3 Modelagem numérica com o programa FLAC

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1 3 Modelagem numérica com o programa FLAC 3.1. Decrição geral do programa FLAC FLAC v.5 (ITASCA, 2005) é um programa para análie 2D (etado plano de deformação, de tenão e axiimetria) baeado no método da diferença finita, utilizando um algoritmo explícito no tempo para determinar a olução de problema envolvendo olo, rocha e outro materiai que apreentem fluxo plático quando a tenõe de ecoamento ão atingida. A terminologia utilizada no FLAC é emelhante à uual do método do elemento finito (Figura 3.1), com alguma exceçõe, como o emprego da palavra zona em vez de elemento. O corpo ólido é dividido pelo uuário em uma malha formada por zona quadrilaterai atravé de um algoritmo (pouco verátil e algo ineficiente, diga-e de paagem). Como regra geral, o razão comprimento/altura de uma zona deve er mantida tão próximo quanto poível da unidade e não e deve ultrapaar a razão 1/5 ob pena de obtenção de reultado potencialmente imprecio. Figura 3.1 Exemplo de modelagem no programa FLAC (Manual FLAC v.5).

2 54 A equaçõe de movimento ão reolvida, memo quando o itema etá em equilíbrio etático, o que permite ao programa acompanhar proceo fiicamente intávei em muita dificuldade numérica como, por exemplo, a ruptura progreiva de talude e eu colapo. Um equema de olução explicita no tempo é utilizada, permitindo a olução de problema tenão x deformação não-lineare. Não é neceário o armazenamento de matrize (como geralmente acontece no método do elemento finito), poibilitando aim que um grande número de zona ejam modelada com pouca memória RAM de computador. No entanto, o programa FLAC tem devantagen em certa ituaçõe, quando comparado com implementaçõe baeada no método do elemento finito: a) problema lineare ão executado em tempo maiore de proceamento no FLAC do que normalmente levariam em programa de elemento finito; b) o tempo de proceamento no FLAC é proporcional à razão entre o maior e o menor período natural do itema endo modelado, o que faz com que certo problema ejam modelado de forma muito ineficiente como, por exemplo, em cao contendo grande diparidade de tamanho de elemento ou valore de módulo de elaticidade. FLAC v.5 contém 11 modelo contitutivo implementado no código computacional para modelagem mecânica de olo e rocha, conforme Tabela 3.1. Adicionalmente ão diponívei 5 módulo extra para análie dinâmica, térmica, de acoplamento fluido-mecânico, para materiai apreentando comportamento vico-plático (creep) e a poibilidade de incluão de novo modelo contitutivo definido pelo uuário. O FLAC também opera no modo large-train no qual o incremento de delocamento ão adicionado à coordenada da malha que tal maneira que eta e deloca e e deforma juntamente com o material que repreenta. Ete tipo de formulação é conhecido como Lagrangeana Modificada. A relação contitutiva em cada pao do método explícito é formulada com pequena deformaçõe, ma é equivalente a uma abordagem a grande deformaçõe para muito pao de cálculo. Além da utilização de comando FLAC epecífico, o programa também contém uma poderoa linguagem de programação denominada FISH, poibilitando que o uuário ecreva ua própria funçõe e aim amplie a utilidade do programa e o potencial de ua aplicaçõe. Muita funçõe FISH já foram ecrita por uuário do FLAC e encontram-e armazenada em uma

