adição de veloidades V' + v V vv' +

75 58 Sendo V ' /n, temos: V / n + v v + n n vn + + v n para v «, vamos epandir o termo em parênteses e realizar a multipliação, mantendo até a primeira ordem: V ~ n n + v Assim, temos o termo esperado, mais um termo de arrastamento devido ao movimento do meio. O oefiiente f - /n é hamado de oefiiente de arraste de Fresnel. (f) Aberração Estelar Utilizando-se as leis de omposição de veloidade podemos alular a aparente mudança na direção quando um orpo estelar é observado. Vamos onsiderar omo referenial estaionário o sol (ref. S Fig..3) e omo referenial em movimento (S') a Terra em seu movimento orbital. Seja uma estrela que para um observador em S esteja inlinada a um ângulo θ om relação ao plano de órbita da Terra. Para um observador em S' a inlinação é θ' que difere de θ por uma quantidade α. Fig..3 - Observação de uma estrela por observador em movimento. Assim, θ θ' + α. Para um observador em S, a luz hega a ele om as omponentes.

76 59 V - os θ V y - sen θ enquanto para um observador em S', movimentando-se om veloidade v em S, as omponentes da veloidade da luz que hega são diferentes e daí a origem da aberração ou mudança na direção de observação. Utilizando as equações para omposição de veloidades e podemos verifiar obviamente que V + V y, não violando, desta forma, o segundo postulado. Assim, o ângulo e' do qual a luz provém para S' é: osθ ' V ' osθ + v / v osθ + e, para v «, temos: osθ ' ~ osθ + v sen θ Como θ' θ + α, temos os θ' os θ os α. E, sendo a pequeno temos os α ~ e sen α ~ α: osθ + αsen θ osθ + v sen θ de onde obtemos: α ~ v senθ que é o desvio ausado pelo movimento. Note que estamos tomando o movimento da Terra omo uniforme num urto período. Neste aso v ~ 3 Km/seg. o que leva a um α ~ -4 rad para sen θ. (g) Efeito Doppler Relativístio O efeito Doppler relativístio é qualitativamente equivalente ao mesmo efeito observado om som quando fonte e/ou observador estão em movimento. Neste aso,

77 6 devido ao movimento da fonte ou do observador, o omprimento de onda do fenômeno ondulatório é alterado. A título de ilustração, antes de estudarmos o efeito Doppler relativístio, onsideremos uma fonte sonora em movimento om veloidade v, emitindo ondas sonoras na freqüênia υ (freqüênia para o observador no referenial de repouso da fonte). Em t, a fonte emitiu um máimo da onda, o próimo será emitido em um tempo τ após a primeira. E neste aso ela já não se enontra na posição da emissão da primeira, pois a fonte se desloou (u veloidade da onda no meio, v veloidade da fonte, fig..3). Fig..3 - Efeito Doppler Sonoro. Devido ao movimento da fonte, o omprimento de onda observado é alterado. Se a fonte vai de enontro ao observador (e vie-versa) há uma aparente diminuição no omprimento de onda observado. E no aso de afastamento fonte-observador, há um aparente aumento do omprimento de onda. Para o aso aima: λ' uτ vτ ( u v)τ omo λ' u / υ', já que a veloidade de propagação da onda no meio não é alterada, e τ / υ, temos: u u v v' v

78 6 ou seja: v' v v u Assim, devido ao movimento da fonte, o observador notará uma maior freqüênia (aso v > ) ou no aso da fonte se afastando (v < ) uma menor freqüênia. Após esta introdução preliminar, voltemos nossa atenção ao aso semelhante em relatividade espeial. Suponhamos uma fonte de radiação eletromagnétia loalizada na origem de um sistema de referênia S onsiderado estaionário e um observador em repouso em S' que desloa-se om veloidade v em relação a S. Cada pulso emitido viaja om veloidade, e estes pulsos são emitidos periodiamente om período τ. Assim, em t O é emitido o primeiro pulso, em t τ o segundo e assim suessivamente, até t nτ quando é emitido o (n + ) ézimo pulso. Vamos analisar omo esta situação é observada pelo observador em S'. Cada vez que o pulso passa pelo observador, ele evidentemente o deteta. Se oloarmos num diagrama t vs o desloamento do observador e de ada pulso emitido, ada vez que houver ruzamento entre a propagação do pulso e a do observador é porque houve deteção de um pulso (fig..33). Fig Diagrama espaço-tempo para propagação da radiação e desloamento do observador. A pergunta que fazemos é: Qual é a periodiidade (ou frequênia) que o observador reebe os pulsos? Entre os pontos (, t ) e (, t ) o observador reebeu n pulsos: t + vt

79 6 (t - nτ ) + vt e destas temos duas equações: v n t t τ e v vn τ Isto é observado por S. Se quisermos saber o observado por S', utilizamos as transformações de Lorentz : ( ) ( ) / / v v t t t t e substituindo os resultados obtidos temos: ( ) / ' ' v v v n t t τ Como este período refere-se à observação de n pulsos, temos que o período observado em S' é: ( ) / ' ' ' ' v v v n t t τ τ τ epandindo v v / / ' + τ τ ou em termos de freqüênias: v v v V / / ' +

80 63 Assim, o efeito Doppler relativístio, segue qualitativamente o que já dissemos, om modifiações quantitativas ausadas pelas restrições impostas pela relatividade espeial. (h) Colisão: Um Eemplo de Conservação Energia-Momentum Vamos onsiderar, agora, um eemplo envolvendo onservação de energia e momentum. Seja a olisão entre uma partíula de massa de repouso m o, energia E o e momentum P o om uma outra semelhante a esta, porém em repouso. Considerando que as partíulas emergirão da olisão om a mesma energia e momentum, pergunta-se: "Qual será o ângulo de espalhamento θ (fig..34)? ". Fig Colisão não frontal entre duas partíulas de mesma massa de repouso que emergem da olisão om iguais momento energia. Tratando o aso onde as partíulas emergem om mesmo p e E, a onservação de momentum na direção y requer que os ângulos de espalhamentos sejam iguais, omo mostrado na figura aima. Conservação de energia e momentum nos permite esrever: P o p os θ E o + m o E e omo E - (p) (m o ), a primeira equação fia: 4 E m E m 4 osθ

81 64 e substituindo nesta última equação E (E o + m o ) /, obtemos: ( E + m ) 4 E m m 4 osθ de onde é possível eliminar θ : osθ E E + m + 3m No regime de baias veloidades, E o ~ m o, de onde obtemos os θ ~ () -/ ou θ 45. Isto orresponde eatamente à situação não relativístia já onheida. Um segundo eemplo é a olisão frontal entre duas partíulas de massas de repouso diferentes. Assim, seja uma partíula de massa m o, energia E o e momentum p, que olide frontalmente om uma segunda partíula de massa M o, em repouso. Após a olisão, a primeira partíula emerge om (p, E ) e a segunda om (p, E ). Conheendo (p o, E o ), queremos determinar a situação pós olisão (fig..35). Fig Situação pós olisão. Pela observação de momentum e energia, p o p + p E o + M o E + E A equação relativa à onservação de energia pode ser onvertida em: E M P + m + P M

82 65 onde usamos a relação momentum-energia. Substituindo p p o - p, temos: ( ) 4 4 m p p M p M E que quadrando resulta em: ( ) ( )( ) ( ) m p p M p M E M p M E Usando E o (p o ) + (m o ) e desenvolvendo o primeiro termo obtemos: ( ) 4 4 p p M p M E M M E + + que é equivalente à: ( ) M p M E p p M M E que pode ser novamente quadrada e após eliminarmos p, obtemos: ( ) 4 4 m M E M M E M p p e, onseqüentemente: ( ) m C M E C M M m P p + + Um aso partiular de interesse é quando m o M o, onde teremos p e p p o, mostrando que neste aso a partíula fia em repouso edendo totalmente seu momentum para. No limite de baias energias, E o ~ m o, as epressões aima resultam em:

83 66 M p p m + M m M p p m + M que orresponde ao resultado esperado no aso não relativístio. (i) Colisão Fóton Átomo Vamos onsiderar a olisão entre uma partíula de massa zero (o fóton) om uma partíula massiva (o átomo). Seja M o a massa atômia e E o a energia do fóton. Imaginando o átomo iniialmente em repouso, queremos determinar a veloidade adquirida pelo átomo devido à absorção. Antes e após a absorção a energia se onserva, de modo que: E E o + M o Se uma partíula tem momentum p e veloidade v, vale a relação: p mv m v ve ou p ve Como o momentum do átomo após a olisão será o mesmo que o do fóton antes da olisão, já que o momentum se onserva, P, e omo E E o + M o, podemos P fóton E esrever: E ( E + M ). v

84 67 ou seja, a veloidade adquirida pelo átomo após absorção é: v E E + M normalmente denominada de veloidade de reuo durante a absorção. O proesso de absorção também está aompanhado de uma variação de massa, ausada pela porção de energia transferida. Assim, é natural perguntarmos qual é a nova massa do átomo após a absorção? Para o átomo, a nova massa de repouso será M. e E p + M 4 E p, E E o + M o substituindo E e p na relação energia-momentum, tiramos: (E o + M o ) E o + M C 4 de modo que: M E M 4 + M 4 ou E M M + M Mostrando que a massa de repouso do átomo sofre variação. (j) Breve Análise do Movimento Uniformemente Aelerado Vamos brevemente analisar omo o movimento aelerado é visto em outros refereniais ineriais. Note que os refereniais ontinuam não aelerados e, portanto, a relatividade espeial ontinua válida. Consideremos um orpo uniformemente aelerado

85 68 no referenial S' que se move om veloidade v relativo a S. Para um observador em S', a equação horária deste orpo aelerado é dada por: ' ' ' t a Para enontrarmos a posição omo função do tempo para o observador no referenial S, vamos utilizar a transformada de Lorentz: / ' / ' v t v vt v e substituindo aima fornee: ( ) / ' v t a vt v Note que embora o movimento seja aelerado, os refereniais ainda são ineriais. A equação aima é quadrátia em t e, podendo ser failmente resolvida, forneendo: t t a a t a t a a β γ γβ γβ γβ γβ ' ' ' ' ' onde / v γ e v β Usando a relação ( ) / β γ, a epressão anterior é reduzida a: + t a t a a γ β γβ γβ ' ' '

86 69 que representa a equação horária de um movimento uniformemente aelerado (num referenial S'), visto num outro referenial S. Se onsiderarmos que para pequenos tempos a veloidade do orpo ainda não reseu muito, podemos epandir a equação aima e obtemos: a' γβt a' β a' β + + t t +... a' γβ γ γ e onsiderando somente termos até Segunda ordem em t, a' β t + t γ Assim, para tempos urtos, a aeleração medida em S é dada por: a a' ( 3 / v / ) Como eemplo, analise o movimento de queda livre visto por um balão que sobe (ou dese) om veloidade onstante v em relação a terra. Verifique diferenças que seriam observadas nos tempos de queda. (II.6) A Relação Força e Aeleração Da meânia de Newton, aprendemos que força e aeleração são paralelas. dv F m ma dt Queremos eaminar esta relação do ponto de vista relativístio, onde momentum tem agora uma nova definição. É importante lembrar que omo em relatividade os omponentes de veloidades estão independentes, suas variações também farão o que pode ausar, do ponto de vista vetorial, onsideráveis alterações na dependênia forçaaeleração.

87 7 Iniiamos om a epressão: dt d p F de modo que: + v v v dt d v m dt dv m v dt d m F Para a última derivada temos: dt dv v v dt d v 3 / Assim, dt dv v v vm dt dv M F v 3 / + Para failitar nossa análise, vamos alular o produto v F. : ( ) ( ) dt dv v m v m dt dv v v m dt dv v m F v v v v 3 / 3 3 / 3 /. + + dt dv v m o v 3 / Assim podemos identifiar rapidamente que uma maneira de esrever v dt d é:. m F v dt d v

88 7 Como a definição de aeleração é dv a, temos que: dt F m v v v a + F. ou seja: a m v v v F F. mostrando laramente que, relativistiamente, aeleração e força não são paralelas, ao ontrário da meânia newtoniana. É laro que este efeito é onsiderável a altíssimas v veloidades já que o desvio do paralelismo entre a e F é proporinal a ( ). Esta quebra do paralelismo entre aeleração e força é onsequênia direta do fato que nenhuma veloidade pode eeder e do fato que a veloidade depende de todos os omponentes espaiais, não somente da direção da força. Caso F v, então a // F. Neste aso a força é inapaz de variar o módulo de v, somente sua direção, omo já onheido. (II.7) Relatividade Espeial e o Eletromagnetismo Uma das áreas da Físia onde a relatividade tem o maior impato é o eletromagnetismo. Se onsiderarmos que a arga elétria é invariante sob transformação de Lorentz é possível, a partir da lei de Coulomb, obter as leis básias do eletromagnetismo. Assim, por eemplo, imaginemos duas argas q e q movendo-se om veloidade v paralelamente a. No referenial em repouso (S), eistirá uma força magnétia entre elas. Já no referenial S', que desloa-se om v, não haverá forçamagnétia; porém, haverá uma força entre elas de natureza elétria. Deste eemplo vemos que do ponto de vista relativístio o ampo elétrio e magnétio não eistem omo entidades separadas, mas sim são ombinados omo um únio oneito em eletromagnetismo.

89 7 Normalmente em eletromagnetismo é importante onheermos densidade de arga e orrente. Desta forma verifiar omo estas quantidades se transformam é essenial, já que elas são as fontes de ampos. Consideremos um ondutor de seção transversal A o e omprimento l o ontendo N elétrons e loalizado paralelo ao eio ' no referenial S' que desloa-se om v em relação a S. A densidade de arga é ρ Ne / A o l o e a densidade de orrente é j o, pois as argas não se movimentam neste referenial (Fig..36). Fig Condutor observado de dois refereniais. Observemos a situação por S om relação ao qual o ondutor arregado desloase om v. Neste referenial o omprimento do ondutor é I l o (-v/) ) / enquanto a seção transversal permanee inalterada. Como a arga não muda, a nova densidade de arga é dada por: ρ Ne A v / a densidade de orrente será j ρ v. Portanto: ρ j ρ v v / ρ v / Um tratamento mais geral, no aso das argas estarem movendo-se também no referenial S', leva às seguintes transformações:

90 73 j' j' y y j v j ρv / j' z j e ρ vj ρ' v z / / onde j, j y, j z e p são observados por S, enquanto que j', j' y, j' z e p' são observados por S'. Como um eemplo das transformações aima, onsideremos um ondutor que onduz orrente e está em repouso em relação a S. Neste aso, as argas negativas desloam-se (elétrons) em relação a S om veloidade u, enquanto que as argas positivas estão em repouso. A densidade de arga neste referenial é: ρ ρ + + ρ pois ρ + Ne e ρ -Ne. A densidade de orrente é j j + + j ρ +. + ρ - u ρ - u. Pelo fato que a densidade de arga é nula, não haverá observação de ampo elétrio. Contudo, haverá um ampo magnétio devido a movimentação das argas negativas. Vamos agora observar este ondutor de um outro referenial S' que desloa-se om v om relação a S, omo mostra a figo.37. Fig..37

91 74 Visto por S' a densidade de arga será: ρ vj / ρ ρ ' ρ' + ρ' v / + vj v / / omo ρ + Ne e ρ - -Ne, j + e j - ρ - u, da transformação anterior tiramos que: ρ ' Nevu / v / de modo que observado pelo referenial S' o ondutor não é neutro, apresentando arga positiva, e onsequentemente observa-se um ampo elétrio em S'. Da mesma forma, j' ~ e um ampo magnétio também é observado em S'. Este eemplo demonstra de forma lara nossa frase iniial de que pela relatividade espeial, eletriidade e magnetismo devem ser onsiderados omo sendo um únio oneito, dependendo apenas do referenial. (II.8) - Breve Introdução à Teoria da Relatividade Geral Após entendermos as prinipais onsiderações da teoria da relatividade restrita, fiamos onvenidos que nada pode viajar om veloidade superior à veloidade da luz no váuo. Isto ria ertos problemas, um dos quais está assoiado à lei da Gravitação. Segundo essa lei, F Gm g M/r, onde r é a distânia entre as massas. A pergunta é: se eu destruísse uma das massas instantaneamente, será que a Segunda massa pereberia instantaneamente? Ou esta reação à distânia demoraria erto tempo? Outro ponto importante é que na meânia de Newton, a massa inerial (F m i a) e a massa gravitaional m g são sempre onsideradas idêntias, fato que meree uma epliação mais fundamental. Além destas questões, o problema de refereniais não ineriais, não inluídos na relatividade espeial, mereem ser onsiderados. Embebido em todas estas questões, Einstein (96) formulou a teoria da relatividade geral, na qual o prinípio da equivalênia é seu resultado mais signifiativo. Da mesma maneira que a relatividade espeial foi fortemente motivada por eperimentos omo o de Mihelson-Morley, a relatividade geral também teve seus 76 passos iniiais motivados no eperimento de Eotvos (9), que tinha omo propósito

92 75 demonstrar a equivalênia entre massa inerial e massa gravitaional. Quando uma força age sobre um orpo, ela o faz sobre a massa inerial (m i ). Já a gravidade age sobre a massa gravitaional. Assim, sejam dois orpos em queda sob a ação da gravidade, adquirindo aelerações a e a : m m i i a a m g m g GM r GM r ou dividindo as equações: m m i g a a m m i g Assim, se a / a fiaria provada a equivalênia entre a massa inerial e gravitaional. O eperimento mais deisivo nesta equivalênia foi feito em 9 por R.V. Eotuos. Em seu eperimento um pêndulo oloado na superfíie da Terra vertialmente sem osilação fia sujeito a duas forças, a gravitaional e a entrífuga (Fig..38). O pêndulo loaliza-se ao longo da resultante R. A força entrífuga age na massa inerial enquanto a gravitaional em m g. Fig o ângulo entre o pêndulo e a direção do entro da terra é função de m i /m g. A a resultante não está na direção do entro da Terra, mas fazendo um erto ângulo θ om esta, de modo que (veja detalhe no diagrama da fig..38). tanθ m ω r i m g g e m m i g ω r g e

93 76 Variando a latitude, pode-se observar a variação de θ. Os eperimentos realizados mostraram que se houver diferenças entre m i e m g, esta é menor que -8. Eperimentos mais reentes hegam a -. Com estes resultados, Einstein enuniou o hamado Prinípio da Equivalênia: "Os efeitos produzidos pelo ampo gravitaional são idêntios aos produzidos por aeleração. E não há maneiras de distinguir um do outro, eles são ompletamente equivalentes". Isto equivale dizer que se tivermos num sistema de referênia onde há um ampo gravitaional e não há aeleração e um segundo onde não há ampo gravitaional, mas há aeleração, om respeito ao primeiro. Apesar do primeiro ser um referenial inerial (pois não há aeleração) e o segundo não ser inerial, eles são fisiamente idêntios. Ou seja, eperimentos realizados em situações equivalentes nestes dois refereniais levarão a resultados idêntios (situação equivalente signifia a g). Ou ainda, sistemas aelerados ou em ampos gravitaionais são equivalentes. De aordo om Einstein, isto mostra que não há sistema de referênia aelerado que seja absoluto. O movimento em qualquer sistema aelerado também é relativo. Vamos agora analisar algumas situações em relatividade geral. A primeira delas é o hamado desloamento gravitaional para o vermelho das linhas espetrais (ou relógios em ampos gravitaionais). Considere dois observadores E e R, separados por uma distânia d num referenial na presença de um ampo gravitaional uniforme g (Fig..39). Fig o sistema de referênia na presença de um ampo gravitaional é equivalente ao sistema movendo om a -g.

94 77 Uma situação equivalente é riada num segundo sistema de referênia Si que não tem ampo gravitaional, mas move-se om uma aeleração a -g. O prinípio da equivalênia afirma que ambos refereniais são equivalentes. Suponha que tenhamos um o átomo loalizado na posição E e que emita um fóton de seqüênia υ. Estando no ampo gravitaional (S g ), queremos saber qual é a freqüênia detetada pelo reeptor R. Como pelo prinípio da equivalênia esta situação é análoga ao referenial aelerado a -g, vamos analisar a situação neste aso. Considerando que ambos refereniais estavam em repouso em t, quando o sinal foi emitido, o tempo para atingir R é t d/. Neste tempo, ambos os observadores (E, R) adquirem uma veloidade v gd/ e, portanto, no instante que o sinal hega ao reeptor ele afasta-se om veloidade v gd/ e, portanto, observa o sinal defasado para o vermelho.utilizando nosso onheimento do efeito Doppler, a freqüênia observada é dada por: temos: v / v v, epandindo esta epressão, + v / 3 v v β + β em primeira ordem: v gd v Assim, podemos onluir que quando a luz aminha ontrária ao ampo gravitaional ela fia mais vermelha. Isto pode ser pensado omo a luz perdendo energia quando propaga-se ontra o ampo gravitaional. É laro que se invertemos o reeptor om o emissor, a luz agora propaga-se no sentido da gravidade e o desloamento será o azul. Em 96 este fato foi onfirmado eperimentalmente e obteve-se: V ep V teor.5 ±. Se pulsos são emitidos periodiamente omo se fosse um relógio, o período variaria om a altitude ( T ~ / υ ):

95 78 T ( h) T + hd mostrando que relógios oloados em ampo gravitaional passam a andar mais devagar de aordo om sua altitude. Uma maneira diferente de obter este mesmo resultado (embora não ompletamente orreta) é imaginar o fóton de luz omo tendo massa h υ m, ou seja m h υ /. Portanto, ao esalar um ampo g, a energia perdida seria mgd: hv hv hv v ou gd v gd Utilizando-se argumentos semelhantes, pode-se alular a defleão da luz por grandes ampos gravitaionais. Supondo que o fóton tem massa m, possui um parâmetro de impato s e o orpo massivo apresenta massa M. Com isso, podemos alular o ângulo (Fig..4): Fig..4 - Defleão da luz por um orpo massivo. Da teoria de espalhamento temos: θ GMm GM tg msv sv

96 79 Substituindo v por temos que: θ GM tg s II.9 - Eeríios ) Imagine um eperimento onde uma partíula é aelerada por uma força uja amplitude aumenta no tempo na forma F 6 t (em unidades CGS). a) alule o tempo neessário para v.5 b) repita o item "a", onsiderando m m o / (-v / ) / ) disuta a diferença entre os resultados ) No eperimento de Mihelson-Morley o omprimento de ada braço é de m e a luz de Sódio λ foi utilizada. Se o sistema tem sensibilidade para uma variação de.5 franjas, qual é o limite na determinação da veloidade da Terra através do suposto "éter"? 3) O eperimento de Mihelson-Morley é onsiderado "um eperimento de Segunda ordem", porque o efeito depende de (v/). Vamos onsiderar o seguinte eperimento de primeira ordem. Em t um observador em A envia um sinal para um observador em B, a uma distânia L de A. B mara o tempo de hegada. Supondo que o sistema move-se através de um éter om veloidade v, omo mostrado na figura abaio: Considere que o laboratório é agora rodado de 8 e o eperimento é repetido. Mostre que a diferença das medidas de tempo em ambas situações é: t v

97 8 Disuta uma possível situação onde este efeito possa ser observado. Aplique para o aso de um eperimento realizado na Terra e verifique a viabilidade de medida. 4) Um observador na Terra mede o omprimento de uma nave espaial omo sendo metade do omprimento próprio da nave. Qual é a veloidade desta nave? 5) Um avião move-se a m/s sobre a superfíie da Terra. Determine em quanto tempo um relógio no avião levará para fiar seg. atrasados om respeito a um relógio na Terra. 6) Um átomo radioativo deai em µs. Qual será o tempo de deaimento quando medido por um observador no laboratório om relação ao qual o átomo desloa-se om.8? 7) Para um observador dois eventos oorrem separados de m num intervalo de tempo de seg. Qual seria o tempo próprio para a oorrênia destes dois eventos? 8) Um foguete viaja om veloidade.4 8 m/s. O relógio do astronauta e o da base foram sinronizados (t t' em ' ). Se o astronauta observa um relógio na base através de um telesópio. Qual tempo ele observará na base quando seu próprio relógio 3 seg.? O que ele observa no seu próprio relógio quando o da base mara 3 seg.? 9) Mostre que a equação de onda eletromagnétia é invariante sob a transformação de Lorentz. E E t ) Uma partíula instável om tempo de vida média de 4 µs é produzida num aelerador e projetada om veloidade.6. Qual será seu tempo de vida medido no laboratório? Qual é a distânia média que a partíula perorrerá no laboratório antes de desintegrar? ) Um "metro" move-se ao longo do eio om veloidade.6. O ponto médio do metro passa por um observador em repouso em t. Determinado pelo observador, onde estão as etremidades do metro no instante da medida?

98 8 ) Dois eventos que oorrem no mesmo lugar do espaço e estão separados de 4 seg., medidos por um observador. Se um segundo observador mede um intervalo de 5 seg. entre os eventos, qual é a separação espaial destes eventos para este segundo observador? 3) Uma partíula move-se om veloidade.8 fazendo um ângulo de 3 om o eio, determinado no referenial S. Qual será a veloidade da partíula quando observada por um observador movendo-se om -.6 ao longo do eio - '? 4) Calule o momentum de um elétron om q Mev de energia. 5) Qual é a máima veloidade que uma partíula pode ter, de modo que sua energia alulada por mv / não apresente erro superior a.5 %? 6) Duas partíulas idêntias de massa de repouso m o, olidem frontalmente ada uma tendo veloidade u. A olisão é perfeitamente inelástia formando um orpo ompato. Determine a massa de repouso deste orpo omposto. Compare o valor obtido om m o. 7) Uma partíula de massa de repouso m o e veloidade.8 faz uma olisão ompletamente inelástia om outra de massa 3 m o e iniialmente em repouso. Qual é a massa de repouso e a veloidade da partíula resultante? 8) Uma estrela afasta-se da Terra om veloidade.5. Qual é o desloamento Doppler para a linha D do Sódio (589 A o )? 9) Neste eeríio faremos uma estimativa da massa de um Burao Negro. Suponha que a densidade do Burao Negro é idêntia à do Sol. Assim, qual deve ser seu raio (e onsequentemente sua massa) para que a luz não possa esapar da sua atração gravitaional? Dia: Suponha que a veloidade de esape é.

99 Universidade de São Paulo Instituto de Físia de São Carlos Departamento de Físia e Ciênia dos Materiais FÍSICA MODERNA ELEMENTAR CAPÍTULO III INTRODUÇÃO À ATOMÍSTICA Autores: Prof. Vanderlei Salvador Bagnato Prof. Luís Gustavo Marassa São Carlos Maio 999

100 CAPÍTULO III INTRODUÇÃO À ATOMÍSTICA III. - Introdução: A hipótese que toda matéria é onstituída de porções denominadas de átomos teve sua origem na Gréia antiga, e sua introdução na iênia moderna oorreu iniialmente na químia por Dalton através de duas leis básias bastante apliadas nas reações químias. O fato que em qualquer reação químia os elementos ombinam-se em proporções bem definidas suporta muito bem a hipótese de que a matéria é onstituída de átomos. Coube à químia, de um modo geral, introduzir de forma lara e definida o oneito e a difereniação entre elemento e moléula. A hipótese de Avogadro de que um determinado volume de gás, nas mesmas ondições de temperatura e pressão, sempre ontinha o mesmo número de onstituintes dava pela primeira vez uma forma para se medir a massa ou tamanho do átomo. Numa quantidade de matéria hamada MOL, eiste um número fio de onstituintes No Este número é de etrema importânia em atomístia, pois determina a "esala" que oneta o mundo atômio ao mundo marosópio. A determinação do número de Avogadro, através de várias ténias diferentes, hegando-se ao mesmo resultado, foi fundamental para o iníio da atomístia, pois omprovou algumas hipóteses básias sobre a onstituição da matéria. As evidênias de que tudo na natureza tem uma onstituição atômia não restringiram-se somente aos fatos propostos e observados pelos químios, naturalmente. Diversos eperimentos, tais omo o de Rutherford e o de Geiger, foram fundamentais para o desenvolvimento e estabeleimento deste novo aspeto da onstituição da matéria, bem omo sua omposição e propriedades. Neste apítulo pretendemos desrever alguns eperimentos histórios na área, os quais não somente foram importantes para revelar a natureza atômia da matéria e de seus subonstituintes, mas também pela interessante metodologia utilizada. Após uma breve apresentação destes eperimentos, disutiremos em maior detalhe a teoria inétia dos gases que nos permitirá onetar, ou onstruir, a partir dos onstituintes mirosópios básios do gás, as propriedades marosópias utilizadas. Disutiremos em detalhes os suessos e fraassos da teoria atomístia lássia, nasida no séulo

101 3 anterior, e as neessidades de inová-la para epliação de outros fenômenos. Por fim, apliaremos a teoria inétia dos gases para epliar alguns fenômenos de transporte observados em gases, líquidos ou mesmo sólidos. Este é um importante apítulo da Físia Moderna, pois graças ao estabeleimento da onstituição atômia da matéria é que aelerou o desenvolvimento tenológio que assistimos as onseqüênias hoje em dia. III. - Método de Perrin para Determinação do Número de Avogadro (N o ) Começaremos nosso estudo de atomístia disutindo a onstante de Avogadro, ujo valor é de etrema importânia e de difíil determinação. Como já dissemos, o onheimento de N o signifia onetar o mundo mirosópio om o marosópio, dando-nos a hane de imaginar e estimar o tamanho e massa de ada onstituinte da matéria. De um modo geral, toda relação que envolve o número de Avogadro fornee uma forma de medi-ia. Caso o volume de uma moléula v A pudesse ser determinado, o número N o poderia ser obtido da relação: V a N o v A onde V A é o volume de um mol e v A o volume de ada moléula. Semelhantemente, se a massa de uma moléula individual puder ser determinada, M A N o m A, também possibilitará o álulo e determinação de N o. Em 865 Lashmidt seguiu esta linha de pensamento para determinar N o baseado em alguns aspetos da teoria inétia dos gases que veremos mais adiante. Vamos aqui nos ater à medida de N o baseando-se na medida massa elementar. Neste aso, a difiuldade na medida da massa moleular advém do fato que a moléula é muito pequena. Perrin idealizou um método para determinação de N o baseado em "pseudomoléulas", grandes o bastante para serem medidas e pequenas o sufiiente para omportarem-se omo moléulas. Vamos brevemente desrever seu método. Considere iniialmente um gás a uma temperatura T, na presença de um ampo gravitaional da terra. Para movimentarmos um volume V deste gás através de uma diferença de pressão dp, será neessário à realização de um trabalho dw, de tal forma que:

102 4 df dw df. dz Adz Vdp A Se o gás está em equilíbrio, no ampo gravitaional, este trabalho é realizado às ustas da energia potenial gravitaional Mgdz, onde M é a massa de gás ontida no volume V, a ser desloado de dz. Assim, a ondição de equilíbrio requer que Mgdz + Vdp Outra forma de obter esta equação é através da análise de uma amada de espessura dz do gás. Para que esta amada se sustente é preiso que uma variação de pressão dp ompense a gravidade, ou seja: - Mg Adp omo a pressão varia om z, de modo que uma variação dp orresponde a uma variação de altitude de dz, dp dp dz ; dz - Mgdz Adzdp mas Adz V e, finalmente, temos: Mgdz + Vdp Como estamos tratando de um suposto gás ideal pv nrt (omo veremos mais adiante), sendo n o número de moles em V. Substituindo na equação aima tiramos que: nrt V, p dp Mgdz + nrt p ou

103 5 Mg n dz RT dp p Se a pressão P varia de P o a P quando a posição varia de Z o a z, integramos Mg z dz RT n z p p dp p (3) Como M M é a massa moleular do gás em questão, a integral aima fornee: A n P P e [ M A g( z z )/ RT ] omo à temperatura onstante a pressão é proporional à densidade, pois P densidade onstante temos, portanto: ρ M ( z z ) ( ) A g z ρ [ / RT ] Esta equação mostra que a determinação da temperatura e do perfil de densidade de um gás no ampo gravitaional permite determinar a massa moleular (Mol) M A. Para M determinarmos N o resta ainda determinarmos m A e, assim A N. m Perrin usou o fato que pequenas partíulas suspensas num líquido omportam-se omo as moléulas de um gás apresentando um movimento aleatório e desordenado, om a vantagem de que tais partíulas poderiam ser pesadas individualmente. A

104 6 Através da preparação de uma emulsão de partíulas de láte aproimadamente uniforme, Perrin determinou seu tamanho e peso, estabeleendo desta forma m A. Em seguida, utilizando um mirosópio, Perrin determinou a distribuição de partíulas em várias posições de emulsão oloadas no ampo gravitaional. E após fazer uma orreção, devido à força feita pelo fluído sobre as partíulas, a distribuição mostrou-se em onordânia om a lei eponenial aima, de onde foi possível obter o valor de M A. O valor de N o determinado por Perrin foi de 6,8 3, que é um resultado bastante bom onsiderando-se as ondições em que o eperimento foi realizado. Este valor nos dá uma boa ordem de grandeza da dimensão atômia, era de -3 do mundo marosópio, em termos de massa ou volume. Portanto, aproimadamente -8 em dimensão linear. A ontribuição de Perrin não parou na determinação do número de Avogadro. Inúmeros estudos envolvendo o hamado movimento Browniano permitiram a Perrin demonstrar a eistênia dos átomos e reeber o Prêmio Nobel de Físia em 96. No movimento Browniano (desoberto em 87, pelo botânio Brown), partíulas pequenas situadas num líquido, fiam animadas de um movimento desordenado, interminável. Perrin onseguiu assoiar este movimento om eistênia de átomos no líquido e de sua interação om as partíulas sólidas observadas. O movimento Browniano será visto em detalhes, mais adiante no urso. III.3 - Constituintes Atômios: A Desoberta do Elétron J. J. Thomson (856-94) A hipótese atomístia da matéria ulminou om a determinação dos onstituintes do átomo e a de algumas de suas propriedades básias. Uma das interessantes desobertas no final do séulo passado foram os raios atódios provenientes do átodo (polo -) migrando para polo positivo (ânodo) durante

105 7 desargas elétrias em gases a baias pressões. Neste tipo de desarga utiliza-se uma ampola evauada onde estabelee-se uma diferença de potenial entre o átodo e o ânodo (ver fig.) de alguns milhares de Volts. Observa-se, na região da ampola à frente do átodo, uma luminosidade esverdeada no vidro. Se o aminho do átodo é obstruído a luminosidade desaparee. Dai a assoiação do efeito om os "raios" provenientes do átodo, de onde provém o nome raios atódios. Crookes, em 879, fez uma série de eperimentos om raios atódios determinando grande parte de suas propriedades básias, inluindo sua onstituição, através da defleão de tais raios quando na presença de um ampo magnétio, et. Fig. - Sistema para produção de raios atódios Em 897 o físio inglês J. Thompson realizou vários eperimentos om raios atódios, determinando que tais raios eram onstituídos de partíulas om argas negativas. Além disto, Thompson realizou um importante eperimento de defleão destes raios por ampos elétrios e magnétios que determinou a relação arga/massa destas partíulas. Chamemos de q a arga destas partíulas e vamos estudar sua defleão por ampos. O eperimento que vamos desrever onsiste em fazer o feie de raios atódios de uma ampola de Crookes passar através de ampos elétrios e/ou magnétios, de modo que através da defleão do feie pela ação dos ampos, possamos determinar a onstituição do feie. Assim, onsidere o arranjo mostrado na fig. onde o feie atódio passa pelo interior de um apaitor de plaas paralelas.

106 8 Fig. - Defleão de feie de partíulas por ampo elétrio. Quando o feie de partíulas negativas penetra no interior do apaitor de omprimento b, ujo ampo elétrio é E, estas partíulas são defletidas pelo ampo num proesso envolvendo aeleração onstante. O ampo atuará sobre tais partíulas enquanto elas permaneem no interior do apaitor. Após isto, seu movimento ontinua retilíneo e uniforme até atingir a tela da ampola. Nesta parte final da ampola eiste uma amada de um material fluoresente que revela a posição de impato do feie, permitindo assim observar o efeito dos ampos sobre o feie. Para o movimento no interior do apaitor, sendo v o a veloidade iniial das partíulas do feie (suposto na direção ), e q sua arga. A aeleração na direção y (do ampo) será: Eq a y (5) m de modo que a posição vertial da partíula passa a depender do tempo segundo: y a yt (6) e sua posição horizontal v o t Da ombinação destas equações tiramos a trajetória parabólia do feie:

107 9 Eq y m ( ) v o trajetória é: No ponto b (final das plaas e, portanto, de atuação do ampo), a inlinação da dy d b Eq m v o b Eqb mv o (7) e omo b representa o final do ampo elétrio, a partir deste ponto as partíulas ontinuarão numa trajetória linear uja inlinação é dada por esta última relação. Na posição onde o ampo elétrio deia de atuar, o desloamento vertial vale: Eq b y ( b) (8) m v o Considerando que a partir deste ponto temos uma trajetória retilínea, vamos supor que para > b: y() a - β (9) de modo que temos y em β a β dy Eqb Para determinarmos, sabemos que α (inlinação) e usando o α d ponto y(b) aima, tiramos β α b após o apaitor, ruza o eio em b mv o. Assim, a etensão da trajetória retilínea da partíula, b. Com isto, a equação da trajetória após passar pelo apaitor é: y Eq b m v ( ) o b ()

108 válida somente para > b. Deste modo, o ponto onde tal feie hegará na tela (final da ampola) posiionada em L é y Eq b m v ( L) L o b () que quase determina a relação q/m, eeto pelo não onheimento da veloidade iniial v o. Para determinarmos v o, superpomos ao sistema um ampo magnétio na direção de z, perpendiular ao esquema da figura. Este ampo magnétio agirá sobre a arga quando esta desloa-se om v o produzindo uma força magnétia eatamente oposta à força elétria (ver figura 3). Assim, podemos ontinuamente aumentar este ampo (através do aumento na orrente da bobina geradora), até que a força elétria é ompletamente ompensada pela magnétia. (Neste ponto F mg F el ). A força magnétia sobre q é dada por: q F mg vb () de modo que igualando a força elétria, obtemos: v o E (3) B Neste ponto, nenhuma defleão é observada no feie. Com este valor de v o, a relação arga massa fia determinada pela equação: q m ( L) E y B b L b / (4)

109 Fig. 3 - Composição de forças sobre a partíula arregada Resumindo: para determinarmos a relação q/m dos raios atódios o proedimento é: para B e E onheido, determinamos y (L). Aumentando a orrente nas bobinas determinamos o ampo magnétio B onde o feie não é defletido, isto é, atinge o ponto L, y. Com estes valores e onheendo a geometria do sistema, determinamos q/m. Utilizando-se deste método Thonson determinou que para os raios atódios: q/m,76 ol/kg O método desrito aima é onheido omo método de Thonson para medida de q/m. Este valor foi profundamente importante, pois observou-se que ele era era de vezes maior que o maior valor q/m onheido para um sistema iônio (no aso hidrogênio), q m H H 9,57 7 oul / kg valor este determinado de outra forma (omo por eemplo, em eletrólise). Isto mostrava que provavelmente a massa das partíulas que onstituíam os raios atódios eram era de menor do que átomo (em massa) onheido. Este resultado teve importânia na desoberta do elétron omo onstituinte do átomo. Assim, os raios atódios nada mais são do que feies de elétrons e o método de Thonson permite a determinação de e/m, onde e é a arga elementar.

