Universidade de Coimbra ELECTROMAGNETISMO 2004/05. Lic. em Física, Química, Engenharia Biomédica e Matemática (opção) Folha 1 : Electrostática

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1 I 2 G Universidade de Coimbra ELECTROMAGNETISMO 2004/05 Lic. em Física, Química, Engenharia Biomédica e Matemática (opção) Folha 1 : Electrostática 1. A figura representa um fio de comprimento l, carregado com uma densidade de carga λ > 0; o ponto P está à distância a do fio; a distância de P às extremidades do fio é determinada pelos ângulos θ 1 e θ 2. (a) Calcule o campo eléctrico criado pelo fio no ponto P. Analise o resultado para o caso particular de o ponto P estar equidistante das extremidades do fio. (b) Generalize para o caso em que l. (c) Confirme o resultado da alínea anterior aplicando a lei de Gauss. G 2. É possível carregar electricamente um pedaço de plástico bombardeando-o, no vazio, com um feixe de electrões. Os electrões ficam retidos no plástico e geram um campo eléctrico em seu redor. Na figura está representado um plástico com forma de um disco de raio a e espessura desprezável, que foi carregado dessa forma. A densidade superficial de carga na superfície é σ. (a) Determine o campo eléctrico E ao longo do eixo do disco. (b) Determine o valor limite de E quando z tende para zero. (c) Obtenha o campo eléctrico criado por um plano infinito com uma distribuição superficial de carga σ i. a partir dos resultados anteriores. ii. usando a lei de Gauss. 3. Duas linhas infinitas encontram-se carregadas com densidades de carga λ e λ (C/m). As linhas são paralelas ao eixo dos zz e intersectam o plano xy nos pontos de coordenadas x a, y 0 e x a, y 0, respectivamente. (a) Deduza uma expressão para o campo eléctrico num ponto situado sobre o eixo dos xx, d metros afastado da origem. (b) Mostre que, para d >> a, este campo tende para λa πε 0 d 2. (c) Calcule o trabalho realizado para transportar uma carga pontual de C, desde infinito até ao ponto P, de coordenadas (50a, 0, 0), sendo λ 2, C/m. 4. Considere uma lâmina plana infinita com uma densidade superficial de carga σ. Mostre que a lei de Gauss é satisfeita no caso particular de uma superfície esférica de raio R, quer esta seja ou não intersectada pela lâmina.

2 4? 5. Considere uma esfera de raio R que tem no seu interior uma cavidade esférica de raio a. A distância entre o centro da esfera e o centro da cavidade é c. A esfera tem uma distribuição uniforme de carga de densidade ρ excepto no interior da cavidade, onde não há cargas. Determine o campo no interior da cavidade. (Sugestão: utilize o princípio da sobreposição). 6. Uma esfera de raio a, colocada no vazio, tem uma distribuição de carga eléctrica representada pela seguinte densidade de carga ( ) ρ(r) ρ 0 1 k r2 a 2 C/m 3, 0 r a, onde ρ 0 e k designam constantes positivas e r é a distância ao centro da esfera. (a) Calcule o campo eléctrico em todo o espaço. (b) Verifique que, na região livre de cargas, o potencial eléctrico satisfaz a equação de Laplace. (c) Determine o valor da constante k, para o qual o campo eléctrico se anula na região r > a e indique, justificando, qual a carga total da esfera nestas condições. (d) Faça um esboço do módulo do campo eléctrico, para o valor de k obtido em c). 7. Numa esfera de raio a existe uma distribuição de carga positiva caracterizada por uma densidade espacial que varia linearmente com a distância r ao centro, de acordo com a expressão ρ kr C/m 3, sendo k uma constante. (a) Obtenha a expressão do campo eléctrico dentro e fora da esfera. (b) Calcule o potencial no centro da esfera. (c) Obtenha a energia electrostática associada à distribuição de cargas. 8. Uma esfera de raio R tem a carga +Q, distribuída de acordo com a densidade ρ(r) A(R r), para R r 0. A esfera está no interior de outra esfera, concêntrica com a primeira mas condutora, de raio R 1 2R. (a) Determine A em função de R e Q. (b) Calcule o campo eléctrico e o potencial em todo o espaço, no caso de a esfera condutora estar electricamente neutra. (c) Suponha agora que a esfera condutora é ligada à Terra. Determine: i. As alterações no campo eléctrico e no potencial na região entre as duas esferas e fora delas. ii. As alterações nas distribuições de carga. Calcule a densidade superficial de carga na esfera condutora. (d) A esfera condutora comporta-se como uma gaiola de Faraday, protegendo um corpo no seu interior da influência de campos exteriores. Discuta a possibilidade de proteger um corpo exterior da influência de campos gerados no interior da gaiola. 9. Resolvendo as equações locais do campo, determine o campo eléctrico criado por uma distribuição de carga esfericamente simétrica, ρ(r) kr (k constante), localizada na camada esférica com a < r < b.