3 55 biblioteca epecial, podendo er diretamente utilizada ou modificada para atender à condiçõe epecífica do problema em análie. Atravé da linguagem de programação FISH é poível precrever variaçõe de propriedade na malha, plotar e imprimir variávei definida pelo uuário, implementar algoritmo de geração de malha, epecificar condiçõe de contorno variávei no tempo e epaço, deenvolver modelo contitutivo epeciai, etc. A utilização do FLAC não é tão imple quanto no cao da maioria do programa de elemento finito orientado a aplicaçõe da engenharia geotécnica (Plaxi, GeoStudio, dentre o principai), exigindo do uuário o conhecimento de um número razoável de comando e de eu atributo, bem como boa noçõe de programação na linguagem FISH. Uma vez que ete apecto ejam conhecido e o uuário eteja bem familiarizado com a etrutura do programa, ete e torna, em dúvida, no mai completo oftware hoje diponível para etudo de problema envolvendo olo e rocha. Tabela 3.1- Modelo contitutivo diponívei no programa FLAC v.5 Modelo Material Exemplo de Aplicação Nulo Vazio Furo, ecavaçõe, regiõe na quai o material erá adicionado em etágio poterior. Elático linear Elático tranveralmente iotrópico Ducker - Prager Mohr-Coulomb Mohr-Coulomb com amolecimento/ endurecimento Modelo de Junta Modelo de Junta com deformação bi linear e Homogêneo, iotrópico continuo; comportamento tenão-deformação linear. Materiai laminado ebelto exibindo aniotropia elática Aplicação limitada; argila mole com baixa coeão. Materiai granulare; olo, rocha, concreto. Materiai granulare que exibem comportamento não-linear de amolecimento ou endurecimento Materiai laminado ebelto exibindo aniotropia de reitência Materiai laminado que exibem endurecimento ou Materiai manufaturado (aço), ubmetido a carregamento inferiore ao limite de elaticidade. Materiai laminado (ardóia ou rocha tipo xito), ubmetido a carregamento inferiore ao limite de elaticidade. Modelo comum para comparação com programa de elemento finito. Aplicado de forma generalizada em problema da Mecânica do Solo. Etudo de pó-ruptura, ruptura progreiva. Ecavaçõe em camada etratificada Etudo em pó-ruptura de materiai laminado.

4 56 amolecimento/endurecimento Ecoamento Duplo Cam-Clay Modificado Hoek Brown amolecimento de material não-linear. Materiai granulare com baixa cimentação onde tenõe cauam decrécimo de volume permanente. Materiai cuja deformabilidade e reitência ão funçõe de variação de volume Rocha iotrópica e homogênea. Barragen de enrocamento. Problema geotécnico em argila normalmente adenada. Problema geotécnico em rocha Modelagem do aterro O modelo elato-perfeitamente plático de Mohr-Coulomb foi utilizado para repreentação do olo do aterro. Cinco parâmetro do material foram neceário para ua decrição numérica: doi parâmetro elático (módulo de deformação volumétrica K, módulo de cialhamento G), doi parâmetro de platicidade (ângulo de atrito φ, coeão c) e o ângulo de dilatância ψ. O ângulo de dilatância é empregado em análie numérica para corrigir a exceiva variação volumétrica negativa (expanão) do olo previta pelo modelo de Mohr-Coulomb com lei de fluxo aociada. Exceto no cao de argila fortemente pré-adenada, olo coeivo tendem a apreentar pouca dilatância (ψ~0). Em areia, a dilatância depende da denidade relativa e do ângulo de atrito; para areia de quartzo a ordem de magnitude da dilatância pode er aproximada por ψ = φ - 30º e para valore de φ < 30º o ângulo de dilatância é geralmente coniderado nulo. Um ângulo de dilatância poitivo em condiçõe drenada implica que o olo vai ofrer expanão de volume contínua, em atingir a condição de etado crítico, o que é claramente irrealita; em condiçõe nãodrenada uma dilatância poitiva, aociada à condição de não-variação de volume, leva a geração de poropreõe negativa (ucção). Em uma análie não-drenada em termo de tenõe efetiva a reitência do olo, logo, pode er uperetimada.

5 Modelagem do reforço O programa FLAC também dipõe de 7 elemento etruturai para repreentação de apoio, elemento de ligação e de interface entre diferente materiai. Elemento de viga (beam element) e de cabo (cable element) podem er utilizado para a modelagem de reforço com geointético. Segundo Bathurt e Hatami (1999), elemento de cabo contituem-e na melhor alternativa (elemento de cabo foram adotado neta pequia) poi têm melhor eficiência computacional quanto ao tempo de proceamento, o parâmetro de interface ão mai fácei de erem epecificado e a informaçõe gerada obre a ditribuição de tenõe e deformaçõe ao longo do reforço ão uficiente para compreenão do comportamento do olo Comportamento axial O comportamento axial do itema pode er aumido como controlado inteiramente pelo elemento de reforço, o qual é uualmente ebelto, oferecendo pouca reitência à flexão e tratado como elemento 1D capaz de reitir à tração uniaxial. A rigidez axial é definida em termo da área da eção tranveral A do material de reforço e do eu módulo de Young E. O incremento de força axial, F, é calculado do delocamento axial incremental por: EA L t t F = u (3.1) onde L é o comprimento do elemento e t u = ut i i para i = 1,2 = u 1t1 + u 2t2 [ b] [ a] [ b] [ a] 1 u1 ) t1 + ( u2 u2 ) 2 = ( u t onde o obrecrito a e b referem-e a nó e t 1, t 2 repreentam o valore do coeno diretore em relação à direção axial do cabo. Valore da força de ecoamento à tração (yield) e da força de ecoamento à compreão (ycomp) podem er atribuído (Figura 3.2) pelo uuário. Cao não informado, o programa conidera-o nulo.