110 A arga do elétron (e), é sem dúvida uma das mais importantes grandezas, pois dela depende a maioria das propriedades atômias, elétrias, dos sólidos e as prinipais araterístias da estrutura interna do átomo. A fim de medir a arga e, Millikan em 9 realizou um eperimento que onsistia em observar partíulas arregadas migrando num ampo elétrio. Millikan utilizou gotíulas de óleo arregadas movendo-se entre as plaas de um apaitor, omo é mostrado na figura 4. Robert A. Millikan ( ) Fig. 4: Esquema para eperimento de Millikan Imagine uma gotíula de massa m, arga +q e raio r no interior do apaitor mostrado na figura. Sobre ele teremos a força gravitaional mg, a força elétria Eq e uma força visosa f (devido à ação do gás de fundo). A força visosa é proporional à veloidade e ao raio da partíula, ou seja, f krv y (onde k é uma onstante) e na ausênia de ampo elétrio, a equação de movimento será: dv m dt y mg krv (5) y e integrando kr m dv v y y g dt ou v y dv y gm v + kr t m kr dt

111 3 de onde tiramos: v + gm / kr gm / kr m kr t de modo que finalmente, a variação da veloidade om o tempo é dada por: V y gm m ep t (6) kr kr Assim, analisando o movimento na ausênia de ampos, determinamos a g g 4 veloidade terminal V π 3 t m r ρ onde ρ é a densidade do óleo. kr kr 3 Fig. 5 - Veloidade da gotíula omo função do tempo O onheimento de v t permite a determinação do raio r da gotíula. Após esta medida, ligamos o ampo elétrio e ajusta-se o valor de E o (através da voltagem) até que a gotíula não mais se desloque. Neste aso, a força elétria foi ompensada pela força gravitaional e a força visosa desaparee, já que o movimento foi interrompido. E q 4 3 πr gρ 3 ou seja: 3 4 r ρg q π (7) 3 E

112 4 Da veloidade terminal que medimos previamente tiramos que a arga da gotíula é : r hv t 4 3πρg de modo 3 q 4πρg k 3 vt E 3 (8) As onstantes envolvidas ( ρ e k) podem ser determinadas de formas diversas e simples, permitindo assim a obtenção de q. Fazendo várias determinações, Millikan obteve valores omo: C,.49-9 C, C, 6-9 C, C, notando que a diferença entre qualquer um destes valores era um número inteiro vezes o valor.6-9 C. Assim, ele onluiu que a menor arga apaz de estar ali era: e.6-9 C e que todas outras eram múltiplos desta quantidade. Desta forma esta arga foi assoiada ao elétron, e passou a ser a arga elementar. Com o onheimento de e, podemos voltar ao resultado de Thonson e determinar que a massa do elétron é: m kg O onheimento dos onstituintes atômios e de suas propriedades foram fundamentais para o estabeleimento da Físia Moderna. III.4 - Introdução à Teoria Cinétia dos Gases No séulo 9, as idéias atomístias adquiriram bastante aeitação, pois desreviam bem as propriedades inétias dos gases e apresentavam ramifiações na meânia estatístia e a outras partes da Físia. As propriedades que iniialmente foram epliadas, onsiderando o gás omo onstituído de átomos e moléulas, eram totalmente insensíveis à eistênia de uma estrutura interna nestas entidades. A visualização dos átomos omo esferas duras,

113 5 preenhia totalmente as neessidades básias para epliar a inétia dos gases. Esta idéia do átomo perdurou onsideravelmente na atomístia do séulo 9. A primeira onstatação de que os gases eram onstituídos de átomos ou moléulas foi feito por L. Dunoyer em 8. Em seu eperimento esquematizado na fig. 6, sódio metálio foi oloado no fundo de um tubo evauado ontendo duas repartições om pequenos orifíios. Fig. 6 - Eperimento de Dunoyer Após algum tempo de aqueimento do metal, observou-se no outro etremo do sistema a imagem do segundo orifíio. Este eperimento proporionou todas as indiações que os onstituintes do vapor metálio eram partíulas que projetavam-se balistiamente. Após a onlusão de que o gás é onstituído de partíulas ujo omportamento é balístio, partiu-se para a obtenção das equações de estado de um gás ideal à partir das leis básias da meânia. Para isto, imaginemos um reipiente que ontenha um determinado gás e fiemos nossa atenção nas olisões que as moléulas deste gás realizam om uma determinada porção da superfíie. Nestas olisões, há transferênia de momentum dos átomos para a superfíie. A média temporal destas olisões é que gera a força que por unidade de área é onheida omo pressão do gás sobre as paredes. A ontribuição de ada átomo que olide om a superfíie para a pressão do gás, é igual à mudança do momentum do respetivo átomo (ou moléula) om o impato. Consideremos uma moléula de veloidade v olidindo om a superfíie segundo um

114 6 ângulo Θ omo a fig. 7, onde mostramos o ângulo e o elemento de superfíie de valor da. Supondo uma refleão total do átomo na superfíie, temos que o momentum transferido para ada átomo (moléula) que olide é dado por: ρ mv os Θ Vamos hamar de, y as oordenadas ao longo da superfíie e z a oordenada normal à superfíie. Fig. 7 - Colisão de uma moléula om a parede. omo: Neste aso, havendo refleão total, o momentum transferido pode ser esrito ρ mv z () onde m é a massa de ada moléula e a veloidade é esrita omo: v ( v, v, v ). Somente a omponente perpendiular à superfíie é que ontribui para a transferênia de momento. Para onsiderarmos o efeito de todas as olisões sobre a parede, onstruímos um ilindro oblíquo sobre o elemento de área da, omo mostrado na figura 8. y z

115 7 Fig. 8 - Elemento de volume que ontém as moléulas que olidirão Se quisermos analisar todas as moléulas que olidem om o elemento de área durante um intervalo de tempo t, tomamos a aresta do ilindro ontendo v t, de modo que todas as moléulas propagando-se de enontro om a superfíie que estejam ontidas no ilindro, olidirão, no intervalo t. Se o gás que estamos onsiderando, tem uma densidade n, o número total de moléula no interior do ilindro onsiderado é n volume n.v t os Θ da. Assim, n o. moléulas nv z tda Este, evidentemente, é o número total de moléulas ontidas neste elemento de volume. Não sabemos nada a respeito de omo elas estão distribuídas om respeito a sua veloidade. Vamos, então, introduzir um novo oneito que é a densidade de partíulas no espaço de veloidades. Assim, vamos hamar de g o número de átomos por unidade de volume, om veloidades entre v e v + dv, v y e v y + dv y, v z e v z + dv z. Assim, g orresponde à densidade de átomos no espaço real e no espaço de veloidades. Com este novo oneito, a densidade de partíulas (n) nada mais é do que uma soma sobre as várias possíveis veloidades, ou seja: n dv dv ydvz gdw () onde dw dv dv y dv z d 3 v denota um elemento de volume no espaço de veloidades. O número total de partíulas ontidas num volume V, seria uma integração em volume e veloidade, ou seja:

116 8 N gdwddydz () onde gdv dv y dv z número de moléulas om veloidades no intervalo [v - v + dv, v y + dv y, v z - v z + dv z ]. Supondo que todas as partíulas no interior do ilindro om veloidade entre (v, v y, v z ) e (v + dv, v y + dv y, v z + dv z ) atingirão a superfíie, o número de moléulas olidindo no tempo t é: (n o. em t) gv z tdwda (3) Isto é, de todas seleionamos agora aquela fração que tem veloidade ao redor de v z. Como já sabemos, a ontribuição de ada moléula para o momento transferido é dado por: dp v z m (n o. em t) v, v y, v z ou seja, omo t dt, dp mgv z dadwdf (4) Assim, este momentum é a ontribuição de moléulas om veloidade ao redor de (v, v y, v z ). É laro que para garantirmos a olisão devemos requerer que a moléula esteja se aproimando da superfíie, o que nos restringe a onsiderar somente as moléulas om v z <. Se quisermos o momentum transferido devido às moléulas om as várias diferentes veloidades teremos que somar todas as ontribuições, ou seja: todasveloidades p m vz dp z v v v z y gv dw tda mgv dadv z dv y dv z (5) Vamos aqui fazer um pequeno parênteses para introduzir o oneito de veloidade média. Como dissemos, g representa a quantidade de moléulas por volume e por

117 9 veloidade. Assim, g depende da veloidade que estamos onsiderando e quanto maior é seu valor, maior é o número de moléulas eistentes om aquela determinada veloidade. Definimos os valores médios das veloidades quadrátias omo: v z gvz dvdv ydvz n (6) ou de um modo geral, para qualquer omponente de veloidades, v i gvi dw n Isto advém do fato que g ρ( ) dw v i que é a probabilidade da partíula ter (v, v y, v z ) no n intervalo dw, de modo que a soma v i P (vi) representa o valor médio da veloidade. Como g é uma função par gv i dw v i momento total transmitido à superfíie é dada por: gv dw, de modo que a epressão para o i p nm gvz dwda t (7) n v z que usando definição de Como p tda v z fia, p nmv z tda. é a pressão total sobre a superfíie P, temos que: P nmv z que é uma epressão que oneta uma grandeza marosópia (pressão) om as propriedades mirosópias de seus onstituintes. Ainda não sabemos o valor de v z, mas se usarmos o fato que o gás é perfeitamente isotrópio de modo que todas as direções são equivalentes, para o movimento atômio, temos que;

118 y v v v z e omo v v + v y + v z v z v (8) 3 Assim, em termos da veloidade quadrátia média, a pressão do gás é dada por: nmv P (9) 3 e se usarmos a definição de energia inétia K mv para uma únia moléula, temos: P nk (3) 3 A equação aima mostra laramente que a pressão é resultado do fato que as moléulas do gás apresentam movimento translaional (ou seja, energia inétia). Além disto, a omparação deste resultado om a lei dos gases ideais, já onheido, nos permite obter uma definição inétia para a temperatura de um gás. Como sabemos, n N V, o que nos permite esrever a equação aima na forma: PV NK (3) 3 Se ompararmos esta epressão om a famosa lei de Clapeyron PV NKT obtida eperimentalmente, vemos que: 3 K KT onde K é a onstante de Boltzmann (K.38-6 ergs/k) e T a temperatura na esala absoluta. Esta relação nos mostra que a temperatura de um gás nada mais é senão uma

119 medida direta da energia inétia de ada um dos seus onstituintes. É laro que estamos tratando da energia inétia média. Esta definição é onheida omo definição inétia da temperatura. Notemos que o fator numério 3 adveio do fato de estarmos tratando de um gás em três dimensões de modo que tivemos que repartir /3 da veloidade quadrátia média para ada dimensão e para ada uma destas oube a parte ½ KT. Este resultado, de uma forma mais geral, é hamado de teorema de eqüipartição de energia, e estabelee que para ada grau de liberdade da energia om dependênia quadrátia no momento ou na oordenada, deveremos aloar ½ KT de energia, quando este sistema está em equilíbrio térmio à temperatura T. No aso do gás livre em questão a energia é dada por: E p p y pz + + m m m de modo que temos três graus de liberdade quadrátios no momento (p, p y, p ) e, portanto, a energia média das partíulas deste gás está relaionada om a temperatura pela relação: 3 E 3 KT KT E 3 KT 3 KT O teorema de eqüipartição de energia é bastante importante em Físia e mereeria um apítulo a parte, por esta razão este tópio deverá ser onsiderado em maiores detalhes em ursos mais avançados. Para fiar melhor este oneito, vamos onsiderar alguns eemplos. Imagine um orpo ligado a seis molas fleíveis omo indiado na fig. 9. Queremos saber a relação entre a energia média e a temperatura.

120 Fig. 9 - O Osilador tridimensional Esrevendo a energia do sistema temos: E p p y pz m m m k + ky + kz Assim, temos seis graus de liberdade om dependênia quadrátia para a energia total do sistema. Deste modo, E 6 KT 3KT. Um segundo eemplo está mostrado na figura. Duas massas onetadas por uma mola fleível tem liberdade de desloar-se ao longo do eio. Fig. - Massas aopladas, livres para desloar na direção Neste aso, todo movimento do sistema pode ser esrito em termos de duas oordenadas: o entro de massa + X CM e a oordenada relativa entre as massas rei. A energia do sistema é, então: p p CM rei E + krei + µ µ

121 3 m onde µ é a massa reduzida. A eistênia de 3 graus de liberdade quadrátia na energia faz que E 3 KT 3 KT Caso este sistema possa se desloar espaialmente, então o momento do entro de 5 massa representa 3 graus (P, Py, Pz) de modo que E KT. Voltando ao aso do gás de partíulas livres, om relação a relação da energia inétia, podemos alular a veloidade média de seus onstituintes. Seja gás He uja massa molar é 4g. Assim, a temperatura ambiente (98 K) 6 m v KT v de onde tiramos v 36m / s omo sendo a veloidade média dos átomos de hélio à temperatura ambiente. Se tivermos, por eemplo, gás argônio que é da ordem de vezes mais pesado que He, teremos um fator de na veloidade, ou seja v Ar ~ 43 m/s. Se onsiderarmos o ar que respiramos, que é basiamente onstituído de N, teremos um fator de leva à: 7, já que a massa moleular deste omposto é 8. Isto nos v N 54m / s que é muito superior à veloidade do som no ar (34m/s). Assim, as perturbações sonoras (à 98 K) propagam-se om veloidade inferior à média das moléulas. Vamos imaginar um número N o (de Avogadro) de moléulas ontidas num reipiente. Neste aso, sendo o gás ideal, a energia interna do sistema é a soma da energia inétia de todas as moléulas, já que este é o únio tipo de energia presente.

122 4 U 3 N KT (33) Como N o K R é a onstante dos gases a energia total do sistema é dada por: 3 U RT Com esta epressão podemos alular o alor espeífio a volume onstante para este Mol de gás e temos: du 3 Cv R (34) dt r Como R ~ al/mol, tiramos Cv ~ 3al/MolK. Como será visto uma quantidade importante em termodinâmia é a razão entre Cp (valor espeífio à P onstante) e Cv. Utilizando a relação Cp - Cv R (35) tiramos: Cp R Cp R γ +.66 Cv Cv Cv Cv O valor 3 al/mol K para o alor espeífio, vale somente para o gás ideal. Olhando para os valores eperimentais do alor espeífio de alguns gases rais, podemos observar um desvio deste valor.

123 5 Tabela Dados a 3 K Os gases monoatômios apresentam a apaidade térmia bastante próima do valor ideal alulado. No entanto, ao passarmos para gases onstituídos de dois átomos o valor não mais onorda. Aumentando-se o número de átomos, o valor e Cv fia ainda mais longe do valor alulado. A razão desta disrepânia advém primordialmente de termos tratados moléulas om mais átomos omo sendo um sistema rígido sem energia interna. A idéia disutida aima deve ser levemente modifiada quando tratamos de moléulas poliatômias. É laro que o número de átomos na moléula não altera grandemente a lei dos gases que relaiona pressão, volume e temperatura, já que somente a translação da moléula é importante na determinação da pressão. O número de átomos na moléula não altera grandemente este modelo. Ao tratarmos moléulas poliatômias, além das moléulas poderem apresentar energia na forma de energia inétia translaional, elas podem também aloar energia para vibrações e rotações. Isto equivale a dizer que o número de graus de liberdade da moléula aumentou. Pelo teorema da eqüipartição de energia, temos que aloar ½ KT para ada termo da energia om dependênia harmônia, i.e. quadrátia, em momento ou oordenada. Vamos onsiderar uma moléula diatômia a qual visualizaremos omo sendo duas massas separadas por uma mola. Semelhante ao eemplo da fig., porém, agora om movimento tridimensional.

124 6 Fig. - Modelo para moléula diatômia Além das três translações possíveis (ao longo, y, z) do entro de massa, o sistema pode agora rodar ao redor de dois dos três eios prinipais, produzindo termos de energias do tipo lω e lzω z omo se fosse um rotor rígido. Isto orresponde à adição de graus de liberdade ao sistema, que agora passa a ter 5 graus. Como a energia térmia é igualmente distribuída nestas possibilidades, 5 U 5 KTN N KT ou U 5 RT e obtemos para o alor espeífio du 5 Cv dt v R (Cv) diatômia ~ 5al/molK (devido a rotação) quando translação e rotação são onsideradas.

125 7 Além da rotação, ainda temos que onsiderar os graus de liberdade vibraionais que no aso são (energia vibraional 7 de liberdade ou E KT. m + K ). Isto levaria a um total de 7 graus Se fizermos um gráfio do alor espeífio (Cv) versus temperatura para um gás diatômio, por eemplo o H, obtemos o gráfio da figura. Fig. - Variação do alor espeífio de um gás diatômio om a temperatura Mesmo tratando-se de uma moléula diatômia, para baias temperaturas, o alor espeífio tem valor próimo das 3al/molK enontrado para um gás monoatômio. As mais altas temperaturas, Cv assume seu valor 5al/molK que é alulado quando levamos em onta as rotações e finalmente para mais altas temperaturas o valor é 7al/moIK, que é o valor enontrado quando rotação e vibrações são levadas em onta. O omportamento mostrado tem por razão que as baias temperaturas a energia térmia não é sufiiente para realizar rotações ou vibrações das moléulas e a energia é predominante aumulada nos graus de liberdade translaionais. Ao atingirmos temperaturas moderadas (5 K) a energia rotaional passa a ser ompatível om KT e, portanto, este grau de liberdade omeça a reter energia. Somente as temperaturas mais elevadas é que KT passa a ser da ordem da energia de vibração K e o sistema passa a realizar vibrações, e neste aso, este grau de liberdade passa também a ser eitado, aumulando energia. Cada tipo de eitação da moléula tem seu valor araterístio de energia, e sua manifestação só oorre quando KT passa a ser ompatível a este valor.

126 8 Este resultado aproima-se bastante dos valores eperimentais medidos para moléulas diatômias a 3 K mostrados na tabela. À medida que aumentamos o número de átomos da moléula, aumentamos simultaneamente o número de graus de liberdade, aumentando, portanto, o alor espeífio omo observado om a moléula de éter mostrada na tabela. III.5 - A Distribuição de Veloidade nos Gases Ao analisarmos a equação dos gases ideais, dissemos brevemente que as moléulas de um gás devem ter veloidades diferentes obedeendo erta distribuição. Assim, para ada valor de veloidade que tomamos temos assoiado a ele um número (ou densidade) de moléulas. Como este valor varia ontinuamente, dizemos que temos uma distribuição ontinua de veloidades. Para o álulo da maioria das propriedades marosópias que já menionamos (pressão, energia, et), não preisamos onheer esta distribuição epliitamente, pois tais grandezas dependem sempre de valores médios de veloidade e energia. No entanto, em muitos asos, o onheimento da distribuição se faz neessário. Assim seja a distribuição Nƒ(v ) mostrada na fig. 3 para um gás ontido num determinado volume. Fig. 3 - Distribuição de veloidades Vamos analisar este eemplo a fim de fiarmos familiarizados om o oneito de distribuição de veloidades. Esta distribuição nos diz que teremos nenhuma moléula om veloidade nula e, à medida que aumentamos o valor da veloidade, enontramos mais moléulas até a veloidade de 5 m/s onde o número enontrado para esta veloidade máima () e

127 9 a partir desta veloidade o número novamente airá hegando a moléulas om veloidade m/s, e aindo ainda mais para mais altas veloidades. No presente aso, Nƒ(v )dv representa o número de moléulas om veloidades ao redor do valor v, ou seja, om veloidade entre v e v + dv. O número de moléulas om veloidade em ada intervalo dv dividido pelo número total de moléulas é uma medida da probabilidade de uma dada moléula ter veloidade no intervalo onsiderado. Assim, p ( v v + dv ) f ( v ) ( v ) f dv dv. Se quisermos saber a veloidade média desta distribuição, teremos que somar todas as veloidades om seus respetivos pesos relativístios, ou seja: v f ( v ) ( v ) dv v (37) f dv onde fia mais evidente que ƒ(v ) é na verdade a probabilidade de enontrarmos v. Qualquer grandeza ς (v ) dependente de veloidade que queiramos alular o valor médio pode ser alulado da mesma forma que a veloidade, ( v ) f ( v ) f ( v ) dv ς dv ς (38) O álulo do valor médio das grandezas mirosópias de um gás é etremamente importante, pois estes são os valores que efetivamente medimos marosopiamente. Em muitos asos f ( v ) dv, ou seja, a função distribuição é normalizada. Vamos mantê-la integrando epliitamente. A análise que fizemos aima em somente um omponente da veloidade, deve ser generalizada inluindo as 3 omponentes v, v y e v z para representar a realidade de um gás. Mas quem é afinal a função ƒ (v )? O proedimento matemátio que usaremos a seguir para obter a distribuição de veloidades num gás ideal foi originalmente usada por Mawell em 86. Seja um gás formado por N moléulas, ontido num reipiente de paredes rígidas. Tomemos uma determinada moléula que apresenta veloidade V om omponentes v,

128 3 v y e v z. Se perguntarmos quantas moléulas apresentam veloidade ujo omponente ai entre os valores v e (v + dv ) a resposta seria Nƒ (v ) dv, de modo que ƒ(v ) dv é eatamente a probabilidade que, ao tomarmos uma moléula, ela tenha v no intervalo onsiderado. Como o gás não pode ter uma direção preferenial já que as moléulas movem-se de uma forma aleatória e todas as direções são igualmente prováveis, a mesma dependênia funional ƒ(v ) deve ser enontrada ao analisarmos o número de moléulas om determinado valor de veloidade para outras omponentes. Ou seja, a probabilidade de veloidades entre v y e v y + dv y e v z e v z + dv z serão também representadas por ƒ(v y )dv y e ƒ(v z )dv z, tendo, portanto, a mesma dependênia funional ƒ. Assim, se perguntarmos qual é a probabilidade de enontrarmos uma moléula om veloidade ujas omponentes aem entre v v + dv, v y v y + dv y e v z v z + dv z teremos que multipliar os valores menionados aima (omo normalmente é feito om probabilidades), ou seja: ƒ(v ) ƒ(v y ) ƒ(v z ) dv dv y dv z é a probabilidade de uma moléula ter vetor veloidade V om sua etremidade loalizada dentro de um ubo de volume dv dv y dv z e entrado no valor V, omo esquematizado na fig. 4. Fig. 4 - Espaço de veloidades mostrando o vetor V e o volume dv dv y dv z Chamando este elemento de volume, no espaço de veloidades de dw dv dv y dv z e, usando a isotropia da distribuição de veloidades de modo que o que deve difereniar a

129 3 probabilidade das moléulas é o valor absoluto da veloidade e não a direção, podemos esrever a equação aima omo: F (v) dw (4) onde F(v) é agora uma nova função que só depende do módulo da veloidade e deve ser igual ao produto dos ƒ definido na primeira equação. Assim ( v + v y + vz ) f ( v ) f ( v y ) f ( vz ) F (4) Esta última equação foi obtida apenas utilizando a isotropia do gás e o problema para determinar sua dependênia funional epliita passa a ser puramente matemátio. Iniialmente tomemos a derivada da equação aima om respeito à v, obtendo v v + v y + v z F' ( v) f '( v ) f '( v ) f '( v ) y z (4) e ao dividirmos (4) por (4) v v F F '( v) ( v) '( v ) ( v ) f (43) f ou seja F v F '( v) ( v) '( v ) ( v ) f (44) v f Nesta última equação, o primeiro termo só depende de v enquanto o segundo só de v. Isto poderia ter sido feito para qualquer das omponentes v y e v z e obteríamos o mesmo resultado. A únia forma desta última equação ser verdadeira para quaisquer valores de v e v, é ser igual a uma onstante que hamaremos, por onvivênia, de Assim: γ.

130 v f f '( v ) ( v ) γ 3 (45) e através de uma simples integração, obtemos: df f γ v dv e, integrando, tiramos: f ( v ) v α γ e e, onde α e é a onstante de integração. Chamando α e A, a equação toma a forma f ( ) rv, que é uma Gaussiana v Ae entrada na origem. Com isto obtemos que a distribuição F (v, v y, v z ), através de (4), F ( v v, v ) 3 γv γv y γvz, A e e e y z (46) omo v + v y + vz v, (46) torna-se: F ( v) 3 γv A e (47) Como disutimos anteriormente esta função F (v) dw representa a probabilidade de enontrarmos num gás uma moléula om veloidade ujo módulo seja v flutuando ao seu valor no interior de um ubo de valor dw no espaço das veloidades. Se multipliarmos pelo número total de partíulas do gás teremos quantas moléulas apresentam o valor da veloidade om esta araterístia. A fim de determinarmos a onstante γ, vamos alular o valor médio da veloidade v e utilizarmos o que já onheemos de v. v ( v ) dv f ( v ) dv v f /

131 33 que resulta, obviamente em v omo esperado, pois já que todas as direções são igualmente prováveis, o mesmo número de moléulas deverão estar desloando-se na direção + e - om o mesmo valor de v, resultando numa média nula. Vamos, então, alular v. Neste aso: v v f f ( v ) ( v ) dv dv e utilizando as epressões aima v A A v e e γv γv dv dv A integral do tipo om respeito a γ, tiramos + ς e rς π dς γ / pode ser failmente eeutada, e derivando + ς e γς π dς γ / 3 / Assim, usando estes resultados v π / / γ 3 / / / π / γ γ e do teorema de eqüipartição de energia, já disutido anteriormente para o gás ideal, ou seja, m mv KT KT γ γ m KT (48)

132 34 A determinação da onstante A pode ser feita do fato que ƒ(v ) dv representa a probabilidade de enontrar a moléula om v entre v e v + dv, de modo que a soma sobre todas possíveis veloidades deve forneer a unidade, ou seja: f ( ) v dv / / π γ A A ou γ π A π m KT / Assim, om todas estas determinações, nossa função distribuição fia F m 3 / mv ( v) ep πkt KT (49) Esta epressão é onheida omo função distribuição de veloidade de Mawell. Fig. 5 - elemento de volume no espaço de veloidades Como vimos, é de etrema importânia mantermos a notação vetorial através das omponentes v, v y e v z. Se, ao invés deste vetor veloidade quisermos estudar a distribuição de veloidade em termos de seu valor absoluto v, devemos onsiderar o fato que todas as direções são igualmente prováveis e, portanto, o elemento de volume dw a ser estudado deverá ser uma asa esféria de raio v e espessura dv (no espaço de veloidades om eios v, v y e v z ), omo indiado na fig. 5. Desta forma estaremos levando em onta todas as possíveis direções. O elemento de volume dw representado tem valor dw 4πv dv e, portanto, se perguntarmos, agora, qual é a probabilidade de enontrarmos, no gás onsiderado, uma

133 35 moléula om veloidade de valor absoluto (ou módulo) entre v e v + dv independentemente de sua direção, enontraríamos: 3 / m mv KT φ ( v) 4πv e (5) πkt ou seja, φ ( v ) dv 4πv dvf( v) F( v)dw Evidentemente, para esta nova distribuição que enontramos, o valor de v só pode variar de zero até +. Esta nova distribuição não é mais Gaussiana. O gráfio desta distribuição está mostrado na fig. 6. Fig. 6 - Distribuição Φ (v) Utilizando esta distribuição, podemos alular o valor mais provável da veloidade (v m ) que é aquele presente num número maior de moléulas. Como ele orresponde ao máimo da distribuição, seu valor pode ser determinado por: v 5 ( v) dφ dv 3 m KT v vm (5) KT m O valor médio da veloidade ( v ), é alulado omo já disutido

134 36 m v vφ( v) dv 4π πkt 4π m πkt 3 / / 3 v, dv KT ( m / KT ) m v 3 e mv KT (5) Da mesma forma podemos determinar a veloidade quadrátia média (v rms ) v v rms rms m 4 v 4 v e KT π π KT, m / mv KT dv (53) veloidade é: Com esta função, o valor médio de qualquer grandeza η (v) que depende da ( v) ( v) φ( v)dv η η (54) Devido às ontribuições apreiáveis de Boltzmann, a distribuição é denominada de distribuição de Mawell-Boltzmann. Como visto, a distribuição de Mawell-Boltzmann depende da temperatura, e a medida em que T aumenta, o valor de v m aumenta. Porém, o valor da distribuição naquele ponto diminui, onservando a propriedade ( v) dv φ. Assim, quanto maior a temperatura, mais espalhada é a distribuição de veloidades, ou seja, maior é a dispersão da distribuição. Fig. 7 - Distribuição a diferentes temperaturas

135 37 Ao invés de perguntarmos a respeito da distribuição de veloidade, podemos estar interessados diretamente na distribuição om respeito à sua energia. Para o aso do gás ideal, a veloidade e energia das partíulas estão relaionadas através da relação. E mv de modo que podemos onverter diretamente a distribuição de veloidades para energia. A probabilidade de enontrarmos uma moléula om veloidade no intervalo v v + dv é φ (v)dv, assim, a probabilidade de enontrarmos uma partíula om energia entre E e E + de é: φ m πkt 3 / E m dv de KT ( E) de 4π e E / de onde onvertemos o elemento 4π v dv em energia, sendo: dv de d de ( E / m) / me / resultando em: φ 3 / 3/ 4 π m πkt m / KT ( E) de E e E / de ou seja: φ ( E) π π / E / KT E e 3 / ( KT ) Usando esta distribuição, podemos alular a energia média E do gás, E Eφ ( E)dE ou seja

136 38 E π ( πkt ) 3 / E 3 / E e / KT de e usando a integral ( n ) n a Γ + e n+ om Γ sendo a onheida função gamma, tiramos a 3 E KT omo previsto pelo teorema de eqüipartição de energia. Este último resultado não é dedução do teorema, já que utilizamos na determinação do valor de γ e, portanto, o resultado aima já era esperado. III.6 - Derivação Barométria da Distribuição de Veloidades de Mawell A dedução que fizemos anteriormente é baseada em onsiderações sobre a teoria de probabilidades e a isotropia do gás onsiderado. Podemos, no entanto, deduzir a distribuição de Mawell de uma forma alternativa através da observação da variação da pressão do gás om a altitude quando o gás está na presença do ampo gravitaional, aqui onsiderado omo sendo homogêneo e om temperatura uniforme. Denominemos de zero a superfíie da terra e tomemos a atmosfera omo sendo um gás ontínuo de densidade mássia ρ nm. Se tomarmos uma determinada amada de gás loalizada à posição z e de espessura dz, esta amada estará sujeita às pressões p(z+dz) e p(z) uja diferença é equilibrada pelo peso da amada, ou seja: dp - ρ gdz nmgdz omo n P KT, tiramos que dp P mg dz KT mgz P p o ep KT ou ( ) que é equivalente à (onsiderando temperatura homogênea):

137 39 n(z) n(o)e -mgz/kt É laro que este é um aso espeífio de uma situação mais global, onde as moléulas estão sujeitas a uma energia potenial V(z) quando loalizadas em (, y, z). De modo que a epressão mais geral tem a forma: n(z) Ce -v(z)/kt A dedução barométria da distribuição de veloidades ƒ(v z ), onsiste no seguinte: a eistênia de uma distribuição de veloidades na posição z levaria ao estabeleimento de um perfil de densidades n(z), quando os átomos sobem ontra a gravidade em movimento balístio. O modelo está representado na figura 8. Para simplifiar o problema, imaginemos iniialmente o gás omo sendo unidireional, movendo-se somente na direção vertial. Neste aso, uma moléula partindo da posição z om veloidade v o, atingiria a altura z v / g retornando a z onde sofrerá uma olisão totalmente elástia. Fig. 8 - Distribuição de veloidades na superfíie da terra, na direção z. As mais rápidas são lançadas até alturas maiores e as mais lentas a alturas menores, gerando um perfil de densidade. Se todas as moléulas tivessem a mesma veloidade v, teríamos uma densidade que airia abruptamente a zero em z v / g, além do fato que a temperatura diminuiria linearmente, já que a veloidade diminuiria om z, atingindo T em Z v / g (pois v f v gz e T ( z) T ( o) z) gm evidentemente isto não aontee, mostrando a eistênia de uma distribuição de veloidades. Vamos hamar ƒ (v o ) a distribuição de veloidades dos átomos deiando a superfíie. O número de partíulas que deia a

138 4 superfíie om veloidade entre v e v dv, por unidade de área e tempo (fluo) é dada por: dn fluo n A t ( z ) v f ( v ) dv densidade( v ). v Estas partíulas terão sua máima altura entre v /g e (v o + dv o ) / g. O número de partíulas passando pelo plano z o v / g é dado por n(z o ) v (z o ) por unidade de tempo e área. Da mesma forma, o número de partíulas ortando plano loalizado em z o + dz o por unidade de tempo e área é: n(z o + dz o ) v (z o + dz o ) A veloidade média das moléulas v, só depende da temperatura por hipótese, não dependendo de z, de modo que v (z o ) v (z o + dz o ). A variação do fluo de partíulas entre as duas superfíies é: dn A t [ ]v diferença fluo n( z ) n( z dz ) + átomos que onseguem atingir posição entre Z o e Z o + dz o v dn dz dz mgv KT n mgz KT ( o) e dz onde já utilizamos n(z) obtido anteriormente. Substituindo dn, pelo valor alulado, obtemos a igualdade: A t n mgv KT mgz / KT ( o) v f ( v ) dv n( o) e dz Como mgz o mv / tiramos mv o dv o mgdz o e, portanto:

139 4 f mv mv z KT (56) KT ( v ) e que é a forma unidimensional da distribuição de Mawell f mv z KT ( v ) e z mv KT onde o oefiiente é evidentemente uma onstante que só depende da temperatura. Se tivermos uma distribuição de Mawell em z, teremos para todos pontos z. No modelo que fizemos as olisões entre as moléulas nada afetam, já que em uma dimensão o resultado da olisão elástia é uma simples inter-troa de veloidade e omo as partíulas são indistinguíveis, esta olisão não altera em nada o modelo apresentado. Uma pergunta natural que surge, é: omo que a veloidade média pode ser independente da posição, se a energia inétia das moléulas ontinuamente diminui à medida que elas sobem? A resposta para esta pergunta é bastante simples. Lembremos que para o álulo da veloidade média todas as partíulas, om suas veloidades são levadas em onta. Quando uma distribuição emerge da superfíie sujeita ao ampo gravitaional, as partíulas mais lentas não atingem as alturas mais altas, enquanto que as mais rápidas diminuem de veloidade mantendo, assim, a veloidade média que só depende da temperatura e não de z. Esta também é a razão pelo qual há variação da densidade sem variar a distribuição de veloidades. III.7 - Colisões entre as Moléulas do Gás e o Caminho Livre Médio Como vimos, as moléulas dentro do gás possuem um movimento desordenado sofrendo várias olisões om as paredes e também om as demais moléulas do gás, já que estas não são pontuais. Se pudéssemos fotografar a trajetória de uma moléula durante um determinado intervalo de tempo, enontraríamos uma trajetória tortuosa omposta de segmentos retilíneos de omprimentos diferentes. Cada um destes segmentos orresponde ao intervalo do trajeto no qual a moléula desloa-se sem a influênia das demais moléulas ou das paredes do reipiente que as ontém. Nos vérties desta trajetória (pontos de enontro de ada dois segmentos) há oorrênia de

140 4 uma olisão mudando onsideravelmente a trajetória. A eistênia destes pontos revela a influênia das demais moléulas sobre o movimento de uma delas. A interação entre as moléulas do gás pode ser atrativa ou repulsiva e tem um potenial que varia de aordo om o tipo de interação eistente em ada aso. Para uma primeira análise do problema os detalhes da interação podem ser deiados de lado e vamos onsiderar as moléulas omo esferas rígidas de diâmetro d. A primeira pergunta que fazemos é: Qual é o número de olisões sofridas por uma moléula por unidade de tempo, dentro do gás? Fig. 9 - Trajetória tortuosa de uma moléula num gás Seja uma partíula de diâmetro d e veloidade v desloando-se no interior de um gás onstituído de partíulas idêntias apresentando uma densidade n (partíulas/volume), veja figura. Fig. - Uma partíula de diâmetro d olidirá om todas ontidas no ilindro Quando a partíula desloa-se em linha reta ela olidirá om todas as outras partíulas ujos entros de massa enontram-se a uma distânia menor ou igual a d da sua linha de desloamento. Se estivermos onsiderando um t, a moléula original desloa-se em média uma distânia v t e olidirá om todas as demais partíulas ontidas dentro do volume do ilindro de base de diâmetro d e altura v t. Mesmo que

