Aula 02: Probabilidade

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1 ITA - Laboratório rio de Guerra Eletrônica EENEM 2008 Estatística stica e Probabilidade Aula 02: Probabilidade

2 população probabilidade (dedução) inferência estatística stica (indução) amostra

3 Definições Um experimento é qualquer processo que permite ao pesquisador fazer observações Um evento é uma coleção de resultados de um experimento O espaço amostral de um experimento consiste de todos os eventos possíveis

4 Exemplo experimento: lançamento amento de dois dados evento: soma dos valores é par espaço amostral: S = { (1,1), (1,3), (1,5), (2,2), (2,4), (2,6), (3,1), (3,3), (3,5), (4,2), (4,4), (4,6), (5,1), (5,3), (5,5), (6,2), (6,4), (6,6) }

5 Definição clássica Suponha que um experimento tenha n eventos simples diferentes, cada um dos quais com a mesma chance de ocorrer.. Se o evento A pode ocorrer em s dentre as n maneiras, então: P(A) = nº n de maneiras como A pode ocorrer = s nº de eventos simples diferentes n

6 Aproximação da probabilidade pela freqüência relativa Realize (ou( observe) um experimento um grande número de vezes e conte quantas vezes o evento A ocorre efetivamente. Então P(A) é estimada como segue: P(A) = nº n de ocorrências de A nº de repetições do experimento

7 Lei dos grandes números Se se repete um experimento um grande número de vezes a probabilidade pela freqüência relativa de um evento tende para a probabilidade teórica rica.

8 Exemplo no Excel Estimar a probabilidade de sair um número qualquer quando lançamos amos um dado não viciado

9 Definições A probabilidade de um evento impossível é 0 A probabilidade de um evento cuja ocorrência é certa é igual a 1 0 P(A) 1 para qualquer evento A O complemento de um evento A, denotado por A, consiste em todos os resultados em que A não ocorre: P(A ) ) = 1 1 P(A)

10 Eventos complementares P(A) P(A ) ) = 1 P(A) Diagrama de Venn área total = 1

11 Regra da adição P(A B) = P(A) + P(B) P(A B)

12 A A B B

13 Definição Os eventos A e B dizem-se mutuamente excludentes se não podem ocorrer simultaneamente P(A B) = 0

14 Exercício cio a) Determine o evento A em que exatamente dois em três componentes funcionam b) evento B em que pelo menos dois dos componentes funcionam c) evento C em que o sistema funciona d) eventos C,, A C, A A C, A B C B C e B C 3

15 Exercício cio 6 Uma empresa de engenharia está construindo três fábricas em locais diferentes. Seja A i o evento de que a fábrica no local i é completada na data contratada.. Use as operações de união, interseção e complemento para descrever cada uma das situações a seguir em termos de A 1, A 2 e A 3, desenhe diagramas de Venn e sombreie a região correspondente a cada uma:

16 Exercício cio 6 (cont.) a) pelo menos uma fábrica é completada na data contratada b) todas as fábricas são completadas na data contratada c) somente a fábrica no local 1 é terminada na data contratada d) exatamente uma fábrica é construída na data contratada e) tanto a fábrica do local 1 ou ambas dos outros dois são construídas até a data contratada

17 Exercício cio 7 Um sistema pode apresentar três tipos diferentes de defeitos A i (i = 1,2,3) P(A 1 )=.12 P(A 2 )=.07 P(A 3 )=.05 P(A 1 A 2 )=.13 P(A 1 A 3 )=.14 P(A 2 A 3 )=.10 P(A 1 A 2 A 3 )=.01

18 Exercício cio 7 (cont.) a) qual a probabilidade de que o sistema não apresente um defeito tipo 1? b) qual a probabilidade de que o sistema tenha tanto o defeito tipo 1 quanto o defeito tipo 2? c) qual a probabilidade de que o sistema tenha tanto o defeito 1 quanto o defeito tipo 2 mas não apresente o defeito tipo 3? d) qual a probabilidade de que o sistema tenha pelo menos dois dos defeitos?

19 Técnicas de contagem Permutações Qualquer seqüência ordenada de k objetos tomados de um conjunto de n objetos distintos é chamada uma permutação de tamanho k dos objetos.. O número de permutações de tamanho k que podem ser construídas dos n objetos é denotado por P k,n

20 Exemplo Existem vagas de representação em dois países ses: Estados Unidos e Japão. Cinco pessoas concorrem a essas vagas. Quantas duplas podem ser formadas, considerando-se se que cada pessoa pode concorrer a apenas uma vaga?

21 1 a vaga EUA 2 a vaga Japão Conjuntos ordenados (a ordem interessa) A B C D E A (A,B) (A,C) (A,D) (A,E) B (B,A) (B,C) (B,D) (B,E) C (C,A) (C,B) (C,D) (C,E) D (D,A) (D,B) (D,C) (D,E) E (E,A) (E,B) (E,C) (E,D) n 2 - n = n (nn (n-1) 25-5 = 5 x 4 = 20

22 Exemplo Existem vagas de representação em três países ses: Alemanha, Estados Unidos e Japão. Cinco pessoas concorrem a essas vagas. Quantos trios podem ser formados? 5 x 4 x 3 = 60 1 a vaga 2 a vaga 3 a vaga

23 Permutações P k,n = n(n 1)(n 2)...(n k+2)(n k+1) Fatorial: m! = m(m 1)(m 2)...(2)(1) 0! = 1 P k,n = n(n 1)(n 2)...(n k+2)(n k+1) (n k)(n k 1)...(2)(1) (n k)(n k 1)...(2)(1) P k,n = n! (n k)!