3 10. O átomo de hidrogénio é constituído por um protão de carga +e (núcleo) e por um electrão de carga e. No estado fundamental, o electrão pode ser descrito por uma nuvem electrónica de densidade de carga ρ(r) A a 3 0 e 2r/a0 onde r é a distância ao núcleo, A é uma constante e a 0 é o raio de Bohr (a 0 0, m). Determine Note que a densidade carga do electrão não cai abruptamente para zero para um dado valor de r e por isso deverá ser tratada como estendendo-se até. (a) A constante A. (b) O campo eléctrico criado pelo electrão para r a 0. (c) O campo eléctrico total (criado pelo electrão e pelo protão) para r a 0. ( ) e αr r 2 dr e αr r 2 α + 2r α α O campo criado por um dipolo eléctrico, a uma distância r muito maior do que as dimensões do dipolo, tem a forma E(r, θ) ξ r 3 (2 cos θ ê r + sin θ ê θ ), com ξ constante, em coordenadas esféricas. (a) Calcule E e E. (b) Obtenha o fluxo através de uma superfície fechada de raio r 0, centrada no dipolo, S E ds. O que conclui? (c) Calcule o potencial por integração da equação E V. 12. Um filtro electrostático permite limpar o ar de partículas de poeira. Pode ser usado em unidades industriais para reduzir a poluição do ar ou em aparelhos portáteis de uso doméstico, por pessoas com problemas respiratórios. Um dado filtro tem um longo fio de densidade linear de carga λ. Considere uma partícula esférica de poeira de raio a e permitividade relativa ɛ r, à distância r do fio. O campo eléctrico E criado pelo fio induz um momento dipolar p na partícula de poeira que é dado por p 4πɛ 0a 3 (ɛ r 1) ɛ r + 2 E. (a) Determine a energia da partícula de poeira na presença do campo eléctrico do fio. (b) Mostre que a partícula fica sujeita a uma força radial que a atrai para o fio e determine a expressão dessa força. 13. Um condensador plano ideal é constituído por duas placas condutoras paralelas de área A separadas por uma distância d muito menor que a dimensão das placas, de tal forma que o efeito de bordos é desprezável. O meio que separa as placas é um isolador perfeito de permitividade relativa ɛ r. Uma das placas tem densidade superficial de carga σ e a outra tem densidade de carga σ. Determine, (a) O campo eléctrico em todo os espaço. (b) A capacidade do condensador.