141 43 após ada olisão haja mudança da trajetória podemos alinhar todos os segmentos da fig., riando uma trajetória linear. Assim: n o. de olisões médias em t π d v t (densidade) n o. de ol em t π d v tn e, portanto, o número médio de olisões por unidade de tempo n o. de ol. / tempo π d vn (57) A quantidade π d que representa a área frontal de olisão é hamada de seção de hoque σ. n o. de olisões / tempo nσ v (58) Para onheermos o tempo médio entre duas olisões onseutivas (τ ) temos que inverter a epressão aima, obtendo: τ nσ v (59) Sendo τ o tempo médio deorrido entre duas olisões onseutivas, então a distânia média perorrida pelo átomo entre duas olisões onseutivas l é, portanto: l τ v l (6) nσ Este omprimento médio, que representa o espaço perorrido entre duas olisões onseutivas é denominado de livre aminho médio e, omo vimos, para um gás onstituído de moléulas que são onsideradas esferas rígidas de diâmetro d, o livre aminho médio é: (6) πd n l

142 44 que é independente da temperatura e só depende do tamanho das moléulas (d) e da densidade (n), ou da seção de hoque e da densidade. O aminho livre médio é importante para nos dar uma idéia da ordem de grandeza da distânia que a moléula onsegue perorrer sem que oorra influênia das demais. Este parâmetro é de etrema importânia para o transporte de massa e de energia pelo gás. Como estimativa numéria, onsideremos o gás hélio à temperatura ambiente e pressão atmosféria. Pela lei dos gases ideais, podemos determinar que a densidade é, neste aso, n.7 9 átomo/m 3 e se tratando de um átomo ujo diâmetro é igual a d. Å, temos l ~.5-5 m π d n 6 9 ( 5. m ) (.7 ) mostrando que o aminho livre médio é era de vezes o tamanho atômio. Para esta temperatura v ~ 5 m/s de modo que o tempo entre olisões pode ser determinado resultando em: τ ~ - se Este é o tempo deorrido entre olisões onseutivas. A duração da olisão 8 d, poderia ser estimada se tomarmos t ' ~. 3 seg, ou seja,. 5 v pio/segundos. Sendo a duração da olisão tão urta, fia difíil o estudo do que oorre durante seu deurso. É preiso usar ténias modernas de pulsos urtos de luz ou átomos lentos aprisionados para melhorar nosso entendimento sobre detalhes do enontro atômio. O aminho livre médio é um parâmetro bastante importante para as propriedades de transporte de um sistema gasoso, omo veremos mais adiante. O tempo τ, normalmente hamado de tempo de relaação, mostra que τ - é a frequênia de olisão. No aso aima o gás apresenta olisões/seg. A seção de hoque σ pode ser determinada a partir de eperimentos de espalhamento, o que onstitui uma importante ténia de medida para tamanhos atômios

143 45 e aminho livre médio. Para entendermos este tipo de medida, vamos analisar uma determinada situação físia. Consideremos um feie moleular propagando-se por uma região que ontém moléulas de uma outra espéie (Fig. ). Quando as moléulas do feie olidem om as moléulas do gás sua trajetória normal é modifiada e elas são defletidas para fora do feie original. Desta forma, à medida que o feie propaga-se através do gás, a sua intensidade (I) moleular (i.e, o número de moléulas por unidade da área e por unidade de tempo) diminui devido às moléulas defletidas para fora. Analisando o deaimento da intensidade deste feie moleular ao longo de sua propagação podemos aprender muito a respeito das olisões e do aminho livre médio e, onseqüentemente, do tamanho das moléulas. Seja o eperimento na figura, onde átomos (ou moléulas) do feie são espalhados pelo gás ontido na região A, e a intensidade do feie é medida pelo detetor D. Fig. - Espalhamento de um feie Considerando o feie omo onstituído de partíulas de diâmetro d, e o mesmo para as partíulas do alvo A. Se a densidade do alvo é n, e S é a área do feie (área transversal), o número de partíulas inidentes sobre o alvo por unidade de tempo é ls que, ao propagar-se por uma distânia no gás passa por ns moléulas do alvo (I é a densidade do feie). Como ada átomo apresenta uma seção hoque π d que é uma área efetiva de olisão, ao perorrer a distânia, ada moléula do feie olidirá om toda do gás no seu aminho, ou seja, de modo análogo ao que fizemos anteriormente. n o. olisões / moléula no feie π d n Como eistem I()S moléulas / tempo inidindo,

144 46 n o. olisões / tempo I()Sπ d n (6) Tomando que em ada olisão um átomo do feie é defletido, a diminuição de número átomo do feie/tempo ao passar pela fatia de gás é a diferença do fluo de entrada e saída, ou seja: l ( + ) S l( ) ( + ) l( ) l S lsπd lπd n n e, tomando limite e σ πd n, tiramos a equação mestra do espalhamento dl d lσn (63) de onde, por integração, tiramos que a intensidade do feie derese da forma: l σn ( ) l e (64) após propagar uma distânia no gás. Como l σn l l ( ) l e (65) Fig. - Refleão de moléulas do feie ao perorrerem a distânia

145 47 Assim, medindo o fluo de partíulas do feie após perorrerem o gás e grafiando seu logaritmo versus, onforme a fig. 3, tiramos o livre aminho médio e, onseqüentemente, a seção de hoque ou o tamanho d das moléulas. Fig. 3 - Determinação do livre aminho médio III.8 - Efusão de um Gás por um Orifíio Uma das importantes apliações da teoria inétia dos gases é o esape de um gás por um orifíio de um reipiente que ontém gás a uma determinada pressão. Seja um pequeno orifíio (muito menor do que as dimensões do sistema) feito na parede de um reipiente que ontém um gás. Sendo as dimensões do orifíio pequenas omparadas om as dimensões dos reipientes, o equilíbrio eistente no gás não é grandemente afetado pela presença do orifíio. Neste aso, o número de partíulas que emerge do orifíio é eatamente o mesmo número que olidiria om a área oupada pelo orifíio. Este proesso é denominado de "efusão" do gás, veja figura 4. Fig. 4 Efusão Consideremos um reipiente ontendo gás a uma pressão P, temperatura T e densidade n. Queremos alular o fluo (moléula/área tempo) que emerge por um orifíio

146 48 de área A. A fim de alular este número vamos tomar um elemento de área da e ahar o número de moléulas olidindo neste elemento por unidade de tempo. Como já dissemos anteriormente este será o número que emerge se ao invés de parede sólida houvesse ali um orifíio de mesma área. Consideremos, iniialmente, as moléulas nas vizinhanças do elemento da. De todas moléulas ontidas nesta vizinhança, esperamos que aquelas que se movem na direção da superfíie olidirão om ela. Assim, vamos fazer um simples modelo que onsiste em tomar aquelas moléulas que desloam-se om veloidade média v na direção da superfíie. Durante um tempo dt, todas aquelas moléulas ontidas num ilindro de área de base da e altera v dt olidirão. Como a densidade do gás é n e em média somente 6 delas desloam-se ontra a superfíie, temos que o número de moléulas que olidem om da no tempo dt é que emergirão do orifíio de área da é: n vdt. da e, portanto, o fluo de moléulas 6 n o moleular nv dadt 6 Este álulo é, no entanto, apenas uma aproimação pois para sermos mais eatos deveremos levar em onta a distribuição de veloidades e integrar sobre todo o hemisfério interior do reipiente. Os detalhes de álulo fiarão omo eeríio ao leitor e o resultado eato que se enontra é: Φ nv (partíulas / área tempo) (66) 4 para o fluo emergente pelo orifíio. Este fluo, no aso da parede ter espessura muito menor do que o diâmetro do orifíio é uniformemente distribuído em todo o hemisfério eterno do orifíio e em ada direção temos a distribuição de Mawell para a veloidade. Com a relação dos gases perfeitos e o valor de v para uma distribuição de Mawell, podemos esrever a relação aima omo: Φ p πmkt (67)

147 49 Uma apliação geral que podemos fazer da efusão é a determinação de vazamentos em sistemas de váuo ou pressurizados, apenas aompanhando a evolução temporal da pressão. Analisaremos esta apliação omo eeríio. III.9 - Propriedades de Transporte de um Gás Eistem várias propriedades do sistema gasoso que são de interesse prátio e que dependem das propriedades inétias dos gases. Entre inúmeras destas propriedades vamos iniiar analisando a ondução térmia, fenômeno pelo qual um gás é apaz de transportar energia de um ponto a outro. A fim de estudarmos este fenômeno e determinarmos a apaidade de um gás em transportar energia, vamos onsiderar um sistema que não está em equilíbrio térmio, de modo que partes diferentes podem estar a temperaturas diferentes. Embora em não equilíbrio, vamos manter o sistema num estado estaionário, de modo que a onfiguração térmia das várias partes do sistema não são alterados om o passar do tempo. Por eemplo, onsideremos um gás em ontato om dois reservatórios à temperaturas T e T, omo mostrado na figura 5. Para o aso onde T > T, haverá um fluo de energia do reservatório para o reservatório e este transporte energétio é, evidentemente, feito através das moléulas do gás. As moléulas entrando em ontato om o reservatório, Fig. 5 - Condução térmia através de um gás aumentam sua temperatura fiando mais energétias, ou seja, elas emergem de om veloidade maior do que quando entraram. Através de olisões om demais partíulas esta energia vai sendo transferida às demais partes do sistema até atingir o reservatório que reeberá esta energia transportada pelo gás. A força motriz para este transporte de energia é a diferença de temperatura entre as duas partes. A situação físia desrita tem omo fluo de energia transferido a onheida equação:

148 5 J K T energia / (tempo. área) (68) T ou seja, a energia fluirá oposta ao gradiente de temperatura, e a onstante de proporional idade é denominado de ondutividade térmia (K T ) do sistema. Nosso trabalho aqui é determinar o valor desta onstante (K T ) a partir do que onheemos sobre os gases. Como vimos, a menor distânia que a moléula onsegue aminhar sem alterar seu estado energétio é o aminho livre médio I. Assim, vamos onsiderar dois planos imaginários no interior do gás, separados por I (projeção do aminho livre médio na direção ). Num dos planos as moléulas apresentam energia U e no outro U. Chamaremos de A a área dos planos em questão (veja fig. 6). Fig. 6 - Sistema para análise do transporte de energia em um gás Se as moléulas passam da posição para a posição + I om uma veloidade média v e gastam t neste trajeto, sendo n a densidade do gás e v o alor espeífio (energia / massa grau), temos que a energia transportada de à + I em t é: Q (quantidade massa) v T ou seja, Q Anv t T v A variação de temperatura entre as posições onsideradas pode ser esrita omo: dt Q T l, e J d A. t (fluo de alor)

149 5 tiramos que J dt nvl v (69) d equação (68) Comparando a equação (69) om a lei de fluo de alor visto anteriormente, J K T dt d obtemos que a ondutividade térmia do gás é K n l v (7) T v Temos agora que determinar I v em termos de I e v. Como I I os Θ e v v os Θ (Note que aqui fará o papel do eio z em oordenadas esférias), temos que < Θ < π / l v / π ΘF π / π / os ( v) F π / v senθdθρdv π lv π ( v) dw π / os ΘsenΘdΘ senθdθdρ l v lv 3 Fig. 7 - Sistema de oordenadas para álulo de l v

150 5 (Nota: tivemos que normalizar, dividindo pela integral, pois agora só estamos trabalhando om um hemisfério do gás). Assim, a ondutividade térmia é: K T energia. omp. nvlv 3 grau. área. tempo que omo vemos, é proporional as várias grandezas relevantes para o transporte de energia, omo era esperado, já que o aumento de quaisquer destas grandezas leva a um aumento na efiiênia do transporte de energia. Além da ondutividade térmia, outra propriedade de transporte bastante importante é a visosidade do gás. A visosidade está assoiada om a apaidade do gás em transmitir quantidade de movimento. Assim, seja o gás ontido entre duas plaas paralelas separadas pela distânia y (fig. 8). Fig. 8 - Arraste devido à visosidade do meio Se oloarmos a plaa superior em movimento, devido ao movimento transferido através do gás, a plaa inferior também tenderá a entrar em movimento (arraste). A fim de manter a plaa inferior em repouso é neessário imprimir a ela uma força, que por unidade de área é denominada de tensão de isalhamento (τ ). Esta tensão de isalhamento deverá, obviamente, ser proporional à v (diferença de veloidade entre plaas) e inversamente proporional a y (separação das plaas), já que quanto maior for a veloidade, maior deve ser o arraste e quanto mais separadas as plaas, menor será o arraste. Com isto podemos esrever: τ v y

151 53 A onstante de proporionalidade da epressão aima é denominada de visosidade do gás (η), e a equação aima é onvenientemente esrita omo: dv τ η (73) dy Assim, a visosidade está relaionada om o poder que o fluido tem em arrastar orpos em ontato om ele, ou mesmo amadas suessivas do próprio fluido. Nosso trabalho agora é determinar η em termos das propriedades mirosópias do gás. Da mesma forma que proedemos na ondutividade térmia, onsideremos duas amadas do gás separadas pela distânia I y (projeção do aminho livre médio na direção y), veja figura 9. A amada superior desloa-se om veloidade v + v e a inferior v. Fig. 9 - Sistema para álulo da visosidade Se onsiderarmos um intervalo de tempo t, a quantidade de momentum na direção transferido ao passarmos gás de uma posição para outra é p (massa total) v mav y t v onde a massa total onsiderada é a massa transferida da posição y para y+dy. Sendo n a densidade em número, mn a densidade de massa. Como: tiramos, p v l y dv dy dv mnav yl y t dy

152 54 de onde obtemos: τ p A t mnv y l y dv dy e omo já vimos que ( v l ) lv, obtemos: y y 3 dv τ mlv (74) 3 dy que omparado om a equação forneida anteriormente fornee para a visosidade η nmlv 3 Assim, a visosidade de um gás é diretamente proporional à m, n, I e v. Uma outra interessante propriedade dos gases é a difusão segundo a qual massa é transportada através do gás. Para determinar o oefiiente de difusão de um gás, onsideremos iniialmente a lei que relaiona o fluo de massa om a variação de onentração em uma dimensão: dn J D d sendo D o hamado oefiiente de difusão. Semelhante aos asos de transporte de alor e momento, onsidere duas posições do gás separados por I entre os quais há uma diferença de onentração (ver fig. 3). Fig. 3 - Difusão entre duas regiões de onentração diferentes

153 55 O fluo de massa sendo transportado do ponto de maior para o de menor onentração é: J l n( ) v n( l ) [ n( + l ) n( ) ] v dn d v v tirando a média, l v lv e, omparando om a lei de difusão, o oefiiente D relaiona- 3 se om os parâmetros mirosópios: D lv (76) 3 o que signifia que quanto maior for I e v, maior será a difusão. III. - Transporte de gás arregado eletriamente por uma rede de pontos: uma apliação da inétia dos gases para ondutividade elétria dos metais. Ao onsiderarmos um gás que interage om ampos eternos, além de seu movimento aleatório, podemos ter um modelo simples para a ondução eletrônia nos metais e outros importantes sistemas. Num metal, os elétrons podem ser vistos omo as partíulas de um gás sujeito a olisões om pontos fios (pontos da rede). O fluo eletrônio entre dois pontos quaisquer é normalmente zero. Porém, aso um ampo elétrio seja apliado ao sistema, o fluo resultante não será mais nulo. O fluo de arga resultante (hamado de densidade de orrente J ) rese linearmente om o ampo apliado, estabeleendo a hamada lei de Ohm; J σ E. Queremos determinar σ (ondutividade) a partir de parâmetros mirosópios. Do fato de que os elétrons nos metais estão fraamente ligados aos seus átomos de origem, permite visualizar o material omo sendo um gás de elétrons embebendo os íons positivos, e apliar a este "gás" tudo o que onheemos da inétia dos gases para obtermos informações a respeito das propriedades de transporte elétrios do sistema.

154 56 Ao juntarmos átomos de um determinado metal para formarmos o sólido, os elétrons de valênia do sólido tornam-se pratiamente livres enquanto os demais elétrons do átomo permaneem firmemente ligados ao núleo. Assim, um metal onstituído de átomos om z A elétrons de valênia ontribuirão para a ondução os z elétrons/átomo enquanto os demais z A - z elétrons ontribuem pratiamente em nada para esta propriedade de transporte. Seja um metal om densidade mássia ρ m e massa moleular A, a quantidade de moles/m 3 no metal é ρm A e a densidade de elétrons "ondutores" será: 3 ρm n 6, Z (77) A Cada elétron oupa, em média, uma esfera de raio γ s, dada por: n 4π γ 3 3 s γ s 3 4πn / 3 Alguns eemplos estão listados a seguir: n( /m 3 ) γ s (Å) Na,65,8 Au 5,9,59 Fé 7,, Bi 4,,9 Como podemos ver a densidade do gás de elétrons nos metais são milhares de vezes maiores do que nosso onvenional gás ideal a ondições normais de pressão e temperatura. Apesar disto, e apesar da forte interação olombiana elétron-elétron e elétron-íon, vamos apliar as leis da inétia de um gás neutro e diluído, iniiemos fazendo as seguintes suposições: ) Não há interação elétron-elétron ou elétron-íon entre olisões. A interação só se manifesta durante a olisão do elétron om os íons de rede permaneendo em trajetória

155 57 linear entre olisões, período no qual são válidas as leis da meânia para a interação elétron-ampo, desprezando-se totalmente qualquer outra interação durante este período. A interação elétron-elétron pode ser abandonada na hamada aproimação dos elétrons independentes, enquanto o abandono da interação elétron-íon é hamado de aproimação de elétron livre. ) No modelo que estamos adotando as olisões oorrem instantaneamente mudando abruptamente a veloidade do elétron, sem alterar grandemente a veloidade dos íons da rede que são, evidentemente, muito mais massivos que os elétrons. 3) Vamos onsiderar que o tempo médio entre olisões é dado por τ, de modo que a frequênia de olisão é I/τ. Isto signifia que, em média, um elétron sofrerá uma olisão e, após um determinado tempo τ, uma outra. Assumiremos que τ seja independente da posição e veloidade do elétron. 4) Finalmente, supomos que em ada olisão o elétron atinge equilíbrio térmio om sua redondeza. Isto nos leva a utilizar o fato que após ada olisão o elétron emerge do entro de olisão om uma veloidade que independe daquela que ele tinha iniialmente, dependendo somente da temperatura loal do entro de olisão. Com estas suposições, a visão mirosópia que temos da ondução de elétrons num ondutor está esquematiamente representada na figura 3: Fig. 3 Para o elétron, o sólido nada mais é senão uma oleção de entros de olisão que modifiam sua trajetória e lhe fornee nova veloidade após ada olisão. Entre olisões o movimento é balístio e o elétron está sujeito somente à ação do ampo eterno.

156 58 Vamos iniialmente imaginar um ampo estátio E apliado no sistema. Se uma determinada densidade n de elétrons movem-se om veloidade v, numa determinada direção, o fluo de orrente gerado é: J +nq v onde q é a arga dos portadores. Se não temos ampo apliado, o elétron que é termiamente eitado olide om os íons da rede, determinando uma trajetória desordenada que leva à: < v > Na presença do ampo, após ada olisão temos que adiionar a v o termo que orresponde à veloidade que o ampo imprimiu a arga após a olisão de modo que q Et m q v ( t) v + Et (79) m e a veloidade média entre olisões é, portanto: q v med < v > + E < t > m q v med Eτ (8) m independendo da veloidade om que o elétron emerge do entro, pois esta é aleatoriamente distribuída. Como j nqv med, já que a densidade de orrente é uma manifestação marosópia da resposta a efeitos mirosópios do sistema, temos que: nq j τ E (8) m

157 59 mostrando que a densidade de orrente é linear om o ampo apliado (Lei de Ohm) e a onstante de proporionalidade é a ondutividade elétria σ nqτ q τ σ σ nqµ µ mobilidade (8) m m que é o hamado modelo de Drude para a ondutividade. A onstante τ é normalmente hamada de tempo de relaação e pode ser determinada a partir da medida eperimental de σ e do suposto onheimento das demais onstantes. Normalmente τ ~ se. Se onsiderarmos a veloidade térmia dos elétrons, mv ~ KT determinada para a temperatura ambiente v o ~ 7 m/s, o que nos leva a um aminho médio entre olisões da ordem de a Å onsistente om nossa suposição de que os elétrons olidem om os íons da rede é razoável. Um aso de bastante interesse é a resposta do sistema sujeito a ampos magnétios estátios. Antes de tratarmos este aso, vamos onsiderar os portadores neste meio olisional sujeito a uma força eterna F ( t) qualquer. Sendo I/τ a taa de olisão, a probabilidade de que um elétron sofra uma olisão entre t e t + dt é τ dt e, portanto, a probabilidade de que ele não sofra olisão entre t e t + dt é dt. τ Assim, se em t o momento do portador é p (t), em t + dt será dado por (para elétrons que não olidiram) [ dt] dt p ( t + dt) p( t) + F( t) (83) τ onde o termo em [ ] representa a evolução de p para o portador sujeito a uma força eterna F (t). O termo multipliativo iniial representa a probabilidade da não oorrênia de olisão, pois aso haja olisão, todo momentum adiionado pela força é distribuído. Epandindo a epressão aima, retendo somente termos lineares em dt, obtemos: d p dt ( t) p( t) τ + F( t) (84)

158 6 Isto mostra um resultado muito importante, o efeito de olisões individuais de ada elétron é o de introduzir dissipação de movimento para o sistema. Esta equação é geral e mostra a evolução temporal de um sistema sujeito à força eterna e a relaação, simultaneamente. Vamos apliar este resultado num aso de bastante interesse, quando um ondutor onduzindo orrente é oloado na presença de um ampo magnétio estátio H. Este efeito é onheido omo efeito Hall. III. - Efeito Hall omo Apliação da Equação Geral de Transporte Imaginemos a situação onde um ondutor sujeito a um ampo E, omo mostra a figura 3, é oloado num ampo H z. O ampo magnétio tenta defletir as argas em movimento riando um aumulo de argas positivas de um lado e negativas no outro lado que promove o apareimento de um ampo E y. A força sobre os portadores, neste aso, é: p ( t) q E + H F (85) m e, portanto, a equação de movimento da arga neste aso será: d p dt p p q E + H (86) m τ Fig. 3 - Efeito onjugado de ampos elétrios e magnétios num ondutor

159 6 Se imaginarmos que o sistema já passou pelo período transiente e atingiu o estado d p estaionário. Obtemos, então, o sistema: dt qe qe y + ω p + ω p y p τ p τ y (87) onde ω qh m é a frequênia ilotron):. Multipliando as equações aima por nqτ e usando j nqv, tiramos ( ω m σ E σ E y ω τj + ω τj y + j y j onde σ nq τ é a ondutividade de Drude já determinada. m Quando as argas atingem as faes j y, assim podemos determinar: ω τ E y j σ H nq j definindo uma importante quantidade onheida omo o oefiiente de Hall R H R E y (88) j H nq H Um importante fator na determinação eperimental deste oefiiente está na dependênia om q, o que pode revelar o tipo de portador responsável pela ondução do material em questão, já que R H é sensível ao sinal de q.

160 6 III. Gases Reais e Forças Intermoleulares Toda teoria inétia de gases que desenvolvemos até aqui onsidera as partíulas onstituintes dos gases omo sendo pontos materiais que arregam momentum e que podem troar esta quantidade de movimento om as demais partíulas ou om as paredes do reipiente que as ontém. Em algumas situações imaginamos as moléulas omo sendo esferas duras (tipo bolas de bilhar) e pudemos determinar om este modelo o número de olisões por unidade de tempo, o aminho livre médio e, através destes oneitos, determinamos as propriedades de transporte mais importante para o gás. O gás que estudamos até agora obedeem a lei dos gases ideais PV NKT, segundo a qual o volume de ada moléula ou a eistênia de interação entre eles não se manifesta e nem é importante. Tanto que as variáveis P e V na equação aima são permitidas terem qualquer valor de a. Mas qual é o signifiado de V quando sabemos que as moléulas apresentam por si só um volume? Isto mostra que eiste um limite mínimo para a ompressão do gás. Quando levamos em onta a eistênia de forças intermoleulares bem omo o tamanho finito das moléulas denominamos o gás omo sendo imperfeito ou real. Neste aso, a equação de estado difere um pouo do estado ideal. É laro que a manifestação do aráter não ideal dos gases, depende muito em que ondições este se enontra. Normalmente em regimes de altas densidades a interação intermoleulares, bem omo o efeito de volume finito das moléulas manifesta-se de forma bem mais marante. Esperase, no entanto, que a lei dos gases ideais ontinue válida para baias densidades. Assim, é esperado que a lei dos gases ideais apresente orreções que deverão tornar-se irrelevantes para N/V. Podemos, então, esrever PV NKT N N + B' + C' +... (89) V V onde N é o número total de partíulas no volume V. Quando estamos tratando om mol de gás, a equação é esrita omo: P V. RT ( ) C( T ) B T (9) V V Baseado no livro: A Estrutura Quântia da Matéria J. Leite Lopes

161 63 onde B(T), C(T) são denominados de segundo e tereiro oefiiente do Virial. Observase que B(T) é negativo para todos os gases à baias temperaturas. Ao aumentarmos a temperatura, B aumenta tornando-se positivo. A temperatura para qual B é denominada de temperatura de Boyle. Vamos tratar o gás de uma forma simples (embora a equação (9) seja mais geral) e obter a equação de estado. Devido ao volume finito das moléulas, esperamos que lim V p b d π N om d diâmetro moleular. é que Desta forma, a primeira orreção que podemos fazer na equação dos gases ideais P(V-b) NKT ou seja, quando p, V b. Imaginamos, agora, que eista uma erta atração entre as moléulas. Se olharmos para uma moléula próima da parede do reipiente, veremos que o efeito da interação om os vizinhos é o de efetivamente diminuir a interação da moléula om a parede, diminuindo efetivamente a pressão do gás. Fig. 33 Interação de moléulas om vizinhos O efeito da interação deverá ser maior no derésimo de pressão quanto maior for a densidade n, pois neste aso as partíulas estarão mais próimas. Sendo um efeito de interação de pares esperamos que a orreção seja proporional a n. Assim, vamos dizer

162 64 que o termo de orreção é proporional a l/v e a onstante de proporionalidade será denominada de a, ou seja, P NKT V b a V de modo que a P V + ( V b ) NKT (9) que é denominada de equação de Van der Waals para um gás real. A dedução da equação de Van der Waals pode ser feita através de uma aproimação que onsiste na utilização do teorema do virial. Antes de iniiarmos a dedução propriamente dita, vamos relembrar alguns resultados mais gerais da meânia. Consideremos uma partíula de massa m sujeito a uma força F temos, então: F m & & Através do produto esalar om sua posição (. & ) ( F.) m Como d dt.& + & omo (. & ) & dt temos que m m& d dt F.X

163 65 Como o estado marosópio de um gás não muda om o passar do tempo quando este gás está em equilíbrio, o entro de massa do sistema não deve alterar sua posição. Assim, podemos esrever a seguinte equação: d ma A dt (9) A onde a soma deve ser feita sobre todas as moléulas do gás. Multipliamos (93) por N e tomando derivadas, obtemos: N d dt d dt m A A m A A + A N A & F. A (93) N A e omo, da equação (93), o primeiro membro é zero, deore que para ada moléula, < mv > (F. ) (94) i.e., a energia inétia média das moléulas de um gás em equilíbrio é igual a média do produto esalar da força pela posição das moléulas om sinal troado. Vamos utilizar este resultado para deduzirmos a equação de Van der Waals. Imaginemos um gás onde a força eerida sobre uma moléula A devido a interação om as demais moléulas, é representada por F ( i ) A. Podemos ainda ter uma força eterna ( e ) F A agindo sobre esta moléula. Pelo resultado da equação (94), A m A v A A ( i ) ( e ) ( A. F ) ( A. F ) A A A Vamos admitir que as forças intermoleulares sejam do tipo: F i A ( A B ) F( rab ) / rab B r A B A AB

164 66 Como estamos somando sobre todos pares para efetuar a soma ( i ) A FA, A ( i ) podemos desloar a origem para B, de modo a fiar A FA rabf(rab ). Assim, omo ( r ab A B ) oordenadas esteja sobre A, temos A está na direção da linha entre A e B, assumindo que a origem de A, B ( A b A. ra B rab ) (95) de modo que podemos esrever : A m A v A ( e ) rab F ( rab ) a. F a (96) AB A energia Pelo teorema de eqüipartição de energia, as N moléulas apresentam uma 3 N KT. Como esta energia é o primeiro termo da equação, temos: ( e ) rabf(rab ) A. F A (97) AB A 3NKT A força eterna F (e) pode ter sua origem nas paredes do reipiente, originando uma pressão sobre o gás. Se P é a pressão do gás, n o vetor unitário normal à superfíie, de modo que n ds representa o elemento de área em ada ponto, a força eerida pelo elemento de área será P n ds, ou seja:

165 67 ( e ) A.F A P (.n )ds (98) A S onde S área do reipiente. Usando o teorema do divergente, epressão (98) torna-se: 3 P (. )d 3P V. (99) V 3 pois. 3, e V d é o volume do reipiente. Assim, ou AB AB 3NKT 3PV r F(rAB ) PV NKT + rabf( rab ) () 3 AB que orresponde à equação de estado do gás real no aso onde a interação moleular tem a forma de força entral. Nesta formulação o gás perfeito é aquele onde F(r AB ). omo: A soma dos termos de força da equação aima podem ser, em média, esritas AB r AB F ( r AB ) N( N ) < rf > Cada uma das N moléulas interage om (N-) e para não ontarmos duas vezes o mesmo par, temos que o número total de pares interagindo é N ( N ). Mas omo N é muito grande (~ 3 ), N( N ) N de modo que fiamos om uma equação dada por pv NKT + N < rf > ()

166 68 Assim, para alularmos a orreção do gás ideal devido a interação moleular temos que onheer F(r) e alularmos a média < rf >. Se a energia potenial de interação entre duas moléulas for U(r), a probabilidade de que duas moléulas estejam separadas dentro da distânia r r+ dr (probabilidade de pares) é obtida da meânia estatístia, omo sendo: f ( r )dr 4 π e U ( U ( r ) / r ) / KT KT r d 3 dr X de modo que este será o peso estatístio no álulo do valor médio de rf. Como du F, o valor médio < rf > pode ser esrito omo: dr < rf 4π > e e U ( r ) / KT U ( r ) / KT 3 du r dr dr 3 d X Vamos denominar I U( ) / KT 3 e r d de modo que fiamos om pv NKT 6 N 4π I e U ( r ) / KT r 3 du dr dr Como d dr e U( ) / KT du e r multipliando e dividindo por KT, teremos: KT dr U( r ) / KT pv NKT + 6 N 4π KT I 3 r d ( e U ( r ) / KT )dr dr ou seja: pv πn NKT + 3 I d dr 3 r U( ( e r ) / KT ) dr () mostrando a equação de estado de um gás imperfeito, omo função do potenial de interação entre as partíulas.

167 69 Vamos, iniialmente, onsiderar o aso do hamado potenial de esfera dura, omo mostra a fig. 34. Fig. 34 Potenial de esfera dura U ( r ) r r > < d d de modo que e U ( r ) / KT r r > dd < d Assim, 3 U( r ) / KT r d(e d 3, e I V, tomando a epressão anterior fia: N PV NKT + π d 3 V 3 3 Se hamarmos b πn(d ), obtemos: 3 b PV NKT + V ou seja: PV b + V NKT

168 7 Quando b V b <<, e obtemos omo aproimação b + V V P (V b) NKT (3) O potenial que tomamos neste eemplo, representa o fato de na realidade as moléulas apresentarem um volume finito, e o efeito disto na lei dos gases ideais é a alteração do valor do volume à disposição para as moléulas omo na equação de Van de Waals. Além de apresentar um volume finito, que representa uma forte interação a urtas distânias, eiste uma interação à longa distânia que embora pequena, tem um efeito onsiderável na equação de estado. Consideremos, então, um potenial atrativo mostrado na figura 35. U(r B ), B > (4) n r om a observação epliita que lim U(r) r Assim, a interação de () fia: N π 3 VKT r 3 e U / KT du dr dr a NKTV ( a> ) ou seja, pv NKT a V

169 7 Fig. 35 Potenial ombinado de atração-repulsão Vamos melhorar o modelo introduzindo um potenial que ombina ambos poteniais vistos anteriormente, ou seja: U (r ) W B n r r < d d < r < r r < r (5) om a ondição W W / KT <<, e ~ obtemos: KT N 3 π r ( e 3 I PV NKT + U ( r ) / KT b V )dr a V b V a NKTV b que para <<, pode ser esrita omo V a P V + ( V b ) NKT (6) que é a equação de Van der Waals, mostrando que realmente a orreção na pressão deve-se à interação de longo alane entre moléulas e a orreção no volume deve-se ao volume finito apresentado pelas moléulas.

170 7 As onstantes a e b são normalmente denominadas de onstantes de Van der Waals onde b é determinado através do diâmetro moleular e a através da lei de força de atração entre moléulas. Para determinadas temperaturas podemos fazer gráfios de P vs V, obtendo as urvas que são denominadas de isotermas. Para altas temperaturas as isotermas de Van der Waals são bem pareidas om as hipérboles que obtemos om a lei dos gases ideais. No entanto, à medida que atingimos baias temperaturas as isotermas omeçam a apresentar desvios hegando ao aso onde elas apresentam máimos e mínimos. A transição de um omportamento para outro oorre quando o máimo e o mínimo oinidem. Neste aso, temos no diagrama de isoterma uma linha horizontal tangente a ponto de infleão. A temperatura onde oorre o ponto de infleão é denominada de temperatura rítia (T) e P e V para este determinado ponto são denominados de valores rítios P e V. Fig. 36 Isotermas P V para gás real A eistênia do ponto rítio denota a oorrênia de mudança de fase no sistema o que eiste apenas para sistemas de gases reais. O gás de Van der Waals é uma primeira aproimação realístia dos gases prevendo a formação de um líquido. Detalhes maiores deste tipo de efeito deverão ser abordados num urso de Meânia Estatístia.

171 73 III.3 A Teoria Cinétia e o Movimento Browniano Vamos imaginar a situação físia, onde uma partíula está presente num meio visoso podendo realizar um movimento desordenado. Este é, por eemplo, o aso de uma moléula de soluto em solução de uma moléula gasosa num gás estranho ou de uma minúsula partíula sólida num líquido (veja fig. 37). Fig. 37 Movimento browniano é dada por: Neste aso, a hamada equação de movimento para a referida partíula de soluto dv m { β v + { F( t) dt vis os a aleatória A força F(t), aleatória advém de olisões om outras partíulas. A equação aima é hamada de equação de Langevin e estamos interessados em onheer o desloamento quadrátio médio desta partíula neste meio. A equação aima pode ser esrita omo: m d dt ( v ) v β v + F(t ) tornando a média temporal, tiramos : m d dt v m v β v

172 74 onde usamos o fato que a força F(t) é aleatória e, portanto, F (t ). Da teoria inétia, temos que m v ~ KT de modo que m d dt v KT β v resolvendo para v d dt, tiramos KT β t m e β β t m Para tempos urtos, a eponenial pode ser epandida até ordem t forma, obtemos para o desloamento médio quadrátio. e, desta KT t β Para t << β m, o termo entre parênteses desaparee e fiamos om outra dependênia temporal para : ~ KT β t Na teoria de difusão obtém-se omo solução da equação de Fik que o desloamento quadrátio médio está relaionado om o oefiiente de difusão através de: Dt de modo que obtemos para o oefiiente de difusão:

173 75 KT D β mostrando que o oefiiente de difusão neste aso depende da agitação térmia dos onstituintes e da apaidade do soluto em perder energia através do proesso visoso. Este sistema físio, disutido aima, é normalmente hamado de movimento Browniano, originalmente observado para partíulas em suspensão por Robert Brown (87). Este movimento foi profundamente analisado por Einstein que mostrou ser devido às onstantes olisões aleatórias que as moléulas de um meio eerem sobre outra. Uma importante araterístia deste movimento é que o perurso perorrido por uma partíula devido ao proesso de difusão é: L t dependênia esta, bastante usada em físia.

