Prof. Daniel Almeida AULA 20 A 27

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1 POSIÇÕES RELATIVAS DE RETAS E PLANOS NO ESPAÇO. 00. Classifique em Verdadeiro (V) e F para Falso (F): a) ( ) Duas retas ou são coincidentes ou são distintas. b) ( ) Duas retas distintas determinam um plano. c) ( ) Duas retas concorrentes têm um único ponto em comum. d) ( ) Duas retas coplanares são concorrentes. e) ( ) A condição r s= é suficiente para que duas retas r e s sejam paralelas. f) ( ) Duas retas não paralelas são reversas. g) ( ) Se dois planos distintos têm um ponto em comum, então eles têm uma reta comum que passa pelo ponto. h) ( ) Dois planos secantes têm infinitos pontos comuns. i) ( ) Se dois planos têm um ponto em comum, eles têm uma reta comum. j) ( ) Uma reta e um plano que têm um ponto em comum são concorrentes. k) ( ) Se uma reta está contida num plano, eles têm um ponto em comum. l) ( ) Se uma reta e um plano são concorrentes, então a reta é concorrente com qualquer reta do plano. m) ( ) Se duas retas distintas são paralelas a um plano, então elas são paralelas entre si. n) ( ) Dadas duas retas reversas, sempre existe reta que se apoie em ambas. o) ( ) Se dois planos são secantes, então uma reta de um deles pode ser concorrente com uma reta do outro. p) ( ) Se dois planos são secantes, então uma reta de um deles pode ser reversa com uma reta do outro. q) ( ) Se duas retas de um plano são, respectivamente, paralelas a duas retas concorrentes do outro plano, então esses planos são paralelos. s) ( ) Para que uma reta e um plano sejam perpendiculares é necessário que eles sejam secantes. t) ( ) Se uma reta é perpendicular a duas retas distintas de um plano, então ela é perpendicular ao plano. u) ( ) Se uma reta é ortogonal a duas retas distintas de um plano, então ela é perpendicular ao plano. v) ( ) Duas retas ortogonais são concorrentes. w) ( ) Uma reta e um plano são perpendiculares. Toda re ta perpendicular à reta dada é paralela ao plano ou está contida nele. x) ( ) Duas retas reversas são paralelas a um plano. Toda reta ortogonal a ambas é perpendicular ao plano. y) ( ) A projeção ortogonal de um segmento oblíquo a um plano, sobre plano, é menor que o segmento. z) ( ) A projeção ortogonal, sobre um plano, de um segmento contido numa reta, não perpendicular ao plano, é menor que o segmento ou congruente a ele. 01. (UEG GO) Observe e classifique as afirmações abaixo como sendo verdadeiras ou falsas: I. Se um plano intercepta dois outros planos paralelos, então as interseções são retas paralelas. II. Se dois planos são paralelos, qualquer reta de um deles é paralela a qualquer reta do outro. III. Se uma reta é paralela a dois planos, então esses planos são paralelos. IV. Se dois planos são paralelos, uma reta de um deles pode ser reversa a uma reta do outro. Marque a alternativa CORRETA: a) Apenas as afirmações I e II são verdadeiras. b) Apenas as afirmações I e III são verdadeiras. c) Apenas as afirmações I e IV são verdadeiras. d) Apenas as afirmações II e IV são verdadeiras. e) Apenas as afirmações III e IV são verdadeiras. 0 (UEPB) As alternativas seguintes podem ser classificadas em verdadeiras (V) ou falsas (F) I. Se dois planos são perpendiculares, toda reta de um deles que for perpendicular à interseção será perpendicular ao outro. II. Se dois planos são perpendiculares, toda reta paralela a um deles será perpendicular ao outro. III. Duas retas perpendiculares a um mesmo plano são paralelas. Neste caso: a) Apenas I e II são verdadeiras b) Todas são verdadeiras c) Todas são falsas d) Apenas I e III são verdadeiras e) Apenas II e III são falsas 0. (EFOA MG) Das alternativas abaixo, assinale a INCORRETA: a) Dois planos, quando se interceptam, o fazem segundo uma reta. b) Dois planos perpendiculares a uma mesma reta são paralelos. c) Duas retas perpendiculares a um mesmo plano são paralelas. d) Duas retas perpendiculares determinam um único plano. e) Existem planos concorrentes com apenas cinco pontos comuns. 04. (Furg RS) Em Geometria Espacial, é sempre correto afirmar que a) dois planos perpendiculares a uma mesma reta são perpendiculares entre si. b) duas retas pertencentes a planos paralelos distintos, são paralelas entre si. c) duas retas paralelas a um mesmo plano são paralelas entre si. d) uma reta paralela à interseção de dois planos é paralela a esses dois planos. e) dois planos distintos perpendiculares a um terceiro são paralelos entre si. 1

