UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA

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1 ANÁLISE NUMÉRICA NÃO-LINEAR DE ELEMENTOS DE CONCRETO ESTRUTURAL CONSIDERANDO A VARIAÇÃO DE ADERÊNCIA WASHINGTON GULTENBERG DE MOURA LUKE DISSERTAÇÃO DE MESTRADO EM ESTRUTURAS E CONSTRUÇÃO CIVIL DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL FACULDADE DE TECNOLOGIA UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA i

2 UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA FACULDADE DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL ANÁLISE NUMÉRICA NÃO-LINEAR DE ELEMENTOS DE CONCRETO ESTRUTURAL CONSIDERANDO A VARIAÇÃO DE ADERÊNCIA WASHINGTON GULTENBERG DE MOURA LUKE ORIENTADOR: DSc. LUCIANO MENDES BEZERRA DISSERTAÇÃO DE MESTRADO EM ESTRUTURAS E CONSTRUÇÃO CIVIL PUBLICAÇÃO: E.DM-018A/15 BRASÍLIA/DF: AGOSTO 015 ii

3 UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA FACULDADE DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL ANÁLISE NUMÉRICA NÃO-LINEAR DE ELEMENTOS DE CONCRETO ESTRUTURAL CONSIDERANDO A VARIAÇÃO DE ADERÊNCIA WASHINGTON GULTENBERG DE MOURA LUKE DISSERTAÇÃO DE MESTRADO SUBMETIDA AO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL DA FACULDADE DE TECNOLOGIA DA UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM ESTRUTURAS E CONSTRUÇÃO CIVIL. APROVADO POR: Profeor Luciano Mende Bezerra, DSc. (UnB) (Orientador) Prof. Paulo Chave de Rezende Martin, Dr. ECP (UnB) (Co-orientador) Prof. Joé Manoel Morale Sánchez, DSc. (UnB) (Examinador Externo) Prof. Marco Honorato de Oliveira, DSc. (UnB) (Examinador Interno) BRASÍLIA, AGOSTO/015. iii

4 FICHA CATALOGRÁFICA LUKE, WASHINGTON GULTENBERG DE MOURA Análie numérica não-linear de elemento de concreto etrutural coniderando a variação de aderência [Ditrito Federal] 015. xviii, 148p., 10 x 97 mm (ENC/FT/UnB, Metre, Etrutura e Contrução Civil, 015). Diertação de Metrado Univeridade de Braília. Faculdade de Tecnologia. Departamento de Engenharia Civil e Ambiental. 1.Concreto etrutural.aderência 3.Análie etrutural 4.Análie numérica I. ENC/FT/UnB II. Título (érie) REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA LUKE, W. G. M. (015). Análie numérica não-linear de elemento de concreto etrutural coniderando a variação de aderência. Diertação de Metrado em Etrutura e Contrução Civil, Publicação E.DM-018A/15, Departamento de Engenharia Civil e Ambiental, Univeridade de Braília, Braília, DF, 148p. CESSÃO DE DIREITOS AUTOR: Wahington Gultenberg de Moura Luke TÍTULO: Análie numérica não-linear de elemento de concreto etrutural coniderando a variação de aderência. GRAU: Metre ANO: 015 É concedida a Univeridade de Braília permião para reproduzir cópia deta diertação de metrado e para empretar ou vender tai cópia omente para propóito acadêmico e científico. O autor reerva outro direito de publicação e nenhuma parte dea diertação de metrado pode er reproduzida em autorização por ecrito do autor. Wahington Gultenberg de Moura Luke SQN 103, Bloco E, Apto Aa Norte , Braília - DF wvcluke@gmail.com iv

5 Dedico ete trabalho a minha amada e dedicada epoa Valéria, a minha querida filha Victória e ao meu filho Caio. Sem você nada eria poível. v

6 AGRADECIMENTO Agradeço primeiramente a Deu por etar empre comigo neta jornada, me dando aúde, força, abedoria, inteligência e por empre derramar ua bênção obre mim no momento mai difícei. Agradeço também à peoa que me apoiaram neta caminhada, onde buco realizar parte de meu onho; amigo que proporcionaram meu crecimento peoal e profiional, atravé de conelho, orientaçõe e palavra tranquilizadora em momento turbulento. Agradeço o abraço fraterno e a atenção a mim dipenada. Também, expreo aqui, meu verdadeiro, cordial e afetuoo agradecimento: - À minha família, epoa e filho, que empre me apoiaram na buca de meu onho, etando ao meu lado em todo o momento e deciõe tomada, nunca e furtando ao enfrentamento da dificuldade colocada em noa vida, empre com um belo orrio, um carinhoo abraço e um gentil beijo! Você ão a bae de minha vida, em você não teria coneguido. Amo muito você: VALERIA, VICTÓRIA e CAIO. - Ao meu orientador, Profeor Dr. Luciano Mende Bezerra, que dedicou parte de eu tempo, ajudando-me a chegar ao final dete trabalho. Com ua paciência, dedicação e apiência, conduziu-me em todo o momento deta pequia. Obrigado pela ajuda na concretização de mai um onho! - Ao Profeor Dr. Paulo Chave de Rezende Martin que fez parte de minha caminhada no Programa de Pó-Graduação em Etrutura e Contrução Civil da Univeridade de Braília, tranferindo parte de eu conhecimento, para que eu me torne um profiional mai preparado e que em vário momento me acalmaram na dificuldade enfrentada. Meu muito obrigado! - Ao meu amigo do PECC, em epecial, ao colega Virle Lemo de Souza que me apoiou neta traveia e que na dificuldade me acalmava com eu conelho e que na hora de alegria tranformou momento de decontração em marca inequecívei. - Ao meu amigo Capitão Paiva Rodrigue por me apoiar na decião de continuar no etudo e na defea da diertação. É nea hora que reconhecemo um grande amigo. vi

7 Combati o bom combate, terminei a corrida, mantive a fé. vii Timóteo 4:7

8 RESUMO ANÁLISE NUMÉRICA NÃO-LINEAR DE ELEMENTOS DE CONCRETO ESTRUTURAL CONSIDERANDO A VARIAÇÃO DE ADERÊNCIA. Ete trabalho apreenta o deenvolvimento de um ambiente computacional voltado à análie numérica não-linear de elemento de concreto etrutural (armado e/ou protendido) coniderando a variação de aderência. O programa realiza o cálculo do equilíbrio de elemento de viga de concreto etrutural, limitado por dua eçõe de decontinuidade conecutiva (fiura ou junta aberta), levando-e em conta o delizamento aço-concreto, quando não é mai poível conervar a hipótee de Bernoulli-Navier. O oftware deenvolvido na linguagem MATLAB permite a comparação entre o Modelo da Aderência Perfeita (MAP) e o Modelo da Aderência Variável (MAV), para um memo elemento de viga, ervindo de previor para enaio e análie de comportamento de peça de concreto etrutural ubmetida a eforço de flexo-compreão reta. São empregado vário método e técnica de cálculo numérico para obtenção do equilíbrio do elemento de concreto etrutural, tanto no MAP como no MAV. Para o deenvolvimento da rotina do MAV foi utilizada a bae teórica do etudo de REZENDE MARTINS, P.C. Modeliation du Comportement Juqu à la Rupture en Flexion de Poutre en Béton a Précontrainte Exterieure ou Mixte. Thèe de Doctorat Mécanique de Sol et Structrure - Ecole Centrale de Art et Manufacture de Pari, França, Para validação do programa propoto foram realizado vário tete numérico, comparando-e o reultado do programa com dado cláico diponívei na literatura. No cao do MAV, comparou-e o reultado com aquele apreentado por COHN, M.Z. & RIVA, P. no trabalho intitulado A Comprehenive Stud of the Flexural Behaviour of Structural Concrete Element, p Coro di Perfezionamento per le Cotruzioni in Cemento Armato, Fratelli Peenti, Politecnico di Milano, Itália. Studi e Ricerche Vol. 9, Como concluão do preente etudo, pode-e motrar que o MAP, que trata de elemento de concreto com armadura interna perfeitamente aderente, é um cao particular do MAV. Ito acontece quando o eixo de delocamento longitudinal nulo e confunde com a linha neutra de deformação. No cao geral, o primeiro é ditinto do egundo em razão da variação da poição do eixo neutro ao longo da viga devida à ingularidade contituída pela fiura/junta. viii

9 ABSTRACT NON-LINEAR NUMERICAL ANALYSIS OF STRUCTURAL CONCRETE ELEMENTS CONSIDERING ADHERENCE VARIATION Thi reearch how the development of a computing environment facing toward the nonlinear numerical anali of tructural (reinforced and/or pretreed) concrete element conidering adherence variation. The program calculate the balance of beam tructural concrete element, limited b two traight ection of dicontinuit (crack or open joint), minding the teel-concrete liding when Bernoulli-Navier hpothei i no longer poible to be conerved. The oftware developed in MATLAB allow comparion between Perfect Adherence Model (MAP) and Variable Adherence Model (MAV) to a ame beam element, being ued a a predictor for tet and tructural concrete piece behavior anali when ubmitted traight flexo-compreion effort. A major et of method and technique of numerical calculation are ued to obtain balance on tructural concrete element both in MAP and MAV. To develop MAV routine, the theoretical bai of the tud from REZENDE MARTINS, P.C Modeliation du Comportement Juqu à la Rupture en Flexion de Poutre en Béton a Précontrainte Exterieure ou Mixte. Thèe de Doctorat Mécanique de Sol et Structrure - Ecole Centrale de Art et Manufacture de Pari, France, 1989, wa ued. In order to validate the propoed program, man numerical tet were made, comparing thoe program reult with claic data available in the literature. In MAV cae, the reult are compared with thoe hown b COHN, M.Z. & RIVA, P. at work entitled A Comprehenive Stud of the Flexural Behaviour of Structural Concrete Element, p Coro di Perfezionamento per le Cotruzioni in Cemento Armato, Fratelli Peenti, Politecnico di Milano, Ital. Studi e Ricerche Vol. 9, To conclude thi tud, it can be hown that MAP, which deal with concrete element with a perfectl gripped internal armor, i a particular cae of MAV. Thi happen when the null longitudinal diplacement axi i mitaken with the neutral axi of deformation. In general, the firt axi i different from the econd due the neutral axi poition variation along the beam becaue of the ingularitie of each crack/joint. ix

10 Sumário 1 - INTRODUÇÃO JUSTIFICATIVA OBJETIVOS Geral Epecífico... - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA LEIS DE COMPORTAMENTO DOS MATERIAIS Claificação do tipo de concreto Diagrama de tenão veru deformação FENÔMENO DE ADERÊNCIA AÇO-CONCRETO Generalidade Hitórico do fenômeno de aderência Lei de tenão de aderência entre aço e concreto EQUILÍBRIO DE ELEMENTO DE CONCRETO ESTRUTURAL CONSIDERANDO O MODELO DE ADERÊNCIA PERFEITA (MAP) Generalidade Hipótee de cálculo Equaçõe gerai Seçõe de concreto etrutural ujeita a flexo-compreão Comprimento de ancoragem de barra tracionada Método de cálculo Integração numérica Caracterítica geométrica da eçõe tranverai Diagrama de Cálculo EQUILÍBRIO DE ELEMENTO DE CONCRETO ESTRUTURAL CONSIDERANDO O MODELO DE ADERÊNCIA VARIÁVEL (MAV) Generalidade x

11 .4. - Hipótee de cálculo Equaçõe gerai Algoritmo de Cálculo do Modelo de Aderência Variável (MAV) Correlação entre MAP e MAV METODOLOGIA DE DESENVOLVIMENTO DO CARPE Decrição do Programa CARPE Decrição do Programa CARPE VALIDAÇÃO DOS RESULTADOS DE CARPE PROGRAMA CARPE E ÁBACOS DE PFEIL E DE VENTURINI (Aderência Perfeita) PROGRAMA CARPE E PROGRAMA MOCURO (Aderência Variável) Programa CARPE - Modelo de MARTINS (Aderência Variável) Programa MOCURO - Modelo de COHN E RIVA (Aderência Variável) CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES PARA PESQUISAS FUTURAS CONCLUSÕES GERAIS RECOMENDAÇÕES PARA PESQUISAS FUTURAS REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANEXO A - ROTEIRO PARA CÁLCULO DE USB e εsb ANEXO B - TESTES DO SUBPROGRAMA ADHERE ANEXO C - EXEMPLOS DE GRÁFICOS GERADOS PELO CARPE (MAP) ANEXO D - CÓDIGO FONTE MOMENTO CURVATURA (MAP) xi

12 LISTA DE TABELAS Tabela. 1 - Valore etimado de módulo de elaticidade em função da reitência caracterítica à compreão do concreto (coniderando o uo de granito como agregado graúdo) (Fonte: NBR 6118:014)...8 Tabela. - Parâmetro para definição da curva tenão de aderência veru delizamento para barra nervurada (Fonte: CEB-FIB 010) Tabela A. 1 Entrada de Adhere Tabela A. Unidade de CARPE Tabela B. 1 - Dado tenão de aderência-delizamento (Fonte: MARTINS,1989) Tabela B. - Dado de entrada para ubprograma Adhere Tabela B. 3 Deformação de acordo com LV e USB LISTA DE FIGURAS Figura Elemento de concreto entre dua fiura (Fonte: MARTINS, 1989)...1 Figura Diagrama tenão-deformação idealizado para o concreto a compreão (Fonte: NBR 6118/14)...7 Figura.1. - Diagrama tenão-deformação do concreto para compreão uniaxial. (Fonte: CEB, 1990)...9 Figura Diagrama tenão-deformação bilinear na tração (Fonte: NBR 6118/14) Figura Diagrama σc - ɛc para o concreto na zona tracionada Figura Diagrama tenão-deformação real do aço braileiro. (Fonte: ABNT NBR) Figura Diagrama tenão-deformação para aço de armadura paiva com ou em patamar de ecoamento (CA-5, CA-50 e CA-60) Figura Diagrama tenão-deformação para aço de armadura ativa Figura Diagrama tenão-deformação para aço de armadura ativa Figura..1 - Fiuração por tração (Fonte: FUSCO, 1995) xii

13 Figura.. - Aderência por adeão (Fonte: FUSCO, 1995) Figura..3 - Aderência por atrito (Fonte: FUSCO, 1995) Figura..4 - Interação mecânica entre a nervura da barra de aço e o concreto ao redor (Fonte: FUSCO, 1995) Figura..5 - Elemento de ligação (Fonte: NGO, 1967).... Figura..6 - Curva tenão de aderência x delizamento (Fonte: MIRZA, 1979)... 3 Figura..7 - Relação local da tenão de aderência x delizamento (Fonte: YANKELESKY, 1985) Figura..8 Elemento de concreto ubmetido a flexão compota reta. (Fonte: COHN&RIVA, 1987)... 4 Figura..9 - Curva tenão de aderência x delizamento (Fonte: MARTINS, 1989) Figura Propagação do cone formado por fiura ao redor da barra de aço. (Fonte: UIJL, 1996)... 6 Figura Etádio decorrente da propagação da fiura. (Fonte: UIJL, 1996)... 6 Figura..1 - Curva tenão de aderência x delizamento (Fonte: MIRZA, 1979) Figura Relação local da tenão de aderência x delizamento (Fonte: YANKELESKY, 1985)... 9 Figura Curva tenão de aderência x delizamento (Fonte: MARTINS, 1989) Figura Curva tenão de aderência x delizamento (Fonte: CEB-FIB, 010) Figura Equilíbrio da Seção Tranveral Figura.3. - Diagrama de deformaçõe de acordo com a hipótee de Bernoulli para peça ebelta (a eção tranveral permanece plana na deformação por flexão e o diagrama de deformação é linear). (Fonte: LEONHARDT e MÖNNING, 1977) Figura Seção tranveral em flexão compota reta. (Fonte: Autor) Figura Deformaçõe da Seção Tranveral Figura (a) Seção em concreto etrutural; (b) Ditribuição da deformaçõe na eção tranveral. (Fonte: PRAZERES, 00) Figura Tranferência de força normal para o concreto. (Fonte: UFPR, 006) Figura Tranferência de força normal para o concreto. (Fonte: UFPR, 006) xiii

14 Figura Método Newton-Raphon.(Fonte: CUNHA,1993) Figura Divião da eção tranveral Figura Diagrama tenão-deformação idealizado do concreto. (Fonte: NBR 6118/14) Figura Diagrama tenão-deformação do aço tipo A e B. (Fonte: ABNT NBR) 57 Figura Algoritmo da rotina para cálculo do eforço reitente Figura Cálculo do cg da barra de aço Figura Diagrama de Interação Momento Fletor Eforço Normal Figura Diagrama de Interação Momento Fletor Eforço Normal Figura Diagrama Eforço Normal Deformação Figura Diagrama Eforço Normal Deformação Figura Diagrama Momento Fletor Eforço Normal Curvatura Figura Viga com fiura uceiva Figura.4. - Evolução do eixo neutro de deformação e de rotação da eçõe (Fonte: MARTINS, 1989) Figura O equilíbrio de um elemento coniderando o delizamento aço-concreto (Fonte: MARTINS, 1989) Figura Aderência Aço-Concreto (Fonte: BARBOSA, 001) Figura Delizamento da armadura em relação ao concreto Figura Curva tenão de aderência x delizamento. (Fonte: MARTINS, 1989) Figura Deformação do concreto ao redor da barra (Fonte: BARBOSA, 001) Figura Perturbação local da deformaçõe decorrente da abertura de uma fiura. (Fonte: MARTINS e FOURE, 1990) Figura Caracterização do delocamento relativo da eção de junta (J) em relação à eção (V) localizada na metade da ditância até a junta eguinte. (Fonte: MARTINS e FOURE, 1990) Figura Idealização da lei de aderência-delizamento. (Fonte: MARTINS, 1989).. 89 xiv

15 Figura Evolução da tenão de aderência e do delizamento ao longo de uma viga para nívei crecente de obre-tenão do cabo interno. (Fonte: MARTINS&FOURE, 1990) Figura.4.1 Hipótee adicionai de deformação... 9 Figura Fluxograma de Equilíbrio de Elemento Etrutural (Fonte: MARTINS,1989) Figura.4.14 Equilíbrio da Seção Tranveral Figura.4.15 Correlação entre MAV e MAP Figura Tela de entrada de dado do programa CARPE Figura Tela de opçõe de aída de dado do programa CARPE Figura Dicretização da eção da viga Figura Divião da eçõe de aço e concreto Figura 3..1 Diagrama de interação momento- eforço normal Figura 3.. Diagrama momento - curvatura conhecendo-e o valor do eforço normal 104 Figura 3..3 Diagrama eforço normal deformação normal para carga variável com excentricidade fixa Figura 3..4 Diagrama eforço normal curvatura para carga variável com excentricidade fixa Figura 3..5 Diagrama momento - curvatura para carga variável com excentricidade fixa Figura Ábaco de PFEIL (1976) Figura Ábaco de VENTURINI (1987) Figura Diagrama Momento x Normal gerado pelo programa CARPE Figura Diagrama Momento x Normal gerado pelo programa CARPE Figura Diagrama Momento x Curvatura (Fonte: PRAZERES, 00) Figura Diagrama Momento x Curvatura gerado pelo CAPRE Figura Elemento de concreto etrutural etudado por COHN & RIVA (1987) xv

16 Figura Tabela utilizada no etudo de COHN E RIVA (1987) que erviu de entrada de dado para o programa CARPE Figura 4..3 Lei tenão-deformação para aço paivo e para aço ativo propota por SARGIN. (Fonte: COHN & RIVA, 1987) Figura 4..4 Lei tenão-deformação para concreto comprimido de SARGIN; Lei tenãodeformação para concreto tracionado de GIURIANI. (Fonte: COHN & RIVA, 1987) Figura 4..5 Lei tenão de aderência - delizamento (a) aço paivo GIURIANI; (b) aço ativo REINHARDT. (Fonte: COHN & RIVA, 1987) Figura 4..6 Lei tenão de aderência - delizamento (Fonte: MARTINS, 1989) Figura Curva tenão de aderência x delizamento (Fonte: CEB-FIB, 010) Figura Epaçamento entre nervura egundo a NBR 7480 (ABNT, 1996)... 1 Figura 4..9 Diagrama Momento x Curvatura para taxa de armadura Figura Diagrama Momento x Curvatura para taxa de armadura Figura Diagrama Momento x Curvatura para taxa de armadura Figura 4..1 Diagrama Momento x Curvatura para taxa de armadura Figura Diagrama Momento x Curvatura para taxa de armadura Figura A. 1 Elemento de concreto etrutural Figura A. Seção não fiurada Figura A. 3 Relação de deformaçõe entre eçõe Figura B. 1 - Diagrama tenão de aderência-delizamento (Fonte: MARTINS,1989) Figura C. 1 - Diagrama momento fletor -eforço normal Figura C. - Diagrama momento-curvatura Figura C. 3 - Diagrama eforço normal deformação Figura C. 4 - Diagrama eforço normal curvatura Figura C. 5 - Diagrama momento fletor curvatura xvi

