UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL ESCOLA DE ENGENHARIA Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL ESCOLA DE ENGENHARIA Programa de Pó-Graduação em Engenharia Civil MODELO DA LIGAÇÃO ENTRE CONCRETO E ARMADURA NA ANÁLISE DE ESTRUTURAS DE CONCRETO PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS Mauren Aurich Diertação apreentada ao Programa de Pó-Graduação em Engenharia Civil da Ecola de Engenharia da Univeridade Federal do Rio Grande do Sul, para obtenção do título de Metre em Engenharia. Área de concentração: Etrutura Porto Alegre

2 ii Eta diertação foi julgada adequada para a obtenção do título de MESTRE EM ENGENHARIA e aprovada na ua forma final pelo Orientador e pelo Programa de Pó- Graduação. Prof. Américo Campo Filho Orientador Prof. Francico de Paula Simõe Lope Gatal Coordenador do Programa de Pó-Graduação em Engenharia Civil BANCA EXAMINADORA: Prof. Américo Campo Filho (Orientador) Dr. pela Ecola Politécnica da Univeridade de São Paulo Prof. Mauro de Vaconcello Real Dr. pela Univeridade Federal do Rio Grande do Sul Prof. Francico de Paula Simõe Lope Gatal PhD. pela North Carolina State Univerity Prof. Luiz Carlo Pinto da Silva Filho PhD. pela Univerity of Leed

3 iii Dedico eta diertação a meu pai, Egon e Magda, pelo incentivo, paciência e amor imenurávei.

4 Olhe com o entendimento, decubra o que você já abe, e verá como voar R. Bach iv

5 v AGRADECIMENTOS Deejo externar meu incero reconhecimento e agradecimento por todo apoio que me foi dipenado no decorrer dete período de etudo, apoio ete, imprecindível para a realização deta diertação. Agradeço ao Profeor Américo Campo Filho a ua orientação. Seu valioo eninamento, dedicação, colaboração e amizade foram fundamentai para o deenvolvimento dete trabalho. Ao Profeore do Programa de Pó-Graduação em Engenharia Civil da UFRGS pelo eninamento minitrado durante o curo, e ao funcionário pelo auxílio e colaboração. Ao amigo Marcu Viniciu Cerutti e Karen Ferreira Cerutti, obrigada pelo etímulo à realização dete trabalho, pelo apoio e pela amizade incondicionai dipenado nete período. Ao Profeore Almir Schäffer e Maria Regina Leggerini, agradeço o eninamento, o apoio e a amizade. Ao colega Andriei Joé Beber agradeço o interee, amizade e apoio pretado durante a elaboração deta diertação. À amiga Letícia Fleck Wirth, Gabriela Maluf Medero e Sabrina Dalanhol Balletrin Correa, obrigada pela força, pelo carinho e pela amizade. E ao colega do curo de metrado André Luí Roa, Aleandra Danta e Fabiana Camargo pelo companheirimo. De forma muito epecial agradeço a minha família, vó Ilza, Taí, Dindo e Dinda, Dri, Angela, Déa, Tio Léo, Inez, Lú e vó Elvira, pela paciência, apoio e amor. E, a Deu, por iluminar meu caminho.

6 vi SUMÁRIO LISTA DE SÍMBOLOS...ix LISTA DE FIGURAS......xiii RESUMO...xvi ABSTRACT......xvii CAPÍTULO Introdução. HISTÓRICO..... Armadura Aderência Fiuração Concreto à compreão...7. OBJETIVOS E JUSTIFICATIVA DO TRABALHO...8. ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO...8 CAPÍTULO Modelo para um Material Elato-Vicoplático. MODELOS REOLÓGICOS.... COMPORTAMENTO ELASTO-VISCOPLÁSTICO Formulação do comportamento elato-vicoplático Incremento de deformação vicoplática Incremento de tenão Equaçõe de equilíbrio Modelo de camada IMPLEMENTAÇÃO DAS ETAPAS DE SOLUÇÃO...

7 vii CAPÍTULO 3 Modelo de elemento finito para o concreto armado 3. MODELO DE ELEMENTOS FINITOS PARA O CONCRETO Elemento linear Elemento quadrático MODELO DE ELEMENTOS FINITOS PARA ARMADURA Funçõe de forma para armadura Formulação geométrica Segmento de armadura no interior de um elemento de concreto MATRIZ DE RIGIDEZ PARA O ELEMENTO DE CONCRETO ARMADO...38 CAPÍTULO 4 Modelo Contitutivo do Materiai 4. MODELO ELASTOPLÁSTICO PARA O CONCRETO Modelo para o concreto comprimido Critério de ruptura Critério de platificação para o concreto Regra de endurecimento Vetor de fluxo plático Modelo para o concreto fiurado Critério de fiuração Colaboração do concreto entre a fiura Rigidez tranveral do concreto fiurado MODELO ELASTOPLÁSTICO PARA O AÇO MODELO PARA AS LÂMINAS DE FIBRA DE CARBONO MODELO VISCOELÁSTICO PARA O CONCRETO Fluência Retração MODELO DE LIGAÇÃO ENTRE OS MATERIAIS...69

8 viii CAPÍTULO 5 Implementação Computacional do Modelo de Aderência 5. FORMULAÇÃO DO MODELO MATRIZ DE RIGIDEZ PARA O ELEMENTO DE CONCRETO ARMADO Montagem da matriz de rigidez Armazenamento da matriz de rigidez Delizamento ao longo de uma barra IMPLEMENTAÇÃO DO MODELO DE LIGAÇÃO ENTRE OS MATERIAIS...78 CAPÍTULO 6 Aplicaçõe Numérica 6. CORPO DE PROVA ENSAIADO POR GROOT ET AL VIGAS ENSAIADAS POR CAMPAGNOLO ET AL VIGAS ENSAIADAS POR JUVANDES (998) E SILVA (999) VIGAS ENSAIADAS POR BEBER Delocamento vertical na eção central Deformação na armadura Deformação no reforço Tenão de aderência...3 CAPÍTULO 7 Concluõe e Deenvolvimento Futuro 7. CONCLUSÕES DESENVOLVIMENTOS FUTUROS...9 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...

9 ix LISTA DE SÍMBOLOS Letra romana maiúcula: A A C A S B B S D E E C E S área área da eção tranveral do concreto área da eção tranveral da armadura matriz que relaciona deformaçõe e delocamento nodai do elemento de concreto vetor que relaciona deformaçõe e delocamento nodai do elemento de aço matriz contitutiva módulo de elaticidade longitudinal módulo de elaticidade longitudinal do concreto módulo de elaticidade longitudinal do aço Eµ módulo de elaticidade longitudinal da camada de concreto F G G C G f H força; uperfície de platificação módulo de elaticidade tranveral do concreto módulo de elaticidade tranveral do concreto fiurado energia de fratura função de interpolação para o elemento de armadura H taxa de endurecimento do concreto Ι Ι J J J invariante do tenor de tenão invariante do tenor de deformação matriz jacobiana; função de fluência invariante do tenor deviador de tenão invariante do tenor deviador de deformação

10 x K K c K RH T V matriz de rigidez do elemento de concreto armado matriz de rigidez do concreto matriz de rigidez do aço umidade relativa do ar temperatura volume Letra romana minúcula: e e i f cm f tm f y h m n ng t u x y z w epeura total do elemento de concreto epeura da camada de concreto reitência média à compreão do concreto reitência média à tração do concreto tenão de ecoamento da armadura epeura fictícia da eção de concreto número de nó da barra de armadura número de nó do elemento de concreto número de ponto de integração de Gau contante que depende do tipo de cimento tempo campo de delocamento coordenada carteiana coordenada carteiana coordenada carteiana fator de peo

11 xi Letra grega maiúcula: Σ Π incremento omatório produtório Letra grega minúcula: α β γ γ δ ε ε c ε e ε vp coeficiente; ângulo coeficiente; ângulo coeficiente de fluidez do concreto; ditorção coeficiente de fluidez do aço variação deformação epecífica total deformação por retração do concreto deformação elática deformação vicoplática do concreto ε vp deformação vicoplática do aço η λ ν ξ σ σ ef σ o coeficiente de vicoidade; coordenada normalizada parâmetro coeficiente de Poion coordenada normalizada tenão normal no concreto tenão efetiva no concreto tenão uniaxial de platificação inicial

12 xii σ τ τ µ φ χ ξ ϕ tenão normal na armadura tenão tangencial no concreto tempo de relaxação da camada de concreto diâmetro da barra de armadura; coeficiente de fluência coordenada normalizada coordenada normalizada força reiduai Símbolo: { } vetor coluna vetor linha [ ] matriz [ ] T matriz tranpota [ ] - matriz invera

13 xiii LISTA DE FIGURAS. Modelo elático.... Modelo plático....3 Modelo vicoo....4 Modelo elatoplático....5 Modelo de Maxwell....6 Modelo elato-vicoplático Analogia da técnica de camada em dua dimenõe....8 Fluxograma do programa Elemento ioparamétrico linear de 8 nó Elemento ioparamétrico quadrático de nó Modelo dicreto Modelo ditribuído Modelo incorporado Barra de armadura no interior do elemento de concreto Coordenada ao longo do eixo da armadura Curva de definição da barra de aço P dentro do elemento de concreto P e P np dentro do elemento de concreto Segmento que liga P e P np intercepta o elemento Segmento que liga P e P np não intercepta o elemento Segmento de armadura dentro do elemento de concreto Diagrama carga-delocamento típico para uma peça fletida de concreto armado a Meridiano da uperfície de ruptura b Seçõe tranverai da uperfície de ruptura Superfície de platificação e ruptura Diagrama tenão-deformação para o concreto comprimido Modelo alternativo para modelar a fiuração Ilutração do comprimento caracterítico em um volume de controlo primático Curva tenão-deformação para o concreto tracionado Curva tenão-deformação alternativa para o concreto tracionado Diagrama tenão-deformação para o concreto tipo A...63

14 xiv 4. Diagrama tenão-deformação para o concreto tipo B Evolução da deformação por fluência para tenão contante aplicada em t Curva de deformação por retração Modelo de cadeia Maxwell Relação tenão de aderência-delizamento Matriz de rigidez para o elemento de concreto armado, com um egmento de armadura em eu interior Matriz de rigidez para o elemento de concreto armado, com n b egmento de armadura em eu interior Nó do egmento de armadura no interior de um elemento de concreto (a) (b) e (c) Trecho do arquivo de aída do programa Continuidade da barra de armadura nº 3 ao longo da viga Geometria e carregamento do corpo de prova Malha de elemento finito Deformação no trecho não confinado da barra do corpo de prova Deformaçõe na armadura, ao longo do trecho de 3 cm, dentro do concreto, para uma carga de 5 kn Tenão de aderência ao longo do trecho de 3 cm para diferente nívei de carga Geometria e carregamento da viga V e V Malha de elemento finito Delocamento vertical na eção central da viga V Deformação na armadura da viga V Delocamento vertical na eção central da viga V Deformação na armadura da viga V Tenão de aderência na interface do reforço com a viga V Decolamento da chapa na extremidade da viga V Geometria e carregamento da viga B6 e B Malha de elemento finito Delocamento vertical na eção central da viga B Delocamento vertical na eção central da viga B Deformação no reforço da viga B Curva teórico x experimental da tenão de aderência na interface do reforço com a viga B Tenão de aderência na interface do reforço com a viga B Decolamento da chapa na extremidade da viga B Geometria e carregamento da viga VT e VR Malha de elemento finito...95

15 xv 6.4 Delocamento vertical na eção central da viga tetemunho Delocamento vertical na eção central da viga reforçada com uma camada Delocamento vertical na eção central da viga reforçada com quatro camada Delocamento vertical na eção central da viga reforçada com ete camada Delocamento vertical na eção central da viga reforçada com dez camada Deformação na armadura da viga tetemunho Deformação na armadura da viga reforçada com uma camada Deformação na armadura da viga reforçada com quatro camada Deformação na armadura da viga reforçada com ete camada Deformação na armadura da viga reforçada com dez camada Deformação no reforço da viga reforçada com uma camada Deformação no reforço da viga reforçada com quatro camada Deformação no reforço da viga reforçada com ete camada Deformação no reforço da viga reforçada com dez camada Tenão de aderência na interface do reforço com a viga reforçada com uma camada Ruptura da viga reforçada com uma camada Tenão de aderência na interface do reforço com a viga reforçada com quatro camada Ruptura por decolamento na viga reforçada com quatro camada Tenão de aderência na interface do reforço com a viga reforçada com ete camada Ruptura por decolamento na viga reforçada com ete camada Tenão de aderência na interface do reforço com a viga reforçada com dez camada Ruptura por decolamento na viga reforçada com dez camada...7

16 xvi RESUMO Ete trabalho apreenta um modelo computacional para análie tridimenional de peça de concreto armado, utilizando o método do elemento finito. São utilizado modelo contitutivo elato-vicoplático para repreentar o comportamento do materiai, quando ubmetido a carga de curta ou longa duração. Se a etrutura etá ubmetida a carga de curta duração, o modelo deenvolvido fornece, quando alcançado o etado etável, a olução do problema elatoplático. Em contrapartida, e a etrutura etá ubmetida a carga de longa duração, o modelo pode repreentar o comportamento vicoelático com envelhecimento do concreto. Foi utilizado um modelo de camada uperpota para aegurar uma repreentação adequada do comportamento real do concreto ao longo do tempo. Dete modo, admite-e que o concreto é contituído por um número conveniente de camada, que apreentam a mema deformação. Para a fiuração do concreto, utilizou-e um modelo de fiura ditribuída, que leva em conideração a contribuição do concreto entre fiura. O objetivo dete etudo é a modelagem da armadura e do reforço na peça de concreto armado, atravé de um modelo de aderência entre o concreto e o material adjacente. A armadura é introduzida no modelo como uma linha de material mai rígido dentro do elemento de concreto. E, a conideração da degradação da aderência é realizada atravé de um modelo onde o efeito da aderência imperfeita ão incluído pela introdução de grau de liberdade para o delocamento relativo entre o materiai. O reultado obtido com ete programa computacional ão comparado com valore experimentai diponívei na literatura, viando validar o modelo matemático e a metodologia numérica.

17 xvii ABSTRACT Thi work preent a computational model for the three dimenional analyi of reinforced concrete tructure, uing the finite element method. Elato-vicoplatic contitutive model are ued to repreent the material behavior, under hort-term or long-term loading. If the tructure i under hort-term loading, the developed model provide the olution of the elato-platic problem when it reache the teady tate. On the other hand, if the tructure i under long-term loading, the model can repreent the concrete vicoelatic behavior with aging. An overlay model i included to provide an adequate repreentation of the real concrete behavior at time. Thu, a concrete repreentation compoed by a uitable number of layer, which have the ame deformation, i adopted. A meared crack model i ued for the concrete cracking, which conider the contribution of concrete between crack (tenion tiffening). The aim of thi tudy i the modeling of reinforcement (and trengthened) in concrete tructure through a bond-lip model between the concrete and the adjacent material. The reinforcement i inerted into the model a a tiffer material line inide the concrete element. Alo, the conideration of adherence debaement i hown through a new model where the effect of bond-lip are included by introducing bond-lip degree of freedom for the diplacement between the material. The reult obtained through thi computational program are compared with experimental data available in literature, to validate the mathematical model and the numeric methodology.