2 05. (UFAM AM) Considere as afirmações: I. Duas retas no espaço, paralelas a uma terceira, são paralelas entre si. II. Um plano, perpendicular a uma reta de um plano, é paralelo a. III. Dois planos perpendiculares à mesma reta são paralelos. a) Todas são falsas b) Todas são verdadeiras c) Somente II é falsa d) Somente I é falsa e) Somente III é falsa 06. (PUC PR) Dadas as afirmações: I. Se duas retas r e s são reversas, então não existe plano paralelo a r e s. II. Se uma reta é ortogonal a duas retas paralelas de um plano, então ela é necessariamente perpendicular ao plano. III. Quatro pontos não coplanares determinam exatamente quatro planos. IV. Se dois planos são perpendiculares, toda a reta perpendicular a um deles será paralela ao outro. a) Apenas uma afirmativa é falsa. b) Duas afirmativas são falsas. c) Três afirmativas são falsas. d) Todas as afirmativas são falsas. e) Todas as afirmativas são verdadeiras. 07. (UEL) Considere uma reta s, contida em um plano, e uma reta r perpendicular a s. Então, necessariamente: a) r é perpendicular a. b) r e s são coplanares. c) r é p a. d) r está contida em. e) Todas as retas paralelas a r interceptam s. 08. (Mackenzie SP) A reta r é paralela ao plano. Então: a) todas as retas de são paralelas a r. b) a reta r não pode ser coplanar com nenhuma reta de. c) existem em retas paralelas a r e também existem em retas reversas com r. d) existem em retas paralelas a r e também retas perpendiculares a r. e) Todo plano que contém r é paralelo a. 09. (Mackenzie SP) A reta r é paralela ao plano. Então: a) todas as retas de são paralelas a r. b) a reta r não pode coplanar com nenhuma reta de. c) existem em retas paralelas a r e também existem em retas reversas em relação a r. d) existem em retas paralelas a r e retas perpendiculares a r. e) todo plano que contém r é paralelo a. 10. (Santa Casa SP) r e s são retas reversas. Então, a distância entre r e s a) não se define. b) é igual àquela entre qualquer ponto de r e qualquer ponto de s. c) é igual àquela entre qualquer ponto de r e qualquer plano que contenha s. d) é igual àquela entre dois quaisquer planos que contenham r e s respectivamente. e) é igual àquela entre dois planos paralelos que contenham r e s respectivamente. 11. (FCChagas SP) Se um plano e uma reta r são tais que r = r, então: a) existe um plano que contém r e não intercepta. b) existe uma reta em que é concorrente com r. c) toda reta paralela a é paralela a r. d) toda reta paralela a r está contida em. e) toda reta perpendicular a é perpendicular a r. 1. (Santa Casa SP) Sejam as retas r // s // t e um plano r. Pode-se dizer, então, que: a) // s b) // t c) s e não t, necessariamente d) s e t, necessariamente e) //, se (s, t) 1. (Mackenzie SP) Sejam r, s e t retas no espaço. Se r é perpendicular a t e s é perpendicular a t, então: a) r e s são paralelas. b) r e s são perpendiculares c) r e s são reversas. d) r, s e t são coplanares e) nenhuma das afirmativas acima é verdadeira. 14. (FEI SP) Assinale a alternativa correta. a) Se duas retas são perpendiculares a uma reta do espaço, elas são paralelas. b) Se duas retas distintas são perpendiculares, toda reta perpendicular à 1 a é perpendicular à a. c) Se duas retas distintas são perpendiculares a um plano elas são paralelas. d) Se duas retas não se cruzam elas são ortogonais. e) pontos determinam um plano. 15. (Mauá SP) As retas r, s e t são reversas duas a duas. a) existe sempre uma reta paralela a r e se apoiando em s e t. b) existem sempre duas retas paralelas a r e se apoiando em s e t. c) existem sempre infinitas retas paralelas a r e se apoiando em s e t. d) nenhuma das respostas anteriores. 16. (PUC RJ) Qual das afirmações abaixo é FALSA? a) Se dois planos são perpendiculares à mesma reta, eles são paralelas. b) Se duas retas são perpendiculares a um plano, elas são paralelas. c) Se dois planos são paralelos e uma reta é perpendicular a um deles, é perpendicular ao outro. d) Duas retas perpendiculares à uma terceira são paralelas entre si (no espaço). e) Se uma reta é perpendicular a um plano, toda reta paralela à essa reta é perpendicular ao plano. 17. (PUC Campinas) Qual das afirmações abaixo é VERDADEIRA? a) Se duas retas distintas não são paralelas, elas são concorrentes. b) Duas retas não coplanares são reversas. c) Se a intersecção de duas retas é o conjunto vazio, elas são paralelas. d) Se três retas são paralelas, existe um plano que as contém. e) Se três retas distintas são duas a duas concorrentes, elas determinam um e um só plano.

3 GABARITO 00: A B C D E F G H I J K V F V F F F V V V F V L M N O P Q R S T U V F F V V V V V V F F X Y Z V V V GABARITO: C D E D C C B C C 1 E E D E C D D B POLIEDROS Superfície poliédrica: É a reunião de um número finito de polígonos planos e convexos, tais que: (a) dois polígonos não estão num mesmo plano; (b) cada lado do polígono não esteja em mais que dois polígonos; (c) havendo lados que estão em um só polígono, estes formam uma única poligonal fechada; (d) o plano de cada polígono deixa os demais num mesmo semi- espaço. Poliedro Convexo: Consideremos um número finito n (n 4) de polígonos planos convexos, tais que: (a) dois polígonos não estão num mesmo plano; (b) cada lado do polígono é comum a dois e somente dois polígonos; (c) o plano de cada polígono deixa os demais polígonos num mesmo semi-espaço. Nessas condições temos um poliedro convexo. Relação de Euler: V + F = A +, onde V é o número de vértices; A é o número de arestas e F é o número de faces. POLIEDROS DE PLATÃO: Existem cinco e, somente cinco, classes de poliedros de Platão. Um poliedro de Platão satisfaz as seguintes condições: (a) todas as faces têm o mesmo número de arestas; (b) todos os ângulos têm o mesmo número de arestas e (c) vale a relação Euler. POLIEDROS REGULARES: Têm faces regulares e congruentes e ângulos poliédricos congruentes. São exatamente cinco, e também são de Platão: Tetraedro Hexaedro Octaedro Dodecaedro Icosaedro PROPRIEDADE: A soma dos ângulos de todas as faces de um poliedro convexo é: S = (V ).60º onde V é o número de vértices do poliedro. TESTES: 01.(UFAM AM) Um poliedro convexo tem três faces triangulares, uma face quadrangular, uma face pentagonal e duas faces hexagonais. Então o número de vértices desse polígono é igual a: a) 7 b) 15 c) 10 d) 1 e) 9

