BALANÇOS DE MASSA E DE ENERGIA

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1 BALANÇOS DE MASSA E DE ENERGIA

2 Fred & Lúco 1 O CONCEIO DE BALANÇO O conceto al de balanço represta um procedmto de análse de um sstema, físco ou não, em termos de uma propredade, θ, convtemte seleconada. O procedmto consste bascamte em: Observar o sstema tre um nstante ncal, t, e um nstante fnal, t t. Analsar a varação da propredade seleconada através da relação tre o acúmulo de θ, defndo por θ θ(t t - θ(t, e os mecansmos responsáves por essa varação que podem ser classfcados camte em dos tpos: mecansmos de troca ou : são processos que promovem varações em θ pela nteração tre sstema e vznhanças através da frontera; sstemas que estão mpeddos de sofrer esse tpo de processos são domnados sstemas solados; mecansmos de : são aqueles que promovem varações em θ através de processos nternos ao sstema; ao contráro do caso anteror, processos desse tpo podem ocorrer em qualquer sstema; As varações em θ provocadas pelos mecansmos acma dão orgem, respectvamte, a: termos de troca ou : represtam as quantdades de θ que são trocadas tre sstema e vznhanças; no que segue, quantdades recebdas pelo sstema devem ser represtadas por números postvos e quantdades ceddas pelo sstema devem ser represtadas por números negatvos; termos de : quantdades de θ que são cradas e/ou destruídas no nteror do sstema; smlarmte ao caso anteror, quantdades cradas e destruídas devem ser represtadas, respectvamte, por números postvos e negatvos; Além dsso, os termos de são classfcados em termos de convectvo e termos de não-convectvo. Os prmeros ocorrem apas em sstemas abertos e represtam as quantdades de θ pertctes aos materas que tram ou saem do sstema. Após a troca, essas quantdades se tornam parte da propredade θ do sstema (se o materal trou ou das vznhanças (se o materal sau. Os termos de que não pertcem ao prmero grupo, serão consderados, por exclusão, termos de não-convectvo. É mportante ressaltar que os termos de e de não são propredades do sstema, as quas depdem apas do estado do sstema. Portanto, não podem, em al, ser caracterzados por funções de outras propredades do sstema, como afrma o teorema de Duhem. Por exemplo, o volume de uma substânca pura gasosa costuma ser repre-

3 Fred & Lúco 2 stado funconalmte por VV(,P,n onde, temperatura, Ppressão e nn o de moles. No tanto, não exstem formas smlares de represtação para os termos de e de. O nstrumto básco do procedmto de análse em questão é a equação de balanço, a qual expressa formalmte a relação tre as quantdades acma defndas e pode ser represtada pela segunte forma ntegral: θ θ θ (1 Esta equação represta o fato de que, durante um processo, o acúmulo de uma propredade θ do sstema sob análse é gual à soma algébrca das trocas de θ tre sstema e vznhanças e das ações/destruções de θ no nteror do sstema. A equação (1 pode ser transformada através das seguntes defnções: taxa de acúmulo: dθ θ lm t 0 t taxa de : θ& θ lm t 0 t taxa de : θ& θ lm t 0 t Com essas relações obtém-se, a partr de (1, a equação de balanço na forma de taxas: dθ θ& θ& (2 Dfercas de θ, θ e θ serão represtados por: dθ dθ δθ θ& δθ θ&

4 Fred & Lúco 3 Aplcando essas relações à equação (2 obtém-se a equação de balanço na forma dfercal: dθ δθ δθ (3 Os símbolos d e δ foram usados para dstngur a dfercal de θ das dfercas de θ e θ, tdo em vsta que todas essas quantdades podem ser represtadas por funções do tempo (t, mas apas θ pode ser, em al, represtada por funções de outras propredades do sstema. do em vsta essa forma de descrção, a ntegração das quantdades dfercas acma tre dos estados do sstema resulta em: estado 2 estado 1 dθ θ ( θ2 θ1 estado 2 estado1 δθ θ estado 2 estado1 δθ θ Observar que, dfertemte do que acontece com dθ, as ntegrações de δθ e δθ não resultam em varações θ e θ uma vez que θ e θ não são propredades do sstema. O resultado das duas últmas ntegrações acma deve ser nterpretado, respectvamte e conforme defnções anterores, como quantdades trocadas e adas durante o processo que produz a varação de estado em questão. O nível de detalhamto das equações (1, (2 e (3 pode ser aumtado, subdvdndo os termos de em convectvos e não-convectvos e estes por sua vez em termos de trada e saída. Os termos de podem, da mesma forma, ser dvddos em termos de cração e termos de destrução. Detalhamto adconal pode ser obtdo, caso novas dstnções tre mecansmos de e de sejam reconhecdas. Assm, uma forma opconal da equação al de balanço na forma dfercal pode ser:

5 Fred & Lúco 4 dθ conv conv n.conv n.conv ( δθ δθsa δθ δθ sa c termos de ( δθcração δθ destr c termos de A utldade do conceto de balanço permea as áreas do conhecmto humano, sdo números os exemplos de propredades que costumam ser submetdas à análse de balanço: massa, erga, tropa e quantdade de movmto em sstemas físcos gércos; créo em contas bancáras; pessoas em cdades; pexes em ros, automóves em estradas, bactéras em colônas, lvros em bblotecas, etc.. Partcularmte na Enghara, a equação de balanço represta uma das ferramtas mas mportantes na análse de problemas. Casos partculares mportantes da aplcação da equação de balanço a sstemas físcos ocorrem quando o sstema analsado apresta restrções do tpo: ( sstema fechado: não há trocas de materal com as vznhanças (no caso em que essa restrção não exste usase a domnação sstema aberto; ( sstema solado: não há trocas de espéce alguma tre sstema e vznhanças; ( sstema adabátco: não ocorrem trocas de calor (a aprestação mas formal será dada na dscussão do balanço de erga; (v sstema em regme permante: o sstema sofre um processo no qual nhuma de suas propredades vara com o tempo. Quando essas restrções ocorrem para um sstema em partcular, a equação de balanço assume uma forma smplfcada. No tanto, é muto mportante para quem está ncando o trenamto na técnca de balanço manter sempre em mte a forma al da equação de balanço de modo a perceber todas as possíves contrbuções e não correr o rsco de aplcar formas smplfcadas a stuações mas as. Exemplo: Balanço da quantdade de pexes num ro. Defnndo p quantdade de pexes no ro, tem-se que a varação de p é provocada por: ermos de (p /sa : pexes que tram e/ou saem do ro: aflutes, pesca, etc.. ermos de (p : pexes que nascem e morrem ro do ro. Assm, a equação de balanço pode ser escrta na segunte forma: p / sa p p

6 Fred & Lúco 5 O detalhamto dos termos de e de na equação acma não será desvolvdo mas, os mecansmos de troca e de aqu aprestados são uma ndcação de como sso deve ser feto. É necessáro observar que não é possível aplcar a análse de balanço a qualquer propredade do sstema. Apas as propredades de caráter global, cujos valores são atrbuídos ao sstema como um todo, podem ser escolhdas para tanto. Em sstemas físcos, as propredades extsvas (M, tas como massa (m, erga (E e volume (V, são de caráter global. Já as propredades ntsvas, tas como temperatura (, pressão (P e propredades específcas (MM/m, possuem um caráter local que mpede a sua análse va balanços. Por exemplo, a temperatura pode ser dferte em cada ponto do sstema e só é possível atrbur um valor ao sstema como um todo no caso de todos os pontos possurem a mesma temperatura. Qualquer outra stuação para a qual se pretda atrbur um valor únco para a temperatura do sstema, não pode r além de um valor médo das temperaturas dos seus pontos. Outro fato a ressaltar é a complexdade usualmte assocada aos termos de. al aspecto faz com que as propredades conservatvas (aquelas que não podem ser afetadas por mecansmos de, tas como massa e erga por exemplo, sejam as preferdas para a aplcação da análse de balanço. Mesmo assm, há propredades nãoconservatvas mportantes para as quas a análse de balanço costuma ser feta. Um exemplo típco é a massa do componte numa mstura, a qual pode ser ada ou destruída por reações químcas. Os balanços de massa, erga, tropa e quantdade de movmto são os mas utlzados em ghara. odos eles possuem em comum a presça de termos de convectvo mas, a presça ou não de termos de não-convectvo e de termos de é específca para cada caso e depde de les báscas como a le de Lavoser para a massa, as les de Newton da Mecânca e as les da ermodnâmca. Por exemplo, no balanço de massa de um sstema, a le de Lavoser garante que para processos não volvdo a transformação de massa em erga e vce-versa, os termos de são nulos (massa não pode ser ada nem destruída. No balanço de erga, a 1 a le da termodnâmca garante que os termos de são nulos (erga não pode ser crada nem destruída e que os termos de não-convectvo só volvem trocas de calor e trabalho. Desse modo, é a assocação da equação al de balanço às les báscas da natureza que permte a real aplcação dessa ferramta em problemas físcos.