18 INTRODUÇÃO Ete primeiro capítulo contém um reumo obre o deenvolvimento do Método do Elemento Finito para análie de etrutura de concreto armado, ituando eta diertação no contexto geral do que tem ido realizado neta área, alientando o objetivo e a importância dete etudo. Faz-e, também, comentário obre a organização e o conteúdo que erão abordado nete trabalho.. HISTÓRICO O concreto armado é um do mai importante materiai de contrução da engenharia etrutural. Por concreto armado, entende-e o concreto com barra de aço nele imera endo, portanto, um material de contrução compoto, no qual a aderência entre o concreto e a armadura de aço é devida à adeão química, ao atrito e ao engrenamento mecânico de eu materiai componente. Segundo Leonhardt (977), a cal hidráulica e o cimento pozolânico (de origem vulcânica) já eram conhecido pelo romano, dede a antiguidade, como aglomerante, ma foi a invenção do cimento Portland pelo inglê Joeph Apdin, no ano de 84, que deu origem ao deenvolvimento em obra de concreto. Em meado do éculo XIX, foram utilizada pela primeira vez, na França, armadura de aço em peça de concreto: em 855, Jean Lui Lambot contruiu um barco com argamaa de cimento reforçada com ferro; em 86 Joeph Monier contruiu um vao de flore de concreto com armadura de arame (concreto Monier); no memo ano, Françoi Coignet publicou o princípio báico para a contruçõe em concreto armado, e apreentou na Expoição Internacional de Pari, em 867, viga e tubo de concreto

19 armado. O americano Willian Ward contruiu em Nova Iorque, em 873, uma caa de concreto armado o Ward Catle exitente até hoje. Emil Mörch (profeor na Univeridade de Stuttgart, de 96 até 948) publicou, em 9, por incumbência da firma Way & Freytag, uma decrição com bae científica e fundamentada, do comportamento do concreto de ferro. Partindo de reultado de enaio, deenvolveu a primeira teoria realita obre o dimenionamento de peça de concreto armado (a expreão concreto armado foi introduzida em 9, em vez de concreto de ferro, porque o material empregado é o aço e não o ferro). Atualmente, o concreto armado é empregado em todo o tipo de contrução por ua vantagen. Eta incluem, por exemplo, o fato do memo er facilmente moldável, adaptando-e a qualquer tipo de forma, er reitente ao fogo, à influência atmoférica e ao degate mecânico, e, principalmente, por er econômico (matéria prima barata, como areia e brita). Todavia, o comportamento do material concreto armado é batante complexo, o que vem a criar dificuldade na análie deta etrutura, devida, entre vário fatore, à ignificativa diferença entre a reitência à tração e à compreão do concreto (a reitência à tração é muito inferior à ua reitência à compreão); à aderência imperfeita entre o aço e o concreto adjacente; à não-linearidade da relação tenão-deformação já para nívei de tenão relativamente baixo; ao fenômeno da fluência e retração que dependem, entre outro fatore, da umidade ambiente e da dimenõe do elemento etrutural; à fiuração do concreto e à tranmião de eforço atravé da fiura. A análie tradicional de etrutura de concreto é baeada em enaio de etrutura ou de peça etruturai em laboratório. O reultado obtido nea forma de análie ão limitado e, à veze, de difícil interpretação. É neceário o deenvolvimento de modelo matemático para complementar a análie experimental e poibilitar a generalização do reultado para diferente etrutura e forma de carregamento. O Método do Elemento Finito é eguramente o proceo numérico que mai tem ido uado para a análie dete tipo de etrutura. A ua larga utilização e deve ao avançado grau de deenvolvimento alcançado pelo método na análie de etrutura de concreto armado, aliada à analogia fíica direta que e etabelece, com o eu emprego, entre o itema fíico real (a etrutura em análie) e o modelo (malha de elemento finito).

20 3 Atravé dele pode-e imular numericamente o funcionamento da etrutura de concreto armado. A primeira aplicaçõe do método do elemento finito a concreto armado remontam cerca de 3 ano atrá. Ngo e Scordeli publicaram, em 967, um trabalho que incluía o efeito da fiuração em um modelo de elemento finito de concreto armado. No ano que e eguiram a eta primeira aplicação, inúmero aperfeiçoamento têm ido realizado neta área, para a obtenção de uma melhor repreentação do comportamento não-linear dete material. Aperfeiçoamento ete realizado, principalmente, na modelagem da fiuração, da aderência entre a armadura e o concreto adjacente, e no modelo contitutivo tanto da armadura quanto do concreto. A primeira formulaçõe do método do elemento finito para concreto armado combinaram modelo contitutivo e elemento finito para a repreentação da flexão no próprio plano (viga, viga parede e pórtico). A formulaçõe eguinte abrangeram flexão fora do plano do elemento, como é o cao de placa e caca e, poteriormente, etrutura tridimenionai. Grande parte dete modelo foi idealizada para carregamento monotônico, ma com o paar do ano, o modelo paaram a er formulado também para carregamento cíclico. Um etudo realizado por Darwin (99) reume o trabalho publicado até então, obre aplicaçõe de elemento finito ao concreto armado. Nete etudo, oberva-e que dede o deenvolvimento do primeiro modelo computacionai, maior ênfae vem endo dada à repreentação do modelo contitutivo do concreto. O trabalho de Darwin dicorre a repeito da técnica utilizada para a análie de elemento finito do concreto armado. É apreentada, também, uma tabela que relaciona a ocorrência de uo do diferente modelo no trabalho conultado, a qual foi trancrita neta diertação, na Tab...

21 4 TABELA. - Sumário do Modelo de Elemento Finito para Concreto Armado (985-99) Tipo de modelo: Carregamento monotônico: Viga e pórtico: 5, 6 Etrutura bidimenionai:,,3,4,7,8,9,,,,3,4,5,6,8,9,,,,3,4 Placa e caca: 3,9, Axiimétrico: 7 Aplicaçõe epeciai: 7 Carregamento cíclico: nenhum Formulação contitutiva: Tangente:,,8,9,,,,5,6,,, Secante: 3,4,5,6,3,4,7,9,3,4 Não utilizado: 7,8 Repreentação do aço: Ditribuído:,3,4,8,9,,3,4,5,9,,,3,4 Dicreto: 5,6,7,,,,6,7,8, Incorporado: 9 Não utilizado:, Modelo contitutivo para o aço: Elato-plático perfeito: 3,4,5,6,8,,3,4,6,9,,3 Não linear: 9,,,4 Não utilizado:,7 Repreentação da aderência: Aderência perfeita: 3,4,5,6,7,8,9,,5,8,9,,,,3 Modelo tenão de aderência-delizamento:,,,3,4,6,7,,4 Não utilizado: Modelo de fiuração do concreto: Enrijecimento à tração: Utilizado:,,3,4,8,9,,3,4,5,9,,,,3,4 Não utilizado: 5,6,7,,,6,8, Não aplicado: 7 Amolecimento à tração: Utilizado:,,3,4,5,6,9,,,, Não utilizado: 7,8,3,4,5,6,8,9,,,3,4 Não aplicado: 7 Retenção ao corte: Valor fixo: 4,7,,5,6,8,9 Valor variável:,,8,9,,,,,3 Valor de β:.5. :,,4. : 8..5 : 7. ou.4 : 9.5 : 5 Não aplicado: 3,5,6,3,4,7,

22 5 TABELA. - Sumário do Modelo de Elemento Finito para Concreto Armado (cont.) Fiura ditribuída: Fiura ortogonai fixa:,,5,6,8,9, Fiura não ortogonai fixa: 3,7,9,,,,6,8,4 Fiura que poam girar:,,4,,3,4,5,,,3 Não aplicado: 7, Dicreta Modelo contitutivo do concreto à compreão: Elático linear: 7,3 Elático não-linear:,,3,4,5,6,8,,,4,5,8,9,,,,3 Elato-plático: 9,,6 Não utilizado: 7,4 Outro: Importância da malha utilizada:,5,6,7,,,8 Importância do pao de carga utilizado:,7 Critério de convergência utilizado:,7 Referência:. Balakrihnan e Murray (988) 3. Gupta e Maetrini (989a). Balakrihnan (988) 4. Gupta e Maetrini (989b) 3. Barzegar (988) 5. Hu e Schnobrich (99) 4. Barzegar (989) 6. Ignataki et al. (989) 5. Bazant, Pan e Pijaudier-Cabot (987) 7. Keuer e Mehlhorn (987) 6. Bazant, Pijaudier-Cabot e Pan (987) 8. Kotovo (986) 7. Bédard e Ktovo (985) 9. Lewinki e Wojewodzki (99) 8. Cervenka (985). Maicotte et al. (99) 9. Chang et al. (987). Murtuza e Cope (985). Channakehava e Iyengar (988). Steven et al. (99). Gajer e Dux (99) 3. Vecchio (989). Gajer e Dux (99) 4. Wu et al. (99).. Armadura Técnica para a repreentação da armadura foram detalhada no trabalho de algun autore, como Balakrihnan e Murray (988), Chang et al. (987), Gajer e Dux (99), Keuer e Mehlorn (987) e Wu et al. (99). A barra de armadura têm capacidade de uportar carga tanto paralela quanto perpendiculare ao eu comprimento. Eta capacidade de uportar eforço tranverai à armadura é conhecida como efeito de pino. Entretanto, no modelo mai imple, em geral deconidera-e ete efeito, e conidera-e o aço como um material de comportamento uniaxial.

23 6 A formulaçõe para a incluão do aço no elemento de concreto dividem-e em trê repreentaçõe: dicreta, onde e utilizam elemento de barra para repreentar a armadura; ditribuída, que conidera o aço ditribuído uniformemente no elemento de concreto; e a incorporada, onde e conidera que a barra de armadura ão linha de um material mai rígido no interior do elemento de concreto... Aderência No trabalho etudado por Darwin (99), todo conideraram a repreentação do aço e do concreto como materiai ditinto e, a maior parte dele (5 trabalho no total de 4), conideraram como endo perfeita a aderência entre a armadura e o concreto (Tab..). A importância da aderência em etrutura de concreto armado tem ido batante dicutida. Van Miler (987) obervou que a aderência não era importante no etudo do comportamento carga-delocamento de balanço curto de concreto armado. Balakrihnan et al. (988) notou er muito importante a incluão da aderência na repreentação de viga com ruptura por corte. Na modelagem do comportamento da aderência em etrutura, a repreentaçõe tendem a coniderá-la atravé da alteração da propriedade do material, ignorando o efeito do delizamento relativo entre a barra de armadura e o concreto no cálculo da tenõe laterai dentro do concreto, na vizinhança da barra de armadura. Na realidade, a aderência e o delizamento não ão coniderado como propriedade do materiai, ma im como propriedade etruturai que ão controlada pela geometria da etrutura e pelo carregamento atuante. Se a aderência é realmente ignificativa, como no cao de etudo de ancoragem e reforço etruturai, onde a falta da aderência é o modo de falha dominante, então, é neceário um modelo que repreente ete comportamento, como o que foi deenvolvido por Choi et al. (99) para avaliar o deempenho da peça etruturai...3 Fiuração O primeiro modelo de elemento finito para concreto armado, que incluía o efeito da fiuração, foi deenvolvido por Ngo e Scordeli (967), que, em uma análie

24 7 elático-linear de viga, conideraram a exitência de fiura pré-definida. Ete trabalho foi eguido por um grande número de outro etudo, que também conideraram o memo modelo para fiuração (Nilon, 968). A neceidade de um modelo de fiura, que propuee uma geração automática de fiura, em a redefinição da malha de elemento finito, levou pequiadore a adotarem o modelo de fiura ditribuída. Ete modelo, implementado por Rahid (968), repreenta o concreto fiurado como um material ortotrópico. Apó o aparecimento da fiura (ocorrida quando a tenão de tração excede um valor pré-determinado), o módulo de elaticidade do concreto é reduzido a zero no entido perpendicular à direção da máxima tenão de tração. Mai precio que a repreentação de fiura dicreta, ee modelo de fiura ditribuída tem o efeito de repreentar a fiura perpendicularmente à direção da tenão principal de tração. Atualmente a maioria do modelo admite uma completa liberdade na direção da fiura, ao contrário de algun modelo mai antigo, que limitavam a fiura a uma direção pré-elecionada (Scanlon, 97)...4 Concreto à compreão O primeiro etudo de elemento finito para concreto armado repreentaram o concreto como um material com comportamento elático-linear à compreão. Entretanto, com o deenvolvimento do trabalho na área, paou-e à repreentação do concreto como um material de comportamento não-linear para tenõe de compreão. Atualmente, com pouca exceçõe (ver Tab..), o modelo de elemento finito utilizado para etudar o comportamento do concreto armado conideram repreentaçõe de comportamento nãolinear para o concreto ubmetido à compreão. O etudo de Darwin (99) motra que o modelo elático não-linear é, certamente, o mai utilizado (7 trabalho, no total de 4, ecolheram ete modelo para a repreentação do concreto à compreão). Salienta-e, entretanto, que a ecolha do modelo contitutivo do concreto à compreão é conideravelmente meno importante que a ecolha do modelo de fiuração ou de repreentação da armadura.

25 8. OBJETIVOS E JUSTIFICATIVA DO TRABALHO O objetivo deta diertação conite em deenvolver um modelo para armadura e do reforço em peça de concreto para análie pelo método do elemento finito. Para tanto, foi implementado computacionalmente um modelo de aderência entre concreto e aço, ou entre o concreto e o reforço, onde foi coniderado o delizamento relativo entre o doi materiai. O modelo geralmente utilizado para a incluão da barra de armadura em um modelo de elemento finito para análie de peça de concreto armado, conideram aderência perfeita entre o concreto e o aço. Ma, para nívei de tenão elevado, eta hipótee não é mai válida. Deta forma, e faz neceária a exitência de um modelo que conidere a degradação da aderência entre o concreto e a armadura. Elwi & Hrudey (989) apreentaram um modelo onde o efeito da aderência imperfeita ão incluído pela introdução de grau de liberdade para o delocamento relativo entre o materiai. O programa computacional foi deenvolvido com bae em um programa para análie dinâmica, não-linear e traniente de etrutura tridimenionai de concreto armado, apreentado por Hinton (988). Poteriormente, foram incorporado, por Claure (994), uma nova repreentação para a armadura e a determinação do parâmetro do modelo vicoelático com envelhecimento do concreto e aperfeiçoado o modelo elatoplático para o materiai. Na preente diertação, o novo modelo de aderência foi implementado na verão de Claure (994), com bae na propota de Elwi e Hrudey (989)..3 ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO O preente etudo decreve a etapa envolvida na reolução do problema da aderência, atravé da introdução de grau de liberdade para o delocamento relativo entre o materiai. O capítulo apreenta um modelo de elemento finito para análie de uma etrutura de material elato-vicoplático. Demontra, também, a aplicação dete modelo

26 9 para o etudo de ituaçõe com incremento de tempo (material vicoelático) e com incremento de carga (material elatoplático). O capítulo 3 é dedicado à formulação do modelo de aderência. Apreentam-e o modelo (de elemento finito) utilizado para o concreto e para a armadura e reforço, e dicute-e o procedimento para o cálculo da matriz de rigidez do elemento de concreto armado, coniderando-e a incluão do novo grau de liberdade referente à aderência imperfeita. O modelo contitutivo utilizado para o concreto, aço e reforço ão decrito no capítulo 4. Detaca-e como foi realizada a modelagem do comportamento do concreto tracionado e comprimido, bem como o da armadura. Apreenta-e também o modelo de ligação entre o materia, para a conideração do delizamento entre o memo. No capítulo 5, decreve-e a implementação computacional do modelo de aderência. São dicutido apecto relacionado à incluão do grau de liberdade adicional. O reultado teórico do modelo propoto e valore obtido experimentalmente ão confrontado no capítulo 6. Eta comparaçõe têm por finalidade validar o modelo numérico implementado. A preente diertação e encerra com o capítulo 7, onde e apreentam a principai concluõe, bem como ugetõe para futuro trabalho, viando a continuidade e complementação dete etudo.

27 MODELO PARA UM MATERIAL ELASTO-VISCOPLÁSTICO O concreto armado, por er um material compoto, contituído por concreto e aço, poui um comportamento batante complexo. Para analiá-lo computacionalmente, e faz neceário o etudo de um modelo teórico que poa repreentar ete comportamento de forma adequada, como erá dicutido nete capítulo.. MODELOS REOLÓGICOS Reologia é o ramo da fíica que etuda o comportamento do materiai, atravé de ua equaçõe contitutiva, relacionando tenõe, deformaçõe e tempo. O trê tipo báico de comportamento reológico ão o elático, o plático e o vicoo. A combinação dee modelo báico origina modelo conjugado, que podem repreentar o comportamento complexo de muito materiai reai. Elaticidade é o fenômeno do aparecimento de deformaçõe intantânea e reverívei. A deformaçõe aparecem imultaneamente com a tenõe correpondente e permanecem contante no tempo e a tenõe também permanecerem. A deformaçõe elática e anulam ao e anularem a tenõe que a originaram. Para um cao de etado uniaxial de tenõe, o comportamento elático pode er repreentado por uma mola, conforme ilutrado na Fig... σ σ FIGURA. - Modelo elático

28 Para um material elático linear, a tenõe ão proporcionai à deformaçõe. Platicidade é a propriedade de um material apreentar deformaçõe imediata e não-reverívei. Ou eja, a deformaçõe não deaparecem ao erem removida a força que lhe deram origem. A tenão de platificação é o limite a partir do qual urgem deformaçõe permanente. Ete comportamento pode er repreentado por um bloco obre uma uperfície com atrito ( lider ), conforme a Fig... σ FIGURA. - Modelo plático Vicoidade é o fenômeno do aparecimento de deformaçõe não imediata. O material, com ete comportamento, deforma-e ao longo do tempo quando ubmetido a uma força. Ete comportamento pode er repreentado por um amortecedor, como ilutrado na Fig..3. Nete cao, no intante em que é aplicada uma tenão aparece uma velocidade de deformação. σ σ FIGURA.3 - Modelo vicoo Por combinaçõe do modelo elático e plático, obtém-e o modelo elatoplático. Ete apreenta um comportamento elático para tenõe menore que a tenão de platificação e um comportamento plático apó er atingida eta tenão.