4 0.(Unifesp SP)Considere o poliedro cujos vértices são os pontos médios das arestas de um cubo. O número de faces triangulares e o número de faces quadradas desse poliedro são, respectivamente: a)8 e 8. b)8 e 6. c)6 e 8. d)8 e 4. e)6 e 6. 0.(UFCE CE) Um poliedro convexo só tem faces triangulares e quadrangulares. Se ele tem 0 arestas e 10 vértices, então, o número de faces triangulares é: a) 1 b) 11 c) 10 d) 9 e) 8 04.(Cefet PR) Unindo-se o centro de cada uma das faces de um octaedro regular, por segmentos de reta, aos centros das faces adjacentes, obtém-se as arestas de um outro poliedro que possui: a)4 faces e 1 arestas. b)4 faces e 8 arestas. c)6 faces e 8 arestas. d)8 faces e 8 arestas. e)6 faces e 1 arestas. 05.(Cefet PR) Sobre um poliedro convexo com quatro faces pentagonais e duas triangulares, é correto afirmar: a)o número de arestas é menor que o número de faces. b)o número de vértices adicionado ao número de faces é menor que o número de arestas. c)o número total de faces é igual a 8. d)não existe tal poliedro. e)a soma dos ângulos internos das faces é 50º. 06.(Fuvest SP) O número de faces triangulares de uma pirâmide é 11. pode-se, então, afirmar que esta pirâmide possui a) vértices e arestas b)1 vértices e 11 arestas c) vértices e 11 arestas d)11 vértices e arestas e)1 vértices e arestas 07.(Integrado RJ) Um geólogo encontrou,, numa de suas explorações, um cristal de rocha no formato de um poliedro, que satisfaz a relação de Euler, de 60 faces triangulares. O número de vértices deste cristal é igual a: a)5 b)4 c) d) e)1 08.(FCChagas SP) O número de diagonais de um poliedro regular com 10 vértices é: a) 50 b) 40 c) 0 d) não existe poliedro regular com 10 vértices. e) nenhuma das anteriores. 09.(PUC Campinas) O poliedro regular que possui 0 vértices, 0 arestas e 1 faces denomina-se: a) tetraedro b) icosaedro c) hexaedro d) dodecaedro e) octaedro 10.(PUC RJ) Um poliedro convexo tem cinco faces quadrangulares e duas pentagonais. Então o número de faces n f, o número de arestas n a e o númro de vértices n v do poliedro são: a)n f = 7 n a = 10 n v = 1 b)n f = 5 n a = 9 n v = 1 c)n f = 7 n a = 6 n v = 10 d)n f = 5 n a = 9 n v = 1 e)n f = 7 n a = 15 n v = (Cescem) Num poliedro convexo o número de vértices é 10 e o número de arestas é 15. Então o número de faces é: a) b)5 c)5 d)6 e)7 1.(CEFET - PR) Um poliedro convexo possui duas faces triangulares, duas quadrangulares e quatro pentagonais. Logo, a soma dos ângulos internos de todas as faces será: a) 40º b) 640º c) 840º d) 4000º e) 4060º 1.(PUC - SP) Um poliedro convexo tem faces pentagonais e algumas faces triangulares. Qual o número de faces desse poliedro, sabendo-se que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares? a) 4 b) c) 5 d) 6 e) ( PUC - PR ) Se a soma dos ângulos das faces de um poliedro regular é 1440º, então o número de arestas desse poliedro é: a) 1 b) 8 c) 6 d) 0 e) 4 15.(Unificado) Um poliedro convexo tem 14 vértices. Em 6 desses vértices concorrem 4 aresta, em 4 desses vértices concorrem arestas e, nos demais vértices, concorrem 5 arestas. O número de faces desse poliedro é igual a : a) 16 b) 18 c) 4 d) 0 e) (FCChagas SP) O número de diagonais de um poliedro regular com 10 vértices é: a) 50 b) 40 c) 0 d) não existe poliedro regular com 10 vértices. e) nenhuma das anteriores. 17. Um poliedro convexo de 8 arestas possui faces triangulares e heptagonais. Quantas têm de cada espécie, se a soma dos ângulos das faces é 64 retos? 4

