Desemprego e Flexibilidade de Salários em um Contexto Evolucionário

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1 Deemprego e Flexbldade de Saláro em um Contexto Evoluconáro Jorge Eduardo de Catro Soromenho Jaylon Jar da Slvera Reumo Nete artgo apreentamo um modelo de ogo evoluconáro, por meo do qual dcutmo a relaçõe entre flexbldade de aláro e deemprego, em uma economa com barganha alara decentralzada. A etratéga do trabalhadore contem em um número fnto, porém arbtraramente grande, aláro nomna, e a frma ecolhem o níve de emprego maxmzadore de lucro. Motramo que: 1) o modelo comporta múltplo equlíbro com homogenedade de aláro nomna (de etratéga pura) e com heterogenedade de aláro nomna (de etratéga mta); 2) o equlíbro de médo prazo é eleconado por um proceo de aprendzagem ocal, repreentado como uma dnâmca replcadora; e 3) conceber a varação do aláro nomna como um proceo evoluconáro, no qual o trabalhadore procuram a melhor etratéga, mplca que a economa não tende necearamente ao pleno emprego. Palavra-Chave modelo keyneano, deemprego, ogo evoluconáro Unemployment and Wage Flexblty n an Evolutonary Settng Abtract We make ue of an evolutonary game approach to tudy the relaton between wage flexblty and unemployment n an economy wth decentralzed wage bargan. In our model, labor unon pck a nomnal wage out of a fnte et wth cardnalty n 2 n each perod, whle frm chooe employment level that maxmze ther proft. We are able to how that: 1) the economy preent multple equlbra, ome are characterzed by homogenety of nomnal wage (pure trategy equlbrum) and other by heterogenety of nomnal wage (mxed trategy equlbrum); 2) the medum-run equlbrum elected by a ocal learnng proce, gven by a replcator dynamc; and 3) the elected medum-run equlbrum may not be the full employment equlbrum. Keyword keynean model, unemployment, evolutonary game JEL Clafcaton E12, C73 Artgo recebdo em outubro de 2009 e aceto para publcação em feverero de 2011 Departamento de Economa FEA-USP - Endereço para contato: Av. Prof. Lucano Gualberto, Cdade Unvertára - São Paulo - SP - CEP Emal: ec@up.br. Departamento de Cênca Econômca - Unverdade Federal de Santa Catarna - UFSC - Campu Unvertáro - Centro Sóco-Econômco - Trndade - Floranópol - SC - CEP Emal: aylon@ce.ufc.br. Et. econ., São Paulo, v. 41, n. 2, p , abrl-unho 2011

2 270 Deemprego e Flexbldade de Saláro em um Contexto Evoluconáro 1 Introdução Na lteratura macroeconômca keyneana, a flexbldade de aláro nomna é crucal para garantr a autoequlbração da economa no pleno emprego. Há do modo cláco de conceber e formalzar a flexbldade. 1 Prmero, e o aláro e auta ntantaneamente ao exceo de demanda, dz-e que ele é perfetamente flexível. Nete cao, ele é varável endógena, e o pleno emprego é o únco equlíbro poível. Segundo, e o aláro nomnal, embora rígdo no curto prazo, muda em decorrênca do exceo de demanda ao longo do tempo, caracterza-e a flexbldade mperfeta. Em geral, o egundo cao é formalzado por meo de equaçõe dferenca ou a dferença fnta, cua epecfcação aegura que a taxa de varação do aláro apreenta o memo nal do exceo de demanda no mercado de trabalho. Am, a própra defnção do proceo de tâtonnement garante que a únca traetóra etaconára é a de pleno emprego. Evdentemente, a flexbldade mperfeta, ao contráro da prmera, permte a nvetgação de propredade dnâmca ntereante, notadamente em decorrênca do efeto rqueza (Pgou - Patnkn - Haberler), Keyne e Mundell. 2 É poível, então, que o equlíbro de pleno emprego ea ntável; não obtante, ele anda é o únco admível - e, em verdade, na maor parte do modelo dnâmco, o equlíbro cláco é um atrator local. Em uma, a dua forma conagrada de dcutr a flexbldade de aláro proporconam, de modo geral, o memo reultado: na auênca de rgdez nomnal, a economa captalta, ao contráro do que propô o própro Keyne, equlbram-e no pleno emprego. A flexbldade de aláro pode, alternatvamente, er examnada num ambente de ogo evoluconáro (Soromenho & Slvera, 2008). Sob ea perpectva, varaçõe do aláro nomna não ma reultam do proceo quae mecânco (Koopman, 1957) decrto pela equação de tâtonnement, ma m da ecolha de dferente alternatva ou etratéga por parte do trabalhadore. Em Soromenho & Slvera (2008), a dua etratéga dponíve para o trabalhadore ão exgr um epecífco aláro rígdo ou optar pela perfeta flexbldade. A egunda etratéga garante o emprego a todo o que acetam o aláro flexível. Obtém-e, então, um modelo no qual extem do etore, keyneano e cláco. A egunda etratéga, embora útl para o propóto daquele artgo, traz congo a prema de que há algum proceo de barganha - não modelado explctamente -, que e deenrola a uma velocdade relatvamente alta (tecncamente nfnta) e aegura que o aláro nomnal acordado guale o aláro real à produtvdade margnal no nível de pleno emprego do etor cláco. 1 Ver, por exemplo, Hahn & Solow (1997) e Tobn (1993 e 1994). 2 Ver Sargent, (1987) e, prncpalmente, Flachel, Frenke & Semmler (1994, capítulo II e III). O trabalho cláco nea lnha de nvetgação é de Tobn (1975); o memo autor apreenta em do artgo uma aprecação ampla obre a longa controvéra a repeto da etabldade no modelo keyneano (Tobn, 1993 e 1994). Et. Econ., São Paulo, 41(2): , abr.-un. 2011