29 Nete modelo, chama-e endurecimento por deformação plática ao aumento da tenão de platificação com a deformação plática ε p, endo caracterizado por ua taxa: H ' ( ) dσ ε p = (.) dε p Cao H' eja uma contante, tem-e um material com endurecimento linear. Ambo materiai ão repreentado pelo modelo mecânico da Fig..4. a) σ b) σ FIGURA.4 - Modelo elatoplático a) perfeito b) com endurecimento linear Combinando-e elemento elático e vicoo, obtém-e o comportamento vicoelático, que e caracteriza por apreentar tanto deformaçõe imediata, como não imediata. Ete trabalho enfoca, em particular, o modelo vicoelático de Maxwell, repreentado por uma mola em érie com um amortecedor, como pode er obervado na Fig..5. σ σ FIGURA.5 - Modelo de Maxwell

30 3 Um conjunto de elemento de Maxwell em paralelo poibilita a repreentação do comportamento do concreto ob carga de erviço. O comportamento de um material elato-vicoplático pode er repreentado pelo modelo reológico unidimenional motrado na Fig..6. σ FIGURA.6 - Modelo elato-vicoplático A repota elática intantânea é proporcionada pela mola linear. Tendo em vita que o amortecedor não ofre deformação intantânea, o elemento de atrito também apreentará deformação nula, poi ambo etão conectado em paralelo. O elemento de atrito torna-e ativo omente e a tenão corrente σ for maior que a tenão de platificação σ. Ete exceo de tenão (σ - σ ) é aborvido gradativamente pelo amortecedor, caracterizando deta maneira, o comportamento elato-vicoplático do material.. COMPORTAMENTO ELASTO-VISCOPLÁSTICO O programa computacional, deenvolvido nete trabalho, tem por objetivo analiar peça de concreto armado com comportamento elato-vicoplático. Como não há dado diponívei para calibrar um modelo elato-vicoplático como um todo, foi neceário dividir o programa em dua etapa ditinta. Numa primeira etapa, faz-e a determinação da repota da etrutura ao longo do tempo. Calcula-e o etado de deformação da etrutura, decorrido um período de tempo da

31 4 aplicação da carga. Há um proceo de incremento no tempo real, onde ocorrem o efeito ao longo do tempo na etrutura (fluência e retração do concreto). Conidera-e que a tenão de platificação é nula. Eta repota repreenta um comportamento vicoelático do materiai, correpondente à etapa no programa. Na egunda fae, buca-e determinar a repota da etrutura para um carregamento intantâneo. Ito é feito mediante a aplicação de um artifício, qual eja, upor a etrutura elato-vicoplática e procurar o eu etado de deformação quando o tempo (fictício) tende ao infinito. Ocorre que, quando o tempo crece indefinidamente e havendo endurecimento, a diferença de tenão (σ - σ ), que ia endo aborvida gradativamente pelo amortecedor vai diminuindo, ou eja, a influência do memo vai deaparecendo, ficando o elemento de atrito cada vez mai rígido. Como a parcela de tenão aborvida pelo amortecedor é proporcional à velocidade de deformação vicoa, eta última também começa a diminuir e, coneqüentemente, a deformação vai adquirindo um comportamento aintótico. Ete etado etável correponde à repota de uma etrutura de comportamento elatoplático, ubmetida a um carregamento intantâneo. Eta fae correponde à etapa do programa. O programa permite a aplicação de divero carregamento, em data ditinta, entre a quai ocorrem o fenômeno decorrente do tempo. Dete modo, a etapa e ão executada de forma uceiva, à medida que ão aplicada a carga na data epecificada pelo uuário... Formulação do comportamento elato-vicoplático Nete item, ão apreentado o fundamento para a formulação matemática de elemento finito, coniderando análie tridimenional não-linear e admitindo o material como endo iótropico, homogêneo, de comportamento elato-vicoplático, conforme o modelo reológico da Fig..6. O programa báico para olução dete problema encontra-e apreentado em Hinton (988). A partir dete programa, foram implementado, por Claure (994), o divero modelo utilizado para repreentação do materiai dete etudo.

32 5 De um modo geral, na formulação uual para problema contínuo não-lineare, admite-e que a componente de deformação total, em um dado ponto, ão compota por uma parcela elática {ε e }, e outra vicoplática {ε vp } { } = { ε } + { } ε (.) e ε vp ou diferenciando em relação ao tempo t.. = ε ε e. + ε vp (.3) A tenõe ão produzida unicamente pela deformaçõe elática, { } = [ ]{ } σ D ε e (.4) onde [ D ] é a matriz contitutiva do material. No epaço da tenõe, tem-e uma uperfície de platificação exprea genericamente por: { } F κ F σ = (.5) onde F é um valor que define a poição da uperfície de platificação, endo uma função do parâmetro de endurecimento k. Se F < F, tem-e um comportamento elático, e F = F, plático, e e F > F, vicoplático. É imperativo etabelecer uma lei epecífica para determinar a deformaçõe vicoplática a partir do etado de tenõe. Uma forma explícita para eta lei, conforme Hinton (988), é Q & vp, para F > F { σ} { ε } = γ Φ( F) { ε& vp } =, para F F (.6)

33 6 na qual γ = / η é o coeficiente de fluidez; Q =Q ( { σ }, { ε vp }, κ ) é a função de potencial plático. A expreão <Φ(F)> é igual a Φ(F) para valore poitivo de F, e é nula para o demai. Limitando-e ao cao de platicidade aociada, na qual F Q, a equação (.8) fica F ε vp = γ Φ( F) { a} (.7) { σ} { } = γ Φ( F) onde {a} é o vetor de fluxo plático que define a direção do ecoamento vicoplático.... Incremento de deformação vicoplática A regra de ecoamento vicoplático, exprea em (.7), é válida para todo o tempo t. Em um procedimento numérico pao por pao, eta relação erá atifeita omente para tempo dicreto eparado de t. A deformação vicoplática é dada por [ vp vp ] t n {( ε ) } = {( ε ) } + ( β) {( ε ) } + β{ ( ε& ) } vp n+ vp n & (.8) n n+ onde o intervalo de tempo é t n = t n+ - t n. Dete modo, o incremento de deformação vicoplática, dentro de um intervalo, é definido em termo da regra de ecoamento vicoplático na extremidade do intervalo. Para β =, obtém-e o equema de integração explícito de Euler, onde apena a regra de ecoamento vicoplático, no início do intervalo, é relevante {( εvp) } = {( εvp ) } t n & (.9) n n Neta diertação, utilizou-e ete equema de integração.

34 7... Incremento de tenão Uando a forma incremental de (.) e (.4), obtém-e { σ } = [ D] ( ε ) n { } = [ D] ({ ε } { ( ε ) }) (.) e n n vp n Expreando o incremento de deformação total em termo de incremento de delocamento, têm-e { ε } = [ B]{ } (.) n u n onde [B] é a matriz de relaçõe deformaçõe-delocamento e { u n } é o vetor de incremento de delocamento na direçõe ortogonai x, y e z. Uando a equaçõe (.9) e (.), a expreão (.) reulta em D ε (.). { σ } [ ] [ ]{ } n = n B u n vp t n n...3 Equaçõe de equilíbrio A equaçõe de equilíbrio a erem atifeita, a cada intante de tempo t n, ão T [ B] { σ } dv { P } = n n (.3) v onde {P n } é o vetor de carga nodai e nodai equivalente devido a força de uperfície e de volume. Durante um incremento de tempo, a equaçõe de equilíbrio que devem er atifeita, ão dada pela forma incremental de (.3), como egue T [ B] { σ } dv { P } = n n (.4) v na qual { P n } repreenta a variação na carga durante o intervalo de tempo t n. Na maioria do cao, o incremento de carga ão aplicado como pao dicreto, e então, { P n } = para todo o pao de tempo, exceto para o primeiro dentro de um incremento de carga.

35 8 O incremento de delocamento, ocorrido durante cada pao de tempo t n, pode er calculado como: { u } = [ K ] { P } n n n (.5) onde [ K n ] é a matriz de rigidez tangente global, dada por T [ Kn ] [ B] [ D] n[ B]dV v = (.6) { u n } é o vetor que contém o incremento do delocamento nodai; { P n } é o vetor de incremento de carga nodai equivalente de toda a etrutura no pao n. Aplicando-e a condiçõe de contorno, determinam-e o incremento de delocamento { u n }, que ubtituído em (.), dão o incremento de tenõe { σ n }. Aim, Uando (.) e (.) reulta { } = { σ } + { σ } σ n+ { u } = { u } + { u } n n n+ n n (.7) T {( ε ) } = [ B] { u } [ D] { σ } vp n n n (.8) e então {( ε ) } = {( ε ) } + {( ε ) } vp n+ vp n vp n (.9) A condiçõe de etado etacionário podem er controlada pelo exame da variação do delocamento nodai. A convergência é atingida quando eta quantidade torna-e adequadamente pequena. O cálculo do incremento de delocamento etá baeado numa forma linearizada da equaçõe incrementai de equilíbrio (.5). Portanto, torna-e neceário efetuar correçõe iterativa obre u, a fim de alcançar o equilíbrio no tempo t + t. Há vário

36 9 procedimento de olução diponívei para realizar a correçõe neceária. Nete trabalho, utiliza-e um procedimento iterativo, que conite em calcular a força não equilibrada em cada iteração, e em eguida reaplicá-la na iteração ubeqüente... Modelo de Camada O modelo reológico, correpondente ao comportamento elato-vicoplático, decrito no item., é contituído por uma mola em érie com um elemento formado por um amortecedor vicoo em paralelo com um elemento de atrito (lider). A hitória de deformação com o tempo (curva de fluência) de muito materiai reai, como o concreto, não pode er preciamente repreentada por um modelo elato-vicoplático tão imple. Uma repota de um material mai elaborado pode er obtida pelo método da camada uperpota (overlay model), conforme Pande e Owen (977), no qual o ólido analiado é upoto como endo compoto de vária camada de materiai imple, cada uma da quai apreentando a mema deformação. O campo de tenõe totai é obtido pela oma da contribuiçõe de cada camada. Mediante a introdução de um número conveniente de camada uperpota, com a atribuição de diferente caracterítica materiai a cada uma, pode-e reproduzir fielmente o comportamento experimental de materiai complexo como o concreto. No cao mai geral, o modelo reológico é formado por um conjunto de elemento tipo Maxwell em paralelo. Tem-e como parâmetro a epeura da camada e i, o módulo de elaticidade da mola E i, a contante do amortecedore γ i e a tenõe de ecoamento F i, na quai começam a atuar o elemento de atrito. A maior dificuldade reide na determinação do parâmetro para ajutar o modelo ao comportamento experimental do material. Nete trabalho, aplicar-e-á o modelo de camada uperpota para repreentar o comportamento vicoelático com envelhecimento do concreto. Na Fig..7 ilutra-e, equematicamente, a ituação de um modelo de camada uperpota em dua dimenõe.

37 Cada camada do modelo pode ter uma epeura e um comportamento material diferente. Como o nó em toda a camada coincidem, em cada uma dela tem-e a mema deformação. Ito reulta em um campo de tenõe {σ i } diferente em cada camada. e i FIGURA.7 - Analogia da técnica de camada em dua dimenõe A contribuição de cada camada, para o campo de tenõe totai σ, é dada por k { } = { σi} e i σ (.) i= onde k é o número de camada do modelo e, k i= e i = (.) endo e i a epeura relativa de cada camada, ito é, ua epeura dividida pela epeura total. A matriz de rigidez de cada elemento imple de concreto erá obtida pela oma da contribuiçõe de cada camada individualmente, ou eja: k T [ KSS ] [ B] [ D] i [ B] dv = (.) i= v onde [D] i é a matriz contitutiva de cada camada. Eta matriz erá ditinta para cada uma da camada, dependendo de ua propriedade materiai. O proceo de olução é idêntico ao decrito na eçõe anteriore, com o termo de deformação e tenão endo calculado para cada camada eparadamente. É importante alientar que, embora a deformaçõe vicoplática, em cada camada, poam er diferente, devido ao diferente valore do

38 do coeficiente de fluidez e do módulo de elaticidade, a deformação total deve er a mema..3 IMPLEMENTAÇÃO DAS ETAPAS DE SOLUÇÃO Na etapa, vicoelática, adotou-e o modelo de cinco camada idealizado por Bazant (974) e que erá vito em 5.., onde ão repreentada a fluência e a retração. Neta etapa, não e conidera o efeito de endurecimento e a tenão de platificação inicial do modelo é tomada como zero, deconiderando o elemento de atrito do modelo da Fig..6. Para o ponto de integração, onde atuam tenõe de tração, admite-e que não urjam nova fiura. Na etapa, elatoplática, é determinado o endurecimento do ponto de integração em que a tenão efetiva exceder a tenão de platificação inicial. Utiliza-e uma única camada neta fae de carregamento intantâneo. Quando e paa da etapa para etapa, calcula-e, para cada ponto de integração, uma tenão equivalente em função da cinco tenõe determinada no final da etapa. Neta fae, ão verificado o ponto de integração quanto ao critério de fiuração, que erá vito no capítulo 4. É importante realtar ainda que, na etapa, a premia para a conideração do efeito dependente do tempo ó permitem reultado confiávei para a carga em erviço, enquanto que, na etapa, pode-e analiar etrutura até a carga de ruptura. Na Fig..8 é apreentado um fluxograma geral, onde e ilutram a divera fae que contituem a arquitetura báica do programa.

39 INÍCIO ENTRADA DE DADOS DETERMINAÇÃO DOS PARÂMETROS: E e η DA CADEIA MAXWELL DETERMINAÇÃO DO CARREGAMENTO CONVERSÃO DAS TENSÕES PARA CADA ETAPA APLICAÇÃO DO INCREMENTO DE CARGA LAÇO DE CARGA LAÇO DE ETAPA LAÇO DE INCREMENTOS DE CARGA LAÇO DE PASSO DE TEMPO LAÇO DE ITERAÇÕES MONTAGEM DAS MATRIZES DE RIGIDEZ DOS ELEMENTOS CÁLCULO DOS INCREMENTOS DE DESLOCAMENTOS CÁLCULO DAS TENSÕES, DEFORMAÇÕES E FORÇAS RESIDUAIS VERIFICAÇÃO DA CONVERGÊNCIA SAÍDA DE RESULTADOS FIM FIGURA.8 - Fluxograma do programa

40 3 MODELO DE ELEMENTOS FINITOS PARA O CONCRETO ARMADO 3. MODELO DE ELEMENTOS FINITOS PARA O CONCRETO Para a modelagem do elemento tridimenional de concreto, ão empregado, nete trabalho, doi elemento finito ioparamétrico da família Serendipity, um linear e um quadrático. 3.. Elemento linear O elemento linear utilizado (Fig. 3.) poui 8 nó, com trê grau de liberdade por nó, correpondente à tranlaçõe na direção do eixo xyz do itema global de coordenada. Para ete elemento, o campo de delocamento poui variação linear e o de tenõe e deformaçõe ão contante ao longo da borda do elemento. Aim, ão utilizada funçõe de interpolação do tipo linear. Z X FIGURA 3. Elemento ioparamétrico linear de 8 nó Y

41 4 A funçõe de interpolação (ou de forma) para ete elemento, que têm como variávei independente a coordenada normalizada (ξ,η,ζ) e numeração do nó conforme indicado na Fig. 3., ão apreentada por Zienkiewicz (986) como: onde: conideração. N ξ = ξξi, = ηηi = ( + ξ ).( + η )(. + ζ ) i =,,...,8 (3.) 8 i. η, = ζζi ζ, e, (, η ζ ) ξ ão a coordenada naturai do nó em i i, i 3.. Elemento quadrático O elemento ioparamétrico quadrático poui nó (Fig. 3.), com 3 grau de liberdade por nó. Z X Y FIGURA 3. Elemento ioparamétrico quadrático de nó Nete elemento, o campo de delocamento poui variação quadrática e o campo de tenõe e deformaçõe, variaçõe lineare. São, portanto, empregada funçõe de interpolação do tipo quadrática. Segundo Zienkiewicz (986), endo ξ, η, ζ a coordenada normalizada (coordenada naturai do elemento), a funçõe de forma dividem-e para:

42 5 a) Nó de canto = ( + ξ )( + η )( + ζ )( ξ + η + ζ ) i =,3,6,8,3,5,8, (3.) 8 Ni b) Nó intermediário N N N ( ξ )( + η )( + ζ ) = i =,7,4,9 4 i ( η )( + ξ )( + ζ ) = i = 4,5,6,7 4 i ( ζ )( + ξ )( + η ) = i = 9,,, (3.3) 4 i A funçõe de interpolação ão utilizada para incógnita e geometria a partir do repectivo valore nodai. Coneqüentemente, para funçõe quadrática ou de ordem uperior, o elemento poderá repreentar uperfície curva. Utilizando elemento ioparamétrico, pode-e repreentar a coordenada carteiana (x, y, z), de um ponto no interior dete elemento, como x y = z n i= Ni N i x i yi N i z i (3.4) onde, N i é a função de forma correpondente ao nó i do elemento de coordenada carteiana ( x i,y i,z i ) e n é o número de nó do elemento. 3. MODELO DE ELEMENTOS FINITOS PARA ARMADURA Em um modelo de elemento finito para análie de peça de concreto armado exitem trê forma para a incluão da barra de armadura: a dicreta, a ditribuída e a incorporada.