5 18. (Ita) Um poliedro convexo de 10 vértices apresenta faces triangulares e quadrangulares. O número de faces quadrangulares, o número de faces triangulares e o número total de faces formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. O número de arestas é: GEOMETRIA ESPACIAL 1. PRISMAS: 1.1 CUBO a) 10 b) 17 c) 0 d) e) 19. (Ufsm) Um poliedro convexo tem 1 faces triangulares e as demais, pentagonais. Sabendo que o número de arestas é o triplo do número de faces pentagonais, então a soma dos ângulos de todas as faces pentagonais é, em radianos, igual a a) π b) 1π c) 6π d) 64π e) 108π 0. (Pucpr) Quantas arestas tem um poliedro convexo de faces triangulares em que o número de vértices é /5 do número de faces? Volume e Área total V = a A = 6a Diagonais da base e do cubo a) 60 b) 0 c) 5 d) 0 e) (Cesgranrio) Considere o poliedro regular, de faces triangulares, que não possui diagonais. A soma dos ângulos das faces desse poliedro vale, em graus: a) 180 b) 60 c) 540 d) 70 e) 900. (Ufrgs) Um poliedro convexo de onze faces tem seis faces triangulares e cinco faces quadrangulares. O número de arestas e de vértices do poliedro é, respectivamente, a) 4 e 10 b) 19 e 10 c) 4 e 0 d) 1 e 10 e) 19 e 1. (Pucrs) Um poliedro convexo possui duas faces pentagonais e cinco quadrangulares. O número de vértices deste poliedro é a) 4 b) 6 c) 8 d) 9 e) (Pucpr) Um poliedro convexo é formado por faces quadrangulares e 4 faces triangulares. A soma dos ângulos de todas as faces é igual a 1 retos. Qual o número de arestas desse poliedro? d b = a d c = a 1. PARALELEPÍPEDO VOLUME V = a. b. c ÁREA TOTAL a) 8 b) 6 c) 4 d) e) 1 GABARITO: C B E E E E D D D 1 E E A D C A D * C E D D B E A A t = (ab + ac + bc) faces triangulares e 5 heptagonais 5

6 . CILINDROS. PIRÂMIDES ÁREA LATERAL A l = πrh A b = πr A t = A l + A b VOLUME: ÁREA TOTAL: A área total de uma pirâmide é determinada pela soma da área lateral com a área da base. Observe que o formato da base tem influência direta na quantidade de faces laterais e consequentemente em sua área lateral. A t = A l + A b VOLUME: V = 1 A bh 4. CONES ÁREA: V = πr h CILINDRO EQUILÁTERO: Todo cilindro cuja secção meridiana é um quadrado ( altura igual ao diâmetro da base) é chamado cilindro eqüilátero. A l = πrg A b = πr A t = A l + A b VOLUME: V = 1 πr h 6

7 5. ESFERAS 04. (UFJF MG) Uma caixa de forma cúbica contém água. Após a retirada de 18 litros de água verifica-se que houve uma variação de 0 cm no nível do líquido. A capacidade total da caixa é, em litros: a)7 b)0 c)0 d)18 e)6 ÁREA DA SUPERFÍCIE ESFÉRICA: A s = 4πR VOLUME: V = 4 πr TESTES: 01. (PUC RJ) A base de um prisma reto é um triângulo de lados iguais a 5m, 5m e 8m e a altura tem m. O seu volume será: a)1m b)4m c)6m d)4m e)60m 0. (Mackenzie SP) Uma piscina com 5 m de comprimento, m de largura e m de profundidade tem a forma de um paralelepípedo retângulo. Se o nível de água está 0 cm abaixo da borda, o volume de água existente na piscina é igual a: a)7 000 cm³ b)7 000 m³ c)7 000 litros d) 000 litros e)0 m³ 0. (UFU/MG) Considere uma cruz formada por 6 cubos idênticos e justapostos, como na figura abaixo. Sabendo-se que a área total da cruz é de 416cm, pode-se afirmar que o volume de cada cubo é igual a a)16cm b)64cm c)69cm d)6cm 05.(PM-005) Uma caixa d água está vazia e será abastecida por uma torneira de vazão constante de 8 litros por minuto. Sabendo que o formato interno dessa caixa é o de um paralelepípedo reto com base retangular de medidas 110 cm por 50 cm, calcule o tempo necessário para que a caixa contenha água até a altura de 80 cm. a) 4 horas e 5 minutos. b) 4 horas e 07 minutos. c) 4 horas e 5 minutos. d) 4 horas e 4 minutos. e) 4 horas e 58 minutos. 06.(UFAM AM) Um aquário em forma de paralelepípedo reto, de altura 40 cm e base retangular horizontal com lados medindo 70 cm e 50 cm, contém água até um certo nível. Após a imersão de um objeto decorativo nesse aquário, o nível da água subiu 0,4 cm sem que a água entornasse. Então o volume do objeto imerso é: a)1400 cm b)110 cm c)1800 cm d)5600 cm e)1600 cm 07.(Mackenzie SP) Uma lata tem forma cilíndrica com diâmetro da base e altura iguais a 10cm. Do volume total, 4/5 é ocupado por leite em pó. Adotando-se, o volume de leite em pó, em cm, contido na lata é a) 650 b) 85 c) 600 d) 570 e) (Unifor/CE) Um cilindro circular reto de volume 108 cm tem altura igual ao quádruplo do raio da base. Esse raio, em centímetros, mede: a) 1 b) c) d) e) 5 09.(UFJF MG) Aumentando-se o raio de um cilindro em 4cm e mantendo-se a sua altura, a área lateral do novo cilindro é igual à área total do cilindro original. Sabendo-se que a altura do cilindro original mede 1cm, então o seu raio mede, em cm: a) 1 b) c) 4 d) 6 7