174 Universidade de São Paulo Instituto de Físia de São Carlos Departamento de Físia e Ciênia dos Materiais FÍSICA MODERNA ELEMENTAR CAPÍTULO IV INTEGRAÇÃO DO CAMPO ELETROMAGNÉTICO COM O SISTEMA ATÔMICO AUTORES: PROF. DR. VANDERLEI SALVADOR BAGNATO PROF. DR. LUIS GUSTAVO MARCASSA São Carlos, Junho 999

175 CAPÍTULO IV INTERAÇÃO DO CAMPO ELETROMAGNÉTICO COM O SISTEMA ATÔMICO IV.. INTRODUÇÃO Neste apítulo vamos introduzir o oneito de radiação eletromagnétia e tratar os aspetos básios de sua interação om o sistema atômio. Através desta interação é que onvenionalmente realiza-se estudos om respeito aos fenômenos atômios envolvendo a estrutura interna dos átomos, seu omportamento quando agrupados formando sólidos, et. É através da interação radiação-átomo que vemos o mundo ao nosso redor. Ao interagir om o átomo os ampos elétrios alteram onsideravelmente a distribuição de argas no sistema, literalmente haoalhando as argas, havendo a possibilidade de transferênia de energia e momentum do ampo eletromagnétio para o átomo. Estudaremos neste apítulo as formas e variações pelas quais oorre esta transferênia de energia introduzindo uma série de novos oneitos que serão importantes quando estudarmos a interação da radiação om átomo om base na meânia quântia. Coneitos importantes que dominam a físia moderna podem ser introduzidos a partir do modelo lássio simples que aqui iremos tratar. IV.. BREVE INTRODUÇÃO AO CAMPO ELETROMAGNÉTICO DE RADIAÇÃO Vamos iniiar nosso estudo onsiderando as equações de Mawell do eletromagnetismo. Possuindo distribuições de argas e orrentes omo sendo fontes de ampos, podemos esrever as equações de Mawell da seguinte forma: r r r r r 4π D. D 4πρ H j + t r r r r B r. B E () t r r r r e se substituirmos B µ H e D ε E, onde µ é a permissividade magnétia e ε a onstante dielétria do meio que assumiremos omo sendo onstantes, fiamos om

176 3 r r ε.e 4 πρ. B r r r r 4π r E B µ J + µε () t r r r B E t Se estivermos bastante distante das fontes (arga e orrente) podemos desprezar r os termos em ρ (densidade de argas) e J (densidade de orrente) e fiamos om um onjunto de equações mais simples: r r. E. B r r B r E (3) t r v E B µε t As últimas equações têm uma informação bastante importante que mesmo na ausênia de fontes um ampo magnétio variando no tempo gera um ampo elétrio e vie-versa. Este é o prinípio básio da onda eletromagnétia que nada mais é senão uma auto-sustentação entre os ampos elétrios e magnétios, permitindo o transporte de energia, mesmo na ausênia de matéria. Tomando o rotaional da última equação aima e usando a propriedade que r r r r r ( A). A A, temos que r r r r r µε r ( B) (. B) B ( E) t (4) e utilizando a equação para E v, tiramos que r r µε B t r B (5)

177 4 ou seja r r µε B B t (6) que é a famosa equação de onda mostrando que as equações de Mawell prevêem que o ampo magnétio e o elétrio obedeem às equações de uma onda que se propaga om veloidade µε, ou seja, v v om 3 m / s (7) µε onde µε n é o índie de refração. No váuo a veloidade da luz é. Podemos esrever a mesma equação aima para o ampo elétrio, obtendo: r r µε E E t (8) A direção deste ampo elétrio é hamada de direção da polarização e pode ter várias formas distintas. Vamos hamar esta direção de ê, de modo que a solução da equação de onda tem a forma: r E ee $ os( k ωt + φ ) (9) que representa uma onda que propaga-se na direção, om amplitude E na direção ê, freqüênia ω e vetor de onda k π λ. Como o vetor de onda está assoiado a freqüênia através de k ω () o ampo elétrio pode ser esrito omo

178 5 r t E ee ˆ os + φ λ () onde φ é uma fase que depende das ondições iniiais. (Por simpliidade estamos onsiderando váuo µε ~ ). Com esta solução para o ampo elétrio podemos usar as equações de Mawell e obter a solução para o ampo magnétio. B r eˆ ' B os( k ω t + φ) () onde e$ $ e$ e B E. Isto mostra que a direção do vetor ampo magnétio é perpendiular ao ampo elétrio, e ambos são perpendiulares à direção de propagação, no aso r. A onda que desrevemos aima é hamada de onda plana pelo simples fato de desrever um plano, já que os valores de E e B só dependem de e não de y e z. O desenho a seguir representa a onda num determinado instante. Fig. Representação esquemátia dos ampos numa onda plana Para uma determinada posição, os ampos elétrios osilam periodiamente no tempo, e se ongelarmos o tempo (omo mostrado aima), os ampos osilam periodiamente no espaço. A freqüênia de osilação dos ampos determina o que hamamos de or da radiação eletromagnétia e, dependendo de seu valor, ela pode ou não ser observada pelos órgãos visuais humano. Assim, a lassifiação da radiação eletromagnétia pela sua freqüênia está mostrada a seguir (fig.).

179 6 Fig. Regiões espetrais da radiação Em ótia normalmente usamos as unidades miron (µ) e angström (Å) definidos omo µ -6 m, Å - m. Logo, o omprimento de onda orrespondente ao entro da região visível pode ser epresso por,55µ ou 555Å. Os limites de espetro visível não são bem definidos porque a urva de sensibilidade dos órgãos visuais se aproima assintotiamente para maiores ou menores omprimentos de onda. Se tomarmos arbitrariamente omo limites para o visível os omprimentos de onda para os quais a sensibilidade humana ai a % de seu máimo, seus valores serão era de 43Å e 69Å. A onda que disutimos anteriormente é linearmente polarizada, de modo que a direção do ampo elétrio era fio ê. Este não é o únio estado possível para a polarização de fato, quando a direção na qual o ampo elétrio é orientado não é bem definida, temos o que hamamos de radiação não polarizada. Pode, no entanto, oorrer que o vetor ampo elétrio gira na medida que a onda propaga-se. Nesta situação dizemos que a luz é irularmente polarizada, podendo estar irularmente polarizada à direita ou à esquerda. É laro que em todos os asos o ampo magnétio aompanha o ampo elétrio sendo sempre perpendiular a ele. No aso da onda irularmente polarizada, o vetor ê é um vetor girante. Assim, no aso mais geral, onde a polarização é desrita por ê, e a direção de propagação é n r, a onda plana é esrita omo: r r E( r, t) ee $ os( k. r ωt + φ ) (3)

180 7 r r sendo o vetor de onda k kn sempre na direção de propagação. A onda pode ser omposta de várias freqüênias diferentes, ao invés de uma únia (monoromátia). Neste aso, temos: r r E(, t) ee ˆ ( ω)os( k. ωt + ω, k r φk) (4) araterizando a hamada radiação não monoromátia. A intensidade média (potênia por unidade de área) transportada pela onda é alulada omo sendo: I E 8π (5) Os ampos que fazem parte da radiação são apazes de trabalhar sobre argas ou orrentes, de modo que o ampo eletromagnétio ontém determinada energia. Numa r r região do espaço onde o ampo elétrio é E e o magnétio B, a densidade de energia é eatamente: r r ( ) µ E 8π + B (6) de modo que a energia total ontida num volume V é r r ( ) U E + B dv 8π V (7) é: Considerando as ondas planas, linearmente polarizadas, a densidade de energia r ( ( r r E k t ) E ( r os. + + os k. t + )) µ 8 ω φ ω φ π r ( r E os k. ωt + φ) (8) 4π

181 se esta onda propaga-se na direção r k, oupando uma área transversal de valor A, passará uma quantidade de energia µa t durante o intervalo de tempo t. 8 Fig. 3 Volume imaginário que ontém a radiação Assim, a quantidade de energia é U µa t e, portanto, a intensidade I U I µ. (9) A t r r E os ( k. ωt + 4π φ ) () Se tomarmos a média temporal, lembrando que os ( r k. r ω tk) ~ / I E 8π () Esta é a quantidade média de energia transportada pela onda por unidade de tempo e área. É importante lembrar que aqui estamos utilizando o sistema CGS de unidades de modo que C 3 m/s e a unidade de ampo elétrio é Stat Volts/m ( stat volt 3 V). Neste sistema, intensidade deve ser epressa em erg/se). erg s. m (W 7 IV.3. INTERAÇÃO DA RADIAÇÃO COM A MATÉRIA: ABSORÇÃO DE ENERGIA Vamos iniiar nossos estudos sobre a interação do sistema atômio om a radiação através de um modelo bastante simplifiado. Para nós, em primeira

182 9 aproimação, o átomo nada mais é senão uma arga positiva rodeada de uma nuvem de arga negativa, distribuída uniformemente ao seu redor. Como modelo simplifiado vamos supor que o sistema omporta-se omo se a arga negativa estivesse harmoniamente ligada. Quando a radiação inide sobre este sistema, o ampo elétrio deforma esta suposta densidade uniforme de arga tendendo a afastar argas negativas das positivas. Como resultado desta deformação, há indução de um dipolo elétrio no átomo que sobre a presença do ampo faz om que suas argas osilem forçosamente. Fig. 4 Modelo simples para interação radiação-átomo Assim, o efeito da radiação sobre o meio (no aso átomos), é basiamente o de produzir uma polarização. O ampo da radiação osila temporalmente e espaialmente. A osilação espaial oorre em intervalo da ordem de λ (omprimento de onda) que é normalmente da ordem de 3 a 4 Å. As dimensões atômias são, no entanto, muito menores da ordem de Å. Desta forma, a distribuição de argas no átomo não sente grandemente a variação espaial do ampo e para qualquer efeito prátio, para o átomo é omo se o ampo de radiação somente osilasse temporalmente. Isto estabelee uma simplifiação importante. Vamos imaginar uma amostra que ontenha N átomos/volume, interagindo om uma onda plana. Na aproimação na qual o elétron está preso harmoniamente, a equação de movimento para ada elétron na presença do ampo é: r m& r + mω r ee os( ωt) () onde m massa elétron, ω freq. natural de osilação. É de esperar que o elétron seja arrastado pelo ampo, osilando junto om ele, de modo que a solução da equação aima deva ser da forma:

183 r r osω t (3) e substituindo na equação iniial, tiramos: r mω r + mω er osωt (4) tendo omo valor de r r r ee m / ω ω (5) será: Sendo r r osω t o desloamento do elétron, o dipolo induzido em ada átomo r r r p er er t osω (6) Para o sistema total (N átomos/m 3 ), o dipolo induzido leva a uma polarização do meio, ujo valor nada mais é senão a soma de todos os dipolos na unidade de volume, ou seja: r r r P Np Ner osω t (7) r r Ne E / m P ω ω (8) Desde já observamos que esta polarização induzida será mais intensa quando a freqüênia de osilação do ampo for igual à freqüênia natural de osilação do sistema denominada de freqüênia de ressonânia. Do eletromagnetismo sabemos que: r r r r D E + 4πP ( + 4πχe ) E (9) de modo que tiramos

184 r Ne m r D 4 π / E t 4 os ω r 34 (3) ω ω E e utilizando as equações de Mawell: r r. B r r D B t r.d - B E t (3) obtemos que, após tomarmos o rotaional da última equação E 4ρNe / m E ω ω t (3) mostrando que a propagação da onda neste meio, oorrerá om veloidade v dada por: 4 πne / m v ω ω (33) e omo v (n), termos n Ne / m omo sendo o índie de refração do meio ω ω para a propagação desta radiação. Eliminando n(ω) temos: πne / m πe N / m n( ω) ω ω ω ω (34) para gases ujo n(ω) não difere muito da unidade. Apesar de n(ω) tomar em algumas ondições valores menores que, não signifia que v >. Apenas a definição de v não é mais adequada. n

185 Esta epressão para o índie de refração não é muito adequada para freqüênias da radiação próimas de ω, pois observamos a oorrênia de divergênias. A razão desta divergênia fazendo om que a polarização seja infinita nas proimidades de ω advém do fato que o modelo, até o momento, não tem uma forma de dissipar energia. Somente adquirindo a energia do ampo, os elétrons osilam ada vez om amplitude mais elevada, levando a uma divergênia. Fig. 5 Relação n(ω) versus ω. A fim de tornar nosso modelo mais realista, temos que introduzir no sistema dissipação de energia. Assim, teremos que adiionar na equação de movimento um termo de força proporional à veloidade e oposta a ela, responsável pela dissipação. Fisiamente, este termo pode ser interpretado omo a radiação emitida pelo dipolo osilante omo se fosse uma antena. Assim, a nova equação de movimento é: mr r m r + ζ + mω r ee r os ωt (35) onde ζ é hamada de onstante de amorteimento e está relaionada om a taa de dissipação de energia e será relaionada om os parâmetros físios do sistema mais adiante. Anteriormente a solução estava em fase om o ampo. Com a adição do termo dissipativo isto não é verdade neessariamente verdade, e a solução deverá ser da forma: r r os( ω t + φ ) (36)

186 3 onde agora r r e a fase φ dependerão dos vários parâmetros do problema. Da solução proposta, tiramos: r r ω sen( ωt + φ) r r ω os( ωt + φ) (37) (38) e epandindo o seno e oseno da soma na equação original, temos: ω r osωt os φ + ω r senωtsenφ ωζ r senωt osφ ωζr os ωtsenφ (39) + ω ω φ ω ee os t os senωtsenφ osωt m Como esta equação tem que ser válida para qualquer instante de tempo, os termos em senωt e osωt têm que estar em equivalênia, isto é, a soma de seus oefiientes devem se anular. Assim, ( ω osφ ωζsenφ ω osφ) ee + r m (4) ω senφ ωζos φ ω senφ (4) Da segunda equação tiramos: tan φ ωζ ω ω (4) e usando relação os φ + sen φ, obtemos ζω sen ϕ (43) ( ω ω ) + ζ ω osφ ω ω ( ) ω ω + ζ ω (44)

187 4 Utilizando estes valores na primeira equação, temos: r ω ( ω ω ) ζ ω + ( ω ω ) ( ω ω ) ω ( ω ω ) ee ( ω ω ) + ζ ω m r ( )( ) ( )( ) ω ω ω ω + ζ ω r ee (45) ω ω ω ω + ζ ω m e, portanto, a amplitude de osilação é dada por: r r ee m ( ) ω ω + ζ ω / (46) Com o valor de r podemos esrever a polarização do meio omo sendo: v r r P Ner Ner os( ω t + φ ) (47) ou seja, r v r P Ner osωt osφ + Nersenωtsenφ (48) e substituindo os valores enontrados aima, temos: r P Ne m r os E + ζ ω E ( ω ω ) Ne ζω ωt + ( ω ω ) + ζ ω m ( ω ω ) r senωt (49) Assim, na presença da radiação, o meio responde om duas partes distintas: uma ompletamente em fase om a radiação inidente (termo osωt) e outra 9 fora de fase om a radiação inidente (termo em senωt os (ωt-π/)). É importante notar que o segundo termo é onseqüênia direta da dissipação já que ζ elimina este termo.

188 5 Considerando iniialmente somente o primeiro termo e utilizando a equação de onda omo anteriormente, tiramos que a parte do índie de refração denominada de dispersiva é: πne ω ω n ( ω) + m ω ω + ζ ω ( ) (5) O gráfio de n ( ω ) omo função de ω está mostrado abaio: Fig. 6 n (ω) versus ω que é a forma dispersiva orreta, não apresentando divergênias ao redor de ω. Longe da freqüênia de ressonânia, o sistema não nota muito a presença da radiação. As regiões onde n ( ω ) aumenta om a freqüênia é denominada de região de dispersão normal, enquanto nas regiões onde n (ω) desreve om ω são hamadas de dispersão anômala. O segundo termo da polarização que depende do termo dissipativo, representa na verdade uma absorção. Ele representa a maneira pela qual a energia é dissipada. Para melhor entendermos isto vamos alular a taa om que a energia é retirada do ampo de radiação, ou seja, a taa om que o ampo elétrio está trabalhando sobre as argas que onstituem o sistema atômio. Assim, voltamos à equação iniial: r m& r + mζ r& + mω ee osωt (5) e multipliamos esta equação por r& esalarmente, obtemos:

189 6 r r m& r. r& + mζr& + mω. r& ee. r& osωt (5) Reesrevendo o primeiro termo d dt r r r r m( r& ) + mω ( ) + mζ r&. ( ee osωt). (53) Notamos que o termo dentro de olhetes é eatamente a variação da energia total do osilador. O segundo termo representa a taa na qual a potênia está sendo dissipada pelo sistema, pois ela representa o produto da força visosa pela veloidade, e finalmente o lado direito da equação representa a taa om que a energia do ampo está sendo forneida ao sistema, pois é o produto da força sobre o elétron pela sua veloidade. No regime estaionário a taa om que a energia está sendo forneida ao sistema equivale à dissipada. A potênia forneida é: r r ( potênia) P ( ee osωt). (54) uja média temporal fornee, após substituição de ( senωt os ω t) med ~ r r os( ω t + φ ) lembrando ( Potenia) ee P ω rsenφ (55) e usando a relação para senφ obtida anteriormente, a potênia troada om o sistema atômio é: (Potênia) ee ζω P (56) m ( ω ω ) + ζ ω Esta é a taa om que a energia do ampo é transferida ao sistema que posteriormente dissipa omo pode ser visto pela equação de onservação de energia da página anterior. (Eq. 53)

190 7 Se fizermos um gráfio desta potênia absorvida versus frequênia: Fig. 7 Potênia versus freqüênia À medida que variamos a frequênia da radiação quando estamos longe da freqüênia de ressonânia ω, a potênia absorvida varia omo P α ω 4 ω (57) e, portanto, a potênia transmitida ao sistema atômio é nula. Ao aproimarmos ω de ω a potênia absorvida rese e é máima eatamente para ω ω. Este omportamento gera a linha mostrada aima normalmente denominada de linha de absorção do material átomo e é araterizada pela sua frequênia de máimo ω e sua largura, que é dada por: ω ζ (58) Assim, é graças ao termo dissipativo que o sistema onsegue absorver energia para freqüênias próimas, mas diferentes de ω. Como dissemos anteriormente, o termo de dissipação de energia está assoiado ao fato que ao interagir om o ampo elétrio da radiação a arga é aelerada, e pelas leis básias do eletromagnetismo argas aeleradas emitem radiação. Pode-se mostrar que o valor médio da potênia emitida por uma arga em movimento aelerado é

191 8 P 3 e (&&) 3 (59) que Se supusermos um elétron em movimento harmônio, X X osωt, é fáil mostrar P 3 e 3 ω (&) (6) pois X& Xωsenωt && X&& ω X osωt ω & já que sen ωt os ωt Comparando esta epressão om a taa de dissipação de energia m ζ r&, onsiderando & r&, tiramos ζ 3 e 3 ω m (6) que é a onstante dissipativa em termos dos parâmetros do problema. Voltemos ao nosso meio onstituído de N átomos/m 3 pelo qual a radiação é absorvida. Tomando a variação da intensidade da onda numa distânia z. Fig. 8 Volume de ontrole para absorção da radiação

192 9 Temos que ada átomo do volume onsiderado absorve a potênia mostrada anteriormente. Como I E, esrevemos: 8π 8π ζω P I potênia dissipada por átomo (6) ω ω + ζ ω ( ) (lembrando que I P/A), tendo n átomos/m 3. 8πe ζω A [ I( z + z) I ( s) ] NA z I( z) (63) ( ω ω ) + ζ ω onde tomamos z pequeno. Assim, no limite z di dz 8 e ζω πn I (64) ( ω ω ) + ζ ω E por definição, di dz α I, onde e ζω α 8πn (65) ( ω ω ) + ζ ω é o hamado oefiiente de absorção do meio, e a variação da intensidade ao propagarse no meio é: I( z) I e αz (66) A hamada seção de hoque de espalhamento do sistema σ está relaionada om o oefiiente de absorção através de n σ α sendo n densidade (67)

193 de modo que a seção de hoque de espalhamento fia esrita omo: 8πe ζω σ( ω) ω ω + ζ ω ( ) (68) Esta seção de hoque representa a apaidade que ada onstituinte do sistema (no aso os átomos) tem em remover energia da radiação eletromagnétia inidente e dependendo das regiões de frequênia, ela adquire aspetos bastante interessantes. Vamos analisar os vários asos limites para a seção de hoque de espalhamento ou absorção. o. aso ω << ω - Neste aso a freqüênia da radiação é muito menor do que a freqüênia de máima absorção do sistema. Podemos desprezar os termos em ω no denominador e 8π ζω σ( ω) ω<< ω e 4 (69) ω Se substituirmos ζ por sua epressão 4 8πe e ω σ( ω) ω << ω (7) m ω ou seja σ( ω) Const. 4 ω 4 ω (7) hamado de espalhamento de Rayleigh e araterizado por ser proporional à freqüênia à quarta potênia. Neste aso, quanto maior é a freqüênia da radiação mais efiientemente ela interage e é espalhada pelo sistema atômio. Este tipo de espalhamento (Rayleigh) é responsável pela aparênia azul do éu. Os gases da hamada estratosfera apresentam freqüênias de absorção no ultravioleta. Porém, a luz proveniente do sol (brana) está dominantemente no visível e, portanto

194 ω << ω. Assim, a luz azul que ompõe esta luz solar brana (que é a omponente de maior frequênia) é mais espalhada do que as demais, e sendo espalhada para todas direções ela nos atinge, e sendo sua maior omponente azul, omo resultado vemos o éu azulado. Em ordem de grandeza temos σ(ω) ~ 5-5 ω 4 ω m de modo que se ω ~ - ω (σ) ω ~ -33 m. o. aso ω >> ω - Neste aso a frequênia da radiação é muito maior do que a absorção de modo que podemos desprezar ω do denominador e 4 ω σ( ω) onst. Const. 4 (7) ω A seção de hoque é pratiamente onstante e este regime é hamado de espalhamento Thompson, araterizado por espalhar igualmente todas as freqüênias. Para espalhamento Thompson, temos: σ( ω) ~ 5-5 m (73) 3 o. aso ω ~ ω - Finalmente quando a freqüênia da radiação é próima da freqüênia natural do sistema temos o hamado espalhamento ressonante no qual a energia da radiação não é apenas desviada espaialmente, mas é realmente absorvida pelo átomo, tornando os átomos mais energétios ou eitados. Neste aso, 5 ω σ( ω) 5 α ζ ω (74) hoque Quando ω ~ ω podemos mostrar que o espalhamento apresenta a seção de σ ( ω ) 3 π λ m (75)

195 onde λ é o omprimento de onda da luz inidente, assim, basiamente na ressonânia, a área efetiva para absorção de radiação é pratiamente o omprimento de onda ao quadrado. Se fizermos um gráfio da seção de hoque de espalhamento para os vários asos que analisamos, Fig. 9 Comportamento da seção de hoque radiação-átomo em toda a região espetral IV.4. COMPORTAMENTO NÃO LINEAR NA INTERAÇÃO RADIAÇÃO-ÁTOMO Como vimos até agora, a resposta do meio material à radiação é essenialmente linear, i.e., a polarização do meio na presença do ampo elétrio da radiação é proporional a este ampo. Vamos, agora, onsiderar o aso onde o meio não responde somente proporionalmente ao ampo, mas inlui termos que dependem do ampo ao quadrado, et. Isto é hamado de uma resposta não linear do meio à estímulos eternos. A resposta não linear do meio ao ampo eletromagnétio pode produzir uma troa de energia entre ampos de freqüênias diferentes. Assim, o meio gera radiação numa freqüênia diferente do ampo inidente produzindo, desta forma, uma troa de energia do ampo inidente para ampos om freqüênias diferentes. Duas das mais importantes apliações deste fenômeno são: geração harmônio, no qual parte de energia da onda inidente om freqüênia ω é onvertida em radiação om freqüênia ω e osilações paramétrias na qual um forte ampo de radiação de freqüênia ω gera através do meio dois ampos de radiação de freqüênias ω e ω, tal que ω ω + ω. Vamos, então, imaginar um meio não linear no qual os elétrons do meio podem ser visto omo estando harmoniamente ligados. Assim, ao inidir radiação o elétron é

196 3 desloado e a força restauradora do equilíbrio apresenta o onvenional termo linear e em adição o termo não linear. Imaginemos que a força restauradora seja do tipo: mω r mβ r + (76) onde β é o oefiiente do termo não linear. r Sob a inidênia de um ampo E osωt eterno, a equação do movimento para o elétron é da forma: r r r m& r + mω + mβ ee osωt (77) onde estamos deiando de lado o termo de dissipação para tornar os álulos mais simples. Vamos onsiderar omo solução aproimada o seguinte: r r osω t (78) que será onsiderado paralelo a E. Da equação do osilador, obtemos r r ee & r ω β r osωt (79) m e substituindo a solução r r onsiderada no segundo membro da equação, r ee & r ω osωt β r os ωt osωt (8) m Podemos agora integrar esta equação duas vezes obtendo r(t). Antes, porém, vamos usar a substituição os ωt os ωt (8)

197 4 de modo que os ωt os( ωt) +, temos && ee r ωr osωt β r os ωt + osωt m (8) e integrando uma vez: &r ω r r senωt β sen ωt β r ω 4ω ee - ωm sen ω t (83) e integrando novamente ω ee r r r( t) r osωt + osωt + β os ωt β t ω ω m 8ω (84) que desprezando o termo em t, pois não representa solução osilatória, fia r( t) ~ ω ω r ee + ω m ω β r os t + os ωt (85) 8ω Esta solução, embora esteja bastante longe de ser a solução real da equação aima, revela um fato bastante importante que a presença do termo não linear faz om que o sistema responda om freqüênias múltiplas da freqüênia de eitação. No aso aima, o termo em osωt orrespondem à hamada geração de segundo harmônio que, omo vemos, deverá ser bastante pequeno já que β é pequeno. Embora a solução anterior não seja muito adequada, ela nos fornee onheimento neessário para propor omo solução da equação iniial omo algo do tipo: n r( t) Anos( nω t) (86)

198 5 deiando laro que o meio responderá em múltiplos da freqüênia de eitação. Como estamos interessados somente até a geração do segundo harmônio, vamos arregar a solução até n, ou seja r A + A osωt + A osω t (87) que substituído na equação iniial fornee A ω osωt 4ω A osωt + ω A osωt + ω A os ωt ee + Aω + β ( A os ωt + AA os ωt) os ωt (88) m Como estamos interessados nos termos de ordem ωt e ωt, fazendo as substituições: os ωt osωt + osωt osωt osωt + os3ωt (89) os ωt os4ωt + Após substituição, vamos igualar os termos de mesma ordem em osωt e osωt desprezando os demais: ee Aω + Aω + AA + AAβ m 4 + β A ω A ω A + + AA β (9) Na primeira equação, omo esperamos que A seja o termo dominante, desprezamos os demais e obtemos:

199 6 A ee m / ω ω (9) Substituindo este valor na segunda equação no qual o último termo será desprezado, temos ( ω 4ω ) e E m A 4 β / ( ω ω ) (9) A (93) 4 ( ω ω ) ( ω 4ω ) β e E / m Com isto, podemos alular a polarização do meio, levando em onta somente os termos osωt e osωt e temos r r r e E / m p er osωt + ω ω β e E E / m ( ω ω )( ω 4ω ) os ωt (94) e para a polarização total r r P Np (95) onde B é a densidade de átomos onsiderados. Ne E / m Ne E / m P osωt + os ωt (96) ω ω ( ω ω) ( ω 4ω ) Como P χe, onde χ é a hamada suseptibilidade, a suseptibilidade apresenta agora divergênias em dois pontos distintos. Primeiro, a divergênia que já esperávamos em ω ω, denotando a ressonânia do sistema ao redor deste ponto.

200 7 A nova divergênia que aparee agora orresponde a ω ω radiação inidente na freqüênia ω ω araterizando a hamada geração de segundo harmônio.. Neste ponto, a emergirá do sistema om freqüênia ωω, Fig. n(ω) versus ω para o aso não-linear É laro que não introduzimos no nosso álulo termos dissipativos, mas isto poderia ser feito sem grandes difiuldades da mesma forma que foi feito anteriormente. Os efeitos não lineares em meios óptios são etremamente importantes para dispositivos opto-eletrônios e para geração de luz visível a partir de luz infra-vermelho. Num urso moderno de óptia este proesso será neessariamente abordado om profundidade. IV.5. FORÇA DA RADIAÇÃO SOBRE O SISTEMA ATÔMICO Até agora estudamos o proesso de espalhamento de radiação do ponto de vista energétio, sem nos preouparmos om o efeito meânio que esta interação produz. A radiação não é omposta apenas de ampo magnétio que osila num plano perpendiular ao plano determinado pelo ampo elétrio. Assim, omo E e b osilam em fase, o efeito de ambos sobre as argas do átomo oorre em onjunto. A ação do ampo elétrio sobre o átomo produz um desloamento do elétron na sua direção e sentido oposto. Isto signifia que o ampo elétrio da radiação imprime ao elétron do átomo uma veloidade r&. Como o ampo magnétio pode agir sobre esta arga animada de veloidade, isto resulta numa força.

201 8 r F e r rb & (97) Vamos onsiderar uma radiação que apresenta ampo elétrio na direção $, magnétio na direção $y e, portanto, tem direção de propagação em $z. O ampo elétrio movimenta o elétron na direção $ e, portanto, r& é na direção $, de modo que a força aima torna-se: r e F rbz & $ (98) e desta forma, a força que a radiação eere sobre o sistema atômio é na direção de propagação da mesma. Fig. Esquema da força produzida sobre o átomo durante interação om radiação omo sendo: A equação de movimento do elétron no átomo já foi onsiderada anteriormente r r r m + mζ r& + mω ee osωt (99) e obtivemos omo solução para r&

202 9 eeω r& + sen( ωt + φ) / () m [( ω ω ) + ζ ω ] que leva à seguinte força quando tomamos B E osω t r F ee ω m sen( ωt + φ) [( ω ω ) + ζ ω ] os ω / tz ˆ () esrever: Devemos lembrar que a fase φ eiste devido ao termo dissipativo ζ. Podemos sen( ωt + φ) osωt senωt osωt osφ + os ωtsenφ () e ao tomarmos o valor médio temporal o termo em < senωtosωt >, restando apenas os ωt (3) de modo que r F e E ω m ( ) senφ / ω ω + ζ ω z$ (4) e omo já determinamos anteriormente que senφ ζω ( ω ω ) / (5) + ζ ω obtemos que a força média eerida pela radiação sobre o sistema atômio omo sendo

203 3 r F e E ω ζ m ( ) ω ω + ζ ω z$ (6) Grafiamente esta força está representada a seguir: Fig. Dependênia da força om freqüênia Esta força está estritamente ligada ao proesso de absorção-emissão de luz e, portanto, tem seu valor máimo quando o átomo está numa situação ressonante. Isto é, ωω. Note que se não houver dissipação de energia (ζ ), a força é nula, pois a epressão aima trata-se de uma média e o átomo só pode ontinuar o proesso de absorção se ontinuamente estiver dissipando energia. No aso de não dissipação, a força é osilatória, invertendo o sentido quando o ampo osila gerando, no entanto, uma força média nula. A força de radiação enontra hoje muitas apliações importantes no desenvolvimento ientífio. Ela é a ferramenta prinipal nas ténias modernas que prouram ontrolar o movimento de espéies atômias. (apsfi35.do)

204 Universidade de São Paulo Instituto de Físia de São Carlos Departamento de Físia e Ciênia dos Materiais FÍSICA MODERNA ELEMENTAR CAPÍTULO V EXPERIMENTOS QUE DETERMINARAM O INÍCIO DA FÍSICA MODERNA Autores: Prof. Dr. Vanderlei Salvador Bagnato Prof. Dr. Luís Gustavo Marassa São Carlos Agosto de 999

205 Capítulo V EXPERIMENTOS QUE DETERMINARAM O INÍCIO DA FÍSICA MODERNA Introdução: Em meados do final do séulo XIX e iníio do séulo XX, os fenômenos epliados pelos oneitos básios eistentes entrava numa profunda rise devido à impossibilidade de epliar determinados resultados eperimentais da époa. Tais resultados eigiam o estabeleimento de novos oneitos e modifiações radiais das idéias que até então haviam persistido. Com a partiipação de personagens ilustres omo: Plank, Rutherford, Niels Bohr, Einstein, Ma Born e outros; estabeleeu-se uma linha de pensamentos que em oneção om eperimentos brilhantes de diversas naturezas propiiou o apareimento da Teoria Quântia. Esta nova maneira de ver o mundo físio estabeleia novos oneitos que desreviam ao mesmo tempo o ondulatório do elétron (ou partíulas em geral) e o omportamento orpusular da radiação. Nesta parte do nosso urso iremos estudar os resultados mais importantes que determinaram o nasimento desta nova teoria. Iniiaremos om uma disussão das leis básias de radiação emitida por um orpo aqueido (radiação de orpo negro). Neste ponto será bastante apropriado a introdução do oneito de estatístia quântia e do fóton. Após disutiremos os eperimentos mais importantes omo o efeito fotoelétrio, o efeito Compton, a natureza eletromagnétia do raio- e a natureza ondulatória de um feie eletrônio. - Estatístia Quântia e Radiação do Corpo Negro: Já é do nosso onheimento através de observações do otidiano, que todos os orpos quando aqueidos emitem radiação eletromagnétia. À medida que a temperatura do orpo aumenta, vemos a sua luminosidade passar de vermelho para amarelo e, eventualmente, brana, demonstrando a eistênia de uma dependênia das araterístias de sua emissão om a temperatura. Apesar de que possamos ser levados a pensar que orpos frios não emitem radiação, devemos salientar que mesmo os orpos em baias temperaturas são emissores de radiação, só que, nestas irunstânias, o omprimento de onda emitido loaliza-se na região do infravermelho ou

206 3 mesmo abaio desta, de modo que não é notado pelos órgãos visuais humanos.a fim de riarmos um sistema físio que nos permita observar somente sua radiação emitida, vamos imaginar uma aia oa ujas paredes estão mantidas a uma determinada temperatura onstante, de modo que a radiação eistente no seu interior está em equilíbrio om as paredes. Assim, podemos assoiar a esta radiação a mesma temperatura T das paredes. Esta avidade é um sistema termodinâmio que não depende dos proessos químios e físios que oorrem nas paredes, mas essenialmente do equilíbrio. Da forma apresentada este é um sistema isolado, fiando difíil seu estudo já que energia não está sendo troada om o meio não permitindo observação direta. A fim de tornar aessível a observação da radiação na avidade, façamos um pequeno burao nesta avidade, pequeno o bastante para que não perturbe a situação de equilíbrio, mas permitindo que uma pequena parte da radiação deie a avidade riando a possibilidade de observação. Quando parte da radiação eterna penetra na avidade, esta é totalmente absorvida pelas paredes da avidade, não havendo refleão nenhuma. Se olharmos para a abertura na avidade, somente observamos a emissão de radiação. Nenhuma refleão da radiação eterna é observada. A esta radiação denominamos de radiação de orpo negro, araterizando um orpo que é perfeitamente absorvedor, só emitindo sua radiação araterístia. É importante notar que toda radiação inidente será transformada em radiação de orpo negro, pois será envolvida no proesso de equilíbrio do sistema. A radiação de orpo negro tem propriedades bastante interessantes e seu estudo foi um dos responsáveis pelo apareimento da meânia quântia e da hamada estatístia quântia. Antes de iniiarmos o estudo das propriedades da radiação do orpo negro, é neessário alguns oneitos já vistos anteriormente. A radiação eletromagnétia ontém quantidade de movimento e energia. Anteriormente, vimos que a densidade de energia ontida na radiação devido aos seus ampos elétrios (E) e magnétios (B) é dada por u /8 π (E + B ). No aso que tratamos, tínhamos somente ampos monoromátios. No aso mais geral definimos u (ν,t) omo sendo a densidade de energia por unidade de frequênia, ou seja, u (ν, T) dν é a densidade de energia da radiação om frequênia entre ν e ν + dν. Se quisermos saber a densidade de energia total, deveremos somar sobre todas as possíveis frequênias. Note que já oloamos a dependênia da temperatura em u pois estamos tratando da radiação que está em equilíbrio térmio om as paredes da

207 4 avidade. Assim, a densidade total de energia será: ( T ) u( v T )dv u, A notação u e u pretende difereniar a densidade total (sem barra) daquela por unidade de frequênia. Evidentemente, temos as seguintes unidades para ambas: [ ] 3 energia.seg m energia m u e [ u ] 3 Em 859 o físio Kirhhoff provou que u u (ν, T) é independente da natureza das paredes da avidade, ou seja, ele demonstrou que independente do material que onstitui a avidade a radiação preserva suas araterístias. O resultado desrito aima é denominado de Lei de Kirhhoff. A fim de demonstrarmos esta lei, vamos onsiderar duas avidades A e B ontendo aberturas, mas onstituídas de materiais diferentes e mantidas à mesma temperatura. Para simplifiarmos, analisemos a densidade de energia em somente uma região espetral (ν, dν). Vamos assumir que a densidade de energia em A seja maior do que a densidade em B. u A ( ν,t ) u B ( ν,t ) Assim, a densidade de energia/v ontida na avidade (e, portanto, na radiação de orpo

208 5 negro), não depende da onstituição das avidades, sendo uma função universal de ν e T. Consequentemente, a densidade total de energia µ é uma função universal da temperatura. Vamos agora analisar om mais detalhes a radiação proveniente de um orpo negro. Imaginando uma avidade da qual a radiação provém e denotando por K a quantidade de energia que emana do orpo por unidade de área e tempo (fluo), obtemos failmente que temos que: φ u T 4π ( ) ou seja, o fluo de energia emitido pelo orpo negro é também uma função universal da temperatura do orpo (da mesma forma que a densidade de radiação). Do fato que a radiação arrega momentos (omo visto anteriormente no apítulo IV), signifia que ao ser absorvida ou refletida por uma superfíie haverá atuação de uma força que normalmente é referida, omo sendo a pressão da radiação a qual passaremos agora a epliar. Consideremos um feie de radiação inidindo sobre uma superfíie segundo um determinado ângulo θ om a normal à superfíie. Vamos denotar de p e p o momentum total ontido num volume V para a onda inidente e refletida respetivamente. Se a transferênia de momento p p ' p oorre durante um tempo t, a força eerida sobre a superfíie é: F p t p p t