17 LISTA DE SÍMBOLOS, NOMENCLATURA E ABREVIAÇÕES. b Bae da eção tranveral h Altura de eção tranveral d Altura útil da eção tranveral d Ditância da fibra inferior mai externa ao centro de gravidade da armadura de aço inferior d Ditância da fibra uperior mai externa ao centro de gravidade da armadura de aço uperior I Momento de inércia da eção tranveral x Poição da linha neutra na eção tranveral z Ditância entre a reultante do eforço de compreão no concreto e a reultante do eforço de tração ou compreão na armadura inferior A Área da armadura de aço inferior A Área da armadura de aço uperior Ac Área da eção de concreto Ec Módulo de deformação longitudinal do concreto E Módulo de deformação longitudinal do aço EI Rigidez a flexão da eção tranveral fck Reitência caracterítica a compreão do concreto fcd Reitência de projeto a compreão do concreto fk Reitência caracterítica do aço fd Reitência de projeto do aço γ Coeficiente de minoração do aço σc Tenão de compreão no concreto σ Tenão de tração ou compreão na armadura de aço inferior σ Tenão de tração ou compreão na armadura de aço uperior εc Deformação unitária de encurtamento do concreto εccu Deformação última de encurtamento do concreto εu Deformação última de alongamento da armadura tracionada ε Deformação unitária no centro da armadura de aço inferior ε Deformação unitária no centro da armadura de aço uperior εb Deformação unitária na bae da eção tranveral εt Deformação unitária no topo da eção tranveral xvii

18 ε0 Deformação unitária no eixo de referência da eção tranveral Md Momento fletor reitente da eção referido ao centro de gravidade da eção tranveral Md Momento fletor reitente da eção referido ao centro de gravidade da armadura de Aço inferior μd Momento fletor reduzido (valor adimenional) Nd Eforço normal reitente da eção P Carga concentrada νd Eforço normal normalizado (valor adimenional) φ - Curvatura da eção tranveral ω - Taxa mecânica de armadura Rc Reultante da força de compreão no concreto R Reultante da força de tração ou compreão na armadura inferior R Reultante da força de tração ou compreão na armadura uperior α - Fator que conidera a forma parabólica do trecho inicial do diagrama tenão-deformação do concreto ξ - Ditância da fibra uperior mai externa a linha neutra (forma adimenional) N Número de ponto de integração Δh Largura da ubdivião da eção tranveral i Ditância de uma fibra qualquer referida ao centro geométrico da eção tranveral σ(i) Tenão em uma fibra qualquer referida ao centro geométrico da eção tranveral ε(i) Deformação unitária de uma fibra qualquer referida ao centro geométrico da eção tranveral δ- Deflexão (flecha) J Matriz jacobiana K Matriz de rigidez da eção tranveral e Vetor da deformaçõe xviii

19 1 - INTRODUÇÃO O preente etudo trata do cálculo do equilíbrio de elemento de viga de concreto etrutural, ubmetido a eforço de flexo-compreão reta, limitado por dua junta ou fiura conecutiva, levando-e em conta o delizamento aço-concreto, onde não é mai poível conervar a hipótee de Bernoulli-Navier, que diz que eçõe tranverai permanecem plana e normai ao eixo da viga quando eta e deforma. Figura Elemento de concreto entre dua fiura (Fonte: MARTINS, 1989) Será motrado, nete trabalho, que o modelo de elaticidade não-linear cláico, que trata de elemento de concreto com armadura interna perfeitamente aderente, denominado aqui por Modelo de Aderência Perfeita (MAP), é um cao particular do Modelo de Aderência Variável (MAV). A diertação é compota por cinco capítulo, cuja caracterítica ão detacada abaixo. O primeiro capítulo trata da jutificativa e do objetivo do etudo obre variação de aderência da armadura no elemento de concreto etrutural. O egundo capítulo contém uma revião bibliográfica obre o comportamento do materiai contituinte do elemento de concreto e apreenta algun apecto do fenômeno de aderência, com detaque para o modelo de aderência perfeita e aderência variável. O terceiro capítulo dicorre obre a metodologia para implementação do programa CARPE, que teve como ponto de partida o trabalho de MARTINS (1989). O programa CARPE foi deenvolvido na linguagem do oftware MATLAB e FORTRAN. 1

20 O quarto capítulo tem por finalidade apreentar tete de validação de reultado obtido pelo programa CARPE com relação ao Modelo de Aderência Perfeita (MAP) e ao Modelo de Aderência Variável (MAV). O quinto capítulo apreenta a concluõe aim como a recomendaçõe para pequia futura obre a variação de aderência aço-concreto no elemento de concreto etrutural JUSTIFICATIVA A jutificativa de e fazer um programa computacional para análie e obtenção de eforço reitente em elemento de viga de concreto etrutural etá na neceidade de imular ituaçõe reai, por meio de enaio mecânico de laboratório. Com o emprego da imulaçõe computacionai do elemento etruturai, conegue-e otimizar o planejamento e a execução de enaio de laboratório, como também validar o reultado obtido na análie experimental OBJETIVOS Geral O objetivo principal da diertação de metrado é o deenvolvimento de um programa de computador, chamado CARPE, que dimenione um elemento de viga de concreto etrutural, ubmetido a eforço de flexo-compreão reta, limitado por dua junta ou fiura conecutiva, levando-e em conideração o delizamento entre o aço e o concreto, empregando o Modelo de Aderência Variável (MAV) propoto por MARTINS (1989) Epecífico O etudo teórico obre a aderência entre o aço e o concreto erá deenvolvido e apreentado no corpo da diertação comparando-e o Modelo da Aderência Perfeita (MAP), que utiliza referência cláica da literatura, com o Modelo da Aderência Variável (MAV) que etá baeado no trabalho de MARTINS (1989). A partir dee etudo, foi elaborado um programa de computador, utilizando a linguagem MATLAB, para ervir de previor para enaio e análie de comportamento de peça de concreto etrutural ubmetida a eforço de flexo-compreão reta.

21 O reultado do programa CARPE ão, então, confrontado com reultado obtido por COHN & RIVA (1987). Ea comparaçõe permitirão avaliar a performance do CARPE com relação ao Modelo de Aderência Variável (MAV) propoto por MARTINS (1989). - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Abaixo, ão apreentado o principai etudo realizado para atender ao objetivo propoto nete trabalho: - Etudo da lei de comportamento do aço e do concreto, detacando-e eu diagrama de tenão veru deformação. - Etudo do fenômeno de aderência, decrevendo ua principai caracterítica e referenciai teórico de algun pequiadore deta área. - O etudo do equilíbrio de elemento de concreto etrutural coniderando o Modelo de Aderência Perfeita (MAP). - O etudo do equilíbrio de elemento de concreto etrutural coniderando o Modelo de Aderência Variável (MAV)..1 - LEIS DE COMPORTAMENTO DOS MATERIAIS Ete capítulo apreenta o conceito báico obre o comportamento do materiai empregado no concreto etrutural. Para o modelo contitutivo do aço e do concreto, ão apreentado o parâmetro mai importante com relação à aderência entre ambo materiai Claificação do tipo de concreto a) Concreto Simple O concreto é um material compoto, contituído por cimento, água, agregado miúdo e agregado graúdo. Pode também conter adiçõe e aditivo químico, com a finalidade de melhorar ou modificar ua propriedade báica. A NBR 6118/14 (item 3.1.) define elemento de concreto imple etrutural como: elemento etruturai elaborado com concreto que não poui qualquer tipo de armadura ou que a poui em quantidade inferior ao mínimo exigido para o concreto armado. 3

22 b) Concreto Armado Conceitua-e concreto armado como a união do concreto imple a armadura de aço de tal modo que ambo reitam olidariamente ao eforço olicitante. No entanto, o conceito de concreto armado envolve ainda o fenômeno da aderência, poi não bata apena juntar o doi materiai. Para exitir o concreto armado, é neceário ocorrer a olidariedade entre o concreto e o aço para que o elemento etruturai poam reitir à tenõe a que etão ubmetida. De forma equemática, pode-e dizer que o concreto armado é formado por 3 parcela, como indicado abaixo: concreto armado = concreto imple + armadura + aderência Na peça de concreto armado, a armadura de aço é chamada paiva porque a tenõe e deformaçõe nela aplicada e devem excluivamente ao carregamento externo. A NBR 6118/14 (item 3.1.3) define elemento de concreto armado como: aquele cujo comportamento etrutural depende da aderência entre concreto e armadura e no quai não e aplicam alongamento iniciai da armadura ante da materialização dea aderência. A NBR 6118/14 (item 3.1.4) define armadura paiva como: qualquer armadura que não eja uada para produzir força de protenão, ito é, que não eja previamente alongada. c) Concreto Protendido O concreto protendido tem por princípio báico a aplicação de tenõe prévia de compreão na regiõe da peça que erão tracionada pela ação do carregamento externo aplicado. Com io, a tenõe de tração ão diminuída ou até memo anulada pela tenõe de compreão pré-exitente ou pré-aplicada na peça. A protenão via eliminar a caracterítica negativa da baixa reitência do concreto à tração (BASTOS, 006). 4

23 A NBR 6118/14 (item 3.1.4) define elemento de concreto protendido como: aquele no quai parte da armadura é previamente alongada por equipamento epeciai de protenão com a finalidade de, em condiçõe de erviço, impedir ou limitar a fiuração e o delocamento da etrutura e propiciar o melhor aproveitamento de aço de alta reitência no etado limite último (ELU). A NBR 6118/14 (item 3.1.6) define armadura ativa (de protenão) como: armadura contituída por barra, fio iolado ou cordoalha, detinada à produção de força de protenão, ito é, na qual e aplica um pré-alongamento inicial. d) Concreto Etrutural Segundo a NBR 6118/14 (item 3.1.1), concreto etrutural é o termo que e refere ao epectro completo da aplicaçõe do concreto como material etrutural e cujo elemento etruturai elaborado com concreto ão claificado em: elemento de concreto imple, elemento de concreto armado e elemento de concreto protendido. Realta-e que no contexto deta pequia, a expreõe elemento de concreto armado e elemento de concreto protendido ão tratada inditintamente como elemento de concreto etrutural. Detaca-e, também, que no etado limite último (ruptura), a armadura protendida funciona como uma armadura de tração, de maneira idêntica a armadura da peça de concreto armado. A única diferença conite no pré-alongamento da armadura protendida, que é incorporado à mema durante a protenão. O pré-alongamento ou alongamento inicial omar-e-á ao alongamento devido à flexão da peça Diagrama de tenão veru deformação Na aplicaçõe etruturai, a tenõe e a deformaçõe ão grandeza fundamentai para a análie da etrutura. A repreentação gráfica que relaciona tai grandeza é o diagrama tenão x deformação que, de maneira geral, define o comportamento mecânico do material em um etado uniaxial de tenão. No diagrama tenão-deformação têm-e, no eixo da abcia, a deformaçõe, e no eixo da ordenada, a tenõe, de tal forma que a curva que relaciona a tenõe à deformaçõe é a curva que irá caracterizar o comportamento do material diante da olicitaçõe a ele impoto. 5

24 Para o cao de materiai de comportamento linear elático, o diagrama tenão-deformação é uma reta. Por ua vez, o concreto apreenta o diagrama tenão-deformação na forma de uma curva, caracterizando aim o eu comportamento não-linear. O modelo contitutivo para o concreto e o aço empregado neta pequia levam em conta a lei de comportamento uniaxiai, coniderando apena o proceo de carregamento (TELLES,1976) Concreto O concreto apreenta propriedade mecânica dependente da intenidade de olicitação. Comporta-e como material frágil quando ubmetido a tenão de tração. Por outro lado, apreenta comportamento que pode er admitido como plático ob compreão. A literatura técnica apreenta vária poibilidade para ee comportamento, porém nete trabalho foram abordada a propota apreentada pela NBR 6118:014 e pelo Código Modelo do CEB-FIP MC90, amba para o concreto ubmetido a compreão. Para o concreto ob tração, utilizaram-e a propoiçõe da NBR 6118:014 e de GRELAT (1978) Concreto comprimido a) NBR 6118/14 Para o dimenionamento de eçõe tranverai de peça de concreto armado no etado limite último, a NBR 6118/14 (item ), indica o diagrama tenão-deformação a compreão como endo um diagrama implificado, compoto por uma curva de grau n que paa pela origem e tem eu vértice no ponto de abcia ε c e ordenada 0,85fcd e de uma reta entre a deformaçõe ε c e ε cu, tangente a curva e paralela ao eixo da abcia.(figura.1.1). A equação da curva de grau n tem a forma: onde: Para f ck 50 MPa: n = σ c = 0,85. f cd [1 (1 ε c ε c ) n ] Para f ck > 50 MPa: n = 1,4 + 3,4 [(90 f ck )/100] 4 (.1.1a) (.1.1b) (.1.1c) 6

25 O diagrama tenão-deformação idealizado para elemento de concreto comprimido ettá ilutrado abaixo: σ c = f cd [1 (1 ε n c ) ] ε c σ c = 0,85f cd [1 (1 ε n c ) ] ε c Figura Diagrama tenão-deformação idealizado para o concreto a compreão (Fonte: NBR 6118/14) O valore a erem adotado para o parâmetro ε c (deformação epecífica de encurtamento do concreto no início do patamar plático) e ε cu (deformação epecífica de encurtamento do concreto na ruptura) ão definido a eguir: - para concreto de clae até C50: ε c = 0, % ε cu = 0,35 % - para concreto de clae C55 até C90: ε c = 0, % + 0,0085% (f ck 50) 0,53 (.1.a) ε cu = 0,6 % + 3,5% [(90 f ck )/100] 4 (.1.b) Para tenõe de compreão menore que 0,5. f c, pode-e admitir uma relação linear entre tenõe e deformaçõe, adotando-e para módulo de elaticidade o valor ecante dado pela Equação (.1.3a). O módulo de elaticidade ecante a er utilizado na análie elática de projeto, epecialmente para determinação de eforço olicitante e verificação de etado limite de erviço, deve er calculado pela expreão: 7

26 endo E c = α i. E ci (.1.3a) α i = 0,8 + 0,. f ck 80 1,0 A tabela abaixo apreenta valore etimado arredondado que podem er uado no projeto etrutural. Tabela. 1 - Valore etimado de módulo de elaticidade em função da reitência caracterítica à compreão do concreto (coniderando o uo de granito como agregado graúdo) (Fonte: NBR 6118:014) Clae de reitência C0 C5 C30 C35 C40 C45 C50 C60 C70 C80 C90 Eci (GPa) Ec (.1.3b) (GPa) αi 0,85 0,86 0, ,90 0,91 0,93 0,95 0,98 1,00 1,00 A deformação elática do concreto depende da compoição do traço do concreto, epecialmente da natureza do agregado. Na avaliação do comportamento de um elemento etrutural ou eção tranveral, pode er adotado módulo de elaticidade único, à tração e à compreão, igual ao módulo de deformação ecante Ec. No cálculo da perda de protenão, pode er utilizado em projeto o módulo de elaticidade inicial Eci. O módulo de elaticidade em uma idade menor que 8 dia pode er avaliado pela expreõe a eguir, ubtituindo fck por fcj. E ci (t) = [ f c(t) ] 0,5. E f ci, para o concreto com fck de 0 MPa a 45 MPa; c E ci (t) = [ f c(t) ] 0,3. E f ci, para o concreto com fck de 50 MPa a 90 MPa. c onde: Eci (t) é a etimativa do módulo de elaticidade do concreto em uma idade entre 7 dia e 8 dia; fc(t) é a reitência à compreão do concreto na idade em que e pretende etimar o módulo de elaticidade, em megapacal (MPa). 8 (.1.3c) (.1.3d)

27 b) CEB-FIP MC90 / SARGIN (1971) A expreão preconizada pelo MC90 do CEB (1990), correpondente ao diagrama tenãodeformação do concreto comprimido, emprega a formulação propota por SARGIN (1971). Enaio realizado em corpo de prova não confinado conduzem a uma curva tenão axial veru deformação axial com o apecto apreentado na Figura.1.. A curva tenão x deformação apreenta uma primeira parte caracterizada por um ramo acendente com módulo de elaticidade tangente na origem igual a Ec. O pico da curva, ponto (f cm, ɛ co ), correponde ao valor médio da reitência a compreão fcm do concreto. A outra parte é decendente, indo, inicialmente, do ponto máximo até o ponto (ɛc1, 0,5 fcm), de acordo com a Equação.1.4, e a partir dee ponto para σc / 0,5 fcm < 0,5, egundo a expreão (.1.6). Figura.1. - Diagrama tenão-deformação do concreto para compreão uniaxial. (Fonte: CEB, 1990) A tenão de compreão no concreto é dada por: c E c. c E co co E 1 c E co c co. c co.f cm (.1.4) 9

28 onde: f cm = f ck + 8 MPa : valor médio da reitência a compreão do concreto; f ck : reitência caracterítica do concreto; E c = 10 4 [ f ck + 8 ] 1/ 3 : módulo de elaticidade [ MPa ] tangente do concreto; E co = f cm / 0,00 : módulo ecante da origem ao valor máximo da tenão de compreão f cm ; ε co = - 0,00; Para a parte decendente do diagrama tenão x deformação, a equação.1.4 é válida apena para valore de σ c / f cm 0,5. Na equação (.1.4), o valor de ε c1, correpondente a σ c = 0,5 f cm no ramo decendente, é dado por: ε c1 = (0,5. E c + 0,5) + [0,5. (0,5. E c + 1) 0,5 0,5] ε co E co E co (.1.5) Para valore de σ c / f cm < 0,5 a expreão que fornece o valor de σ c no ramo decendente, toma a eguinte forma: c cl co cl co. c co 4 cl co. c co 1. f cm (.1.6) 10

29 onde: 4. cl co E. E cl co c co E. E. c co cl co 1 E E c co (.1.7) Concreto tracionado a) NBR 6118/14 O diagrama tenão-deformação do concreto a tração do concreto não fiurado, egundo a NBR 6118:014 (item ), é repreentado pela Figura.1.3. A deformação máxima de alongamento é de 0,15, e o módulo tangente inicial (Eci) pode er adotado como tg α. Figura Diagrama tenão-deformação bilinear na tração (Fonte: NBR 6118/14) b) GRELAT (1978) O equilíbrio da eção em flexão é deenvolvido no preente trabalho em termo de deformaçõe média atravé de um diagrama fictício. Ee diagrama repreenta a contribuição média do concreto tracionado entre dua fiura uceiva na rigidez do elemento. É o chamado efeito Tenion Stiffening, cuja formulação atribui à zona tracionada da eção uma ditribuição linear de tenõe de acordo com o diagrama da Figura.1.4, conforme propoto por GRELAT (1978). 11

30 Figura Diagrama σc - ɛc para o concreto na zona tracionada. (Fonte: GRELAT, 1978) A tenão de tração σ ct da fibra tracionada crece proporcionalmente à deformação correpondente ε ct até um ponto (ε cto, f ctm ), a partir do qual decrece com uma lei parabólica. A contribuição do concreto em tração deaparece quando a deformação máxima atinge o limite de elaticidade do aço mai tracionado. 0 E. para ct cto ct c ct a cto a ct f ctm. para cto ct a ct (.1.8) (.1.9) ct 0 para a ct (.1.10) onde /3 f ctm = 0,30 f ck : valor médio da reitência a tração do concreto; ε cto = deformação a tração correpondente a f ctm ; ε a = limite de elaticidade longitudinal do aço mai tracionado; E c = módulo de elaticidade tangente do concreto na origem. 1

