6.1 Exemplos - potencial eléctrico de um anel carregado

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1 1/Out/212 Aula 6 6. Potencial eléctrico - distribuições contínuas de carga 6.1 Exemplos: Anel, Disco, Plano infinito, Linha infinita, Esfera 6.2 Condutores em equilíbrio 6.3 Contacto eléctrico 6.4 Energia potencial 12/Out/212 Aula 7 7. Energia e capacidade eléctrica 7.1 Capacidade e condensadores 7.2 Condensador cilíndrico 7.3 Condensador esférico 7.4 Energia electroestática 7.5 Densidade de energia do campo eléctrico 7.6 Força electromotriz 7.7 Associação de condensadores 7.8 Dieléctricos 7.9 Deslocamento eléctrico 1

2 Aula anterior 6.1 Exemplos - potencial eléctrico de um anel carregado Um anel de raio a e espessura desprezável tem uma carga total Q. Pretende-se determinar o potencial eléctrico num ponto situado sobre o seu eixo e a uma distância z deste. dq a 2 2 r z a A partir do campo eléctrico: E 1 z Q kˆ z a (aula 3) V 1 z Q z Ez dz z z z a z z a V Q dz dz 2

3 Aula anterior 6.1 Exemplos - potencial eléctrico de um anel carregado V Q 4 z z 2 2 z a 3 dz 2 x ax bx c Tabela de integrais: dx bx 2c b 4ac ax bx c V 2 Q 4a a z a z 1 Q V z a 3

4 Aula anterior 6.1 Exemplos - potencial eléctrico de um plano Um plano infinito carregado, pode ser tomado como um disco em que b. E z plano( b ) constante 2 E plano 2 2 ˆk, z> ˆk i, z< d V E.dl dz V z V 2 2 V V z 2 4

5 Aula anterior 6.1 Exemplos - potencial eléctrico de uma linha infinita 1 d V E.dl dr 2 R V V E dr R P P ref R R ref R R P ref 1 dr 2 R R ln 2 R P ref 5

6 Aula anterior 6.1 Exemplos - potencial eléctrico de uma esfera Dieléctrico sólido Condutor ou coroa esférica 6 28

7 Aula anterior 6.2 Condutores em equilíbrio electroestático Um condutor está em equilíbrio electroestático se todas as suas cargas estiverem em repouso e se não existir uma corrente eléctrica. Neste caso, E interior =. Assim, todo o condutor está ao mesmo potencial: V interior =constante. Condutores: V E.dr equipotencial 7

8 Aula anterior 6.2 Condutores em equilíbrio electroestático E 8

9 Aula anterior 6.4 Energia potencial Energia potencial eléctrica de uma carga q colocada num potencial V: U q,q k q V q 4 r q q r 1 q Energia potencial e potencial eléctrico animação 9

10 3.4 Plano infinito Um plano infinito carregado, pode ser tomado como um disco em que b. E 1 z disco ( b / z ) E z plano( b ) constante 2 Como o campo muda de direcção através do plano: E plano 2 2 ˆk, z> ˆk i, z< 1

11 7.1 Capacidade e condensadores (condensador plano) Q E 2 E 2 E 2 E 2 E dv du E dl q U Vb Va E dl q b a 11

12 7.1 Capacidade e condensadores 12

13 7.1 Capacidade e condensadores E V a V b V d b b b Vb Va E dl dl dl a a a d Va A A Vb Q A V Q A d Q V A d d C Q V C = capacidade (eléctrica) [ C] = Farad = Coulomb / Volt = C/V= unidade de capacidade eléctrica (SI). 13

14 7.1 Capacidade e condensadores Quaisquer dois condutores podem formar um condensador: Q A C V d (condensador plano) A capacidade depende apenas da geometria das placas (condutores) e da distância que as separa, não da carga nem da diferença de potencial. 14

15 7.1 Capacidade e condensadores Determinação da capacidade de um condensador: 1. Determinar o campo eléctrico (a partir da lei de Gauss, normalmente). 2. Determinar a diferença de potencial V entre as duas placas condutoras, geralmente por integração de dv=-e.dl. 3. Calcular a capacidade C=Q/V. 15

16 7.2 Condensador cilíndrico A figura representa um condensador cilíndrico em que os raios dos condutores são R 1 < R 2 << L. Pretende-se determinar a capacidade deste condensador. 1. Determinar o campo eléctrico (a partir da lei de Gauss, normalmente). 2. Determinar a diferença de potencial V entre as duas placas condutoras, geralmente por integração de dv=-e.dl. 3. Calcular a capacidade C=Q/V. 16

17 7.2 Condensador cilíndrico A figura representa um condensador cilíndrico em que os raios dos condutores são R 1 < R 2 << L. Pretende-se determinar a capacidade deste condensador. 1. Campo eléctrico: A superfície de Gauss vai ser um cilindro de comprimento l e raio r que passa entre as placas. e sup.lateral base topo Superfície de Gauss E nˆ base topo Q Q l int l L e 17

18 7.2 Condensador cilíndrico A figura representa um condensador cilíndrico em que os raios dos condutores são R 1 < R 2 << L. Pretende-se determinar a capacidade deste condensador. 2. Potencial: V R R R R Q Q 1 VR V 2 R dv E dr dr dr 1 2 R L 2 L R V R R R R Q R ln 2 L R 2 1 Q R V VR V 2 R ln 1 2 L R Capacidade: C Q V C 2 L R ln 2 R 1 18