209 6 onde o sinal ( - ) foi introduzido porque estamos tratando da força sobre a superfíie. O tempo para transferênia deste momentum (t) é o mesmo gasto para todo volume V onsiderado hegar à superfíie. Se a base do ilindro onsiderado tem que perorrer d para atingir a superfíie, t d. O volume V que ontém a radiação em questão é V Ad os θ. Assim, V A t osθ Do eletromagnetismo temos que (u densidade energia) p u V u' V n e p' n' ( n e n ) estão representadas na figura, de modo que podemos esrever F A os θ u V u' V n n' V ou seja F A os θ ( un u' n' ) Analisemos a pressão de radiação em dois asos distintos: primeiro quando temos refleão total (u u ). Neste aso, F A os θu(n n' ) omo n n' os θˆ (já que n e n são unitários), temos F F A os θ u e, portanto, a pressão P F/A P os θu

210 7 Utilizemos este resultado para alularmos a pressão da radiação no interior da avidade. Quando estamos no interior da avidade, ao analisarmos em determinado elemento de parede, vemos que naquele ponto, hega radiação de todas as direções de modo que a epressão que alulamos é apenas uma pequena ontribuição de uma espeífia direção. A pressão num determinado ponto será a soma de toda inidênia de radiação no ângulo sólido π strd determinado por todo semi-hemisfério defronte da parede. Sendo u a densidade de energia, a ontribuição para a pressão devido à radiação ontida no ângulo sólido d Ω será ontida dp os θu dω 4π e a pressão teta P dp (em todo semi-hemisfério) ou usando dω sen θdθdγ, p ( ) u T 4π π / os θdθ π dγ ( ) u T. π 4π 3 ou seja, p u( T ) 3 que é a pressão da radiação no interior de uma avidade ontendo uma densidade de energia u(t). No aso de termos absorção total da radiação pela parede, u os álulos nos forneeriam o mesmo resultado a menos de um fator de. Assim, a radiação de orpo negro oupa um volume V e apresenta pressão P. O

211 volume V pode ser mudado através do movimento do pistão. Vamos tratar este sistema termodinâmiamente. A energia total ontida no sistema será: 8 U Vu(T) e havendo uma movimentação do pistão ausando uma variação de volume dv, o trabalho realizado pelo pistão será, onde estamos preservando a quantidade de radiação, onsiderando refleão total: dw PdV u(t ) 3 dv trabalho este que aumentará a entropia do sistema. Usando a primeira lei da termodinâmia (om dq TdS) ds du + dw T é a variação da entropia do sistema. As variações envolvidas nesta última epressão são: du udv + dw V u(t ) 3 du dt dv dt Imaginemos uma situação termodinâmia onde a avidade que ontém a radiação será um pistão evauado e obtemos para a variação da entropia ν du ds + T dt 4 3 u T dv Vamos agora utilizar uma propriedade das funções termodinâmias denominadas de difereniais eatas. S e f dependem das variáveis e y, temos

212 9 df f d + f y dy e, sendo df uma diferenial eata, f y f y Como ds é um diferenial eato: T du dt 4 3 d dt u T ou seja, tomando a derivada, T T du dt du dt 4 3 u 4 T du TdT du u 4 3 u T dt 4 T e integrando esta equação, obtemos: u(t) at 4 sendo a uma onstante, esta epressão mostra que a densidade de energia na radiação de orpo negro depende om a quarta potênia da temperatura. Assim, a quantidade de energia que é emitida pelo orpo negro preenhido om radiação de orpo negro à temperatura T. Por unidade de tempo e área, temos a forma: φ 4π u(t ) 4π 4 φ T (energia emitida/área tempo)

213 A onstante a 4π orpo negro, e este resultado: σ hamada de onstante de Stefan-Boltzmann para a radiação de um Φ σt 4 é a hamada Lei de Stefan-Boltzmann para a energia emitida por um ampo negro. Esta desrição feita pelos físios Stefan e Boltzmann em 884 orresponde a um dos grandes feitos teórios que aabou omo deisivo no desenvolvimento da físia moderna. O valor da onstante σ 5,7 5 esq m - S - K -4 Esta epressão (Lei Stefan-Boltzmann) nos fornee apenas uma relação entre a intensidade da radiação emitida pela orpo negro omo função de sua temperatura. O resultado aima é a soma total para todos os omprimentos de onda (ou frequênia) ontidos na radiação. Nada pode, desta epressão, ser onluído a respeito da dependênia espetral da radiação do orpo negro. A dependênia da densidade de energia na radiação do orpo negro om a frequênia foi um importante ponto no surgimento da meânia quântia, já que sua onordânia om os resultados eperimentais só foi possível om a introdução de novos oneitos. Vamos ver om algum detalhe o desenvolvimento teório desta dependênia. Vamos iniiar fazendo uma análise dimensional. Tomemos quatro unidades omo sendo fundamentais. Uma delas (bastante lógia no presente problema) é a temperatura que denotaremos por θ. As demais serão as unidades meânias de omprimento (l), tempo (t) e energia (e), sendo que esta última entra no lugar da onvenional massa, pois trataremos om a densidade de energia na radiação, sendo, portanto, energia mais apropriada que massa. Relembrando que u (ν, T) é a densidade de energia por unidade de frequênia temos: 3 [ u ( ν, T )] e' l ( ν T ) 3 [ u, ] e' l Queremos introduzir nesta epressão a dependênia om a temperatura (T) e frequênia (ν). Assim, vamos esrever as quantidades que temos interesse que estejam presentes em termos das unidades esolhidas. Vamos lembrar que K, T têm unidade de

214 energia, de modo que K e θ - (onstante Boltzmann). Assim: u v T K et t - θ lt - eθ - l 3 Importante para nós são estas ono grandezas, já que tratando de radiação é importante ν e, e omo estamos trabalhando om energia e temperatura, também são importantes T e K. Vamos tentar ahar um produto entre estas grandezas de modo a termos uma quantidade dimensional. Denominemos este número admensional por Π temos: Π a b d f g ( u) ν T K onde permitiremos aos eponentes serem positivos ou negativos. Do fato que estamos querendo determinar u omo função das demais, vamos estabeleer que a. Isto é neessário porque temos 5 epoentes a determinar e somente 4 unidades independentes. Esrevendo as grandezas em termos das unidades temos (om a ): π etl -3 t -b θ d l f t -f e g θ -g Assim, por omparação teremos: + g g - - b - f d f f 3 d - g b - de modo que Π 3 u v KT onde denota um determinado número universal. Daqui tiramos

215 u v KT ( v,t ) Π 3 Esta epressão foi determinada em 9 por Lord Rayleigh através da utilização de um tratamento estatístio, obtendo 8π (om π ). Após alguns anos ela foi também determinada por J. H. Jeans e, portanto, é onheida omo fórmula de Rayleigh-Jeans para a radiação do orpo negro. u ν KT ( ν,t ) 8π 3 Uma maneira alternativa para obtenção da relação de Rayleigh-Jeans para radiação onsiste em utilizarmos o prinípio da equipartição de energia e para os modos de uma avidade. Assim, onsideremos iniialmente uma avidade úbia de lado L dentro da qual eite radiação. Para que esta radiação eista dentro da avidade é neessário que toda energia da radiação esteja entre os vários modos da avidade. Se a avidade for onstituída de um material perfeitamente refletor, o ampo elétrio da radiação deverá anular-se nas paredes, pois a radiação não pode eistir além destes ontornos. Assim, é neessário que o omprimento L eista um número inteiro de λ.

216 Estas várias possibilidades onstituem os vários modos da avidade. As ondições de ontorno requerem que: 3 n λ L ou n X λ π X L π de onde tiramos (nas várias direções): k L n π k y L n y π k z L n z π n,y,z,, 3,... Qualquer onjunto de inteiros (n, n y, n z ) apresenta um modo da avidade, omo: k k ˆ + k y ŷ + k z ẑ k ( n + n + n ) π L y z / Como k π e λ λ, temos ν ν ( n + n + n ) y z L Para ada onjunto (n, n y, n z ), temos desta relação a freqüênia do modo. Se apresentarmos todos os possíveis modos num gráfio n, n y, n z, termos uma rede de ponto úbio espaçados da unidade, preenhendo todo o otante positivo dos eios. Se, então, perguntarmos quais são os vários modos para uma determinada freqüênia ν, n + n y + n z L ν

217 basta verifiarmos todos os pontos que enontram-se sobre uma esfera de raio L R ν. Se perguntarmos quantos modos eistem dentro do intervalo de frequênia ν e ν + dν, a resposta seria óbvia: todos aqueles que no gráfio anterior estão dentro de uma asa esféria de raio R e espessura dr, onde: 4 R e dr L. ν L dν Com a densidade de pontos na rede de modos é ponto/volume, o número de pontos que aem dentro do volume da asa esféria aima é: dn 3 L 4πR dr 4π ν dν 3 8 Se agora lembrarmos que ada modo pode ter duas polarizações independentes (que orresponde a dois graus de liberdade por modo), pelo prinípio da equipartivação de energia, podemos assoiar a ada grau de liberdade da avidade kt e, portanto, kt kt por modo (ada modo representa um grau de liberdade que pode ontar energia de avidade). Assim, a energia total ontida na avidade será: du dnkt.4 π L 3 3 ν dν.kt portanto, a densidade de energia por unidade de frequênia será: u du L dν 8πν kt ( ν,t ) 3 3

218 Cada modo está levando kt devido a energia do ampo ter a forma (E + B ) apresentando dois termos quadrátios ada um levando kt. É razoável que esta lei orresponda à realidade para baias frequênias, pois neste limite a seletividade dos modos é esperada de ser predominante. É evidente que a relação de Rayleigh-Jeans fornee valores absurdos para u quando altos valores na frequênia são onsiderados, pois sabemos da prátia, ao observarmos um argo aqueido que não temos indefinidamente mais energia quando olhamos para maiores frequênias da radiação emitida. Pelo ontrário, normalmente as omponentes de radiação de mais alta frequênia estão ausentes. Podemos atestar este absurdo ainda de outra forma, dizendo que: 5 u u ( ν T ), dν denotando uma quantidade infinita de energia ontrariando mesmo a lei de Stefan- Boltzmann. Esta divergênia de u é denominada de atástrofe do ultravioleta. Devemos salientar, no entanto, que a lei de Rayleigh-Jeans é bastante razoável om os resultados eperimentais na região de baias frequênias. É laro que estamos prourando uma onordânia om os resultados eperimentais e, para isto, vamos onsiderar que se dependa de mais uma função que ontém uma onstante α na sua determinação, onstante esta que é uma ombinação de K e uma nova onstante universal. Assim, esrevemos:

219 6 u ν kt n ( ν,t ) f ( ανt ) 3 a função f foi introduzida para sanar os problemas om a lei de Rayleigh-Jeans. Não sabemos ainda qual o valor de n, mas este eponente deverá ser esolhido de tal forma a satisfazer as leis já onheidas para a radiação do orpo negro. Calulando a densidade total de energia no orpo negro. u n ( αυt ) KT udν ν f dν 3 Chamando ανt n d αt n dv e, portanto u kt 3 α 3n 3 f ( ) d omo u α T 4 (Lei S. Boltzmann) n - Assim, temos ν KT αν T ( ν,t ) f u 3 Normalmente esrevemos k α h, de modo que α K h, ν KT hν KT ( ν,t ) f u 3 ou seja, a densidade (,T ) depende da quantidade ν KT u ν é o produto de por uma função universal f que 3 hν. Este resultado é onheido omo Lei de Wein. Esta lei KT foi bastante importante porque reduziu uma função desonheida de duas variáveis numa

220 7 função desonheida de uma únia variável. A quantidade h que aparee nessa epressão representa uma nova onstante que tem dimensão de energia vezes tempo, denominada de ação. Podemos anteipar que ela é denominada de onstante de Plank e representa um quantum de ação, ou seja, a unidade elementar de energia-tempo que um sistema físio emitir ou absorver. ν KT u 3 f ( ) A fim de determinar a forma eplíita da função f() Wien imaginou que dentro da avidade a radiação era semelhante a proveniente de moléulas de um gás aqueido emitindo radiação. Portanto, a frequênia da radiação poderia ser vista omo dependendo intrinseamente da veloidade das moléulas. Considerando uma distribuição de Mawell-Boltzmann para as moléulas do suposto gás emissor de radiação, podemos assoiar a energia das partíulas om a frequênia emitida, de modo que a quantidade de partíulas emitindo ν é proporional a ν ep (-νh/kt) e omo a energia emitida por ada uma deve ser proporional a ν, temos: u b / T ( ) ( ) ν ν,t onst ν νe Conheida omo fórmula da radiação de Wien. Com um ajuste apropriado das onstantes que apareem nesta epressão, notamos que ela onorda relativamente bem om os resultados eperimentais para altas frequênias não sendo muito boa para baias e muito pior para frequênias intermediárias. A situação está esquematizada na figura abaio.

221 8 A fórmula geral de Wien, baseada numa função universal, está qualitativamente erta. Neste sentido, ela prevê a eistênia de um máimo em u (ν,t) para determinada du frequênia. Impondo a eistênia do máimo om u, na forma de u,, temos: dν νkt ν KT h f 3 3 KT ( ) + f' ( ) e, omo ν, a ondição do máimo torna-se: f ( ma ) + ma f ( ma ) A eistênia deste ma ν ma α revela que, pelo menos qualitativamente, quando T temos aumento em temperatura, o máimo (ou pio) da emissão de radiação desloa-se para maiores valores de frequênia, omo esperado e este desloamento oorre de forma proporional. Este resultado é onheido omo Lei do Desloamento de Wien, estabeleendo que a relação entre as posições das máimas de emissão do orpo negro, ν ( ) ma T ν ( ) ma T quando são onsideradas duas temperaturas diferentes. A omprovação eperimental da lei do desloamento de Wien é uma importante onstatação de que a proposta de wien om relação a dependênia de u (ν, T) om a função universal f() é verdadeira. Até este momento o problema permaneia em aberto, estando bastante afastada uma teoria que reproduzia bem os resultados medidos. A oneção para os resultados a baias frequênias (Rayleigh-Jeans) e altas frequênias (Wien) foi feita pelo físio Plank. Enquanto Rayleigh-Jeans onsiderou apenas a radiação onfinada num volume, Plank prourou imaginar uma situação diferente. A radiação não é mais onsiderada isolada mas em equilíbrio om osiladores apazes de tomar e dar energia ao ampo. Plank imaginou que a energia armazenada na radiação eletromagnétia poderia ser desrita omo a energia armazenada em osiladores harmônios arregados em ontato om radiação. Assim, para Plank, o sistema que onstitui o orpo negro pode ser desrito por uma série de osiladores em equilíbrio om radiação. Cada osilador tem sua frequênia

222 9 natural ω e um termo dissipativo que torna possível a troa onstante de energia entre osiladores e ampo no interior da avidade dando a radiação as araterísitas neessárias. Se o ampo de radiação tem um valor E, a equação de movimento do osilador torna-se (onde estamos onsiderando a arga do osilador omo e e a omponente do ampo elétrio da radiação): ( & + ξ& + ω ) ee m onde m e e denotam a massa e a arga do osilador, enquanto ξ é o oefiiente de dissipação que já determinamos (ap. IV) omo sendo: ξ 3 e ω 3 m quando tratamos a interação da radiação om o sistema atômio. Note que, apesar do osilador ser tridimensional, somente uma omponente está sendo onsiderada e generalizaremos mais adiante. Para o ampo de radiação da forma E E senωt, o osilador responderá om: sen t ( ω + δ) onde a amplitude o ee [( ω ω ) + ξ ω ] / m / Vamos alular a energia do osilador que podemos imaginar omo sendo a energia interna deste sistema. Neste aso ela está dividida entre inétia e potenial. inétia m e E / m ω m& o os t + ξ ω ( ω ω ) ( ω + δ)

223 potenial mω e m o sen ( ω ω ) + ξω E / m ω ( ωt + δ) de onde tiramos uma energia média para o sistema quando ampo na frequênia ω é onsiderado, e tirando média temporal U < mω + m& > resultando em U ω m e E m ω + ω ( ) ω ω + ξ ω onde o fator ½ aparee da média temporal. Uω é a quantidade total de energia armazenada nos osiladore de frequênia ω. Até este ponto onsideramos a radiação omo sendo monoromátia. Esta é apenas uma ontribuição à energia, pois no ampo de radiação temos um ontínuo de frequênias formando o espetro da radiação. Assim, a amplitude depender de E ( ω) ω E passa agora a,. Assumimos que U ω aima, representa a energia ontida entre as frequênias ω - ω + d ω e que modo que: E representa uma espéie de densidade espetral de U U ωdω ( ω + ω ) ( ω ω ) + ξ e Eo ( ω) dω 4m ω U A fim de simplifiarmos esta integral, vamos onsiderar que ( ω) E varia bastante lentamente om ω, de modo que a maior ontribuição vem do termo ( ) vamos assumir que ω próimo de ω é a maior ontribuição, de modo que: E ω. Também

224 ( ) ( ) ( ) a 4 m e 9 4 m e 9 4 ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ξ ω ω + ω om 3 3m e a Assim, a energia para o osilador entrado em ω fia: ( ) ( ) ( ) 4 ω ω ω ω ω a d E m e U o + e a integral, ( ) ( ) ( ) ω + ω ω ω ω o a d. 4m E e U Esta última integral: ( ) ( ) ω + θ θ ω ω + ω ω ω a d a a d I om aω ω ω θ e omo temos a << ω, o limite inferior da integral pode tornar-se - a / Tan a I ω π θ ω e assim temos para energia: ( ) E 8ma e U ω ω π

225 Como sabemos, a densidade de energia na radiação é (já tirando média temporal): u 8π ( E + B ) E 8π e, omo 3E E u 3 8π 8π 3 ( ω T ) E E ( ω ) u e e, usando 3 3m π ω a, obtemos U u( ω ) 3 e podemos troar ω om ω, já que ω é arbitrário e deveremos ter osiladores em todas as frequênias. 3 π u ω U ( ω) Como ω πν, e omo a quantidade de energia entre ω - ω + dω é igual a quantidade de energia entre as equivalentes frequênias ν ν + dν. u( ν ) u ( ω ) dω u( ν ) dν u( ω ) π ou seja, 3 π 4π ν U u( ν) π 3 ( ) 8πν u ν U Esta é uma relação geral entre a energia do sistema e a densidade de energia no ampo de radiação mostrando que a energia total dos osiladores que onstituem a

226 3 radiação é uma função universal da mesma forma que a densidade de energia da radiação de orpo negro. Estamos prourando uma epressão para u (ν,t) do orpo negro, mas segundo Plank isto é equivalente a prourar a energia total do osilador em equilíbrio om a radiação. Para podermos alular u (T) vamos assoiar ao osilador uma entropia S assoiado a uma temperatura T, de modo que: ds du T Isto é uma maneira adequada de tratar o problema: usar entropia ao invés de energia. Agora onsideremos que fosse válido a lei de Wien, então usaríamos: u αka 3 T ( ν,t ) ν 3 e ν α Usando este resultado na epressão para U, obtemos: U 3 8πν αka ν 3 3 e αυ / T αk 8 νae αυ / T de onde podemos eliminar a temperatura, obtendo a relação: T αν U Ln αkνa 8 ds Como, podemos tomar uma nova derivada om respeito à U obtendo a T du grandeza araterístia d S du

227 4 d S este é o valor de du quando assumimos relação de Wien. Vamos agora assumir omo verdadeira a relação de Rayleigh-Jeans para u( ν,t ). Neste aso, u 8πνkT ( ν,t ) 3 e om isto, T K ds d S K ou seja o sistema osilador-radiação que é U du du U relação entropia-energia quando Rayleigh-Jeans é verdadeiro. Como sabemos dos resultados eperimentais, Wien onorda para altas frequênias enquanto Raylegh-Jeans onorda para baias frequênias. Desta forma, Plank assumiu que ambas devem ser verdadeiras em seus respetivos limites, tornando assim: d S du ανu + U / K Note que esta foi uma suposição feita por Plank que poderia não ter funionado. d S A equação pode ser integrada om a radiação que quando U, devem du ds ds neessariamente ter T, portanto, já que. Com isto, du du T ds du αν U / ανκ ln + U / ανκ e omo ds du T U / ανκ ln + U / ανκ αν T

228 5 de onde tiramos, substituindo α h / K U hν / e hν kt que usado de volta na epressão que relaiona Ueµ ( υ,t ), teve a 8πν 3 µ ( ν, T ) hν / kt e hν que é a lei de Plank para a radiação, estabeleendo uma epressão ompleta válida para todo intervalo espetral. Os limites para baio ν, leva à lei de Rayleigh-Jeans enquanto o limite para alta υ, leva à lei de Wien. É importante observar que o que Plank fez foi tratar a radiação ontida na avidade omo sendo um sistema onstituído de osiladores em equilíbrio om radiação e tratar este sistema termodinamiamente. A fórmula obtida por Plank iniialmente tratava-se de uma adivinhação sem nenhuma forte justifiativa teória. Alguns meses mais tarde, Plank deduziu sua relação baseada numa hipótese mais fundamentada. Sua nova demonstração baseia-se no fato que a energia de um osilador não é uma grandeza ontínua mas tem apenas valores disretos múltiplos de uma quantidade elementar denominada do quantum de energia. Assim, nesta hipótese, a energia do ampo de radiação não pode assumir qualquer valor mas sim, múltiplos inteiros de um valor ε U nε n,,, 3... Com esta epressão podemos alular a energia média do ampo à uma determinada temperatura T (da mesma forma que fizemos ao tratar o gás ideal). U U U / kt e e U / kt du du

229 6 Quando permitimos E ser ontínuo, E kt, mas sendo disreto, o integral transforma-se numa soma U n nε e η e nε / kt ηε / kt que pode ser esrita omo: U d e dβ n nε β Esta soma é uma progressão geométria de valor Assim e βε U εe e βε βε ε e ε / kt 3 8πυ que usada em µ ( υ,t ), leva a ( υ T ) U 8π ε υ 3 / e µ, ε kt Para que esta epressão onorde om Rayleigh-Jeans e Wien nos apropriados limites, temos que ter ε hν, ou seja 8πh 3 3 µ ( υ, T ) hυ / kt e υ que é fórmula de Plank. Esta brilhante dedução introduz o oneito de quantização, eigindo uma disretização da energia ao invés de permitir sua variação ontínua. Isto foi um dos pontos mais importantes no estabeleimento da meânia quântia. O estabeleimento da relação Energia Média / e ε ε traz um oneito muito kt

230 7 mais abrangente que é hamada estatístias quântia. A epressão aima representa a probabilidade de um determinado sistema ter energia ε, isto é, P ( ) e ε ε / kt Caso tenhamos um número N destes sistemas o provável número de osiladores om energia ε será: N ( ) ε ε / e kt Esta relação estabelee o hamado número de oupação do estado om energia ε um importante oneito que veremos posteriormente. A fim de ilustrar o uso deste oneito vamos alular o alor espeífio de um sólido que será aqui onsiderado omo sendo uma oleção de osiladores harmônios desaoplador. Este modelo é denominado de sólido de Einstein. A energia de um mol de tais osiladores é: U 3 N ε / kt e hυ onde estamos onsiderando as 3 direções omo independentes. O alor espeífio ao volume onstante e, portanto: Cv du dt e hν 3Nk kt hν / kt e + hν / kt hν / kt hν / kt ( e ) Iniialmente, para altas temperaturas hν Cv 3Nk 3Nk kt hν kt

231 8 que é um resultado bastante onheido. (Cν 6 Cal/Mol ok ) Para baias temperaturas, Cν 3N hυ hυ / kt k e kt que quando T a eponenial é dominante perante o termo quadrátio. A variação C v (T) está mostrado abaio. 3 - O Caráter de Partíulas para Radiação Eletromagnétia Como vimos anteriormente, a eistênia do fóton de Plank omo sendo a menor porção de radiação eletromagnétia que ainda preserva todas as araterístias da radiação omeça a estabeleer um omportamento diferente para o ampo eletromagnétio. A possibilidade de poder tratar a radiação omo onstituída de pequenas porções que arregam energia e momentum, dão ao ampo eletromagnétio uma araterístia de partíulas. Uma série de eperimentos estudados e epliados no iníio do séulo revelam o omportamento orpusular da radiação distinguindo-a de seu omportamento ondulatório tão evidente quando estudamos e desrevemos sua programação num meio material ou mesmo efeitos omo interferênia e difração Veremos agora alguns dos eperimentos que revelaram este omportamento dual para a radiação. O primeiro efeito a estudarmos é o Efeito de Fotoelétrio. Ao redor de 886, em

232 9 seus estudos envolvendo radiação e desargas em gases rarefeitos, H. Hertz observou que quando a radiação ultravioleta inidia sobre um dos eletrodos da desarga, esta oorre mais prestemente, ou seja, a presença da radiação ultravioleta sobre um dos eletrodos, failitava a desarga. Estudos seguidos por Lenard mostraram que o efeito da radiação na desarga era que a radiação ultravioleta fazia om que a superfíie metália do eletrodo emitisse elétrons. Este fenômeno da oorrênia de elétrons ejetados pela superfíie de um metal quando iluminada pela luz sufiientemente energétia, é denominado de efeito fotoelétrio. O dispositivo eperimental que permite a observação deste efeito está esquematizado na figura abaio: Brevemente desrevendo o sistema, uma ampola de quartzo evauada, ontém no seu interior dois eletrodos que enontram-se polarizados. Radiação monoromátia de frequênias ν atravessa as paredes de quartzo inidindo sobre a superfíie do ânodo (polo negativo). A superfíie metália do eletrodo ejeta elétrons denominados de fotoelétrons que aminham em direção ao atodo (polo positivo). Os fotoelétrons podem ser medidos através da orrente produzida, indiada pelo amperímetro A, inserida em série om o iruito da ampola. A diferença de potenial entre os eletrodos pode ser variada através do poteniômetro indiado. Se grafiarmos esta fotoorrente omo função da voltagem de polarização, obtemos a urva mostrada na figura abaio:

233 3 Quando aumenta-se indefinidamente a voltagem de polarização observamos que a fotoorrente não aumenta indefinidamente, mas sim atinge um valor de saturação aqui denominada de Is. Ao variarmos a intensidade da luz inidente, notamos que o valor da saturação também aumenta. Outra informação importante é que ao invertermos a polarização entre os eletrodos a fotoorrente não ai a zero abruptamente, mas sim lentamente até a polarização reserva atingir um determinado valor V o que inibe ompletamente a fotoorrente. Esta observação nos permite onluir que os elétrons ejetados possuem uma determinada energia inétia. Enquanto a polarização é positiva eles são aelerados para o átodo, quando a polarização é nula, eles não são aelerados, mas sua energia inétia (pelo menos de um grande número dos fotoelétrons) é sufiiente para onduzí-lo ao átodo produzindo a fotoorrente mesmo a polarização nula. Ao invertermos o potenial, o ampo elétrio da polarização passa a trabalhos ontrários ao movimento dos elétrons. Os elétrons mais energétios são aqueles que onseguem sobreviver até a máima voltagem invertida V o. Neste ponto, a força elétria é sufiiente para desaelerar mesmo os elétrons ejetados de maior energia, impedindo que atinjam o átodo. Chamando de K ma, a máima energia inétia dos fotoelétrons, temos que esta, relaionados om V o pela relação: K ma evo ou seja, o potenial elétrio é igual à energia inétia na situação onde a orrente vai a zero. Observa-se que V o (ou K ma ) independe da intensidade da luz inidente. Se medirmos o potenial Vo para diferentes frequênias da luz inidente, observamos que abaio de determinada frequênia denominada de frequênia de orte νo, não há mais produção de fotoelétrons. Observa-se que νo é araterístio do metal que onstitui a superfíie (para sódio, νo 4,39 4 Hz).

234 3 Ao tentarmos epliar as observações no efeito fotoelétrio utilizando-se do onheimento do eletromagnetismo lássio, apareem várias ontradições. Em primeiro lugar, notamos que a teoria ondulatória da radiação eletromagnétia requer que o ampo elétrio da radiação tenha maior amplitude quanto maior for a intensidade. Quanto maior for este ampo, maior será a força sobre os elétrons do sólido, isto sugere que quanto mais intensa for a luz maior deveria ser a energia inétia dos elétrons ejetados. No entanto, observa-se eperimentalmente que K ma ev o independe da intensidade da raidação inidente. Outra ontradição é que segundo a teoria ondulatória, os fotoelétrons devem apareer sempre que a energia do ampo transferida ao elétron for intensa o sufiiente para arraná-lo. Isto não é verdade, porque não importa o quanto intensa seja a radiação, abaio da frequênia ν o não há produção de elétrons. Este resultado mostra que o que é importante no problema é a frequênia e não a intensidade de radiação. Outra ontradição vem do fato que a luz apresenta um fluo ontínuo de energia (segundo teoria lássia), e se trabalharmos om baias intensidades, a transferênia de energia da radiação para o elétron, a fim de removê-lo, oorrerá num tempo finito diferente de zero. No entanto, nenhum tempo de atraso entre ligar a radiação e detetar os elétrons tem sido observado, a menos do tradiional tempo de vôo, mostrando que a transferênia de energia também não é bem epliada. Influeniado pelos eperimentos do efeito fotoelétrio e onheedor do eletromagnetismo, A. Einstein em 95 propôs uma nova teoria para a luz que tinha omo supote a epliação para o efeito fotoelétrio. Como já havia sido menionado por Plank, ao tratar da radiação do orpo negro, que a radiação dos elétrons que onstituíam paredes de uma avidade emitiam radiação quantizada, Einstein propôs que a energia radiante é sempre quantizada em porções, que mais tarde vieram a ser hamadas de fótons. A aparente ontradição de que isto teria nos eperimentos de interferênia e difração era epliada por Einstein omo se tratando de situações onde um número muito grande de fótons estão envolvidos e os resultados representam uma média sobre o omportamento de vários fótons. Einstein onentrou sua atenção na forma om que os fótons são emitidos ou absorvidos. Assim, do resultado de Plank de que a energia da radiação tem energia, hν, hν,...nhν, para Einstein isto adivinha do fato de que indo do estado nhν para (n+) hν, a fonte emitiu um fóton de energia, ou absorveu no aso do proesso oposto. Na hipótese de Einstein, este paote de energia (fóton), está sempre loalizado num

235 determinado volume de espaço que não se desloaliza ao propagar-se om veloidade. Para ele, a quantidade de energia neste paote é: 3 E hν Para epliar o efeito fotoelétrio, Einstein assumiu que neste proesso um fóton absorvido pela superfíie libera um elétron de modo que a energia inétia do elétron ejetado é: K hν - w dependendo apenas da energia do fóton (hν) e de w que é o trabalho neessário para remover o elétron do metal. Este trabalho é neessário para superar a atração que o elétron sente no metal e eventuais perdas no proesso de ejeção (omo olisão, et). Alguns dos elétrons estão mais fortemente ligados, outros perdem mais energia na saída, de modo que mesmo sendo onstante a energia do fóton, a energia inétia do elétron ejetado pode variar bastante. Isto é representado pela região de transiente nas urvas Ivs V. Os elétrons mais fraamente ligados e que apresentam a maior perda no proesso de saída são aquelas que apresentarão a máima energia inétia. Assim, Kma hν-wo onde Wo só depende do metal e é denominada de função trabalho, e representa o trabalho mínimo neessário para remoção do elétron. Esta epliação sustenta, de forma satisfatória, o fato de que a energia inétia dos fotoelétrons não dependa da intensidade da radiação. Um feie de luz mais intensa, somente representa mais fótons, de modo que há produção de um número maior de fotoelétrons. Porém, sem nenhuma razão para aumento de sua energia dos elétrons. A observação de que abaio de determinada frequênia da luz inidente não se observa mais elétrons, advém do fato que a energia do fóton não tem energia para remover o elétron, não interessando quanto deles atinjam a superfíie. Finalmente não haverá atraso na emissão porque toda energia é absorvida de uma únia vez e não paulatinamente.

236 33 Como K ma evo, podemos esrever: V hν e wo e Obtendo a relação linear mostrada anteriormente, e mais do que isto, om a orrente inlinação h/e 3.9V-se., que é um valor que só depende das onstantes fundamentais. As suposições de Einstein, junto om sua epliação para o efeito fotoelétrio, lhe renderam o Prêmio Nobel em 9. A idéia de fóton estabeleida por Einstein onstitui um dos mais importantes oneitos da físia moderna. Utilizando este oneito, junto om Bose eles determinaram a epressão da radiação de Plank, simplesmente tratando radiação omo um gás de fótons omo vimos anteriormente. Uma das demonstrações mais laras do omportamento orpusular para a radiação enontra-se no Efeito Compton demonstrado em 93. No eperimento de Compton, um feie de raio- quase que monoromátio de omprimento de onda λ é inidente sobre um alvo. O raio- é espalhado pelo elétrons deste alvo, e a medida da intensidade espalhada para vários omprimentos de onda mostrou-se dependente do ângulo de espalhamento, dando origem a um segundo pio num omprimento de onda distinto àquele inidente. Assim, um raio de energia distinta é originado neste proesso. O resultado mostra que a radiação espalhada apresenta dois omprimentos de onda distintos λ (inidente) e λ uja posição relativa à λo depende do ângulo de espalhamento. Esta variação λ λ' λo é denominda de desloamento Compton, que evidentemente depende do ângulo de espalhamento. Este desloamento do omprimento de onda não pode ser epliado através da teoria eletromagnétia lássia, segundo o qual, quando a radiação interage om um sistema atômio, faz om que o sistema osile e reemita na mesma frequênia. Assim, baseado no entendimento lássio, o omprimento de onda da radiação espalhada pelos elétrons do alvo deveriam ser igual ao inidente. A fim de epliar os resultados obtidos eperimentalmente Compton adotou a visão quântia supondo que a radiação é omposta de fótons, ada um om energia E hν, e que durante a interação destes om o alvo, o omportamento é semelhante ao

237 34 proesso de olisão entre partíulas. Durante a olisão, o fóton (radiação) transfere aos elétrons do alvo uma porção de sua energia de modo que os fótons emergentes apresentam energia mais baia E. Assim, omo E < E, neessariamente os fótons emergentes apresentam menor frequênias ν E /h que os inidentes. Tendo uma frequênia menor ν ', representa um omprimento de onda mais λ longo, epliando o desloamento de omprimento de onda observado eperimentalmente. É importante salientar que os fótons que mudaram de frequênia são aqueles que olidiram inelastiamente om o alvo. Há, no entanto, os que olidem elastiamente responsáveis pelo pio de intensidade não desloado. Vamos tratar a interação fóton-elétron (do alvo) afim de obtermos resultados quantitativos para este proesso. Para nós, a situação físia está mostrada abaio: Ao interagir om os elétrons do alvo, a radiação é espalhada segundo um ângulo θ, enquanto elétrons sofrem um reuo adquirindo energia inétia K e momentum p na direção γ om relação a direção iniial de inidênia. Iniiemos onsiderando a relação relativístia energia-momentum: E p + m 4 de modo que para partíulas (fótons) om energia E hν, temos assoiado a elas momentum segundo a relação h ν p, já que a massa de repouso m o dos fótons é hν h nula. Assim, p é o momentum arregado pelos fótons. λ Vamos assumir que a olisão do raio- om o alvo deve-se essenialmente a interação om os elétrons, já que os resultados medidos mostraram-se independentes do

238 35 material do alvo. Assim, onsiderando a olisão de um fóton om um elétron estaionário omo mostrado anteriormente, apliquemos as onheidas leis de onservação de energia e momentum. Da onservação de momentum, usando os parâmetros mostrados aima, hν hν ' osθ + p osϕ (direção X) hν ' senθ p senϕ (direção Y) De onde obtemos, elevando ambas equações ao quadrado. ν h o hν ' osθ p os ϕ h ν ' sen θ p sen ϕ e adiionando estas duas equações aima, hνo hv' + hνo hv' os θ p Da onservação da energia, iniialmente temos somente a energia do fóton inidente e a energia de repouso do elétron. hνo + mo hν + K + m o hv hν', ou seja, hν o hν' K K Para o elétron, podemos esrever (K + m o ) p + (m o ), de onde tiramos: K / + Km p

239 Epressando K em termos de ν e ν nesta última equação e utilizando a equação anterior, tiramos: 36 hν hv' hν hν' hν hν' hν + mo + hν' os θ ou seja, hν m hν' hν hν' ( os θ) que pode ser reduzida dividindo ambos os membros por: hν hν' a : hν' hν m ( os θ) e multipliando por h λ λ' ' λo h m ( os θ) que é a hamada equação de Compton e fornee o desloamento do omprimento de onda espalhado relativo ao inidente. A quantidade h m λ,43 A para elétron é hamado de omprimento de onda Compton e representa a ordem de grandeza da variação de λ devido ao espalhamento. λ poderá variar até λ. Como estamos tratando do espalhamento de raio- pela matéria, é onveniente entendermos um pouo a respeito da produção de raio-. Em 895 W. Roentgen observou que radiação altamente energétia de natureza não onheida era produzida quando elétrons aelerados olidiam om a matéria e que foram denominados de raio-. Os raios eram mais penetrantes quanto mais rápidos eram os elétrons que os produziam e a densidade de Raio-X maior quanto maior a quantidade de elétrons. Logo depois de sua desoberta, sua natureza eletromagnétia foi revelada

240 37 porque, afinal, o que estava aonteendo era que, durante o impato na matéria, o elétron veloz é altamente desaelerado, emitindo radiação. A radiação produzida nestas irunstânias é denominada de "Bremsstrahlumg" (do alemão). Um esquema para produção de Raio- é mostrado na figura abaio. Um átodo aqueido gera elétrons que são aelerados ontra um alvo metálio mantido om o ânodo. A ampola que onstitui esta fonte de raio- está sob váuo para impedir que os elétrons sejam espalhados antes de atingirem o alvo. Ao atingirem o alvo, estes elétrons rápidos são trazidos ao repouso e, neste proesso de desaeleração, é produzido radiação: o raio-. Utilizando-se dois alvos distintos temos os resultados mostrados a seguir: Os dois materiais apresentam omportamentos distintos. No aso de Mo, notamos que determinados omprimentos de ondas apresentam produção mais aentuada de raio-. Estes pios dependem do material e são originados devido a um rearranjo na estrutura eletrônia do alvo, sendo bombardeados pelos elétrons do feie. Este fato é importante para produção de omprimentos de ondas bem definidos. Notamos, ainda, que eiste um omprimento de onda mínimo a partir do qual não temos produção de raio-.