8 10. (UFMA/MA) Um recipiente sob a forma de um cilindro reto está repleto de vinho. Esse vinho deve ser distribuído em copos cilíndricos, possuindo, cada um, altura igual a 1/8 da altura do recipiente e diâmetro da base igual a 1/5 do diâmetro da base do recipiente. A quantidade de copos necessária para distribuir todo o vinho é: a)00 b)100 c)400 d)150 e) (Cefet PR) Em uma caixa de papelão são colocados 1 copos, como mostra a figura a seguir. Entre um copo e outro, existe uma divisória de papelão com 1cm de espessura. Cada copo tem o formato de um cilindro circular reto, com altura de 14cm e volume de 16 cm. Com base nesses dados, pode-se dizer que o comprimento interno da caixa de papelão, em cm, será igual a: (use =,14). 14.(UEG GO) Uma barraca de lona, em forma de pirâmide de base quadrada, tem as seguintes medidas: base com metros de lado e laterais triângulos com,5 m de altura. A lona utilizada na construção da barraca, nas laterais e na base, perfaz um total de a)9 m. b)15 m. c)0,5 m. d)4 m. e)9 m. 15.(Cefet PR) Uma pirâmide quadrangular regular de 1 cm de altura tem aresta lateral medindo 15 cm. A área da base dessa pirâmide, em cm, é: a)86 b)98 c)104 d)106 e) (Unifor CE) Uma pirâmide regular de altura 1 cm tem como base um quadrado de lado 10 cm. Sua área lateral, em centímetros quadrados, é: a) 6 b) 41 c) 1 d) 17 e) 48 1.(Unesp SP) O prefeito de uma cidade pretende colocar em frente à prefeitura um mastro com uma bandeira, que será apoiado sobre uma pirâmide de base quadrada feita de concreto maciço, como mostra a figura. Sabendo-se que a aresta da base da pirâmide terá m e que a altura da pirâmide será de 4m, o volume de concreto (em m) necessário para a construção da pirâmide será a) 6. b) 7. c) 18. d) 1. e) 4. 1.(UFRR) Uma barraca de acampamento tem a forma de uma pirâmide com 1 m de altura, cuja base é um quadrado com m de lado. A quantidade de lona usada nas faces laterais da barraca é, em metros quadrados: a) 8 b) 1 c) d) 4 e) 4 4 a) 60 b) 60 c) 180 d) 100 e) (Fuvest SP) Um telhado tem a forma da superfície lateral de uma pirâmide regular, de base quadrada. O lado da base mede 8m e a altura da pirâmide m. As telhas para cobrir esse telhado são vendidas em lotes que cobrem 1m. Supondo que possa haver 10 lotes de telhas desperdiçadas (quebras e emendas), o número mínimo de lotes de telhas a ser comprado é: a)90 b)100 c)110 d)10 e)10 18.(PUC RS) Um cilindro circular reto e um cone circular reto têm o mesmo raio da base, medindo m, e a mesma altura, medindo 4m. A razão entre as áreas laterais do cilindro e do cone é a) /4 b) 8/5 c) 9/5 d) 8π/5 e) 9π/5 19. (UFAM AM) Um tanque cônico tem 4m de profundidade e seu topo circular tem 6m de diâmetro. Então, o volume máximo, em litros, que esse tanque pode conter de líquido é: (use π =,14) a) b) c) d) e)

9 0.(UFAM AM) A geratriz de um cone circular reto mede 10 cm e sua área total é 75 π cm. Então o raio da base é igual a: a) 15 cm b) 5 cm c) 10 cm d) 6 cm e) 8 cm. (Mackenzie) Bolas de tênis, normalmente, são vendidas em embalagens cilíndricas contendo três unidades que tangenciam as paredes internas da embalagem. Numa dessas embalagens, se o volume não ocupado pelas bolas é, o volume da embalagem é: 1.(UFSCar SP) Em uma lanchonete, um casal de namorados resolve dividir uma taça de milk shake com as dimensões mostradas no desenho. a) 6 b) 8 c) 10 d) 1 e) 4 a) Sabendo-se que a taça estava totalmente cheia e que eles beberam todo o milk shake, calcule qual foi o volume, em ml, ingerido pelo casal. Adote π =. b) Se um deles beber sozinho até a metade da altura do copo, quanto do volume total, em porcentagem, terá bebido?. (PUC) Um cone circular reto, cujo raio da base é cm, está inscrito em uma esfera de raio 5 cm, conforme mostra a figura a seguir. O volume do cone corresponde a que porcentagem do volume da esfera. a) 6,4% b) 1,4% c) 19,5% d) 18,6% e) 16,%.. 4. (UFRRJ RJ) Na famosa cidade de Sucupira, foi eleito um monumento de concreto com pedestal em forma de uma esfera de raio igual a 5m, em homenagem ao anti-herói Zeca Diabo. O cidadão Nézinho do Jegue foi informado de que, apesar de o preço do metro cúbico do concreto ser 60 reais, o custo total do concreto do pedestal, feito com dinheiro público, foi de 500 mil reais. Nézinho do Jegue verificou, então, que houve um superfaturamento =,14 a) menor que 50 mil reais. b) entre 50 e 00 mil reais. c) entre 00 e 00 mil reais. d) entre 00 e 400 mil reais. e) acima de 400 mil reais. 5. (PUC PR) Tem-se um recipiente cilíndrico, de raio cm, com água. Se mergulharmos inteiramente uma bolinha esférica nesse recipiente, o nível da água sobe cerca de 1, cm. Sabe-se, então, que o raio da bolinha vale aproximadamente: a) 1 cm b) 1,5 cm c) cm d),5 cm e) cm 6. (Integrado) Internamente, a cúpula do teto de um teatro tem a forma da superfície de uma semi-esfera, cujo raio mede 4 m. Se um galão de tinta é suficiente para pintar 1m, o número necessário de galões para realizar todo o serviço de pintura interna da cúpula é, aproximadamente... a) b) c) 4 d) 5 e) 6 GABARITO: C C B A A A C C B 1 E B D D D E B A B E B * E A D C D 1. a) 500 ml b) 87,5% 9