43 6 Na forma dicreta, utilizam-e elemento de barra para repreentar a armadura, com nó coincidente com o da malha de elemento finito de concreto (Fig. 3.3). A armadura é repreentada por elemento unidimenionai tipo treliça. Ete modo de repreentação da armadura tem a devantagem de oferecer uma limitação na ecolha da malha de elemento de concreto. FIGURA 3.3 Modelo dicreto Na forma ditribuída, conidera-e o aço ditribuído uniformemente no elemento de concreto (Fig. 3.4). Cada conjunto de barra de armadura é ubtituído por uma camada bidimenional de epeura e área equivalente. É um modelo conveniente quando a armadura etá denamente ditribuída, como no cao de placa e caca. FIGURA 3.4 Modelo ditribuído Na forma incorporada, conidera-e que a barra de armadura ão linha de um material mai rígido no interior do elemento de concreto. A geometria da armadura é conitente com a geometria do elemento ioparamétrico em que e encontra dipota, reultando em um campo de delocamento único no domínio do elemento. Admite-e ainda, que a armadura reita apena a tenõe axiai atuante na direção da barra. Deta forma, a barra de aço podem er arbitrariamente colocada no interior de um elemento de concreto, em que nova incógnita ejam introduzida no itema de equaçõe de

44 7 equilíbrio (Fig. 3.5). O delocamento ao longo do egmento de armadura ão referenciado ao delocamento nodai do elemento finito de concreto. FIGURA 3.5 Modelo incorporado Tendo em vita a vantagen acima citada, no preente etudo optou-e pela implementação computacional do modelo incorporado de armadura. Nete modelo, a barra de armadura ão repreentada por elemento unidimenionai ioparamétrico, permitindo a modelagem de barra reta e curva. A geometria da barra reta fica definida por doi ponto, enquanto que, para a barra curva, ão neceário trê ponto para a ua definição. 3.. Funçõe de forma para a armadura A funçõe de interpolação para o elemento de armadura ão polinômio de Lagrange, conforme propoto por Zienkiewicz (986). São funçõe unidimenionai H(χ), que ão exprea em termo de uma coordenada normalizada independente χ. Eta funçõe de forma ão gerada pela eguinte expreão: m H k ( χ) = ( χ χ ) L( χ χk )( χ χk+ ) L( χ χn ) ( χ χ ) L( χ χ )( χ χ ) L( χ χ ) k k k k k+ k n (3.5) Eta função é um polinômio de grau m = n - em χ, e tem valor unitário em χ=χ k e nulo para χ = χ K, χk, χk +, K,, χ n, onde n é o número de nó do elemento.

45 8 Deta forma, para o elemento de nó: H ( χ) = ( χ) H ( χ) = ( + χ) (3.6) Para o elemento de 3 nó: H H H 3 ( ) ( χ χ) χ = ( χ) = ( χ ) ( ) ( χ + χ) = χ (3.7) O grau deta funçõe de interpolação e, dete modo, o número de ponto nodai, dependerá da complexidade da geometria do elemento de armadura, bem como da compatibilidade requerida com o elemento de concreto. 3.. Formulação geométrica Apreenta-e, a eguir, a formulação para incorporar a barra de armadura ao elemento tridimenional de concreto. A barra de armadura ão poicionada em coordenada globai carteiana, independentemente da malha de elemento finito. Durante a integração da expreão do trabalho virtual, para a determinação da matrize de rigidez, é neceário utilizar coordenada naturai locai, como erá vito mai adiante. O elemento de concreto, motrado na Fig. 3.6, é decrito uando coordenada globai (x, y, z). A coordenada naturai do elemento ão ( ξ, η, ζ ). A geometria no interior e bordo do elemento de concreto é repreentada em função do valore nodai da

46 9 coordenada, empregando a mema funçõe de interpolação uada para a variávei incógnita, ou eja x y = n i= = n i= Ni. xi Ni. yi z = n Niz. i (3.8) i= O correpondente diferenciai ão: dx dy = dz [ J ]. dξ dη dζ (3.9) onde, [ J ] xi n = yi i=z i N i N i N i ξ η ζ (3.) FIGURA Barra de armadura no interior do elemento de concreto Uma importante vantagem da preente formulação é que a malha global de elemento finito pode er gerada em e coniderar previamente a localização e geometria da barra de armadura. Uma vez etabelecida a malha de elemento de concreto, a armadura deve er epecificada por um conjunto de ponto nodai. A coordenada do nó da barra

47 3 de aço, entre o nó de definição da mema, ão obtida por interpolação. Deta forma, nó adicionai ão colocado dentro do elemento de concreto. Sendo {x j }, {y j } e {z j } o vetore que contêm a coordenada globai do nó da barra, aociado com um único elemento, a coordenada de qualquer outro ponto na barra ão dada pela expreão abaixo, onde H(χ) ão a funçõe de interpolação do elemento de armadura. x y = z m j= H j H j xj yj H j zj (3.) FIGURA Coordenada ao longo do eixo da armadura O vário termo da rigidez aociada com a armadura requerem integraçõe ao longo da mema. Para tanto, neceita-e de um elemento diferencial de comprimento d, dipoto ao longo da armadura, que pode er obtido a partir da expreão (3.), conforme ilutra a Fig A orientação da tangente a barra é dada pelo ângulo α, β, γ, onde: coα = dx d dx dχ = dχ d coβ = dy d = dy dχ dχ d co γ = dz d dz dχ = dχ d (3.)

48 3 Segue que d = dχ dx dχ dy + dχ dz + dχ (3.3) onde: dx dχ dy = dχ dz dχ m j= dhj dχ dh dχ j xj yj j dh z j dχ (3.4) Dete modo, o coeno diretore da reta tangente, em qualquer ponto ao longo da armadura, bem como o fator de mapeamento d/dχ, podem er facilmente calculado uando a equaçõe deenvolvida anteriormente. Um elemento diferencial de volume dv da barra de aço, pode er expreo em termo de d e da área da eção tranveral da barra, reultando: dv = A. d (3.5) E um elemento diferencial de área lateral ds da barra de aço, pode er expreo em termo de d e do perímetro da barra de armadura: ds = O.d (3.6) Uando o fator de mapeamento decrito na Eq. (3.3), integrai envolvendo elemento de volume e de área da uperfície ao longo da armadura podem er ecrita em termo da coordenada normalizada χ como V C.dV = C.A χ d. d. χ dχ (3.7) S D.dS = D.O χ d. d. dχ χ (3.8) na qual C e D ão funçõe de poição ao longo da barra de armadura.

49 Segmento de armadura que ficam no interior de um elemento de concreto A barra de armadura ão poicionada pela coordenada globai (x,y,z) de eu ponto de extremidade. Para a obtenção da matriz de rigidez total de um determinado elemento, precia-e aber quai barra interceptam ete elemento. O programa computacional implementado, nete trabalho, calcula de forma automática o egmento deta barra que ficam ituado no interior do elemento de concreto. Como primeira etapa, deve-e proceder a tranformação de coordenada globai P j (x,y,z), do ponto que definem a extremidade da barra, para coordenada naturai locai P j ( ζ η ξ,, ) do memo. A relação entre eta coordenada para elemento ioparamétrico é dada por ζ η ξ ζ η ξ ζ η ξ = = i i i n i i i i z y x ),, N ( ),, N ( ),, N ( z y x (3.9) onde (x, y, z) ão a coordenada globai de um ponto qualquer, (x i, y i, z i ) ão a coordenada globai do nó do elemento de concreto e N i ( ζ η ξ,, ) ua funçõe de forma. A forma explícita para a relação invera a (3.9), em geral, não é facilmente encontrada. Entretanto, o mapeamento invero pode er feito numericamente uando o algoritmo de Newton-Raphon, como ugerem Elwi e Hrudey (989). Deta forma, a determinação aproximada da coordenada ( p p p,, ζ η ξ ) etá baeada no fato de que eta coordenada ão a raíze do eguinte itema de equaçõe não lineare ( ) { } z y x N N N z y x,, f i i i n i i i i p = = ζ η ξ = (3.) Uando o método de Newton-Raphon, tem-e, apó k+ iteraçõe,

50 33 k p k p k p + + ζ η ξ + ζ η ξ = ζ η ξ (3.) onde [ ] = ζ η ξ = + i i i n i k i k i k i p T k k p z y x N N N z y x J (3.) com [ ] ( ) [ ] ζ η ξ =,, J J endo a matriz Jacobiana e ( ) ζ η ξ =,, N N i i, a funçõe de forma do elemento de concreto na iteração k. Determinada a coordenada naturai do ponto de definição da geometria da barra, referenciada ao itema natural do elemento de concreto em análie, parte-e para uma egunda etapa de definição da curva que paa por ete ponto, como ilutrado pela Fig FIGURA 3.8- Curva de definição da barra de aço Eta etapa conite, mai epecificamente, em determinar a coordenada naturai da interecção do plano que contém a face do elemento de concreto com a barra de armadura. O lado do elemento de concreto ão definido fixando-e uma da coordenada naturai como ou -. Portanto, cada lado é definido por uma coordenada natural fixa e a outra podendo aumir valore entre - e.

51 34 Segundo Zienkiewicz (986), quando a coordenada ξ é conhecida, calculam-e η e ζ pela expreõe: η = np i= f i ( ξ) ηi ζ = n i= i ( ξ ) i p f ζ (3.3) De forma análoga, quando a coordenada η é conhecida, ξ e ζ ão determinado por ξ = np g i i= ( ) η ξ i ζ = np i= g i ( η) ζ i (3.4) E, finalmente, quando a coordenada ζ é conhecida, ξ e η ão dado por ξ = η = np h i i= np i= ( ζ) ξ ( ζ) i h η (3.5) A funçõe f, g, h, que aparecem na equaçõe (3.3), (3.4) e (3.5), ão calculada pela eguinte expreõe (onde n p é o número de ponto que definem a barra de armadura): f g i i ( ξ) ( η) = = ( ζ) n p i ( ξ ξ ) ( i ξ ξ ) j= j n p i ( η η ) ( i η η ) j= j n i ( ζ ζ ) p i j= ( ζ ζ ) j i j j h = (3.6) i i j

52 35 A terceira etapa conite em verificar e exite interecção da curva P L,, P,, Pn p com cada uma da ei face que definem o elemento de concreto. Para tal, fixa-e a coordenada ξ = ± do elemento de concreto e calculam-e a coordenada η e ζ da interecção face do concreto-curva da barra. Cao η e ζ implica dizer que a barra intercepta eta face do elemento. Define-e, então, um elemento unidimenional repreentativo da parte de armadura ituada no interior dete elemento de concreto. Repete-e o procedimento de maneira análoga, fixando-e a coordenada η = ± ou ζ = ± e verificando o limite da coordenada que variam na face em análie do elemento de concreto. Nete etágio do programa, conidera-e a poibilidade de exitir um único ponto de interecção com o elemento de concreto. Eta ituação correponde ao cao em que a barra intercepta omente um vértice do elemento. Nete cao, o programa conidera que a barra não intercepta o elemento de concreto. A quarta etapa conite na verificação do trecho de armadura efetivamente contido no elemento de concreto. Detacam-e o eguinte cao poívei : a) Um do nó, que definem a extremidade do elemento de armadura, encontra-e localizado dentro do elemento de concreto. Ito e evidencia quando a coordenada naturai de P ou P np, em módulo, ão menore que. Nete cao, o programa e encarrega de ditinguir a interecção verdadeira da fala e aim obter, de forma correta, o comprimento real do egmento de armadura contido no interior do elemento de concreto. A Fig. 3.9 ilutra eta ituação onde Ι v é a interecção verdadeira e Ι f é a fala. b) O doi nó que definem a geometria da barra encontram-e localizado no interior do elemento de concreto. Nete cao, o programa toma, para a coordenada naturai do ponto de interecção, a mema coordenada naturai do ponto P e P np já obtida anteriormente. A Fig. 3. ilutra eta ituação.

53 36 FIGURA 3.9 P dentro do elemento de concreto FIGURA 3. - P e P np dentro do elemento de concreto c) Nenhum do nó de definição da barra etá ituado dentro do elemento de concreto. Nete cao cabe alientar dua poibilidade: a primeira, quando o egmento que liga o doi ponto P e Pn p intercepta o elemento (Fig. 3.) e a egunda, em cao contrário (Fig. 3.).

54 37 FIGURA 3. - Segmento que liga P e Pn p intercepta o elemento FIGURA 3. - Segmento que liga P e Pn p não intercepta o elemento A quinta etapa conite na criação, quando o elemento utilizado for o quadráico, de um nó intermediário no egmento de armadura contido no interior do elemento de concreto e poterior determinação da coordenada globai e naturai do nó extremo do egmento, bem como do nó intermediário. Quando o elemento ioparamétrico em análie for o linear, não e procea a geração do nó intermediário. A Fig. 3.3 ilutra eta etapa.

55 38 FIGURA Segmento de armadura dentro do elemento de concreto A exta e última etapa, conite em verificar e a barra e encontra dipota ao longo de uma face ou ao longo de uma areta, num determinado elemento. 3.3 MATRIZ DE RIGIDEZ PARA O ELEMENTO DE CONCRETO ARMADO O campo de deformaçõe, dentro de um elemento de armadura, pode er definido de divera maneira. Segundo Zienkiewicz e Philip (974), a deformação ao longo da barra de aço é igual à deformação normal, no elemento de concreto, na direção tangente ao egmento de armadura. No preente etudo, a expreão para a deformação é propota em uma forma incremental, como demontram Elwi e Hrudey (989): ε γ XY d w b = + ε.co X d. coα.co β + γ XZ α + ε Y. co. coα.co γ + γ β + ε YZ Z. co γ +. coβ.co γ (3.7)

56 39 O incremento de deformaçõe ε x, ε y, ε z, γ xy, γ xz, γ yz ão obtido diretamente do campo de incremento de delocamento do elemento de concreto. O primeiro termo da expreão (3.7) repreenta a contribuição do delizamento. O incremento devido à aderência imperfeita ao longo do egmento de armadura é dado por: * ( χ) = H( χ).{ } w (3.8) b w b onde H(χ) ão a funçõe de interpolação em termo de uma coordenada normalizada χ e { w * b } é o vetor que inclui o grau de liberdade devido à aderência imperfeita. O incremento de deformaçõe pode er decrito como: * { w } b ε = Bb B. { } (3.9) q onde dχ B b (3.3) d { } =.{ H( χ) } é: A derivada da coordenada normalizada independente χ em relação ao comprimento dχ = d dx dχ dy + dχ dz + dχ (3.3) O vetor de delocamento nodai do elemento de concreto é expreo como: { { u} { v} { } w q } = (3.3)

57 4 E, o vetor da relaçõe deformaçõe-delocamento para a armadura, B, pode er dado por: { } γ β + γ α + γ γ β + β α + β γ α + β α + α = y N co co x N co co z N co z N co co x N co co y N co z N co co y N co co x N co B (3.33) A derivada da funçõe de forma em relação à coordenada carteiana x, y e z ão dada por: [ ] ζ η ξ = i i i i i i N N N. J z N y N x N (3.34) A formulação apreentada a eguir é baeada na forma incremental do Princípio do Trabalho Virtuai. Admite-e que, em relação ao egmento de barra de armadura, a deformação ocorre omente na direção ao longo da barra. Quando o efeito da aderência imperfeita é incluído, a forma incremental de trabalho interno pode er dada por: ( ) ( ) δ + τ τ + δ ε + σ σ = δ v b b b d w dv W (3.35) onde σ é a tenão normal na armadura, τ b, a tenão de aderência; V e S, o volume e a área da uperfície da armadura, repectivamente. A forma incremental da relaçõe contitutiva para a armadura pode er ecrita, egundo Balakrihnan and Murray (986), como

58 4 E ε = σ (3.36) b b b w E = τ (3.37) onde E é o módulo de elaticidade longitudinal do aço e E b é a relação tenão de aderência-delizamento. Pode-e, então, reecrever a equação (3.35), como: ( ) ( ) ( ) ( ) d O w d O w E w d A d A E W b b b b b τ δ + δ + σ δ ε + ε δ ε = δ (3.38) A primeira integral da equação (3.38), pode er exprea como: ( ) { } { } { } { } { } { } { } { } χ χ δ δ = δ δ = ε δ ε χ d d d.a q w B B E B B. q w d.a q w. B B E q w. B B d A E * b b b * b * b b * b b (3.39) e, pode er dividida em quatro termo: { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } χ χ δ δ χ χ δ δ χ χ δ δ χ χ δ δ χ χ χ χ q w d d d t A B E B q w q w d d d t A B E B q w q w d d d t A B E B q w q w d d d t A B E B q w * b b * b * b b * b * b * b * b b b * b (3.4)

59 4 A egunda integral, por ua vez, é decrita da forma: ( ) { } { } { } { } χ χ χ σ δ δ = σ δ δ = σ δ ε d d d A. B B. q w d A. q w. B B d A b * b * b b (3.4) que também divide-e em doi termo: { } { } χ χ σ δ δ χ χ σ δ δ χ χ d d d A. B q w d d d A. B q w * b b * b (3.4) Suceivamente, a terceira integral fica: ( ) ( ) { } ( ) { } ( ) { } ( ) { } χ χ χ χ χ δ = χ δ χ = δ * b b * b * b b * b b b b w d d d O H E H w d O w H E w. H d O w E w (3.43) E, a quarta integral, é exprea por: ( ) ( ) { } ( ) { } χ χ χ τ χ δ = τ δ χ = τ δ d d d O H w d O w H d O w b * b b * b b b (3.44)

60 43 A expreão (3.38) pode, portanto, er apreentada da eguinte forma matricial: [ Kbb ] [ Kb ] [ K ] [ K ] * { w } { Q } b { Q } * b δ W = δ w b δ q + (3.45) b { q} onde d d bb = b b E Bb A dχ (3.46) dχ dχ [ K ] { H( χ) } E H( χ) O dχ + { B } χ [ K ] { B } E B A dχ χ d = (3.47) dχ χ d b = b (3.48) dχ χ [ K ] { B } E B A dχ d b = b (3.49) dχ χ [ K ] B E { B } A dχ d = (3.5) dχ χ [ Q ] { B } σ A dχ d d b = b dχ b (3.5) dχ [ Q ] { B } σ A dχ + { H( χ) } τ O. dχ χ χ A matrize K, K b, K b repreentam a contribuição da armadura e o vetore Q b e Q S a força interna equilibrada, aociada com a tenõe τ b e σ S. A partiçõe b ão aociada com o grau de liberdade devido ao delizamento e a partiçõe ão aociada ao grau de liberdade do elemento de concreto. Combinando o incremento do trabalho virtual interno da barra de armadura (incluindo a contribuição do delizamento) com o memo devido ao elemento de concreto, tem-e o eguinte: [ K bb ] [ K b ] [ K ] [ K ] * { w } { Q } { } { } { } b Q F F * b δ Welem = δ w b δ q + (3.5) b { q} O vetore F e F ão a contribuição da força de volume do elemento de concreto.