31 A contribuição do concreto à tração é empregada apena quando adotado o diagrama tenãodeformação para análie de comportamento..1.. AÇO Ditinguem-e doi tipo de aço: aço paivo para reforço (concreto armado) e aço ativo para protenão (concreto protendido) AÇOS PASSIVOS O aço paivo coniderado no preente trabalho ão o do tipo laminado a quente e trefilado a frio. O diagrama tenão x deformação do aço laminado a quente (CA-5 e CA-50) e trefilado a frio (CA-60) apreentam caracterítica diferente. O aço CA-5 e CA-50 apreentam patamar de ecoamento bem definido Figura.1.5a, e a reitência de início de ecoamento (f) fica bem caracterizada no diagrama, o que não ocorre no aço CA-60. Por ete motivo, no aço CA-60 a reitência de ecoamento é convencional, endo ecolhida a reitência correpondente a deformação reidual de Figura.1.5b. Ito ignifica que, e o aço for tenionado até o valor de f e eta tenão for completamente retirada, o aço não voltará ao eu etado natural pré-tenão, poi retará nele uma deformação de, chamada deformação reidual ou permanente. Figura Diagrama tenão-deformação real do aço braileiro. (Fonte: ABNT NBR) A NBR 6118/14 (item 8.3.6) permite, para cálculo no Etado Limite de Serviço e Último, utilizar o diagrama implificado motrado na Figura.1.6 para o aço com ou em patamar 13

32 de ecoamento. O diagrama é válido para intervalo de temperatura entre 0ºC e 150ºC e pode er aplicado para tração e compreão. Figura Diagrama tenão-deformação para aço de armadura paiva com ou em patamar de ecoamento (CA-5, CA-50 e CA-60) Lei elato-plática com relação a tenão-deformação do aço: f cd para. E f cd. E para f.e f cd d f d para. E f d (.1.11) (.1.1) (.1.13) r 10% (deformação no final do patamar plático) E, tg E para f d (.1.14) E, tg 0 para f d (.1.15) E,ec E (.1.16).1... AÇOS ATIVOS Para o cálculo no etado limite de erviço e último adota-e, nete trabalho, o diagrama implificado preconizado pela NBR 6118:014, conforme motrado na Figura

33 Figura Diagrama tenão-deformação para aço de armadura ativa. (Fonte: NBR 6118:014) O comportamento mai realita da armadura de protenão pode er definido como repreentado pelo gráfico da Figura.1.8. A parte linear vai até f pe = 0,9 f pk e a deformação reidual correpondente à tenão de ecoamento convencional f pk igual a 1. Figura Diagrama tenão-deformação para aço de armadura ativa Segundo REIS (003), a melhor repreentação da curva tenão-deformação do aço ativo é dada pela função modificada de Ramberg-Ogood, ugerida por MATTOCK (1979). 15

34 Para Aço de Baixa Relaxação (RB) p 5 0, p. 0, , p 1860.MPa p f pe (.1.17) Para Aço de Relaxação Normal (RN) p 5 0, p. 0,03 6 0, p 1860.MPa (.1.18) Eta equaçõe fornecem a tenão de ecoamento do cabo a uma deformação de 1%, tenão de ruptura de 1860 MPa e aproximam bem o reultado experimentai, além de exprear a relação tenão-deformação em uma única equação.. - FENÔMENO DE ADERÊNCIA AÇO-CONCRETO..1 Generalidade Concreto etrutural é o concreto imple com barra de aço nele imera. O concreto etrutural é um material de contrução compoto, no qual a ligação entre o concreto e a armadura de aço é devida à aderência do cimento e a efeito de natureza mecânica. (LEONHARDT e MÖNNING, 1977) A aderência entre a armadura de aço e o concreto é um do mecanimo mai importante para a exitência da peça de concreto etrutural, endo reponável pela ancoragem dea armadura na maa de concreto e, ainda, erve para impedir o ecorregamento dea armadura no egmento entre fiura, limitando a abertura. A tranmião de eforço entre a barra de aço e o concreto é realizada por meio da tenõe de aderência que atuam na interface entre o materiai. Ea tenõe afetam o comportamento e a ditribuição do eforço e da deformaçõe ao longo do elemento. Coniderando uma etrutura ubmetida a um carregamento progreivo, a tenão de aderência entre o aço e o concreto aumenta até um nível de carregamento, a partir do qual a aderência começa a e deteriorar, gradualmente, podendo vir a comprometer a egurança da etrutura. 16

35 A barra da armadura devem aborver o eforço de tração que urgem na peça ubmetida à flexão ou à tração, uma vez que o concreto poui alta reitência à compreão, porém pequena reitência à tração. Devido à aderência, a deformaçõe da barra de aço e do concreto que a envolve devem er iguai, ito é, aço concreto. Como o concreto tracionado não acompanha a grande deformaçõe do aço, o concreto acaba e fiurando na zona de tração. Com io, o eforço de tração ão aborvido apena pelo aço. Uma viga de concreto imple romperia brucamente apó a primeira fiura. A armadura deve er colocada na zona de tração da peça etruturai e, empre que poível, na direção do eforço interno de tração. Por ua vez, a alta reitência à compreão do concreto deve er aproveitada na flexão de peça etruturai como viga e laje. Em peça ubmetida apena a compreão, a armadura podem aumentar a capacidade de carga a compreão. (LEONHARDT e MÖNNING, 1977) Na compreão e na tração, ante da fiuração, a armadura e o concreto vizinho pouem deformaçõe iguai. Tão logo haja fiuração do concreto, ea deformaçõe, na proximidade da fiura, paam a er diferente, ito é, a armadura alonga-e mai que o concreto. A diferença de alongamento entre o materiai indica que ocorreu um delizamento da armadura em relação ao concreto. A quantidade de delizamento, obervada de cada lado da fiura, é igual à própria abertura da fiura. Com io, pode-e claificar a aderência em doi tipo: aderência perfeita e aderência variável. Quando não é obervado o delizamento entre o aço e o concreto, em que há igualdade de deformaçõe entre o materiai, tem-e a chamada aderência perfeita. No cao em que o alongamento entre o materiai diferem entre i, a aderência é chamada variável. O etudo da aderência variável entre a barra da armadura e o concreto que a envolve etá, portanto, intimamente relacionado com a fiuração. Na peça de concreto etrutural, a aderência exitente entre a armadura e o concreto permite que a tenõe de tração poam er aborvida pela armadura. Dee modo, é poível a realização de peça etruturai com o emprego imultâneo de doi materiai diferente. Quando a olicitaçõe ão uficientemente baixa, o concreto ainda é reitente à tração. Nete cao, diz-e que o concreto etá no etádio I. Porém, aumentando-e a olicitaçõe 17

36 na fibra mai tracionada, é atingida a tenão σct = fct (concrete tenion) de ruptura de concreto à tração, ocaionando a fiuração da peça. Agora, o concreto etá no etádio II. Com a paagem do etádio I para o etádio II, na eçõe fiurada, a tenão de tração no concreto e anula, σct = 0, havendo um correpondente aumento da tenão de tração na armadura σt (teel tenion). Figura..1 - Fiuração por tração (Fonte: FUSCO, 1995). Na eçõe fiurada, a tenão na armadura atinge o eu valor máximo. À medida que e conideram eçõe mai afatada da fiura, ea tenão σ diminui e o concreto paa novamente a er tracionado, como coneqüência da aderência exitente entre o doi materiai. A tranferência de tenõe da armadura para o concreto ocorre em trecho cujo comprimento é tanto menor quanto maior for a aderência entre o aço e o concreto. A exitência do concreto armado/protendido decorre eencialmente da aderência exitente entre o eu materiai componente. Oberva-e, no entanto, que ea aderência é compota por divera parcela, que decorrem de diferente fenômeno que intervêm na ligação do aço ao concreto. 18

37 O modo de tranferência de tenõe entre o aço e o concreto podem er repreentado por trê tipo: a) Aderência por adeão: força na interface entre o doi materiai, provocada pelo efeito de colagem entre a nata de cimento e a uperfície do aço, endo de natureza fíicoquímica. (Figura..) Figura.. - Aderência por adeão (Fonte: FUSCO, 1995). b) Aderência por atrito: força de contato entre o doi materiai que e manifeta apó a ruptura da adeão, quando há tendência ao delocamento relativo entre a barra de aço e o concreto. (Figura..3) Figura..3 - Aderência por atrito (Fonte: FUSCO, 1995). c) Aderência por interação mecânica: principalmente para a barra com nervura apó a ruptura da adeão, a aliência e intertravam no concreto, contituindo um terceiro elemento reitente ao ecorregamento da barra (Figura..4). 19

38 Figura..4 - Interação mecânica entre a nervura da barra de aço e o concreto ao redor (Fonte: FUSCO, 1995). Deve-e realtar que a eparação da aderência na trê parcela citada é meramente equemática, não endo poível determinar cada uma dela ioladamente. Além dio, a aderência de uma barra de aço ao concreto que a envolve é função de ponto, endo o eu valor fortemente influenciado pela retração, pela fluência e pela fiuração do concreto. Dee modo, por meio de enaio, ão determinado valore médio globai de aderência, que ão uficiente para efeito de projeto. A eguir ão apreentado algun fatore que influenciam o comportamento da aderência entre o concreto e o aço, ditribuído em 3 grupo que pouem caracterítica afin: GRUPO 1 Carregamento e fiuração a) Tipo de carregamento: para um memo delizamento, o módulo da tenão de aderência para carga de tração é batante parecido com o módulo da tenão de aderência para carga de compreão, para tenõe no aço abaixo da tenão de ecoamento. Apó o ecoamento, o diâmetro da barra ubmetida a tração é notadamente reduzido devido ao efeito de Poion, afetando conideravelmente a aderência; b) Ditribuição e tipo de microfiura e fiura ao longo da etrutura. GRUPO Propriedade do Concreto a) Reitência do concreto: o aumento da capacidade do concreto em uportar açõe, ao redor da barra de aço, aumenta a tenão máxima de aderência, poi o cone de fiuração que é formado ao redor da barra, devido ao efeito de arrancamento, etará mai reitente; 0

39 b) Condiçõe da mitura do concreto freco: a homogeneidade e a etabilidade da mitura do concreto freco garante uma igualdade na condiçõe de aderência ao longo da barra de aço e um melhor aproveitamento da propriedade do concreto endurecido; c) Adenamento do concreto freco: apó a colocação do concreto na forma, ele deve er compactado (adenado) de forma a provocar a aída do ar e melhorar o eu contato com a barra de aço, evitando o urgimento de vazio; d) Cura do concreto: conjunto de medida neceária para evitar a evaporação da água que deverá hidratar o cimento; e) Cobrimento de concreto ao redor da barra de aço: influencia o cone de fiuração formado ao redor da barra de aço. GRUPO 3 Propriedade do Aço a) Limite de ecoamento do aço: quando a deformação por tração na barra de aço atinge e ultrapaa o limite de ecoamento, o diâmetro da barra é conideravelmente reduzido afetando a aderência; b) Diâmetro da barra de aço: o diâmetro da barra de aço afeta a área uperficial de aderência; c) Epaçamento entre a barra de aço: com o aumento do epaçamento entre a barra de aço, o comportamento da tenão de aderência tende a melhorar, poi a obrepoição da área de influência do cone de fiuração ao redor da barra tende a diminuir; d) Forma e dimenõe da nervura da barra de aço: afeta a interação mecânica entre a barra de aço e o concreto (Figura..4); e) Tratamento uperficial do aço: afeta a adeão e a reitência por atrito entre a barra de aço e o concreto... Hitórico do fenômeno de aderência A eguir ão apreentado trabalho que motram etudo teórico, experimentai e numérico relacionado ao fenômeno de aderência entre o aço e o concreto de etrutura de concreto etrutural. 1

40 WATSTEIN (1941), a partir do enaio de arrancamento (pull-out tet), etudou o comportamento da tenão de aderência ao longo de barra de aço. Com o uo de extenômetro mecânico, realizou mediçõe do alongamento e da tenão da parte da barra ancorada no cilindro de concreto. CLARK (1949), a partir de vário enaio feito em viga ubmetida a flexão e também por meio de enaio de arrancamento, comparou o dado da reitência ao delizamento do aço em relação ao concreto fazendo-e variar a reitência do concreto, o comprimento e o diâmetro da barra ancorada no interior do concreto. PERRY (1966) analiou a ditribuição da tenão de aderência ao longo de barra de aço a partir enaio de carregamento em viga bi-apoiada e também enaio de arrancamento (pull-out tet). Com o reultado do enaio, verificou a influência da ditribuição do momento fletor ao longo do elemento, na relação entre a tenão de aderência e o delizamento ao longo da barra de aço. NGO (1967) empregou o método do elemento finito na elaboração de um modelo numérico para etudar o comportamento de viga de concreto armado coniderando o efeito da tenõe de aderência. A rigidez da aderência entre a barra de aço e o concreto foi repreentada por um elemento finito de ligação adimenional (Figura..5) colocado entre o elemento finito que repreentam o concreto e o elemento finito que repreentam a barra de aço. Figura..5 - Elemento de ligação (Fonte: NGO, 1967).

41 MIRZA (1979) etudou o comportamento entre a tenão de aderência e o delizamento entre o aço e o concreto, ob influência da variação do diâmetro da barra, da reitência a compreão do concreto e do carregamento, coneguindo com io uma relação empírica entre a tenão de aderência e o delizamento, para er empregada na modelagem de um elemento finito. Figura..6 - Curva tenão de aderência x delizamento (Fonte: MIRZA, 1979). TASSIOS (1981) elaborou um modelo analítico para er introduzido em programa computacionai para a análie da tenão e deformação de elemento de concreto armado. O deenvolvimento conceitual é feito a partir do etudo analítico da relaçõe entre a tenão de aderência local e o delizamento local ao longo de uma barra, aumindo lei não-lineare locai com diferente etádio do comportamento global da interface, e em alguma expreõe empírica da propriedade do materiai. YANKELEVSKY (1985), baeado em equaçõe de equilíbrio da força atuante na interface entre a barra de aço e o concreto, para um elemento infiniteimal, e na relação local entre a tenão de aderência e o delizamento, propô um elemento finito unidimenional para conideração da tenão de aderência e o delizamento na interface aço-concreto. Na Figura..7, apreenta-e o quatro etádio em que foi dividido o comportamento do fenômeno de aderência a partir da relação tenão de aderência x delizamento: (a) Etádio I- contato inicial entre o aço e o concreto em que o delizamento entre o doi materiai tem um correpondente aumento da tenão de aderência até o limite τ ; 3

42 (b) Etádio II- início da quebra da aderência onde o delizamento entre o doi materiai ocorre em um acrécimo da tenão de aderência; (c) Etádio III- há uma redução da tenão de aderência até chegar a uma tenão última; (d) Etádio IV - paa a er dada por fricção. Figura..7 - Relação local da tenão de aderência x delizamento (Fonte: YANKELESKY, 1985). COHN e RIVA (1987) deenvolveram uma formulação geral do comportamento a flexão do concreto armado, protendido e parcialmente protendido levando-e em conta tanto o fenômeno de aderência, a partir da relação tenão de aderência x delizamento, como a relação do momento x curvatura. A formulação abrange a repota do trê tipo de etrutura citada para todo o etádio de carga até a ruptura. Figura..8 Elemento de concreto ubmetido a flexão compota reta. (Fonte: COHN&RIVA, 1987) 4

43 MARTINS (1989) apreenta um modelo matemático da tenão de aderência e delizamento relativo entre o aço e o concreto na forma de uma curva poligonal. Nota-e que o ramo decendente da curva propota por YANKELEVSKY (1985) e MARTINS (1989) ão emelhante. Porém, a propota de MARTINS (1989) poibilita reproduzir divera outra funçõe e acompanhar a forma da lei experimental etabelecida. Figura..9 - Curva tenão de aderência x delizamento (Fonte: MARTINS, 1989). ROSA (1994) apreentou uma análie comparativa da vária curva de aderência x delizamento entre o aço e o concreto quando aplicada ao método do elemento finito. Foi analiado o deempenho quanto ao tempo de proceamento, número de interaçõe neceária, facilidade de utilização e precião do reultado obtido quando comparado com o reultado de enaio. UIJL (1996) criou um modelo de aderência baeado na capacidade de confinamento do concreto ao redor da barra de aço encravada em um cilindro de concreto (Figura..10). Decreveu no eu modelo a relação entre o delocamento radial e a tenão de compreão radial na interface do doi materiai. Motrou, ainda, que a aderência entre a barra e o concreto é decrita em trê etádio (Figura..11): (a) Etádio I o contato inicial entre o aço e o concreto é mantido pela adeão e o entrelaçamento da cimentação na uperfície do aço. Nee etádio, a tenão de aderência tem valore pequeno; (b) Etádio II inicia a quebra da aderência que é governada pelo apoio da aliência da barra no concreto. A concentração da força na frente da aliência caua a formação de um cone de fiura, iniciado na crita dea aliência; e 5

44 (c) Etádio III a fiura alcançam a uperfície externa e a tenão de aderência é reduzida repentinamente. O mecanimo de tranferência da tenão é dado também pela fricção. Figura Propagação do cone formado por fiura ao redor da barra de aço. (Fonte: UIJL, 1996) Figura Etádio decorrente da propagação da fiura. (Fonte: UIJL, 1996) YANKELEVSKY (1997) deenvolveu elemento finito bidimenionai, que repreentam o comportamento da interface entre o aço e o concreto, para etrutura ubmetida a enaio de tração. A rigidez do elemento incorpora parâmetro do aço, do concreto e da relação entre a tenão de aderência x delizamento. BARBOSA (1998), com o objetivo de quantificar a influência de algun parâmetro obre a relação tenão de aderência e delizamento, deenvolveu um etudo experimental obre etrutura de concreto de alto deempenho armada com aço de elevado limite elático, A partir do etudo realizado, concluiu o eguinte: 6

45 (a) o uo de etribo pode influenciar na força de arrancamento da barra vertical; (b) a reitência de aderência é meno enível ao poicionamento da barra, que no cao do concreto convencional; e (c) exite uma baixa variação da tenão de aderência devida à poição da barra. DESIR (1998) propô uma modelagem numérica para imular o comportamento do fenômeno da aderência entre o aço e o concreto utilizando lei contitutiva baeada no conceito da termodinâmica cláica, o qual conidera a interface como endo uma uperfície de decontinuidade. Ete modelo numérico foi incorporado na formulação de um elemento finito que repreenta tanto o aço quanto o concreto, onde cada material tem um comportamento próprio definido por uma lei contitutiva eparada. SHEHATA (1999) verificou a influência da aderência entre o aço e o concreto na capacidade de rotação de viga biapoiada de concreto de alta reitência e de reitência normal. O reultado obtido com o enaio prático da capacidade de rotação foram comparado com reultado obtido atravé de equaçõe teórica propota na literatura. ZUO (000), etudando a relação entre a diferente caracterítica do concreto armado em viga e a tenão de aderência entre o aço e concreto, para poder chegar a um modelo numérico mai realita dea tenão, apó enaiar 64 viga de concreto armado com diferente propriedade, propô uma equação para o comprimento de ancoragem por tranpae de barra de aço em viga, onde ee comprimento depende da caracterítica da interface. BARBOSA (001) etudou o comportamento da aderência aço-concreto para barra de fabricação nacional de eção circular com ete diâmetro ditinto (6,3, 8,0, 10,0, 1,5, 16,0, 0,0 e 5,0 mm) e barra de eção quadrada com trê tamanho de lado (6,3, 8,0 e 10,0 mm); foram empregado, nee etudo, concreto de cinco clae de reitência a compreão (0, 40, 60, 80 e 100 MPa). Realizou-e doi tipo de enaio de aderência: enaio de tirante (tração imétrica) e enaio de arrancamento (pull out tet). Para cada dimenão de barra e para cada clae de reitência do concreto. O reultado experimentai foram comparado com epecificaçõe de norma e com formulaçõe teórica propota por divero autore para a relação tenão de aderência x delizamento. Efetuou-e uma análie etatítica do reultado experimentai, procurando identificar a influência do divero parâmetro que 7