10 TRONCOS DE CONE 01.(UEM PR) Um copo tem o formato de um tronco de cone e suas medidas internas são: altura: 1 cm e diâmetro das bases: 4 cm e 6 cm. Ao encher completamente o copo com um líquido qualquer, é correto afirmar que a) faltam dados para calcular o volume total do líquido. b) o volume depende do líquido a ser colocado no copo. c) o volume é aproximadamente 576 cm de óleo. d) o volume é aproximadamente 94 cm de água. e) o volume do líquido é aproximadamente 8 ml. 0. (PUC MG) A região plana limitada pelo trapézio retângulo ABCD dá uma volta completa em torno da reta AB, gerando um sólido com capacidade igual a V litros. 05.(UFU/MG) Um refresco é obtido misturando-se 7 partes de água com uma parte de suco concentrado. Um recipiente cônico de altura h deve ser completamente cheio de tal refresco. A que altura deverá ficar o nível do suco concentrado, caso este seja despejado primeiramente no cone? a) 1 h b) 1 h c) 1 h 4 d) 1 h 7 e) 1 h (Fuvest SP) As bases de um tronco de cone circular reto são círculos de raios 6cm e cm. Sabendo-se que a área lateral do tronco é iguala soma das áreas das bases, calcule: a) a altura do tronco de cone. Sabendo que AB AD dm e BC 4dm, pode-se estimar que o valor de V, em litros, é:, 14. a) 58,61 b) 6,6 c) 68,4 d) 7,4z 0. (UFAC AC) Um depósito de água, de m de altura, tem forma de um pedaço de um cone. Os segmentos de reta contidos nas laterais com extremidades nas retas de mesma direção que contêm os diâmetros dos círculos da base e superior, quando prolongados, interceptam-se no ponto V, que dista 6m do centro do círculo da base. Dado que o raio do círculo superior mede m e o do círculo da base mede 1,5m, o volume do depósito é igual a: 04. (UEL PR) Um cone circular tem volume V. Interceptandoo na metade de sua altura por um plano paralelo à base, obtém-se um novo cone cujo volume é: a) V b) V c) 4 V d) 8 V e) 16 V a) 8 m b) c) 7 m 6 40 m d) 7 m e) 5 m b) o volume do tronco de cone. 07. (Mack) Um frasco de perfume, que tem a forma de um tronco de cone circular reto de raios 1 cm e cm, está totalmente cheio. Seu conteúdo é despejado em um recipiente que tem a forma de um cilindro circular reto de raio 4 cm, como mostra a figura. Se d é a altura da parte não preenchida do recipiente cilíndrico e, adotando-se π =, o valor de d é: 08. (ITA SP) Num cone de revolução, o perímetro da seção meridiana mede 18cm e o ângulo do setor circular mede 88º. Considerando-se o tronco de cone cuja razão entre as áreas das bases é 9 4, então sua área total mede: a)16 cm b) 08 cm 9 c) 160 cm d) 100 cm 9 10

11 09. (UnB/DF/) A figura abaixo representa um coador de café (em forma de um tronco de cone) apoiado sobre um vase cilíndrico com perímetro da base igual ao perímetro da boca do coador. Calcule r, de acordo com os dados na figura e sabendo que a capacidade do coador é um quarto da capacidade do vaso. 1. (ITA SP) Considere um cilindro circular reto, de volume igual a 60 cm, e uma pirâmide regular cuja base hexagonal está inscrita na base do cilindro. Sabendo que a altura da pirâmide é o dobro da altura do cilindro e que a área da base da pirâmide é de 54 cm, então, a área lateral da pirâmide mede, em cm, a)18 47 b) 7 47 c)6 47 d)108 e) INSCRIÇÃO E CIRCUNSCRIÇÃO DE SÓLIDOS 10. (FGV SP) Um octaedro regular está inscrito num cubo de aresta com 4 cm de comprimento, isto é, seus vértices coincidem com o centro de cada face do cubo, como mostra a figura. O volume do octaedro é 1. (UFPE PE) Um cubo está inscrito em um hemisfério de raio 4, ou seja, uma face do cubo está contida no círculo máximo do hemisfério e a face oposta a esta tem seus vértices na superfície do hemisfério, como ilustrado abaixo. Assinale a área total da superfície do cubo. 14.(UFOP) O volume do cilindro circunscrito ao cubo de volume igual a 8m é: a) b) c) d) e) 64 cm cm 16 cm 8 cm 4 cm 11. (UFJF MG) Se em um cubo, o raio da esfera inscrita mede cm, o raio da esfera circunscrita a esse cubo é igual a: a) 4 cm b) 4 cm c) cm d) cm e) cm a) m b) m c) m d)4 m 15.(Mackenzie) Um cubo está inscrito numa esfera. Se a área total do cubo é 8, o volume da esfera é: 8 a) 4 b) 16 c) d)1 e)8 11