241 38 No proesso que estamos desrevendo temos energia inétia dos elétrons, sendo transformados em radiação, de modo que, para uma determinada voltagem V, temos um omprimento de onda mínimo, dado por: hν h λ ma min ev, de onde tiramos: 6,4 λ min (em metros) V( emvolts) Assim 35, kv, temos λmin,4-6 /,35 4 3,5m -,35A que onorda om os resultados mostrados no gráfio anterior. 4- Comportamento Ondulatório para Partíulas Como vimos anteriormente, em um grande número de situações o omportamento de partíulas para ondas eletromagnétias e sua quantização é a únia forma de epliação para um número grande de observações eperimentais, omo as leis de radiação de um orpo negro, o efeito fotoelétrio e o espalhamento Compton. Eistem, no entanto, uma série enorme de outros eperimentos envolvendo partíulas ujos resultados só podem ser epliados se assoiarmos a elas um omportamento ondulatório. Vamos agora disutir estes eperimentos. Vamos iniiar nossa disussão introduzindo o oneito de ondas materiais introduzida pela físio franês Louis de Broglie, que analisando eperimentos do efeito fotoelétrio e de Compton, lançou a hipótese de que não somente as ondas apresentam araterístias de partíulas mas, também, as partíulas possuem omportamento ondulatórios. Segundo a hipótese de De Broglie, da mesma forma que assoiamos a uma onda de omprimento de onda λ um momentum p a toda partíula de momentum p pode ser assoiada um omprimento de onda. Assim, tanto para partíula material omo para radiação, temos que a energia e frequênia estão relaionados por: E hν

242 39 e que o momentum p e o omprimento λ estão relaionadas através da radiação. P h/λ Com estas equações, veremos que os oneitos de partíulas (E e p) estão relaionados aos oneitos de onda (ν e λ) através da onstante de Plank h. O omprimento de onda λ h/p estabelee a hamada relação de De Brolgie e assoia a ada entidade de momentum p um omprimento de onda λ. Assim, ao onsiderarmos uma bola de tênis om veloidade de m/seg., estamos tratando de uma onda ujo omprimento é λ 6-4 A infinitamente menor do que as dimensões físias da bola. Se onsiderarmos, por outro lado, um elétron a ev, temos assoiado a ele λ, A. Ao tratarmos a radiação devemos lembrar que a óptia geométria estava presente sempre que as dimensões do dispositivo óptio em estudo (espessura de lente, distânia entre espelhos ou tamanho de fendas) forem muito maiores do que o omprimento de onda da radiação em questão. Assim, hamando de d as dimensões típias do sistema óptio, o limite λ/d representa a validade da óptia geométria. Quando as dimensões do sistema que interagem om a radiação são omparáveis ao omprimento de onda, efeitos de difração da ordem de θ λ/d são predominantes no proesso e a manifestação da difração passa a ser importante, dando lugar ao domínio da óptia físia. O mesmo oorre om a manifestação da natureza ondulatória para partíulas. Estas neessitam de sistemas de dimensões muito pequenas para poderem se manifestar. Para a bola de tênis desrita aima, sua manifestação ondulatória estaria presente quando ela interagisse om sistemas de dimensões da ordem de -4 A que não estão a disposição. Por outro lado, elétrons que apresentam omprimento De Broglie da ordem de A, devem manifestar sua natureza ondulatória ao interagirem om estruturas ujas dimensões típias são desta ordem, omo ristais, superfíies sólidas, et. Assim, semelhantemente aos raios-, a interação de elétrons om redes ristalinas sólidas devem produzir padrões de difração. Os átomos na rede ristalina onvenientemente espaçadas funionam omo entros de difração para os elétrons. Deste modo, Davisson e Germer realizaram um eperimento onde elétrons aelerados por uma diferença de potenial V emergem do sistema om uma energia ev e olidem om uma superfíie sólida e são posteriormente detetados por um detetor D. O

243 4 esquema deste eperimento está mostrado a seguir: O detetor pode ser posiionado para qualquer ângulo θ. Numa primeira eperiênia, vamos fiar o ângulo θ de observação e variar a energia inétia do feie eletrônio emergente através de variação do potenial de grade. Como resultado, observamos o resultado abaio: A eistênia de um máimo nos elétrons difratados, omo função de sua energia inétia, só pode ser epliado através da oorrênia de uma interferênia onstrutiva quando elétrons apresentam uma determinada energia ou omprimento de onda. Esta interferênia oorre devido a elétrons serem espalhados em planos atômios suessivos do ristal. Este resultado eperimental omprova, de forma irrefutável, a hipótese de Broglie, assoiando à partíula um omportamento ondulatório. Este mesmo resultado pode ser onfirmado se fiarmos o potenial de aeleração em 54V e variamos o ângulo de observação.

244 4 A epliação desta observação pode ser feita analogamente à análise do espalhamento de Bragg e não pode, de forma alguma, ser epliada através do movimento lássio de partíulas, pois partíulas não apresentam interferênias. Assim, se tratarmos elétrons omo ondas de omprimento λ sendo refletidas pelos planos ristalinos de um ristal espaçados por d, podemos epliar as observações: A diferença de aminho entre os feies é de d senϕ e haverá interferênia onstrutiva sempre que esta diferença for um número inteiro de λ. nλ d senϕ (no esquema do eperimento 8-θ ϕ) É importante salientar que, quando dizemos que elétrons sofrem interferênias, não queremos dizer que ondas assoiadas om um elétron interferem om ondas assoiadas om outro elétron, mas sim estamos nos referindo à interferênia entre partes diferentes da onda assoiada om o mesmo elétron. Assim, mesmo que tivéssemos trabalhando om um feie eletrônio de intensidade bastante baia, de modo que somente um elétron de ada vez olidisse om o ristal, observaríamos o mesmo padrão de interferênia. No aso do ristal usado por Davisson e Germer, d,9a (determinada por RX) de modo que λ d sen γ,9 sen 65 o ou seja λ,65a. Se alularmos λ usando a relação de De Broglie, λ h P m / seg 4 j se,65a (Me 9, -3 kg e V,6-9 joule)

245 4 Mostrando evidênias eperimentais laras da validade da relação de De Broglie. O eperimento de Davisson e Gerner não foi o únio que omprovou de forma marante a relação de De Broglie. Eperimentos realizados por G.P. Thomson em 97 om espalhamento de elétrons em folhas finas de metal demonstrou os padrões de interferênia que revelaram, de forma definitiva, a natureza ondulatória do elétron. Em 937 G.P. Thomson e Davisson ganharam o Prêmio Nobel pela brilhante demonstração da natureza ondulatória do elétron. Somente a título de uriosidade, G.P. Thomson era filho de J.J. Thomson que, em 897 desobriu o elétron. Os livros tetos relatam que na époa que G.P. Thomson ganhou o Prêmio Nobel, a omunidade ientífia da époa brinava ao dizer que "Thomson" (o pai) ganhou o Prêmio Nobel por demonstrar que o elétron é uma partíula, enquanto que "Thomson" (o filho) ganhou o Prêmio Nobel por demonstrar que o elétron é onda. Melhor assim, pois as disordânias entre eles não passou de um mero problema familiar e a omunidade ientífia absorveu ambos os oneitos, atribuindo ao elétron um aráter dual de onda-partíula. Não somente os elétrons, mas todas as partíulas materiais apresentam omportamento ondulatório. Outros eperimentos realizados por Estermann, Stern e Frish demonstraram a difração de feies moleulares de hidrogênio e hélio de uma superfíie de LiF. No gráfio abaio, mostramos o padrão de difração de feies atômios Hélio e H por ristais LiF. Eperimentos mais modernos têm sido apazes de estabeleer de forma ompleta a hamada Optia Atômia.

246 UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO INSTITUTO DE FÍSICA DE SÃO CARLOS DEPARTAMENTO DE FÍSICA E CIÊNCIAS DOS MATERIAIS CAPÍTULO VI COMPORTAMENTO ONDULATÓRIO PARA PARTÍCULAS E O PRINCÍPIO DE INCERTEZA DE HEISENBERG PROF. VANDERLEI S. BAGNATO

247 In lassial physis siene started from the belief or should we say illusion? that we ould desribe the world or at least parts of the world without any referene to ourselves. This is atually possible to a large etent. We know that the ity of London eists whether we see it or not. It may be said that lassial physis is just that idealization in whih we an speak about parts of the world without any referene to ourselves. Werner Heisenberg

248 Capítulo VI 3 COMPORTAMENTO ONDULATÓRIO PARA PARTÍCULAS E O PRINCÍPIO DE INCERTEZA DE HEISENBERG Como vimos nos apítulos anteriores, em um grande número de situações o omportamento de partíulas para ondas eletromagnétias (fótons) é a únia forma de epliar observações eperimentais omo a radiação de um orpo negro, o efeito fotoelétrio e o espalhamento Compton. Eistem, no entanto, uma série de outros eperimentos envolvendo partíulas ujos resultados só podem ser epliados se assoiarmos a elas um omportamento ondulatório. Vamos nesta parte do urso disutir estes oneitos iniialmente propostos pelo físio Louis De Broglie. Iniiemos nossa disussão introduzindo o oneito de ondas materiais introduzida por De Broglie que, analisando eperimentos do efeito fotoelétrio e de Compton, lançou a hipótese de que não somente as ondas apresentam araterístias de partíulas, mas também as partíulas possuem omportamento ondulatório. Segundo a hipótese de De Broglie da mesma forma que assoiarmos à uma onda de omprimento de onda λ um momentum p, a toda partíula de momentum p pode ser assoiado a um omprimento de onda. Assim, tanto para partíulas materiais omo para radiação, temos que a energia e freqüênia estão relaionados por: E hυ omo E p; hυ p e assim tiramos que o momentum p e o omprimento λ estão relaionados através da relação: h p λ onvenionalmente hamada de relação de De Broglie.

249 Os parâmetros que normalmente araterizam partíulas E e p estão relaionados aos oneitos que normalmente araterizam onda ν e λ através da onstante de Plank h. O omprimento de onda omprimento de onda λ. h λ assoia a ada entidade de momentum p um p Como eemplo, seja uma bola de tênis om veloidade m/seg, apliando a relação aima, vemos que estamos tratando de uma onda ujo omprimento é: λ6-4 Å, infinitamente menor do que as dimensões físias da bola. Se onsiderarmos, por outro lado, um elétron a e V, assoiados a ele temos λ, Å Reordemos que no âmbito da óptia, a hamada óptia geométria está presente sempre que as dimensões do dispositivo óptio em estudo (espessura da lente, distânia entre espelhos ou tamanho de fendas) forem muito maiores do que o omprimento de onda da radiação em questão. Assim, hamando de d as dimensões típias do sistema óptio, o limite λ/d representa a validade da óptia geométria. Quando este limite não vale temos o domínio da óptia físia, onda efeitos inerentes da natureza ondulatória se manifestam. O mesmo oorre om a manifestação da natureza ondulatória das partíulas, que neessitam de sistemas om dimensões típias muito pequenas para se manifestarem. Para a bola de tênis desrita aima, sua manifestação ondulatória estaria presente 4 quando ela interagisse om sistemas de dimensões da ordem de -4 A que não estão à disposição. Por outro lado, elétrons que apresentam omprimento de De Broglie da ordem de A o, devem manifestar sua natureza ondulatória ao interagirem om estruturas ujas dimensões típias são desta ordem, omo é o aso do arranjo atômio em ristais, superfíies sólidas, et. Assim, semelhantemente aos raios, a interação de elétrons om redes ristalinas sólidas, devem produzir padrões de difração. Os átomos na rede ristalina, uniformemente arranjadas, funionam omo entros de difração para os elétrons. Deste modo, Davisson e Germer realizaram um eperimento onde elétrons aelerados por uma diferença de potenial V emergem do sistema om uma energia ev e olidem om uma superfíie sólida e são posteriormente detetados por um detetor D. O esquema deste eperimento está mostrado a seguir:

250 5 O detetor pode ser posiionado em qualquer ângulo θ, permitindo observações om dependênia angular. Numa primeira observação vamos fiar o ângulo θ de observação e vamos variar a energia inétia do feie eletrônio emergente. Isto pode ser feito através de variação do potenial de grade. Como resultado observa-se o gráfio mostrado abaio: A eistênia de um máimo nos elétrons difratados omo função de sua energia inétia só pode ser epliado através da oorrênia de uma interferênia onstrutiva quando elétrons apresentam uma determinada energia ou omprimento de onda que permita este efeito. Esta interferênia oorre devido à elétrons espalhados em planos atômios suessivos do ristal. Este resultado eperimental omprova, de forma lara, a hipótese de De Broglie, assoiando às partíulas um omportamento ondulatório. Este mesmo resultado pode ser onfirmado se fiarmos o potenial de aeleração em 54V, e variarmos o ângulo de observação.

251 6 A epliação destas observações pode ser feita analogamente à análise do espalhamento de Bragg, e não pode de forma alguma ser epliado através do movimento lássio de partíulas, pois partíulas não apresentam interferênia. Assim, se tratarmos elétrons omo ondas de omprimento λ sendo refletidas pelos planos ristalinos de um ristal espaçados por d, temos a situação mostrada abaio: A diferença de aminhos entre os feies espalhados em dois planos suessivos é d senϕ e haverá interferênia onstrutiva sempre que esta diferença for um número inteiro de λ. nλ d senϕ (no esquema do eperimento 8 - θ ϕ) É importante salientar que quando dizemos que elétrons sofrem interferênia, não queremos dizer que ondas assoiadas om um elétron interfere om onda assoiada om outro elétron, mas sim estamos nos referindo à interferênia entre partes diferentes da onda assoiada om o mesmo elétron. Assim, mesmo que tivéssemos trabalhando om um feie eletrônio de intensidade bastante baia, de modo que somente um elétron de

252 7 ada vez olidisse om o ristal, observaríamos o mesmo padrão de interferênia, quando o eperimento fosse repetido um grande número de vezes. No aso do ristal usado por Davisson e Germer, d~,9å (determinado por ténios de raio X) de modo que λ d sen ϕ,9 sen 65 o, ou seja λ,65å. Se alularmos λ usando relação de De Broglie, para elétron om energia de 54 ev, λ 34 h 6.6 j se.,65å 4 p 4 kgm/se. ( µ 9, me -3 kg ev,6-9 joule) mostrando evidênias eperimentais laras de validade da relação de De Broglie. O eperimento de Davisson e Germer não foi o únio que omprovou de forma marante a relação de De Broglie. Eperimentos realizados por G.P. Thompson em 97 om espalhamento de elétron em folhas finas de metal demonstrou os padrões de interferênia que revelaram de forma definitiva a natureza ondulatória do elétron. Em 937 G.P. Thompson e Davison ganharam o Prêmio Nobel pela brilhante demonstração da natureza ondulatória do elétron. Somente a título de uriosidade, G.P. Thompson era filho de J.J. Thompson que em 897 desobriu o elétron (omo partíula). Os livros teto relatam que na époa que G.P. Thompson ganhou o Prêmio Nobel, a omunidade ientífia da époa brinava ao dizer que Thompson (o pai) ganhou o Prêmio Nobel por demonstrar que o elétron é uma partíula, enquanto Thonspon (o filho) ganhou o Prêmio Nobel por demonstrar que o elétron é uma onda. Melhor assim, pois as disordânias entre eles não passaram de um mero problema familiar e a omunidade ientífia absorveu ambos os oneitos, atribuindo ao elétron um aráter dual de ondapartíula, até hoje ultilizado. Não são somente os elétrons, mas todas as partíulas materiais apresentam omportamento ondulatório. Outros eperimentos realizados por Estermann, Stern e Frish demonstraram a difração de feies moleulares de hidrogênio e hélio em uma superfíie de LiF. Hoje já é possível onstruir interferômetros de partíula maiores que átomos. Tendo o omportamento de onda, é natural que assoiemos às partíulas uma função de onda que desreva o seu movimento ondulatório. Esta função é normalmente denotada de ψ e representa a função de onda de uma partíula ujo omprimento

253 assoiado é λ. Partíulas que se movem na direção om um valor preiso de momentum e energia, deve ser representado por uma onda plana de parâmetros. h E λ e υ p h 8 Denotando de A a amplitude desta onda, temos: ψ (,t ) A sen π νt λ Esta função de onda assoiada à partíula animada de momentum, deve ser interpretada omo estando relaionada om a probabilidade de que a partíula esteja numa determinada posição num determinado instante de tempo. Esta é a hamada interpretação probabilístia para a meânia ondulatória. Segundo esta interpretação a função de onda ψ, por si só, não apresenta um signifiado físio direto, pois uma função de onda, de um modo geral, assume valores positivos e negativos e a probabilidade não representa nada físio, quando toma valores negativos. Assim, ψ não representa um observável físio. Se, no entanto, onsiderarmos a função ψ, as objeções oloadas aima não mais se apliam. Desta forma, podemos dizer que a densidade de probabilidade deve estar assoiado om ψ. A interpretação probabilístia de meânia ondulatória toma, então, o seguinte aspeto: A probabilidade de eperimentalmente aharmos a partíula desrita pela função de onda ψ (, t) na posição e no instante t é ψ (,t). Desta forma, quando ψ tem um valor elevado, signifia que é grande a probabilidade de enontrarmos a partíula naquela loalidade no instante de tempo onsiderado. Desde que ψ não seja nulo há hane de que a partíula seja enontrada num determinado ponto quando uma medida é realizada. A interpretação probabilístia da função de onda devemos a Ma Born em 96. O problema todo em meânia ondulatória orresponde à determinação da função de onda ψ, pois a partir dela todas as propriedades físias do sistema podem ser determinadas através de operações matemátias envolvendo esta função. Uma pergunta que de imediato vem a nossa mente é: Com qual veloidade a onda de De Broglie deve propagar-se? A resposta é óbvia: Ela deve propagar-se om a

254 9 veloidade da partíula já que ela representa esta entidade movendo-se om v. Assim, vamos onsiderar a freqüênia através da relação Em hv e o omprimento de onda h λ e determinarmos a veloidade de onda por mv v v DB DB h E νλ. µ v h v m mv o que mostra que omo v nuna é superior a, v DB (veloidade da onda) e a veloidade da partíula v nuna será igual. Isto leva a uma ontradição do que dissemos omo sendo óbvio aima. Afim de eslareermos este ponto, devemos introduzir o oneito de veloidade de fase e veloidade de grupo. Antes, porém, vamos salientar que a onda plana ψ que assoiamos a onda de De Broglie está toda espalhada oupando todo espaço onsiderado. Sendo esta assoiada à probabilidade de enontrarmos a partíula, vemos que esta está espalhada em todo espaço. Esperávamos um onsiderável aumento da probabilidade na posição lássia oupada pela partíula. Vamos omeçar nossa disussão onsiderando uma onda de amplitude A, freqüênia ν e omprimento de onda. A função que desreve esta onda é y A os π νt λ que pode ser esrita omo y A os(ωt k) onde definimos a freqüênia angular ω πν e o número de onda π k. λ Pelos dois argumentos que desrevemos aima, é laro que a onda plana aima não deve ser uma boa representação para uma partíula movendo-se om veloidade v. Ao invés disto, nos paree razoável se a partíula for desrita por um paote de onda mais loalizado ao redor de sua posição lássia.

255 Neste aso, os dois pontos aima são eslareidos, já que a maior onentração da probabilidade oorre ao redor do entro do paote, representando mais ou menos a região na qual a partíula está loalizada além do fato que o que é importante agora é a veloidade om que o paote se desloa ao invés da veloidade da onda em si. Este paote de onda que aparentemente representa bem uma partíula preservando as araterístias ondulatórias pode ser formado pela adição de ondas planas om amplitudes e freqüênias levemente variadas. Vamos onsiderar a interação de duas ondas planas, ujas freqüênias diferem levemente. A interferênia de uma onda om a outra, resulta numa onda uja amplitude varia, fato este que define o paote de onda. Se a veloidade das ondas que ompõem o paote são as mesmas a veloidade do paote seria a mesma da onda. No entanto, se as ondas omponentes representam veloidades diferentes as ondas individuais não propagarão juntas e omo resultado o paote de onda propaga-se om uma veloidade diferente daquelas das ondas omponentes. Assim, onsideremos as duas ondas uja freqüênia angular difere por dω e ujo vetor de onda difere por dk. Tendo a mesma amplitude, temos:

256 y Aos(ωt k) y Aos[(ω+ dω)t - (k + dk)] A resultante da soma destas duas osilações, resulta em: y y + y ω + dω k + dk dωt Aos t os dk a + b onde usamos a identidade os a + os b os dk são pequenos, omparados om ω e k, os a b. Do fato que dω e ω + dω ω k + dk k e temos, então: y A os (ωt k) os dω dk t que representa uma onda de frequênia ω e número de onda k, uja amplitude está modulada por uma frequênia dω dk e número de onda. O efeito desta modulação é o de produzir suessivos paotes de onda, omo mostrado na figura anterior. A veloidade das ondas é a onvenional, v p ω k denominada de veloidade de fase, enquanto o envoltório propaga-se om veloidade v g dω dk denominada de veloidade de grupo.

257 Como já vimos, a veloidade de fase é dada por: Vp v enquanto a veloidade de grupo, v g dω dω / dv dk dk / dv Como E hυ, definindo h h E π h h ω ω hυ m π m v tiramos que: ω π h m ( v ) v dω dv π vm v h 3 / Da mesma forma k π λ π πmv h h mv e omo m m v k(v ) π h m v v

258 de modo que 3 dk dv π h m v πm + h v v 3 πm h v v + v 3 π h m v 3 e alulando v g, de onde tiramos: v g v demonstrando que a veloidade om que o paote de onda se desloa orresponde à veloidade da partíula. Este resultado é bastante razoável já que o máimo de probabilidade aompanha o movimento do entro de massa da partíula e om a mesma veloidade desta. Assim, podemos afirmar que o paote de onda de De Broglie assoiado om uma partíula que move-se, tem a mesma veloidade que a partíula. Da neessidade de uma partíula livre ser representada por um paote de onda ao invés de uma onda plana sugere que sempre estaremos adiionando várias ondas de omprimento de onda ligeiramente diferente para formar o paote. Como o omprimento de onda está assoiada om o momentum da partíula, vemos que teremos um ompromisso entre saber eatamente o momentum da partíula om sua loalização, pois quanto mais ondas de omprimento de onda diferentes adiionamos, mais loalizado espaialmente é o paote de onda e vie-versa. Chegando ao limite que quando só temos um únio omprimento de onda ou momentum, a partíula é representada por uma onda plana igualmente espalhada em todo espaço, denotando que a partíula é igualmente provável de ser enontrada em qualquer posição, o que representa uma ompleta deloalização espaial. Este ompromisso entre a perfeita determinação do momentum e da loalização gera um dos mais importantes prinípios da meânia quântia que é o hamado prinípio da inerteza de Heisenberg.

259 4 Vamos fazer uma análise bastante simplifiada para determinarmos a relação entre a inerteza no onheimento do entro do paote de onda om a inerteza no onheimento do momentum p da partíula. Simplifiadamente, vamos onsiderar um paote de onda formado da adição de duas ondas planas que diferem levemente em frequênia ( ω) e em número de onda ( k). Ψ A os (ωt k) Ψ A os [(ω + ω)t (k + k) X] Fazendo o mesmo álulo feito anteriormente, Ψ Ψ + Ψ A os (ωt k) os ωt k que representa a série de paotes de onda mostrados abaio: A etensão de ada grupo de onda e metade do omprimento de onda λ m da modulação de amplitude. No aso de estarmos assoiando este paote om uma partíula é razoável assumirmos que a partíula deva estar loalizada dentro desta λm etensão do paote de tamanho. Esta deve ser a inerteza máima na determinação da posição da partíula. É importante lembrar que aso estivéssemos onsiderando infinitas ondas entre K e K + k teríamos um únio paote ao invés de múltiplos. Como: λ m π k m π k π k

260 Como as ondas que formam este grupo apresentam vetor de onda entre k e k + k, estaremos inertos om respeito ao valor de k da onda final por uma quantidade no mínimo de k. Assim vamos supor, om razão, que a inerteza no número de onda é k. Desta forma, omo k π π λ h p 5 k π p, de modo que h π k p h e a inerteza em k representa uma inerteza no onheimento do momentum da partíula. Portanto, temos: π π, k π p h. p h Agora, os valores que tomamos para e p são os mínimos aeitáveis dentro da lógia da onstrução de nosso problema. Desta forma, uma relação entre e p mais razoável fornee:. p h quaisquer outros fatores somente aumentarão e p aima. Esta última epressão é uma forma simplifiada do hamado prinípio de inerteza de Heisenberg, obtido em 97 pelo físio Werner Heisenberg. O prinípio da inerteza estabelee que a inerteza na posição de uma partíula e a inerteza no momento durante uma determinada medida, apresenta na melhor das hipóteses omo produto um valor da ordem da onstante de Plank. Note que este é um resultado inerente om a natureza ondulatória da matéria.

261 Se espeifiássemos mais preisamente o que signifia inerteza em posição e 6 momentum através das hamadas variânias ( ) enontraríamos: h. p om um fator etra de π que é uma relação mais formal e preisa do prinípio da inerteza. h h π Da relação de inerteza entre momentum e posição, é possível obter uma relação semelhante entre energia e tempo. A inerteza em energia E h ν onde ν é a inerteza na frequênia. Se tomarmos omo medida de tempo a frequênia da onda, temos que E. t h, e da mesma forma que anteriormente. ν de modo que t E. t h ou de uma forma mais formal. h E. t π que é o prinípio da inerteza envolvendo energia e tempo. A relação de inerteza entre energia e tempo tem uma importante onsequênia em físia atômia. Do fato dos estados eletrônios apresentarem um tempo de vida finito, implia que os estados estejam dentro de erto intervalo de energia. Após vermos, em linhas gerais, o prinípio de inerteza, vamos fazer algumas apliações deste importante resultado. Consideremos, iniialmente, a determinação da posição de um elétron que apresenta momentum p. A fim de observar tal elétron, inidimos sobre ele luz e observamos a luz espalhada (omo fazemos om a obeservação de qualquer objeto).

262 7 O sistema óptio tem um poder de resolução na determinação da posição, que é esrita omo (dependendo do ângulo de oleta de luz): λ sen ϕ sendo λ o omprimento da onda da luz. Assim, erroneamente pensaríamos que diminuindo λ aumentaríamos indefinidamente a resolução da posição do elétron. No entanto, ao serem espalhados pelo elétron, os fótons transferem momentum ao elétron (lembre-se quando falamos de pressão de radiação), que no aso seria todo momentum espalhado dentro do ângulo ϕ. p hν senϕ e o fator de é oloado devido ao fato de estarmos olhendo fótons de +ϕ à -ϕ. Assim, teríamos: hν λ p..senϕ h senϕ de modo que, na determinação da posição do elétron através da luz, vale a relação: p. h e, portanto, o prinípio de inerteza é satisfeito.

263 Esta relação na determinação de p e, pode ser esrita de outra forma. Multipliando e dividindo a relação aima por p/m 8 p p m. m p h Como p p m E m e t, p E. t h demonstrando que a impreisão no instante de medida relaiona-se om a inerteza na energia medida através da relação aima. Devido ao prinípio de inerteza, a energia de um sistema loalizado no espaço nuna pode ser nula, pois isto aarretará p e, deloalizando o sistema que por prinípio está loalizado. Consideremos omo eemplo a determinação da energia mais baia do átomo de hidrogênio. Temos: E p m Ze r omo p~ p, r~ r E ( p) m Ze r mas p. r ~ h E ( p) m Ze p h de Sendo p o ponto mínimo da energia d p

264 9 p Ze Ze m p ou m h h 4 Z e m e Zm E Ze h m h 4 Z e m E h é: Só para referênia, a energia eata dos níveis de energia do átomo de hidrogênio 4 Z e m (n h n En,,3...) e estaremos abordando mais este tema adiante. OSCILADOR HARMÔNICO Para o osilador harmônio a energia é: p E + m mω de modo que: h h p. ~ p. ~. Desta forma, o estado de mais baia energia: E p + m mω h 4p de de modo que, produz dp p mωh e, assim:

265 E hω Em linhas gerais, o estado de mais baia energia de um sistema físio ligado (que é o aso de partíulas presas em poteniais) é aquele ompatível om o prinípio de inerteza. A eistênia de uma Energia diferente de zero omo mínima para uma partíula onfinada tem importantes onseqüênias pata os sistemas físios.

266 UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO INSTITUTO DE FÍSICA DE SÃO CARLOS DEPARTAMENTO DE FÍSICA E CIÊNCIA DOS MATERIAIS ESTRUTURA ATÔMICA Prof. Dr. Vanderlei Salvador Bagnato

267 CAPÍTULO VII ESTRUTURA ATÔMICA O oneito de que toda matéria é onstituída ao nível mirosópio de partes fundamentais, denominadas de átomos, é bastante antigo anteipando todas as idéias mais modernas que levaram ao onheimento do átomo. Este oneito fiou, no entanto, embebido em mistério até aproimadamente um séulo atrás, quando os físios e químios demonstraram, de forma deisiva, estas idéias. Vários foram os modelos desenvolvidos para epliar as propriedades do átomo. A desoberta do elétron e a onlusão de que todos os átomos ontêm elétrons na sua omposição básia foi um dos passos deisivos na direção da determinação da estrutura atômia. Sendo os elétrons negativos, enquanto os átomos são eletriamente neutros, faznos onluir que a matéria, mais preisamente o átomo, deve onter argas positivas sufiientes para balanear as negativas. Da informação de que elétrons são milhares de vezes mais leves que os átomos (obtidos dos eperimentos anteriores de J. Thomson), sugere que as argas positivas onstituintes dos átomos é que determinaram grandemente a massa do átomo. Baseado nessas informações, J. Thompson propôs em 898 que os átomos são esferas de argas positivas nas quais os elétrons negativos estão embebidos. Este era, em linhas gerais, o modelo de Thompson para o átomo. O modelo era denominado de pudim om ameias devido à semelhança. O modelo pareia razoável, baseado nas informações eperimentais apresentadas. Nenhum eperimento, no entanto, foi feito de imediato para omprovação do modelo. O raio desta esfera foi tomado omo sendo da ordem de Å ( - m), obtido através do uso do número de Avogrado e as densidades típias do sólido. A repulsão mútua entre os elétrons produziria uma distribuição uniforme destes dentro da esfera, no que

268 3 determinaria as posições de equilíbrio para os elétrons. A eitação dos átomos, por eemplo, através do aumento de temperatura, era visto omo vibrações destes elétrons ao redor de suas posições de equilíbrio, dando origem à radiação eletromagnétia que é observada. Consideremos, a fim de realizarmos uma estimativa, que temos uma esfera de densidade ρ, arregada positivamente no interior da qual um elétron move-se ao redor do entro (posição de equilíbrio). Através da lei de Gauss, quando o elétron estiver a uma distânia r do entro, a força sobre ele será F 4 3 e πr ρ. 3 r 4 πeρr 3 que é linear na posição, demonstrando que tal elétron eeuta um movimento harmônio 4π ao longo do diâmetro, om onstante de mola e ρ. Tomando a esfera omo tendo um 3 diâmetro D da ordem de Å -8 m, teremos ρ e π 4 3 D 3 4, de modo que a onstante de 4π e 8e mola é e. 3 D 3 3 π D 3 que vamos estimar 4 (, ). que é 4 3,5 6 4 dyn / m. 4 Esta força de mola leva a uma frequênia de vibração v π K m π 9, Hz Esta frequênia orresponde à: 3 λ ~ 6 Å 5 v 5, Este omprimento de onda, que loaliza-se na ultra-violeta, araterizaria totalmente a radiação emitida pelo átomo. Isto, evidentemente, não justifia a grande

269 4 variedade de linhas espetrais observada, mas desargas em vapores atômios, demonstrando problemas om o modelo de Thomson. A evidênia definitiva de que o modelo de Thomson estava inorreto aonteeu alguns anos mais tarde quando Rutherford realizou eperimentos om o espalhamento de partíulas α demonstrando que a parte arregada positivamente do átomo estava onentrada numa pequena região entral no átomo, denominada de núleo. Estudando radioatividade Rutherford utilizou partíulas α (que são átomos de Hélio duplamente ionizados) para realizar eperimento de espalhamento em pelíulas finas de metal. Nos seus arranjos eperimentais, uma fonte radioativa produz um feie de partíulas α que é olimado e olide sobre uma folha metália. Interagindo om as argas dos átomos através da força Coulombiana, estas partíulas sofrem defleões que são detetadas através de sua olisão om uma superfíie onvenientemente preparada. Caso o modelo Thomson fosse verdadeiro, não seriam esperadas defleões a altos ângulos. No entanto um número eessivamente grande de partíulas espalhadas a altos ângulos foi observado, propiiando a Rutherford a proposição de um novo modelo atômio. O modelo de Rutherford apresenta a estrutura atômia omo tendo toda sua arga positiva (e, portanto, toda sua massa) onentrada na região entral denominada de núleo, ujas dimensões seriam muito menores do que as dimensões do átomo. Quando as partíulas α passarem muito próimas deste núleo a repulsão Coulombiana produzirá um grande desvio das partíulas, omo observado. Rutherford efetuou um álulo bastante detalhado para demonstrar aquilo que propunha em seu modelo, om base nos resultados do espalhamento das partíulas α.

270 5 Devido à grande onentração das argas positivas numa determinada região é sua interação om as partíulas α que determina o espalhamento, podemos, assim, esqueer os elétrons. Consideremos, então, omo predominante, o espalhamento devido à repulsão Coulombiana entre as partíulas α arregadas positivamente om os núleos, também positivos. Como estaremos tratando de átomos pesados, onsideremos o reuo ausado pelas olisões nos núleos omo desprezíveis, ou seja, o modelo que tomaremos para efetuar os álulos onsiste em imaginar os núleos omo pontos de arga fios. Assim, o modelo de espalhamento que tomaremos está onvenientemente mostrado abaio, onde mostramos a trajetória de uma partíula α espalhada pelo núleo. Uma partíula α de arga ze e massa M passa próimo de um núleo de arga +Zé, tomado este omo estando na origem do sistema de oordenada. Antes de enontrar o núleo, a partíula desloa-se em linha reta om veloidade v. Após o enontro a partíula também ontinua desloando-se om v em linha reta. Em ada instante a posição da partíula om relação ao núleo pode ser determinada pelas oordenadas polares r e v omo mostra a figura. A distânia entre a linha de movimento e a linha que determina um eio oordenado passando pelo núleo b é hamada de parâmetro de impato. O ângulo θ, que a trajetória da partíula define após espalhamento, é hamado de ângulo de espalhamento. A distânia entre a linha de movimento final e sua paralela passando pelo núleo é b'. Como a força de Coulomb que atua sobre a partíula é entral (sempre na direção radial), o torque eerido é nulo e, portanto: d L F r L te dt

271 6 de onde tiramos Mvb Mv'b' L. Sendo a força onservativa a energia é onservada Mv Mv' v v' e, portanto, b b'. Vamos onsiderar a partíula movendo-se sob ação da força Coulombiana e vamos determinar sua equação de movimento. A força é sempre radial valendo zze, e durante o movimento da partíula eiste r uma variação do omprimento do raio vetor r e de sua posição, de modo que temos: Ze z r d r dϕ M r dt dt sendo o primeiro termo a ontribuição da variação do módulo da posição e o segundo tipo força entrífuga ω r e variação da orientação do raio vetor. Isto vem do fato que: r & rr &ˆ + r & ϕ ˆ ϕ de modo que (usando r ˆ & & ϕ ˆ ϕ e ˆ & ϕ & ϕrˆ ) (&& r r & ϕ ) rˆ + ( r&& ϕ r& & ϕ)ϕ ˆ r & + sendo a força entral, fiamos somente om o primeiro termo. Vamos resolver esta equação de movimento esrevendo equação em termos de u. r u e esrevendo a

272 7 dr dt dr dϕ. dϕ dt dr du dϕ.. du dϕ dt ou seja dr dt u du Lu L d u dϕ M M dϕ. pois dϕ. Mr dt L e a segunda derivada d r dt d r dt d dr dϕ. dϕ dt dt L u M d u dϕ L M d u dϕ Lu M Substituindo na equação de movimento: L u d u M Lu M zze d d u M ϕ ϕ u de onde tiramos, usando L Mvb d u dϕ + u zze Mv b De um modo geral, denominamos: D zze Mv, (dimensão distânia) de modo que

273 8 d u dϕ D + u b A solução geral desta equação é: u A osϕ + A senϕ D b o que nos leva à: A osϕ A senϕ + A D osϕ + A senϕ b D b que prova a validade da solução. Quando r, ϕ u A D A D b b Quando r, ϕ dr dt v dr dt A L M du d Mv Mvb v ϕ b L M ( A ) D D Assim, u osϕ + senϕ e, portanto, a solução para a trajetória da b b b partíula é: D senϕ + ϕ r b b ( os )

274 9 zze A distânia D Mv, representa a distânia na qual a energia inétia e potenial zze e igualam-se D e representa a menor distânia que a partíula e o núleo fiarão mv quando a olisão for frontal. Neste ponto a partíula reverte sua veloidade e volta para sua origem. O ângulo de espalhamento θ pode ser enontrado da equação da trajetória, tomando-se o ponto ϕ onde r. Como neste ponto ϕ + θ π D senϕ + osϕ b D b de onde podemos tirar após alguns passos: θ ot ang b D A distânia de maior aproimação R pode ser alulada quando ϕ ( π θ ) / R e π θ D π θ sen + os b b D θ D π θ b ot an + an de onde pode-se obter que:

275 R D + sen θ No eperimento de Rutherford, o que era observado era o número de partíulas α que são espalhadas num determinado ângulo θ quando um grande fluo de partíulas α inide sobre o alvo. É laro que não podemos preisar eatamente θ e o que estamos prourando é o número de partíulas que é espalhada entre θ e θ + dθ. Este número será denominado por: N(θ)dθ número de partíulas espalhadas entre θ e θ + dθ/tempo. Se olharmos a relação que fornee o ângulo de espalhamento θ, veremos que o que ausará partíulas espalharem em diferentes ângulos é somente o parâmetro de impato b diferente. Deste modo, as partíulas que espalham entre θ e θ + dθ são eatamente aquelas que olidem om parâmetro de impato entre b e b + db. Vamos onsiderar uma porção do alvo de área de A/m, Ao redor de ada núleo atômio nesta área analisaremos o efeito disutido aima. Para ada núleo estamos onsiderando as partíulas α olidindo num anel de área π bdb ao redor do núleo. Sendo t a espessura da porção onsiderada, o número de núleos em A é ρ At, sendo ρ a densidade atômia do material.