3 Jorge Eduardo de Catro Soromenho, Jaylon Jar da Slvera 271 Nete trabalho adotamo um enfoque dferente. Para dcutr a relaçõe entre flexbldade alaral e deemprego, upomo que a etratéga do trabalhadore contem em um número fnto, porém arbtraramente grande, de aláro nomna. Decartamo, portanto, a preença de um etor cláco no molde delneado acma. Não obtante, o modelo deve, evdentemente, comportar o pleno emprego como pobldade. Am, dado o parâmetro, em epecal o dpêndo autônomo, um do aláro nomna poíve deve er tal que, e todo o trabalhadore da economa optarem por ele, vgora a taxa natural de deemprego. A ecolha da etratéga é um proceo decentralzado - como é típco de uma economa de mercado -, no qual dferente aláro podem, em prncípo, coextr num memo ntante do tempo. Cabe, então, ao própro proceo dnâmco mcrofundamentado eleconar o equlíbro. A dcuão da relaçõe entre aláro nomna e deemprego paa a er concebda como uma ecologa de regra e a quetão é aber e - e ob que crcuntânca - é poível garantr que o equlíbro de pleno emprego é um atrator. O artgo etá organzado da egunte forma: na eção 2 é apreentado o modelo báco etátco de curto prazo; na eção 3, formalzamo o proceo de ecolha da etratéga ou aláro nomna que ocorrem na tranção entre período; apreentae na eção 4 o tema dnâmco de médo prazo que reulta dee proceo; ão dcutdo, na eção 5, o múltplo equlíbro que o médo prazo comporta - epecfcamente, provamo a extênca de equlíbro de etratéga pura e mta; na eção 6, demontramo que todo o equlíbro de etratéga pura, o qua correpondem a dferente níve de emprego, ão atratore loca e que, portanto, a economa não tende, em geral, à plena ocupação da mão-de-obra; na eção 7 apreentamo uma mulação que lutra a coevolução do aláro rea, do níve de emprego total e do níve de emprego aocado a cada etratéga; encerramo o artgo com a eção 8, apreentando a concluõe e uma breve nterpretação de Keyne à luz do modelo propoto. 2 O Modelo Báco Sea uma economa na qual é produzdo um únco tpo de bem por h frma. No níco de período, em cada frma e de forma decentralzada, empreáro e colegado de trabalhadore negocam aláro nomna. Supomo o egunte arrano nttuconal: em cada emprea, o trabalhadore (ou colegado) mpõem, no níco de período, um epecífco aláro nomnal, ma não podem aegurar o aláro real e a manutenção de eu emprego, que reultam do funconamento da economa como um todo. O crtéro que predem ua ecolha erão dcutdo ma adan-an- Et. Econ., São Paulo, 41(2): abr.-un. 2011

4 272 Deemprego e Flexbldade de Saláro em um Contexto Evoluconáro te. Formalmente, defnmo 2 etratéga ndcada pelo aláro nomna w, = 1,.... Frma e trabalhadore podem, então, er agrupado em etore ndexado egundo a etratéga adotada pelo colegado. No curto prazo, a produção de uma frma típca ou repreentatva do etor é uma função Cobb-Dougla do número de trabalhadore, L, e do etoque de captal, K, que upomo contante e gual para a frma de todo o etore: A frma maxmzam lucro ao gualarem a produtvdade margnal do trabalho ao aláro real, o que permte obter a demanda de trabalho e a oferta de produto da frma típca do váro etore: (1) (2) (3) Seam: N o total de trabalhadore; N o número de trabalhadore do etor ; U o total de deempregado; e h o número de emprea na qua vgora a etratéga. Condere a egunte defnçõe: n = N / N 0; u = U / N 0; e α = h / h 0. Evdentemente, ea economa deve atender à retrçõe natura: (4) O total de trabalhadore no etor é N = hl. Normalzando por N, temo n = α L / c, onde c é a relação entre o tota de trabalhadore e de frma da economa, N / h. Am, a demanda de trabalho normalzada do etor é: (5) Et. Econ., São Paulo, 41(2): , abr.-un. 2011

5 Jorge Eduardo de Catro Soromenho, Jaylon Jar da Slvera 273 A oferta de produto de cada etor é h f ().. Dvdndo pelo número total de frma, h, defnmo a oferta normalzada por y = α f ().. Logo, Somando a produção de (6) todo o etore, obtemo a oferta agregada (gualmente normalzada por h ): (7) Completamo o modelo de curto prazo com uma demanda agregada, gualmente normalzada pelo número total de frma, que é função do nível de preço e de um parâmetro A > 0 : (8) A função pode er nterpretada como reultado da ubttução de uma LM numa IS. A dependênca em relação ao nível de preço é uma forma ntétca de ncorporar o efeto Keyne e rqueza; o parâmetro A capta o dema fatore que afetam a demanda (gato autônomo, etoque de moeda etc). O equlíbro no mercado de produto requer, portanto, que: (9) onde. Iolando p em (9) obtemo o preço de equlíbro: 3 endo α ( α α ) 1,... (10) = o vetor de dtrbução etoral da frma. Subttundo (10) em (5), dentfcamo o níve etora de emprego: mplemente por p empre que nextr ambgudade. O memo procedmento erá adotado para a dema funçõe. 3 Por economa de notação, degnaremo p ( α, A) Et. Econ., São Paulo, 41(2): abr.-un. 2011

6 274 Deemprego e Flexbldade de Saláro em um Contexto Evoluconáro (11) Sea = { α R + : = 1α = 1}. A oluçõe (10) e (11), que defnem o equlíbro de curto prazo e atendem à retrção natural da frma, ão funçõe p : R++ R++ e n : R++ R+. Defnmo o nível de emprego total e a taxa de deemprego por: 4 (12) (13) No curto prazo, o nível de preço e a taxa de emprego por etor repondem a varaçõe do componente autônomo da demanda agregada de modo uual: (14) (15) 3 A Ecolha da Etratéga Condere o tempo como uma varável contínua. A taxa de varação do número de emprea de um etor pode er exprea como a dferença entre o nfluxo (obrecrto I) e o efluxo (obrecrto E) da frma para ee etor: (16) Como o total de frma é contante, dvdndo ambo o lado por h obtemo: 4 Oberve que, para atender à retrção natural do trabalhadore, é neceáro mpor uma condção adconal a repeto do componente autônomo da demanda, a aber, A deve er tal que η 1. Et. Econ., São Paulo, 41(2): , abr.-un. 2011