61 O grau de liberdade devido ao delizamento { w * b } devem er coniderado como grau de liberdade globai e, quando houver armadura na interface entre doi elemento de concreto, o grau de liberdade erão comun ao doi elemento (no entido daquele aociado com nó no contorno entre elemento, o grau de liberdade erão vinculado a mai de um elemento). Eta aproximação mantém a compatibilidade entre elemento adjacente. Salienta-e, todavia, que ete grau de liberdade globai adicionai têm um efeito defavorável na montagem da matriz de rigidez, poi a largura da banda aumenta ubtancialmente. 44

62 4 MODELOS CONSTITUTIVOS DOS MATERIAIS O etado caracterítico do comportamento de uma peça fletida de concreto armado podem er ilutrado por um diagrama carga-delocamento típico, conforme a Fig. 4.. Ete comportamento, altamente não-linear, pode er dividido em trê fae: uma etapa elática-linear, com o concreto não fiurado, uma etapa de formação de fiura e uma fae plática. P III II I Elática II Fiuração III - Platificação I u FIGURA 4. - Diagrama carga-delocamento típico de uma peça fletida de concreto armado A repota não-linear é cauada principalmente, por doi efeito fíico: a fiuração do concreto e a platificação do aço e do concreto comprimido. Independentemente do tempo, outra não-linearidade urgem no materiai, como o delizamento da barra de aço na matriz do concreto, o engrenamento do agregado e o efeito de pino da barra de aço no concreto fiurado. O efeito dependente do tempo, como fluência e retração do concreto, também contribuem ignificativamente na repota não-linear.

63 46 4. MODELO ELASTOPLÁSTICO PARA O CONCRETO Evidência experimentai indicam que a deformação não-linear do concreto é baicamente de natureza inelática e, portanto, o comportamento tenão-deformação pode er eparado em uma componente recuperável e outra irrecuperável. A componente de deformação irrecuperável deve er tratada no contexto da teoria cláica da platicidade. Nete etudo foi empregado um modelo elatoplático com endurecimento para decrever o comportamento do concreto comprimido. Ete modelo correponde à olução etável do modelo elato-vicoplático, decrito no capítulo. Para o concreto, ob tenõe de tração, conidera-e um comportamento elático-linear até a ruptura. Apó a ruptura admite-e uma colaboração do concreto entre fiura, devido à força de aderência entre o concreto e o aço, poibilitando uma análie mai realita da etrutura. A eguir erão decrito o modelo contitutivo utilizado para repreentar o concreto. 4.. Modelo para o concreto comprimido Para repreentar o comportamento do concreto não fiurado, adotou-e um modelo elatoplático com endurecimento, compoto por um critério de ruptura, por um critério de platificação e por uma regra de endurecimento Critério de ruptura expreão O critério de ruptura ecolhido foi o de Ottoen (977), dado pela eguinte J J I α + λ + β = (4.) f f f cm cm cm onde f cm é a reitência média à compreão do concreto e α, β ão parâmetro.

64 47 A função λ depende do ângulo θ, de acordo com ( ) λ = c co.arcco c en3θ 3, para en3θ π λ = c ( ) co arcco c en 3θ 3 3, para en3θ > (4.) com 3 3 J en 3θ = (4.3) J 3 3/ e I = σ + σ + σ 3 J = 6 J 3 [( σ σ ) + ( σ σ3 ) + ( σ3 σ ) ] = ( σ σ )( σ σ )( σ σ ) m m 3 m I σ = m 3 (4.4) A eq. (4.) e (4.), que definem o critério de ruptura, contêm quatro parâmetro α, β, c e c. Ete parâmetro ão determinado a partir da reitência média à compreão uniaxial do concreto f cm e da reitência média à tração uniaxial do concreto f tm, dada por f tm / 3 f cm 8 = α, em MPa (4.5) endo,95 α,85 De acordo com o Código Modelo CEB-FIP (99), a reitência à tração do concreto é mai variável que a ua reitência à compreão e pode er reduzida

65 48 ubtancialmente por efeito ambientai. Deta forma, o valor médio propoto é por demai cauteloo e, em virtude de comparaçõe com valore experimentai, preferiu-e adotar α =,85 (Claure, 994). Concomitantemente, a diferença de 8 MPa entre f e f cm ck, propota pelo CEB, é exagerada para concreto de baixa reitência. Achou-e mai conveniente adotar para ete valor, uma fração de f cm (%). Sendo aim, a reitência média à tração adotada no modelo foi f / 3,8f cm tm =,85 (4.6) O parâmetro do critério de Ottoen ão, então, calculado conforme o Código Modelo CEB-FIP (99), como α =,4 9k β =, 3,7k c =,7k,9 [, ] c = 6,8 k 7 onde f f tm k = (4,7) cm Para e etudar a uperfície de ruptura de um material, em um epaço tridimenional de tenõe, analia-e a ua eçõe tranverai no plano deviadore e eu meridiano no plano meridiano. A eçõe tranverai da uperfície de ruptura ão a curva de interecção entre a uperfície de ruptura e um plano deviador, que é perpendicular ao eixo hidrotático, com ξ contante. O meridiano da uperfície de ruptura ão a curva de interecção entre a uperfície de ruptura e um plano meridiano, que contém o eixo hidrotático, com θ contante. O meridiano determinado por valore de θ iguai a, 3, e 6 ão chamado, repectivamente, de meridiano de tração, de cialhamento e de compreão.

66 49 r Meridiano de Compreão (r c ) q = 3º q = 3º r c r r t Meridiano de Corte (r S ) Meridiano de Tração (r t ) -x 3 FIGURA 4.a - Meridiano da uperfície de ruptura FIGURA 4.b Seçõe tranverai da uperfície de ruptura Se o material for iotrópico, o índice,, 3, aociado ao eixo coordenado, ão arbitrário. Ito reulta na tríplice imetria, que repreenta a uperfície de ruptura. Aim, torna-e neceário etudar apena o etor compreendido entre θ = e 6, ficando o demai etore conhecido por imetria. A uperfície de ruptura do concreto, egundo evidência experimentai, apreenta a eguinte caracterítica num plano deviador: - a uperfície de ruptura é uave e convexa, com exceção do eu vértice; - o meridiano ão parabólico e abrem no entido do eixo hidrotático negativo; - a curva de ruptura é aproximadamente triangular para tenõe de tração e baixa tenõe de compreão, ficando mai circular à medida que a tenõe de compreão aumentam Critério de platificação para o concreto Admite-e, nete trabalho, que o concreto comprimido tenha um endurecimento iotrópico e que a uperfície de platificação tenham a mema forma da uperfície de ruptura. Coniderando a tenão efetiva ou uniaxial equivalente σ = f ef cm e manipulando a equação (4.), obtém-e a eguinte expreão para a uperfície de platificação: ( J I ) 4 J λ + β + α / = σef F = λ J + βi + (4.8)

67 5 O domínio elático, para o concreto comprimido, é definido para tenõe efetiva menore que 3% da tenão de ruptura. Para uperfície de carregamento ubeqüente à uperfície de platificação inicial (,3f σ cm ef f ) ocorre o domínio plático, onde o cm material poui um comportamento elatoplático com endurecimento, conforme vito na Fig f c f t f t,3f c,3f uperfície inicial de platificação f c uperfície de carregamento uperfície de ruptura FIGURA 4.3 Superfície de platificação e ruptura Regra de endurecimento A regra de endurecimento define o movimento da uperfície de platificação ubeqüente (uperfície de carregamento) durante a deformação plática. É determinada pela relação entre a tenão efetiva e a deformação plática acumulada ou deformação plática. Atravé de conceito de tenão efetiva e deformação plática efetiva é poível extrapolar o reultado de um imple enaio uniaxial para uma ituação multiaxial. f cm, e u e FIGURA 4.4 Diagrama tenão-deformação para o concreto comprimido

68 5 Nete trabalho, adotou-e a curva tenão-deformação, propota pelo Código Modelo CEB-FIP (99), conforme vito na Fig. 4.4, para repreentar o comportamento do concreto ob compreão uniaxial, de acordo com a eguinte expreão ε ε, ε,, cm σ = f (4.9) cm E + f cm E f Coniderando-e que a componente de deformação elática é σ/e obtém-e, para,3f cm σ f cm, a partir de (4.9), uma relação σ = σ (E, f cm, ε p ) Vetor de fluxo plático Na relação tenão-deformação, para o domínio plático, é comum coniderar o vetor taxa de deformação plática normal à uperfície de platificação. Eta regra de fluxo é coniderada para o concreto, predominantemente por razõe de ordem prática, uma vez que há pouca evidência experimental diponível obre a validade da mema. Sendo aim, pela equação (.9) F { } = γφ( F) = γφ( F){ a} { } ε& vp (4.) σ onde {a} é um vetor gradiente, perpendicular à uperfície de platificação, que define a direção do ecoamento plático. A função tenão efetiva F é a condição de platificação ou a funçõe de carregamento ubeqüente no modelo de platicidade com endurecimento. O vetor de fluxo plático é dado por { a} F I = I + F F + θ { σ} J { σ} θ { σ} J (4.) com σ = { σ, σ, σ, τ, τ τ } x y z yz zx, xy

69 5 O vetor {a} pode er tranformado em { a } C { a } + C { a } + C { } = (4.) 3 a 3 onde { a } { } I = {,,,,,} (4.3) a = { σ} J = {,,,τ,τ, τ xy } (4.4) { σ} J = x y z yz zx { a } 3 J = { σ} ( τ τ τ ),( τ τ τ ),( τ τ τ )} xz xy 3 = x yz y z τ xy yz yz J +, 3 y xz x z yz τ xz xz J +, 3 z xy x y τ xy J + 3, (4.5) O valore x, y e z ão a tenõe deviadora dada por x = ( σ σ σ ) x 3 y z z y = ( σ σ σ ) y 3 ( σ σ σ ) z x x y z = (4.6) 3 O coeficiente C, C e C 3 ão C F = I C F = J tag3θ F J θ 3 F 3 = (4.7) co3θ C 3 ( J ) θ

70 53 A derivada da função de platificação F em relação ao invariante de tenão I, J e θ ão F F I J β = + λ + βi ( λ J + β ) + α I 4 J λ λ = λ + J ( J + βi ) + 4α J ( λ J + β ) + α I 4 J (4.8) (4.9) e F F = θ λ λ θ (4.) Para en3θ λ c = θ c co 3θen / en [ 3 arcco ( c en 3θ )] [ arcco( c en 3θ )] (4.) Para en3θ > λ c c = θ co 3θ en en [ π / 3 / 3arcco( c en 3θ )] [ arcco( c en 3θ )] (4.) e F = λ J + λ J + βi ( λ J + β ) + α I 4 J (4.3) 4.. Modelo para o concreto fiurado Em geral, na etrutura de concreto armado, a fiura aparecem já na condiçõe de erviço. Ito decorre do fato da reitência à tração do concreto er muito inferior à ua reitência à compreão. A fiuração do concreto é ignificativa para uma análie precia de uma etrutura de concreto armado, poi induz um acentuado comportamento não-linear.

71 54 O modelo para decrever o funcionamento do concreto armado fiurado geralmente conideram uma perda da capacidade de carga do concreto cauada pela fiuração. No contexto do método do elemento finito, baicamente dua aproximaçõe têm ido uada para repreentar a fiuração: modelo de fiura dicreta e o modelo de fiura ditribuída. O modelo de fiura dicreta repreenta cada fiura individualmente, como uma decontinuidade real na malha de elemento finito. Eta aproximação foi primeiramente uada por Ngo e Scordeli (967), para analiar uma viga de concreto armado implemente apoiada. No preente etudo, a fiura foram modelada por eparação de nó, que inicialmente ocupavam a mema poição no epaço. Uma retrição óbvia a ete modelo é que a fiura deveriam e formar ao longo da borda do elemento. Deta forma, a repota é fortemente dependente da malha de elemento finito. Além dio, apó a formação da fiura a topologia da malha varia, exigindo procedimento de atualização deta, que demandam muito tempo computacional. Mai recentemente, têm ido uado refinamento de malha, atravé de método auto-adaptativo, de forma que novo elemento de fronteira ão inerido ao longo da propagação da fiura. Eta dua ituaçõe correpondem a um compromio entre a ofiticação do modelo, que leva a reultado que ejam uficientemente precio, e o tempo de cálculo do modelo de análie do itema, de modo a torná-la exeqüível. Por io, ete modelo é apropriado apena para problema envolvendo omente pouca fiura dominante. Já o modelo de fiura ditribuída não leva em conta a decontinuidade real da malha. Pelo contrário, o concreto fiurado permanece contínuo e a propriedade materiai ão modificada para coniderar o dano devido à fiuração. O concreto é inicialmente iotrópico, porém a fiuração induz-lhe aniotropia. Depoi de fiurado, admite-e que o concreto torna-e ortotrópico, com o eixo materiai principai orientado no entido da direçõe de fiuração. A propriedade materiai variam dependendo do etado de deformação e de tenão. O módulo de elaticidade longitudinal reduz-e na direção perpendicular ao plano da fiura e o efeito de Poion é uualmente deprezado. O módulo de elaticidade tranveral, paralelo ao plano da fiura, também é reduzido. O modelo de fiura ditribuída (meared crack) é atrativo do ponto de vita computacional, uma vez

72 55 que a topologia da malha não muda no decorrer da análie, e ó a relação tenãodeformação deve er atualizada quando ocorre a fiuração. A Fig. 4.5 ilutra o doi modelo alternativo decrito para modelar a fiura numa direção não conhecida "a priori". I II I fiura dicreta II fiura ditribuída FIGURA Modelo alternativo para modelar a fiuração Foi adotado, nete trabalho, um modelo de fiura ditribuída. A eguir faz-e a decrição dete modelo, abrangendo o eguinte iten: a) um critério de fiuração; b) uma regra para conideração da colaboração do concreto entre fiura (tenion tiffening); c) um modelo para tranferência de tenõe de corte (hear tranfer) Critério de fiuração Ante de fiurar, o concreto tracionado é um material elático-linear, e ua lei contitutiva é dada pela verão iotrópica da relação {σ} = [D].{ε}. A avaliação da fiuração do concreto, no programa deenvolvido nete trabalho, é feita atravé do nível de tenõe do ponto de integração do elemento de concreto. Verifica-e, dete modo, e o etado de tenão correpondente a cada ponto de integração alcançou a uperfície de ruptura, apreentada no item 4...