19 7.3 Condensador esférico A figura representa um condensador esférico em que o raio do condutor interior é R 1 e o raio da superfície interior do condutor exterior é R 2, com R 1 < R 2. Pretende-se determinar a capacidade deste condensador. 1. Determinar o campo eléctrico (a partir da lei de Gauss, normalmente). 2. Determinar a diferença de potencial V entre as duas placas condutoras, geralmente por integração de dv=-e.dl. 3. Calcular a capacidade C=Q/V. 19

20 7.3 Condensador esférico A figura representa um condensador esférico em que o raio do condutor interior é R 1 e o raio da superfície interior do condutor exterior é R 2, com R 1 < R 2. Pretende-se determinar a capacidade deste condensador. 1. Campo eléctrico: A superfície de Gauss vai ser uma esfera de raio r que passa entre as placas. Superfície de Gauss e Q int Q 2

21 7.3 Condensador esférico A figura representa um condensador esférico em que o raio do condutor interior é R 1 e o raio da superfície interior do condutor exterior é R 2, com R 1 < R 2. Pretende-se determinar a capacidade deste condensador. 2. Potencial: V R R R Q 1 Q 1 1 VR V 2 R dv E dr dr r 4 R R V R R 1 2 R1 1 1 Q 1 1 V VR V 2 R 1 4 R R Q 3. Capacidade: C V 1 2 C 4 RR 1 2 R R

22 7.4 Energia electroestática Quando um condensador está a ser carregado, electrões da placa positiva são transferidos para a negativa (ou, o que é equivalente, cargas positivas são transferidas para a placa positiva). No exemplo da figura (condensador plano), a diferença de potencial entre as placas é V=q/C. Se se transferir mais uma carga infinitesimal dq, a energia potencial dessa carga (e, portanto, do condensador), também aumenta: q du V dq dq C 22

23 7.4 Energia electroestática A variação total da energia é então 2 Q q 1 U du dq q dq C C 1Q 2 C Q C Q V 2 1 Q 1 1 U QV CV 2 C U = energia electroestática (do condensador) 23

24 7.5 Densidade de energia do campo E V d E d Q A C V d (condensador plano) Va Vb A U CV E d E Ad 2 2 d 2 A A u energia U 1 volume Ad 2 e E 2 d u 1 2 e E 2 u e = densidade de energia do campo electroestático 24

25 7.6 Força electromotriz Uma bateria é uma fonte (química) de diferença de potencial eléctrico. Reacções químicas no seu interior fazem mover iões positivos para um dos eléctrodos e iões negativos para o outro, criando assim uma diferença de potencial aos seus terminais. Bateria animação Força electromotriz (E =fem) é o termo utilizado para descrever o trabalho realizado pela bateria por unidade de carga: E Wquímico V q bateria 25

26 7.6 Força electromotriz Um condensador pode ser carregado ligando os seus terminais a uma bateria: Se se desligar a bateria, o condensador mantém a carga e a diferença de potencial mantém a energia armazenada. 26

27 7.7 Associação de condensadores Símbolos utilizados em circuitos eléctricos: Condensador Bateria ou Interruptor 27

28 7.7 Associação de condensadores Série Paralelo A B A B Qual é a capacidade equivalente (ou efectiva) entre os pontos A e B? A +Q -Q B C equiv carga (numa das placas) diferença de potencial entre A e B 28

29 Paralelo: Mesma diferença de potencial, mas cargas diferentes em cada condensador: V1 V2 V 3... E Q1 Q2 Q 3... Q 7.7 Associação de condensadores A E Q 1 Q 2 C 1 C 2 C 3 -Q 1 -Q 2 Q 3 -Q 3 B Q Q1 Q2 Q3 Q1 Q2 Q C 3 paralelo C1 C2 C3 E E E E E 29

30 Série: Mesma carga Q, mas diferentes V: Q1 Q2 Q3 Q V1 V2 V 3... E 7.7 Associação de condensadores A +Q -Q +Q -Q +Q -Q C 1 C 2 C 3 B C série Q Q 1 1 E V1 V2 V3 V V2 V3 Q Q Q C1 C2 C3 3

31 7.8 Dieléctricos Dieléctrico, composto por moléculas polares. p Na presença de um campo eléctrico exterior: No interior de um condensador: 31

32 7.8 Dieléctricos Condensador plano, com ar entre as placas E dieléctrico Condensador plano, com dieléctrico: r E E r = constante dieléctrica relativa E E E Ed q r A r q A r = permitividade eléctrica [ ] = C 2 / (N m 2 ) 32

33 7.8 Dieléctricos Papel principal do dieléctrico num condensador: reduzir o campo eléctrico reduzir a diferença de potencial aumentar a capacidade. 33

34 7.8 Dieléctricos Se um condensador estiver ligado a uma bateria (tendo, portanto, uma carga q ) e se se colocar um dieléctrico de constante k no seu interior, a diferença de potencial mantémse (só depende da bateria) mas a carga efectiva passa a q = kq. (V = constante) Se um condensador tiver uma carga q e for colocado um dieléctrico de constante k no seu interior, a carga mantém-se mas a diferença de potencial passa a V/k. (q = constante) 34

35 7.9 Deslocamento eléctrico Na presença de um campo E são criado dipolos eléctricos caracterizados pelo vector polarização P: P e E = susceptibilidade eléctrica do meio (mede a resposta do meio à presença do campo). D E P Densidade de cargas de polarização. D = deslocamento eléctrico 35

36 Relação entre E, P e D: 7.9 Deslocamento eléctrico D E P E E 1 E E e e r r 1 e 36