6 58 Figura Comportamento do material para elemento de cabo (manual FLAC v.5) Comportamento cialhante na interface olo-reforço O comportamento cialhante na interface olo-reforço, quando do delocamento relativo entre o olo e o reforço, é decrito numericamente pela rigidez cialhante da interface k bond (Figura 3.3b): onde: F = k bond (u c u m ) (3.2) L F = Força tangencial deenvolvida ao longo da interface reforço olo; k bond = Rigidez cialhante da interface; uc um = delocamento axial do cabo; = delocamento axial do olo; L = comprimento do elemento de contribuição.

7 59 a) Reitência ao cialhamento na b) Força tangencial na interface interface veru delocamento relativo. Figura Comportamento do material de interface (manual FLAC v.5). A máxima força tangencial que pode er deenvolvida na interface, normalizada em relação ao comprimento do elemento L, é uma função da coeão e do ângulo de atrito na interface, de acordo com (Figura 3.3-a): F L onde: S bond max reforço) S friction = S +σ * tan( S ) perímetro (3.3) bond c friction * : força reitente devida à coeão na interface (força/comprimento do : ângulo de atrito na interface perímetro : perímetro expoto do elemento de cabo σ c : tenão efetiva normal média atuante na interface, definida por 1 σnn + σ zz σ C = ( + p) (3.4) 2 onde: p σ zz = poro preão; = tenão fora do plano; σ n1 + σ n + 2σ n n 2 2 σ nn = xx yy 2 xy 1 2 Materiai. 1 convenção de inai do programa FLAC egue à notação tradicional de Reitência do

8 60 n i = coeno diretore do vetor unitário normal ao elemento de cabo Propriedade do reforço O elemento de cabo do FLAC v.5 neceitam da epecificação, como dado de entrada, do eguinte parâmetro: a) Área da eção tranveral do reforço; b) Maa epecífica do reforço, para análie dinâmica; c) Módulo de Young do material do reforço; d) Comprimento do reforço (opcional). Se não informado, é coniderado contínuo na direção fora do plano; e) Reitência à tração do material de reforço; f) Reitência à compreão do material de reforço; e não epecificada, aumida nula; g) Perímetro expoto do reforço; h) Rigidez cialhante na interface (força / comprimento do cabo / delocamento relativo); i) Força reitente devida à coeão (força/comprimento do cabo) j) Ângulo de atrito na interface (grau); 3.4. Apecto da modelagem dinâmica Contorno ilencioo A modelagem de problema de geomecânica envolve meio que, na ecala da análie, podem muita veze erem coniderado infinito. Ecavaçõe ubterrânea profunda ão geralmente aumida como circundada por um meio infinito enquanto que etrutura na uperfície ão coniderada aente obre um emi-epaço. Método numérico dependente da dicretização de regiõe finita requerem que condiçõe de contorno ejam adequadamente precrita. Em análie etática, condiçõe de contorno rígida podem er realiticamente empregada atravé da precrição de apoio fixo colocado a alguma ditância da região de interee. Em problema dinâmico, contudo, tal tipo de contorno poderia cauar a reflexão de onda novamente para o interior do modelo e não permitir a neceária radiação