73 56 A tenão principal σ de tração, é determinada utilizando o invariante de tenõe I, J e o ângulo de imilaridade θ J I en π σ = θ + + (4.4) Para ditinguir e o ponto atingiu a uperfície de ruptura por fiuração ou por emagamento do concreto, adotou-e o critério propoto pelo boletim nº 56 do CEB (983): e σ f tm, o ponto de integração fiurou; e σ < f tm, o ponto de integração emagou. Cao o ponto de integração tenha fiurado, admite-e que uma fiura tenha e formado num plano ortogonal a tenão σ. Portanto, o comportamento do concreto não é mai iotrópico e im ortotrópico, e o eixo materiai locai coincidem com a direçõe principai de tenõe. Para carregamento poterio re, uma fiura ecundária pode ocorrer no ponto de integração que etava previamente fiurado em uma direção. Nete cao, utiliza-e o procedimento da fiura fixa, onde e mantém a direção do primeiro conjunto de fiura fixa e determina-e a tenão de tração na direção perpendicular ao plano da fiura. Se eta tenão exceder a reitência do concreto à tração, então um novo conjunto de fiura erá formado, perpendicular ao já exitente, e toda a componente de tenão erão zerada Colaboração do concreto entre fiura O comportamento carga-delocamento do concreto armado é fortemente influenciado pela interação de eu doi componente: o concreto e o aço. A aderência entre ete materiai é que torna poível a tranmião de eforço. O efeito da aderência evidencia-e a partir da fiuração do concreto. No etado não-fiurado, o carregamento produz tenõe principai de tração e compreão no

74 57 materiai. Com o aumento da carga, atinge-e a reitência à tração do concreto. Nete momento, ocorre uma ruptura local do material e a fiura e forma. Apó a fiuração, o concreto entre a fiura continua reitindo a eforço de tração. Ete eforço ão tranmitido ao concreto pelo mecanimo de aderência. Negligenciar eta capacidade de reitência implica ubetimar ignificativamente a rigidez pó-fiuração a nívei de carga de erviço. Ete fenômeno é conhecido como "efeito da rigidez à tração" (tenion tiffening effect). Portanto, na análie de etrutura de concreto armado ob carga de erviço, é fundamental a conideração da capacidade reitente do concreto entre a fiura. A qualidade da aderência é deciiva para a ditribuição e para a abertura da fiura. Ela depende da caracterítica da barra da armadura (conformação uperficial e diâmetro), da hitória de carga (epecialmente e ocorrerem carregamento cíclico), da reitência do concreto e da tenõe normai à uperfície da barra. A poibilidade de incorporação da aderência no cálculo, atravé do método do elemento finito, depende da forma de conectar o elemento de aço ao de concreto. Exitem dua forma ditinta para e modelar eta ligação. Na primeira alternativa, o elemento de concreto e aço ão ligado diretamente. Nete cao, admite-e completa compatibilidade de deformaçõe entre o aço e o concreto, e modifica-e a lei do material (concreto ou aço), para coniderarem-e o mecanimo de interação. Ete foi o modelo deenvolvido por Claure (994), que conidera aderência perfeita entre o concreto e o aço. Ete efeito foi modelado indiretamente pela introdução de um ramo decendente uave na curva tenão-deformação do concreto tracionado. Dee modo, admite-e que a perda de reitência à tração no concreto ocorrem gradualmente depoi da fiuração. Ito é equivalente a coniderar o concreto como um material com amolecimento em tração. Na egunda forma de incorporar ete efeito, uam-e elemento epeciai de aderência. Nete, a propriedade da aderência ão modelada por relaçõe tenão de aderência-delizamento. A relaçõe entre a tenão de aderência e o delizamento relativo entre o materiai coniderado, apreentada pelo Código Modelo CEB-FIP 99 (993), erão apreentada no item 4.5.

75 58 Segundo a formulação deenvolvida por Claure (994), admitindo-e que a tenão σ, tranmitida atravé da fiura, é uma função de ua abertura de fiura w, a energia de fratura é definida como ( w) G = σ dw (4.5) f onde G f repreenta a energia neceária para propagar uma fiura de tração de área unitária. O modelo de fiura ditribuída não é adequado para repreentar fiura individuai. Sendo aim, a abertura de fiura w deve er ditribuída, ao longo de um certo comprimento, na forma de uma deformação de fiura equivalente, ε c. Eta deformação etá relacionada com o quociente da abertura de fiura fíica pelo eu comprimento caracterítico, l c. Obtém-e eta relação idealizando um volume de controle V contendo uma fiura com área S, conforme ilutrado na Fig h t w l c FIGURA Ilutração do comprimento caracterítico em um volume de controle primático Admite-e que, uma vez formada a fiura, toda deformação inelática, ob o volume de controle, ocorre na fiura e o reto do volume mantém-e elático.

76 59 A taxa de energia diipada na fiura é dada por π & = σ.w.d & (4.6) Pela hipótee de que o volume de controle fica ubmetido ao memo etado de tenõe que a fiura, ma afetado pela deformação equivalente ε c, a taxa de diipação de energia no volume é π& = σ ε dv v & c (4.7) v Supõe-e que a tenão, a taxa de deformação e de abertura de fiura ão contante no volume a coniderar. Então, a equaçõe da taxa de energia diipada na fiura e no volume de controle fornecem a relação entre a taxa de abertura de fiura e a taxa de deformação de fiura: w v & εc v dw = dε c = lc dεc (4.8) = & Eta relação define o comprimento caracterítico como o quociente entre o volume de controle e a uperfície da fiura v l c = (4.9) Aqui, é uada uma função exponencial para imular o efeito de amolecimento (train-oftening), de modo que onde: ( ε ε ) σ = E ε exp, para ε ε εm (4.3) α E o é o módulo de elaticidade longitudinal; ε é a deformação na fiura; α é o parâmetro de amolecimento e; ε é a deformação de tração nominal na zona fiurada. = f t / E A curva adotada é motrada na Fig. 4.7.

77 6 f t ref e e e ref FIGURA Curva tenão-deformação para o concreto tracionado O parâmetro de amolecimento α fica determinado pelo cálculo da integral da equação (4.5) e pela introdução da relação entre a abertura de fiura w e a deformação de fiura ε c. Ito conduz a E l ε c G f α ' = (4.3) E ε l No cálculo por elemento finito, o volume de controle, correpondente à fiura, é o volume aociado com o ponto de integração em um dado elemento. No preente trabalho, o comprimento caracterítico é determinado, para cada ponto de integração, por l = dv c / 3 c, onde dv é o volume de concreto repreentado pelo ponto de integração. A reditribuição de tenõe, devido à fiuração em outro ponto de integração ou carregamento poteriore, pode eventualmente forçar algum ponto previamente fiurado a fechar total ou parcialmente. Eta poibilidade é coniderada nete modelo. Se a deformação atual ε é pequena comparada com a deformação ε ref, armazenada como a máxima deformação de tração alcançada atravé da fiura pelo ponto de integração em quetão; a tenão normal à fiura, σ, é calculada por σ σ = ε ref ref ε (4.3) onde σ ref é a tenão interpolada correpondente à deformação ε ref. A trajetória deta "decarga" ecante é viualizada pela Fig A reabertura da fiura egue a mema trajetória até ε ref er excedida. Depoi a tenão é calculada por (4.3). O programa

78 6 implementado permite, alternativamente, a utilização do diagrama tenão-deformação apreentado por Prate Júnior (99), para imular a colaboração do concreto entre a fiura. A Fig. 4.8 ilutra ete diagrama. f tm af tm,5 α,7 ref e t e ref e m e FIGURA Curva tenão-deformação alternativa para o concreto tracionado No proceo computacional, a componente de tenão e deformação para um ponto no interior de uma peça de concreto ão exprea em função do itema de coordenada x, y, z. Para obtenção da tenão no concreto fiurado, deve-e determinar a direçõe principai de deformaçõe, vito que a fórmula (4.3) é válida omente no itema local do eixo materiai. Torna-e, portanto, neceária a rotação para a direção da fiura. É poível determinar, a partir da componente de tenão, referida ao itema x, y, z, a componente de tenão para a direção da fiura, atravé da matriz de rotação do itema global para o itema local { L L G } = [ R ]{ σ } σ (4.33) onde o índice L denota o itema local e o índice G denota o global. No itema local, aplicam-e a fórmula (4.3) ou (4.3), para calcular a tenõe normai ao plano da fiura. A componente de tenão tangencial local é G c τ L = G γ é o módulo de elaticidade tranveral reduzido e erá definido no próximo item. C L, onde Com a tenõe ajutada do ponto fiurado, retomam-e a componente de tenõe no itema global de coordenada { G G L } = [ R ]{ σ } σ (4.34)

79 Rigidez tranveral do concreto fiurado Como uma regra geral, a primeira fiura, que aparecem no concreto ob carga, ão perpendiculare à direção da mai alta tenão principal de tração do concreto. A direçõe principai e modificam, por mudança no carregamento ou por não-linearidade da etrutura, produzindo delocamento relativo da face rugoa da fiura. Ito caua o urgimento de tenõe de corte no plano da fiura. O valor deta tenõe de corte depende da condiçõe locai na fiura. O principal mecanimo de tranferência de eforço tranverai é o engrenamento do agregado e a principai variávei envolvida ão o tipo e a granulometria do memo. Além dito, o efeito de pino da armadura que cruza a fiura (dowell effect) tem também importância neta tranferência de eforço, endo a principai variávei envolvida o diâmetro da barra, a taxa de armadura e a inclinação da barra em relação ao plano de fiura. Ambo mecanimo ão controlado pela abertura da fiura. A capacidade de tranferência de corte é reduzida com o aumento da abertura da fiura. A incluão direta dete mecanimo num modelo de fiura ditribuída é complexa. Emprega-e, geralmente, uma aproximação implicada para levar em conta a capacidade de tranferência de corte no concreto fiurado. O proceo conite em atribuir ao módulo de elaticidade tranveral, correpondente ao plano fiurado, um valor reduzido, G c, definido egundo Hinton (988) como: G = β (4.35) c G onde G o é o módulo de elaticidade tranveral do concreto fiurado e β é um fator de redução compreendido entre e. Se a fiura fechar o módulo G o é adotado, novamente. Um valor contante para o fator de redução foi uado em divera análie. Contudo, é mai coerente relacionar o valor de β com uma medida ditribuída da abertura da fiura, ou eja, com a deformação de tração normal ao plano da fiura. No preente trabalho, ua-e a eguinte expreão, propota por Hinton (988), k ε t β = (4.36),5

80 63 onde ε t é a deformação de tração fictícia normal ao plano da fiura e k é um parâmetro que, egundo Cervenka (985), varia de,3 até,. Na aplicaçõe do programa, apreentada nete trabalho, foi utilizado o valor mínimo para k. 4. MODELO ELASTOPLÁSTICO PARA O AÇO Na etrutura de concreto armado, a barra de aço reitem, fundamentalmente, a eforço na ua direção. Deta forma, neceita-e apena de um modelo uniaxial para decrever eu comportamento. No modelo implementado, o aço é repreentado por um diagrama tenãodeformação bilinear. O aço é coniderado um material elatoplático com endurecimento. Admite-e que o aço poui o memo comportamento em tração e compreão. O valor do módulo de elaticidade longitudinal adotado para o aço, E, é tomado como endo igual a. MPa. Para o aço de clae A, com dureza natural, adotou-e um diagrama elatoplático perfeito, onde o material poui um comportamento elático linear até atingir a tenão de ecoamento f y, conforme vito na Fig Apó ete limite, o aço deforma-e platicamente até atingir a ruptura, com tenão σ = f y e endurecimento nulo ( H = ). ' S f y e FIGURA Diagrama tenão-deformação para o aço tipo A

81 64 O aço da clae B, encruado a frio, poui comportamento elatoplático com endurecimento. Por implificação, adotou-e um diagrama tenão-deformação com endurecimento linear, conforme ilutra a Fig. 4.. f y,85 f y Curva NBR 68 Curva adotada e FIGURA 4. - Diagrama tenão-deformação para o aço tipo B Dete modo, apó atingir o limite de ecoamento, admite-e que a deformaçõe no aço tem um endurecimento definido por H ' dσ = dε p σ = ε p = o oo,5f,85f E y y,5f E y H ', 5f f o oo E y = (4.37) y 4.3 MODELO PARA AS LÂMINAS DE FIBRA DE CARBONO A lâmina de fibra de carbono ão um material relativamente novo, caracterizado por uma combinação de baixo peo, de alta reitência e de grande rigidez. O eu módulo de elaticidade e a ua reitência dependem do grau de orientação da fibra, ou eja, do paralelimo entre o eixo da mema.

82 65 A fibra de carbono ão fabricada atravé da pirólie de fibra orgânica em uma atmofera inerte. A temperatura de pirólie pode variar entre º e 3º C, endo que, temperatura de proceo mai alta geralmente conduzem a fibra com maior módulo de elaticidade. A lâmina de fibra de carbono têm ido utilizada para reforço de viga, ubtituindo a chapa de aço, por ua vantagen, como: facilidade e rapidez de intalação, por er um material de fácil manueio e batante leve, podendo er colada em neceidade de ecoramento; durabilidade, vito que itema de reforço com fibra de carbono em erviço por dez ano não apreentaram nenhuma deterioração, acrecentando-e que não há neceidade de proteção contra corroão; deempenho, podendo er contatado ua grande capacidade de reitência a flexão e ao cialhamento do componente reforçado. Poteriormente, erão analiado neta diertação exemplo de viga reforçada com lâmina de fibra de carbono. Segundo etudo realizado por Beber (999) e Silva (999), ete material têm como principal caracterítica a elevada reitência a tração, apreentando comportamento linear até atingir a ruptura. Deta forma, o comportamento da lâmina de fibra de carbono é um cao particular do modelo elatoplático com endurecimento, definido anteriormente para o aço. 4.4 MODELO VISCOELÁSTICO PARA O CONCRETO O concreto, ubmetido a carga de longa duração, ofre uma deformação intantânea, eguida por uma deformação devida à fluência (creep), que e deenvolve ao longo do tempo. Deta forma, memo ob tenõe contante, a deformaçõe no concreto aumentam no decorrer do tempo, conforme ilutrado na Fig. 4..

83 66 e C deformação por fluência deformação intantânea t' FIGURA 4. - Evolução da deformação por fluência para tenão contante aplicada em t' t Ete fenômeno manifeta-e mai acentuadamente na idade imediatamente poteriore ao aparecimento da tenõe, etando ligado a fenômeno de divero tipo, relacionado com a circulação de água na maa de concreto e ua diipação para o exterior. Por ito, em ua magnitude e deenvolvimento no tempo, influem fundamentalmente a umidade e temperatura ambiente, a idade de carregamento e o tempo trancorrido apó ua aplicação, a dimenõe da peça, a condiçõe de cura, a compoição do concreto e a velocidade de endurecimento do cimento. Apó a concretagem e a cura do concreto, poe-e encontrar água em eu interior, alojada em pequeno vao capilare. Ea água é o reíduo da reação de hidratação do cimento, reíduo ee que empre irá exitir, uma vez que a relação água-cimento neceária para realizar a reação é menor que a relação água-cimento mínima adotada para que o concreto eja trabalhável. Com o tempo, ea água irá evaporar e o vao capilare, em a preão interna da mema, erão emagado, provocando uma perda de volume denominada retração (hrinkage), conforme vito na Fig. 4..

84 67 e CS t S t FIGURA 4. - Curva de deformação por retração Eta deformação ao longo do tempo é independente da tenão aplicada e etá ligada a fenômeno emelhante ao da fluência, relacionado com a água que em parte hidrata o componente do cimento e, em parte, fica livre dentro da maa de concreto. No etudo de etrutura de concreto, a conideração da deformaçõe por fluência e retração é de indicutível relevância, poi eu valore ão da mema ordem de grandeza da deformaçõe imediata, para nívei uuai de tenão. A eguir dicute-e com maiore detalhe como foram coniderado ete fenômeno Fluência No domínio da tenõe de utilização, a deformaçõe por fluência, devida a tenõe aplicada em doi intante diferente, ão coniderada como aditiva (hipótee da uperpoição de efeito). Deta hipótee, tem-e que a deformação por fluência, ob tenão contante, etá ligada linearmente à tenão. De acordo com o código modelo de 99 do CEB, a uperpoição linear é normalmente aceita para nívei de tenõe menore que,4f cm (reitência à compreão média do concreto). Nete etudo, por trabalhar-e neta faixa de tenõe, adotou-e ete comportamento linear.