12 16. (Mackenzie SP) Considere o recipiente da figura, formado por um cilindro reto de raio e altura 10, com uma concavidade inferior na forma de um cone, também reto, de altura e raio de base 1. O volume de um líquido que ocupa o recipiente até a metade de sua altura é igual a: TRONCO DE PIRÂMIDE 0. (ITA SP) Seja uma pirâmide regular de base hexagonal e altura 10 m. A que distância do vértice devemos cortá-la por um plano paralelo à base de forma que o volume da pirâmide obtida seja 1/8 do volume da pirâmide original? a) m. b)4 m. c)5 m. d)6 m. e)8 m. a) 89 b) 7 c) 64 d) 48 e) (Mackenzie) Bolas de tênis, normalmente, são vendidas em embalagens cilíndricas contendo três unidades que tangenciam as paredes internas da embalagem. Numa dessas embalagens, se o volume não ocupado pelas bolas é, o volume da embalagem é: 1.(Cefet PR) Uma pirâmide hexagonal regular, com a aresta da base 9 cm e aresta lateral 15 cm, foi seccionada por dois planos paralelos à sua base que dividiram sua altura em três partes iguais. A parte da pirâmide, compreendida entre esses planos, tem volume, em cm, igual a: a) 106 b) 110 c) 116 d) 10 e) 16. (UEL) Considere uma pirâmide regular, de altura 5m e base quadrada de lado 10m. Seccionando essa pirâmide por um plano paralelo à base, à distância de 5m desta, obtém-se um tronco cujo volume, em m, é: a) 6 b) 8 c) 10 d) 1 e) (Unifor) Uma esfera está inscrita em um cilindro circular reto. Se o volume da esfera é igual a 6 cm³, o volume do cilindro, em centímetros cúbicos, é igual a a)48 b)50 c)54 d)57 e) (PUC) Um cone circular reto, cujo raio da base é cm, está inscrito em uma esfera de raio 5 cm, conforme mostra a figura a seguir. O volume do cone corresponde a que porcentagem do volume da esfera... a) 00 b)500 c) 10 d) 180 e)10. (UFU/MG) Considere uma pirâmide regular de base quadrada, cujo comprimento da aresta da base é igual a cm. Efetuando-se um corte, na pirâmide, paralelo a essa base na altura de 1cm, o tronco dessa pirâmide, assim obtido, tem valor igual a 5/ cm. Dessa forma, a altura da pirâmide, em cm, é igual a 4 a) 5 1 b) 7 4 c) d) 6 e) 7 a) 6,4% b) 1,4% c) 19,5% d) 18,6% e) 16,% 1

13 4. (ITA SP) Dentro de um tronco de pirâmide quadrangular regular, considera-se uma pirâmide regular cuja base é a base maior do tronco e cujo vértice é o centro da base menor do tronco. As arestas das bases medem a cm e a cm. As áreas laterais do tronco e da pirâmide são iguais. A altura (em cm) do tronco mede: a a) 5 b) a 5 10 a 5 c) 5 a 5 d) 10 a 7 e) 5 5. (PUC RJ) Um tronco de pirâmide de bases quadradas tem 1 dm de volume. A altura do tronco mede 0cm e o lado do quadrado da base maior 40 cm. Então, o lado do quadrado da base menor mede: a)8 cm b)6 cm c)10 cm d)1 cm e)14 cm GABARITO: E A B D A * * B 1 1 B D A 64 D B E A C E C E C E B C 06. a)4cm; b)84 cm /6 cm TESTES MILITARES (PRISMAS): 1) (EEAR 005) Considere as denominações a seguir: I. tetraedro regular II. hexaedro regular III. prisma quadrangular regular IV. prisma quadrangular reto Das quatro denominações acima, completam corretamente a assertiva "O cubo é um." a) apenas uma b) apenas duas c) apenas três d) todas ) (EEAR 006) Se as dimensões de um paralelepípedo retângulo medem, em cm, "a", "a + " e "a + 5", então a soma das medidas de todas as arestas desse paralelepípedo é maior que 48cm, se "a" for maior que cm a) 4/ b) 5/4 c) /4 d) 4/5 ) (EEAR 007) Uma piscina, com a forma de paralelepípedo retângulo, tem 8 m de comprimento, 4 m de largura e m de profundidade. Não estando completamente cheia, um grupo de 8 pessoas pula em seu interior, sem haver perda de água, fazendo com que o nível da água varie em 0,5 m. O volume correspondente às 8 pessoas na piscina, em litros, é igual a a) 000. b) c) d) ) (EEAR 008) Um prisma reto é regular quando suas bases a) são paralelas. b) têm a mesma área. c) têm arestas congruentes. d) são polígonos regulares. 5) (EEAR 009) A aresta da base de um prisma quadrangular regular mede cm. Se a diagonal desse prisma mede 11 cm, sua altura, em cm, mede a) 8. b) 6. c) 4. d). 6) (EEAR 011) O perímetro da base de um prisma quadrangular regular é 8cm. Se a altura desse prisma é cm, então sua área total, em cm, é a) b) 4 c) 6 d) 8 1