7 Jorge Eduardo de Catro Soromenho, Jaylon Jar da Slvera 275 (17) O colegado de trabalhadore de uma emprea do etor compara eu reultado com o de outra emprea ecolhda aleatoramente egundo uma dtrbução unforme. Am, a probabldade de um colegado de trabalhadore do tpo comparar eu payoff com um colegado do tpo é dada por: tal que P( ) = = 1, 1. (18) Na comparação de reultado, upomo que o colegado de trabalhadore levam em conderação o aláro rea e a probabldade de aegurar o emprego, que conderamo gual à taxa de deemprego efetva vgente - para o etor, por exem- n / n + u. Defnmo, então, plo, ea taxa é ( ) (19) O reultado têm, portanto, o etatuto de aláro rea eperado. Supomo que a mudança de etratéga ó e efetva cao a dferença de aláro rea eperado, obtda pela comparação em pare, ea uperor a uma dferença mínma ε, que defnmo com uma varável aleatóra com função dendade de probabldade un- a, a, onde,. 5 Logo, a proba- forme com uporte [ ] bldade de um agente revor mudar de etratéga é: (20) 5 A varável aleatóra ε pode er vta como a dferença entre dua varáve aleatóra ε ε e aocada ao colegado de trabalhadore do tpo e, repectvamente. Como alenta Webull (1995, p. 157), ea varáve podem er nterpretada como erro ou ruído de obervação do agente ou anda como dferença doncrátca entre a preferênca do agente. Nachbar (1990) ugere uma outra nterpretação para ε, a aber, um cuto de mudança de etratéga, não etabelecdo de manera determnta e pago ntantaneamente no momento da efetvação da mudança. Qualquer dea trê forma de nterpretar a varável aleatóra ε era aproprada para o cao em anále. Et. Econ., São Paulo, 41(2): abr.-un. 2011

8 276 Deemprego e Flexbldade de Saláro em um Contexto Evoluconáro onde z é a dferença de reultado. Am, um revor adota a etratéga e: (1) compara eu reultado com o de, P a probabldade de o ocorrer; (2) e z = ω ω > ε, cua probabldade endo (, ) é dada por (20). Logo, ubttundo (19) em (20) e multplcando por P(, ), obtemo a probabldade de um revor mgrar para a etratéga : (21) Procedendo de modo análogo para o cao de um revor, dentfcamo a probabldade dele adotar a etratéga : (22) Supondo que todo o colegado de trabalhadore avalam ua ecolha multaneamente e uma únca vez a cada undade de tempo, o total de revore efetvo do tpo que mgram para a etratéga é obtdo multplcando a probabldade (21) por h. Somando obre, dentfcamo o efluxo da população de frma : 1 h E h = h a + 2ah ( ω ω). (23) Efetuando a mema operação para o agente da dema etratéga, obtemo o nfluxo para : (24) Ao ubtturmo a dua últma equaçõe em (17), temo a taxa de varação da emprea da população : 6 (25) 6 A ncluão do elemento α ( ω ω) Et. Econ., São Paulo, 41(2): , abr.-un no omatóro mplemente faclta a notação.

9 Jorge Eduardo de Catro Soromenho, Jaylon Jar da Slvera O Stema Dnâmco A equação (25) permte dentfcar o fluxo para a etratéga. Com etratéga, temo o egunte tema dnâmco, que ncorpora a oluçõe do curto prazo: onde (26) (27) Como α = 0, há 1 equaçõe ndependente. O epaço de etado do tema é o conunto = { α R + : = 1α = 1}, ou ea, o mplex untáro de dmenão 1, que é um ubconunto não vazo, compacto e convexo de R. Denotamo por e, = 1,..., o vértce do mplex,. e., o vetore cua coordenada é gual a um e a dema gua a zero. Cada vértce é dto uma etratéga pura. Indcamo por nt ( ) { α : α 0, } : α R 1 = 1α = ) do mplex; e por ( ) { α : α nt( ) } { } = > o nteror (relatvo ao hperplano = a borda ou frontera do mplex. Am, um vetor pertencente à borda pou pelo meno uma coordenada gual a zero. Suponha que noa atenção etea focada no comportamento do tema no cao em que mantemo alguma etratéga permanentemente zerada. Sea L o conunto da etratéga remanecente. Indcamo por #L o fecho convexo da etratéga pura pertencente a L e por nt( # L ) e ( #L ) o nteror (relatvo) e a borda de #L, repectvamente. Oberve que: (a) um vetor pertencente a nt ( # L ),# L< pertence, por defnção, a ( ); e (b) e α L, então, α = 0. Ante de analarmo o equlíbro e ua propredade, é neceáro dcutr do ponto: prmero, dentfcar como o nível de emprego total η e comporta no, mplex; egundo, examnar ob que hpótee a relaçõe φ ão funçõe contnuamente dferencáve em, para podermo utlzar o ntrumento uua da anále dnâmca. Et. Econ., São Paulo, 41(2): abr.-un. 2011