276 Seja P(b)db a probabilidade que a partíula α passa por um destes anéis. Como estamos tomando uma densidade uniforme de partíulas inidindo na amostra, temos que: ( b) P db área total A anéis Assim, P ( b) db ρtπbdb mas utilizando o fato que D b otan D/ D db sen θ dθ e, portanto D bdb 8 os sen θ 3 θ dθ e θ θ os sen senθ D bdb 6 senθ dθ 4 sen θ

277 e finalmente P( b) db π ρtd sinθdθ 4 8 sin θ o sinal (-) aparee devido ao fato que aumentando b diminuímos θ) Como -P(b)db representa a probabilidade que as partíulas inidentes sejam espalhadas entre θ e θ + dθ, N ( θ ) dθ π ρ I 8 td sinθ 4 sin d θ θ sendo o número inidente e n(θ)dθ o número espalhado no ângulo onsiderado. Este resultado mostra que a probabilidade de espalhamento em grandes ângulos não é nula. De fato é bastante elevada, onordando om resultados eperimentais. Os eperimentos realizados testaram a dependênia angular usando hapas finas de Au e Ag no intervalo 5 a 5 demonstrando boa onordânia. A quantidade N(θ)dθ mostrou-se eperimentalmente proporional a espessura t omo previsto. Sendo proporional a D zze Mv,N(θ)d(θ), varia inversamente proporional om o quadrado da energia inétia das partíulas α inidentes. Isto foi testado eperimentalmente mostrando boa onordânia. Uma última observação, e das mais onlusivas, veio da determinação do mundo Z a partir dos resultados de espalhamento. A onordânia de Z medida om o número atômio do metal utilizado é muito boa. Tendo seu modelo onfirmado pelas observações eperimentais, Rutherford utilizou sua relação para estimar um limite do tamanho do núleo. Observando as partíulas que espalham a 8, R D zze o 8 M v É laro que esta é uma estimativa superior, pois as partíulas α aproimam-se do núleo por uma distânia muito maior do que o tamanho real do núleo.

278 3 Se ompararmos os resultados eperimentais e teórios de N(θ) veremos que eles onordam muito bem para R grandeza (~ -4 m -4 Å). Isto mostra que esta deva ser a ordem de R grandeza do núleo atômio. Para produzirmos menores R, aumentamos a energia das partíulas. Neste aso há penetração destas partíulas na região nulear e aí evidentemente o modelo não onorda. A fórmula de Rutherford que obtivemos anteriormente pode ser esrita em termos da hamada seção do hoque diferenial dσ, definida omo: dω dn dσ IndΩ dω dn número de partíulas espalhadas num ângulo sólido d Ω a um ângulo θ I número de partíulas que olidem N densidade nulear por área N σ I n A definição aima é pareida desta última N I σ. n Como definimos N(θ) dθ dn, temos: dn zze 4 θ Mv sin hamada de seção de hoque diferenial de Rutherford.

279 4 De aordo om estas epressões, o número de partíulas α por unidade de área que atingem a tela que florese a uma distânia r deve ser proporional a espessura t da folha metália, a densidade de átomos no metal e, o que é mais importante, om o quadrado do número atômio Z. Este número ainda depende inversamente om a energia inétia das partíulas α e apresenta o termo de dependênia om. Todas estas dependênias puderam ser verifiadas demonstrando a validade do modelo de Rutherford, no qual o átomo é onstituído de um aroço positivo (núleo) irundada pelos elétrons negativos. A onordânia eperimental deste modelo valeram a Rutherford o mérito da desoberta do núleo atômio. Como vimos, através do modelo de Rutherford, a únia interação onsiderada foi à eletrostátia e os resultados obtidos permitem a determinação de um tamanho limite para o núleo atômio. Vamos alular a distânia mais próima do entro nulear que uma partíula pode atingir. Para isto, vamos onsiderar aquelas olisões frontais (b ) onde o ângulo de espalhamento é pratiamente θ 8. Nesta situação a energia potenial eletrostátia no ponto mais próimo é igual à energia inétia iniial da partíula. Ze r Energia inétia (~ 7.7 Mev) Utilizando ouro Z 79 Z 9 8 (,6 ).9 6 r 7,7.,6 para ouro (Au) r ~ 3 - m ~ 3-4 Å Desta forma vemos que para ouro o raio nulear é menor do que raio atômio. Eperimentos mais modernos onde partíulas α podem ser artifiialmente aeleradas demonstraram que a relação de espalhamento de Rutherford omeça a disordar dos resultados eperimentais. O modelo estabeleido por Rutherford, no qual um núleo massivo e positivo apresenta os elétrons ao seu redor, eige que tais elétrons desrevam trajetórias estáveis ao redor deste núleo, semelhante ao modelo planetário que temos. Vamos eaminar mais de perto os elétrons ao redor do núleo num dos átomos mais simples que é o

280 5 átomo de hidrogênio. Tomando por simpliidade uma trajetória irular, temos para uma trajetória de raio r mv r e r e, assim, a veloidade está relaionada om o raio da órbita por: v e mr Através da onservação de energia, temos que a energia total: E mv e r que om a relação anterior permite-nos obter e E r e E r e r oul 3 9 staoul Assim, a energia total do elétron é negativa omo esperado, já que ele está ligado ao núleo. Qualquer energia E signifiaria um elétron não ligado ao núleo. Utilizandose dos resultados eperimentais onheidos de que a energia neessária para etrair o elétron do átomo de hidrogênio é de 3,6 ev, 3,6,6 9 (,6 ).9 r 8 9,53 A o r 5,3 m ~ RaioBohr Esta análise lássia feita para avaliar o raio da órbita eletrônia, que evidentemente determina o raio do átomo, está ompletamente em desaordo om a

281 6 teoria eletromagnétia segundo a qual este elétron aelerado deveria radiar energia na forma de elétron em movimento irular deveria ontinuamente perder energia e assim gradativamente, aproimando-se do núleo de uma forma espiralhada, omo mostrado abaio, finalizando om o olapso do átomo. Este olapso, evidentemente, está em ontradição om as observações reais dos átomos. A razão desta ontradição está no fato de que estamos tratando o elétron omo partíula de uma forma ompletamente lássia, mas omo vimos anteriormente, seu omportamento é ondulatório. A fim de evitarmos esta instabilidade do modelo de Rutherford, é neessário a realização de um modelo que inlua as noções de onda disutidas anteriormente. No entanto, de forma alguma isto invalida a fórmula de Rutherford que sobrevive mesmo quando um tratamento puramente quântio é feito para o espalhamento de partíulas α. A questão básia onde o modelo falha é a estabilidade das órbitas. A solução para tal problema foi proposta iniialmente por Niels Bohr (93) que foi muito bem suedido na epliação e predição do espetro atômio absorvido em vários eperimentos. Antes de disutirmos modelos mais sofistiados para o átomo é neessário fazermos alguns omentários sobre a observação da radiação emitida pelos átomos no que denominamos de espetro atômio. Uma das maneiras de determinarmos a omposição da radiação emitida pelos átomos está mostrada abaio.

282 7 A radiação dos átomos pode ser obtida através de uma desarga elétria no gás onstituído pelos átomos em estudo. Durante a desarga oorre olisões dos elétrons om os átomos e, nestas olisões, há transferênia de energia oloando elétrons dos átomos em estados mais energétios. Como estes estados mais energétios não são estáveis, os elétrons voltam para seus estados normais e neste proesso emitem luz. Esta luz emitida é uma assinatura dos níveis de energia do átomo e revelam toda informação da estrutura atômia. Esta radiação emitida pelos átomos pode ser bloqueada de modo que somente um fino flash que passa por uma fenda é permitido inidir sobre um prisma (ou rede de difração). Ao passar por este prisma a luz é dispersada, separando as várias porções de omprimento de onda diferentes que ompõem esta radiação. Desta forma, a plaa oloada para mostrar a luz dispersa também mostra a omposição espetral da luz proveniente dos átomos. Ao realizarmos o eperimento aima notamos que a omposição espetral da luz proveniente dos átomos não é um ontínuo (omo a emanada de um orpo negro), mas é omposta de somente alguns omprimentos de onda disretos, ada um denominado de uma linha espetral. Observa-se que ada tipo de átomo apresenta um onjunto de linhas espetras que o araterizam totalmente. Isto permite em muitos asos a araterização químia de elementos desonheidos, muito importante na determinação de omposições, et. Um dos espetros mais simples e, portanto, mais soliitado para estudos é o do átomo de hidrogênio. Na figura abaio mostramos este espetro impresso num filme fotográfio.

283 8 Uma série de observações interessantes pode ser feita neste espetro ao omeçar pelo fato que seu espaçamento diminui ao diminuirmos, e que a série de linhas tem um limite em 3645,6 Å. Esta regularidade no espetro do hidrogênio fez om que vários autores prourassem uma fórmula empíria para desrevê-lo. Em 885 Balmer propôs a relação n λ 3646 n 4 que epliava as 3 primeiras. Em 89 Rydberg propôs que R H 3,4,5... n λ n onde RH é a hamada onstante de Rydberg. A observação do espetro atômio foi um dos mais importantes estímulos eperimentais para o iníio da meânia quântia. A omunidade ientífia da époa prourava por um modelo que todos estes resultados eperimentais observados e ainda ontivesse em seu orpo a preisão das linhas espetrais observadas. Em 93 Niels Bohr desenvolveu um modelo dinâmio que preenhia os requisitos para epliar o espetro do átomo de hidrogênio, om a vantagem de ser esrito e desenvolvido de uma forma inteligível e matematiamente simples. O então hamado modelo atômio de Bohr tem seu desenvolvimento baseado em alguns postulados básios. Os postulados são: - Um elétron no átomo move ao redor do núleo em uma órbita irular sob influênia da atração Coulombiana obedeendo às leis lássias da meânia.

284 9 - Ao ontrário de ser possível ao elétron eistir em qualquer trajetória ao redor do núleo, somente serão permitidas as trajetórias ujo momento angular L é um múltiplo de h / π h. L nh n,, 3, Apesar de estar numa órbita onstantemente aelerada, elétrons nas órbitas permitidas no postulado anterior são estáveis, não irradiando energia eletromagnétia e, portanto, mantendo onstante a sua energia. 4 - Toda vez que o elétron mudar de órbita passando de uma órbita de energia Ei para outra de energia Ef haverá emissão de energia na forma de radiação eletromagnétia uja freqüênia é E E i h f v sendo h a onstante de Plank. Todos os postulados tentam, utilizando os onheimentos gerados por outros modelos, justifiar as observações eperimentais, que eiste um núleo, que as órbitas de elétron são estáveis e que há emissão de radiação. A quantização é introduzida no momento angular, mas omo veremos, reflete na energia. Vamos, então, resolver o átomo utilizando os postulados aima gerando, assim, o que hamaremos de modelo atômio de Bohr. Se onsiderarmos um átomo monoeletrônio, ujo elétron tem massa m e efetua trajetórias irulares, temos que Ze r v m onde foi onsiderado que sendo o núleo muito mais massivo tem seu r movimento desprezível quando omparado om elétron. Utilizando-se a ondição de quantização de Bohr, ou seja nh L mvr nh v mr Ze m n h n h r r r m r mze

285 nh n h v mze Ze n h A energia total do elétron é: E mv Ze r Z m n e 4 h Ze n h mze E 4 n,, 3, 4... mz e h n demonstrando que a ondição de quantização do momento angular leva diretamente a uma quantização na energia total do elétron. Cada valor de n representa a energia de uma possível órbita estável para o elétron, que normalmente são denominados de estados do elétron. Representando os vários estados numa esala energétia, teríamos: Usando os postulados de Bohr podemos determinar a freqüênia da radiação emitida quando o elétron passa de um determinado estado E i para outro E f, araterizados pelo números N i e N f. Assim temos que: ou seja 4 E i E f mz e v + 3 h 4πh N i N f v mz e 3 πh 4 N N i f 4 f i

286 Assim, ao observador a luz proveniente de uma desarga eletrônia em hidrogênio, observamos vários agrupamentos de linhas de freqüênias diferentes, provenientes de emissões distintas de elétrons em diferentes estados. As linhas de Lyman, entre - 3Å, provém de transições eletrônias de todos estados eitados para estado n. As linhas Balmer, entre 4-7Å, são transições ujo estado final é o estado n. As linhas Pashen são transições entre. -.Å, que orrespondem às transições que tem omo estado final o estado n 3. Estas linhas, perfeitamente em onordânia om o modelo de Bohr, foram fundamentais no desenvolvimento dos oneitos básios da estrutura atômia. Os postulados de Bohr não são afirmativas ao aaso, mas são resultados laros do omportamento ondulatório do elétron, ou seja, são impliações diretas do oneito quântio ou ondulatório para o elétron. Assim, onsideremos um elétron em órbita ao redor do núleo, através do balanço de forças o elétron apresenta uma veloidade (para átomo de hidrogênio). v e m r r v e mr om esta veloidade seu omprimento de onde de De Broglie é: λ h mv h mr me

287 se oloarmos os valores numérios teremos: λ 3,3 8 o m 3, 3 A que orresponde eatamente ao perímetro da órbita lássia do elétron π r. π.,53 A 3, 3 A o o demonstrando que temos aqui um aso laro onde a região na qual o elétron está onfinado é da ordem do omprimento de onda e, portanto, o tratamento ondulatório é mais apropriado. Assim não é nenhuma oinidênia que para o estado de mais baia energia tenhamos o perímetro igual a λ, pois este é o mínimo que podemos fazer. De um modo geral podemos ter o perímetro omo sendo orrespondente a um número inteiro de λ. Nuna poderemos ter um número fraionário de λ, pois neste aso levaria a uma rápida aniquilação da onda ao onsiderarmos algumas voltas. Desta forma nλ πr n e substituindo λ n h mv πrn mvrn nh π ou seja L nh que é o postulado básio de Bohr. Assim, através da meânia ondulatória, a interpretação das órbitas estáveis de Bohr nada mais são do que a situação que representam interferênia onstrutiva entre as várias partes da onda que onstitui o elétron onsiderado. Como outras trajetórias produzirão neessariamente interferênias destrutivas da onda elas não podem eistir. Como eemplo onsidere uma órbita omo abaio:

288 3 após onsiderarmos várias voltas, teremos um onjunto de órbitas fora de fase que somam-se interferindo destrutivamente. Como vimos, através de olisões om elétrons, é possível transferir energia para o átomo fazendo om que seus elétrons sejam promovidos para estados mais eitados, emitindo energia ao regressarem aos estados mais estáveis de mais baia energia. Colisões não são, no entanto, a únia forma de transferir energia ao átomo. A absorção de luz também é apaz de promover eitações. A luz só será absorvida quando a energia do fóton ( h ν ) for eatamente a energia neessária para promover o elétron do estado que se enontra para algum estado eitado. Como onseqüênia a luz só será absorvida para alguns omprimentos de onda. Este é o fundamento do hamado espetro de absorção do átomo. A observação do espetro atômio, omo disutimos anteriormente, não é a únia forma de investigarmos os níveis de energia disretos do átomo. É possível, em alguns asos, medir o espetro de eitação, através da medida da energia que está sendo forneida ao átomo. O eperimento realizado em 94 por Frank e Hertz, demonstrou de forma nítida a eistênia dos níveis disretos de energia, bem omo introduziram uma maneira alternativa para medida de níveis de energia (espetro). Frank e Hertz bombardearam vapores de vários elementos utilizando um dispositivo omo abaio.

289 4 Elétrons produzidos por um filamento são aelerados através de um gás por um potenial V. Ao passarem pela grade tais elétrons eperimentam uma diferença de potenial reserva V, de modo que somente aqueles elétrons que passaram om energia inétia aima de K e V é que atingirão a plaa ontribuindo para a orrente no galvanamento A. Desta forma, aumentando V, mais e mais elétrons atingirão a plaa produzindo uma orrente maior. Ao perorrer o aminho no gás, os elétrons olidem om os átomos deste. Quando a energia do elétron é tal que edendo esta para o átomo haverá eitação oloando o sistema num estado de energia maior, oorre transferênia desta energia por olisão. Perdendo esta energia os elétrons atingem a grade om baia energia inétia e, portanto, não onseguem hegar até a plaa não ontribuindo om a orrente. Assim, ao aumentarmos a potênia V, aumentando a energia dos elétrons, observamos quedas na orrente que orrespondem às eitações eletrônias. (Poteniais bastante elevados podem produzir elétrons que eitarão átomos mais do que uma vez). No entanto poteniais baios reproduzem om fidelidade a estrutura de níveis do átomo. O eperimento de Frank-Hertz foi realizado imediatamente após o nasimento da teoria de Bohr para átomo de hidrogênio e representa uma onfirmação independente da disretização dos níveis de energia. O grande suesso da teoria de Bohr, para epliar o átomo de hidrogênio e sua surpreendente onordânia om os resultados eperimentais, riou uma grande epetativa ao redor dos fundamentos envolvidos no modelo. Prourava-se obter resultados mais gerais que desrevessem também outros sistemas físios diferentes do átomo de hidrogênio. Os primeiros passos no sentido de estabeleer uma nova teoria, válida sempre e que tornava-se mais evidente no miromundo foi dado por Wilson e Sommerfeld em

290 5 96, que anuniaram determinadas regras que permitiam a quantização ou a determinação dos estados energétios de qualquer sistema físio ujas oordenadas eram funções periódias no tempo. Esta regra onheida omo regra de quantização de Sommerfeld-Wilson, pode ser enuniada da seguinte forma: Em um sistema ujas oordenadas são funções periódias no tempo, tem omo ondição de quantização para suas oordenadas pq d q nqh n q,, 3... h onst. Plank onde q é uma oordenada que tem omo momentum assoiado p q e n q será o número quântio que terá somente valores inteiros. A integral deve ser efetuada sobre um período de osilação das oordenadas. Esta regra de quantização pode ser melhor entendida se onsiderarmos um eemplo. Assim, vamos imaginar uma partíula no interior de uma aia de paredes rígidas. A energia desta partíula é: E p m de onde tiramos p ± me. Se apliarmos a regra quantização para este problema, temos:

291 6 p d a med + a a n h me 4a E n a h 8ma n,, 3... med nh que são as energias possíveis para uma partíula numa aia. Se olharmos para as trajetórias que estas energias representam no espaço das fases, teremos uma melhor idéia do que signifia a ondição de quantização W-S. Assim, vamos para ada valor de n desenhar as trajetórias no espaço fases. A integral ao longo de um período ompleto p d, representa a área da figura desenhada no espaço das fases e a regra de quantização requer que isto seja um número inteiro da onstante h, ou de outra forma, a área valida ao se passar de uma trajetória para outra no espaço das fases deve ser um número inteiro de h. Outro eemplo que podemos tomar é o osilador harmônio. E p + m mω elipses. Fiada a energia do osilador, temos que as trajetórias no espaço das fases são p + me E mω

292 7 ujos eios valem a b me E mω A integral P. d área elipse πab Assim π me ω E m nh Eπ nh E nhω ω Como já determinamos pelo prinípio da inerteza E hω E n + hω Utilizando a regra de quantização de W-S podemos reuperar a ondição de quantização de Bohr. Utilizando L e θ omo oordenadas, π Pdq Ldθ Ldo πl nh L nh uja interpretação mais físia já disutimos anteriormente mostrando que esta ondição separa as trajetórias ujas ondas de Broglie interferem onstrutivamente. Uma das importantes apliações da regra de quantização W-S é o átomo de hidrogênio, onde é permitido ao elétron mover-se em trajetórias elíptias. Este é normalmente designado omo modelo de Sommerfeld. Ao observarmos as linhas espetrais previstas no modelo de Bohr para o hidrogênio, observamos no laboratório que elas são ompostas por outras linhas bastante juntas, ao invés de ser uma únia linha. Observa-se que o espaçamento entre linhas é -4 vezes o espaçamento entre linhas

293 8 prinipais. Esta estrutura de níveis é normalmente denominada de estrutura fina, e foi tentando epliar estas linhas que Sommerfeld realizou este modelo. Desrevendo o movimento do elétron em termos de θ e r, temos que W-S nos fornee Ldθ nh pr dr n h r n θ n r,,3,4...,,... Da primeira ondição temos Imaginando órbitas elíptias: L n θ h. E p e m r mas p θ L r, de modo que E pr L + m mr e r Nos pontos A e A', p r r E + re - L m de onde tiramos r e r. r r e + e 4 E + 4E L m r 4 e + e + E E L m r e + L E r. r me r

294 9 (das propriedades de uma equação de grau). Assim, r pr. dr prdr n r r h usando L e p r E + m mr r r [ m( Er e r m) ] L + dr Esta integral pode ser efetuada, revelando que E π me ( m h + n h) π me E h r 4 θ 4 ( n + n ) r θ Como n θ,, 3..., n r,,..., temos que n n r + n θ,, 3... que reproduz o resultado de Bohr, já que agora temos a dependênia de números quântios. E π me h 4 n O número quântio n é hamado de número quântio prinipal. Como n θ n - nr, n θ só pode variar de modo a manter n θ < n, e assim pode variar de até n. Assim, dado um número quântio prinipal n, que representa um determinado nível energétio, eistem n passíveis valores de n θ (hamado de número quântio azimutal), que orresponde a diferentes momentos angulares, orrespondentes à mesma energia. Cada valor de n θ leva a uma trajetória elíptia diferente. E.:

295 3 Sempre o valor próimo de n θ orresponde às órbitas irulares e orrespondem às órbitas previstas por Bohr, enquanto que as demais são elíptias, não previstas por Bohr. As várias órbitas possíveis araterizadas pelo mesmo valor de n apresentam a mesma energia e, por isto, são ditas ser degeneradas. É importante notar que embora n araterize o estado, n r e n θ estão mudando. Esolhemos n n r + n θ omo número quântio prinipal, já que a energia total depende dele, mas são neessários dois números (n e n θ ) para determinar o estado energétio, pois apenas eistem várias ombinações n r e n θ que levam à mesma soma. A tentativa de epliar a estrutura fina não foi bem suedida om os álulos aima, que mostraram que ada estado é omposto de vários outros. A justifiativa para a estrutura fina foi feita mais tarde pelo próprio Sommerfeld, que tratou o elétron no átomo relativistiamente, mostrando que ada nθ tem na verdade energia levemente diferente não revelada no primeiro tratamento.

296 UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO INSTITUTO DE FÍSICA DE SÃO CARLOS DEPARTAMENTO DE FÍSICA E CIÊNCIAS DOS MATERIAIS CAPÍTULO VIII INTRODUÇÃO À MECÂNICA QUÂNTICA PROF. VANDERLEI S. BAGNATO

297 Capitulo VIII INTRODUÇÃO À MECÂNICA QUÂNTICA Tudo o que vimos desde a radiação do orpo negro até a epliação do espetro do átomo de hidrogênio representa um desenvolvimento de idéias que denominamos de meânia quântia antiga e obteve grande suesso devido a resolução que ausou ao epliar muitos dos fenômenos pendentes na époa. Este desenvolvimento, no entanto, apresentava vários aspetos inonvenientes. Como sabemos, a regra de quantização de Wilson-Sommerfeld somente pode ser apliada para sistemas periódios, mas eistem muitos sistemas não periódios que apresentam um grande interesse físio. Outro ponto em aberto é que embora reproduzisse o espetro do átomo de hidrogênio não há nenhuma epliação porque determinadas linhas espetrais são mais intensas do que outras. A teoria antiga só pode ser apliada para átomos om um únio elétron. A rítia mais forte à teoria antiga é no entanto o fato que ela é mais ou menos onstituída empiriamente sem uma oneão lara e embasada para todos os seus fatos. Baseado nestes fatos, houve no omeço do séulo um grande esforço para a onstrução de uma teoria quântia, livre das objeções oloadas aima e que fosse de alguma forma mais generalizada. Assim, em 95 Erwin Shrödinger desenvolve uma teoria omo uma generalização do postulado de De Broglie, deiando de lado alguns oneitos omo órbitas, et, que ainda prevaleiam na meânia quântia

298 3 antiga. A nova meânia quântia, além de ser matematiamente preisa introduzia uma nova forma abstrata para interpretação dos resultados físios. Vamos passar a estudar, nas próimas páginas, o desenvolvimento da teoria de Shrödinger, mas não o faremos om toda preisão e formalismo já que esta será o objetivo de ursos posteriores. Comeemos, revendo o postulado de De Broglie onde uma partíula livre om momentum p e energia E é representada por uma onda ujo omprimento de onda e freqüênias são λ h p E hν Neste aso, omo vimos, a função de onda Ψ (,t) que representa esta onda é dada por Ψ λ (, t) Asen π νt e omo vimos. Com requisito para termos uma onda uja veloidade orresponde à veloidade da partíula além de satisfazermos o prinípio de inerteza de Heisenberg. A interpretação desta função de onda omo vimos é devido a Born e representa a probabilidade de enontrarmos a partíula numa determinada posição num determinado instante de tempo. Aparentemente para partíula livres podemos manter a seleção sem no entanto sabermos qual equação a determina. Num aso mais geral om osilador harmônio, et, isto já não é verdade. Assim estamos prourando uma

299 4 maneira mais geral de tratarmos através da meânia ondulatória qualquer problema físio. Em meânia lássia a desrição físia de um sistema é ompletamente onheida se onheermos a função trajetória de ada onstituinte r r Em meânia quântia podemos ter a mesma afirmativa se onheermos a função de onda: ( t) r Ψ ( r,t) uja interpretação é que Ψ (,t) representa a densidade de probabilidade para a oupação espaial da partíula e o problema entral na meânia quântia é determinar Ψ (,t) quando partíula está sujeita a uma determinada lei de força. Mesmo antes de aharmos Ψ, podemos verifiar as araterístias importantes que esta função deve satisfazer. Do fato de que Ψ representa a probabilidade de enontrarmos orpo numa determinada posição a integral desta quantidade em todo espaço deve ser finita, pois ao onsiderarmos todo espaço a partíula deve estar em algum lugar. Ψ dv finita A função Ψ (,t) ainda deve ser ontínua em todo espaço já que a probabilidade não pode assumir valores diferentes no mesmo ponto do espaço. A função deve também

300 5 apresentar derivadas espaiais onstantes em ada lugar do espaço pois, se onsiderarmos o aso onheido da onda plana Ψ π Asen πνt, λ temos que Ψ π π + A os πνt λ λ e omo, π πp, λ h temos que a primeira derivada é proporional ao momentum da partíula, e este não deve sofrer desontinuidades a menos que forças infinitas agem sobre a partíula. Assim, resumindo, a função de onda deve satisfazer as seguintes propriedades: () Finita em todo espaço () ter integral finta (em todo espaço) (3) ter derivadas espaiais ontínuas (a menos que forças infinitas hajam na partíula). Vamos omeçar analisando uma partíula livre que se desloa na direção +. Considerando uma das omponentes de onda plana para tal partíula, Ψ,, λ ( t) Asen π νt que ainda não é solução integral da equação de onda pois sendo a função seno solução também o será a função osseno. Assim, uma solução aeitável é

301 6 ( ) + Ψ t A t A t ν λ π γ ν λ π sen os, Antes de ontinuarmos vamos, verifiar baseados no que já sabemos, omo deveria ser numa equação que determina Ψ. Tratando-se de uma onda, a primeira idéia que nos vem a abeça é a função de onda tradiional. Ψ Ψ t v Consideremos, então, a onda plana aima ( ) + Ψ t A t A t ν λ π γ ν λ π sen os, Tomando a derivada espaial Ψ Ψ Ψ + Ψ os sen h p t A t A λ π ν λ γ λ π ν λ λ π Tomando a derivada temporal ( ) Ψ Ψ Ψ h E t πν

302 que oloados na equação de onda anterior, 7 p E h v h E pv mv isto paree de aordo om as relações de De Broglie só que não estão adequadas om p E a equação não nos dar hane de introduzirmos um potenial eterno agindo m sobre a partíula. Para uma partíula movendo-se num potenial V(), om uma energia E, temos que p + V m ( ) E e isto deve está retratado na equação que prouramos. Como vimos anteriormente que o momentum da partíula ao quadrado está assoiado om Ψ α p. Ψ e que a energia está assoiada om a primeira derivada temporal Ψ α t Ε, Ψ faz sentido propormos omo equação que desreva a onda

303 8 ( ) ( ) t t t V Ψ Ψ + Ψ β α,, onde α e β são onstantes a determinar-se. Vamos, requerer que estejamos tratando om uma partíula livre V(,t), e vamos substituir a solução ( ),t Ψ na equação aima. + t t t t ν λ π πνγ β ν λ λ π π β ν λ λ π γ λ π α ν λ π α λ π os sen sen os de modo que preisamos, γ πν β α λ π πνγ β α λ π e Isto mostra que γ πν β πνγ β ±i γ γ de modo que

304 9. πνβ λ π α i ± omo h p λ π e h Ε πν. β α h h E i p ± de modo que para esta equação ser satisfeita, esolhemos m h α e h mi β e terminamos om m p Ε. Com isto, a equação que propusemos anteriormente fia. ( ) ( ) t i t t V m Ψ Ψ + Ψ h h,, que e hamada de Equação de Shrödinger dependente do tempo e para o aso da partíula livre tem omo solução Ψ Ψ sen os ia t A ν λ ± Ψ t i Ae ν λ π A equação anterior, foi obtida iniialmente por Shrödinger em 96 e a obtemos para um aso partiular, o da partíula livre, mas podemos verifiar que ela satisfaz os

305 requisitos básios oloados iniialmente. Vamos postular que esta equação é válida para qualquer potenial. Antes de apliarmos a equação de Shrödinger para alguns asos, analisamos o aso espeial e bastante omum, quando o potenial V(,t) não é dependente do tempo. Neste aso podemos esrever a solução omo ( ) ( ) ( ) t t ϕ Ψ Ψ,, e substituindo na equação ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t i t V t m Ψ Ψ + Ψ ϕ ϕ ϕ h h. Dividindo por ( ) ( ) t Ψ ϕ ( ) ( ) ( ) t t i V m Ψ + Ψ Ψ ϕ ϕ h h Assim t e dt d i i h h ϕ ϕ ϕ t i t h h sen os Como a dependênia temporal, t i πν t E i e h h Ε ϕ πν

306 da parte espaial, h d Ψ m d ( ) + V ( ) Ψ( ) EΨ( ) que é hamada equação de Shrödinger independente do tempo. Mostrando quando V() não depende do tempo (epliitamente) a dependênia temporal é a de onda plana, portanto Ψ (,t) não varia om tempo. Esta equação que para nós será mais importante, já que trataremos essenialmente de poteniais independentes do tempo, poderia ser obtida através de um argumento bastante simples. Vamos supor que a equação prourada deva ser de aordo om a equação da onservação de energia E portanto p + V m ( ) E p m ( E V ( ) ) Como vamos então imaginar em ada ponto uma onda plana de momentum p omo d Ψ d d d p h Ψ π sen πνt λ temos que, multipliando a equação de energia pela função de onda Ψ

307 p Ψ m ( E V ( ) )Ψ d Ψ omo p Ψ h d h d Ψ m d h d Ψ m d ( E V ( ) ) ( ) + V Ψ ( ) Ψ( ) EΨ( ) que é a equação de Shrödinger independente do tempo. Nós somente mostramos a equação no aso unidimensional, mas ela pode ser generalizada em 3-D Ψ Ψ Ψ h V m y z (, y, z) Ψ(, y, z) EΨ(, y, z) É importante sentir que a equação de Shrödinger é para a meânia quântia aquilo que as leis de Newton são para a meânia lássia. Nesta equação, normalmente o que onheemos é o potenial V(,y,z), o que queremos determinar é o espetro de energia E e a função de onda Ψ, que permite álulo de outras propriedades do sistema. As ondições de ontorno são de etrema importânia na solução desta equação. Vamos passar agora a utilizar, a equação de Shrödinger para a solução de alguns problemas. Comeemos om o aso da partíula na aia.