9 61 de energia. A utilização de malha de grande proporçõe poderia minimizar o problema, coniderando-e que o amortecimento do material diiparia a maior parte da energia gerada pela onda refletida no contorno ditante, ma eta olução levaria a tempo de computação extremamente elevado. A alternativa é utilizar contorno ilencioo (em opoição ao ruído introduzida no reultado numérico por contorno rígido), como o propoto por Lymer e Kuhlemeyer (1969) e uado no FLAC, no qual amortecedore independente ão dipoto ao longo do contorno do modelo na direçõe normal e tangencial. Ete método é quae completamente eficiente para onda com ângulo de incidência uperiore a 30º, medido em relação ao contorno. Para menore ângulo de incidência ou para onda de uperfície ainda ocorre aborção de energia pelo amortecedore, ma eta não é perfeita (daí porque ete contorno ão também conhecido como de tranmião imperfeita). Todavia, eta técnica tem a vantagem de que opera no domínio do tempo e ua eficiência foi comprovada ao longo do ano em vário programa computacionai baeado no método do elemento finito e da diferença finita. Um aperfeiçoamento dete tipo de contorno foi ugerido por White et al. (1970) coniderando que a caracterítica do amortecedore dependem também do coeficiente de Poion. A formulação de contorno ilencioo propota por Lymer e Kuhlemeyer (1969) conidera o eguinte valore de tenão normal e tangencial ao contorno, repectivamente: t = ρ C v (3.5) n p n t = ρ C v (3.6) onde: tn t ρ = = tenão normal ao contorno = tenão cialhante ao contorno maa epecífica C p = velocidade de onda P C vn v = velocidade de onda S = componente normal da velocidade no contorno = componente tangencial da velocidade no contorno

10 62 tempo. O valore da tenõe t n e t no FLAC ão aplicado em cada pao de Contorno de campo livre A análie numérica da repota dinâmica de etrutura, como barragen (Figura 3.4), requer a dicretização da região adjacente à ua fundação. O regitro ímico é geralmente repreentado por onda plana SV propagando-e verticalmente e a condiçõe de contorno devem coniderar o movimento de campo livre que ali exitiria cao a etrutura etivee auente. Para impor ete tipo de condição, de tal maneira que o contorno conervem ua caracterítica de aborção de onda, o programa FLAC executa o problema de propagação de onda 1D, na hipótee de campo livre, realizado imultaneamente com a análie da malha principal. Deta maneira, onda plana propagando-e verticalmente não ofrem ditorção no contorno porque a condiçõe de campo livre ão idêntica àquela do modelo emi-infinito. Se a malha principal é uniforme, e e não houvee etrutura na uperfície, então o amortecedore laterai não eriam ativado porque o contorno livre executam o memo movimento da malha principal. Todavia, e o movimento da malha principal for diferente (cauado, por exemplo, pela radiação de onda ecundária pela etrutura) então o amortecedore aborveriam energia de maneira imilar ao contorno ilencioo anteriormente decrito. Figura Modelo para análie ímica de uma etrutura de uperfície e com condição de contorno em campo livre (manual do FLAC v.5).

11 63 O contorno laterai da malha principal ão acoplado ao da malha de campo livre por amortecedore vicoo para imular um contorno ilencioo (ver Figura 3.4), e a força debalanceada da malha de campo livre ão aplicada no contorno da malha principal. Amba a condiçõe ão exprea pela equaçõe (3.7) e (3.8), relativa omente ao contorno da equerda na Figura 3.4. Expreõe emelhante podem er ecrita em relação ao contorno da direita. F X m ff ff [ ρ CP vx vx ) xx ] S y m ff ff [ ρ C v y v y ) xy ] S y = ( σ (3.7) Fy = ( σ (3.8) onde: ρ = maa epecífica do material ao longo do contorno vertical do modelo; C = velocidade de onda P no contorno; p C = velocidade de onda S no contorno; S = tamanho vertical medida da zona entre nó do contorno; y m v x = velocidade na direção x do nó do contorno na malha principal; m v y = velocidade na direção y do nó do contorno na malha principal; ff v x = velocidade na direção x do nó do contorno na malha de campo livre; v = velocidade na direção y do nó do contorno na malha de campo ff y livre; σ = tenão normal média no nó de contorno da malha de campo ff xx livre; σ = tenão cialhante média no nó de contorno da malha de campo ff xy livre O modelo de campo livre conite em uma coluna 1D de largura unitária. Etá dicretizada em n elemento conitente com a zona da malha principal, ao longo do contorno laterai. A maa do elemento ão concentrada (lumped) no n+1 ponto nodai. Uma variação linear do campo de delocamento é aumida no interior de cada elemento do modelo de campo livre (ito é, admitindo-e uma ditribuição contante de tenõe ou deformaçõe no interior de cada elemento).

