UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ Dario de Almeida Jané A SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO E A LÓGICA FUZZY NA ANÁLISE ECONÔMICO/FINANCEIRA DE INVESTIMENTOS SOB CONDIÇÕES DE RISCO Disseração apresenada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Produção como requisio parcial à obenção do íulo de Mesre em Ciência em Engenharia de Produção. Orienador: José Arnaldo Barra Monevechi, Dr. Iajubá 2003

2 Ficha caalográfica elaborada pela Biblioeca Mauá Biblioecária Margareh Ribeiro - CRB_6/1700 J333s Jané, Dario de Almeida A simulação de Mone Carlo e a lógica fuzzy na análise econômico/ financeira de invesimenos sob condições de risco / por Dario de Almeida Jané; orienado por José Arnaldo Barra Monevechi. -- Iajubá, (MG): UNIFEI, p. il. Disseração (Mesrado) Universidade Federal de Iajubá. 1. Simulação. 2. Mone Carlo. 3. Fuzzy. 4. Invesimeno. 5. Risco. I. Monevechi, José Arnaldo Barra, orien. II. Universidade Federal de Iajubá. III. Tíulo. CDU 51:336(043)

3 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ Dario de Almeida Jané A SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO E A LÓGICA FUZZY NA ANÁLISE ECONÔMICO/FINANCEIRA DE INVESTIMENTOS SOB CONDIÇÕES DE RISCO Disseração aprovada por banca examinadora em 22 de Dezembro de 2003, conferindo ao auor o íulo de Mesre em Ciência em Engenharia de Produção. Banca Examinadora: Prof. José Arnaldo Barra Monevechi, Dr. (Orienador) Prof. Edson de Oliveira Pamplona, Dr. Prof. José Rodrigues de Souza, Dr. Iajubá 2003

4 À minha esposa Giovanna, e a meus filhos Pedro e Sara, pela compreensão demonsrada em relação ao escasso empo a eles dedicado durane ese úlimo ano.

5 AGRADECIMENTOS Agradeço primeiramene ao meu Deus, pela oporunidade de aprofundar meus conhecimenos aravés dese rabalho. Ao professor José Arnaldo Barra Monevechi, pela disposição em comparilhar sua experiência e conhecimenos, além da sua convicção de que seria um rabalho possível de se realizar. Por er demonsrado que a relação enre professor e aluno, orienador e orienando, pode ser baseada em amizade e coleguismo sem compromeer os objeivos do rabalho. Ao professor João Baisa Turrioni e Pedro Paulo Balesrasi, pelas sugesões e opiniões apresenadas e incorporadas ao rabalho. Aos meus pais e esposa, pelo incenivo consane e apoio decisivo quando a arefa ornou-se aparenemene árdua demais.

6 RESUMO A avaliação de oporunidades de invesimeno aravés de ferramenas quaniaivas em proporcionado ao invesidor, maneiras cada vez mais precisas e realisas de se buscar subsídios para os processos decisórios de alocação de recursos. Um invesimeno ou um conjuno de invesimenos deve ser analisado sob vários aspecos, anes de ser omada alguma decisão. Um deses, refere-se à avaliação econômico/financeira da proposa, visando conseguir informações que revelem enre ouros, o risco que o invesidor correrá ao decidir-se por alocar recursos financeiros para o projeo em quesão. Noa-se enão a necessidade de se desenvolver méodos mais precisos, que esejam apos a processar informações relevanes ao panorama decisório e que fundamenalmene, produzam resulados confiáveis. Nese conexo, pode-se ciar modelos maemáicos uilizados para represenar as siuações reais, de cunho deerminísico, probabilísico e possibilísico, com relação às variáveis uilizadas no esudo. Faz pare do objeivo dese rabalho, descrever os dois úlimos modelos, demonsrando aravés de exemplos práicos, a sua aplicação e inclusive procedendo à comparação dos resulados obidos. O modelo probabilísico esudado baseia-se na simulação por Mone Carlo e no raameno esaísico às variáveis relevanes. Já o modelo possibilísico, mais aual, esá fundamenado na lógica fuzzy, ou lógica nebulosa, e preende ranscrever para o domínio da maemáica como ciência exaa, a incereza conida nas palavras ou expressões lierais. Ambos os modelos uilizaram o méodo do valor presene líquido (VPL) durane a análise do risco, porém adapado a cada siuação e caracerísicas das variáveis envolvidas. Um esudo de caso complemenará o rabalho, aplicando-se os conceios aneriormene esudados na avaliação de um projeo de invesimeno.

7 ABSTRACT The opporuniy invesmen valuaion rough quaniaive ools, has provide invesors wih a more realisic and precise way o search daa for he allocaion research decision process. A invesmen, or join invesimen, mus be analysed under several differen condiions before a decision can be made. One of hese areas concerns abou he economic/financial proposal valuaion, a search for informaion abou he invesor risk relaionship o financial research allocaion o he projec. Noice, hem, he necessiy o develop more precise mehods including he abiliy o process noable informaion wih he decision in view and, fundamenally, o produce rusworhy resuls. In his cones, we can creae mahemaic models o represen he real siuaions, wih deerminisic, probabilisic or possibilisic characerisics, regarding variables used. This work s scope conemplaes he las models descripion and demonsraes rough pracical examples, is applicaions, and he comparison beween he resuls. The probabilisic model was based on Mone Carlo s simulaion and saisic reamen of relevan variables. The possibilisic model acually was base on fuzzy logic, inending o ransfer wih a mahemaical domain he uncerainy conained in words or lierary expressions. Boh models will use he ne presen value (NPV) during risk analysis, adaping for he siuaion and variable characerisics. A case sudy will complemen his work, applying previous conceps in he projec invesmen valuaion.