46 afetam o comportamento da aderência aço-concreto. A partir da análie realizada, procuroue etabelecer equaçõe para o cálculo da tenão de aderência. MARINS NETO (007) etudou o apecto da propriedade do concreto, da propriedade do aço e da interaçõe entre ele, com particular interee na deterioração da aderência que ocorre na interface aço-concreto com o objetivo principal de deenvolver uma modelagem numérica capaz de invetigar, de forma mai realita, o comportamento de viga de concreto armado, coniderando a não-linearidade fíica do materiai e o efeito do delizamento entre a armadura de aço e o concreto. Com o Método do Elemento Finito e com um procedimento incremental-iterativo de carregamento, o comportamento do materiai puderam er repreentado na modelagem numérica computacional, poibilitando o uo de diferente curva repreentativa da tenõe de aderência que e opõem ao delizamento da armadura Lei de tenão de aderência entre aço e concreto A complexidade do fenômeno da aderência entre a armadura de aço e o concreto leva à realização de numeroa invetigaçõe prática e também a vário etudo teórico na buca de uma lei que exprima a evolução da tenão de aderência (τ) em função do delizamento (S). Dentre a divera lei de tenão de aderência exitente na literatura, detacam-e a lei de MIRZA (1979), YANKELEVSKY (1985) e CEB (1990) por apreentarem uma correlação com a lei deenvolvida por MARTINS (1989). Em MIRZA (1979), é apreentado um polinômio de quarta ordem baeado no reultado experimentai de amotra de concreto armado, que incluem variaçõe no nívei de carregamento, na epeura de cobrimento do concreto e na reitência de compreão do concreto (Figura..1): ( x) 1,95.10.S (x),35.10.s (x) 1,39.10.S (x) 0, S (x) (..1) A tenão de aderência é dada em libra por polegada quadrada (pi) e o delizamento em polegada (in). 8

47 Figura..1 - Curva tenão de aderência x delizamento (Fonte: MIRZA, 1979). A eguir motra-e a curva de YANKELEVSKY (1985) repreentada por quatro etádio. (Figura..13) Figura Relação local da tenão de aderência x delizamento (Fonte: YANKELESKY, 1985) Em MARTINS (1989), é propoto um modelo matemático de forma polinomial repreentativo da curva tenão de aderência x delizamento. A curva apreenta 5 regiõe, cujo limite foram obtido de uma bateria de enaio de laboratório de rompimento de viga de concreto etrutural. (Figura..14) 9

48 τ 0 Figura Curva tenão de aderência x delizamento (Fonte: MARTINS, 1989). No modelo de curva propoto pelo CEB-FIB (010), a relação entre a tenão de aderência (τ) e o delizamento () é repreentada em quatro etádio (Figura..15): Figura Curva tenão de aderência x delizamento (Fonte: CEB-FIB, 010). onde: τ tenão de aderência para um dado delizamento δ; τ max máxima tenão de aderência; τf tenão final de aderência 30

49 δ1 delizamento referente à máxima tenão de aderência; δ delizamento referente ao ponto de início do trecho decendente da tenão de aderência; δ3 delizamento referente à tenão final de aderência; O cálculo da tenão de aderência do CEB é dado por: 1 0 máx. 1 (..a) 1 máx máx f 3. máx 3 f 3 (..b) (..c) (..d) A Tabela.1 apreenta o parâmetro para definir a relação tenão de aderência x delizamento para barra nervurada. Tabela. - Parâmetro para definição da curva tenão de aderência veru delizamento para barra nervurada (Fonte: CEB-FIB 010) 31

50 Reumidamente, podem-e claificar a lei de tenão de aderência quanto à ua forma geométrica da eguinte maneira: Poligonal: repreentada por egmento de reta caracterizando o etádio da relação tenão de aderência x delizamento. Exemplo: YANKELEVSKY (1985) e MARTINS (1989); Polinomial: repreentada por um polinômio definido pelo grau de interpolação do reultado obtido no enaio. Exemplo: MIRZA (1979); Mita: combinação da outra forma apreentada. Exemplo: CEB (010)..3 - EQUILÍBRIO DE ELEMENTO DE CONCRETO ESTRUTURAL CONSIDERANDO O MODELO DE ADERÊNCIA PERFEITA (MAP) Generalidade O Modelo de Aderência Perfeita (MAP) trata do equilíbrio da eção de elemento de concreto etrutural, ubmetido a flexão compota reta, com o emprego do método de análie nãolinear, coniderando a aderência perfeita entre aço-concreto. Uma eção de concreto etrutural fiura e platifica quando ubmetida a um par de eforço olicitante externo (N, M). Por meio da deformação da eção, obtêm-e o eforço reitente interno (N r, M r ) que permitem equilibrar a olicitaçõe externa. Figura Equilíbrio da Seção Tranveral. 3

51 .3. - Hipótee de cálculo Para a obtenção do equilíbrio da eção, ão normalmente aumida a eguinte hipótee de cálculo: (DÉSIR,1993 ; LEONHARDT e MÖNNING,1977 ; MARTINS,1989). (a) a deformaçõe e o delocamento ão pequeno. Portanto podem-e relacionar o delocamento com a deformaçõe pela expreão: d v( x) dx M ( x) E. I( x) (.3.1) onde: d v( x) dx :. equação diferencial da linha elática M E.I :. momento fletor :. rigidez flexional (b) a hipótee de BERNOULLI-NAVIER é válida até a ruptura. A eção homogeneizada permanece plana e perpendicular a fibra média apó a deformação de uma peça de concreto. Ou eja, a eçõe tranverai permanecem plana apó a deformação do elemento. Daí reulta que a deformaçõe e da fibra de uma eção ão proporcionai à ua ditância à linha neutra (linha de deformação nula), ou eja, o diagrama de deformação é retilíneo LEONHARDT e MÖNNING (1977). Figura.3. - Diagrama de deformaçõe de acordo com a hipótee de Bernoulli para peça ebelta (a eção tranveral permanece plana na deformação por flexão e o diagrama de deformação é linear). (Fonte: LEONHARDT e MÖNNING, 1977). (c) a reitência à tração do concreto não é levada em conta, ito é, zona de concreto, na 33

52 quai urgem deformaçõe longitudinai de tração, ão coniderada em efeito, reultando daí que para toda a força de tração neceária ao equilíbrio interno devem er providenciada armadura de aço. (d) a hipótee obre a aderência perfeita entre o aço e o concreto, ou eja, elemento de aço e de concreto de eção tranveral que e ituem em fibra de igual ditância da linha neutra, ofrem a mema deformaçõe. (e) a curva tenão-deformação do materiai ão a obtida para olicitaçõe unidirecionai. (f) a carga ão etática, monotônica e crecente. A capacidade de carga de uma eção de concreto etrutural é egotada quando o concreto rompe a compreão ou o aço a tração. A carga ão coniderada de curta duração, quer dizer que não e conideram o efeito diferido do comportamento do materiai. (g) em termo de olicitaçõe, conidera-e a interação eforço normal-momento fletor, porém a influência do eforço cortante é deprezada Equaçõe gerai O itema fundamental de equaçõe neceário para reolver o problema do o equilíbrio de uma eção tranveral homogênea de concreto olicitada por um par de eforço externo (M, N) é repreentado pelo itema matricial motrado abaixo (MARTINS, 1989): N Nr M M r N r M r N r m M r m m. (.3.) onde: M, N ão momento fletor e eforço normal olicitante da eção; Mr, Nr ão momento fletor e eforço normal reitente da eção; m é a deformação média, numa fibra qualquer livremente ecolhida, aqui adotada à meia altura da eção (h/); é a curvatura da eção. 34

53 A formulação geral do modelo matemático para o comportamento de viga conidera relaçõe de equilíbrio, no nível da eção tranveral da viga, que aociam tenõe com eforço interno. Tai tenõe devem etar em equilíbrio com o eforço normal e o momento fletor atuante na eção tranveral. Aim, a reultante da tenõe normai longitudinai, integrada ao longo da eção tranveral, devem er iguai ao eforço normal e ao momento fletor olicitante. Figura.3.3). Para o cao geral do etudo da flexão compota reta, o eforço normal reitente (Nr) é obtido por meio do cálculo da integral de área da tenõe em cada ponto da eção: N r. da (.3.3) Por ua vez, o momento fletor (Mr) é calculado pela integral de área do produto da tenõe pela ditância de cada ponto ao eixo médio da eção, de acordo com a equação: M r.. da (.3.4) O inal negativo que aparece na equação do momento fletor reitente (Mr) deve-e à convenção de inai adotada: uma tenão normal poitiva (tração) em uma fibra inferior ( negativo) provoca um momento fletor poitivo. E, uma tenão normal negativa (compreão) em uma fibra uperior ( poitivo) também provoca um momento fletor poitivo (Figura.3.3). Figura Seção tranveral em flexão compota reta. (Fonte: Autor) 35

54 Coniderando a hipótee de eçõe plana, o etado de deformação pode er definido por meio da deformação normal ɛ m, avaliada no eixo médio, e a curvatura φ da eção. Figura Deformaçõe da Seção Tranveral. A grandeza m e ão denominada deformaçõe generalizada da eção e podem er relacionada com a deformaçõe unitária na bae e no topo da eção como: m b t (.3.5) b t h (.3.6) onde: b é a deformação unitária normal na bae da eção (lado inferior) e para tração, 0 b t é a deformação no topo da eção (lado uperior) e, para compreão, t 0 é o eixo vertical da eção, tem origem no eixo médio e é poitivo quando dirigido para cima. ; e Para a verificação do equilíbrio de eção de elemento de concreto etrutural, faz-e a análie não-linear fíica executando o cálculo da deformaçõe ( ) de uma fibra ditante do eixo médio da eção, em função da deformação média e da curvatura ( ), conforme equação: m ( ) m.. (.3.7) 36

55 A tenão normal ( ), em um ponto de coordenada da eção tranveral, pode er ecrita como endo uma função da deformação unitária epecífica ( ), ito é, )) f ( (. O eforço reitente (Nr,Mr) ão funçõe tanto da deformação da eção no eixo médio como da curvatura da eção, ou eja, N r (, ) m e M (, ). r m Agrupando-e o eforço reitente e a deformaçõe generalizada da eção, em notação vetorial, tem-e: F r N M r r (.3.8) e m (.3.9) onde: Fr é denominado vetor de força interna ou reitente da eção; e é denominado vetor deformaçõe generalizada da eção. Utilizando a notação vetorial para a equação da deformação, ( ) m., obtém-e: m ( ) m. 1. a.( ). e (.3.10) com a.( ) 1 Também de forma compacta, o vetor de força interna pode er expreo como: ( ). da N r A T F r a.( ). ( ). da M r ( ).. da A A (.3.11) Sabendo-e que a matriz de rigidez da eção é definida como endo a derivada do vetor de força (F r ) da eção em relação ao vetor de deformaçõe (e), tem-e: 37

56 38 r m r r m r r M M N N e F e k ) ( Subtituindo-e a equaçõe.3.3 e.3.4 no elemento da matriz de rigidez k de.3.1, obtém-e: da N m m m r ))., ( ( da N m r ))., ( ( da M m m m r. ))., ( ( da M m r. ))., ( ( Deenvolvendo a equaçõe de.3.13 a.3.16, obtêm-e a eguinte equaçõe: da N m m r.. N r.da. da M m m r... da M r... Sendo ) ( E t o módulo de deformação tangente, realtando que m. ) (, a equaçõe de.3.17 a.3.0 podem er ecrita da forma: (.3.1) (.3.13) (.3.14) (.3.15) (.3.16) (.3.17) (.3.18) (.3.19) (.3.0)

57 N r m Et ( ). da (.3.1) N r E ( ).. da t (.3.) M r m M r E ().. da t E ( ).. da t (.3.3) (.3.4) Subtituindo a equaçõe.3.1 a.3.4 na equação.3.1, chega-e a matriz rigidez k de.3.5: Fr k e) e N r m M r m N r M r Et ( ) E ( ). Et ( ).. da E ( ). ( A t t (.3.5) Seçõe de concreto etrutural ujeita a flexo-compreão A equaçõe apreentada no item anterior e aplicam a uma eção homogênea de concreto imple, ma ela também ão válida para uma eção de concreto etrutural (PRAZERES, 00). t ' A ' h d x m A b Figura (a) Seção em concreto etrutural; (b) Ditribuição da deformaçõe na eção tranveral. (Fonte: PRAZERES, 00) 39

58 Conidera-e que a deformaçõe unitária que definem o etado de deformação em uma eção em concreto etrutural ão a deformação no topo da eção c max, relacionada com o emagamento do concreto, e a deformação na armadura mai tracionada. A partir deta deformaçõe, cmax e, pode-e determinar a deformaçõe t e b como endo: t cmax (.3.6) b c max ( c max h ) d (.3.7) Pode-e ainda calcular o valore do vetor de deformaçõe generalizada da eção, por meio da equaçõe.3.5 e.3.6. m e, Ainda com relação a uma eção de concreto etrutural, em que o concreto reite apena à tenõe de compreão e o aço à tenõe de tração e de compreão, a equaçõe de eforço normal e momento fletor reitente, quando a eção etá ujeita à flexão compota reta, ão: N r.da.da c c A A ' A c '. da ' (.3.8) M r ' ' ' c. c. dac.. da.. da A c A ' A (.3.9) onde: A c é a área de concreto da eção reitindo a tenõe de compreão; A é a área de armadura inferior da eção; e A é a área de armadura uperior da eção. Uualmente, depreza-e a variação de deformaçõe na área de cada barra da armadura. Com eta conideração, para a obtenção da matriz de rigidez da eção, devem-e incluir a parcela de rigidez referente à armadura, conforme a expreão abaixo: 40

59 41 ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '. ). (. ). (. ). ( ). (. ). (. ). (. ). ( ). (. ). ( ). ( ). ( ) ( A t t t t A E A E A E A E A E A E A E A E da E E E E k A equaçõe de Nr, Mr e k (.3.8,.3.9 e.3.30) podem er ecrita de forma compacta, como repreentado a eguir: ' ' '.. ).(.. ).( ). (. ).( T T A c T r r r A a A a da a M N F ).( ). (. ).( ).( ). (. ).( )..( ). (. ).( ' ' ' T T A c T a E a a E a da a E a k c onde: a 1 ).( Pode-e, ainda, exprear a equaçõe Fr e k (.3.31 e.3.3) como endo formada por trê parcela: S S C r F F F F ' S C k k k k onde: A C T C da a F ). (. ).( S S T S S A a F.. ).( ' ' ' '. ).( S S T S S A a F ).( ). (. ).( ' ' ' ' T S a E k a (.3.3) (.3.30) (.3.31) (.3.33) (.3.34) (.3.36) (.3.39) (.3.35) (.3.37) (.3.38) (.3.40) (.3.41) ).( ). (. ).( T S a E k a A c c T C da a E a k )..( ). (. ).(

60 onde: F ' ' C, FS, FS, kc, ks, ks armadura uperior, repectivamente. ão parcela de força e de rigidez para o concreto, armadura inferior e Como e pode obervar, expreando-e F-Fr chega-e ao itema fundamental de equaçõe neceário para reolver o problema do equilíbrio de uma eção tranveral de concreto etrutural olicitada por um par de eforço externo (M, N): N r N r N N r m m F Fr k. e. M M M r M r r m k (.3.4) onde: T F N M é denominado vetor de força externa ou olicitante da eção; F r N r M T r é denominado vetor de força interna ou reitente da eção; k é denominado a matriz de rigidez da eção de concreto etrutural; e m T e é denominado vetor deformaçõe generalizada da eção Comprimento de ancoragem de barra tracionada Com o intuito de e realizar uma comparação entre o Modelo de Aderência Perfeita (MAP) e o Modelo de Aderência Variável (MAV), paa-e ao cálculo do comprimento de ancoragem da barra de aço imera no bloco de concreto coniderando a aderência perfeita entre o aço e o concreto. No cao do MAP, conidera-e que a tenão tangencial de aderência é contante. Porém, no cao do MAV a tenão de aderência não apreenta linearidade. Citam-e como exemplo a lei de MIRZA (1979), YANKELEVSKY (1985), CEB (1990) e MARTINS (1989), já apreentada nete trabalho. 4

61 A Figura.3.6 motra a tranferência da força normal F atuante na barra de aço para o bloco de concreto. Ea tranferência de força é poível devido ao deenvolvimento de tenõe tangenciai de aderência τ b,x entre a armadura e o concreto. Figura Tranferência de força normal para o concreto. (Fonte: UFPR, 006) Fazendo o equilíbrio de força atuante no elemento de barra dx, tem-e: A. x u. dx. b, x A.(, x d,, x ) (.3.43) u. dx. b, x A. d, x (.3.44)... 4 dx. b, x d, x (.3.45) b, x d, 4 dx x (.3.46) 43

62 d, x 4 dx b, x (.3.47) De acordo com UFPR (006), a olução da equação ó é poível e for conhecida a variação de τ b,x ao longo de x. A olução implificada admite que a tenão de aderência etá uniformemente ditribuída ao longo do trecho da barra ituada dentro do bloco de concreto. d, x 4 dx b, unif (.3.48) 4 d, x. b, unif. dx (.3.49) 4, x. b, unif. x (.3.50) Eta equação correponde a uma reta e a Figura.3.7 motra o equema implificado de tranferência de força atuante na barra para o bloco de concreto, oberva-e que τ b,unif é contante e σ,x varia linearmente. Figura Tranferência de força normal para o concreto. (Fonte: UFPR, 006) A partir da Figura.3.7, é poível determinar o comprimento de ancoragem neceário lb,nec para tornar nula, no final da barra, a tenão normal nela atuante, ou eja, o comprimento de 44

63 ancoragem neceário para que a força atuante na barra poa er integralmente tranferida para o concreto. Do diagrama de tenõe normai ilutrado na Figura.3.7, pode-e etabelecer: x 0, x 0 (.3.51) x l b, nec, x F A (.3.5) De acordo com UFPR (006), ubtituindo-e o valore de.3.5 na equação.3.50 obtéme o valore de σ e l b,nec abaixo: 4. b,unif. l b,nec (.3.53) l b, nec 4 b, unif (.3.54) Método de cálculo O método de cálculo numérico utilizado na criação do programa CARPE para o cálculo do equilíbrio de uma eção tranveral de concreto etrutural, ubmetida a flexo-compreão reta, coniderando o Modelo de Aderência Perfeita (MAP) ão apreentado abaixo: - Método de Newton-Raphon para obtenção de raiz de Função Não-Linear - Método de Newton-Raphon para Sitema de Equaçõe Não-Lineare - Método do Ponto Médio - Integração Numérica Método de Newton-Raphon para obtenção de raiz de Função Não-Linear O Método de Newton-Raphon baeia-e na aproximação da raiz da função f(x) atravé de uceiva tangente. Partindo de (x0) que é uma etimativa inicial da raiz (r1) da função f(x), determina-e a Tangente 1 a função f(x) em P0. A Tangente 1 interceptará o eixo da abcia em (x1) e determinará o ponto P1 no qual e calculará a Tangente a função f(x) que interceptará o eixo da abcia em (x) aproximando-e da raiz procurada (r1). Repetee ee proceo até que a precião deejada eja atingida. (CUNHA, 1993) 45

64 Figura Método Newton-Raphon.(Fonte: CUNHA,1993) Aim, obervando a figura acima obtém-e a equação a eguir: f ( x x 0 0 ) x 1 ' f ( x ) 0 (.3.55) que, explicitando o valor de x1, fica: x 1 x 0 f ( x 0 0 ) ' f ( x ) (.3.56) Genericamente, o proceo conite em evoluir da aproximação xk para aproximação xk+1 uando a fórmula: x ( k f ( xk ) 1) x( k ) ' f ( x ), k = 0,1,,... k (.3.57) O proceo iterativo deve er realizado até que a norma da diferença entre dua oluçõe conecutiva x (k ) e x ( k 1) eja menor do que uma tolerância pré-etabelecida. x x ( k 1) ( k) tolerância (.3.58) 46

65 Método de Newton-Raphon para a obtenção do Diagrama Momento-Curvatura Para a obtenção do diagrama momento-curvatura é neceário calcular o valor da deformação m, para uma curvatura epecificada, que torne o eforço normal reitente igual ao eforço normal olicitante. Para io, reolve-e um problema de cálculo de raíze de funçõe. A equação a er reolvida é dada pela diferença do eforço normal olicitante N com o eforço normal reitente Nr. N de ( ) N N ( ) 0 m r m (.3.59) onde: N de ( m ) repreenta o deequilíbrio entre a força normai olicitante e reitente. Para obtenção de um determinado ponto do diagrama momento-curvatura, Nr é ecrito como função de m porque a curvatura é mantida fixa. O Método de Newton erá aplicado para reolver a equação abaixo: m N ( ) 1 ( de m m ) ( k ) de m ( m ( k 1) k N ) (.3.60) N é de ( m Da equação.3.59, a derivada da função ) N de ( ) m m N m N r ( m ) m 0 k ( ) 11 m (.3.61) de ( m Como e pode verificar, a derivada da função ) de rigidez (k) da eção, com o inal trocado. Ou eja, N é igual a componente (1,1) da matriz N de ( ) m m k ( 11 m ) A E ( ). da t (.3.6) 47