7 Fred & Lúco 6 O BALANÇO MAERIAL Balanço materal é a domnação gérca dada à análse de balanço aplcada à quantdade de materal total ou de compontes do sstema, expressa em termos de massa ou número de moles. As possbldades a serem analsadas são as seguntes: m n θ m n ( massa ( moles ( massa ( moles do do de de sstema sstema um um componte componte do do sstema sstema Obvamte, para o caso de balanços materas, não exstem termos de nãoconvectvo uma vez que, a únca forma de um sstema trocar massa ou moles é através da troca de materal com as vznhanças. Em relação aos termos de é mportante observar que apesar da massa ( m de um sstema não poder ser ada ( le de Lavoser, o mesmo não pode ser afrmado para os casos de n (moles do sstema, m (massa do componte do sstema e n (moles do componte do sstema. As equações de balanços materas para os casos acma ctados podem ser escrtas na segunte forma de taxas: dm m& sa m& sa dn n n sa & & sa n& dm m sa & m& m& sa dn n sa & n& n& sa As formas alternatvas, dfercal e ntegral, seguem o padrão já descrta no caso al da equação de balanço. Como já descrto anterormte, a equação de balanço assume uma forma mas smples quando há restrções volvdo o sstema sob análse. Por exemplo, no caso de sstemas fechados as equações acma assumem a segunte forma:

8 Fred & Lúco 7 dm dn 0 ; n& ; dm m& ; dn n& No caso de sstemas em regme permante tem-se que a propredade analsada não vara com o tempo e dessa forma as equações as assumem a forma: sa sa 0 m& m& ; 0 n& n& n& ; sa sa sa m& m& m ; sa 0 & n sa 0 & n& n& sa

9 Fred & Lúco 8 O BALANÇO DE ENERGIA Não será aprestada aqu, uma dscussão detalhada sobre o estabelecmto da equação al de balanço de erga, tal como ela costuma ser utlzada nas aplcações em termodnâmca clássca. O tema fcará lmtado á aprestação da equação,do sgnfcado sucnto de seus termos e de algumas aplcações. Desse modo tem-se que o balanço de erga na forma de taxas pode ser escrto na segunte forma: d(u Ec Ep (H sa Ec (H sa Ep Ec sa m& Ep sa m& sa Q& W& Nessa equação tem-se que: U erga nterna (soma de todas as ergas que o sstema contém na forma de contrbuções de sua estrutura nterna: ergas de átomos, partículas subatômcas, de lgação químca, etc.; Ec(1/2mu 2 erga cnétca (erga relaconada a um refercal externo ao sstema; u é a velocdade do sstema; Epmgz erga potcal (erga relaconada a um refercal externo ao sstema; z é a altura do sstema e g é a aceleração da gravdade; H U PV talpa (propredade defnda por convênca; P é a pressão e V é o volume ;notar que H e o produto PV possuem, ambos, dmsões de erga; Q calor (forma de troca de erga provocada por uma dferça de temperatura tre sstema e vznhanças; calor que tra no sstema é consderado postvo e calor que sa é consderado negatvo; W trabalho (toda forma de troca de erga que não é calor; trabalho que tra é consderado postvo e trabalho que sa é consderado negatvo; Com relação a trabalho, há que se dstngur três formas de nteresse mas básco: - trabalho de mudança de volume: trabalho volvdo com a mudança de volume do sstema e que costuma ser represtado por PdV W vol - trabalho shaft : trabalho trocado por mecansmos especas como bombas, compressores, corrtes elétrcas ( W sh.