10 278 Deemprego e Flexbldade de Saláro em um Contexto Evoluconáro () Varação do nível de emprego total no epaço de etado. Incalmente, condere a dervada da função emprego total defnda em (12): (28) A função η e ua dervada ão bem defnda e contínua para todo α pertencente a um conunto aberto contdo em R, tal que B 0. Porém é fechado e, em geral, não podemo defnr dervada parca em conunto fechado. Logo, para dcutrmo o comportamento de η no mplex, é convenente etender a funçõe e ua dervada obre um uperconunto aberto de. Nee entdo, condere o egunte hperplano formado pelo vetore α para o qua B é gual a zero e, portanto, η e ua dervada ão ndetermnada: (29) O conunto e H B ão fechado e dunto, po para qualquer α. Logo, 7 extem conunto aberto X 1 e X2 HB ta que X1 X2 = e podemo etender η e ua dervada obre X 1. Oberve que a mema extenão pode er feta para a funçõe 8 u e n, po u 1 η = e η = n. Admta, agora, em perda de generaldade, que w 1 é o menor aláro nomnal. Condere um vetor α e uma redução do número de emprea na qua é adotada a etratéga = 1. Conequentemente aumenta o número de emprea na qua vgoram etratéga alternatva, ou ea, o tema deloca-e para algum vetor α para o qual α1 < α1, α α, 1 e. A partr do vetor aplcado α α, contruímo o vetor untáro. A varação do nível total de emprego decorrente de uma alteração de α 1 na dreção do vetor ˆα é dada, então, pela dervada dreconal: 9 (30) 7 Ver, por exemplo, Lpchutz (1965: 115, teorema 8.8). 8 Para não obrecarregar a notação, utlzamo o memo ímbolo η e n para a funçõe etendda. 9 Note que, em decorrênca da extenão, a dervada parca do gradente ão contínua em X 1. Et. Econ., São Paulo, 41(2): , abr.-un. 2011

11 Jorge Eduardo de Catro Soromenho, Jaylon Jar da Slvera 279 Conderando a defnção de ˆα, temo, (31) o que permte reecrever a dervada dreconal como: (32) Oberve que é potvo para = 2,... e etrtamente potvo para pelo meno um. O nal de cada termo não nulo de (32) é gual, portanto, ao nal de Recordando (28), temo que: (33) Subttundo B e mplfcando, a expreão entre colchete fca: (34) Como α w 0, valendo a degualdade etrta para pelo meno um, uma 1/ β forma mple de dentfcar o nal de (33) é nterpretar: (35) w. Dado que é potvo e ( ) 1/ β 1/ β como uma função de w w1 é negatvo, po w1 < w para todo = 2,...,, a função é etrtamente decrecente com relação a w. Portanto, o eu valor máxmo ocorre em w = w 1 e é gual a 1 β ( ) w w1 w < 0. Logo, (35) é negatvo para todo. Por conegunte, η αˆ é negatvo. D α e o nal da dervada dreconal ( ) Et. Econ., São Paulo, 41(2): abr.-un. 2011

12 280 Deemprego e Flexbldade de Saláro em um Contexto Evoluconáro Concluímo, então, que uma redução do número de emprea na qua é adotada a etratéga de menor aláro nomnal dmnu o emprego. Segue-e que o maor 1 nível de ocupação da mão-de-obra ocorre em e. A Fgura 1 (a) lutra ee reultado para o cao em que = 3. Nela, um delocamento a partr de α em dreção a qualquer vetor tuado na regão cnza mplca redução do nível de emprego; na dreção do vetor traceado, a redução de α 1 reulta excluvamente em aumento de α ; 3 na dreção do vetor cheo preto, o aumento dar-e-á apena em α 2., () A funçõe φ ( α A),. A dcuão apreentada nete tem compreende do ponto: (1) garantr a defnção, φ para todo α pertencente ao mplex; e (2) etender ea função e ua dervada para um conunto aberto., Como a relaçõe φ = ω ω reultam de operaçõe elementare que envolvem a funçõe p, n e u, a qua ão defnda obre R ++, a dferença de aláro rea eperado erá função defnda obre o memo domíno cao ea operaçõe não reultem em ndetermnaçõe. Cada aláro real eperado, ω v, pou como p n + u. A função p aume valore etrtamente denomnador a expreão ( v ) n é gual a zero e ne- potvo; todava, n v [ 0,1]. Am, e α e A ão ta que v xte deemprego, u = 0, o aláro real eperado ωv = wn v v / p ( nv + u ), erá uma ndetermnação matemátca que convém evtar. O modo ma mple de fazê-lo é Et. Econ., São Paulo, 41(2): , abr.-un. 2011

13 Jorge Eduardo de Catro Soromenho, Jaylon Jar da Slvera 281 aegurar u > 0, o que pode er feto com bae numa hpótee epecífca a repeto de A. Nee entdo, oberve que abemo da anále precedente que o maor nível de 1 emprego ocorre em e. Auma 1 n1 1 n α, A apreentada α = = na defnção de ( ) em (11). Reolvendo (11) para A, reulta A cw ( β ) = /1, 1 ou ea, ó para ee epecífco valor do componente autônomo há pleno emprego quando toda a emprea etverem no etor um. 10 Logo, e A cw ( β ) /1 1, a ndetermnação de 1 aláro rea eperado ó pode ocorrer em e. Podemo upor, então, que n 0,1 e tão próxmo de um quanto queramo. A ncw /1 1 ( β ), endo ( ) Subttundo A ncw ( b ) = / 1 1 e α 1 = 1 em (11), obtemo n1 = n < 1. Conequentemente, aumndo ee lmte uperor para A, temo que u é etrtamente potvo para qualquer α, e toda a relaçõe φ ão funçõe defnda obre { A R++ : A ncw1 /( 1 β )}. Se quermo dar uma nterpretação econômca a uma hpótee que é apena uma convenênca matemátca, podemo defnr u = 1 n > 0 como a taxa de deemprego natural. Por últmo, vamo etender a funçõe, φ e ua dervada a um conunto aberto. Recorde a defnção dea funçõe em (27). O mínmo múltplo comum da dferença de aláro rea eperado é ( n + u )( n + u ) p. A dervada parca de, φ em relação a α terão, então, por denomnador, o quadrado dea expreão e envolverão a dervada parca da funçõe u, n e p. Sabemo que: (1) a extênca da funçõe u, n e p e de ua dervada em relação a α exgem B 0 ; 1 (2) p /( ( 1 ) ) β β β β A K β, = B 0. Portanto, a ndetermnação de φ e de ua dervada ocorre quando ( n + u )( n + u ) = 0 ou B = 0. Recorde H B defndo em (29)e forme o egunte conunto H { α R : n u 0} = + =, = 1,..., e H = = 1H HB. O conunto H é fechado, po é unão fnta de con unto fechado. Com a retrção A ncw /1 1 ( β ), a taxa de deemprego u é etrtamente potva para qualquer α. Logo, nenhum α pertencente ao mplex atende à defnção do conunto H ; adema, como analado anterormente, conunto e H ão dunto. Portanto, H =. Segue-e que, pelo memo B 10 Se o parâmetro A for maor que dee valor crítco, o epaço de etado relevante de um ponto de vta econômco é um ubconunto própro de e torna-e neceáro defnr uma frontera de pleno emprego, como fo feto em Soromenho e Slvera (2008). A hpótee que erá explctada ma adante evta ee nconvenente. Et. Econ., São Paulo, 41(2): abr.-un. 2011