66 Para eclarecer o raciocínio do parágrafo anterior, trancreve-e a matriz de rigidez da eção: Fr k e) e N r m M r m N r M r Et ( ) E ( ). Et ( ).. da E ( ). ( A t t (.3.63) Dea forma, pode-e ecrever a equação de recorrência baeado no Método de Newton- Raphon para obtenção de m que iguala o eforço olicitante N ao eforço reitente Nr. 1 ( ) ( N N ( ) m( k 1) m ( k ) r m ( k ) k11 m ( k ) ) (.3.64) Para e obter um ponto do diagrama momento-curvatura, procede-e da eguinte forma (PRAZERES,00): (a) conidera-e como conhecido o valor do eforço normal Nr, (b) ecolhe-e um valor para a curvatura, (c) determina-e m iterativamente pela fórmula acima, (d) calcula-e o momento fletor M m, pela equação M r ' c. c.da c..da A A ' c A.. da ' ' (.3.65) Variando-e o valor da curvatura de zero até um determinado valor máximo, para um incremento apropriado, e repetindo-e o proceo acima, obtém-e o diagrama momentocurvatura para um determinado valor de eforço normal Método de Newton-Raphon para Sitema de Equaçõe Não-Lineare A olução de um itema não-linear conite em determinar ponto no ubepaço do problema que olucione o conjunto de equaçõe. O ponto de olução etão na interecção da curva que repreentam a equaçõe. O proceo de olução a er vito é uma 48

67 49 generalização do Método de Newton-Raphon para itema de equaçõe não-lineare (CUNHA, 1993). Seja o itema de equaçõe não-lineare: 0 ) x,..., x, (x f 0 ) x,..., x, (x f 0 ) x,..., x, (x f n 1 n n 1 n 1 1 O itema pode er repreentado de forma vetorial: 0 ) ( x F onde: T x n x x x 1 Sabe-e do Método de Newton-Raphon para equaçõe ecalare que, a cada iteração determina-e a reta tangente ao gráfico da função no ponto inicial. No cao de itema de equaçõe, determina-e o hiperplano tangente ao politopo determinado pelo itema de equaçõe no ponto inicial. O proceo é emelhante ao cao ecalar, no qual e utiliza a expanão em Série de Talor vetorial no ponto (0) x. ) )( ( ) ( ) ( (0) (0) (0) x x x J x F x F onde: n n n n n n x x f x x f x x f x x f x x f x x f x x f x x f x x f x J ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( (0) (0) 1 (0) (0) (0) 1 (0) (0) 1 (0) 1 1 (0) 1 (0) é chamada de matriz Jacobiana. (.3.66) (.3.67) (.3.68) (.3.69)

68 Igualando-e a zero, chega-e ao proceo iterativo para itema de equaçõe não-lineare: F ( x) F( x (0) ) J( x (0) )( x x (0) ) 0 (.3.70) que de forma genérica torna-e: x ( k ) 1 ( ) J ( x ) F( x ) ( k 1) ( k ) k x (.3.71) Fazendo x ( k) ( k1) ( k) x x, tem-e: x ( k ) 1 ( ) J ( x ) F( x ) ( k ) k Multiplicando-e a equação vetorial por J( x J ( x ) x (k ) ), tem-e: ( k) ( k) ( k) F( x ) (.3.7) (.3.73) Oberva-e que em cada iteração do Método de Newton-Raphon para itema de equaçõe não-lineare reolve-e um itema de equaçõe lineare. O proceo iterativo deve er realizado até que a norma da diferença entre dua oluçõe conecutiva (k ) x ( 1) e k x eja menor do que uma tolerância pré-etabelecida. x x ( k 1) ( k) tolerância (.3.74) Método de Newton-Raphon para obtenção da deformaçõe generalizada Um problema importante na análie de eçõe de concreto etrutural conite na determinação da deformaçõe generalizada e, T conhecida a força externa ou olicitante F N, M T 00). A olução do problema recai na reolução da equação de equilíbrio: m, provocada pelo carregamento, atuante na eção (PRAZERES, N N M M r r N r M r N r m M r m m. F F r k.e (.3.75) 50

69 ou F de ( e) F F ( e) 0 r (.3.76) onde: (e) F de repreenta o deequilíbrio (diferença) entre a força olicitante (F) e a força reitente (Fr). Na olução da equação.3.75, utiliza-e o Método de Newton-Raphon para calcular a raize er que zeram a função Fde(e). O ponto correpondente ao valor de deformação que zera a função, pelo método de Newton- Raphon para funçõe vetoriai de dua variávei, é calculado como motrado a eguir: e e ( k) 1 ( ) J ( e). F ( e ) ( k1) ( k) k de (.3.77) com F ( ) ( ) ( ) E ( ) E ( ). de e F e Fr e t t J ( e) 0. da k( e) e e e E ( ). E ( ). A t t (.3.78) ou J ( e) k( e) (.3.79) onde: - e é o vetor de deformaçõe generalizada; e - J(e) é matriz jacobiana da função F de (e). No preente cao, a matriz jacobiana tem o memo valor da matriz de rigidez (k) da eção com o inal trocado. Ito é, J ( e) k( e). Para o cálculo da deformaçõe generalizada na eção, o proceo iterativo egue a fórmula a eguir: e e k( e ).( F F ( e ( k1) ( k ) ( j) 1 ( j) r )) (.3.80) 51

70 Reolvendo-e o problema para um vetor de força externa F conhecida, obtém-e a repectiva deformaçõe er, definindo-e, portanto, um ponto na trajetória de equilíbrio da eção. Para contrução da trajetória de equilíbrio completa, conidera-e um novo valor de F (novo pao de carga), calculam-e nova deformaçõe, e aim por diante. O proceo iterativo deve er realizado até que a norma da diferença entre dua oluçõe conecutiva (k ) e e ( k 1) e eja menor do que uma tolerância pré-etabelecida. e e ( k 1) ( k) tolerância (.3.81) Integração numérica A integrai abaixo podem er avaliada numericamente utilizando-e divera técnica de quadratura, tai como o Método do Ponto Médio, Método do Trapézio, Método de Simpon, Método de Gau, etc. (BURGOYNE,1990; BURDEN,1993). Nete trabalho, erá empregado o Método do Ponto Médio devido ao reultado contido no artigo intitulado: Aplicação de Método Numérico na Análie Computacional de Seçõe de Concreto Armado Submetida a Flexão Compota Reta. O artigo foi apreentado no V Simpóio EPUSP obre Etrutura de Concreto, em 00. (PRAZERES, 00). F r N M r r A a T T ' T ' '.( ). c ( ). da a.( ).. A a.( ).. A (.3.8) e T T ' T ' ' k a.( ). Ec ( ). a.( ). da a.( ). E ( ). a.( ) a.( ). E ( ). a.( ) Ac (.3.83) onde a.( ) 1 (.3.84) O proceo de integração numérica conite na tranformação de uma integral definida em um omatório, conforme decrito abaixo: I f ( ) d n i1 f ( i ) w i (.3.85) 5

71 onde : n é o número de ponto de integração; i a coordenada do ponto i; f ( i ) é o valor da função no ponto i; e wi o peo do ponto i Método do Ponto Médio A equaçõe do eforço normai (N, M) e da matriz de rigidez (k) apreentam a eguinte forma: N n ( ). h b i1 i. (.3.86) M n i1 ( ).. h b i i. (.3.87) k n 1 i1 i i. Et ( i ). i h. b (.3.88) A equaçõe acima podem er generalizada para F c n i1 f ( ) h i (.3.89) k c n i1 g( ) h i (.3.90) onde: h correponde a um peo de integração contante, dado pela divião da altura h da eção pelo número de ubdiviõe nd da eção; e f (i) é uma matriz coluna ( x 1) e g(i) é uma matriz quadrada de ordem. 1 f ( i ) ( i ). b i (.3.91) 53

72 1 i g( i ) Ec ( i ). b i i (.3.9) No método do ponto médio, o número de ubdiviõe da eção é igual ao número de ponto de integração ( n = nd ). Como o método do ponto médio é uma fórmula de Newton-Cote do tipo aberta, ele não conidera o ponto extremo do intervalo de integração. Oberva-e que tão mai precio erão o reultado, quanto maior for o valor de n, e menor o valor de h. Há um limite de razoabilidade acima do qual não adianta elevar n poi não haverá maior precião no reultado (n 10). A Figura.3.9 motra um exemplo de divião da eção para n = nd = 8. Figura Divião da eção tranveral. A integrai Fc e kc (.3.89 e.3.90), avaliada obre a eção retangular de concreto etrutural, apreentam a eguinte forma: F c T T a( ) ( ). da a( ). ( ). b. d f ( ). d h h A h h i1 n f ( ). h i (.3.93) k c T T a( ) Ec ( ). a( ). da a( ). E h c ( ). a( ). b. d g( ). d h A h h i1 n g( ). h i (.3.94) 54

73 onde: T f ( i ) a( i ) ( i ). b T g( i ) a( ) E ( ). a( ). b i c i i (.3.95) (.3.96) ão funçõe que correpondem ao integrando da equaçõe Fc e kc. (.3.93 e.3.94). O procedimento de integração numérica pode er utilizado para divero tipo de relaçõe contitutiva, tanto do concreto como do aço, e para divero etado de deformação da eção, não e retringindo ao etado limite Algoritmo da rotina para cálculo do eforço reitente Com relação ao dado de entrada do programa, detaca-e a importância da ecolha de dua variávei para e definir o etado de deformação da eção tranveral de concreto etrutural. Tai variávei podem er: - a deformação no topo da eção t e a deformação na bae da eção b ; - a deformação no topo t e a curvatura da eção ; e - a deformação em um ponto arbitrário da eção m e a curvatura. Dentre a poibilidade apreentada, ecolheu-e a primeira ( implificação do proceo da programação computacional. t e b ) devido à Para reolução do problema de equilíbrio da eção, deve-e, primeiramente, realizar a tranformação da deformação unitária do centro da eção da armadura inferior, em deformação unitária na bae da eção de concreto. h b t ( t ). d (.3.97) A equaçõe e ão definida abaixo: m m t b 55 (.3.98)

74 t b h (.3.99) Com o valore ( m e ) e a ditância da fibra em relação ao centro médio da eção, calcula-e a deformação unitária em uma fibra qualquer da eção por meio da equação: ( ). m (.3.100) A eguir, o problema é calcular a integrai de área dada pela equaçõe: M.. da N. da (.3.101) (.3.10) Para f ck 50 MPa (n = ), a ditribuição da tenõe no concreto comprimido ocorre de acordo com o diagrama parábola-retângulo cuja tenão última correpondente a deformação 0,0035 cu vale 0,85fcd, onde fcd é a reitência de projeto à compreão do concreto. A reitência à tração do concreto é deprezada. Figura Diagrama tenão-deformação idealizado do concreto. (Fonte: NBR 6118/14) Para o aço do tipo A, a ditribuição da tenõe e comporta de acordo com o modelo linear elático perfeitamente plático, com tenão de ecoamento f. 56

75 Para o aço do tipo B, a ditribuição da tenõe empregam o modelo linear elático até 0,7fd com curva de tranição até fd, a partir da qual o aço entra na fae de encruamento que termina na ruptura. Figura Diagrama tenão-deformação do aço tipo A e B. (Fonte: ABNT NBR) Com bae em PRAZERES (00), é propoto um algoritmo (Figura.3.1) para o cálculo do eforço reitente numa eção tranveral de concreto etrutural ubmetida a eforço de flexo-compreão. 57

76 Dado ε t, ε e n ε b = ε t (ε t ε ). h d h = h n ; ε m = ε t + ε b ; φ = ε b ε t h = ( h h ) Para i = 1 até n Se i n ε() = ε m. φ = ( h d ) ; = h d" Chama rotina que calcula a tenão no concreto σc e Ect ε () = ε m. φ ε () = ε m. φ N c = σ c. da M c = σ c.. da Chama a rotina que calcula a tenõe no aço σ e σ k c11 = E t (ε). da N = σ. A ; N = σ. A = + h M = σ.. A ; M = σ.. A N = N c + N + N M = M c + M + M k 11 = k c11 + E + E Figura Algoritmo da rotina para cálculo do eforço reitente 58

77 Caracterítica geométrica da eçõe tranverai A propriedade geométrica da eção tranveral que podem er implementada no programa computacional CARPE ão: a área, o centróide, o momento etático, o momento de inércia e o produto de inércia. A formulação deenvolvida permite que a eção tranveral da viga de concreto poa aumir outra forma além da retangular, incluive eçõe vazada Área da Seção Tranveral A área da eção tranveral é calculada com bae na área de um polígono que pode er obtida por meio de um omatório imple, baeada na oma de área de triângulo, conforme decrito a eguir. Sejam xi e i a coordenada do vértice vi do polígono P, com n vértice. A área do polígono é dada por: A (P) 1 n 1 i0 x. i i1 x i. i1 (.3.103) Oberva-e que, na expreão acima, quando e tem i = n 1, é neceário ter xn = x0 e n = 0, de acordo com a definição de polígono, caracterizando o eu fechamento. O inal da área calculada indica o entido da equência de vértice. A área erá negativa e o vértice etiverem em entido horário, ou poitiva e em entido anti-horário Centróide da Seção Tranveral O centróide é o ponto no interior de uma figura geométrica que define o centro geométrico. Se a figura geométrica poui um corpo de denidade uniforme então o centróide coincide com o centro de maa e e a figura geométrica etá ubmetida a um campo gravitacional então ete ponto coincide com o centro de gravidade. O centróide da eção tranveral, que leva em conta o centróide de um polígono fechado, definido por n vértice, pode er calculado utilizando-e uma fórmula que recebe a coordenada do vértice (xi, i) e também a ua área (A). Para o cálculo da coordenada do centróide (xc, c) utilizam-e a fórmula abaixo: 59

78 x c c n 1 i0 n 1 i0 x i1 i1 x i.(x i 3.A(P) i.(x i 3.A(P) i1 i1 x i x i i1 i1 ) ) (.3.104) (.3.105) Cálculo do Momento Etático É conhecido que o momento etático pode er obtido pela equaçõe abaixo: Q x Q. da x. da (.3.106) (.3.107) onde: é a ditância ao eixo de referência x de da x é ditância ao eixo de referência de da da é o elemento de área Sabe-e, também, que a área de um polígono pode er obtida por meio do omatório de área de triângulo conforme já comentado nete trabalho. Da geometria analítica, pode-e obter o centro de gravidade de um triângulo pela expreão: x1 x x3 x (.3.108) (.3.109) endo o terceiro ponto de coordena (0,0) tem-e: 60

79 x1 x x (.3.110) (.3.111) Da Equação e Equaçõe e.3.111, pode-e concluir que o momento etático de um triângulo é dado por: Q x Q n i1 n i x. x.. x x i i1 i1 i i i1 x. x.. i i1 i1 i i i1 (.3.11) (.3.113) Cálculo do Momento de Inércia Para o cálculo do momento de inércia, utiliza-e o artifício de dividir o triângulo em dua parte A1 e A, paando uma linha paralela ao eixo em que e quer calcular o momento de inércia. A A 1 A A 1 A x (.3.114) (.3.115) Para inércia em relação ao eixo, faz-e x = i e = i+1-i, para e obter A1: A 1 i. i1 A i (.3.116) Da Equação e Equação.3.116, pode-e concluir que A1 e A aumem a forma: A 1 i. A i1 (.3.117) A i1 i1 i A (.3.118) 61

80 Sabe-e, também, que o momento de inércia do triângulo é dado pela expreão: b.h I 36 3 A.h 18 (.3.119) Empregando-e o teorema do eixo paralelo mai a Equação.3.117, a Equação e a Equação encontra-e a expreão para o cálculo do momento de inércia em x: I x n i1 A. 6 i1 i. i i1 (.3.10) De forma análoga, encontra-e o momento de inércia em : I n i1 A. x 6 i1 x i x. x i i1 (.3.11) Cálculo do Produto de Inércia Para o cálculo do produto de inércia, foi utilizado um proceo emelhante ao da inércia e a expreão final é: (.3.1) I x n i1 1 1 x.. (x. ) (x x ) x x x. x.. i i i1 1 4 i i1 1 1 i i1 i 1 1 i i1 i1 1 4 i1 i 1 1 i1 i1 i Centro de gravidade da armadura A poição do centro de gravidade da armadura longitudinai, na eção tranveral, pode er obtida pela expreão: A. i A i i (.3.13) onde: é a altura do centro de gravidade (cg) em relação a linha de referência i é a altura de cada barra em relação a linha de referência 6

81 Ai é a área de cada barra A Figura.3.15 abaixo ilutra a aplicação da expreão de cálculo do cg. Figura Cálculo do cg da barra de aço Diagrama de Cálculo A eguir, ão apreentado o diagrama que podem er gerado pelo programa CARPE, que foram deenvolvido nete trabalho. - Diagrama de Interação Eforço Normal - Momento Fletor - Diagrama Eforço Normal x Deformação - Diagrama Eforço Normal x Curvatura - Diagrama Momento Fletor x Curvatura Diagrama de Interação Eforço Normal - Momento Fletor O diagrama de interação Eforço Normal - Momento Fletor ão curva gerada a partir da deformaçõe de etado limite que relacionam o máximo momento fletor com o máximo eforço normal ao qual uma eção de uma peça de concreto etrutural é capaz de uportar imultaneamente (FUSCO, 1981). Eta ituação é genérica, e não implica que a eção eteja em um etado de deformação delimitado pelo domínio de deformação (Domínio 1,, 3, 4, 4a, e 5, definido na NBR- 6118:014). O domínio de deformação repreentam apena uma ituação de ruína, e que uma eção em um etado de deformação anterior à ruína encontra-e totalmente fora dete domínio de deformação. 63

82 A uperfície de interação momento fletor x eforço normal limita a região em que uma eção de concreto pode trabalhar em atingir a ruína. Por exemplo, o ponto P no interior da uperfície de iteração (Figura.3.16) encontra-e na área egura de trabalho, enquanto que para o ponto Q deve-e redimenionar a eção tranveral. Figura Diagrama de Interação Momento Fletor Eforço Normal. Abaixo, apreenta-e um exemplo de diagrama de Interação Momento Fletor e Eforço Normal gerado pelo programa CARPE. (Figura.3.15) Figura Diagrama de Interação Momento Fletor Eforço Normal. 64

83 O diagrama de interação Eforço Normal Momento Fletor pode er obtido fazendo-e variar a deformaçõe cmax e da eção, de forma a percorrer todo o domínio de deformação correpondente ao etado limite último da eção. Deta forma, cada par ( max c, ) correponde a um ponto (N,M) na uperfície de interação. Para e determinar um ponto da uperfície de interação, adota-e o eguinte procedimento (PRAZERES, 00): (a) Definem-e a deformaçõe cmax e correpondente a um determinado domínio de deformação; (b) Obtém-e a deformaçõe t max ( max b c c ) max h d (.3.14) (.3.15) (c) Calculam-e a deformaçõe generalizada da eção ; m t b (.3.16) t b h (.3.17) (d) Calculam-e o eforço N e M atuante na eção atravé da equaçõe: N r.. ' c dac da. da ' c A A A ' (.3.18) M r ' ' ' c. c. dac.. da.. da A c A ' A (.3.19) No diagrama de interação Eforço Normal Momento Fletor, utilizam-e o valore normalizado adimenionai ν e do eforço normal Nd e o momento fletor Md de projeto, repectivamente (Fuco, 1981). 65

84 N c d A. f cd (.3.130) c M d A. h. f cd (.3.131) onde: fcd é a reitência à compreão de projeto do concreto. A quantidade da armadura é exprea pela taxa mecânica A. f A. f c d cd (.3.13) onde: fd é a reitência à tração de projeto do aço, A correponde a área total de aço na eção Diagrama Eforço Normal x Deformação O diagrama de Eforço Normal - Deformação (, ) ão diagrama que relacionam o eforço normal com a deformação da eção. (FUSCO,1981). Figura Diagrama Eforço Normal Deformação 66

85 O procedimento de cálculo para obtenção do diagrama de Eforço Normal - Deformação etá decrito no item.3.7 Integração Numérica Diagrama Eforço Normal x Curvatura O diagrama de Eforço Normal - Curvatura ão diagrama que relacionam o eforço normal com a curvatura da eção. Figura Diagrama Eforço Normal Deformação O procedimento de cálculo para obtenção do diagrama de Eforço Normal-Curvatura etá decrito no item.3.7 Integração Numérica Diagrama Momento Fletor x Curvatura O diagrama de Momento Fletor-Eforço Normal-Curvatura (,, ) ão diagrama que relacionam o momento fletor com a curvatura da eção. Conhecendo-e o momento fletor e o eforço normal ao quai a eção etá ujeita, obtém-e a curvatura da eção por intermédio do diagrama (,, ) (FUSCO,1981). 67