85 68 A incluão da fluência no modelo computacional e ua repectiva formulação, bem como a determinação do parâmetro neceário, foram apreentada por Claure (994), que adotou um modelo reológico tomado por uma cadeia de elemento Maxwell para repreentar o comportamento dependente do tempo do concreto (Fig. 4.3). Eta cadeia é contituída por uma aociação, em paralelo, de elemento compoto por uma mola em érie com um amortecedor vicoo. (t) E E E 3 E 4 E 5 e η η η 3 η 4 (t) FIGURA Modelo de cadeia Maxwell Ete modelo pode er obtido, como um cao particular do modelo elatovicoplático (Fig.6), admitindo-e que todo o elemento de atrito pouam tenão de platificação nula Retração A redução de volume do concreto, provocada pela perda gradual de umidade por evaporação, depende de divero fatore, endo o mai importante o tipo de cimento, a dimenõe do elemento, a umidade e a temperatura ambiente, e a etrutura de poro. O valor da retração varia conideravelmente com o tamanho e a forma da peça, porque a evaporação ocorre na uperfície do concreto, endo uma função da relação área/volume. A retração diminui com o aumento da dimenõe.

86 69 A deformaçõe por retração do concreto ão tratada como deformaçõe impota à etrutura. A exemplo da fluência, a retração não produz diretamente tenõe no concreto. Por io, para avaliação da tenão no concreto, deconta-e do valor da deformação total, obtida a partir do vetor de delocamento, a parcela de deformação que foi originada diretamente pela retração. A determinação do parâmetro de retração pelo Código Modelo CEB-FIP 99 (993), bem como ua formulação para a implementação computacional, encontram-e decrita por Claure (994). 4.5 MODELO DA LIGAÇÃO ENTRE OS MATERIAIS O modelo de aderência entre o materiai adotado nete etudo egue a relação tenão de aderência x delizamento, indicada pelo Código Modelo CEB-FIP 99 (993), como motra a Fig Para preervar a notação utilizada no Código Modelo CEB-FIP 99 (993) erá utilizado τ, para repreentar a tenão de aderência, e, como o delizamento. No capítulo 3 utilizou-e para eta grandeza a notação τ b e w b, repectivamente. Tenão de aderência (τ) τ max τ f 3 Delizamento () FIGURA 4.4 Relação tenão de aderência-delizamento A determinação da tenão de aderência entre o concreto e a barra de armadura (τ), Fig. 4.4, pode er feita em função do delizamento relativo, de acordo com a eguinte expreõe:

87 7 τ = τ máx α para (4.38) τ = τ máx para < (4.39) τ = τ máx (4.4). para < 3 ( τ ) máx τf 3 τ =τ f para 3 < (4.4) O Código Modelo CEB-FIP 99 (993) fornece o valore do parâmetro neceário para a definição da tenão de aderência entre o concreto e a armadura, como motram o quadro 4. e 4.. QUADRO 4. Parâmetro para a definição da tenão de aderência Concreto não Confinado Concreto Confinado Boa condiçõe de aderência Outra condiçõe de aderência Boa condiçõe de aderência Outra condiçõe de aderência,6 mm,6 mm, mm, mm,6 mm,6 mm 3, mm 3, mm 3, mm,5 mm Epaçamento livre entre a nervura Epaçamento livre entre a nervura α,4,4,4,4 τ máx,. f ck [MPa],. f ck [MPa],5. f ck [MPa],5. f ck [MPa] τ f,5.τ máx,5.τ máx,4.τ máx,4.τ máx Falha por eparação do concreto e da armadura. Falha por cialhamento do concreto entre a nervura.

88 7 QUADRO 4. Parâmetro para a definição da tenão de aderência para barra lia fio encruado a frio barra laminada a quente Boa condiçõe de aderência Outra condiçõe de aderência Boa condiçõe de aderência Outra condiçõe de aderência = = 3, mm, mm, mm, mm α,5,5,5,5 τ máx = τ f,. f ck [MPa],5. f ck [MPa],3. f ck [MPa], 5. f ck [MPa] O parâmetro utilizado para o cálculo da tenão de aderência entre o concreto e o reforço de fibra de carbono foram obtido atravé de etudo realizado por Silva (999), e ão reumido no quadro 4.3. QUADRO Parâmetro para a definição da tenão de aderência para lâmina de fibra de carbono CFRP 3,8 mm,8 mm,65 mm α,6 τ máx 3,5 MPa τ f,.τ máx

89 5 IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL DO MODELO DE ADERÊNCIA A etapa de implementação do novo modelo de aderência compreendeu a formulação do modelo, a montagem da matriz de rigidez para o elemento de concreto armado e a implementação do modelo de ligação entre o materiai. Ete capítulo dicute como ocorrerem ete pao. 5. FORMULAÇÃO DO MODELO A formulação do modelo de aderência propoto por Elwi & Hrudey (989), conidera o delizamento que ocorre entre o concreto e a armadura ou o reforço atravé da incluão de um grau de liberdade adicional na direção do eixo longitudinal da barra Neta formulação, a deformação, na forma incremental, é obtida atravé do campo de incremento de delocamento do elemento de concreto e do delizamento ao longo do egmento de armadura, como foi detalhado no item MATRIZ DE RIGIDEZ PARA O ELEMENTO DE CONCRETO ARMADO Na conideração de aderência perfeita entre o materiai contitutivo do concreto armado (concreto e aço), Claure (994) demontra que o delocamento ao longo da barra de armadura ão obtido a partir do delocamento nodai do elemento de concreto correpondente. Por coneguinte, a matriz de rigidez da armadura tem dimenão idêntica à matriz de rigidez do elemento de concreto. Logo, endo [K C ] a matriz de rigidez do concreto e [K S ] a da armadura, a matriz de rigidez total reulta da uperpoição, termo a termo, da dua matrize:

90 73 n b [ ] = [ K C ] + [ K S ] K (5.) i= onde n b denota o número de egmento da barra no interior do elemento de concreto. Neta diertação, coniderou-e o delizamento relativo entre o aço e o concreto (aderência imperfeita) e ete efeito de delocamento relativo entre o doi materiai erá modelado pela introdução de novo grau de liberdade ao itema. Como e pode obervar na expreão (3.45), a matriz de rigidez total para cada elemento reulta da matriz de rigidez do concreto [K ], acrecida na ua diagonal de uma matriz [K bb ], referente ao novo grau de liberdade impoto na direção da barra de armadura, e outra dua matrize [K b ] e [K b ], referente ao cruzamento do grau de liberdade do elemento de concreto com o novo grau de liberdade decorrente da aderência imperfeita. [ ] [ K ] [ Kb ] [ ] [ ] Kb K bb K = (5.) Na preente diertação, para a implementação computacional do modelo propoto por Elwi e Hrudey (989), urge uma dificuldade: definir qual relação contitutiva adotar para o concreto. A partir da fiuração do concreto, o delizamento entre concreto e armadura torna-e mai ignificativo, aumentando a importância deta relação contitutiva. Neta ituação, o modelo contitutivo para o concreto paa a depender, entre outro fatore, da abertura da fiura, da taxa de armadura, do diâmetro e da direção da barra em relação à da fiura, da granulometria do agregado e da reitência do concreto. Para contornar eta dificuldade, adotou-e a olução de deacoplar o grau de liberdade relativo à tenõe normai e de aderência na barra de armadura. Ito é feito anulando-e a matrize [K b ] e [K b ], em (3.45). Aim, relativamente à tenõe normai, emprega-e um modelo que conidera aderência perfeita entre concreto e armadura. A relação contitutiva para o concreto, nete cao, é amplamente conhecida e utilizada (modelo de tenion tiffening ). Nete trabalho, adotou-e a relação empregada por Claure (994), ilutrada na Fig. 4.7.

91 74 Por outro lado, preerva-e a condição de equilíbrio entre tenõe normai e de aderência etabelecida pela relação (3.35). Obtém-e, deta maneira, um modelo que traz previõe confiávei para a tenõe normai na armadura e que poibilita a determinação do delizamento entre concreto e armadura, bem como da tenõe de aderência Em função do deacoplamento do grau de liberdade relativo à tenõe normai e de aderência na barra de armadura, foram anulada a matrize [K b ] e [K b ], endo, portanto, a expreão (5.3) como a da matriz de rigidez para o elemento de concreto armado [ ] [ K ] [ ] [ ] [ Kbb ] K = (5.3) Dete modo, oberva-e que, para cada egmento de armadura localizado dentro de um elemento de concreto, a matriz de rigidez total erá a matriz de rigidez do concreto acrecida de outra matriz [K bb ], como é ilutrado pela Fig. 5.. K K b K b K bb FIGURA 5. Matriz de rigidez para o elemento de concreto armado, com um egmento de armadura em eu interior. E, uceivamente, para n b egmento de armadura incorporado no interior do elemento de concreto, tem-e a forma apreentada na Fig. 5..

92 75 K K b K b K b n b K b K bb K b K bb K b nb n b K bb n b FIGURA 5. - Matriz de rigidez para o elemento de concreto armado, com n b egmento de armadura em eu interior. 5.. Montagem da matriz de rigidez do elemento de concreto armado O programa computacional utilizado para a implementação do modelo de aderência, deenvolvido por Claure (994), montava a matriz de rigidez total para cada elemento de concreto armado como uma dimenão dependente do número de nó do elemento de concreto e do número de grau de liberdade. Dimenão eta, portanto, que era contante para todo o elemento analiado. No preente modelo, que conidera a degradação da aderência entre a barra de armadura ou reforço e o concreto adjacente, atravé da conideração de grau de liberdade adicionai, e fez neceária a criação de uma variável para realizar o redimenionamento da matriz de rigidez total para cada elemento de concreto analiado. A dimenõe deta matriz dependem do número de egmento de armadura, que terão o delizamento coniderado, incorporado no interior dete elemento. Para tanto, foi acrecentado como dado de entrada no programa, juntamente com a geometria e a poição da armadura ou reforço, um índice que motra, para cada um dete elemento, e o delizamento deveria er, ou não, coniderado.

93 76 O programa executa inicialmente, um laço que percorre o elemento de concreto, detectando em cada elemento o número de barra localizada em eu interior, como já foi decrito na capítulo 3, e regitrando quai barra terão o delizamento coniderado. Se o elemento finito utilizado para a armadura é o quadrático, cada egmento encontrado acrecenta trê nó a mai ao elemento de concreto, aumentando, dete modo, a dimenão da matriz de rigidez do referido elemento. A barra que não tem o delizamento coniderado, não acrecentam nó algum ao elemento de concreto, não cauando acrécimo à dimenõe da matriz de rigidez. Para cada egmento que terá o delizamento coniderado ão criado 3 nó: doi na extremidade e um intermediário, como motra a Fig FIGURA 5.3 Nó do egmento de armadura no interior de um elemento de concreto Ete nó terão o delocamento liberado pelo programa apena na direção do eixo longitudinal do egmento, repreentando, aim, o delizamento que ocorre quando há degradação da aderência Armazenamento da matriz de rigidez do elemento de concreto armado A forma de reolução do itema, conforme Claure (994), prevê o armazenamento em ubmatrize com dimenão até [3 x 3]. Eta ubmatrize, cuja dimenõe dependem do número de grau de liberdade, correpondem à partiçõe nodai da matriz de rigidez. Oberva-e que a matriz [K bb ] incluída no fim da diagonal da matriz do concreto, poui a mema dimenão da ubmatrize particionada, uma vez que ela conidera o grau de liberdade na direção da barra, de cada um do nó do egmento.

94 Delizamento ao longo de uma barra Ao percorrer cada elemento de concreto para contabilizar o número de egmento de barra de armadura ali localizado, que terão o delizamento coniderado, o programa numera ete egmento, e o armazena em um vetor. Apó a reolução do itema, de poe do delocamento nodai no ponto coniderado, o programa executa um laço obre cada uma da barra que terá o delizamento coniderado, percorrendo todo o egmento pertencente àquela determinada barra, ao longo do diferente elemento de concreto. O arquivo de aída do programa imprime, então, para cada uma da barra coniderada, o número do elemento de concreto no qual ela e encontra, bem como o número do egmento pertencente a ela, e o número do nó intermediário que foram criado. A Fig. 5.4 motra um trecho dete arquivo, para um exemplo que teve o delizamento coniderado em trê barra de armadura. >>>>> Barra numero: Numero de egmento: 5 * Segmento numero: 46 Conetividade: * Segmento numero: 34 Conetividade: * Segmento numero: Conetividade: * Segmento numero: 3 Conetividade: * Segmento numero: Conetividade: FIGURA 5.4 (a) >>>>> Barra numero: Numero de egmento: 5 * Segmento numero: 47 Conetividade: * Segmento numero: 35 Conetividade: * Segmento numero: 3 Conetividade: * Segmento numero: 4 Conetividade: * Segmento numero: Conetividade: FIGURA 5.4 (b)

95 78 >>>>> Barra numero: 3 Numero de egmento: 5 * Segmento numero: 48 Conetividade: * Segmento numero: 36 Conetividade: * Segmento numero: 4 Conetividade: * Segmento numero: 5 Conetividade: * Segmento numero: 3 Conetividade: FIGURA 5.4 (c) FIGURA 5.4 (a) (b) e (c) Trecho do arquivo de aída do programa Note-e que o nó final de cada egmento coincide com o nó inicial do egmento que lhe é adjacente. Deta forma, unem-e o nó intermediário de cada egmento, criado para aumentar a matriz de rigidez do elemento de concreto armado, de modo que haja garantia da continuidade do delizamento na armadura como uma barra inteira, e não como vário egmento aleatório dentro da peça de concreto, como ilutra a Fig FIGURA 5.5 Continuidade da barra de armadura nº 3 ao longo da viga 5.3 IMPLEMENTAÇÃO DO MODELO DE LIGAÇÃO ENTRE OS MATERIAIS Para o cálculo da tenão de aderência ao longo da armadura ou da interface do reforço com a etrutura de concreto, implementaram-e a equaçõe (4.38) a (4.4). O Código Modelo CEB-FIP 99 (993) fornece o valore do parâmetro neceário para a definição da tenão de aderência na barra de aço lia e nervurada. Para o reforço com lâmina de fibra de carbono foram adotado o parâmetro indicado por Silva (999).

96 79 O objetivo do programa é a modelagem da aderência entre o concreto e materiai adjacente. Sendo aim, a tenão de aderência deve er calculada tanto para barra de armadura quanto para reforço, eja ete de chapa de aço ou lâmina de fibra de carbono. Para tanto, uma vez que tanto a barra de armadura quanto o reforço tem o memo tipo de entrada no programa (nó e conetividade), foi neceário introduzir no dado de entrada doi novo índice: O primeiro índice motra o tipo de elemento que erá coniderado: barra de armadura (nete cao o programa lê o diâmetro da barra) ou reforço (quando erá lida a largura e a epeura do memo), e e ete terão o delizamento coniderado ou não. O egundo índice aponta quai parâmetro (,, 3, α...) deverão er utilizado para o cálculo da tenão de aderência, do referido material, no diagrama da Fig 4.4 (barra lia ou nervurada, ou lâmina de fibra de carbono).

97 6 APLICAÇÕES NUMÉRICAS No preente capítulo, o modelo numérico deenvolvido é aplicado na análie de viga de concreto armado. Comparam-e o reultado obtido pelo programa computacional com o reultado de análie experimentai diponívei com o intuito de avaliar a validade do modelo propoto. O exemplo foram tetado com uma malha de elemento finito de concreto com dez elemento tridimenionai de vinte nó. Malha mai refinada não apreentaram diferença ignificativa com relação a eta malha. O programa foi deenvolvido de modo a tornar o reultado do tete independente de ajute de parâmetro. Deta forma, como entrada de dado, neceitame omente dado referente à geometria e topologia da peça, ao tipo de carregamento, à propriedade do concreto, aço e elemento de reforço, e à condiçõe ambientai. Para o exemplo, aplicou-e uma regra de integração numérica, recomendada por Hinton (988), que utiliza apena 5 ponto de integração, dipoto imetricamente no domínio tridimenional do elemento. Eta regra diminui, conideravelmente, o eforço computacional e apreenta ótimo reultado quando comparada à regra de integração numérica convencional. Foram analiado quatro exemplo. No primeiro, foram comparado reultado experimentai de Groot (98), para corpo de prova repreentando extremidade de viga, com o teórico fornecido pelo programa computacional. No egundo, dua viga, enaiada por Campagnolo et al. (997), foram etudada. Uma viga erviu de tetemunho e outra foi reforçada com chapa de aço. No terceiro, compararam-e o reultado do programa com a viga enaiada por Silva (999). E, finalmente, fez-e a análie do reultado comparativo de um terceiro conjunto de viga, enaiada por Beber (999). O doi último conjunto de viga referem-e a etudo obre reforço com lâmina de fibra de carbono.