12 Tranmião de onda Ditorçõe numérica da propagação de onda podem ocorrer em uma análie dinâmica em coneqüência da modelagem. Tanto o epectro de freqüência da excitação dinâmica quanto a caracterítica de propagação da onda no itema podem afetar a precião numérica da tranmião de onda atravé do modelo dicreto. Kuhlemeyer e Lymer (1973) motraram que para uma repreentação acurada da tranmião de onda o tamanho do elemento l deve er menor do que aproximadamente 1/10 a 1/8 do comprimento de onda λ aociado à maior freqüência do regitro de entrada. l λ 10 (3.9) Filtragem do regitro ímico Para certa análie (por exemplo em regitro exibindo alta velocidade de pico com rápido intervalo de ubida), a aplicação da equação (3.9) pode reultar em tamanho de zona e pao de tempo muito pequeno, implicando em tempo de proceamento e quantidade de memória proibitivo. Em tai circuntância, o regitro ímico (hitória de aceleraçõe, velocidade ou delocamento) deve er tratado, reconhecendo-e que a maior parte da potência do imo etá contida na componente de baixa freqüência. Por um proceo de filtragem da alta freqüência, uma malha com zona maiore pode er utilizada em ignificativa mudança no reultado eperado. O procedimento de filtragem pode er executado com uma rotina de filtro paa-baixo 2 utilizando a técnica de Tranformada Rápida de Fourier (FFT). O programa FLAC tem diponível uma rotina ecrita na linguagem FISH, denominada FILTER.FIS, pronta para filtrar regitro coniderando-e determinada freqüência de corte f c. Baixa freqüência também podem er filtrada atravé de uma rotina de filtro paa-alta, removendo-e aquela cujo período é maior do que a duração do terremoto, poi a mema tendem a cauar valore não nulo no final da hitória de velocidade e delocamento. 2 Filtro paa-baixo é o nome comum dado a um circuito eletrónico que permite a paagem de baixa frequência e atenua a amplitude da frequência maiore que uma frequência de corte

13 Correção da linha bae O proceo de correção da linha bae pode er uado para precrever velocidade e delocamento reiduai nulo ao final do movimento do terremoto. Ete proceo, motrado na Figura 3.5, pode er explicado como: a) a hitoria da velocidade pode er obtida pela integração no tempo da hitória da aceleraçõe. Nete cálculo, a velocidade final pode reultar nãonula como na Figura 3.5ª; b) a integração no tempo da hitória da velocidade pode reultar também em um delocamento final não-nulo, como na Figura 3.5b; c) uma onda de velocidade de baixa freqüência pode er elecionada de forma que a velocidade e delocamento finai tornam-e nulo. Eta onda pode er uma função polinomial ou periódica com parâmetro livre (Figura 3.5 c) que podem er ajutado para obtenção do reultado deejado, como motrado na Figura 3.5d. A correção da linha bae no programa FLAC pode er feita pelo uuário atravé da rotina da biblioteca FISH denominada BASELINE.FIS. Se a correção da linha bae não for executada, a hitória da aceleraçõe não corrigida reultará em um erro linear na hitória da velocidade e um erro quadrático na hitória do delocamento (Kramer, 1996). Outra técnica para correção da linha bae é aplicar um delocamento adicional no final do cálculo, e for contatada a exitência de um delocamento reidual no modelo. Ito pode er feito aplicando-e uma velocidade fixa na malha com o objetivo de reduzir o delocamento a zero. Eta ação não afetará o mecanimo de deformação do modelo.

14 66 Figura Proceo de correção da linha bae (manual do FLAC v.5) Carregamento dinâmico No FLAC, a aplicação do carregamento dinâmico no contorno do modelo pode er ob uma da eguinte maneira: uma hitória de aceleraçõe, uma hitória de velocidade, uma hitória de tenõe ou uma hitória de força. A dua primeira ão aplicada no cao com fundação obre bae rígida (rocha) e o doi último para cao com fundação obre bae flexível (olo), conforme motra a Figura 3.6. Uma retrição quando coniderando-e hitória de aceleração ou de velocidade é que ete carregamento dinâmico não podem er aplicado obre contorno ilencioo, porque a caracterítica dete eriam