86 Figura Diagrama Momento Fletor Eforço Normal Curvatura O procedimento de cálculo para obtenção do diagrama Momento Fletor-Eforço Normal- Curvatura etá decrito no item Método de Newton-Raphon para a Obtenção do Diagrama Momento-Curvatura. O ramo decendente da figura.3.0 não tem ignificado para projeto poi repreentam ituação poterior à platificação/ruptura do materiai. 68

87 .4 - EQUILÍBRIO DE ELEMENTO DE CONCRETO ESTRUTURAL CONSIDERANDO O MODELO DE ADERÊNCIA VARIÁVEL (MAV) Generalidade Ete item trata do comportamento de um elemento de viga em concreto etrutural, ubmetido a flexão compota reta, compreendido entre dua fiura de flexão uceiva (MARTINS, 1989). Seja, por exemplo, o elemento compreendido entre a fiura A e B, apreentado na Figura.4.1. Figura Viga com fiura uceiva Conidera-e a degradação da aderência aço-concreto depoi da abertura da fiura, uma vez que o Modelo de Aderência Perfeita (MAP) da teoria da elaticidade não-linear cláica não é mai aplicável. Fica, no entanto, a poibilidade do aceo à expreõe que relacionam o MAP ao Modelo de Aderência Variável (MAV) propoto nete etudo. Io permite guardar para o MAP a variávei independente cg e, que repreentam a deformaçõe generalizada, para o cálculo do equilíbrio da eçõe crítica do elemento de concreto etrutural. Leva-e em conta, também, a influência fundamental do comportamento do concreto entre dua fiura para etabelecimento da condiçõe de equilíbrio na borda de uma aduela. Io permite coniderar a influência de parâmetro reconhecido como importante, tai como: relação entre o comprimento e a altura da aduela, partilha da tenõe longitudinai no concreto, poição do eixo neutro ao longo da aduela, etc. 69

88 .4. - Hipótee de cálculo Devido à perda de aderência entre o aço e o concreto, depoi da abertura da fiura, é precio encontrar uma hipótee de cálculo para ubtituir aquela de eçõe plana com aderência perfeita girando em torno da linha neutra de deformação (hipótee de BERNOULLI-NAVIER). A hipótee, que permite relacionar a deformaçõe do concreto à do aço tenionado, numa eção fiurada, foi fornecida pela pequia de GIURIANI (198), na Itália, obre peça de concreto armado fletida e pode er ecrita da eguinte maneira: Uma eção fiurada e deforma, depoi da abertura da fiura, girando em torno do eixo de delocamento nulo, relativo à eção mediana entre dua fiura conecutiva. O eixo de delocamento longitudinal nulo é, poi, ditinto da linha neutra de deformação. No cao geral, o primeiro é ditinto do egundo em razão da variação da poição do eixo neutro ao longo da viga devido à ingularidade contituída pela fiura/junta, conforme Figura.4.. Linha de delocamento nulo Linha de deformaçõe nula Figura.4. - Evolução do eixo neutro de deformação e de rotação da eçõe (Fonte: MARTINS, 1989). 70

89 A hipótee do eixo de delocamento nulo permitirá, conjuntamente com aquela expota abaixo, modelar uma aduela como um corpo deformado em eu conjunto, levando em conta a evolução da condiçõe de aderência entre o aço tenionado e o concreto de cobertura. A Figura.4.3 ainala a poição do eixo de delocamento nulo (rotação) que correponde ao ponto de ordenada (-0), obre o eixo Y, cuja origem é o eixo neutro de deformação da eção fiurada. 71

90 Figura O equilíbrio de um elemento coniderando o delizamento aço-concreto (Fonte: MARTINS, 1989). 7

91 A hipótee de ordem geral neceária ao deenvolvimento da formulação do Modelo de Aderência Variável (MAV) entre aço-concreto ão a eguinte: - carregamento quae etático, monótono, crecente; - o efeito do eforço cortante ão deprezado; - o momento fletor é coniderado contante ao longo da aduela; e - a eçõe permanecem plana pelo meno na parte do concreto comprimido depoi da fiuração. Para o deenvolvimento da equaçõe de equilíbrio do elemento de concreto etrutural, levando-e em conta a aderência variável entre o aço e o concreto, ão coniderada a lei propota por MARTINS (1989): - a lei tenão x deformação do concreto ( c x - a lei tenão x deformação do aço ( x ) do aço; e - a lei de tenão aderência-delizamento aço-concreto. c ) uni-axial para o concreto; Para poder modelar o comportamento do concreto ao longo da aduela, indipenável para reolução de eu equilíbrio, ão apreentada a hipótee complementare abaixo: - a partilha da deformaçõe da fibra de concreto adjacente a barra de aço tenionado; - a uperfície plana do diagrama de deformação de compreão da eçõe mediana e da fiura ão iguai; e - a deformaçõe do concreto obre a fibra mai comprimida evoluem egundo uma lei parabólica entre a eção de fiura e aquela a meia-aduela. Ante de paar ao deenvolvimento da equaçõe que governam o modelo, é precio ainalar que a hipótee formulada acima não implicam na particularização do comportamento do elemento, obretudo no que concerne ao tipo de fiuração. Ito quer dizer que a eparação entre dua fiura conecutiva é qualquer, o que vem admitir que e pode paar de um valor fraco (MAP) a um mai importante do tipo fiuração dicreta como, por exemplo, a abertura de junta. 73

92 Reulta dee raciocínio que o Modelo de Aderência Perfeita (MAP) é na realidade uma implificação dete Modelo de Aderência Variável (MAV), mai geral, cao e iguale o ponto de delocamento nulo, uc = 0, ao de deformação nula, c Equaçõe gerai A partir do trabalho de MARTINS (1989), apreentam-e a equaçõe que norteiam a formulação do equilíbrio do elemento de concreto etrutural, coniderando a variação de aderência aço-concreto Equação Diferencial de Aderência (EDA) Segundo BARBOSA (001), o equilíbrio do elemento de concreto etrutural,figura.4.4, permite deduzir a Equação Diferencial de Aderência (EDA) em termo da caracterítica geométrica da barra, da tenão axial no aço e a tenão de aderência entre a armadura e o concreto que a envolve, ecrevendo-e: A. ( x) ( x)... dx ( x) d ( x). S S A (.4.1) abendo-e que A.( ) 4A, implificando-e a equação acima, tem-e: d ( x) dx 4. ( x) (.4.) Figura Aderência Aço-Concreto (Fonte: BARBOSA, 001). 74

93 Conidera-e que a barra poui eção tranveral equivalente circular de diâmetro. Precinde-e, nete cao, do apecto geométrico mai acurado quando da exitência de moa ou aliência. Na compreão e na tração ante da fiuração, a armadura e o concreto vizinho pouem deformaçõe iguai, aço concreto. Tão logo haja fiuração do concreto, ea deformaçõe, na proximidade da fiura, paam a er diferente: a armadura alonga-e mai que o concreto. A diferença de alongamento entre o materiai implica na exitência de delizamento da armadura em relação ao concreto (Figura.4.5). Figura Delizamento da armadura em relação ao concreto (Fonte: BARBOSA, 001). A Equação.4. pode er deenvolvida em termo do delizamento relativo entre o aço e o concreto upondo-e que a parcela concernente ao materiai aço e concreto ejam repreentado por funçõe contínua diferenciávei, e que o limite de aplicação da lei de aderência fique retrito ao regime linear de comportamento mecânico da tenõe e c. O delizamento relativo aço-concreto para o elemento diferencial é: ( x) u ( x) u ( x) (.4.3) c 75

94 onde: (x) (x) u (x) u c delizamento relativo entre o aço e o concreto delocamento no aço delocamento no concreto Derivando-e a equação ( x) u ( x) u ( x) em relação a x e, para implificar a notação c matemática, abtraindo-e do argumento da funçõe, lembrando que a deformação epecífica é u ', vem: ' ou c ' ' u uc ' (.4.4) " u" u" ou c ' ' " c (.4.5) Para o regime linear elático, E., a Equação.4. fica: d ( x) 4 d ( x) 4. ( x) dx dx. E. (.4.6) ubtituindo-e a Equação.4.6 na Equação.4.5, obtém-e a Equação Diferencial de Aderência (EDA) em função do delizamento relativo aço-concreto (x): 4 ". ' c ou. E d ( x) 4 dx. E d c ( x). ( x) dx (.4.7) A Equação Diferencial de Aderência (.4.7), claificada como equação diferencial ordinária de a ordem, não-homogênea, neceita do eguinte parâmetro para ua reolução:. - caracterização do tipo de aço e de ua equação contitutiva, E ; - geometria da barra, no cao particular, o eu diâmetro; - lei de tenão de aderência (x) compatível com a olicitação que origina o delizamento (x) ; - lei de ditribuição da deformaçõe epecífica ao longo da barra, relacionada diretamente com a lei da aderência. 76

95 Ea variávei motram a neceidade fundamental de e pequiar uma função de tenão de aderência τ (x) adequada, vito que o divero parâmetro etão intimamente ligado a ea lei. A lei de tenão de aderência τ (x) utilizada nete etudo é a lei propota por MARTINS (1989) Modelo da Lei de Tenão de Aderência veru Delizamento Aço-Concreto O modelo matemático da lei de tenão de aderência τ (x) propoto por MARTINS (1989) é uma combinação de uma curva poligonal repreentativa da aderência veru delizamento relativo aço-concreto (Figura.4.6) e de um diagrama de deformação epecífica do concreto, relacionado à ditância da fiura (ou decontinuidade fíica) até o eixo de imetria do elemento etrutural analiado. Para reolver a Equação (.4.7) aplica-e a expreão de τ (x), Equação (.4.8 a b c d e), correpondente a cada uma da cinco zona de delizamento aço-concreto da Figura.4.6. τ 0 Figura Curva tenão de aderência x delizamento. (Fonte: MARTINS, 1989) A equaçõe da tenão de aderência τ (x) em função do delizamento relativo aço-concreto (x) propota por MARTINS (1989), conforme a zona de delizamento, ão: (a) Zona I: x 0 x S (.4.8 a) S 0 77

96 (b) Zona II: x 0 k0 Sx onde S S 1 0 k 0 0S S 1 1 S S 0 0 (.4.8 b) (c) Zona III: τ(x) = τ (.4.8 c) u (d) Zona IV: ( x) 1 S S 3 Sx (.4.8 d) (e) Zona V: x u (.4.8 e) Admitindo-e válida a repartição bi-linear da deformaçõe do concreto ao redor da barra, Figura.4.7, pode-e ecrever: ct la x x c, para x la la, para x > la c x ct (.4.9a) (.4.9b) onde: ct é a deformação máxima de tração entre dua fiura, geralmente upota igual a la é o comprimento de ancoragem da barra, aquele no qual o delizamento relativo não é nulo; x repreenta a região de aderência variável e tem como origem o ponto em que ε c alcança o valor ε ct,conforme ilutra a Figura.4.7. ctk ; 78

97 Figura Deformação do concreto ao redor da barra (Fonte: BARBOSA, 001) Subtituindo-e a Equação.4.9 na Equação.4.7, que relaciona o delocamento relativo entre a barra de aço e o concreto de cobertura com a tenão de aderência aço-concreto, teme: d S(x) 4 (x) dx E l ct a (.4.10) Dando proeguimento à reolução da Equação Diferencial de Aderência (EDA) (.4.10), utilizando-e da expreõe de tenão de aderência, (.4.8 a b c d e), calculada de acordo com a zona de delizamento (x), Figura.4.6, obtém-e a equaçõe do iten abaixo que erão apreentada ao longo dete capítulo: x - Tenão de aderência (x) - Delizamento S(x) - Deformação do aço SB - Comprimento de ancoragem la - Comprimento de aderência l0, l1, l, l3 que varia conforme a zona de delizamento 79

98 O deenvolvimento algébrico completo da reolução da equação diferencial de aderência (EDA), conta do etudo de MARTINS (1989). A eguir ão apreentado o reultado oriundo da equação diferencial de aderência (EDA), correpondente a cada uma da cinco zona de delizamento, conforme o equema da condiçõe de contorno abaixo. Equema apreentando a condiçõe de contorno de delizamento e deformação Legenda: XI, XII, XIII, XIV, XV repreenta a região de aderência variável S ignifica delizamento relativo entre o aço e o concreto S =u u c = ɛ - ɛc repreenta a deformação So, S1,S, S3 ão delizamento conhecido lo, l1, l, l3 ão comprimento de aderência correpondente ao delizamento conhecido la é o comprimento de ancoragem lv é o comprimento da aduela, ditância entre dua fiura uceiva Ub é delocamento do aço no nível da junta ou fiura A Tabela.4.1 contém a contante utilizada na reolução da equação diferencial de aderência conforme a zona de delizamento I, II, III, IV e V propota por MARTINS (1989). 80

99 Tabela Contante para equação diferencial de aderência conforme a zona de delizamento I, II, III, IV e V (Fonte: MARTINS,1989) ZONAS n AKn l n ZONA I S 0..E C l 0 ( 0. S1. S0 ) AK 0 ( S S ) 1 0 ZONA II 1 4. AK1. ac ( 0 ) AK1 ( S S ) 1 ALAMB S 0 0 AK AK 0 1 l l 1 l 01 0 l1 BETA enh(. l l ) 0 0 ZONA III ct ( 1ALAMB ).inh( 1. l1) ct. BETA. 1.coh( 1. l1). l ac l ZONA IV l 4. AK3. ac ct. l l 0 ( u ) AK3 ( S 3 S ) l l l 3 l l 5.co(. l ) (.( S 3 1 ct ) AK3. l 3 3 ) ZONA V u.. u ac l 03 l0 l1 l l3 81

100 Seguem abaixo, a equaçõe que fazem parte da reolução da Equação Diferencial de Aderência conforme a cinco zona de delizamento propota por MARTINS (1989). Zona I: 0 S(x) So I S (a) Tenão de Aderência: x 0 0 S x I (.4.11 a) ct (b) Delizamento: S x). coh(. x) 1 ( I 0 0. x (.4.11 b) (c) Deformação do aço: ( x) S I ct x inh(. x. 0 0 ) (.4.11 c) (d) Comprimento de ancoragem (la): (.4.11 d) Se L x v então 0. ub Lv. x la( x) I x.( 0. ) 0. coh( 0. x) 1 ct (.4.11 e) e não x. 0. ub Lv la( x) I 0. coh( 0. x) 1 8 ct (.4.11 f) (e) Comprimento 1o correpondente ao delizamento So: l 0( x) I 0. S0. x ct.coh( 0. x) ct (.4.11 g) Zona II: So < S(x) S1 (a) Tenão de Aderência: xii AK 0 Sx II S 1 S 0 0 (.4.1 a) 8

101 (b) Delizamento: (.4.1 b) ct AK0 ct S( x) II ( ALAMB ).coh( 1( x l0 )) ct. BETA. enh( 1.( x l0 )). x AK1. x 1 1 (c) Deformação do aço: (.4.1 c) ct ( x) II ( 1. ALAMB ). enh( 1( x l0 )) ct. 1. BETA.coh( 1( x l0 )). x 1 (d) Comprimento de ancoragem (la): (.4.1 d) Se (x lv/) então ct AK 0 ct la( x) II ( ALAMB ).coh( 1.( x l0 )). BETA. enh( 1( x l0 )) u ct. x AK1. x e não 1 1 b lv ct.( x ) la( x) II ct AK0 ct lv ( ALAMB ).coh( 1.( x l0 )). BETA. enh( 1( x l0 )) u. ) ct b ct. AK1. 8x 1 x x 1 (e) Comprimento l1 correpondente ao delizamento S1 (.4.1 e) ct AK 0 AK 0 ct l1( x) ( ALAMB.( l0 x) ).coh( 1. x). BETA.( l0 x). enh( 1. x). x. l0 S1.( x l0 ) ct AK1 AK1 1 1 Zona III: S1 < S(x) S (a) Tenão de aderência: x III (.4.13 a) (b) Delizamento: S ( x l ct 01 x (. )..( x l01) S1 III x ) (.4.13 b) (c) Deformação do aço: ct x (. )( x l01) III x (.4.13 c) 83 (.4.13 d)

102 (d) Comprimento de ancoragem (la): Se (x lv/) então ct ( x l01) la ( x) III (. ) ( x l01) S1 u x e não l ( x) a III ct ( x l ) (. ) x 01 ct ( x l01) S1 usb lv ct ( ) x SB. l 8x v (e) Comprimento l correpondente ao delizamento S (.4.13 e) 3 ct. l (. l01 ). l (. l01 S1 S ). l ( S1 S ). l01 0 Zona IV: S < S(x) S3 (a) Tenão de aderência: ( x) IV 1 S 3 u S S x IV (.4.14 a) (b) Delizamento: (.4.14 b) 4 1 ct 1 ct S( x) IV.in( 3 ( x l0 )) ( S ) co( 3 ( x l0 ) AK3. x AK3. x 3 (c) Deformação do aço: (.4.14 c) 1 ct ( x) IV 4.co( 3 ( x l0 )) 3 ( S ). en( 3 ( x l0 )) AK3 3. x (d) Comprimento de ancoragem (la): (.4.14 d) Se (x lv/) então 1 ct 1 ct la ( x) IV en( 3( x l0 )) ( S )co( 3( x l0 )) u 3 AK3 3. x AK3 3 x Se não 3 3 lv ct ( ) 4 x SB 84

103 l ( x) a IV 4 3 en( ( x l 3 0 )) ( S 1 ct )co( 3( x l AK3. x 3 0 )) 1 ct u AK3 x 3 SB lv ct ( ) 8x (e) Comprimento l3 correpondente ao delizamento S3 (.4.14 e) l ( x) ( l x). en(. x) (( S )( l x) )co(. x) ( S )( l 4 1 ct ) 3 AK3 3 AK3 x ct 3 Zona V : S(x) > S3 x (a) Tenão de aderência: u V (.4.15 a) ct ( x l03 ) (b) Delizamento: S( x) V ( u ) 5 ( x l03 ) S3 x ct (c) Deformação do aço: ( x) V (. u )( x l03 ) 5 x (.4.15 b) (.4.15 c) (d) Comprimento da ancoragem (la) : (.4.15 d) Se (x lv/) então ct ( x l03 ) la ( x) V (. u ) 5.( x l03 ) S3 u x e não lv ct ( ) x SB (.4.15 e) l a ( x) V (. ct ( x l ) x ) 03 ct. u 5.( x l03 ) S3 u SB. l 8x v (.4.15 f) Algoritmo de Cálculo do Modelo de Aderência Variável (MAV) Nete item, é apreentado o deenvolvimento da fórmula e equaçõe que definem o algoritmo para o cálculo do equilíbrio de um elemento de viga de concreto etrutural levando-e em conta a aderência variável entre o aço e o concreto, egundo MARTINS (1989). 85

104 O principal problema é levar em conideração a influência da abertura da junta no comportamento do elemento de concreto etrutural e da aderência da armadura que atravea a junta. O modelo utilizado nete trabalho é oriundo do trabalho de MARTINS (1989) Princípio Báico do Modelo de Aderência Variável (MAV) De acordo com MARTINS & FOURE (1990), conidera-e o elemento de concreto etrutural compreendido entre doi egmento pré-fabricado de comprimento l v, eparado por uma junta, ujeito a uma força normal contante N e a um momento fletor contante M. Se não há nenhuma decontinuidade devida àjunta (a), a eçõe tranverai permanecem plana e ua deformaçõe ε ão lineare. O delocamento de qualquer ponto com relação a uma eção de referência e traduz por uma rotação obre o eixo neutro, cuja ordenada é contante (ε c = 0) e que também é a linha de delocamento longitudinal nulo. (a fibra não varia de comprimento). Quando a junta etiver aberta (b), por uma razão de imetria, a eção (V) no meio do egmento permanece plana no entido do delocamento. Io não ignifica neceariamente que a deformaçõe ε ão lineare, a meno que o egmento eja longo o uficiente com relação à altura da abertura da junta. Figura Perturbação local da deformaçõe decorrente da abertura de uma fiura. (Fonte: MARTINS e FOURE, 1990). Mai uma vez por razão da imetria, a eção (J), que correponde à parte comprimida da junta e a um ponto da armadura interior equiditante da dua borda da abertura da junta, 86