14 282 Deemprego e Flexbldade de Saláro em um Contexto Evoluconáro teorema da eparação utlzado anterormente, extem conunto aberto e dunto X, 3 e X4 H. A funçõe φ podem, então, er etendda para o aberto X e ão contnuamente dferencáve para todo 3 α. 5 O Equlíbro de Etratéga Pura e Mta Condere o tema (26) e o conunto de vértce do mplex, EEP = { e : = 1, 2,..., } : Propoção 1. Todo α EEP é um equlíbro do tema dnâmco (26). Prova. Pela hpótee A ncw /1 1 ( β ),, a funçõe φ etão defnda para qualquer, e. Logo, ubttundo ee vetore no tema e recordando que φ é empre gual, a zero, temo ( ) e, ( ). α = 1/ a 0 φ = 0 α = 0/ a α φ = 0, v O elemento de EEP ão denomnado equlíbro de etratéga pura. Além dele, o tema (26) apreenta outra oluçõe etaconára, dta equlíbro de etratéga mta. Para dentfcá-lo, oberve, ncalmente, que o tema pode er expreo como: v (36) Logo, e para todo - ou ea, e todo o aláro forem gua -,, então α = 0. Am, qualquer α tal que φ = 0,, = 1,.. é um equlíbro etaconáro do tema dnâmco. Cumpre, então, provar a extênca dee equlíbro, o que exge algun reultado prelmnare. () Prelmnare. Incalmente, note que nem toda a funçõe, φ ão ndependente. Para dcutr ete ponto, é convenente organzar ea funçõe na forma de uma matrz: Et. Econ., São Paulo, 41(2): , abr.-un. 2011

15 Jorge Eduardo de Catro Soromenho, Jaylon Jar da Slvera 283 (37) Como, φ ω ω = é gual a, a matrz é antmétrca. Portanto, e o elemento acma da dagonal prncpal forem gua a zero, o memo ocorre com o dema e, então, α = 0. Condere, agora, o conunto formado pelo elemento medatamente acma da dagonal prncpal:. Qualquer elemento acma da dagonal prncpal da matrz ou pertence a ee conunto ou pode er obtdo por meo da oma de elemento do conunto. Por exemplo, φ 2,5, que não pertence a ee conunto, pode er obtdo a partr de oma de. Em, termo gera, qualquer φ que não pertence ao conunto é gual a. Am, o conunto é compoto de funçõe de dferença de aláro rea eperado que permtem obter toda a dema. Segue-e que a oluçõe do tema:, 1 φ + = 0, = 1,... 1, (38) formado a partr do elemento do conunto, ão equlíbro de etratéga mta do tema dnâmco com etratéga. Suponha que uma ou ma etratéga não etão endo adotada (por exemplo, admta α2 = 1 = 0). No tema dnâmco (26), a equaçõe e o elemento do α omatóro que envolvem ea etratéga ão obvamente gua a zero; no exemplo, temo: (39) 0 α 0, 2, 1. (40), = α φ = = a = 1,, Elmne-e então do tema φ = 0,, = 1,.., a equaçõe α e a funçõe φ que ão gua a zero por hpótee. Se o tema remanecente, que denomnamo Et. Econ., São Paulo, 41(2): abr.-un. 2011

16 284 Deemprego e Flexbldade de Saláro em um Contexto Evoluconáro de tema reduzdo, pour olução, então, α= 0. Oberve que ea oluçõe, cao extam, não pertencem a nt( ) - po, por contrução, upomo que algun α ão gua a zero -, ma pertencem ao nteror de um mplex #L, onde recordamo que L é o conunto da etratéga remanecente (no exemplo, L= { 1,3,..., 2, } ). Obvamente, o argumento aplca-e para o cao em que há ma de uma etratéga, # L 2. No cao do tema reduzdo, podemo adotar procedmento análogo ao que utlzamo no do tema completo. Forme a matrz antmétrca compota da funçõe remanecente. No exemplo: (41) A matrz m2, 1é obtda a partr de m 0 elmnando-e a lnha e coluna 2 e Condere o conunto do elemento acma da dagonal prncpal ( no exemplo). Novamente, qualquer elemento acma da dagonal prncpal ou é elemento do conunto ou é gual à oma de elemento dee conunto. 12 Am, a oluçõe do tema obtdo ao gualarmo o elemento acma da dagonal prncpal a zero ão equlíbro de etratéga mta do tema dnâmco reduzdo; e, como o α da dema etratéga ão gua a zero, α= 0. Para provar a extênca do equlíbro de etratéga mta, é convenente recorrer a um argumento de ponto fxo. Como e abe, a prova de extênca de equlíbro em economa que utlzam teorema de ponto fxo normalmente e benefcam da le de Walra. Para o noo tema, podemo dentfcar uma propredade que deempenha um papel emelhante ao que ea le cumpre na prova menconada. Com efeto, ao omarmo o elemento medatamente acma da dagonal prncpal e o últmo elemento da prmera coluna, o reultado é empre gual a zero. Por exemplo: (a) para o tema completo, a oma de, φ + 1, = 1,... 1, é gual a 11 O ubcrto lta a etratéga elmnada; e ele for gual a 0, gnfca que toda a etratéga etão em vgor. 1, 1,3 3,4 3, 2 2, 12 Por exemplo, φ = φ + φ... + φ + φ. Et. Econ., São Paulo, 41(2): , abr.-un. 2011