8 LISTA DE FIGURAS Figura 1.1 Modelos de Pesquisa Quaniaivos 23 Figura 1.2 Fases para Pesquisa Quaniaiva Normaiva 25 Figura 2.1 Valor Presene Líquido (VPL) 31 Figura 2.2 Valor Fuuro Líquido (VFL) 32 Figura 2.3 Valor Uniforme Líquido (VUL) 33 Figura 2.4a Modelo deerminísico em relação a variável Valor Inicial I 0 35 Figura 2.4b Modelo probabilísico em relação a variável Valor Inicial I 0 36 Figura 2.5 Eapas do processo de avaliação do risco aravés do VPL e da Simulação de Mone Carlo 40 Figura 2.6 Ceso com bolinhas verdes 48 Figura 2.7 Ceso com bolinhas vermelhas 48 Figura 2.8a Ceso com bolinhas variadas 49 Figura 2.8b Ceso com bolinhas variadas 49 Figura 2.8c Ceso com bolinhas variadas 49 Figura 2.8d Ceso com bolinhas variadas 49 Figura 2.9 Conjuno de pessoas com febre pela lógica booleana 50 Figura 2.10 Conjuno de pessoas com febre pela lógica fuzzy 51 Figura 2.11 A lógica fuzzy e o raciocínio aproximado 52 Figura 2.12 Conjuno fuzzy A 53 Figura 2.13 Conjuno radicional 54 Figura 2.14 Conjuno fuzzy não-normal 58 Figura 2.15 Conjuno fuzzy não-convexo 58 Figura 2.16 Número fuzzy (normal e convexo) 59 Figura 2.17 Número Fuzzy Triangular (a 1, a 2, a 3 ) 59 Figura 2.18 Número Fuzzy Trapezoidal (a 1, a 2, a 3, a 4 ) 60 Figura 2.19 Represenação de α - cu = 0,25 e α - cu = 0,75 em um TFN 62 Figura 2.20 TFN dado por (a 1, a 2, a 3 ) = (-1, 2, 5) 64 Figura 2.21 TrFN dado por (a 1, a 2, a 3, a 4 ) = (-2, 0, 2, 6) 65 Figura 2.22 Variável lingüísica invesimeno alo e sua função de perinência 79 Figura 2.23 Variável lingüísica invesimeno inicial e suas respecivas funções de perinência 80

9 Figura 2.24 Sisema lógico fuzzy 80 Figura 2.25 Variável lingüísica idade e suas funções de perinência criança, adulo e idoso 81 Figura 2.26 Variável lingüísica alura e suas funções de perinência baixo, mediano, alo 82 Figura 2.27 Inferência Fuzzy 84 Figura 2.28 Seleção dos valores relacionados com grau de perinência = 1, para a variável crescimeno 85 Figura 2.29 Exemplo de desfuzzificação aravés do méodo represenaivo ordinário 87 Figura 2.30 Exemplo de desfuzzificação aravés do méodo cenróide 88 Figura 3.1 Exemplo de fluxo de caixa 92 Figura 3.2 Represenação em TFN da variável P do fluxo de caixa (Milhões de R$) 92 Figura 3.3 Represenação em TFN da variável r do fluxo de caixa (% a.a.) 93 Figura 3.4 Represenação do número fuzzy resulane para o VPLF (R$) 98 Figura 3.5 Represenação do TFN aproximado para o VPLF (R$) 99 Figura 3.6 Represenação de TFN pare negaivo para o VPLF (R$) 101 Figura 4.1 Modelo de decisão sobre viabilidade de um projeo 104 Figura 4.2 Ciclo de vida de um produo da empresa analisada 109 Figura 4.3 Funções de perinência para o parâmero invesimeno inicial (IN) 120 Figura 4.4 Funções de perinência para o parâmero benefícios anuais (BAN) 122 Figura 4.5 Funções de perinência para o parâmero valor residual (VR) 124 Figura 4.6 Funções de perinência para o parâmero axa mínima de araividade (TMA) 126 Figura 4.7 Fluxo de caixa para variáveis fuzzy 131 Figura 4.8 Fluxo de caixa para variáveis fuzzy, somados BAN e VR 131 Figura 4.9 Represenação do VPLF (R$) 133 Figura 4.10 Represenação do VPLF (R$) nulo (igual a zero) 134

10 LISTA DE TABELAS Tabela 2.1 Probabilidades Acumuladas para a variável Invesimeno Inicial I 0 37 Tabela 2.2 Números aleaórios e valores correspondenes 38 Tabela 2.3 Disribuição de probabilidades para variáveis de enrada (independenes) 41 Tabela 2.4 Disribuição de probabilidades acumuladas 42 Tabela 2.5 Indicadores de viabilidade do invesimeno 43 Tabela 2.6 Elemenos do conjuno fuzzy A e seus respecivos graus de perinência 54 Tabela 2.7 Aribuição de valores à variável lingüísica idade 82 Tabela 2.8 Aribuição de valores à variável lingüísica alura 83 Tabela 2.9 Represenação lingüísica para os veores de graus de perinência 83 Tabela 4.1 Parâmeros de enrada 111 Tabela 4.2 Vida econômica, demanda anual, mark-up e TMA Deparameno de Vendas 114 Tabela 4.3 Disribuição de Probabilidades para Invesimenos, Valores Residuais e Benefícios Anuais Deparameno de P&D 115 Tabela 4.4 Indicadores de viabilidade do invesimeno 116 Tabela 4.5 Valores lingüísicos para os parâmeros de enrada 119 Tabela 4.6 Valores médios para os parâmeros de enrada 129 Tabela 4.7 Valores lingüísicos para os parâmeros de enrada, aplicados 129

11 LISTA DE SÍMBOLOS VPL Valor Presene Líquido TMA Taxa Mínima de Araividade P r VFL VUL TIR I 0 D M(D) S(D) f(x, M, S) x N A B E A ( x) ( x) Cada parcela de um fluxo de caixa considerado Taxa de juros considerada Número de períodos de um fluxo de caixa considerado Valor Fuuro Líquido Valor Uniforme Líquido Taxa Inerna de Reorno Invesimeno inicial Disribuição de probabilidades não-normal Média dos valores da disribuição D Desvio padrão dos valores da disribuição D Função disribuição cumulaiva normal Valor qualquer da disribuição Número de corridas de simulação Conjuno fuzzy Conjuno fuzzy Universo de números possíveis Quanificador universal Quanificador exisencial µ Função de perinência associada a um número x do conjuno A µ Função de perinência associada a um número x do conjuno B B φ Conjuno vazio Quanificador de Inclusão A max min R Complemeno do conjuno A Quanificador de União Operador uilizado na união de conjunos fuzzy Operador uilizado na inersecção de conjunos fuzzy Soma exclusiva enre conjunos fuzzy Conjunos dos números reais

12 TFN TrFN a 1 a 2 a 3 a 4 α - cu A α α a Número Fuzzy Triangular Número Fuzzy Trapezoidal Valor oimisa do número fuzzy riangular ou rapezoidal Valor mais provável do número fuzzy riangular ou rapezoidal Valor pessimisa do número fuzzy riangular ou mais provável do número fuzzy rapezoidal Valor pessimisa do número fuzzy rapezoidal Valor assumido pela função de perinência Valor de um número fuzzy, para um deerminado valor de α Componene do número fuzzy A α, para a forma veorial ( α ) l a Componene do número fuzzy α ( α ) r a Componene do número fuzzy α Â VPLF p 1 p 2 p 3 ( α ) A, para a represenação à esquerda A, para a represenação à direia Represenaivo ordinário do número fuzzy A Valor Presene Líquido Fuzzy Valor oimisa do número fuzzy riangular represenaivo à componene do fluxo de caixa Valor mais provável do número fuzzy riangular represenaivo à componene do fluxo de caixa Valor pessimisa do número fuzzy riangular represenaivo à componene do fluxo de caixa p l Componene do número fuzzy fluxo de caixa, para a represenação à esquerda ( α ) p r Componene do número fuzzy fluxo de caixa, para a represenação à direia Valor oimisa do número fuzzy riangular represenaivo à componene da axa de reorno Valor mais provável do número fuzzy riangular represenaivo à componene da axa de reorno Valor pessimisa do número fuzzy riangular represenaivo à componene da axa de reorno r 1 r 2 r 3 ( α ) r l Componene do número fuzzy axa de reorno, para a represenação à esquerda