98 8 Adotou-e para todo o exemplo um valor fixo, igual a,, para o coeficiente de Poion do concreto e coniderou-e o cimento como endo de endurecimento normal. 6. CORPO DE PROVA ENSAIADO POR GROOT ET AL. (98) Groot et al. (98) enaiaram um corpo de prova, imulando a ituação de extremidade de viga. A Fig. 6. motra o corpo de prova enaiado, cuja dimenõe externa ão 5 cm x 45 cm x 95 cm. P P 7,5 5 4,5 4,5 φ,6 φ,6 7,5 5,5 3 φ,6 5 7,5 (cm) FIGURA 6. - Geometria e carregamento do corpo de prova O corpo de prova tem dua parte de 4,5 cm, imetricamente dipota em relação uma a outra, com um comprimento adicional de cm de um do lado. Ete comprimento adicional tem o propóito de aegurar que a ruptura ocorreria do lado direito do corpo de prova, onde a mediçõe foram realizada. bloco. O quadro 6. apreenta a propriedade do materiai utilizado na execução do

99 8 QUADRO 6. - Propriedade do materiai Concreto φ,6 E c = 3, GPa f c = 7,6 MPa f t =,3 MPa E = GPa f y = 4 MPa Aço A A malha de elemento finito, utilizada para a análie computacional, encontra-e repreentada na Fig. 6..,5 FIGURA 6. - Malha de elemento finito Comparam-e, a eguir, o reultado teórico com o experimentai. A Fig. 6.3 motra a curva carga x deformação para o trecho não confinado da barra do corpo de prova. A deformaçõe ao longo do comprimento de 3 cm, dentro do concreto, da barra do exemplo analiado, para um nível de carga de 5 kn, ão motrada na Fig Na Fig. 6.5 é motrada a curva da tenão de aderência ao longo do comprimento da barra, determinada pelo modelo implementado neta diertação.

100 83 5 Carga [kn] 5 Experimental Teórico 5,5,5,5 Deformação [ -3 cm/cm] FIGURA Deformação no trecho não confinado da barra do corpo de prova,5 Deformação [ -3 cm/cm],5,5 Experimental Teórico Comprimento do vão [cm] FIGURA Deformaçõe na armadura, ao longo do trecho de 3 cm, dentro do concreto, para uma carga de 5 kn

101 84 Tenão de aderência [MPa],9,8,7,6,5,4,3,, Comprimento do vão [cm] kn 4 kn 6 kn 8 kn kn 4 kn 7 kn kn FIGURA Tenão de aderência ao longo do trecho de 3 cm para diferente nívei de carga Não houve o arrancamento da barra de armadura, poi ante de er atingida a tenão última de aderência ocorreu o ecoamento da mema 6. VIGAS ENSAIADAS POR CAMPAGNOLO ET AL. (997) Campagnolo et al. (997) enaiaram dua viga, referenciada por V e V, cujo detalhamento é motrado na Fig Amba apreentavam a mema dimenõe e armadura. O cobrimento mínimo, adotado para a barra de armadura, foi de,5 cm. A viga V caracteriza-e por pouir um reforço de chapa de aço, fixado na face inferior da viga por reina epóxi. O quadro 6. apreenta a propriedade do materiai. QUADRO 6. - Propriedade do materiai Concreto φ φ6,3 Chapa de aço E = Gpa E c = 38, Gpa E = GPa E = GPa f y = 36 MPa f c = 33,6 MPa f y = 549 MPa f y = 657 MPa largura = cm f t = 3,8 MPa Aço A Aço B epeura =,8 cm Aço A

102 85 P P φ6,3 φ6,3 c/ V φ P P φ6,3 φ6,3 c/ V 5 cm 78,33 93,34 78,33 φ chapa aço x 5 cm FIGURA Geometria e carregamento da viga V e V Devido à imetria de carregamento e de geometria dete exemplo, modelou-e apena metade da viga. Ete procedimento também foi adotado para o demai exemplo. A malha de elemento finito encontra-e repreentada na Fig Salienta-e que foi coniderado, apena, o delizamento relativo entre o concreto e a chapa de aço. Para a barra de armadura, admitiu-e aderência perfeita. 7,5 cm,5,5 6,7 6,7 6,7 9,5 9,5, FIGURA Malha de elemento finito O reultado do programa ão avaliado atravé da comparação com reultado experimentai de trê parâmetro: delocamento, deformação epecífica na armadura e deformação no concreto.

103 86 A curva carga x delocamento, para a viga V e V, ão apreentada na figura 6.8 e 6.9, repectivamente. A Fig. 6. apreenta a comparação do reultado experimental e computacional da deformação na armadura longitudinal inferior, para a viga V. O reultado de deformaçõe epecífica, computacionai e experimentai, podem diferir batante, principalmente apó a fiuração do concreto. De certa forma, eta dicordância entre o reultado era eperada, uma vez que o valore de deformaçõe, previto pelo programa computacional, correpondem a um comportamento médio do materiai ao longo de um certo trecho. Naturalmente, logo apó a fiuração, a deformação em uma barra de armadura longitudinal, exatamente em uma eção fiurada, erá muito maior do que a deformação, neta mema barra, na região entre dua fiura. A deformação no reforço da viga V é apreentada na Fig Carga [kn] 4 3 Experimental Teórico Delocamento [mm] FIGURA Delocamento vertical na eção central da viga V

104 87 Carga [kn] Experimental Teórico Delocamento [mm] FIGURA Delocamento vertical na eção central da viga V 6 5 Carga [kn] 4 3 Experimental Teórico Deformação [ -6 mm/mm] FIGURA 6. - Deformação na armadura da viga V

105 88 Carga [kn] Experimental Teórico Deformação [ -6 mm/mm] FIGURA 6. - Deformação no reforço da viga V A Fig. 6. apreenta o reultado computacional da tenão de aderência na interface do reforço ao longo do comprimento da viga V, para diferente nívei de carga. O reultado numérico confirmam o reultado medido em laboratório. A tenão última de aderência é atingida no trecho junto ao apoio, o que leva a viga à ruptura por decolamento da chapa, como ilutra a Fig Tenão de aderência [MPa],8,6,4,,8,6,4, Comprimento do vão [cm] kn kn 3 kn 4 kn 5 kn 6 kn 7 kn 8 kn 9 kn kn kn kn FIGURA 6. - Tenão de aderência na interface do reforço com a viga V

106 89 FIGURA Decolamento da chapa na extremidade da viga V 6.3 VIGAS ENSAIADAS POR JUVANDES (998) E SILVA (999) Foram analiada, nete exemplo, dua viga. A primeira, referenciada por B6, é uma viga tetemunho de concreto armado, e foi enaiada por Juvande (998) e a egunda, B9, poui reforço de lâmina de fibra de carbono, e foi enaiada por Silva (999). Amba apreentam a mema geometria e carregamento, com motra a Fig Coniderou-e um cobrimento mínimo de,5 cm para a armadura. viga. O quadro 6.3 apreenta a propriedade do materiai utilizado na execução da QUADRO Propriedade do materiai Concreto B6 Concreto B9 φ8 φ3 CFRP E c = 34 GPa E c = 3,9 GPa E = GPa E = GPa E L = 6 GPa f c = 4,6 MPa f c = 37,8 MPa F y = 497, MPa f y = 9,3 MPa F L = 3 MPa f t = 4, MPa f t = 3,9 MPa Aço A Aço B largura = 5 cm epeura =, cm

107 9 P P φ3 φ3 c/ 6 B6 3 φ8 P P φ3 φ3 c/ 6 B9 CFRP 3 φ8 5 cm ,5 x 5 cm FIGURA Geometria e carregamento da viga B6 e B9 A malha de elemento finito utilizada no programa encontra-e na Fig , cm 7,5 7,5 6,5 6,5 6,5 6,5, 7,5 FIGURA Malha de elemento finito Comparam-e a eguir reultado experimentai e teórico obtido atravé do programa computacional. O gráfico carga x delocamento vertical na eção central da viga B6 e B9 ão apreentado na figura 6.6 e 6.7, repectivamente. A Fig 6.8 motra a curva carga x deformação no reforço da viga B9.

108 9 Carga [kn] Experimental Teórico Delocamento [mm] FIGURA Delocamento vertical na eção central da viga B6 6 5 Carga [kn] 4 3 Experimental Teórico 5 5 Delocamento [mm] FIGURA Delocamento vertical na eção central da viga B9

109 9 6 5 Carga [kn] 4 3 Experimental Teórico Deformação [ -6 mm/mm] FIGURA Deformação no reforço da viga B9 A Fig. 6.9 motra a comparação entre o enaio experimental, realizado por Silva (999), e o reultado teórico do programa deenvolvido neta diertação, para a tenão de aderência na interface do reforço ao longo do comprimento do vão da viga B9, para o nível de carga de 5 kn. 4 3,5 3 Tenão de aderência [MPa],5,5,5 Experimental Teórico Comprimento do vão [cm] FIGURA Curva teórico x experimental da tenão de aderência na interface do reforço com a viga B9

110 93 O gráfico da Fig. 6. motra a evolução da tenão de aderência na interface do reforço, ao longo do comprimento do vão da viga B9, para diferente nívei de carregamento. Oberva-e que a tenão última de aderência é atingida no trecho junto ao apoio, o que leva a viga à ruptura por decolamento da chapa, como ilutra a Fig. 6.. Tenão de aderência [MPa] 4 3,5 3,5,5, Comprimento do vão [cm] 5 kn kn 5 kn kn 5 kn 3 kn 35 kn 4 kn 45 kn 5 kn FIGURA 6. - Tenão de aderência na interface do reforço com a viga B9 FIGURA 6. - Decolamento da chapa na extremidade da viga B9

111 VIGAS ENSAIADAS POR BEBER (999) Nete exemplo, comparam-e o reultado obtido pelo programa computacional deenvolvido com o reultado experimentai apreentado por Beber (999), para viga de concreto armado reforçada com lâmina de fibra de carbono. Foram comparado cinco grupo de viga: viga tetemunho (referenciada como VT), viga reforçada com uma camada de lâmina de fibra de carbono (referenciada como VR), viga reforçada com quatro camada de lâmina de fibra de carbono (VR4), viga reforçada com ete camada lâmina de fibra de carbono (VR7) e viga reforçada com dez camada de fibra (VR). Para cada um do grupo anteriormente mencionado, foram enaiada dua viga. O detalhamento da viga etá ilutrado na Fig. 6.. O cobrimento mínimo, utilizado para a armadura, foi de,5 cm. P P φ6 φ6 c/ VT φ P P φ6 φ6 c/ VR 5 cm 78,33 93,34 78,33 CFRP x 5 cm φ FIGURA 6. - Geometria e carregamento da viga VT e VR

112 95 No que concerne à propriedade do materiai (concreto, armadura e laminado de CFRP), eta e encontram epecificada no quadro 6.4. QUADRO Propriedade do materiai Concreto φ φ6 CFRP E L = 3 GPa E c = 38,3 Gpa E = GPa E = GPa f L = 34 MPa f c = 33,58 MPa f y = 565 MPa f y = 738 MPa largura = cm f t = 3,4 MPa Aço A Aço B epeura =, cm (cada lâmina) Para a análie computacional, adotou-e a malha da Fig. 6.3, repreentando a metade da viga, uma vez que eta apreenta imetria de carga e geometria. 5, cm,5,5 7,77 7,77 7,77,8,8, FIGURA Malha de elemento finito São comparado, para cada um do grupo de viga enaiada por Beber (999), reultado, experimentai e teórico, de delocamento verticai e de deformaçõe epecífica, na armadura longitudinal inferior, na eção central da viga. Da mema forma, comparam-e deformaçõe no reforço e conclui-e com o valore da tenão de aderência ao longo da interface, da viga reforçada com uma, quatro, ete e dez camada.

113 Delocamento vertical na eção central Na figura 6.4 a 6.8, ão apreentada a curva carga x delocamento teórica e experimentai para cada um do cinco grupo de viga. 6 5 Carga [kn] 4 3 Experimental VT-a Experimental VT-b Teórico 5 5 Delocamento [mm] FIGURA Delocamento vertical na eção central da viga tetemunho 6 5 Carga [kn] 4 3 Experimental VR-a Experimental VR-b Teórico Delocamento [mm] FIGURA Delocamento vertical na eção central da viga reforçada com uma camada

114 97 Carga [kn] Experimental VR4-a Experimental VR4-b Teórico Delocamento [mm] FIGURA Delocamento vertical na eção central da viga reforçada com quatro camada 4 Carga [kn] Experimental VR7-a Experimental VR7-b Teórico Delocamento [mm] FIGURA Delocamento vertical na eção central da viga reforçada com ete camada

115 Carga [kn] 8 6 Experimental VR-a Experimental VR-b Teórico Delocamento [mm] FIGURA Delocamento vertical na eção central da viga reforçada com dez camada 6.4. Deformação na armadura Na figura 6.9 a 6.33, comparam-e reultado experimentai e obtido pelo programa. Eta figura motram, repectivamente, a deformação na armadura para a viga tetemunho e para a viga reforçada com uma, quatro, ete e dez camada de lâmina de fibra de carbono. 6 5 Carga [kn] 4 3 Experimental VT-a Experimental VT-b Teórico Deformação [ -6 mm/mm] FIGURA Deformação na armadura da viga tetemunho

116 Carga [kn] 4 3 Experimental VR-a Experimental VR-b Teórico Deformação [ -6 mm/mm] FIGURA Deformação na armadura da viga reforçada com uma camada Carga [kn] Experimental VR4-a Experimental VR4-b Teórico Deformação [ -6 mm/mm] FIGURA Deformação na armadura da viga reforçada com quatro camada

117 Carga [kn] Experimental VR7-a Experimental VR7-b Teórico 5 5 Deformação [ -6 mm/mm] FIGURA Deformação na armadura da viga reforçada com ete camada 6 4 Carga [kn] Experimental VR-a Experimental VR-b Teórico 5 5 Deformação [ -6 mm/mm] FIGURA Deformação na armadura da viga reforçada com dez camada

118 6.4.3 Deformação no reforço O reultado comparativo do gráfico carga x deformação no reforço ão motrado na figura 6.34 a Carga [kn] 4 3 Experimental VR-a Experimental VR-b Teórico Deformação [ -6 mm/mm] FIGURA Deformação no reforço da viga reforçada com uma camada Carga [kn] Experimental VR4-a Experimental VR4-b Teórico Deformação [ -6 mm/mm] FIGURA Deformação no reforço da viga reforçada com quatro camada

119 4 Carga [kn] Experimental VR7-a Experimental VR7-b Teórico Deformação [ -6 mm/mm] FIGURA Deformação no reforço da viga reforçada com ete camada 6 4 Carga [kn] Deformação [ -6 mm/mm] Experimental VR-a Experimental VR-b Teórico FIGURA Deformação no reforço da viga reforçada com dez camada

120 Tenão de aderência De acordo com Beber (999), o modo de falha da viga reforçada com uma camada foi o ecoamento da armadura, não havendo decolamento no reforço da referida viga. Oberva-e, na Fig. 6.38, que a tenão última de aderência não atingiu o valor máximo, ou eja, não ocorre o decolamento do reforço, com ilutra a Fig Por outro lado, a figura 6.4, 6.4 e 6.44 motram, para a viga reforçada com quatro, ete e dez camada, repectivamente, que a tenão última de aderência foi atingida, demontrando que ocorre o decolamento da lâmina do reforço. Ete reultado reproduzem exatamente o comportamento obervado no enaio realizado por Beber (999), como ilutram a figura 6.4, 6.43 e Na viga reforçada com ete e dez camada, conforme e pode obervar na figura 6.43 e 6.45, foi colocado um reforço lateral na região da extremidade da lâmina. Ete reforço introduz um mecanimo adicional para a tranferência de eforço entre a lâmina e a viga, aumentando o nível de carga do decolamento.

121 4,8 Tenão de aderência [MPa],7,6,5,4,3,, 8 kn 6 kn 4 kn 3 kn 4 kn 48 kn 56 kn Comprimento do vão [cm] FIGURA Tenão de aderência na interface do reforço com a viga reforçada com uma camada FIGURA Ruptura da viga reforçada com uma camada

122 5 Tenão de aderência [MPa] 4 3,5 3,5,5, Comprimento do vão [cm] kn kn 3 kn 4 kn 5 kn 6 kn 7 kn 8 kn 9 kn kn FIGURA Tenão de aderência na interface do reforço com a viga reforçada com quatro camada FIGURA Ruptura por decolamento na viga reforçada com quatro camada

123 6 Tenão de aderência [MPa] 4 3,5 3,5,5, Comprimento do vão [cm] kn kn 3 kn 4 kn 5 kn 6 kn 7 kn 8 kn 9 kn kn kn kn FIGURA Tenão de aderência na interface do reforço com a viga reforçada com ete camada FIGURA Ruptura por decolamento na viga reforçada com ete camada

124 7 Tenão de aderência [MPa] 4 3,5 3,5,5, Comprimento do vão [cm] kn kn 3 kn 4 kn 5 kn 6 kn 7 kn 8 kn 9 kn kn kn kn 3 kn 4 kn FIGURA Tenão de aderência na interface do reforço com a viga reforçada com dez camada FIGURA Ruptura por decolamento na viga reforçada com dez camada