17 Jorge Eduardo de Catro Soromenho, Jaylon Jar da Slvera 285 ω1 ω ; adconando (b) para a matrz m, 2, 1 temo φ,1, obtemo ω1 ω ω ω1 0 + =, ou ea, No ntuto de proporconar um tratamento unforme para todo o tema, ea L( m ) o conunto ordenado (egundo a ordem natural) da etratéga aocada a uma matrz m. Note que o número de conunto poíve depende do valor de. Por exemplo, para = 3 temo, além L( m 0), ma trê conunto formado a partr da combnaçõe dua a dua da trê etratéga, C ( 3, 2 ). Em termo gera, o x= 2 C, x. número de conunto L( m ) é ( ) Um elemento de L( m ) é, portanto, uma etratéga. Defnmo por k( ) o uceor medato de, com a convenção de que e for o últmo elemento de L( m ), então k( ) é o prmero elemento do conunto. Am, para o tema completo, m é gual a m 0 e L( m ) = { } e k( ) = 1 ; para o tema reduzdo do exemplo, 0 1, 2,.. temo L( m2, 1) = { 1,3,..., 2, }, k( 1) = 3, k( 2) = e k( ) = 1. Segue-e que k, conhecendo o conunto L( m ) e, portanto, a matrze m (), a funçõe φ correpondem ao elemento medatamente acma da dagonal prncpal e ao últmo elemento da prmera coluna de m. O reultado que provamo acma podem er expreo, então, no egunte lema: Lema 1. Lema 2. Se ( ) () k, φ 0, para cada conunto de etratéga ( ), L m () k, φ = 0, para todo L( m), então, L m ( ) # L m 2., φ = 0,, logo, α= 0 () Prova de extênca do equlíbro de etratéga mta. A propoçõe a egur completam a decrção do equlíbro do modelo. 13 α Propoção 2. O tema (26) pou (pelo meno) um equlíbro #L, tal que k, φ α = 0, L m, para cada conunto de etratéga L( m ), # L( m) 2. () ( ) ( ) Prova. A prova é feta em dua parte: (a) contruímo uma função de #L em #L e provamo que pou um ponto fxo; (b) motramo que a extênca dee ponto () ( ) ( ) k, fxo mplca que φ α = 0, L m, o que, pelo lema 2 mplca que α é um equlíbro do tema dnâmco. 13 A propoção nada ma é do que uma adaptação da conhecda prova de ponto fxo de extênca de equlíbro geral. Ver, por exemplo, Hldenbrand & Krman (1988). Et. Econ., São Paulo, 41(2): abr.-un. 2011

18 286 Deemprego e Flexbldade de Saláro em um Contexto Evoluconáro (a) Sea a função α Ω( α),, # α onde: L (42) Sabemo que #L é um ubconunto não vazo, compacto e convexo de R. A função α Ω( α), é contínua em #L com valore em #L, po L( m) Ω ( a ) = 1, e ( a ) 0 Ω. Segue-e, pelo teorema de ponto fxo de Brouwer, 14 que exte um ponto fxo para Ω,.e.,. (b) A extênca do ponto fxo α mplca () ( ) k, φ α = 0, para todo L( m) k, efeto, uponha o contráro, ou ea, que exte algum para o qual do cao a examnar: () ( ) k, Prmero, condere φ α > 0. () ( ( ) 1, um k, () tal que ( ) 0 k, () φ ( α ) > 0. mplca: φ. Com () 0. Há k, Temo: () α + max 0, φ α = α 1; e (), como # L 2, exte, pelo Lema () ( ) φ α k, <, e, portanto, 1+ L( m) max 0, φ > 1. Logo, α Ω ( α ) = < α, 1+ max 0, ( ) L m k, () ( φ ( α) ) () ( ) o que contradz que α k, é ponto fxo. Segundo, admta φ α < 0. (43) () ( ) k, Segue que: () 1+ L( m) max 0, φ > 1; e () pelo Lema 1, exte pelo meno uma etratéga v para a qual k, () φ ( α ) > 0., o que mplca α v > 0 (po, e α v = 0, vkv, então, () k, φ 0 ) e, portanto,. Logo, () φ ( α ) < 0 mplca: v αv Ω ( α ) = < αv, 1+ max 0, ( ) L m k, () ( φ ( α) ) (44) 14 Ver, por exemplo, Hldenbrand & Krman (1988, appendx IV.) Et. Econ., São Paulo, 41(2): , abr.-un. 2011

19 Jorge Eduardo de Catro Soromenho, Jaylon Jar da Slvera 287 e, novamente, α não pode er ponto fxo. Am, a extênca do ponto fxo mplca () ( ) k, φ α < 0 para todo L( m). Segue-e, pelo Lema 2, que α é um equlíbro do tema dnâmco. A próxma propoção apreenta um reultado que, embora óbvo, convém regtrar. Propoção 3. O equlíbro α pertence ao nt( ) propoção anteror. # L, onde α é o ponto fxo da Prova. Suponha o contráro,.e., que o ponto fxo α pertence à borda do mplex, ( #L ). Logo, por defnção, exte algum par de etratéga ( v, ) tal que α 0 v > e α = 0. Ma, por um lado, ( α v > 0) ( n v > 0 ), e, portanto, ω v > 0; e, por outro, α = 0 n = 0, e, conequentemente, ω > 0. Logo, o que ( ) ( ) contradz a hpótee de que α é o ponto fxo da propoção (parte b). Para melhor compreenão da propoçõe, condere o cao = 3 retratado na Fgura 1 (b). Para # L = 3, a propoção 2 garante a extênca de pelo meno um ponto fxo em 3 nt 3. L = a propoçõe aeguram a extênca de equlíbro no nteror do Para { 1, 2 }, fecho convexo de { } v ; a propoção 3 aegura que ee equlíbro tua-e em ( ) 1 e e e, que degnamo por (, ) 1 3 co e e ; para L gual { } 2 3 2, 3, o equlíbro tuam-e no nterore de co( e, e ) e (, ) 1, 3 e co e e. Ee equlíbro etão repreentado por quadrado na fgura. Fnalmente, a propoção 1 aegura a extênca do equlíbro de etratéga pura ndcado pela bola preta da fgura. 6 A Etabldade do Equlíbro de Etratéga Pura O tema dnâmco (26) pou propredade que permtem etabelecer que o 1 equlíbro de etratéga pura ão atratore loca. Subttundo α por 1 = 1α, e conderando apena a 1 equaçõe dferenca ndependente, o tema pode er reecrto em termo da α1,..., α 1 varáve: (45) Et. Econ., São Paulo, 41(2): abr.-un. 2011