13 ( α ) r r Componene do número fuzzy axa de reorno, para a represenação à direia P 0 Parcela inicial do fluxo de caixa semelhane à I 0 VR Valor Residual do invesimeno VE Vida Econômica do invesimeno VFLF Valor Fuuro Líquido Fuzzy PE Polieileno PP Polipropileno PA Poliamida (Nylon ) P&D Deparameno de Pesquisa e Desenvolvimeno IN Invesimeno Inicial FP Ferramenais Próprios FT Ferramenais de Terceiros MEI Máquinas, Equipamenos e Insalações BAN Benefícios Anuais PVA Previsão de Vendas Anuais C Cusos Uniários MKP Mark-up desejado CM Cusos de Maéria-prima CMO Cusos de Mão-de-obra CME Cusos de Manuenção de Esoques CT Cusos de Transpore CDP Cusos de depreciação MIN Valor médio para o parâmero lingüísico Invesimeno Inicial MBAN Valor médio para o parâmero lingüísico Benefícios Anuais MVR Valor médio para o parâmero lingüísico Valor Residual MTMA Valor médio para o parâmero lingüísico Taxa Mínima de Araividade

14 SUMÁRIO Dedicaória Agradecimenos Resumo Absrac Lisa de figuras Lisa de abelas Lisa de símbolos Sumário 1 INTRODUÇÃO Considerações iniciais Jusificaiva do ema Objeivos do rabalho Relevância da disseração Meodologia de pesquisa Esruura do rabalho 25 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Considerações iniciais Análise de invesimenos sob siuações de risco e incereza A simulação aplicada à análise de risco em invesimenos Simulação de Mone Carlo Simulação de Quase-Mone Carlo Amosragem Descriiva 45

15 2.4 Lógica fuzzy Definindo lógica fuzzy A lógica fuzzy como base para o raciocínio aproximado Conjunos fuzzy Números fuzzy O Conceio de α - cus Operações com números fuzzy Operações algébricas com TFN s Operações algébricas com TrFN s Variáveis lingüísicas Incereza esocásica X incereza léxica Esruura do sisema lógico fuzzy Fuzzificação Inferência fuzzy Desfuzzificação Considerações finais 88 3 INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE INVESTIMENTOS ATRAVÉS DA LÓGICA FUZZY Considerações iniciais Méodos fuzzy para análise de invesimenos O méodo do valor presene líquido fuzzy O méodo do valor fuuro fuzzy Análise de risco em invesimenos fuzzy Considerações finais 102

16 4 ESTUDO DE CASO Considerações iniciais Caracerização do objeo de esudo Definição dos parâmeros de esudo Invesimeno Inicial Benefícios Anuais Vida Econômica Valor Residual Taxa Mínima de Araividade (TMA) Aplicação da simulação de Mone Carlo para o valor presene Aplicação do méodo do valor presene fuzzy Funções de perinência para os parâmeros de enrada Fuzzificação dos valores médios Cálculo do VPLF A análise de risco fuzzy aplicada Análise comparaiva enre a simulação de Mone Carlo e o méodo fuzzy Paricularidades, vanagens e desvanagens enconradas em cada méodo Simulação de Mone Carlo Lógica fuzzy Comparação dos resulados Considerações Finais Limiações do Trabalho CONCLUSÕES Considerações Iniciais 140

17 5.2 Conribuições do Trabalho Sugesões para Fuuros Trabalhos 142 Anexo A 143 Anexo B 148 Anexo C1 149 Anexo D 150 Anexo E 151 Anexo F 152 Referências bibliográficas 153 Bibliografia complemenar 156

18 1 INTRODUÇÃO 1.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS A globalização da economia, aliada aos graves problemas econômico/financeiros pelos quais a grande maioria dos países passa aualmene, provocou mudanças na esraégia das empresas e dos invesidores em geral. Noa-se uma busca por méodos ou ferramenas que permiam maior eficácia na visualização e principalmene na quanificação do risco/incereza associados à alocação de recursos. Segundo Weson e Brigham (2000), pode-se enender o ermo risco, como a possibilidade de que algo aconeça em desacordo ao planejado. Gonçalves Júnior (2003), ciando Damodaran, refere-se à necessidade de compreender não somene os valores associados ao invesimeno, mas ambém a fone deses valores, permiindo assim a correa avaliação do risco relaivo. Dessa forma, espera-se conseguir melhores subsídios para os processos de omada de decisão, onde a renabilidade e a possibilidade do projeo analisado ser inviável são ponos de fundamenal imporância. Tais parâmeros devem, porano, ser obidos aravés de modelos que considerem o maior número possível de informações relevanes e capazes de influenciar o resulado do processo de modelagem maemáica. Segundo Von Alrock (1996), ais modelos deverão evoluir a pono de represenarem a lógica e a racionalidade humana, ao omarem decisões auomáicas, analisarem dados e aprenderem com seus próprios erros. Vários são os modelos exisenes para análise do risco envolvido em invesimenos, denre os quais podemos ciar: análise de sensibilidade, média - variância, valor em risco, simulação de Mone Carlo, lógica fuzzy (Ng H. K. a all, 2000). Porém, odos esses méodos de avaliação, necessiam de informações que na grande maioria dos casos, não esão disponíveis, ou enão precisam ser refinadas para poserior uilização. Aliás, esse na verdade é o panorama ípico de