10 Fred & Lúco 9 / sa - trabalho de trada e saída: trabalho volvdo com a trada e saída de materal e que pode ser represtado por P V m& ; esse tpo de / sa / sa / sa trabalho está sdo levado em conta, na equação de balanço de erga acma, nos termos de trada/saída e mas especfcamte em H m& (U PV m& e em H sa m& & sa sa sa sa (U PV m ; o termo W & na equação, represta apas as contrbuções de W & sh e de W & vl sto é, W & W& sh W& vol ; Novamte, a equação de balanço assume uma forma mas smples quando há restrções volvdo o sstema sob análse. Por exemplo, no caso de sstemas fechados em repouso a equação acma assume a segunte forma: du Q& W& No caso de sstemas em regme permante tem-se que a propredade analsada não d(u Ec Ep vara com o tempo e dessa forma 0, para sstemas adabátcos tem-se Q & 0 e assm por dante são estabelecdas as smplfcações que, de um modo al, são ntroduzdas na equação de balanço quando um sstema apresta alguma restrção. É nteressante notar a mportânca que têm as propredades ntsvas na descrção de um sstema. Elas são usadas para descrever as característcas do sstema que, não possuem depdênca no seu tamanho e que portanto são as característcas mas mportantes para fns de regstro (tabelas, gráfcos, equações. A descrção do sstema com base nessas propredades costuma ser domnada de estado ntsvo do sstema em contraposção ao estado global no qual, a descrção nclu, também, as propredades extsvas. A experênca tem ndcado que, no caso de materas monofáscos (gases, líqudos ou sóldos e de composção fxa, duas propredades ntsvas ndepes, usualmte os pares (,P ou (,V, são sufctes para descrever completamte o estado ntsvo do sstema. Assm, qualquer outra propredade ntsva desse materal pode ser descrta por meo de uma função das duas propredades ntsvas ndepes seleconadas. Por exemplo, para propredades específcas, é possível escrever MM(,P ou MM(,V, conforme a escolha do par de varáves ndepes. No caso de processos térmcos, em que ocorrem varações de temperatura no sstema analsado, é de fundamtal mportânca a utlzação das capacdades calorífcas (C dos materas volvdos. Bascamte, essas propredades represtam a quantdade de calor necessára para provocar uma varação untára na temperatura de uma quantdade P Q untára de um materal, de composção fxa, em processos específcos ( C. m As capacdades calorífcas mas usadas são: ( capacdade calorífca a pressão constante, defnda para processos a pressão constante e que pode ser represtada por H cp ; ( capacdade calorífca a volume constante, defnda para processos a vo- lume constante e que pode ser represtada por c V U. V

11 Fred & Lúco 10 Essas defnções permtem que, para materas de composção fxa em que c P e c V são conhecdos, varações da talpa em processos a pressão constante, H(,P, e da erga nterna em processos a volume constante, U(,V, podem ser calculados por meo de: H dh U du P V H d P U V dv dp H U c c P V d d (P (V I II No caso de sstemas bfáscos (gás-líqudo, gás-sóldo, sóldo-líqudo exste uma relação smples tre as propredades específcas do sstema ( M, as propredades especí- I II fcas das fases ndvduas ( M, M que formam o mesmo e as frações másscas ( x, x correspones a cada fase. al relação se basea no fato das propredades extsvas correspones serem avas para as partes em que se subdvde um sstema. Para o caso em questão pode-se escrever: I II M x M x M I II I (x x II 1 Dtre os modelos usados para represtar o comportamto de materas, destacam-se os modelos de gás deal (para gases a baxa pressão e de substânca ncompressível (para líqudos e sóldos. A represtação desses modelos é feta por meo de: Gás deal : PV R ; U( ; H( ; c ( c ( R P V Subst. ncompr.: V cte ; U( ; H(,P ; c ( c ( P V