20 288 Deemprego e Flexbldade de Saláro em um Contexto Evoluconáro A matrz acobana da lnearzação do tema é: (46) Recordando que, φ é empre gual a zero, a dervada ão: (47) (48) O prmero bloco de dervada no dá o elemento da dagonal prncpal da matrz acobana; o egundo bloco fornece o dema elemento. () Elemento fora da dagonal prncpal. Condere o equlíbro e, = 1,...,, to é, o vetore para o qual α = 1 e todo o dema elemento ão nulo. Temo do cao a erem examnado: gual ou dferente de. Se, então, α = 0 e a dervada (48) ão nula. Se =, então, <, po <. Logo, α é elemento do omatóro, o que mplca e, po e trata da dervada de uma função con- tante. Sobra que também é gual a zero, po, = v e α = 1 mplcam n v = 0 e n = 0, devdo a (11), o qua, por ua vez, mplcam ω e ω nulo, pela própra defnção de aláro eperado. Ou ea, todo o elemen- v to fora da dagonal prncpal ão zero. Et. Econ., São Paulo, 41(2): , abr.-un. 2011

21 Jorge Eduardo de Catro Soromenho, Jaylon Jar da Slvera 289 () Elemento da dagonal prncpal. Condere, agora, o elemento da dagonal prncpal (47) avalado no equlíbro de etratéga pura e. Há, portanto, ( 1 ) dervada a erem avalada. Novamente, devemo examnar a pobldade gual ou dferente de. Se, temo α = 0 e o egundo termo do lado dreto de (47) é nulo. A dervada fcam reduzda a: (49) Temo do cao: gual ou dferente de (.e. a etratéga cua equação dferencal fo elmnada). Se, então, α é elemento do omatóro. Logo: (a), e o egundo termo do lado dreto de (49) é gual a zero; e (b) o prmero termo é gual a, po, α = 0 mplca n = 0, e, por conegunte, ω é gual a zero. Am, o valor da dervada para o cao é ω / a. Se =, então, α = 0, para todo = 1,..., 1. Logo, o prmero termo, é nulo e o egundo é gual a ( 1/ a) = ( 1/ a)( ) = ( 1/ a) Em uma, para : φ ω ω ω. α α e ω = ; = 1,..., 1; = 1,..., ;e. (50) a Obtvemo, portanto, o valore de ( 1)( 2) ( 1) ( 1) 2 + = dervada. Reta, então, apena uma dervada a er avalada para cada um do e, = 1,... 1, equlíbro de etratéga pura, a aber, o cao para o qua = (e, portanto, < ) : (51) Et. Econ., São Paulo, 41(2): abr.-un. 2011

22 290 Deemprego e Flexbldade de Saláro em um Contexto Evoluconáro Como <, o omatóro ncluem o elemento α = 1. Portanto: (a) (b), = φ = ω = 0, obtemo: 0 ; e, (c). Por conegunte, Como α = 1 α = 0, que, por ua vez, mplca (52) O exame da dua pobldade, e =, permte conclur, portanto, que o valore da dagonal prncpal avalado no equlíbro de etratéga pura ão todo gua a um real negatvo. Ou ea: (53) Temo, então, para cada equlíbro e, a egunte matrz acobana dagonal (omtmo o zero): ω a ω a. (54) ω a Ora, o autovalore de uma matrz dee tpo ão rea repetdo e gua ao valor comum do elemento da dagonal prncpal. Como ee valor real é negatvo, o equlíbro em quetão ão atratore loca. Provamo, portanto, a últma e prncpal propoção dete trabalho: Propoção 4. O equlíbro de etratéga pura EEP { e : 1, 2,..., } atratore loca. = = ão Et. Econ., São Paulo, 41(2): , abr.-un. 2011

23 Jorge Eduardo de Catro Soromenho, Jaylon Jar da Slvera Smulação Neta eção apreentamo uma mulação que no permte lutrar a coevolução do aláro rea, do níve de emprego aocado a cada etratéga e do emprego total. Sea{,,} { 1,10,1/2} e 15 K c β = e condere apena trê etratéga { w1, w2, w 3} = {1,11/10,12/10} A = - note que, upondo, por exemplo, a taxa natural de deemprego, 1 n, gual a 5%, o valor máxmo de A é 19. Subttundo α 3 por o equlíbro de curto prazo correpondente à equaçõe (10)-(13) é : (55) (56) Com trê etratéga, o tema dnâmco (26) comporta apena dua equaçõe dferenca ndependente. Ecolhemo trabalhar com a equaçõe Normalzamo a = 1 e dentfcamo o egunte equlíbro do médo prazo e o autovalore correpondente: α1 α2 α3 λ1 Tpo de Equlíbro Etável (foco) Etável (foco) Etável (foco) Intável (ela) Intável (ela) Intável (ela) Intável (nó) Na trê prmera lnha da tabela, temo o equlíbro de etratéga pura; 15 na trê egunte, contam o equlíbro de etratéga mta no cao em que obre- 15 Oberve que, nete cao, λ1= λ2, como era eperado à luz do argumento da eção precedente. Et. Econ., São Paulo, 41(2): abr.-un. 2011