19 Capíulo 1 Inrodução 18 esudos de análise de risco/incereza, afinal segundo Ng H. K. a all (2000), incereza é a condição em que a possibilidade de erro exise, porque não se em odas as informações necessárias/relevanes sobre o invesimeno. Nese cenário, os méodos de simulação em sido uilizados na análise de risco em invesimenos desde a década de 40, com a chamada Simulação de Mone Carlo (Saliby, 1989), porém foram nos úlimos anos que se conseguiram grandes avanços referenes à precisão dos resulados e ao empo de processameno dos cálculos. Os esudos recenes envolvendo lógica fuzzy, ou ambém chamada lógica Nebulosa, buscam ober informações, aravés de relações que levem em consideração não apenas a incereza esocásica, mas ambém a incereza léxica. Assim, com o uso de expressões lingüísicas, preende-se idenificar e quanificar dados relevanes ao processo de análise, melhorando o nível de confiabilidade do sisema. Não esaríamos errados em afirmar, porano, que al lógica em muio se aproxima da maneira pela qual o ser humano raciocina, podendo aé mesmo afirmar ser ela a radução maemáica, o elo que une e faz ser compreendida a lógica humana para omada de decisões. 1.2 JUSTIFICATIVA DO TEMA Gonçalves Júnior (2003), ciando Bernsein (1997), enfaiza a nooriedade omada pela capacidade de definir aconecimenos fuuros, opando enre várias alernaivas, aos invesidores conemporâneos. Qualquer que seja o perfil do invesidor (moderado, agressivo, ec.), informações relaivas ao risco envolvido com o invesimeno em análise sempre serão de grande valia. Seguindo esa linha de raciocínio, pode-se enão deerminar algumas jusificaivas para o ema proposo nese rabalho:

20 Capíulo 1 Inrodução 19 Conjunura econômica dos mercados nacional e inernacional aual exremamene fragilizada, face aos problemas originários pela ala compeiividade do mercado consumidor, ou mesmo pela ineficiência adminisraiva/produiva das organizações inseridas neses mercados. Necessidade de se desenvolver ferramenas mais eficazes quano à idenificação de opções renáveis de invesimenos. Comparação de novas eorias aplicadas à análise de invesimenos (lógica fuzzy) e méodos já aceios pela comunidade cienífica (simulação de Mone Carlo), buscando assim, um número cada vez maior de informações relevanes ao processo decisório sobre invesimenos. Dificuldade em enconrar lieraura relacionada à lógica fuzzy aplicada à análise de invesimenos, e mais acenuadamene em relação a sua comparação com o méodo da simulação de Mone Carlo. 1.3 OBJETIVOS DO TRABALHO Aravés dese rabalho, espera-se realizar um esudo comparaivo enre o méodo probabilísico represenado pela simulação de Mone Carlo, e o méodo possibilísico baseado na lógica fuzzy, ambos aplicados à análise do risco em invesimenos. Preende-se comprovar as vanagens do algorimo fuzzy ciadas por Von Alrock (1995) e Cox (1996), na alimenação do modelo maemáico ao fornecer dados que conribuem de uma maneira mais eficaz no cálculo dos resulados finais. Isso quer dizer que os parâmeros finais possuirão um grau de confiabilidade superior e, porano melhor suprirão aqueles que os uilizarão para omar decisões. Assim, após a conclusão dese rabalho, preende-se er respondido às seguines pergunas:

21 Capíulo 1 Inrodução 20 Como é feia a quanificação do risco para alernaivas de invesimenos aravés do méodo probabilísico da simulação de Mone Carlo? Como esa quanificação pode ser feia aravés do méodo possibilísico baseado na lógica fuzzy? Quais as vanagens e desvanagens noadas enre os méodos uilizados nese esudo comparaivo durane uma aplicação real? 1.4 RELEVÂNCIA DA DISSERTAÇÃO O ema de pesquisa desenvolvido nese rabalho foi moivado pela crescene imporância reporada às ferramenas que idenificam e quanificam o risco envolvido em qualquer empreendimeno que exija alocação de recursos. Swaney (1997), cia a imporância de se desenvolver sisemas para avaliação de riscos, porém sem deixar de lado os cusos envolvidos com ais sisemas. Assim sendo, procura-se um meio ermo, um pono óimo, enre a qualidade, a confiabilidade da informação processada e o cuso para obê-la. Assim sendo, busca-se resolver o problema da quanificação eficaz do risco em análises econômico/financeiras, aravés da hipóese de uilização da lógica fuzzy na análise de invesimenos sob condições de risco, bem como efeuar um esudo comparaivo enre seus resulados e os gerados pela simulação de Mone Carlo. Assim, ese rabalho poderá ambém conribuir para o incremeno da lieraura relacionada à avaliação de negócios ou invesimenos, conceiuando a meodologia baseada na lógica fuzzy, bem como aravés da análise comparaiva descria acima.

22 Capíulo 1 Inrodução METODOLOGIA DE PESQUISA A meodologia de pesquisa uilizada é a chamada Pesquisa Quaniaiva Axiomáica Normaiva segundo Berrand e Fransoo (2002). Ese modelo corresponde a uma das quaro possibilidades de pesquisa referenciadas como méodos quaniaivos de avaliação. Tais méodos de pesquisa procuram descrever os modelos cienificamene consruídos e/ou as relações enre suas variáveis de conrole. Podem ambém ser uilizados para desenvolvimeno, análise ou comparação enre modelos disinos. Hisoricamene, eses méodos iveram início durane o período chamado de Adminisração Cienífica, quando Frederick Winslow Taylor no início do século XX (enre 1903 e 1911), publica suas obras enfaizando a necessidade de um méodo adequado de rabalho, baseado em análises dos processos reais e experimenos cienificamene comprovados. Pode-se facilmene enender que como resulado imediao, surge o esudo de empos e méodos. Porém, segundo Berrand e Fransoo (2002), o poserior redesenho do processo analisado, objeivando aumeno na produividade, não gerava conhecimeno cienífico aplicável de forma genérica sobre processos de operações reais. Alguns anos depois, as écnicas e méodos desenvolvidos, foram disseminados nos cursos de engenharia indusrial dos EUA, considerando: Os aspecos exremamene relevanes que poderiam fornecer; A independência de oda e qualquer circunsância paricular do problema real analisado. Assim, o aspeco cienífico da pesquisa quaniaiva, passou a não esar relacionado apenas ao modelameno de processos operacionais, mas ambém à qualidade das soluções proposas, bem como sua generalidade. Baseado nesa afirmação e aravés de uma visão geral aplicada sobre as meodologias de pesquisa em adminisração de operações, pode-se com relação ao modelo de pesquisa quaniaivo, classificá-lo como uma aproximação lógica do