4 5 14. Um condensador plano real é caracterizado pela sua capacidade, pela tensão máxima que pode suportar e pela resistência de fuga. A tensão máxima está associada à rigidez dieléctrica do meio, i.e., ao valor do campo eléctrico a partir do qual o meio entre as placas se torna condutor, provocando uma descarga. A resistência de fuga resulta da condutibilidade não nula do isolante. Na figura está representado o circuito equivalente a um condensador real, constituído por um condensador ideal em paralelo com uma resistência. Os condensadores de mica por ex., têm tensões máximas e resistências de fuga elevadas, mas baixas capacidades. Os condensadores electrolíticos, pelo contrário, têm tensões máximas e resistência de fuga baixas, mas capacidades muito elevadas. Considere um condensador plano com área 0,1 m 2 e distância entre as placas de 0,1 mm; o espaço entre as placas está preenchido por um dieléctrico de permitividade relativa ɛ r 5 e condutibilidade σ 10 9 S/m. A rigidez dieléctrica do meio é igual a 6 MV/m. (a) Determine a capacidade do condensador. (b) Determine a tensão máxima que se pode aplicar entre as placas. (c) Determine a resistência de fuga do condensador. (d) Ignorou-se nas alíneas anteriores o efeito de bordos, desprezando o campo eléctrico fora da região entre as placas. Se esse efeito for considerado, a capacidade será maior, menor ou igual à calculada? Justifique. I Dois condensadores planos, de igual capacidade C, ligados em paralelo, são carregados até ficarem à tensão V 1 e em seguida isolados da fonte. Um dieléctrico, de permitividade eléctrica ε r, é então introduzido num dos condensadores, preenchendo completamente o espaço entre as placas. Calcule a carga livre transferida de um condensador para o outro e a diferença de potencial final V 2 entre as placas dos condensadores em função de C, V 1 e ε r. 16. Um condensador esférico formado por dois condutores esféricos concêntricos, de raios a 4 cm e b 5 cm, respectivamente, é carregado de modo a estabelecer uma diferença de potencial de 400 V entre as suas armaduras e em seguida é isolado da fonte. O espaço entre os condutores é então preenchido com querosene vaporizado de permitividade eléctrica ε r 2, 5. (a) Calcule o valor da diferença de potencial entre as armaduras no condensador contendo querosene. (b) Determine a carga adquirida pelo condensador e indicar se esta carga é afectada quando se introduz o dieléctrico. (c) Determine a razão entre a capacidade final e a inicial. 17. Diga, justificando, qual das alíneas completa correctamente a frase: Na fronteira entre dois meios dieléctricos diferentes o campo electrostático é tal que localmente (a) a componente tangencial é sempre contínua. (b) a componente normal é sempre contínua. (c) a componente tangencial local pode ser descontínua. (d) as 2 componentes são sempre contínuas. (e) a componente normal é sempre descontínua. (f) a componente tangencial é sempre descontínua.

5 > 18. Um cabo coaxial é uma linha de transmissão usada frequentemente para estabelecer ligações entre circuitos electrónicos, antenas, etc. O cabo, de comprimento L, é constituído por um fio metálico de raio a, coaxial com uma película metálica cilíndrica de raio b. Entre ambos há um dieléctrico de permitividade relativa ɛ r. O cabo constitui um condensador cuja capacidade está distribuída ao longo do seu comprimento. Aplica-se uma diferença potencial V entre os dois condutores. (a) Calcule os campos D, E e P em todo o espaço (considere que L >> b e despreze efeitos de bordos). (b) Determine a capacidade do cabo por unidade de comprimento. (c) Determine a energia electrostática armazenada no cabo. (d) Calcule o trabalho necessário para remover o dieléctrico, mantendo constante a d.d.p. entre as armaduras. (e) Calcule a grandeza da força exercida por unidade de área sobre a superfície do condutor interior. Qual a direcção da força? Calcule a força total exercida por unidade de comprimento do cabo. 19. Um cabo coaxial real tem correntes de fuga, devido à condutibilidade não nula do meio dieléctrico entre os condutores. As correntes introduzem ruído e causam atenuação dos sinais transmitidos pelo cabo. Considere um cabo coaxial com um condutor interior de raio a 1 mm e um condutor exterior de raio b 4mm. Entre os dois condutores, o meio dielétrico tem uma condutibilidade que varia linearmente com a distância ao eixo do cabo, r, de acordo com a expressão σ(r) σ b r/b, sendo σ b 10 7 S/m. Considere um cabo de comprimento l 1 m e uma corrente de fuga I f. (a) Determine a densidade de corrente entre o condutor interior e exterior. (b) Determine o campo eléctrico no dieléctrico e a diferença de potencial entre os dois condutores. (c) Determine a resistência de fuga entre os dois condutores. (d) Os neurónios do nosso sistema nervoso central são cabos coaxiais que transmitem impulsos nervosos, mas sem ruído, nem atenuação do sinal. Explique porquê. 