308 3 O potenial que estamos tratando apresenta a seguinte forma V ( ) < < L + < > L Sendo infinito o potenial a únia possível solução para Ψ pois a probabilidade de enontrarmos a partíula naquela região é nula. Vamos então resolver a equação para < < L. Neste intervalo h d Ψ EΨ m d d Ψ m + EΨ d h ( ) A solução é do tipo

309 Ψ Aos K ou Ψ B sen K 4 ambas om a ondição de ontorno que ( ) Ψ( ) Primeiro vamos onsiderar a solução Ψ Ψ L, já que Ψ deve ser ontínua K mε + h, portanto K me h e de todo que Ψ( ) Ψ( L ) A os A de modo que Ψ não pode representar a partíula na aia. Para Ψ, sen sen KL KL nπ n,,3,... desta ondição obtemos a quantização da energia K L n En π n h 8mL (as ondições de ontorno determinam a quantização) n,,... Como já havíamos obtido anteriormente A função de onda

310 5 Ψ nπ L ( ) Bsen Como Ψ ( ) representa a densidade de probabilidade, L Ψ ( ) d (Normalização) Portanto B B Ψ n nπ sen d B L L L nπ L ( ) sen L Note que as várias energias possíveis para uma partíula na aia, representam diferentes distribuições de probabilidades de enontrarmos a partíula na aia

311 6 Um outro eemplo importante na introdução da meânia quântia é o aso da barreira de potenial que além de ilustrativo introduz um oneito novo na meânia quântia. Assim, imaginemos um potenial omo mostrado abaio. Imaginemos uma partíula que vem de - e olide om esta barreira. (E<V ) lassiamente esperaríamos que ela hoasse om esta barreira, invertesse seu movimento e voltasse para -. Quantiamente isto não oorre desta forma e mesmo sendo lassiamente impossível a partíula pode ultrapassar a barreira e ontinuar seu movimento para +. Na parte <-a ou >a, a partíula é pratiamente livre e omo vimos uma partíula livre tem omo função de onda ou seja, h d Ψ p EΨ Ψ m d m h Ψ Ae d Ψ d ± p i h p Ψ

312 7 a parte da solução om p> representa uma onda (ou a partíula) desloando na direção positiva do eio. A parte p< representa a partíula desloando-se na direção negativa do eio. Voltemos ao aso da nova barreira e analisemos uma partíula om E<V, para <-a h d Ψ EΨ m d d Ψ me + Ψ d h ( ) ( ) Chamando me K h d Ψ + K d Ψ omo nesta região poderemos ter a partíula propagando-se na direção + ou, a solução é algo Ψ I ( ) Ae fluo A ik B + Be à parte A representa probabilidade da partíula está inidindo sobre a barreira ik A já que temos erteza que a partíula eiste e veio de - na direção +. B, representa a probabilidade da partíula está aminhando na direção, portanto representa a probabilidade da partíula ter hoado-se om a barreira investido seu movimento por onveniênia vamos hamar BR, para lembrar refleão. A solução para <-a é então

313 8 I ik ik ( ) e + Ψ Re me om K. h Para >a, a equação é eatamente do mesmo tipo, só que agora omo a partíula está vindo -, ao enontrar a barreira, ou ela volta (aso visto aima), ou ela ultrapassa a barreira e neste aso, só enontraremos partíulas desloando-se para + de modo que a solução é sendo ( ) T III Ψ III ik ( ) Te Ψ a probabilidade da partíula ser transmitida pela barreira. Classiamente T. Vamos, agora, analisar o que oorre na região (II) que representa o interior da barreira. Neste aso, e temos que E<V, h d Ψ + V Ψ EΨ m d h d Ψ + m d ( V E) Ψ d Ψ m d h m Chamando q ( V E), a equação fia: h ( V E) Ψ

314 d Ψ q d Ψ 9 que tem omo solução Ψ II q q ( ) Ae + Be Note portanto que Ψ II não é nula e portanto a partíula pode ser enontrada numa região lassiamente proibida. Como dissemos anteriormente Ψ deve ser ontínua em todo espaço, impondo tiramos Ψ Ψ I Ψ I II Ψ II ( a) ΨII ( a) ( a) Ψ II ( a) ( a) ΨIII ( a) ( a) Ψ ( a) III T ( Kq) ( K + q ) senh qa + ( qk ) e Q T mostrando que, mesmo tendo E<V (energia menor do que a barreira) quantiamente a partíula pode passar através da barreira num proesso denominado de tunelamento. Uma representação de Ψ seria:

315 Dentro da barreira a amplitude da onda deai demonstrando uma diminuição de enontrarmos a partíula naquela região. Um importante eemplo na meânia quântia e que foi fundamental na sua formulação é a solução do sistema atômio. A hamada meânia quântia atômia é fundamental para o entendimento da natureza, om os átomos interagem formando moléulas estáveis, sólidos, et. Vamos, aqui nos ater somente a formulação matemátia do átomo de hidrogênio, porém este assunto é mais vasto mereendo maior atenção no futuro. Vamos onsiderar o átomo de hidrogênio que omo sabemos de um próton entral e um elétron. Sendo o próton 84 vezes mais pesado que o elétron, onsideraremos o próton estaionário (semelhantemente ao modelo de Bohr). Assim, em primeira aproimação a equação de Shrödinger para o elétron no átomo de hidrogênio é h Ψ Ψ Ψ + + y z m e + y + z Ψ EΨ Pela natureza do problema, é mais onveniente trabalharmos em oordenadas esférias (r, θ, ϕ) om

316 θ ϕ θ ϕ θ os sen sen os sen r z r y r z y r + + θ ângulo zenital ϕ ângulo azimutal Com estas novas oordenadas a equação de Shrödinger fia esrita omo Ψ Ψ Ψ + Ψ + Ψ E r e r r r r r r m sen sen sen ϕ θ θ θ θ θ h e multipliando por θ sen r e h m sen sen sen sen Ψ + + Ψ + Ψ + Ψ E r e mr r r r h θ ϕ θ θ θ θ θ que é a equação diferenial que desreve o elétron no átomo de hidrogênio. Vamos prourar solução que passa ser esrita através de uma separação de variáveis ( ) ( ) ( ) ( ) ϕ θ ϕ θ Φ Θ Ψ r R r,,

317 onde R(r) é a função que desreve a dependênia radial da função de onda, Θ a dependênia zenital e φ a azimutal. Vamos, então substituir esta solução na equação original e dividir por Ψ obtemos: sen sen sen sen + + Φ Φ + Θ Θ + E r e r m r R r R R h θ ϕ θ θ θ θ θ Rearranjando o termo que só depende de ϕ temos que sen sen sen sen ϕ θ θ θ θ θ θ Φ Φ + + Θ Θ + E r e r m r R r r R h que requer que ambos lados desta equação sejam iguais à uma onstante que hamaremos l m Θ Θ + + Φ Φ θ θ θ θ θ ϕ sen sen sen l l m E r e r m r R r R R m d d h A segunda equação, também tem seus membros dependendo de variáveis independentes, e portanto também devem ser iguais a uma onstante que hamaremos l(l+). Assim, terminamos om

318 d Φ + m Φ l dϕ d d m l senθ Θ + l( l + ) Θ senθ dθ dθ sen θ d ( + ) dr m e + + l l r E R r dr dr h r r 3 A solução de onda uma destas equações forneerá uma parte da função de onda. Da equação para função Φ, tiramos que Φ lϕ ( ϕ) Ae im onde A é uma onstante pela própria geometria do átomo, esperamos que esta função Φ(ϕ) não se modifique, ou seja O número Φ Ae m ( ϕ + π ) Φ( ϕ) l imlϕ. e iml π Ae imlϕ, ±, ±, ± 3,... e iml π m l é hamado de número quântio magnétio. Olhando para equação as hamadas funções assoiadas de Legendre, mas o que é mais interessante é para que haja solução (o que é óbvio, pois a função de onda deve eistir). É neessário que l seja inteiro e maior ou igual à m l ou seja m l, ±, ±,... ± l esta onstante l é hamada de número quântio orbital. A solução para a parte radial é as onheidas funções assoiadas de Laguerre. Esta equação só terá solução quando a quantidade E da equação for da forma

319 4 4 me Ε n,,... h n om l não superando (n-), ou seja l,,,... n ( ) O número n é denominado de número quântio prinipal. Estes tr~es parâmetros que só podem adquirir determinados valores para que haja solução são os números quântios n,,3,... prinipal l,,,...( n ) orbital m l, ±, ±,... ± l magnétio Assim, vemos que para desrevermos o estado de um elétron no átomo de hidrogênio, são neessários três números quântios. Normalmente esrevemos a função de onda Ψ, omo Ψ Rnl Θ Φ lm l m l onde os vários índies denotam a dependênia da referida parte da função de onda om os números quântios. É interessante visualizarmos os números quântios em termos de um modelo lássio e simplifiado. Imaginando o átomo lássio, omo anteriormente semelhante a um sistema planetário, vemos que o número quântio prinipal determina o espaçamento entre as possíveis energias. Separando parte inétia da parte potenial da energia total Ε K radial + K orbital e r

320 Introduzindo esta energia na equação radial, tiramos que 5 d r r dr ( l ) dr m h l + + K radial + K orbital dr h mr R Como queremos que a função radial seja determinada por uma equação que envolva somente vetor radial e sendo ( ) anelem omo temos que ( ) K orbital α r & θ, vamos requerer que os dois últimos termos ( l ) l + K orbital h mr ( l ) L h l + K orbital mr mr L l l + h, mostrando que o momento angular total é quantizado e que o número quântio l é que o determina. É importante notar que o momento angular é um múltiplo de h L l( l +)h, Dependendo do valor de l, ostumamos denominar os estados por s,p,d,f... O vetor momento angular L r é perpendiular ao plano da trajetória. O elétron perorrendo esta trajetória determina um loop de orrente determinando um momento magnétio dipolar r µ. Na presença de uma ampo magnétio eterno Β r, haverá uma interação om r µ, surgindo um torque µ θ B τ µ Bsenθ

321 A energia de interação r B r µ., será nula para µ B e se quisermos determiná-los 6 U m τdθ µ osθ 9 B o dipolo magnétio µ i. Área eνπr omo L mvr π mνr, temos que r µ e m r L o fator e m é denominado de fator giromagnétio orbital. O valor de m l representa os possíveis projeções de L r ao longo de um eio determinado eio esolhido z, de modo que L z m l h No modelo de Bohr o elétron é visualizado omo revoluionando ao redor do núleo em trajetória irulares. No entanto a solução quântia do átomo de hidrogênio modifia a idéia de Bohr de maneira radial. Primeiramente não mais podemos falar em termos de trajetória e posição, mas sim somente em termos de probabilidades relativas de enontrarmos o elétron nas várias posições, o que é naturalmente uma onseqüênia da natureza ondulatória do elétron. Como vimos, Ψ R ΘΦ, de modo que Ψ R Θ Φ onde o quadrado é entendido omo f f. f. A parte em ϕ, fornee uma onstante já que

322 im Φ Ae l Φ π Φ A π 7 A variação da radiação da função de onda e a variação om θ basiamente forneem os vários estados diferentes omo ψ é a densidade de probabilidade 3 Ψ d r probabilidade de enontrar elétronem d 3 omo d r r dϕdθdr, P ( r r + dr) ξr R dr 3 r nl A função Θ fornee a dependênia da densidade de probabilidade om o ângulo zenital θ. Esta distribuição dependerá essenialmente de l e m.

323 8 É possível mostrar que a distribuição de probabilidade nuna está ontida num plano. L ( + ) L + L + L l l h y z omo o máimo valor de L z por eemplo L z hl, esta mostra que L y + Lz lh, mostrando que havendo omponente além de L z a distribuição não está só ontida no plano y, este resultado é geral porque os eios são arbitrários.

324 UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO INSTITUTO DE FÍSICA DE SÃO CARLOS DEPARTAMENTO DE FÍSICA E CIÊNCIAS DOS MATERIAIS CAPÍTULO IXII INTRODUÇÃO À FÍSICA NUCLEAR PROF. VANDERLEI S. BAGNATO

325 CAPÍTULO IX INTRODUÇÃO À FÍSICA NUCLEAR Até agora temos tratado o núleo atômio omo sendo uma massa puoontual que apresenta arga positiva. Na realidade o núleo é mais ompleo sendo tão ompleo que mesmo nos dias atuais ainda permanee propriedades a serem entendidas. Vamos nesta parte do urso onsiderar algumas propriedades fundamentais do núleo e epor os prinipais modelos para epliá-las. Comeemos disutindo algumas grandezas que nos permita ter um quadro representando o núleo atômio. A omposição nulear foi determinada ao redor de 93 por Bother e Beker através de eperimentos de bombardeamento da matéria om partiulapartíulasr α e om radiação gamaom?. Observaram que após bombardeamento om partiulapartíulasr α radiação misteriosa era emitida do núleo. Eperimentosa realizadosa por James Chadwik mostraram que esta misteriosa radiação era onstituída de partíiulasr neutras uja massa do próton. Devido a ser partíula eletriamente neutra reebeu o nome de nêutron. O nêutron é um elemento fundamental na omposição nulear, porém, é uma partíula que só é estável no interior do núleo. Quando ela é oloada livremente torna-se instável deaindo, nêutron próton + eletron elétron + anti-neutron? Este proesso de deaimento demora da ordem 3 seg. Disutiremos o deaimento do nêutron oportunamente?. Logo após a desoberta do nêutron observou-se que ele era um ingrediente neessário na estrutura nulear sendo junto om o próton os onstituintes fundamentais do núleo atômio e que determinam em linhas gerais a massa total do átomo. As partíulas que ompõem o núleo são hamadas de nuuleons. Assim, ambos: prótons e nêutrons são denominadasprótons e nêutrons são denominados nuleons. Normalmente usamos a seguinte notação para as espéies nuleares: Z número atômio número prótons N número nêutrons A Z + N número massa

326 3 E normalmente quando vamos desrever uma determinada espéie químia X usamos a notação: ZX A Assim, por eemplo: 33As 75 representa o isótopo de número de massa 75 do arsênio. Desta omposição nulear surge espontaneamente à idéia de isótopo que são átomos om mesmo número de prótons e diferentes números de nêutrons, portanto diferentes números de massa. Como as propriedades químias dos elementos são predominantemente determinadas pelos elétrons os isótopos passam a ser elementos quimiamente equivalentes. Com respeito ao tamanho nulear os eperimentos de Rutherford forneeram as primeiras evidênias do tamanho finito do núleo. Como vimos naquele eperimento através do espalhamento de partíulas a 8 foi po ssível alular um limite de -4 Å para o tamanho nulear. Através de eperimentos uidadosos? de espalhamento de partíulas foi possível determinar que o volume do núleo é diretamente proporional ao número de nuleons ontidos neste núleo. Assim, se R é o raio nulear o volume orrespondente é 4 3 πr que é proporional à A (número massa) de modo que, 3 E o valor de R obtido eperimentalmente, 3 R R A R. 3 m Formatado E o valor de R apresenta uma inerteza devido à variação de resultados de aordo om o método utilizado na sua determinação. Quando fazemos eperimentos om espalhamento de nêutrons estes interagem om o núleo somente através de forças nuleares enquanto num eperimento de espalhamento de elétrons a interação é basiamente devido às interações elétrias geradas pelas argas nuleares essenialmente. Um fato urioso é que R determinado a partir do espalhamento de elétrons ou partíulas. α é menos do que o determinado pelo espalhamento de nêutrons revelando desta forma um resultado

327 4 importante que a distribuição de massa no núleo e a distribuição de argas não são iguais. Se onheendo o tamanho dos núleos vamos alular a densidade mássia ontida nestes entros. 3 6 g densidade,3 3 3 πr π (, ) densidade nulear,3 4 g/m 3 6 g m 3 mostrando que o núleo é era de 4 mais denso do que a matéria marosópia que estamos aostumados. Este resultado mostra que pratiamente a matéria é oa. Em determinadas estrelas denominadas de anãs? branas os elétrons dos átomos olapsaram devido a grande pressão entre átomos de modo que tais estrelas são basiamente onstituídas de matéria nulear apresentando densidades omo as mostradas aima. Ao analisarmos um núleo estável vemos que sua massa é ligeiramente menor do que a soma das massas de seus onstituintes isolados. Como eemplo vemos que o núleo de 6 3 Li 3 LI6 tem massa 6,697 uv.a. enquanto somando as massas dos três prótons e três nêutrons que ompõem o núleo enontramos 6,54 uv.a. A quantidade de massa que esta faltando m,3443 uv.a que equivale a 3, MeV. Lembre-se que, Formatado Formatado Formatado u. a 6.3,49 3 u. a 95MeV 3.9. ergs,49 m 3 6, ev de modo que m,3443 3, MeV. Isto signifia que para quebrarmos o núleo de 3Li 6 obtendo os vários nuleons individualmente é neessário forneermos ao sistema esta quantidade de energia. Esta energia ontida na ligação entre os vários nuleons é denominada de Energia de Ligação e omo quanto mais fortemente ligados estiverem os nuleons mais estável será o núleo, a energia de ligação mede a estabilidade dos núleos.

328 5 A energia de ligação tem sua origem na força que mantém os nuleons unidos que são um pouo diferentes dos tipos de força que estamos aostumados até o momento. Se dividirmos a energia de Ligação de ada núleo pelo número de nuleons obtemos a energia por nuleons. A energia / nuleon mostrada omo função do número de massa do núleo estáa abaio: O máimo da energia / nuleon oorre em torno de A 56 (núleo Ferro) após o qual há um vagaroso derésimo. Como maior energia representa maior estabilidade, o gráfio aima sugere que núleos pesados apresentam tendênia em dividir-se em núleos mais leves enquanto núleos muito leves demonstram referênia em juntar-se formando núleos mais pesados e estáveis. De fato, em ondições apropriadas isto oorre sendo no aso de divisão nulear denominado de fissão nulear e no aso de ombinação fusão nulear. Ambos oorrem om as orretas análises energétias. Se forçarmos a fusão nulear poderemos em muitas asas liberar energia sendo o fenômeno portanto, portanto uma fonte de energia. Vamos passar agora a estudar alguns modelos para forças nuleares. As forças que mantém os nuleons juntos no interior do núleo onstituem, sem dúevida, as forças mais fortes que onheemos e por isto são omumente denominadas de interação fortes e não pertenem a nenhuma das lasses de forças que estamos aostumados a tratar no nossno dia-a-dia. Eistem vários modelos para epliar a natureza desta interação e mesmo atualmente muito é feito para estudar esta natureza. Vamos agora, brevemente desrever os melhores modelos propostoas. Comeemos estudando a teoria dos méesons para Formatado

329 6 forças nuleares. Formulada pelo físio japonês H.Yukawa, em 935, eplia que as forças nuleares éas forças nuleares são o resultado de uma onstante de intertroas de partíiulasr entre os núleonsnuleons próimos. Estas partíulas que partiipam da troa são denominadas de mesonsmésons. O proesso seria em alguns aspetos semelhante aquele? no qual dois núleos atômios são mantidos juntas formando moléulas através da intertroa de quantao eletromagnétio através da irulação eletrônia ao redor de ambos os núleos. De aordo om a teoria do méeson para forças nuleares todos os nuleons onsistem de entros idêntios irundados por uma nuvem de um ou mais mesonsmésons. Estes mesonsmésons podem ser neutras neutros ou possuírem? argas. Neste onteto, a grande diferença entre nêutrons e prótons reside na omposição de suas nuvens mesônias. As forças eistentes entre nêutrons ou entre prótons é o resultado de mesonsmésons neutros designados por π. Por outro lado, as forças fortes eistentes entre nêutrons e prótons resultam da intertroa de mesonsmésons arregados designados por π + ou π -, ujas argas são eatamente a arga eletrônia. Assim, um nêutron emitindo um meson π - onverte-se num próton, n p + π - enquanto que a absorção de um mesonméson π - por um próton leva a formação de um nêutron, p + π - n No proesso inverso, p n + π + n + π + p Infelizmente embora o oneito seja bastante infinito não há uma forma simples de demonstrar matematiamente omo a intertroa de mesonsmésons leva a forças atrativas ou repulsivas. Vamos, no entanto, usar um eemplo bastante simples para ilustração. Imaginemos dois garotos, um om ada bola de jogar basquete, et. A idéia é que eles deverão troar as bolas. Quando jogador A arremessa sua bola para jogador B e vieversa, no ato de emissão eles sofrem reuo de momentunmomentum? em direções

330 7 opostas, o mesmo oorrendo quando eles reebem as bolas jogadas um ontra o outro. Assim, este método de troar as bolas leva a uma repulsão entre os dois meninos A e B. Repulsão Se ao invés de arremessar as bolas um ontra o outro os meninos resolvem troar as bolas, um tentando tirar as bolas do outro é fáil de imaginar que nesta nova situação de troa eles tentarão ser unidos. Portanto fisiamente esta situação leva a uma força de atração entre meninos A e B. Atração É possível provar através de ténias matemátias mais avançadas que a intertroa de mesonsmésons leva a forças etremamente fortes, esta idéia leva a um problema fundamental. Se os núleonsnuleons onstantemente emitem ou absorvem mesonsmésons, porque nêutrons ou prótons nuna são enontrados om massas

331 8 ligeiramente diferentes? A resposta para isto esta no priníipio da inerteza. Se o mesonméson emitido for absorvido por um nuleon vizinho ao emissor num tempo muito urto não será possível pelo priníipio da inerteza determinar a variação de energia melhor que, E t ~ ħ (sendo troa rápida? t é pequeno e E é grande) Vamos onsiderar que as forças nuleares tem um alane máimo da ordem de R ~.4-5 m, de modo que assumindo o mesonméson om veloidade, o tempo do vôo? seria R t e sendo E m π, temos, ( ) R 8 m h m h,5 kg π π R que orresponde á m 75m π e A teoria dos mesonsmésons para forças nuleares, apesar de fazerer previsões importantes, ainda não onsegue desrever em detalhes a estrutura nulear aparentemente mostra a orreta direção para o pensamento. O modelo de intertroa não é a únia tentativa para epliar as interações fortes entre nuleons. Um outro modelo onheido omo modelo dae gota líiquida que passaremos brevemente a desrever. As forças nuleares são etremamente fortes, porém de muito usto alane de modo que ada nuleon basiamente interage somente om seus vizinhos mais próimos numa situação semelhante aquela das moléulas num líiquido onde a únia interação importante é aquela da moléula om as moléulas que a rodeiam. Esta analogia das interações de um líiquido (numa gota) om forças nuleares leva ao hamado modelo da gota líiquida para o núleo prevendo propriedades bastante importantes. Consideremos que a energia assoiada om ada par nuleon-nuleon tenha o valor U (evidentemente tratando-se de atração U é negativa, mas onsideremos positiva por onveniênia?). Sendo que ada ligação mesôonia é partilhada por dois nuleons, ada um deles tem U de energia de ligação. Quando fazemos um empaotamento de esferas representando os nuleons ada um é irundado por outros nuleons no máimo numa estrutura hamada de empaotada e que ontém o maior número de esferas próimas possíveis., Formatado Formatado

332 9 que ontém o maior numero de esferas próimas possível. Desta forma, ada nuleon terá assoiado a ele uma energia, U 6U Assim, se todos nuleons tivessem rodeadostivessem rodeado por a energia de um determinado núleo seria, E v 6AU d A esta energia E v hamada de energia de volume é laramente uma idéia verdadeira para os nuleons no interior do volume do núleo, mas ertamente não é verdade para aqueles nuleons loalizados na superfíie do núleo que não são irundados por nuleons, mas por um número inferior. O número de nuleons superfiiais dependemo número de nuleons superfiiais depende da superfíie do núleo que é, π 3 4 R 4πR A 3 Assim, o número de nuleons superfiial é proporional à A e a energia de ligação de tais nuleons é E s, 3 E s a A hamada de energia superfiial do núleo que leva o sinal negativo, pois orresponde á diminuição em Ε v.. Para núleos que levar esta forma energétia é importante já que Formatado

333 neste aso a fração de nuleons superfiiais é elevada. Como o núleo vai tentar tornar uma forma de modo a maimizar a energia de ligação que signifia estáas mais estável. Desta forma o núleo toma a forma mais próima de uma esfera maimizando energia de ligação, pois esta é a forma om menos área para um determinado volume semelhante à gota de um líiquido. Além da energia entre nuleons a repulsão eletrostátia entre prótons no núleo também é importante, pois ontribui para diminuir energia de ligação desestabilizando o núleo. A energia Coulombiana E do núleo terá o trabalho neessário para trazer do infinito os Zz prótons juntos numa distribuição volumétria que é o núleo. Dado Zz núleos, o número de pares que temos é: Cada próton interage om Zz sendo z prótons separados em mídia de R 3 ( α A ), Formatado E a 3 Z ( Z ) A 3 e note sinal negativo pois esta energia desestabiliza o núleo. Desta forma, a energia total de ligação do núleo é, E b E v + E s + E Ou seja, E b a A a e assim a energia de ligação por nuleon é, A 3 a 3 Z ( Z ) A 3 E b A a a A 3 a3z A ( z ) 4 3 Se grafiarmos este resultado temos:

334 Assim, omparando E b obtida om o disutido anteriormente vemos uma previsão razoável para E b onordando omo eperimental demonstrando que este modelo pode ser útil para uma série de estudos prinipalmente em reações nuleares omo veremos adiante. O modelo da gota líiquida para o núleo atômio tem sua base no fato que ada núleos interage primeiramente om seus vizinhos mais próimos omo num líiquido. Eistem, no entanto evidênias eperimentais fortes de que isto não é verdade dando evidênias de uma interação generalizada ao invés de interações entre pares. Eiste um modelo de amadas para o núleo atômio que é bastante semelhante ao modelo de amadas eletrônias para o átomo onde elétrons oupam ou vão preenhendo amadas designadas pelo seu número quântio prinipal. Átomos om,, 8, 36, 54 e 86 elétrons apresentam suas amadas preenhidas e portanto omportamomporta-se de forma semelhante quimiamente além do que este modelo de amadas determina uma periodiidade nas propriedades. Da mesma forma, observamos que núleos om, 8,, 8, 5, 8 e 6 nêutrons ou prótons são mais abundantes no uiniverso do que outros núleos om número massa semelhante, sugerindo que tais números são mais estáveis. Estes números de prótons ou nêutrons para núleos, 8,, 8, 5, 8 e 6 são normalmente onheidos omo números mágios em estrutura nulear. Núleos om N ou Z equivalendo aos números mágios apresentam estrutura nulear bem próimo da esféria o que é demonstrado pelo pequeno momento quadripolar que eles apresentam. O modelo de amadas tem omo importante suporte eperimental à preisão orreta dos números mágios e o spin nulear. Formatado Formatado Formatado Formatado Formatado Deaimento nulear

335 Um dos fenômenos mais signifiantes no desenvolvimento da fisia atômia e da fisia nulear é a radioatividade. Neste proesso, um núleo emite partíiulasr alfas (núleo hélio) e elétrons (partíulas betas) e prótons (raios gamas) adquirindo onfigurações mais estáveis. Nesta parte do urso iremos disutir um pouo este fenômeno que normalmente hamamos de deaimento nulear. Imaginemos uma amostra de elementos radiativos que num determinado instante apresenta N núleos. Definimos a atividade R omo, R dn dt onde o sinal (-) é oloado para fazer R positivo. R é epresso em desintegraçõesão por segundo. Algumas vezes epressamos R em termos do Curie. urie 3.7 desintegração / segé Todas determinações eperimentais de R mostram que a atividade apresenta um deaimento eponenial om o tempo. Definimos a meia vida do elemento sendo o tempo para sua atividade air a metade do valor no iníiio da medida. T omo É importante salientar que após ada período á metade, T a atividade da amostra esfera reduzida R T R T 4 R T 8 R...

336 3 O omportamento mostrado aima permite que esrevamos a relação empíria, R dn λn R R e dt λt onde λ é hamada de onstante de deaimento e tem um valor diferente dependendo do elemento radiativo onsiderado. A relação entre λ e T pode ser determinada, R R e R λt λt R λt e ln T.693 λ Da dependênia eponenial oloada aima temos uma forte evidenia de que o fenômeno de deaimento radiativo tem uma natureza estatístia, isto é, ada núleo radiativo apresenta uma erta probabilidade de deair, mas não há meios de saber quais núleos deairão num erto instante de tempo. Se a amostra é grande o sufiiente, fração que deai num determinado instante orresponde razoavelmente bem à probabilidade de deaimento de um únio núleo. Assim a probabilidade de um núleo deair num período de tempo T é,5. Formatado Vamos supor que a probabilidade por unidade de tempo para deaimento de um determinado núleo seja onstante λ. Assim, a probabilidade de deaimento num intervalo dt é λdt. Se tivermos a amostra om N núleos que ainda não deaíram, a quantidade dn que deairá num intervalo dt é, dn N λdt de onde por integração tiramos, N λt N e que mostra a evolução omo tempo do número de núleos que ainda não deaíram sendo N este número em t. Desta lei podemos tirar a atividade radiativa.

337 4 R dn dt λ λt N e R e λt om R λn que apresenta 66% probabilia uma partíula beta deair e 34% hane de emitir em 8 8T l. figura Ou ainda podemos esrever, R λn Outra onstante de tempo importante é o tempo de vida médio, T λ diferente do tempo de meia vida T. Normalmente T > T. A maioriaedida dos elementos radiativos enontrados na natureza são membros de quatro grupos denominados de séries radiativas. Estas séeries são elementos que originam basiamente do mesmo elemento através de emissões radiativas ( α e β ) razão para eistir eatamente 4 séries vem de fato que o deaimento α reduz a massa atômia de 4 unidades. Assim, todos elementos radiativos ujas massas são. A

338 5 A 4n, onde n é um inteiro, pode deair uns nos outros em ordem desendente do número de massa. Os núleos radiativos ujo número massa é da forma aima 4n são denominados de membros da série 4n. Temos ainda 3 outras séries, A 4n + A 4n + A 4n + 3 Em ada série radiativa os membros transformam-se uns nos outros através do deaimento. Cada série tem um elemento denominado do pai da série e um elemento estável final que interrompe o proesso de deaimento. Formatado Número massa Série pai T (anos) pai Estável final 4n Tório 9Th 3,39 8Pb 8 4n + Neptunio 93Np 37,5 6 83Bi 9 4n + Urânio 9U 38 4,5 9 8Pb 6 4n + 3 Atinio 9U 35 7,7 8 8Pb 7 A série do neptunio tem um tempo de meia vida bastante urta omparada om a idade do universo (~ anos) de modo que os membros desta série quase não são enontrados nos dias atuais. Estes elementos podem, no entanto ser obtido através de bombardeamento de núleos mais pesados feitos em laboratório. Estas series podem ser representadas grafiamente. Cada deaimento α ou β proporiona um passo na série. Muitos núleos radiativos podem deair de formas diferentes através de emissão α ou β. Como eemplo temos o 83 Bi, um membro da série do tório, que apresenta 66% probabilidade de emitir uma partíula beta deaindo em emitir alfa e deair em 8 8T l. (figura) 84 P e 34% de hanes de

339 6 Quando um núleo z X A emite partiulasr α e y partiular β, temos, z X A 4 α + y β + z Y A transforma-se no núleo A z Y. A onservação do número de massa, A 4 + A A 4 do número atômio, Z A ( y) + Z Z - + y Formatado Assim, emitindo α o número massa altera de 4 unidades e o número atômio altera unidades. Emitindo β, o número de massa não muda e o numero atômio altera (aumenta) de uma unidade. Desta forma podemos aompanhar as séries anteriores. Vamos agora ver em linhas gerais os produtos de deaimento. Deaimento alfa: Devido ao fato que as forças fortes de atração entre os nuleons somente manifesta-se a urto alane, isto é, quando eles estão próimos à energia total de ligação entre os núleos é proporional ao número de massa A. Por outro lado, a força de repulsão oulombiana age mesmo a méedias distânias. Esta repulsão oulombiana tenta

340 7 separar os prótons e o total desta tendênia de ruptura do núleo é aproimadamente proporional à Z. Assim, núleos muito grandenúleos muito grandes (normalmente om mais de nuleons), apresentam a força de urto alane que os mantém unidos, quase que totalmente ontrabalaneadaontrabalançada pela repulsão entre prótons. Assim, o núleo sendo grande há uma perda de estabilidade. O deaimento do núleo através de emissão de partíulas α e uma alternativa natural para estes núleos diminuírem seu tamanho aumentando a estabilidade. Uma pergunta natural que fazemos nesta altura é: porque o núleo não emite somente prótons ou núleos de He 3 para aumentar sua estabilidade ao invés de partíulas α? A resposta para isto esta no fato que a partíula α tem uma alta energia de ligação além do que sua massa é muito menors que a de seus onstituintes liberando parte da energia na forma de energia inétia neessária para a emissão da partíula. Assim, a quantidade de energia é, K ( m m m ) i f α m i é a massa do núleo iniial, m f a massa do núleo final e m α a massa da partíula. Somente a emissão de partíulas α é energiamente possível. Assim, imaginemos o deaimento 9 U 3. Neste aso temos, K 5, 4MeV enquanto se supormos a emissão de um próton seria neessário forneer ao sistema 6, MeV. A energia inétia real arregada pela partíula α emitida não é IK anterior, mas será um pouo inferior se onsiderarmos o reuo do núleo na emissão. Através de onservação de energia e momentum podemos mostrar que, K α A 4 K A é a energia inétia arregada pela partíula α emitida. Apesar de entendermos qualitativamente bem que a emissão nulear de uma partíula α leva o núleo à um estado mais estável ainda não entendemos muito bem omo oorre a emissão. Afim de entendermos este proesso imaginemos o potenial de interação entre uma partíula α e um núleo pesado.

341 8 Estando no interior do núleo, a partíula α esta sujeita à um onstante potenial e atingindo uma distânia R, que orresponde ao raio nulear há um repentino aumento, impedindo que a partíula esape. Isto é, omo uma aia ontendo as partíulas. Esta barreira de potenial não é infinita, mas lassiamente a partíula não pode sair desta onfiguração. Normalmente a altura da barreira é de ordem de 5 MeV. Fora do núleo, a interação é essenialmente Coulombiana. Embora não possamos epliar lassiamente o deaimento espontâneo do núleo, a meânia quântia nos fornee uma epliação lara e simples, sendo este fenômeno, mesmo tomado omo omprovação desta última. No nossno modelo, a partíula no núleo omporta-se omo partíula na aia de modo que vamos tratar quantiamente o potenial mostrado anteriormente e omparar o resultado do esape de partíulas α om resultado eperimental.

342 9 No presente modelo vamos imaginar que a partíula α tenha uma determinada energia no interior de núleo osilando no seu interior (omo partíula na aia). Cada vez que a partíula olide om a barreira de potenial loalizada em r R, há uma probabilidade da partíula passar através da barreira representando um deaimento do núleo. Seja P a probabilidade da partíula olidir na barreira e passar por ela e ν a Formatado freqüênia de olisão da partíula om a barreira. O número de vezes que a partíula passa pela barreira // unidade de tempo é λ, λ ν P Supondo que a partíula α tenha dentro do núleo uma veloidade v, a freqüênia om que ela olide om a barreira é, ν V R [FSU] Comentário: Tomando v omo a veloidade om que a partíula deia o núleo (~ 7 m/s) e sendo R ~ -4 m, ν seg - Assim, vemos que mesmo olidindo vezes por segundo om a barreira a partíula α algumas vezes tem que esperar anos para esapar do núleo. Classiamente omo sabemos, Pp, pois envolve passagem da partíula por uma região que tem energia potenial maior que a energia total. Quantiamente, no entanto, a partíula pode tunelar pela barreira (omo vimos) e a probabilidade não é nula e pode ser alulada. Iniialmente vamos relembrar os resultados que vimos da transmissão de uma partíula por uma barreira de potenial.

343 Seja um feie partíula α om energia E IK inétia inidindo da esquerda para a direita. Fora da barreira V e não há forças sendo partíula livre. Como já vimos à probabilidade de transmissão por esta barreira é, q ( E) m V K P T h ( Kq) ( q + K ) senh q + ( Kq) me h onde ( E) m K e h q ( V E) h m Como P é pequeno, podemos esrever, P q Kq ql e + K [FSU] Comentário:

344 Este resultado vale para a barreira de altura V e largura L. Se quisermos apliar este resultado para uma barreira qualquer podemos dividi-la em pequenas barreiras retangulares de tamanho V () e largura, omo mostrado à seguir. De modo que, P π. P barreiras barreira pariais individual ou seja, a probabilidade de transmissão da partíula na barreira será o produto das probabilidades de transição em ada uma das barreiras que onstituem a barreira V (). Ou seja, l np. lnp barreiras pariais Kq mas l np pariais q + ln q + K Como primeiro termo é dominante na maioria das asoas (pois o segundo termo é logaritmo do primeiro). l np q Como para ada barreira loalizada em, q ( ( ) E) m V h

345 a soma transforma-se em integral forneendo, l np L X m h ( V ( ) E) d e temos, L X P e m ( V ( ) E ) d h Este resultado vale para a transmissão de uma partíula em qualquer barreira. Para o aso que estamos tratando do deaimento α uma partíula om energia E deveráa tunelar a barreira, V ( ) Ze do ponto R até o ponto R deiando o sistema om uma energia inétia IK que é todo E onvertido em inétia.

346 3 Apliando a relação da probabilidade de transmissão P a este aso: K Ze m q h Como ponto R é definido omo sendo aquele que, K R Ze temos, ( ) R mk q KR Ze h portanto, ( ) os R R R R R R R mk d R mk d q R R R R h h Como a barreira é muito mais larga do que as dimensões nuleares R << R,

347 4 os R R R R R R π de modo que, ( ) R R R mk d q R R π h E portanto, R R R mk np π h l e usando K Ze R ( ) R mze K Ze m np K Ze R K Ze m K Ze m K Ze R K Ze mk np + + h h l h h h l π π π Utilizando os valores numérios para a massa da partíula α, arga do elétron e ħ, 3,95,97 K Z R Z np l onde lk é a energia inétia da partíula α epressa em MeV, R o raio nulear em unidades de -5 m e Z o número de prótons no núleo. A onstante de deaimento λ que é a probabilidade por unidade de tempo,

348 5 v λ νp P R v lnλ ln R +,97Z R 3,95Z K Assim, fazendo um gráfio de l nλ medido versus Z K medido temos, Os pontos eperimentais onordam relativamente bem om a epressão teória num intervalo grande de Z K mostrando a validade do modelo proposto. Podemos usar

349 6 esta linha etrapolando para obter R quando Z e neste aso obtenha R ~ -4 m que onorda om resultado de Rutherford. A análise quântia do deaimento α é importante pois eplia a grande variedade de onstantes de deaimento λ tendo omo mais longo deaimento 9 Th 3,3 anos? e mais urto 84 Po om 3-7 seg. Além desta, a epliação do deaimento α através de penetração na barreira de potenial é etremamente andesente om a natureza quântia do núleo. Deaimento β Da mesma forma que no deaimento α, no deaimento β o núleo proura uma forma de atingir maior estabilidade. O deaimento β onsiste na emissão de um elétron pelo núleo. Este elétron é originário do deaimento de um nêutron em um próton mais um elétron sendo que o próton ontinua evidentemente no núleo. Medindo o momentum do elétron é possível alular sua energia inétia, K m p m Observa-se que normalmente que a energia inétia no deaimento β varia de até um valor máimo, K má. 7MeV que deveria ser igual a variação máima mássia do núleo. No entanto, observa-se que isto não é verdade, normalmente pareendo que a energia esta sendo riada violando um dos importantes oneitos da Físia. É possível medir om relativa preisão o reuo sofrido pelo núleo após o deaimento beta e omparando seu momentum de reuo om o momentum do elétron também há uma aparente violação da onservação de momentum. Um tereiro agravante que aparee no deaimento β é o fato de que no proesso, n p + e - ada partíula tem spin h de modo que não é possível onservar momento angular om este proesso. Todas estas ontradições foram resolvidas om a proposta do neutrino por Pauli em 93. Para Pauli, o deaimento β deveria estar aompanhado da emissão de uma Formatado

350 7 partíula não arregada de spin h que seria responsável de estar levando toda energia e momentum não epliado aima. Esta partíula seria o neutrino. Estudos mais apurados mostraram a eistênia de dois tipos de neutrino, o ν (neutrino) e ν (anti-neutrino), e que no deaimento β ordinário a partíula envolvida é o anti-neutrino, Formatado Formatado n p + e - + ν A hipótese do neutrino para epliar o deaimento β foi muito bem suedida. Esperava-se iniialmente a massa do neutrino omo sendo uma fração muito pequena da massa do elétron. Hoje em dia areditamos que a massa do neutrino seja realmente zero. Deaimento Gama O núleo atômio eiste em estados de energias bem definidas da mesma forma que os estados eletrônios. Um núleo eitado N* pode retornar ao seu estado fundamental emitindo fótons uja energia orrespondem à diferença entre os níveis envolvidos. Os fótons emitidos temos fótons emitidos têm energia que pode atingir vários MeV e são denominados de raios gamasão denominados de raios gama. Normalmente o tempo de vida dos estados nuleares é bastante urto, mas em alguns pouos asos o deaimento gama, omo é hamada esta missão, hega a atingir horas. Formatado Formatado Reações Nuleares Da mesma forma que em químia, as reações entre elementos serve para trazer informações de ada elemento e seu omportamento na natureza, as reações nuleares são rias em informações a respeito dos onstituintes nuleares que é seu omportamento. Além disso, as reações nuleares onstituem-se na maneira de tirarmos proveito prátio do núleo atômio, veja omo um reservatório de energia, ou seja, omo meanismos de formação desta fauna de elementos químios presentes no universo. A maioria das reações nuleares envolvem... que ontém o maior número de esferas próimas possível. Desta forma, ada nuleon terá assoiado a ele uma energia. U 6U

351 8 Assim, se todos nuleons tivessem rodeados por a energia de um determinado núleo seria. E v 6AU d A Esta energia

352 UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO INSTITUTO DE FÍSICA DE SÃO CARLOS DEPARTAMENTO DE FÍSICA E CIÊNCIAS DOS MATERIAIS CAPÍTULO X INTRODUÇÃO AOS SÓLIDOS PROF. VANDERLEI S. BAGNATO