24 Exercício cio 8 Existem oito assistentes de aula disponíveis para corrigir provas.. O exame consiste de quatro questões e o professor decide que cada assistente corrigirá apenas uma delas.. De quantas maneiras os assistentes podem ser escolhidos?

25 Técnicas de contagem Combinações Dado um conjunto de n objetos distintos, qualquer subconjunto não- ordenado de tamanho k dos objetos é chamado uma combinação ão.

26 Exemplo Existem duas vagas de representação nos Estados Unidos. Cinco pessoas concorrem a essas vagas. Quantas duplas podem ser formadas?

27 Conjuntos não ordenados (a ordem não interessa) A B C D E A (A,B) (A,C) (A,D) (A,E) B (B,A) (B,C) (B,D) (B,E) C (C,A) (C,B) (C,D) (C,E) D (D,A) (D,B) (D,C) (D,E) E (E,A) (E,B) (E,C) (E,D) n 2 - n = n (nn (n-1) 2 2

28 Técnicas de contagem Combinações O número de combinações de tamanho k que podem ser formadas de n objetos distintos será denotada por: C k,n k,n = n k ( ) = P k,n k,n = n! k! k!(n k)!

29 Exercício cio 9 Uma empresa de aluguel de carros tem 10 carros estrangeiros e 15 carros nacionais disponíveis veis. Entretanto, somente seis carros podem ser alugados ao mesmo tempo. Qual a probabilidade de que os carros escolhidos sejam 3 estrangeiros e 3 nacionais?

30 Probabilidade condicional P(A B) = P(A B) P(B) Observe que: : P(A B) P(B A)

31 A A B B

32 Exercício cio 10 automóvel esportivo branco azul cor preto vermelho transmissão A M Seja A={transmissão automática tica}, B={preto preto} } e C={branco branco} a) calcule P(A), P(B) e P(A B) b) calcule P(A B) e P(B A) e explique no contexto da situação o que representam c) calcule e interprete P(A C) e P(A C )

33 A lei da probabilidade total Sejam A 1,...,A k eventos mutuamente exclusivos e exaustivos. Então, para qualquer outro evento B: P(B) = P(B A 1 )P(A 1 ) P(B A k )P(A k ) = k Σ i=1 P(B A i )P(A i )

34 A lei da probabilidade total A 1 A 3 A 6 A 2 A 4 A 5 A 7 B

35 Teorema de Bayes Sejam A 1,...,A k uma coleção de eventos mutuamente exclusivos e exaustivos. Então, para qualquer outro evento B: P(A j B) ) = P(A j B) ) = P(B A j )P(A j ) k Σ i=1 P(B) P(B A i )P(A i )

36 Exercício cio 11 Suponha que 60% dos chips do computador de uma companhia sejam produzidos pela fábrica A e 40% por outra fábrica (denotada por A ). Suponha que um chip se revele defeituoso e que as taxas de defeito nas duas fábricas sejam 35% para A e 25% para A.. Com auxílio do teorema de Bayes, determine a probabilidade de que o chip defeituoso seja da fábrica A.

37 Independência Dois eventos são independentes se a ocorrência de um deles não afeta a probabilidade de ocorrência do outro

38 Experimento: fazer uma prova de Estatística stica A passar na prova sem ter assistido às aulas assistir aulas e passar na prova B não assistir aulas e não passar na prova assistir aulas mas não passar na prova P(A B) = assistir aulas e passar na prova

39 Exemplo Existem 2 bolas verdes e 3 bolas vermelhas em uma caixa A probabilidade de se retirar uma bola verde numa segunda retirada depende da cor da primeira bola

40 2/5 3/5 1 x 2 = x 3 =

41 Exemplo Existem 2 bolas verdes e 3 bolas vermelhas em uma caixa Se considerarmos a reposição da primeira bola o evento retirar uma bola verde na segunda tentativa torna-se independente da primeira Portanto,, a relação de dependência pode ser sutil, surgindo da maneira como o experimento é construído ou interpretado

42 Exemplo Os motores de um avião podem ser considerados independentes sob certas circunstâncias, aumentando a confiabilidade da aeronave p(falha 1 motor) = 0,1 p(falha 2 motores) ) = (0,1) 2 = 0,01

43 Exemplo Entretanto, eles podem também ser considerados dependentes se verificamos que existe apenas um sistema de combustível na aeronave ou que somente uma equipe de manutenção verifica todos os motores e pode cometer os mesmos erros de ajuste

44 Independência Dois eventos A e B são ditos independentes se P(A B) = P(A) A e B são independentes se e somente se (sse( sse): P(A B) = P(A).P(B)

45 Exercício cio 12 Os pilotos de um certo esquadrão têm índice de acerto no bombardeio igual a 40%. Qual a probabilidade de que pelo menos uma bomba atinja o alvo, sabendo-se se que quatro aeronaves (uma esquadrilha) desse esquadrão realizam o ataque e que cada uma faz somente um passe com um lançamento amento?

46 Exercício cio 13 Nas condições do exercício cio 12, quantas aeronaves são necessárias para que a probabilidade de sucesso na missão seja de pelo menos 95%?

47 Exercício cio Se os componentes trabalham independentemente um do outro e P(componente funciona) ) = 0.9, calcule P(sistema funciona).