23 Capíulo 1 Inrodução 22 conhecimeno de produção, assumindo a capacidade do pesquisador em reproduzir o comporameno real dos processos/problemas analisados. Berrand e Fransoo (2002), dividem ais modelos em dois grupos iniciais com relação aos princípios que noreiam a pesquisa: Pesquisa Quaniaiva Axiomáica (PQA): ese ipo de pesquisa produz conhecimeno sobre o comporameno de ceras variáveis do modelo (variáveis de saída), baseado em suposições sobre o comporameno de ouras variáveis (variáveis de enrada). Méodos formais desenvolvidos em ouros ramos da ciência como, maemáica e esaísica, são uilizados nese momeno para a consrução das normas que regem ese relacionameno. A PQA é ainda subdividida em descriiva (PQAD), preocupando-se em compreender o processo específico e suas relações aravés da modelagem cienífica, e normaiva (PQAN), buscando esraégias ou soluções para o problema em si, podendo ambém ser aplicada na comparação de esraégias ou méodos na resolução do problema. Nese caso, pode ser incluso além da modelagem propriamene dia, os resulados do processo de resolução do modelo. Tais resulados servirão na verdade, como feedback ao modelo, aperfeiçoando-o. Pesquisa Quaniaiva Empírica (PQE): a pesquisa quaniaiva empírica em por prioridade a busca por um modelo que se inerponha enre as observações reais e sua ranscrição maemáica. Ese ipo de pesquisa pode da mesma forma ser descriiva (PQED), onde a prioridade recairá sobre a criação de um modelo que adequadamene descreva as relações enre as variáveis reais, observando a conceiuação do processo, o modelameno maemáico e a validação dese, e a normaiva (PQEN), primariamene ineressada no desenvolvimeno de esraégias e ações para aperfeiçoar a siuação aual. Consiui o modelo de pesquisa mais compleo, envolvendo a conceiualização da

24 Capíulo 1 Inrodução 23 realidade, modelameno maemáico, validação do modelo e poserior implemenação dese. A figura 1.1 fornece uma visão geral dos quaro modelos aneriormene descrios. Axiomáica Empírica Descriiva Normaiva Descriiva Normaiva Figura 1.1 Modelos de pesquisa quaniaivos. Fone: Auor. O modelo de pesquisa uilizado nese rabalho (PQAN), é caracerizado aravés de cinco fases disinas conforme abaixo e ilusrado pela figura 1.2: Modelo Conceiual: corresponde à descrição sucina das caracerísicas do processo operacional a ser esudado, sendo o problema analisado, claramene posicionado com relação à lieraura cienífica. Convém ressalar, que a relevância da pesquisa pode ser idenificada aravés do esudo de uma nova variane do problema, bem como aravés do esudo de um problema aneriormene conhecido, mas provendo uma nova e em alguns aspecos melhor solução ao problema. Nese rabalho, esa fase poderá ser enconrada no

25 Capíulo 1 Inrodução 24 início do capíulo 2, quando feia a idenificação do problema relacionado ao cálculo do risco envolvido em invesimenos e sua necessidade de esudo. Especificação do Modelo Cienífico: ese modelo, baseado na fase anerior, deve esar descrio formalmene em ermos maemáicos. A qualidade cienífica da pesquisa é principalmene deerminada pela oimização do resulado desa fase. No caso específico da PQAN, oimização corresponde à aproximação do resulado à melhor solução possível do problema. Os capíulos 2 e 3 são dedicados à modelagem do problema analisado aravés da simulação de Mone Carlo e lógica fuzzy. Solução do Modelo: corresponde a resolução das equações proposas pelo modelo cienífico. O capíulo 4 Esudo de Caso será uilizado para demonsrar como as equações definidas aneriormene enconram aplicação em siuações reais. Prova da Solução: esa fase esá baseada na análise maemáica da solução, buscando alcançar ala qualidade na pesquisa. A prova da solução deve ser aplicada aravés de criérios pariculares à área da maemáica uilizada durane a formulação do seu modelo cienífico. Como ese rabalho essencialmene revela um caráer comparaivo enre os méodos analisados, a prova das soluções, compreenderão a comparação enre os resulados apresenados por cada méodo, apresenada no final do capíulo 4. Conribuições da Solução ao Modelo Conceiual: a úlima fase da pesquisa visa expliciar os avanços conseguidos pela resolução do modelo cienífico em relação ao modelo conceiual real, e esá descria no capíulo 5.

26 Capíulo 1 Inrodução 25 Conceiualização Modelo Conceiual Modelameno Realidade, Problema Feedback Modelo Cienífico Solução Solução do Modelo Figura 1.2 Fases para pesquisa quaniaiva normaiva. Fone: Auor. 1.6 ESTRUTURA DO TRABALHO O primeiro capíulo, a Inrodução, demonsra as jusificaivas, os objeivos, o problema analisado, a solução proposa, a meodologia a ser empregada, bem como as limiações previsas no rabalho. O segundo capíulo, a Revisão Bibliográfica, inicia com uma revisão sobre os méodos de simulação, em especial o méodo de Mone Carlo e algumas de suas varianes, bem como as siuações onde é aplicado. Em seguida, descreve os conceios fuzzy relaivos à consrução da lógica e especialmene das operações enre os elemenos fuzzy. O capíulo rês aborda os conceios aneriormene descrios no capíulo anerior relacionados à lógica fuzzy, porém aplicados direamene à análise de invesimenos. O capíulo quaro apresena um caso real onde foram aplicados os dois méodos de análise de invesimenos, buscando nos resulados obidos, informações que permiissem uma análise comparaiva enre eses. O quino capíulo expressa as conclusões relacionadas à aplicação, bem como conribuições alcançadas e recomendações para fuuros rabalhos.

27 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 2.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS Ese capíulo demonsra a aualidade com relação aos méodos para análise de risco em invesimenos, descrevendo os modelos de simulação probabilísicos, dos quais daremos ênfase à chamada simulação de Mone Carlo e o modelo deerminísico/possibilísico baseado na lógica fuzzy. Algumas verenes originárias da simulação de Mone Carlo, ambém serão ciadas, aproveiando-se o esudo comparaivo realizado por Saliby e Moreira (2001). São elas: simulação de Quase-Mone Carlo e Amosragem Descriiva. Nese conexo, visualiza-se com clareza a disinção enre a naureza das variáveis que alimenam os modelos maemáicos consruídos para a previsão do risco envolvido, e que serão considerados nese rabalho: probabilísica para o méodo de simulação de Mone Carlo e deerminísica/possibilísica para o méodo baseado na lógica fuzzy. Modelos deerminísicos endem a simplificar o objeo de esudo, pois ignoram a possibilidade de variação dos dados de enrada, aribuindo um único valor a cada variável do modelo. Porém a lógica fuzzy inroduz novos conceios, como as variáveis lingüísicas e a disribuição de possibilidades para eses valores, que melhoram a acurácia dos cálculos envolvidos na análise. Segundo Corrar (1993), os chamados modelos probabilísicos ou esocásicos, consideram uma disribuição de probabilidades para suas variáveis de enrada, ao invés de um único valor, gerando como resulado, uma disribuição de probabilidades para a(s) variável(is) de saída. Esa siuação é exremamene úil, pois reraa com grande veracidade a realidade do ambiene onde ais análises esão inseridas.