20. Do ponto de vista eléctrico, a superfície da Terra pode ser considerada um bom condutor. Possui uma carga total Q 0 e uma densidade superficial de carga σ 0. O raio da Terra é aproximadamente 6400 km. (a) Numa situação de boas condições meteorológicas, existe um campo eléctrico E 0 à superfície da Terra de valor igual a 150 V/m aproximadamente. Obtenha o valor da densidade superficial e a carga total na superfície da Terra. (b) De acordo com o exposto na alínea anterior existe uma diferença de potencial de cerca de 250 V entre o nível do solo e o da cabeça de uma pessoa. Porque não sentimos um efeito semelhante ao que sentiriamos se nos ligassemos a uma fonte de tensão de 250V? (Sugestão: uma pessoa comporta-se como um condutor ligado à terra). (c) Faça um esboço das superficies equipotenciais do campo eléctrico atmosférico na vizinhança de uma pessoa. O que sucede quando a pessoa passa de uma posição vertical para horizontal? (d) A intensidade do campo eléctrico diminui com a distância ao solo, sendo de cerca de 100V/m a uma altura de 100 m. Calcule o valor médio da carga por m 3 na camada atmosférica compreendida entre a superfície da Terra e a altitude de 100 m.

6 @ A J J A E N I H A > H A J E? H C H A D A J E? B E N Os ossos do nosso esqueleto têm um comportamento piezoeléctrico, i.e. convertem uma pressão mecânica sobre o osso numa diferença de potencial eléctrica. O esforço muscular cria uma tensão no osso que origina uma diferença de potencial que, por sua vez, promove o depósito de cálcio, fortalecendo o osso. As pessoas com um braço partido não podem fazer exercício, mas pode-se aplicar externamente uma diferença de potencial adequada. O objectivo é criar um campo eléctrico dentro do osso que promova o depósito de cálcio, facilitando a recuperação da fractura. Suponha que se aplicam 50 V num braço com 75 mm de diâmetro através de duas placas de condensador de 25 cm 2 de área, envoltas em material isolador de espessura d i 1, 5 mm (ver figura). O diâmetro do osso é de 25 mm e a permitividades relativas são ɛ ri 1, 5 para o material isolador, ɛ ro 2 para o osso e ɛ rt 4 I I para o tecido muscular. Supondo que o campo criado pelas placas é aproximadamente uniforme, (a) Determine o campo eléctrico dentro do osso. (b) Faça uma estimativa da capacidade do condensador. 22. Um campo de vectores E é dado pelas seguintes expressões I? K E k r ê r p a r a 0 < r < a E k a3 r 2 êr p a r a a < r < b E 0 p a r a r > b (a) Verifique se E pode representar um campo eléctrico e, em caso afirmativo, determine a distribuição de cargas que cria este campo. (b) Calcule a energia electrostática armazenada nesta distribuição de cargas. 23. No microfone electrostático ilustrado na figura, uma onda de pressão sonora desloca um diafragma numa direcção perpendicular à sua superfície. O diafragma é formado por uma fina membrana metálica sobreposta a um dieléctrico flexível de espessura a e permitividade ɛ. A superfície inferior do dieléctrico foi bombardeada com iões que ficaram retidos na superfície, criando uma densidade superficial de carga uniforme σ s. A superfície inferior está a uma distância variável, x(t), de uma grelha metálica fixa. A função x(t) traduz a variação de pressão associada à onda sonora. A membrana metálica superior está ligada directamente à terra (V M 0) enquanto que a grelha inferior está ligada à terra por uma pequena resistência (V g 0).Considere que o campo eléctrico é uniforme no dieléctrico e no ar. A (a) Determine o campo eléctrico no dieléctrico, E 1, e no ar, E 0, bem como o potencial V na superfície inferior do dieléctrico. (b) Determine a carga na face superior da grelha de área A. (c) Determine a corrente que circula na resistência se x(t) x 0 + b sin(ωt), com x 0 >> b.