15 67 ignificativamente alterada. Para precrever-e movimento ímico obre contorno ilencioo, uma condição de carregamento em termo de tenõe deve er utilizada, com o regitro de velocidade tranformado em um regitro de tenõe e em eguida aplicado. (a) Bae Flexível. (b) Bae Rígida. Figura Condiçõe de contorno e de carregamento dinâmico (manual FLAC v.5). Uma onda de velocidade pode er convertida em uma onda de tenão uando a formulação elática: σ = 2( ρ C ) v (3.10) n p n σ = 2( ρ C ) v (3.11) onde: σ n = tenão normal aplicada; σ = tenão cialhante aplicada; ρ = maa epecífica;

16 68 C p = velocidade de propagação de onda P; C = velocidade de propagação de onda S; v n = velocidade normal da partícula; v = velocidade tangencial da partícula. A formulação acima aume propagação de onda plana. O fator 2 na equaçõe 3.10 e 3.11 leva em conta o fato de que a tenão aplicada deve er duplicado em relação àquela previta em um meio infinito, porque metade da energia é aborvida pelo contorno vicoo Amortecimento mecânico Sitema dinâmico naturai contém algum grau de amortecimento da energia de vibração, cao contrário ocilariam indefinidamente. O amortecimento do material explica o comportamento inelático do materiai poi parte da energia interna do ciclo de carregamento é aborvida pelo material durante o ciclo de decarregamento, fazendo com que amba a trajetória não ejam coincidente, o que caracteriza materiai inelático. O programa computacional FLAC utiliza um algoritmo dinâmico para dua clae gerai de problema: quae-etático e dinâmico. Problema quae-etático requerem maiore amortecimento para rápida convergência ao equilíbrio e o algoritmo uado no programa FLAC nete cao é o do amortecimento local. Para ituaçõe de problema dinâmico ão diponívei o amortecimento de Rayleigh, o amortecimento hiterético e, em cao epeciai, também o amortecimento local Amortecimento de Rayleigh O amortecimento de Rayleigh foi originalmente uado na análie dinâmica de etrutura e corpo elático para amortecer o modo de ocilação natural do itema. A equaçõe ão exprea de forma matricial, onde a matriz de amortecimento [ C ] é utilizada com componente proporcionai à matrize de maa [M] e de rigidez [K].

17 69 [ C] = α[ M] + β[k] (3.12) onde α = β = contante de amortecimento proporcional à maa contante de amortecimento proporcional à rigidez Para baixa freqüência do itema, a primeira componente α é dominante, enquanto que para alta freqüência β é mai relevante (Figura 3.7). Para um itema com múltiplo grau de liberdade, a razão de amortecimento critico, ξ i, em qualquer freqüência angular do itema, ω i, pode er ecrita como ( Bathe e Wilon, 1976): α + β ω 2ω ξ (3.13) ou ξ 2 i = 1 α + β ω 2 ωi i = i i i (3.14) A Figura 3.7 motra a variação da razão de amortecimento critico normalizado em relação à freqüência angular, ω i. Trê curva ão motrada: para componente de maa e rigidez ioladamente e a oma de amba a componente. Como pode-e obervar, o amortecimento proporcional à maa do itema é dominante no intervalo da baixa freqüência angulare, enquanto que o amortecimento proporcional à rigidez domina para freqüência angulare mai alta. mínimo em A curva repreentando a oma de amba a componente atinge um valor min 1 ( α β )2 ξ = (3.15) min 1 ( α / β )2 ω = (3.16) ou α = ξ min ω min (3.17) β = ξ min / ω min (3.18) A freqüência mínima é ecrita como f ω / 2π (3.19) min = min

18 70 Note que omente na freqüência f min o amortecimento de Rayleigh é compoto por parte iguai de amortecimento proporcional à maa e proporcional à rigidez. Figura Variação da razão de amortecimento critico normalizada em relação à freqüência angular. parâmetro No FLAC o amortecimento de Rayleigh é epecificado atravé do f min (Hz) e ξ min. Como o amortecimento em olo é praticamente independente da freqüência, podemo etimar ξ min (conforme Tabela 3.2) e calcular ω min como aproximação da freqüência angular predominante do itema não-amortecido. Tabela 3.2 Valore típico da razão de amortecimento crítico Tipo de olo Razão de amortecimento Referência crítico Pedregulho e areia eca Weimann e Hart (1961) Areia eca e aturada Hall e Richardt (1963) Areia eca 0.03 Whitman (1963) Areia eca e aturada Barkan (1962) Pedregulho Argila Barkan (1962) Areia iltoa Steven (1965) Areia eca Hardin (1965)