28 Capíulo 2 Revisão Bibliográfica ANÁLISE DE INVESTIMENTOS SOB SITUAÇÕES DE RISCO E INCERTEZA Grande é a diversidade de faores que levam ao risco ou à incereza. Podemos denre eles ciar os faores políicos, problemas inrínsecos das organizações com relação à adminisração dos seus projeos, os chamados faores écnicos ou relaivos à função produção da organização, os faores financeiros e finalmene os faores econômicos (Pamplona, Monevechi, 2001). As variações que ais faores inroduzem no cálculo do risco envolvido no invesimeno provocam dúvidas quano à validade dos resulados obidos. Assim sendo, faz-se necessária a quanificação e o correo enendimeno da origem desas dúvidas. Segundo Pamplona e Monevechi (2001), a condição de incereza é caracerizada quando as variações relacionadas aos componenes do fluxo de caixa esudado não podem ser previsas com exaidão, ou seja, não é possível descrever uma disribuição de probabilidades para ais variáveis. O méodo mais comum para avaliar alernaivas disinas de invesimenos em ais circunsâncias é a chamada análise de sensibilidade. Quando é possível descrever a disribuição de probabilidades desas variáveis, considera-se enão a siuação de risco, sendo uilizados os chamados modelos de simulação para cálculo dese risco. Não farão pare do escopo dese rabalho, a condição de incereza descria aneriormene, nem os modelos uilizados na sua avaliação. Volaremos nossas aenções às siuações onde se pode descrever probabilisicamene esas variáveis de enrada, gerando conseqüenemene uma função de densidade probabilísica resulane. No caso do algorimo fuzzy, apesar dos valores de enrada não possuírem o caráer descrio acima, sua naureza possibilísica ao considerar a incereza a eles relacionada, faz com que os resulados gerados apresenem uma confiabilidade superior aos dados puramene deerminísicos (Cox, 1995).

29 Capíulo 2 Revisão Bibliográfica A SIMULAÇÃO APLICADA À ANÁLISE DE RISCO EM INVESTIMENTOS Méodos de simulação consisem na consrução do modelo maemáico para a(s) variável (is) dependene(s), radução dese modelo para uma linguagem compuacional, execução do modelo aravés da inrodução de funções de probabilidade conhecidas e finalmene na colea de resulados. Denre os méodos ou écnicas exisenes para a análise do risco em invesimenos, a simulação vem sendo cada vez mais uilizada, devido principalmene a dois faores segundo Saliby (1989): a complexidade dos problemas econômico/financeiros em crescido grandemene, bem como a evolução ecnológica dos recursos compuacionais. Assim sendo, cria-se um ambiene propício ao uso inenso das écnicas de simulação deses sisemas, sendo que a cada dia novos algorimos ou roinas são criados, na enaiva de se conseguir alguma melhoria seja no empo de processameno dos dados, seja na precisão dos resulados obidos. Aliás, ais assunos, empo de processameno e precisão nos resulados, quando relacionado às écnicas de simulação, sempre foram lembrados como moivos de desvanagem em relação a ouras écnicas (Saliby 1989). Porém, com o adveno dos compuadores de alíssimo desempenho, os empos de processameno foram reduzidos consideravelmene, e a precisão nos resulados, foi apurada aravés de écnicas de redução de variância em conjuno ao maior número de ierações que ais compuadores podem realizar. Por ouro lado, a flexibilidade ou a capacidade de adapação desa écnica, faz com que seja aplicável à grande maioria dos problemas em geral, além é claro dos relacionados à área econômico/financeira. Quando aplicada à análise do risco envolvido em invesimenos, a simulação assume uma conoação de experimenação numérica baseada em modelos lógico-maemáicos, buscando aravés de cálculos repeiivos, gerar grandes disribuições de probabilidades. Segundo Saliby (1989), pode-se classificar o ermo simulação em rês subgrupos, a saber:

30 Capíulo 2 Revisão Bibliográfica 29 Deerminísica ou probabilísica, sendo que uma simulação será chamada deerminísica, quando odas as variáveis envolvidas nos cálculos possuírem um caráer deerminísico, ou seja, não exise a possibilidade de assumirem ouro valor, a não ser aquele aribuído inicialmene. Caso o modelo esudado conenha uma ou mais variáveis que aleaoriamene ou não, possam assumir diversos valores em função de uma disribuição de probabilidades conhecida, esa será chamada de simulação probabilísica ou esocásica. Esáica ou dinâmica, referindo-se à reação do sisema analisado em relação ao faor empo. Quando esse faor não for preponderane ao sisema, ou seja, o sisema não se alera exclusivamene devido ao incremeno dese faor, a simulação dese será dia esáica. Porém quando o sisema for suscepível à variação do empo, a respeciva simulação será denominada dinâmica. Nese caso, ainda exise a possibilidade do incremeno emporal ser consane, como é o caso das simulações financeiras, ou variáveis, como é o caso de simulações em operações de sisemas, onde os acréscimos de empo levam o sisema a um eveno fuuro pré-deerminado. Discrea ou conínua, classificando o ermo simulação com relação à aualização das variáveis do sisema. Em uma simulação discrea, as variáveis do sisema esudado são aualizadas em evenos consecuivos, porém finios. Admie-se que o sisema não se modifica no inervalo compreendido enre eses evenos. Na chamada simulação conínua, o incremeno de empo é ido como realmene conínuo, sendo que o sisema é aualizado sem inervalos enre os evenos.

31 Capíulo 2 Revisão Bibliográfica SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO A simulação de Mone Carlo é um dos inúmeros méodos uilizados na resolução de problemas envolvendo dados probabilísicos ou esocásicos. Surgiu em meados de 1944, durane a Segunda Guerra Mundial, endo como objeivo, propor um méodo alernaivo para a resolução de problemas envolvendo inegrais múliplas. Noa-se enão que inicialmene, a inenção de seus idealizadores (Von Neumann e Ulam), era resolver um problema maemáico de naureza esriamene deerminísica aravés da geração de seqüências de números aleaórios. Logo a seguir, verificou-se sua aplicabilidade nas mais diversas áreas de modelagem. Tocher foi um dos primeiros a aplicar eses conceios na simulação de processos (Saliby 1989). Sua aplicação na análise de invesimenos se inicia com David B. Herz em 1974, época de publicação do seu arigo Risk Analysis In Capial Invesmen na revisa Harvard Busines Review. (Junqueira e Pamplona, 2002). Porém é imporane noar, que o processo de simulação propriamene dio não realiza a avaliação do risco envolvido em um invesimeno. A função da écnica de simulação é gerar disribuições de probabilidades para a variável de saída desejada, baseada em relações maemáicas pré-esabelecidas. Por isso, sempre deverá esar agregado à écnica de simulação um ouro méodo responsável por analisar as disribuições de probabilidade geradas, e quanificar o risco. No caso da simulação de Mone Carlo, normalmene se uiliza um dos méodos radicionais para análise de invesimenos, agregados aos procedimenos de simulação. Tais méodos são amplamene conhecidos, e apresenam como principal caracerísica sua simplicidade no manuseio por considerarem as variáveis presenes no sisema em esudo exaas, ou seja, isenas da possibilidade de sofrer qualquer variação em seu valor. Uma vez inseridos no conexo probabilísico da simulação, ais méodos fornecem como resulados, disribuições de probabilidades para as variáveis de saída, conforme já mencionado.