105 permanece plana. O delocamento da eção (J) com relação a eção (V) é definido pela rotação θ/ obre o ponto de delocamento longitudinal nulo, cuja ordenada é 0. O ponto de delocamento nulo não coincide com o eixo neutro, cuja ordenada já não tem mai um valor contante, porque a abertura da junta caua uma perturbação local na deformaçõe. Legenda: (1) c 0 repreenta a linha de deformação nula () u = 0 repreenta a linha de delocamento nulo Figura Caracterização do delocamento relativo da eção de junta (J) em relação à eção (V) localizada na metade da ditância até a junta eguinte. (Fonte: MARTINS e FOURE, 1990) O ponto de delocamento nulo é obtido pela integração ao longo da fibra da ordenada o, entre a eçõe (V) e (J), região onde a deformação de encurtamento e a deformação de alongamento e compenam. Em geral, o delocamento longitudinal de qualquer ponto da eção (J) pode er ecrito: l v / u ( ) ( x, ). dx j 0 c 1 w.( ) (.4.17), em que w () é a abertura da junta na ordenada coniderada. Para a ordenada o, o delocamento uj é nulo: u j ( 0 ) 0 (.4.18) 87

106 O delocamento da fibra de compreão na eção plana (J) ão: ) ( u cj ( 0 ) (.4.19) Para valore epecificado de 0 e θ, a expreão (.4.19) é uma condição de contorno que permite calcular a deformação de compreão ε cj na eção de concreto (J) de acordo com a equação (.4.17), em que w é igual a zero. Na mema eção (J), o delocamento da armadura na ordenada v d é: u j ( d v 0 ) (.4.0) Na mema ordenada, a diferença no delocamento entre a armadura e o concreto no nível da junta aberta (Figura.4.10) é igual ao delizamento máximo S J da armadura dentro do concreto (para x = lv/). l v / S u ( x, v d). dx j j 0 c (.4.1),em que ε c (x,v-d) é a deformação do concreto no nível da armadura. O delocamento uj e o delizamento Sj etão ligado a um aumento na deformação do cabo interno Δεgj com relação ao etado de pré-deformação ε J *, que correponde à deformação zero no concreto, ito é, no início da abertura da junta (ε J * = 0 para uma armadura paiva). A tenão máxima correpondente na armadura é: j * j j (.4.1a) O valore σ J e SJ contituem a condiçõe de contorno para o etudo da tenão σ (x) e do delizamento S(x) ao longo da armadura. Levando-e em conideração a tenão de aderência τ (x) que aparece para equilibrar a obretenão por: j, apó a abertura da junta, tem-e que a obre-tenão em qualquer abcia é dada 88

107 ( x) j p A l v x / ( x). dx (.4.), em que p e A ão o perímetro e a área do aço, repectivamente. O módulo de elaticidade do aço é dado por E. A pré-deformação pode er coniderada contante, independente de x, para uma viga não muito longa ob um momento fletor contante. Dea forma, a equação anterior também pode er ecrita em termo de tenõe totai σ (x) e σ J. A olução S(x) da Equação.4.3 etá decrita no item d S( x) dx p d c ( x, v d ( x) E A dx ) (.4.3) Cabe lembrar que exite uma relação conhecida entre a tenão de aderência τ(x) e o delizamento (x). Nea última equação, a tenão σ cj (correpondente a deformação ε cj ) e σ J devem etar em equilíbrio com a olicitaçõe externa N e M Tenão de Aderência (τ) veru a Lei de Delizamento () Adota-e a lei multilinear Figura.4.10) propota por MARTINS (1989), conforme já apreentado nete trabalho. Figura Idealização da lei de aderência-delizamento. (Fonte: MARTINS, 1989) 89

108 O uo dea lei é válida obre certa ditância a partir da eção da junta, l a, que é o comprimento de ancoragem para a obre-tenão da armadura provocada pela abertura da junta. Realta-e que para uma ditância maior que l a, a tenão de aderência τ e o delizamento ão iguai a zero e que a armadura etá ujeita à mema variaçõe de deformaçõe Δε do concreto que a envolve. A Figura.4.1 motra equematicamente a evolução da tenão de aderência τ e o delizamento ao longo da armadura para valore crecente da olicitação, que correponde a um aumento de valore do comprimento de ancoragem la. Por quetão de imetria, o delizamento precia er zero na eção (V) no meio do egmento. Quando la é mai longo do que a metade do comprimento do egmento lv/, o uo da lei (τ, ), como decrito acima, leva a uma decontinuidade no valore de τ e na eção (V). Fiicamente, deve haver uma pequena zona de tranição em torno de (V), em que há uma evolução contínua de τ e, paando pelo zero em (V). A negligência dea tranição no cálculo não afeta o reultado. Detaca-e, ainda, que o comportamento motrado na Figura.4.11 depende do preupoto de que nenhuma fiura ocorra dentro do elemento de concreto etrutural. 90

109 Figura Evolução da tenão de aderência e do delizamento ao longo de uma viga para nívei crecente de obre-tenão do cabo interno. (Fonte: MARTINS&FOURE, 1990) Hipótee adicionai A hipótee adicionai tratam, baicamente, da deformaçõe longitudinai do concreto ε c (x,), como e pode obervar na Figura

110 Figura.4.1 Hipótee adicionai de deformação. (Fonte: MARTINS&FOURE, 1990) Detacam-e, a eguir, algun preupoto obre o etado de deformação do concreto no interior do elemento de concreto etrutural: (a) A deformaçõe do concreto comprimido na eção (J) ão ditribuída linearmente. Ela ão definida, por exemplo, pela altura j da parte comprimida e pelo encurtamento máximo cj ; (b) A deformaçõe do concreto comprimido na eção (V) ão ditribuída linearmente, definida pela altura comprimida v e pelo encurtamento máximo cv. A poição do eixo neutro v é calculada de acordo com a hipótee de Navier-Bernoulli aplicada a uma viga feita de um material perfeitamente elático e reitente à tração; (c) Entre a eçõe (V) e (J), a deformação ε c (x,) é upota variar parabolicamente: ( x, ) c x cv ( ) [ cj ( ) cv ( )].( ) l (.4.4) v 9

111 (d) A deformaçõe ε cj () ão extrapolada linearmente no domínio do alongamento no trecho até a deformação ε ct de ruptura do concreto; (e) Uma relação uplementar entre a deformaçõe de compreão na eçõe (V) e (J) é obtida aumindo que a área limitada pelo diagrama ε cv () e ε cj () ejam iguai: 1 1 cv. v cj. j (.4.5) (f) Para calcular a poição do ponto de delocamento nulo, de acordo com (.4.18), o termo ½ w() é negligenciado na equação (.4.17). Io apena é verdadeiro para uma viga de concreto etrutural em que ee ponto e itue na parte tracionada e não fiurada do concreto; (g) O alongamento do concreto no nível do cabo interno, ε c (x, v - d), variam linearmente ao longo do comprimento de ancoragem la, começando do zero em (J). Além de la, ele têm um valor contante εct. Para um comportamento perfeitamente linear na tração, teme: ct f E ct c (.4.5a),em que fct é a reitência à tração e Ec é o módulo de elaticidade do concreto Reolvendo o Problema do MAV A olução do cálculo do equilíbrio do elemento de concreto etrutural, coniderando a variação de aderência entre o aço e o concreto, é apreentada no fluxograma da Figura.4.13, cujo deenvolvimento teórico obedece ao pao motrado a eguir: (a) O eforço olicitante Eforço Normal e Momento Fletor, N e M, ão dado. (b) Por ua vez, v e v ão determinado pelo Modelo de Aderência Perfeita (MAP) (c) Começa-e com uma primeira etimativa do etado da deformaçõe do concreto comprimido na eção (J):,. (d) Por meio da equação (.4.5) pode-e calcular cv. cj j 93

112 (e) A condição (.4.18) é decrita de acordo com a equação (.4.17), em que w = 0. A expreão de ε c (x, ) para er integrada é dada por (.4.4). Com io, a ordenada do ponto de delocamento nulo é obtida por: 0.( v v j ). v j j ( v ) v (.4.6) (f) A condição (.4.19) é decrita em outro ponto particular, a fibra extrema = v, novamente por meio da integração de (.4.4). Dee modo, a rotação pode er ecrita da eguinte forma:. cv cj 3( v ) 0 ( cv cj )( v j ) lv lv 3 ( ) v j v j (.4.7) (g) O delocamento uj é calculado por (.4.0) e o delizamento j por (.4.1). A integração da equação (.4.3), levando em conideração a condiçõe de contorno, determina a tenão σj e o comprimento de ancoragem la. (h) Pode-e agora calcular o eforço reitente interno Mr e Nr, correpondente a tenõe do concreto comprimido e a armadura tracionada na eção (J): N E ). ( ). b( ). d E ( ).. A v r v j c( cj i j, i i i (.4.8) M r v v j E (). c cj ().b()..d i E ( i ). j,i. i.a i (.4.9), em que Ec() e Ec(i) ão o módulo ecante do concreto e do aço, correpondendo repectivamente a deformaçõe ε cj () e ε j ( i ). Onde b() é a largura da eção na ordenada. (i) Cao não e obtenha o equilíbrio entre o eforço olicitante externo e o eforço reitente interno, incrementa-e a variávei proceo até atingir-e a o equilíbrio de força. cj e j j cj, e repete-e o 94

113 FLUXOGRAMA DO EQUILÍBRIO DO ELEMENTO DE VIGA DE CONCRETO ESTRUTURAL SEGUNDO CARPE (MATINS,1989) Início (N, M) ε g, φ N e M ão arbitrado para a eçõe (V) e (J) na 1ª interação. Cálculo de v, j, f(y) Cálculo da poição da LN em (V) e (J) e de f(y). Cálculo de θ, u SB, u CB para eção (J) Cálculo de S B Cálculo de ε SB pelo Adhere Com ε SB calcule σ SB com diagrama (σ x ε) Calcular ε g, φ Reolver itema N, M (equação.3.) (uando σ SB, ε gj, φ j ) Tolerância atingida Não Sim (N R, M R ) Cálculo de ε g, φ de (V) e (J) e demai variávei. Fim Figura Fluxograma de Equilíbrio de Elemento Etrutural (Fonte: MARTINS,1989) 95

114 .4.5 Correlação entre MAP e MAV No etudo de MARTINS (1989) etá demontrada a correlação entre o Modelo da Aderência Perfeita (MAP), que conidera a aderência perfeita aço-concreto, e o Modelo da Aderência Variável (MAV) que leva em conta o delizamento entre o aço e o concreto. A teoria cláica da elaticidade não-linear que parte do princípio da aderência perfeita açoconcreto conidera doi parâmetro fundamentai: m deformação axial de uma fibra de concreto (em geral o centro de gravidade da eção); - curvatura da eção. A lei de variação da deformação numa eção tranveral de concreto etrutural em flexão compota reta pelo MAP (Figura.4.14) é dada pela Equação.4.30 : ( ) m. (.4.30) Figura.4.14 Equilíbrio da Seção Tranveral Realte-e que a deformação de um elemento de concreto é batante complexo e depende de vário fatore, cujo principia etão entre o eguinte: - relação comprimento / altura do elemento - forma da eção tranveral - tipo de armadura - lei de aderência aço-concreto 96

115 O Modelo da Aderência Variável (MAV), que leva em conta o delizamento aço-concreto, não e baeia de forma direta no valore de grandeza. São ela: m e de uma eção, ma im em outra o ordenada do ponto de delocamento longitudinal nulo rotação da eção fiurada em relação a eção mediana do elemento de comprimento lv u cb delocamento correpondente a fibra de concreto u b delocamento da barra de aço Equematicamente, a correlação entre o modelo MAV e MAP etá apreentada pelo parâmetro motrado na Figura.4.15: Modelo Aderência Perfeita (MAP) Correlação Método Aderência Variável (MAV) m,,, u, u cb 0 b Figura.4.15 Correlação entre MAV e MAP Realizou-e, ainda, uma comparação entre MAP e MAV por meio do critério da Tabela.4. motrada a eguir. 97

116 Tabela.4 Critério de comparação entre MAP e MAV. Critério MAP MAV Problema Calcular o eforço reitente (Nr, Mr) da eção tranveral de concreto etrutural conhecido o eforço olicitante (N, M), coniderando a aderência perfeita entre aço e concreto. Calcular o eforço reitente (Nr, Mr) da eção tranveral de concreto etrutural conhecido o eforço olicitante (N, M), coniderando a aderência variável entre aço e concreto. - eção plana permanece plana apó deformação - eção plana permanece plana apó rotação Hipótee - eção gira em torno da linha neutra - eção gira em torno do ponto de delocamento nulo - exite relação entre ponto delocamento nulo e eixo neutro Equação a er reolvida no MAP N N M M r r E ( ). da t E ( ).. da t E t ( ).. da cg. E t ( ).. da Equaçõe a erem reolvida no MAV N N M M r r E ( ). da t E ( ).. da t e E t ( ).. da cg. E t ( ).. da 98

117 3 METODOLOGIA DE DESENVOLVIMENTO DO CARPE A metodologia de deenvolvimento do programa CARPE teve como ponto de partida o trabalho de MARTINS (1989) que deu origem ao programa conhecido por CARPE. A caracterítica de deenvolvimento, linguagen de programação, modo de entrada e aída de dado, objetivo, finalidade e aplicaçõe de ambo o programa, CARPE e CARPE, ão apreentado abaixo. Do trabalho de MARTINS (1989), CARPE ignifica Calcul juqu à la Rupture de Poutre à Precontrainte Extérieur ou Mixte. 3.1 Decrição do Programa CARPE Como CARPE, objetivo dete trabalho, é extraído de CARPE, deenvolvido por MARTINS (1989), damo, a eguir, uma breve decrição do egundo. (a) Linguagem de Programação O CARPE, deenvolvido na linguagem FORTRAN, é um programa que permite a análie do comportamento de viga até a ua ruptura quando ubmetida a um carregamento incremental. Quanto ao tipo, a viga podem iotática ou contínua, com protenão interna, externa ou mita. (b) Entrada e Saída de Dado A entrada de dado do programa é realizada via arquivo de dado cuja unidade báica ão: metro para comprimento, MPa para tenõe e módulo de elaticidade e MN para força aplicada. Figura Tela de entrada de dado do programa CARPE 99

118 A aída de dado é realizada tanto na tela do computador como por arquivo de dado. O reultado ão fornecido em metro (comprimento), MPa (tenão) e kn (força). A partir do arquivo de aída, pode-e utilizar outro programa para repreentar graficamente o reultado do CARPE, por exemplo, o Excel. No final do proceamento, o CARPE apreenta na tela do computador, no formato DOS, a opçõe de aída da tabela para a criação da curva a erem analiada pelo uuário em algum outro programa que poua interface gráfica, por exemplo, o Excel. Figura Tela de opçõe de aída de dado do programa CARPE (c) Conideraçõe Gerai De forma geral, o programa CARPE poibilita o eguinte etudo: - A variação da rigidez com o carregamento - A evolução da tenõe no cabo externo - A evolução do delizamento do cabo externo obre o deviadore - A influência da variação da excentricidade do cabo externo - O delocamento globai da viga: flecha e rotaçõe - A fiuração do concreto - A deformaçõe da eçõe de concreto - A deformaçõe da armadura paiva e/ou ativa - O comportamento da deformaçõe do cabo de protenão externa 100

119 O CARPE leva em conideração a variação de tenão e excentricidade do cabo externo; o delizamento dee cabo obre o deviadore; a variação de rigidez devida à fiuração e à interação momento fletor-eforço axial ; a rigidez à tração do concreto (tenion tiffening); lei não-lineare de tenão-deformação para o concreto e o aço. A eçõe de dicretização da viga ão verticai e imétrica em relação a um eixo OY como motra a figura abaixo. Pode-e analiar qualquer eção de contorno poligonal, incluive eçõe vazada. A eçõe tranverai ão decompota em trapézio de concreto enquanto a armadura ão repreentada por área concentrada no centro de gravidade da barra. A geometria aim definida permite coniderar a não-linearidade fíica do materiai. Figura Dicretização da eção da viga No etado atual do programa CARPE, é poível etudar viga com protenão interna com cabo reto e/ou com protenão externa aplicada com cabo poligonai. Não há limitação em relação ao número de pare de cabo a uar. Não há um cálculo automático da perda de protenão. Porém é poível coniderá-la com a redução da tenõe do trecho do cabo no momento de definir a cablagem. São permitida carga concentrada, carga ditribuída uniformemente ou não, toda ela verticai. Eta carga ão agrupada em permanente e variávei. A carga permanente ão proceada no início enquanto que a carga variávei ão definida por um proceo incremental. 101

120 O programa permite definir o nível de carga até a ruptura da viga. Para cada incremento de olicitação deve-e avaliar o incremento de deformaçõe. Para facilitar o cálculo não-linear, a eção é dividida em camada horizontai de concreto e aço. (Figura 3.1.4). Figura Divião da eçõe de aço e concreto. Apó verificar o equilíbrio de toda a eçõe para uma etapa de carga, realiza-e um etudo global que permite etudar a interação entre a viga, o concreto e o cabo de protenão. Devee coniderar para o cabo de protenão, a não-linearidade geométrica decorrente da deflexão da viga. Também ão analiado o poívei delizamento do cabo obre o deviadore. (d) Método de Cálculo do CARPE O programa CARPE de MARTINS (1989) utilizou para o cálculo da expreõe de comprimento, deformação e delizamento oriunda da Equação Diferencial de Aderência, divero método matemático cláico da literatura. Entre ele foram utilizada alguma rotina do livro Numerical Recipe de WILLIAM H. PRESS (1997), tai como: ZBRAC, ZBRAK, ZBRENT, ZROOTS e LAGUER. De forma geral, ee método ão utilizado para reolver a equaçõe.4.10 a.4.15 relativo ao problema de aderência. 10

121 3. Decrição do Programa CARPE (a) Linguagem de programação O programa CARPE foi deenvolvido na linguagem MATLAB e tem como objetivo realizar a análie do elemento de concreto etrutural, compreendido entre dua fiura conecutiva, coniderando a degradação de aderência entre o aço e o concreto. O oftware deenvolvido permite a comparação entre o Modelo da Aderência Perfeita (MAP) e o Modelo da Aderência Variável (MAV), para um memo elemento de viga, ervindo de previor para enaio e análie de comportamento de peça de concreto etrutural ubmetido a eforço de flexo-compreão reta. (b) Entrada e aída de dado A entrada de dado é realizada diretamente no ambiente do MATLAB. A aída de dado pode er realizada via arquivo de texto como na própria tela do programa em forma de tabela ou em forma de gráfico. Exemplo de diagrama gerado pelo CARPE para o Modelo de Aderência Perfeita (MAP), etão ilutrado a eguir: Figura 3..1 Diagrama de interação momento- eforço normal 103

122 Figura 3.. Diagrama momento - curvatura conhecendo-e o valor do eforço normal Figura 3..3 Diagrama eforço normal deformação normal para carga variável com excentricidade fixa 104

123 Figura 3..4 Diagrama eforço normal curvatura para carga variável com excentricidade fixa Figura 3..5 Diagrama momento - curvatura para carga variável com excentricidade fixa (c) Limitaçõe O programa CARPE apreenta alguma retriçõe de cálculo. Ele foi deenvolvido para cálculo de eçõe retangulare com armadura imétrica. Porém, ele pode er facilmente modificado para atender a outro tipo de eçõe tranverai, incluive vazada. Como, também, utilizar outro tipo de lei de tenão x deformação para aço e concreto. 105

124 (d) Uo atual O CARPE apreenta diagrama tanto para o Modelo de Aderência Perfeita (MAP) como para o Modelo de Aderência Variável (MAV), tendo em vita a limitaçõe mencionada em (c), acima. (e) Método de cálculo do CARPE O programa CARPE, para obtenção do Diagrama de Iteração Eforço Normal x Momento Fletor, Diagrama Eforço Normal x Deformação, Diagrama Eforço Normal x Curvatura e Diagrama Momento Fletor x Curvatura, utiliza vário método matemático, dentre ele, detacam-e: - Método de Newton-Raphon para obtenção de raiz de Função Não-Linear - Método de Newton-Raphon para Sitema de Equaçõe Não-Lineare - Método do Ponto Médio - Integração Numérica (f) Conideraçõe gerai Um ponto importante na comparação do doi programa CARPE e CARPE ão eu objetivo de emprego: - O CARPE realiza um etudo mai abrangente obre o comportamento da viga de concreto etrutural. - O CARPE analia apena um elemento de concreto etrutural compreendido entre dua fiura. - O CARPE via complementar o etudo e análie do CARPE. 106