19 Amortecimento hiterético O modelo linear equivalente tem ido uado por muito ano para calcular a repota dinâmica de maciço de olo e rocha e no etudo de problema de propagação de onda. O método não captura diretamente qualquer efeito nãolinear, poi aume linearidade durante o proceo de reolução. Funçõe que decrevem a degradação do módulo de cialhamento (Figura 3.8) e aumento da razão de amortecimento com o nívei da deformaçõe cialhante ão utilizada e já foram apreentada no Capítulo 2. Figura 3.8 Limite uperior da curva de redução do módulo de cialhamento para areia, propota por Seed & Idri (1970). Uma motivação adicional para utilização do dado obtido em enaio cíclico de laboratório em um modelo de amortecimento hiterético é que a neceidade de amortecimento adicionai, como o de Rayleigh, eria eliminada. O amortecimento de Rayleigh é pouco uual entre o uuário de programa computacionai envolvendo olo ou rocha, poi envolve uma drática redução no pao de tempo da olução e, conequentemente, um ignificativo acrécimo no tempo de proceamento. O problema principal com o amortecimento hiterético implementado na verão 5 do programa FLAC, utilizada na elaboração deta diertação, é que a curva de degradação do módulo G (ou G ec ) é obtida diretamente de enaio de laboratório (Seed e Idri, 1970; Hardin e Drnevich, 1972) ma o valor correpondente da razão de amortecimento crítico ξ i é obtida com bae na formulação teórica da equação (2.9), abaixo reproduzida:

20 72 W 1 A d laço ξ = = (2.9) 2 4πW 2π G ecγ c onde W d é energia diipada no ciclo, W a energia de deformação máxima e A laço a área do laço de hiteree. Em coneqüência, a curva de degradação do módulo coincide com aquela preente em outro programa computacionai que empregam o modelo linear equivalente, como o SHAKE (Figura 3.9), ma a curva de aumento da razão de amortecimento crítico ão incompatívei, para todo o intervalo de deformaçõe, com aquela obtida de enaio de laboratório (Seed e Idri, 1970) e incorporada diretamente no programa SHAKE (Figura 3.10). Devido à inconitência obervada na curva de aumento da razão de amortecimento crítico, que não podem er modificada pelo uuário do programa FLAC, é ugerido então que uma abordagem de compromio eja adotada, procurando-e concordar a curva teórica e de laboratório no intervalo de deformaçõe eperado no problema em análie. Figura 3.9 Curva de degradação de G no modelo linear equivalente implementado no programa computacionai SHAKE e FLAC v.5.

21 73 Figura Curva de aumento da razão crítica de amortecimento no modelo linear equivalente implementado no programa computacionai SHAKE e FLAC v Amortecimento local O amortecimento local foi deenvolvido para imulaçõe de equilíbrio etático. No entanto, apreenta alguma caracterítica que o fazem atrativo também para imulaçõe dinâmica. O algoritmo conite em amortecer o movimento de aceleração pela adição de maa aparente em certo intante de tempo (quando a velocidade for nula) e remoção em outro intante, quando a aceleração for nula (i.e. no intante de velocidade máxima). Durante um ciclo de ocilação, a maa total do itema é portanto conervada, ma a energia cinética é removida dua veze do itema. Note que no ponto de velocidade máxima a maa aparente é removida, ma não há decontinuidade na aceleração, poi a mema é nula nete intante. A quantidade de energia diipada W é proporcional à máxima energia de deformação traniente W e a razão W / W é independente da freqüência, podendo er relacionada com uma razão de amortecimento crítico ξ atravé de (Kolky, 1963): α L = πξ (3.20) onde α L é o coeficiente de amortecimento local.

22 74 O amortecimento local parece dar bon reultado em cao imple onde o amortecimento é independente da freqüência e não há neceidade da etimativa de freqüência naturai do itema endo modelado. Para ituaçõe exibindo regitro com complexa forma de onda, há evidência que o amortecimento local ubamortece a componente de alta freqüência, podendo introduzir ruído de alta freqüência na olução.