32 Capíulo 2 Revisão Bibliográfica 31 Quaro são os méodos uilizados com freqüência na análise deerminísica de invesimenos e enconrados com facilidade na lieraura relacionada. Hirschfeld (1998) e Sanvicene (1997) os descrevem como: o méodo do Valor Presene Líquido (VPL), ambém conhecido como méodo do Valor Aual, corresponde ao ranspore para a daa zero de um diagrama de fluxos de caixa, ou seja, de odos os recebimenos e desembolsos esperados, desconados à axa de juros considerada (Figura 2.1). Dese modo, podemos dizer que, ese méodo baseia-se na ransferência para o presene de odas as possíveis variações no fluxo de caixa, desconadas da chamada TMA (Taxa Mínima de Araividade) Fluxo de caixa previso / inicial Transferência dos valores para a daa zero desconando a axa de juros Fluxo equivalene. Figura 2.1 Valor Presene Líquido (VPL). Fone: Auor.

33 Capíulo 2 Revisão Bibliográfica 32 VPL = P n = 0 1+ ( r) (2.1) Na equação 2.1, em-se que: VPL = Valor Presene Líquido; P = cada um dos valores envolvidos no fluxo de caixa considerado; r = axa de juros aplicada (TMA); = Número de períodos compreendido pelo fluxo de caixa em análise. O segundo méodo, chamado de Valor Fuuro Líquido (VFL), corresponde à ransferência para a daa fuura (normalmene no final do período esipulado para esudo do fluxo de caixa), de odos os recebimenos e desembolsos esperados, desconados à axa de juros considerada (figura 2.2) Fluxo de caixa previso / inicial Transferência dos valores para a daa fuura desconando a axa de juros n Fluxo equivalene Figura 2.2 Valor fuuro líquido (VFL). Fone: Auor.

34 Capíulo 2 Revisão Bibliográfica 33 O procedimeno de cálculo é bem parecido com o do méodo anerior, sendo expliciado pela equação 2.2. VFL = n = 0 ( + ) P 1 r (2.2) Na equação 2.2, em-se: VFL = Valor Fuuro Líquido. O erceiro méodo, chamado de Valor Uniforme Líquido (VUL), corresponde à ransformação de odos os componenes do fluxo de caixa do invesimeno considerado, em uma série uniforme de pagamenos equivalene, desconados à axa de juros (TMA) (figura 2.3) Fluxo de caixa previso / inicial Transferência dos valores para uma série uniforme de pagamenos Fluxo equivalene Figura 2.3 Valor Uniforme Líquido (VUL). Fone: Auor.

35 Capíulo 2 Revisão Bibliográfica 34 Nese caso, pode-se inicialmene ransporar odo o fluxo para a daa aual (daa zero) uilizando a equação (2.1), e poseriormene, aplicar a equação 2.3 para ransformar o valor presene calculado, em uma série uniforme para o período. ( 1+ r) ( 1+ r). r VUL = VPL. (2.3) 1 Na equação 2.3, em-se: VUL = Valor Uniforme Líquido; VPL = Valor Presene Líquido. O quaro méodo, chamado de Taxa Inerna de Reorno (TIR), corresponde em realizar os cálculos necessários para se descobrir qual é a axa que orna nulo o valor presene líquido (VPL) do invesimeno. Esa axa que faz com que VPL seja nulo, é a chamada Taxa Inerna de Reorno, devendo ser comparada à Taxa Mínima de Araividade para fins de decisão sobre a viabilidade do invesimeno. Assim, uilizando a equação 2.1 e aribuindo o valor zero para o VPL, obemos: n VPL = 0 (2.4) = = 0 P ( 1+ r) Deve-se enão calcular a axa (r), que orna a equação 2.4 verdadeira. Tal valor é chamado de Taxa Inerna de Reorno. Nos rês primeiros casos (VPL, VFL e VUL), o invesimeno é considerado viável caso o respecivo valor calculado seja maior que zero, e ão melhor quano maior for ese valor.

36 Capíulo 2 Revisão Bibliográfica 35 A avaliação do risco envolvido nos rês casos é uma função do valor calculado (VPL, VFL, VUL, TIR) em comparação à sua disância do valor limie (zero para os dois primeiros e a TMA para o úlimo). É claro que se considerarmos esses méodos disinos da simulação esaremos reornando ao chamado modelo deerminísico, que julgamos não ser o mais adequado, pois cada variável do fluxo de caixa seria descria aravés de um único valor, deixando de lado informações imporanes para a análise. Quando, porém, admiimos que os respecivos valores de enrada do modelo (Invesimeno inicial, Vida do projeo, Pagamenos, ec) são passíveis de variações, ais méodos se mosram incapazes de lidar com ais siuações. Assim, faz-se necessária a uilização da simulação como ferramena fundamenal no rao das disribuições de probabilidades desas variáveis, que passam a er como dados de enrada valores esocásicos, gerando assim resulados da mesma forma probabilísicos (Figuras 2.4a e 2.4b). A diferença noada no cálculo do risco para esa nova siuação, é que o valor calculado seja ele VPL, VFL, VUL ou TIR, não será único, mas sim uma média enre os valores obidos durane a simulação. Isso quer dizer que quando for calculada a disância deses valores médios a seu valor limie para invesimeno aceiável, eses valores médios obidos durane a simulação, serão os responsáveis pela nova abordagem probabilísica do modelo n I 0 = Invesimeno Inicial Modelo Deerminísico: I 0 = $50.000,00 Figura 2.4a Modelo Deerminísico em relação à variável Valor Inicial I 0. Fone: Auor.

37 Capíulo 2 Revisão Bibliográfica n I 0 = Invesimeno Inicial Modelo Probabilísico: Variável Valor ($) Probabilidade ,00 15% I ,00 60% ,00 20% ,00 5% Figura 2.4b Modelo Probabilísico em relação à variável Valor Inicial I 0. Fone: Auor. Junqueira e Pamplona (2002), descrevem uma seqüência lógica para a consrução de um modelo de avaliação do risco envolvido em invesimenos, aravés do Valor Presene Líquido (VPL) e da simulação de Mone Carlo, conforme Figura 2.5. Tal modelo será uilizado e cada uma das suas eapas descrias a seguir: O primeiro passo, corresponde à elaboração do modelo maemáico para variável dependene. O pono de parida para a consrução do modelo de avaliação do risco envolvido no invesimeno é decidir qual méodo maemáico esará envolvido no cálculo - VPL, VFL, VUL ou TIR. Uma vez deerminado qual será o méodo uilizado, as equações que relacionam os diversos componenes do fluxo de caixa do invesimeno devem ser elaboradas.

