Distribuição de Probabilidade Discreta

Transcrição

1 Instituto de Física da Universidade de São Paulo Distribuição de Probabilidade Discreta (Trevo) de abril de 2014 P. R. Pascholati

2 Pro logo Distribuic a o Multinomial Trevo Parque da Previde ncia - Sa o Paulo P. R. Pascholati Distribuic a o de Probabilidade Discreta

3 Sumário Prólogo 1 Prólogo 2 3

4 Prólogo Esta apresentação é parte das distribuições de probabilidade de interesse em Física: Distribuição Binomial, Distribuição de Poisson e Distribuição de Gauss (Gauβ). Enfatizando o que já foi adiantado na apresentação de distribuição binomial: a distribuição binomial é geralmente aplicada a experimentos onde há um número pequeno de possíveis eventos; a distribuição de Poisson é apropriada para descrever experimentos cujos eventos são contagens onde os dados representam um certo número de eventos observados por unidade de intervalo; e A distribuição de Gauss ou normal descreve as observações aleatórias de uma vasta gama de experimentos. Trevo Classificação científica ou taxinomia (sistema de Karl von Linnée ou Carolus Linnaeus) Reino: Plantae, Divisão: Magnoliophyta, Classe: Liliopsida, Ordem: Fabales, Família: Fabaceae, Genero: Triofolium.

5 Sumário Prólogo 1 Prólogo 2 3

6 Solução da Prólogo 1 (0,9) Quantos algarismos significativos tem os números dos itens que seguem? Justifique as respostas. 230,780 0, ,650 2 (1,2) Faça o arredondamento dos números dos itens que seguem? Justifique as respostas. para quatro algarismos significativos: 131,50 0, para seis algarismos signficativos: 3, ,7500

7 Considere uma amostra de 10 votantes tomados ao acaso de uma população onde 40 % dos votantes sufragam o candidato A. Pergunta-se: (0,5) Qual a probabilidade de apenas dois votantes sufragar esse candidato? (1,0) Qual é a probabilidade de que 50% dos votantes sufragem o outro cadidato?

8 Um grupo de três de alunos fez 90 lançamentos de três dados com quatro lados anotando os valores obtidos. A tabela 1 apresenta a soma dos resultados obtidos para cada trio de dados lançado. Tabela : Somas dos resultados obtidos para 90 lançamentos de três dados com quatro lados P. 7R. Pascholati 7 7 8Distribuição 9 de10 Probabilidade 12 Discreta

9 a) (0,5) Confeccione uma tabela para conter as respostas finais dos itens b), c) e e). b) (0,8) Quais são os eventos possíveis de ocorrer nessa experiência? Justifique. c) (0,8) Obtenha a ocorrência para cada um dos eventos possíveis. d) (1,0) Construa o histograma dos resultados apresentados na Tabela 1. e) (0,4) Obtenha, também, a ocorrência relativa correspondente.

10 Na Figura 1 são apresentados graficamente os resultados de N medições do tempo de 10 oscilações de um pêndulo simples. Estime: a) (0,3) o número de medições N; b) (1,0) a média dessa distribuição; c) (1,0) o desvio padrão da mesma; e d) (0,6) o desvio padrão da média.

11 Figura : Resultados de N medições do intervalo de tempo de 10 oscilações de um pêndulo simples.

12 Sumário Prólogo 1 Prólogo 2 3

13 Expressão A distribuição binomial pode ser generalizada considerando repartição do espaço amostral em H eventos Y 1, Y 2,..., Y H, mutuamente exclusivos e com probabilidade p 1, p 2,..., p H, tal que os p i, i = 1, H satisfaçam a condição de normalização ( H 1 )p i = 1). Então em N tentativas, a probabilidade de que o evento Y 1 ocorra n 1 vezes, Y 2 ocorra n 2 vezes,... e Y H ocorra n H vezes é obtida por: N! P N;p1,p 2,...p H (n 1, n 2,..., n H ) = n 1!n 2!... n H! (p 1) n 1 (p 2 ) n 2... (p H ) n H (1) Para H for igual a 2 a equação 1 se torna a distribuição binomial.

14 Aplicações Qual a probabilidade de ao se lançar um dado de seis lados nove vezes, se encontrar 3 lados 1, 2 lados 6, e os demais lados uma vez.

15 Aplicações Qual a probabilidade de ao se lançar um dado de seis lados nove vezes, se encontrar 3 lados 1, 2 lados 6, e os demais lados uma vez. Solução: Inicialmente é preciso identificar os eventos do espaço amostra. Evento 1 é encontrar três lados 1 para cima, evento 2 é encontrar dois lados seis e evento 3 encontrar os demais lados uma vez.