125 4 VALIDAÇÃO DOS RESULTADOS DE CARPE 4.1 PROGRAMA CARPE E ÁBACOS DE PFEIL E DE VENTURINI (Aderência Perfeita) Para validação do programa CARPE, foram realizado vário tete numérico, comparando-e o reultado do programa com dado cláico diponívei na literatura. Com relação ao Modelo de Aderência Perfeita (MAP), o programa CARPE comparou eu reultado com aquele contante do Ábaco de PFEIL (1976) e de VENTURINI (1987) para o quai e obteve muito boa correlação. O reultado do programa CARPE ainda foram comparado com o gráfico e diagrama oriundo do etudo de PRAZERES (00). Com o programa CARPE deenvolvido na plataforma MATLAB, é poível gerar a ferramenta neceária para a análie de uma eção de concreto etrutural, da quai podem e detacar: o Diagrama Eforço Normal x Deformação, o Diagrama Eforço Normal x Curvatura, o Diagrama Momento Fletor x Eforço Normal x Curvatura e o Diagrama de Interação Eforço Normal x Momento Fletor. Para o exemplo abaixo, empregam-e como relação contitutiva para o concreto e o aço, repectivamente, o diagrama parábola-retângulo e o diagrama bilinear para o aço tipo A, de acordo com a NBR 6118:014. Para realizar a comparação de reultado entre o ábaco de PFEIL, VENTURINI e CARPE, foi propoto o eguinte problema: Obter o momento fletor normalizado adimenional, abendo-e que a eção retangular de concreto (0 x 50 cm) etá ubmetida a um eforço normal adimenional igual a v = 0,4. A reitência do concreto é de 0MPa, o aço empregado é o CA-50A, a taxa mecânica de armadura é igual w = 0,4. A eção de concreto armado poui dua camada de aço ditribuída imetricamente. (a) Comparação de reultado entre PFEIL, VENTURINI e CARPE Abaixo, etá apreentada a olução propota pelo ábaco de PFEIL. (Figura 4.1.1) Na apreentação do reultado, utilizam-e o valore normalizado adimenionai ʋ e μ do eforço normal (Nd) e momento fletor (Md) de projeto, repectivamente. (PFEIL,1976) 107

126 N d f.b.h c M d e f c.b.h (4.1) onde: fc é a reitência a compreão de projeto do concreto, f é a reitência do aço, b é bae e h a altura da eção tranveral retangular. A quantidade total de armadura é exprea em função da taxa mecânica ω: A f.b.h. c e c 0,85. f cd f f e f cd f ck 1,4 e f f k 1,15 (4. a b c d) Com bae no enunciado do problema, o dado de entrada para o ábaco de PFEIL ão ω = 0,4 e ʋ = 0,4 e relação d /h= 0,04. Para o quai e obteve para o momento fletor adimenional valor igual a = 0,9. Figura Ábaco de PFEIL (1976) 108

127 A eguir, etá apreentada a olução propota pelo ábaco de VENTURINI (1987). (Figura 4.1.) Na apreentação do reultado, utilizam-e o valore normalizado adimenionai ʋ e μ do eforço normal (Nd) e momento fletor (Md) de projeto, repectivamente. N d f.b.h cd M d e f cd.b.h (4.3 a b) Onde: fcd é a reitência a compreão de projeto do concreto, fd é a reitência do aço, b é bae e h a altura da eção tranveral retangular. A quantidade total de armadura é exprea em função da taxa mecânica ω: A f cd.b.h. e f d f ck f cd e 1,4 f d f k 1,15 (4.4 a b c) Com bae no enunciado do problema, o dado de entrada para o ábaco de VENTURINI ão ω = 0,4 e ʋ = 0,4 e relação d /h = 0,1. Para o quai e obteve para o momento fletor adimenional valor igual a = 0,6. 109

128 Figura Ábaco de VENTURINI (1987) 110

129 Com bae no enunciado do problema, o dado de entrada para o programa CARPE ão ω = 0,4 e ʋ = 0,4 e relação d /h = 0,04. Para o quai e obteve para o momento fletor adimenional valor igual a = 0,87. (Figura 4.1.3). Figura Diagrama Momento x Normal gerado pelo programa CARPE Com bae no enunciado do problema, o dado de entrada para o programa CARPE ão ω = 0,4 e ʋ = 0,4 e relação d /h = 0,1. Para o quai e obteve para o momento fletor adimenional valor igual a = 0,63. (Figura 4.1.4) Figura Diagrama Momento x Normal gerado pelo programa CARPE 111

130 A Tabela motra a comparação de reultado obtido por PFEIL, VENTURINI e CARPE. Tabela Comparação entre reultado de PFEIL, VENTURINI e CARPE Ábaco PFEIL CARPE VENTURINI CARPE Relação d /h 0,1 0,04 ω (taxa armadura) 0,4 0,4 0,4 0,4 ʋ (eforço normal) 0,4 0,4 0,4 0,4 μ (momento fletor) 0,9 0,87 0,6 0,63 - Na comparação entre PFEIL e CARPE, verificou-e uma diferença em torno de 1% entre o valore de eu momento fletore adimenionai. Na comparação entre VENTURINI e CARPE, verificou-e, também, uma diferença em torno de 1% entre o valore de eu momento fletore adimenionai. (b) Comparação de reultado entre PRAZERES (00) e CARPE Ainda para validação do CARPE, foram realizada comparaçõe com o gráfico e diagrama apreentado no etudo elaborado por PRAZERES (00) para o quai e obteve perfeita correlação. O diagrama momento x curvatura obtido, tanto para PRAZERES (00) como para CARPE, referem-e a uma eção retangular de concreto armado com reitência de 0MPa, aço CA-50A, taxa mecânica de armadura w = 0,435, a qual equivale a taxa de armadura de 0,8% e d /h = 0,05, com número de ponto de integração igual a 40. O diagrama momentocurvatura foram gerado para divero valore de v (variando de 0,0 a 1,0). Para a integração numérica, foi utilizado o método do Ponto Médio. 11

131 A eguir, ão apreentado o diagrama gerado por PRAZERES (00). Figura Diagrama Momento x Curvatura (Fonte: PRAZERES, 00) Abaixo, ão motrado o diagrama gerado por CARPE. Figura Diagrama Momento x Curvatura gerado pelo CAPRE 113

132 Na comparação entre o diagrama gerado por PRAZERES (00) e CARPE, oberva-e que a curva gerada em ambo diagrama apreentaram perfeita correlação. 4. PROGRAMA CARPE E PROGRAMA MOCURO (Aderência Variável) O preente capítulo tem por finalidade realizar a comparação do reultado obtido pelo programa CARPE, baeado no etudo de MARTINS (1989), com o reultado apreentado pelo programa MOCURO, deenvolvido por COHN e RIVA (1987). Detaca-e que o programa CARPE obtém o equilíbrio do elemento de concreto etrutural, tanto para o Modelo de Aderência Perfeita (MAP) como para o Modelo de Aderência Variável (MAV). Por ua vez, o programa MOCURO, criado por COHN & RIVA (1987), apreenta apena reultado para o cao do Modelo de Aderência Variável (MAV). Realta-e, ainda, que não e obteve aceo ao código fonte nem ao programa executável do oftware MOCURO, têm-e apena o eu reultado publicado no etudo de COHN & RIVA (1987). A eguir, ão apreentada alguma caracterítica relativa ao Programa CARPE e o Programa MOCURO Programa CARPE - Modelo de MARTINS (Aderência Variável) Com relação ao Modelo de Aderência Variável (MAV), o embaamento teórico para o deenvolvimento do programa CARPE encontra-e no etudo de MARTINS (1989). O programa CARPE, deenvolvido na linguagem MATLAB, permite a comparação entre o Modelo da Aderência Perfeita (MAP) e o Modelo da Aderência Variável (MAV), para um memo elemento de viga, ervindo de previor para enaio e análie de comportamento de peça de concreto etrutural ubmetido a eforço de flexo-compreão reta. Entre o método matemático utilizado no eu deenvolvimento, detacam-e: - Newton-Raphon para raiz de equação ecalar - Newton-Raphon para itema de equaçõe não-lineare - Método do Ponto Médio (integração numérica para cálculo de tenõe normai) BURDEN (1993) 114

133 - Método para obtenção de raiz de polinômio (ZBRAC, ZBRAK, ZBRENT, ZROOTS, LAGUER) adaptação da rotina de WILLIAM (1996). - Utilização do ubprograma ADHERE que faz parte do programa CARPE original. Para a reolução da Equação Diferencial de Aderência (EDA.4.10), o programa CARPE realizou alguma adaptaçõe no ubprograma ADHERE que faz parte do programa CARPE original. O ubprograma ADHERE adaptado, que foi elaborado em FORTRAN, agora trabalha integrado ao ambiente MATLAB do programa CARPE. d S(x) dx 4 E (x) l ct a (4.5) Aim, a partir da equação (.4.10), e para um ub conhecido, o ubprograma ADHERE calcula a grandeza motrada abaixo, conforme demontrado no item.4.3.: - Deformação do aço SB - Comprimento de ancoragem la - Comprimento de aderência l0, l1, l, l3 que varia conforme a zona de delizamento 4.. Programa MOCURO - Modelo de COHN E RIVA (Aderência Variável) O pequiadore, COHN & RIVA (1987), criadore do programa MOCURO, baeado no etudo de GIURIANI (198), deenvolveram uma formulação geral para o comportamento a flexão de elemento de concreto armado, protendido e parcialmente protendido que leva em conta o princípio do Modelo de Aderência Variável (MAV). Nete modelo, a lei contitutiva do momento x curvatura local é determinada a partir do etudo de um elemento de concreto etrutural que poui o memo comprimento do epaçamento (lc) de dua fiura conecutiva, aumindo ainda er contante o momento ao longo dete elemento. A curvatura local é definida como a taxa entre a rotação relativa de dua eçõe (A e B da figura abaixo) e o epaçamento da dua fiura (lc). 115

134 Figura Elemento de concreto etrutural etudado por COHN & RIVA (1987) O programa MOCURO (MOmento CUrvatura ROtação) foi deenvolvido para verificar a condiçõe de repota da eçõe de concreto em todo o etado de carga. Qualquer eção de concreto imétrica com até quinze camada de aço carbono e / ou protendido, tanto ob momento poitivo ou negativo, pode er analiado. O programa aceita qualquer lei contitutiva de material tanto experimental como analítico. COHN e RIVA (1987) utilizaram a tabela apreentada abaixo como dado de entrada para o programa MOCURO. Eta mema tabela erá utilizada para o emprego do CARPE na condiçõe detacada em vermelho. A comparação erá feita para o cao iluminado em amarelo. 116

135 Figura Tabela utilizada no etudo de COHN E RIVA (1987) que erviu de entrada de dado para o programa CARPE. (I) Dado de entrada utilizado no programa MOCURO No etudo de COHN&RIVA, o programa MOCURO utiliza como dado de entrada para geração de eu diagrama a lei decrita a eguir: - Lei tenão-deformação do aço paivo e do aço ativo propota por SARGIN; - Lei tenão-deformação do concreto comprimido de SARGIN; - Lei tenão-deformação do concreto tracionado de GIURIANI; - Lei tenão de aderência - delizamento para aço paivo de GIURIANI; - Lei tenão de aderência-delizamento para aço ativo de REINHARDT. 117

136 (I.1) Lei tenão-deformação do aço paivo e do aço ativo propota por SARGIN σ AÇO ATIVO f pu f p f pl f po,o E p σ p = f po,o + (f pu f po,o ).v σ p = E p. ε p σ p = f p + (f pu f p ) (ε pu ε p ). (ε p ε p ) (l+v v ) l v ; v = ε p ε po,o (f pu f po,o ). E p σ = f + E h (ε ε h ). [ 1 E h(ε ε h ) (f u f ) f u f ε σ = f σ = E. ε E h AÇO PASSIVO ε Figura 4..3 Lei tenão-deformação para aço paivo e para aço ativo propota por SARGIN. (Fonte: COHN & RIVA, 1987) A eguir, ão apreentada a contante numérica utilizada no emprego da lei de tenãodeformação do aço paivo propoto por SARGIN. f = 400 MPa f u = 600 MPa ε h = 1% (4.6 a b c) E = MPa ε u = 7% E h = 6500 MPa (4.7 a b c) De acordo com o diagrama, a formulação para o emprego da lei do aço paivo (reforcing teel) etá decrita abaixo: ε = f E σ = E. ε para ε < ε (4.8 a b c d) σ = f para ε = ε σ = f + E h (ε ε h ). [ 1 E h(ε ε h ) (f u f ) ] para ε < ε < ε h 118

137 A eguir, ão apreentada a contante numérica utilizada no emprego da lei de tenãodeformação do aço ativo (pretreing teel) propoto por SARGIN. f po,o = 1300 MPa f pl = 1580 MPa, ε p = 1% f p = 17,40 MPa E p = MP f pu = 1860 MPa, ε pu = 3,5% ε p = 1,9% (4.9 a b c) (4.10 a b c) (I.) Lei tenão-deformação para concreto comprimido de SARGIN (Figura.4.a), lei tenão-deformação para o aço tracionado propoto por GIURIANI (Figura.4.b). Figura 4..4 Lei tenão-deformação para concreto comprimido de SARGIN; Lei tenãodeformação para concreto tracionado de GIURIANI. (Fonte: COHN & RIVA, 1987) A eguir, ão apreentada a contante numérica utilizada no emprego da lei de tenãodeformação do concreto comprimido propoto por SARGIN. f c = 40 MPa ε 0 = 0,0064 D = 0,36 E c = MPa A =,5 k 3 = 0,8 (4.11 a b c) (4.1 a b c) De acordo com o diagrama, a formulação para o emprego da lei do concreto comprimido (concrete compreion) etá apreentada abaixo: x = ε c ε o e A = E c.ε 0 k 3.f c =,5 (4.13 a b) Para ε c < 0,0035 Ax + (D 1). x σ = k 3. f c. 1 + (A ). x + D. x (4.14) 119

138 A contante numérica utilizada no emprego da lei de tenão-deformação do concreto tracionado propoto por GIURIANI etão decrita abaixo: f ct = 4,5 MPa c = c 1 l c = 1000 (4.15 a b c) (I.3) Lei de tenão de aderência - delizamento para aço paivo de GIURIANI (figura a); Lei de tenão de aderência - delizamento para aço ativo de REINHARDT (figura b). τ b τ bp τ τ 0 COMPORTAMENTO IDEAL RESULTADOS EXPERIMENTAIS τ p S u S S p (a) (b) Figura 4..5 Lei tenão de aderência - delizamento (a) aço paivo GIURIANI; (b) aço ativo REINHARDT. (Fonte: COHN & RIVA, 1987) A contante numérica utilizada no emprego da lei tenão de aderência-delizamento para aço paivo ão apreentada a eguir: τ 0 = 3 MPa τ u = 10 MPa S u = 0,5 mm A contante numérica utilizada no emprego da lei tenão de aderência-delizamento para aço ativo ão apreentada a eguir: τ p = 4 MPa (II) Dado de entrada utilizado pelo programa CARPE O programa CARPE utiliza como dado de entrada para geração de eu diagrama a lei apreentada no capitulo Revião Bibliográfica. A lei empregada no programa CARPE ão: - Lei de tenão-deformação do aço propota pela NBR 6118:014 - Lei de tenão-deformação do concreto comprimido apreentado pela NBR 6118:014 ; - O programa CARPE não coniderou a contribuição do concreto tracionado na rigidez da eção de concreto; - Lei de tenão de aderência - delizamento de aço propota por MARTINS (1989). (Figura 4..6) (4.16 a b c) (4.17) 10

139 τ 0 Figura 4..6 Lei tenão de aderência - delizamento (Fonte: MARTINS, 1989) Com relação à variávei contituinte da lei de tenão-delizamento propota por MARTINS (1989), foram utilizado o valore apreentado na Tabela 4.1.: Tabela 4.1. Tenão de aderência-delizamento TENSÃO DE ADERÊNCIA VERSUS DESLIZAMENTO τo = 3,88 MPa τ = 15,81 MPa τ1 = 15,81 MPa τu = 6,3 MPa So = 0,03 mm S1 = 0,10 mm S = 0,0 mm S3 = 0,40 mm O valore da tabela acima foram obtido a partir da informaçõe da tabela do CEB-FIB (010) apreentada no capítulo. Para o preente etudo, foi coniderado como dado de entrada o valore da coluna ruptura por arranchamento, com boa condiçõe de aderência. Para conulta, egue a Figura 4..7 que apreenta uma vita da referida tabela do CEB-FIB (010). 11

140 Figura Curva tenão de aderência x delizamento (Fonte: CEB-FIB, 010). onde: τ tenão de aderência para um dado delizamento δ; τ max máxima tenão de aderência; τ f tenão final de aderência δ 1 delizamento referente à máxima tenão de aderência; δ delizamento referente ao ponto de início do trecho decendente da tenão de aderência; δ 3 delizamento referente à tenão final de aderência; Para o epaçamento médio entre nervura, foram utilizado a informaçõe da NBR 7480 (ABNT, 1996), (Figura 4..8). Diâmetro (mm) Intervalo do epaçamento NBR7480/96 8,00 4,00 a 6,40 10,00 5,00 a 8,00 1,50 6,5 a 10,00 16,00 8,00 a 1,80 Figura Epaçamento entre nervura egundo a NBR 7480 (ABNT, 1996) 1

141 (III) Comportamento do reultado entre MOCURO e CARPE Para verificar o comportamento da curva gerada por CARPE, ão apreentado o gráfico momento-curvatura gerado pelo programa MOCURO deenvolvido por COHN&RIVA (1987). Oberva-e que a curva gerada pelo programa CARPE e pelo programa MOCURO apreentam o memo formato, caracterizado por um diagrama bi-linear. Como não foi poível o aceo ao programa MOCURO, foi utilizado nete etudo uma cópia do diagrama original que conta do trabalho de COHN&RIVA (1987). A eguir, ão motrado 5 pare de diagrama momento-curvatura gerado pelo programa MOCURO e pelo programa CARPE. Na criação do diagrama, foram coniderado a taxa mecânica de armadura (ω) e a taxa de proporcionalidade entre aço ativo e o aço total (γ). Na comparaçõe, utilizou-e γ = 0 e ω = 0,10; ω = 0,15; ω = 0,0; ω = 0,5; ω = 0,30; ω = 0,35 e ω = 0,40. Figura 4..9 Diagrama Momento x Curvatura para taxa de armadura ω = 0.10 (MOCURO) e ω = 0.15 (CARPE) 13

142 Figura Diagrama Momento x Curvatura para taxa de armadura ω = 0.15 (MOCURO) e ω = 0.5 (CARPE) Figura Diagrama Momento x Curvatura para taxa de armadura ω = 0.0 (MOCURO) e ω = 0.30 (CARPE) Figura 4..1 Diagrama Momento x Curvatura para taxa de armadura ω = 0.5 (MOCURO) e ω = 0.35 (CARPE) 14

143 Figura Diagrama Momento x Curvatura para taxa de armadura ω = 0.30 (MOCURO) e ω = 0.40 (CARPE) Da comparação entre o diagrama, pode-e obervar que exite boa correlação entre o gráfico momento-curvatura gerado por MOCURO e CARPE para diferente valore de taxa mecânica de armadura (ω). Ou eja, quando a taxa de armadura de MOCURO é igual a ω = 0.10 e a taxa de armadura de CARPE é igual a ω = 0.15, o gráfico momentocurvatura gerado por ambo programa apreentam boa correlação. O valore da taxa de armadura de CARPE ão uperiore, em média, 3 % ao valore da taxa de armadura de MOCURO. A caua provávei para a diferença entre o reultado apreentado entre CARPE e MOCURO podem er explicada pela utilização de método matemático e lei contitutiva diferente. Entre ele, podem-e citar, o metódo matemático utilizado no cálculo da integrai, o emprego de lei de tenão de aderência-delizamento, a lei de tenão-deformação do aço e a lei de tenão-deformação do concreto. Detaca-e, também, que o CARPE não leva em conideração a contribuição do concreto tracionado na rigidez do elemento de concreto etrutural. No cálculo realizado pelo CARPE, a matriz de rigidez foi coniderada contante tanto para a eção fiurada como para a eção não-fiurada. O CARPE não utiliza no eu cálculo a condição de aço protendido pré-tracionado. Ee fatore também podem ter influenciado no reultado da comparaçõe realizada. 15