38 Capíulo 2 Revisão Bibliográfica 37 O segundo passo, corresponderia ao conhecimeno das disribuições de probabilidades das variáveis de independenes. Nese pono exise um marco, uma divisão clara enre o modelo deerminísico e o probabilísico, pois o primeiro não exige o conhecimeno das probabilidades de ocorrência dos valores de cada variável. Na realidade, ele nem mesmo leva em consideração a possibilidade de ocorrer ouro valor a não ser aquele esimado para a variável. Já o segundo, esabelece como premissa a necessidade de se conhecer não somene o chamado valor mais provável, mas ambém os demais valores possíveis para a variável em quesão, formando desa maneira a sua disribuição de probabilidades. A seguir, procede-se ao cálculo das disribuições de probabilidades acumuladas. Ese cálculo, realizado para cada variável de enrada (independene) faz-se necessário, pois será aravés deses valores, comparados às probabilidades aleaórias geradas pelo processo de simulação, deerminar cada um dos valores desas variáveis independenes durane a aplicação das equações para o cálculo das variáveis de saída (dependenes). Um exemplo de disribuição de probabilidades acumuladas será demonsrado a seguir para o exemplo do modelo probabilísico da figura 2.4: Tabela 2.1: Probabilidades Acumuladas para a variável Invesimeno Inicial I 0 Variável Valor ($) Probabilidade Probabilidade Acumulada ,00 15% 15% ,00 60% 75% I ,00 20% 95% ,00 5% 100%

39 Capíulo 2 Revisão Bibliográfica 38 O quaro passo consise na geração de números aleaórios, objeivando aravés de abelas de números aleaórios (ou quase-aleaórios como será viso mais adiane), ou planilhas elerônicas, que seja obido um conjuno de valores passíveis de comparação com as probabilidades acumuladas da eapa anerior. Os valores gerados nesa eapa devem ser compaíveis com os valores aos quais serão comparados (devem esar conidos no inervalo 0-100%). O processo para geração de números aleaórios em uma influência muio grande no resulado do cálculo simulacional. Saliby (1989), demonsra que vanagens significaivas com relação à precisão dos valores calculados podem ser conseguidas, se o processo puramene aleaório for subsiuído pela chamada amosragem descriiva durane a geração deses valores. Ouros méodos podem ser uilizados caso seja necessário uma maior precisão nos resulados. Mais adiane, serão comenados alguns deses méodos, originados na Simulação de Mone Carlo, mas que objeivam um maior conrole do processo de geração deses números. A abela 2.2 demonsra a uilização de números puramene aleaórios gerados pela planilha elerônica Excel aravés da função inerna ALEATORIO (), e o valor aribuído para ais valores e as probabilidades acumuladas. Tabela 2.2: Números aleaórios e valores correspondenes Variável Valor Aleaório (Probabilidade Acumulada %) Valor Aribuído ,00 I , , ,00

40 Capíulo 2 Revisão Bibliográfica 39 Durane o quino passo, procede-se ao cálculo da(s) variável(is) independene(s). Tomando enão os valores provenienes da comparação enre os números aleaórios gerados e as respecivas probabilidades acumuladas para odas as variáveis de enrada, aplicam-se as equações que relacionam ais variáveis enre si, dando origem à variável de saída ou dependene. No sexo passo, repee-se o processo a parir do quaro passo, criando-se a chamada disribuição de probabilidades para a variável de saída (dependene), permiindo o cálculo poserior do risco envolvido. Recorrendo ao Teorema Cenral do Limie, podemos afirmar que para uma disribuição não normal D, com média M(D) e desvio padrão S(D), para amosras de amanho n suficienemene grande, a disribuição da média amosral é aproximadamene Normal N(0,1), ou seja, para casos onde o número de repeições dos cálculos das variáveis dependenes for muio grande, a disribuição das médias amosrais resulane será aproximadamene Normal. Finalmene, procede-se ao cálculo da probabilidade de inviabilidade do invesimeno, pois uma vez conhecida a disribuição de probabilidades da variável de saída, pode-se calcular a probabilidade de um resulado nulo ou negaivo para esa variável fazer pare da disribuição de probabilidades Normal obida. Para melhor compreensão, pode-se visualizar cada um dos passos aneriormene descrios, aravés da figura 2.5.

41 Capíulo 2 Revisão Bibliográfica 40 Elaborar modelo maemáico da variável dependene (VPL, VUL, TIR) Conhecer as disribuições de probabilidades das variáveis independenes Calcular disribuições de probabilidades acumuladas Gerar números aleaórios Calcular variável dependene Repeir o processo várias vezes, criando uma disribuição de probabilidades para a variável dependene Cálculo da inviabilidade envolvida no invesimeno Figura 2.5 Eapas da avaliação do risco aravés do VPL e Simulação de Mone Carlo. Fone: Auor.

42 Capíulo 2 Revisão Bibliográfica 41 No capíulo 4, será demonsrada a aplicação dese méodo em uma empresa manufaureira do seor auomoivo, aravés de um esudo de caso. Porem, as eapas conidas na figura 2.5 poderão ser melhor compreendidas, quando observadas no exemplo abaixo. Suponha-se enão, que deerminado projeo venha sendo esudado por uma empresa, com relação ao lançameno de um novo produo no mercado. O primeiro passo a ser dado conforme a figura 2.5, consise em elaborar o modelo maemáico no qual esará baseada a análise de viabilidade econômica do invesimeno. Nese caso, será uilizado o méodo do valor presene líquido (VPL) conforme equação 2.1 aneriormene explicada. As informações necessárias ao esudo econômico/financeiro esão apresenadas na abela 2.3, e compõe a segunda eapa, junamene com o valor a ser adoado pela empresa como axa mínima de araividade (TMA) que será de 10 % a.a. Tabela 2.3: Disribuição de probabilidades para variáveis de enrada (independenes) Invesimeno Inicial Benefícios Anuais Valor Residual Vida Econômica (R$) (R$) (R$) (Anos) Valor (R$) Prob. (%) Valor (R$) Prob. (%) Valor (R$) Prob. (%) Valor (R$) Prob. (%) , , , , , , ,00 60 Uma vez conhecidas às disribuições de probabilidades para as variáveis independenes, podese realizar o cálculo da disribuição de probabilidades acumuladas, conforme abela 2.4.