16 Aplicações Qual a probabilidade de ao se lançar um dado de seis lados nove vezes, se encontrar 3 lados 1, 2 lados 6, e os demais lados uma vez. Solução: Inicialmente é preciso identificar os eventos do espaço amostra. Evento 1 é encontrar três lados 1 para cima, evento 2 é encontrar dois lados seis e evento 3 encontrar os demais lados uma vez. O número de lançamentos, N, é 9 e a probabilidade de acontecer de um lado específico de um dado para cima é p i = 1 6. Assim a probabilidade de acontecer o evento 1 é p 1 = 1 6, o evento 2 é p 2 = 1 6 e o evento 3 qualquer lado é p 3 = 4 6, esta é a diferença entre 1 e a soma da duas outras probabilidades. P N; 1 6, 1 6, 4 (3, 2, 4) = 9! 6 3!4!2! ( 1 6 ) 3 ( 1 6 ) 2 ( ) 4 4 (2) 6

17 Aplicações Qual a probabilidade de ao se lançar um dado de seis lados nove vezes, se encontrar 3 lados 1, 2 lados 6, e os demais lados uma vez. P N; 1 6, 1 6, 4 (3, 2, 4) = 9! 6 3!4!2! ( 1 6 ) 3 ( 1 6 ) 2 ( ) 4 4 (3) 6 = ! ! 2 1 = 7 5 ( 1 6 ) 5 ( ) 4 4 = ( 1 6 ) 5 ( ) (4) ( ) 1 3 ( ) = = 8960 = 0, 0320 (5)

18 Aplicações Uma fábrica de lâmpadas coloridas produz 50% de lâmpadas verdes, 20% de lâmpadas azuis e 30% de lâmpadas amarelas. Qual é a probabilidade de em 6 lâmpadas 2 sejam verdes, 3 azuis e 1 amarela. Qual é a probabilidade de em 8 lâmpadas 4 sejam verdes, 2 azuis e 2 amarelas.

19 Aplicações Uma fábrica de lâmpadas coloridas produz 50% de lâmpadas verdes, 20% de lâmpadas azuis e 30% de lâmpadas amarelas. Qual é a probabilidade de em 6 lâmpadas 2 sejam verdes, 3 azuis e 1 amarela. Qual é a probabilidade de em 8 lâmpadas 4 sejam verdes, 2 azuis e 2 amarelas. Solução: Inicialmente é preciso identificar os eventos do espaço amostral: evento 1 é encontrar duas lâmpadas de cor verde, evento 2 é encontrar três lâmpadas de cor azul e evento 3 encontrar uma lâmpada de cor amarela. As probabilidades são p 1 = 1/2 para lâmpdas de cor verde, p 2 = 1/5 para lâmpadas de cor azul e p 3 = 3/10 para lâmpadas de cor amarela.

20 Aplicações Uma fábrica de lâmpadas coloridas produz 50% de lâmpadas verdes, 20% de lâmpadas azuis e 30% de lâmpadas amarelas. Qual é a probabilidade de em 6 lâmpadas 2 sejam verdes, 3 azuis e 1 amarela. Continuação da solução: O número de tentativas, N, é 6. P 6; 1 2, 1 5, 3 (2, 3, 1) = 6! 10 2!3!1! = ! 2 3! 1 ( 1 2 ) 2 ( ) 1 3 ( ) 3 1 = ( ) 1 2 ( ) 1 3 ( ) (6) ( ) 1 2 ( ) (7) = = = = 36 = 0, 036 (8) 1000

21 Aplicações Uma fábrica de lâmpadas coloridas produz 50% de lâmpadas verdes, 20% de lâmpadas azuis e 30% de lâmpadas amarelas. Qual é a probabilidade de em 8 lâmpadas 4 sejam verdes, 2 azuis e 2 amarelas. Solução: O número de tentativas, N, é 8. P 8; 1 2, 1 5, 3 (4, 2, 2) = 8! ( ) 1 4 ( ) 1 2 ( ) 3 2 (9) 10 4!2!2! = ! ( ) 1 4 ( ) 1 2 ( ) 3 2 (10) 4! = ( 1 2 ) 2 ( 1 5 ) 1 ( 3 10 ) 2 = P. R. Pascholati Distribuição 945 de Probabilidade Discreta (11)

22 Aplicações Uma fábrica de lâmpadas coloridas produz 50% de lâmpadas verdes, 20% de lâmpadas azuis e 30% de lâmpadas amarelas. Qual é a probabilidade de em 10 lâmpadas 5 sejam verdes, 2 azuis e 3 amarelas. Solução: O número de tentativas, N, é 10. P 10; 1 2, 1 5, 3 (5, 2, 3) = 10! 10 5!2!3! ( ) 1 5 ( ) 1 2 ( ) 3 3 (13) = ! 5! ( 1 2 ) 5 ( 1 5 ) 2 ( 3 10 ) 3 (14) = ( 1 2 ) 2 ( 1 5 ) 1 ( 3 10 ) 3 = (15)

23 Aplicações Uma fábrica de lâmpadas coloridas produz 50% de lâmpadas verdes, 20% de lâmpadas azuis e 30% de lâmpadas amarelas. Qual é a probabilidade de em 10 lâmpadas 5 sejam verdes, 2 azuis e 3 amarelas. Continuação da solução: P 10; 1 2, 1 5, 3 (5, 2, 3) = (16) = = = 8505 = 0, (17)