24 292 Deemprego e Flexbldade de Saláro em um Contexto Evoluconáro vvem apena dua etratéga; na últma lnha temo o equlíbro de etratéga mta com trê etratéga. O equlíbro de etratéga pura ão atratore loca. O equlíbro de etratéga mta ão ntáve, endo que, quando obrevvem apena dua etratéga, temo ntabldade de ela e o ramo dvergente é exatamente a traetóra que lga ee equlíbro ao de etratéga pura, como podemo contatar no dagrama de fae da Fgura 2, obtdo por mulação. Nea mema fgura podemo dentfcar claramente a trê baca de atração. Por últmo, etabelecemo como condção ncal ( α1, α 2) = ( 0.35, 0.29). Ela e tua na baca de atração do equlíbro keyneano ( 0, 0 ), que correponde ao maor aláro nomnal, w 3. A evoluçõe do aláro rea eperado de cada etratéga, do número de trabalhadore e de frma de cada etor ão apreentada na Fgura 3 a 5. Fgura 2 - Dagrama de Fae Fgura 3 - Evolução do Saláro Eperado Et. Econ., São Paulo, 41(2): , abr.-un. 2011

25 Jorge Eduardo de Catro Soromenho, Jaylon Jar da Slvera 293 Fgura 4 - Evolução do Número de Trabalhadore Fgura 5 - Evolução do Número de frma A egunda etratéga w 2 declna contnuamente. Trabalhadore e frma mgram para a etratéga w 1 e w 3. Por algum tempo, o etor cláco apreenta um nível de emprego uperor ao do etor w 3. Porém, ee etor keyneano acaba por prevalecer. O comportamento do emprego total e o do nível de preço ão apreentado na Fgura 6 e 7. O emprego aumenta um pouco no prmero período, em decorrên-rênca do crecmento do etor cláco, ma, em eguda, declna acentuadamente, quanto paa a prevalecer o etor 3. Enquanto exte mgração para o etor cláco, Et. Econ., São Paulo, 41(2): abr.-un. 2011

26 294 Deemprego e Flexbldade de Saláro em um Contexto Evoluconáro o emprego total aumenta e o nível de preço e reduz, ambo lgeramente. À medda que a etratéga w 3 e mpõe e aumentam o cuto nomna, o emprego ca e o preço eleva-e trantoramente até e etablzarem no equlíbro fnal. Fgura 6 - Evolução do Emprego Fgura 7 - Evolução do Preço 8 Concluão Conceber a varação do aláro nomna como um proceo evoluconáro, no qual o trabalhadore procuram a melhor etratéga, mplca, à luz do modelo apreen- Et. Econ., São Paulo, 41(2): , abr.-un. 2011

27 Jorge Eduardo de Catro Soromenho, Jaylon Jar da Slvera 295 tado nete artgo, que a economa não tende necearamente ao pleno emprego. Com efeto, toda a etratéga pura ão atratore loca: o pleno emprego é apena uma entre muta pobldade. Ee reultado condz com a tee fundamental de Keyne que, no prmero capítulo da Teora Geral, conderou a tuação cláca como lmte da tuaçõe de equlíbro poíve. No entanto, a tee keyneana fo contetada tematcamente na década que e eguram à publcação da Teora Geral. Como ntetzou Harry Johnon (1961: 12), na macroeconoma keyneana o deemprego paou a er concebdo como uma tuação de deequlíbro no qual o proceo de aute ocorra lentamente. No modelo apreentado nete artgo obtvemo um reultado dferente do tradconal. Memo em um contexto dnâmco, a flexblzação do aláro não leva necearamente à plena ocupação da mão-de-obra. Evdentemente, o reultado fo obtdo upondo-e raconaldade mperfeta e um epecífco proceo dnâmco de eleção evoluconára. A noo ver, no entanto, ee proceo é ma plauível do que o retratado pela equaçõe tradcona de aute do aláro nomnal ao exceo de demanda, cua mcrofundamentação é, como detacamo na ntrodução, apoado em Koopman, no mínmo quetonável. Por últmo, cabe fazer uma realva. O letor terá obervado que não apreentamo a anále da propredade dnâmca do equlíbro de etratéga mta. Em toda a mulaçõe, ee equlíbro foram ntáve, ma não fo poível obter ee reultado analtcamente. Não obtante, o é de certo modo rrelevante para o propóto do artgo. De fato, e extem equlíbro de etratéga mta etáve, o apena reforçara o argumento de que o pleno emprego não é o reultado fnal e nequívoco do proceo dnâmco de flexblzação do aláro. Referênca FLASCHE, P.; REINER, F.; SEMMLER, W. Dynamc macroeconomc. Cambrdge: The MIT Pre, HAHN, F.; SOLOW, R. A crtcal eay on modern macroeconomc theory. Cambrdge: The MIT Pre, HILDENBRAND, W.; KIRMAN, A. P. Equlbrum analy. Amterdam: North- Holland, JOHNSON, H. H. The general theory after twenty-fve year, Amercan Economc Revew: paper and proceedng, vol. LI, n. 2, 1961, p KEYNES, J. M. The general theory of employment, nteret and money. London: Macmllan; C.W. VII, Et. Econ., São Paulo, 41(2): abr.-un. 2011

28 296 Deemprego e Flexbldade de Saláro em um Contexto Evoluconáro KOOPMANS, T. C. Three eay on the tate of economc cence. McGraw Hll, LIPSCHUTZ, S. Schaum outlne of theory and problem of general topology. New York: Schaum Publhng Co, NACHBAR, J. H. Evolutonary electon dynamc n game: convergence and lmt properte, Internatonal Journal of Game Theory, 19, 1990, p SARGENT, T. J. (1987) Macroeconomc theory. Segunda Edção. New York: Academc Pre, SOROMENHO, J. E. C.; SILVEIRA, J. J. Demanda e deemprego no médo prazo. Etudo Econômco, v. 38 n. 4, 2008, p TOBIN, J. Keynean model of receon and depreon. Amercan Economc Revew, 65, 1975, p TOBIN, J. Prce flexblty and the tablty of full-employment equlbrum. In: BARKAI, H.; FISCHER, S.; LIVIATAN, N. (Ed.). Monetary theory and thought: eay n honour of Don Patnkn, p London: Macmllan, TOBIN, J. Prce flexblty and output tablty: an old keynean vew. In: SEMM- LER, W. Bune Cycle: theory and emprcal method, cap. VI. Boton: Kluwer Academc Publher, Et. Econ., São Paulo, 41(2): , abr.-un. 2011