14 7) (EEAR 01) Um prisma reto tem como base um triângulo equilátero de lado cm, e como altura o dobro da medida de sua aresta da base. Então, a área lateral desse prisma, em cm, é a) 6 b) 48 c) 54 d) 60 8) (EEAR 01) Considere = 1,7 e um cubo de aresta a = 10 cm. A medida da diagonal desse cubo, em cm, é um número entre a) 18 e 0. b) 16 e 18. c) 14 e 16. d) 1 e 14. colocado é de a) 54cm b) 4cm c) 4cm d) 150cm e) 16cm 1) (EsPCEx 011) A figura espacial representada abaixo, construída com hastes de plástico, é formada por dois cubos em que, cada vértice do cubo maior é unido a um vértice correspondente do cubo menor por uma aresta e todas as arestas desse tipo têm a mesma medida. Se as arestas dos cubos maior e menor medem, respectivamente, 8 cm e 4 cm, a medida de cada uma das arestas que ligam os dois cubos é 9) (EEAR 014) Um prisma hexagonal regular tem aresta da base medindo l e altura igual a l. A área lateral desse prisma é l. a) 9 b) 1 c) 18 d) 4 10) (EsSA 009) A altura de um prisma hexagonal regular é de 5m. Sabe-se que também sua área lateral é o dobro da área de sua base. O volume desse prisma, em m, é: a) 0 b) 85 c) 70 d) 00 e) 50 11) (EsPCEx 006) Dispondo de um recipiente em forma de paralelepípedo retângulo, com as dimensões da figura, preenchido com água até o nível indicado, um aluno fez o seguinte experimento: mergulhou na água um cubo maciço, com 1 cm de volume; mergulhou, sucessivamente, novos cubos, cada vez maiores, cujos volumes formam, a partir do cubo de 1cm de volume, uma progressão aritmética de razão cm. Após mergulhar certo número de cubos, que ficaram completamente submersos, verificou que a altura do nível da água passou para 9cm. a) 6 cm b) cm c) cm d) 4 cm e) 6 cm 1) (EsPCEx 011) Na figura abaixo, está representado um cubo em que os pontos T e R são pontos médios de duas de suas arestas. Sabe-se que a aresta desse cubo mede cm. Assim, o volume do sólido geométrico definido pelos pontos PQRST, em cm, é: a) / b) 4/ c) 5/ d) 16/ e) / 14) (EsPCEx 01) Considere um prisma regular reto de base hexagonal tal que a razão entre a aresta da base e a aresta lateral é. Aumentando-se a aresta da base em cm e mantendo-se a aresta lateral, o volume do prisma ficará aumentado de 108 cm. O volume do prisma original é: Com base nessas informações, a área total do último cubo 14 a) 18 cm. b) 6 cm. c) 18 cm d) 6 cm e) 40 cm.

15 15) (AFA 005) O produto da maior diagonal pela menor diagonal de um prisma hexagonal regular de área lateral igual a 144 cm e volume igual a 144 cm é a) 10 7 b) 0 7 c) 10 1 d) 0 1 GABARITO: C A B D B A C B C 1 E A C B B D TESTES MILITARES(CILINDROS): 1) (EEAR 005) Num cilindro circular reto, o diâmetro da base mede 8cm e a geratriz, 10cm. A área lateral desse cilindro, em cm, é a) 160π b) 80π c) 80 d) 40 ) (EEAR 006) Um plano determina dois semicilindros quando secciona um cilindro reto de,5 cm de altura e 4 cm de diâmetro da base, passando pelos centros de suas bases. A área total de cada um desses semicilindros, em cm, é aproximadamente igual a a) 8. b) 0. c) 8. d) 40. ) (EEAR 008) Um cilindro de cobre tem volume V, raio da base R = 50 cm e altura H = 40 cm. Este cilindro será derretido para fazer cilindros de volume v, raio r = R/5 e altura h = H/4. Dessa forma, V/v = a) 50. b) 100. c) 150. d) 00. 4) (EEAR 008) Um retângulo, de lados m e 5m, gira 60º em torno de seu maior lado. A área lateral do sólido obtido, em m, é a) 10. b) 0. c) 10π. d) 0π. 5) (EEAR 01) Um cilindro de altura H = 5cm e raio da base R = 4cm, tem volume V = π cm. a) 50 b) 60 c) 70 d) 80 6) (EsSA 01) Dobrando-se a altura de um cilindro circular reto e triplicando o raio de sua base, pode-se afirmar que seu volume fica multiplicado por a) 6. b) 9. c) 1. d) 18. e) 6. 15

16 7) (EsPCEx 006) Um tonel, em forma de cilindro circular reto, tem 60cm de altura. Uma miniatura desse tonel tem 0cm de altura e raio diretamente proporcional à altura. Se a miniatura tem 100mL de volume, então o volume do tonel original é de a) 0L b) 7L c),7l d) L e) 00mL 8) (EsPCEx 007) Uma barraca de campanha militar possui o formato apresentado no desenho abaixo. 10) (AFA 005) Um reservatório de forma cilíndrica (cilindro circular reto) de altura 0 cm e raio da base 10 cm está cheio de água. São feitos, simultaneamente, dois furos no reservatório: um no fundo e outro a 10 cm de altura do fundo. Cada um desses furos permite uma vazão de 1 litro por minuto. A quantidade de água restante no reservatório após 4π a) π b) π 4 c) π minutos é, em litros, d) π 4 A curva ABC é um arco de 90º de uma circunferência com 10 metros de raio. O segmento mede 0 metros. Admitindo π =,14, podemos concluir que o volume do interior da barraca é de aproximadamente: a) 480m b) 570m c) 618m d) 1140m e) 880m 9) (EsPCEx 011) A figura abaixo representa dois tanques cilíndricos, T1 e T, ambos com altura h, e cujos raios das bases medem R e R, respectivamente. Esses tanques são usados para armazenar combustível e a quantidade de combustível existente em cada um deles é tal que seu nível corresponde a / da altura. O tanque T1 contém gasolina pura e o tanque T contém uma mistura etanol-gasolina, com 5% de etanol. Deseja-se transferir gasolina pura do tanque T1 para T até que o teor de etanol na mistura em T caia para 0%. Nessas condições, ao final da operação, a diferença entre a altura dos níveis de T1 e T será a) h/ b) h/ c) h/4 d) h/5 e) h/6 11) (AFA 010) Uma vinícola armazena o vinho produzido em um tanque cilíndrico (reto) com sua capacidade máxima ocupada. Esse vinho será distribuído igualmente em barris idênticos também cilíndricos (retos) e vendidos para vários mercados de uma cidade. Sabe-se que cada mercado receberá barris de vinho, com altura igual a (colocar opção) da altura do tanque e com diâmetro da base igual (colocar formula) do diâmetro da base do tanque. Nessas condições, a quantidade x de mercados que receberão os barris (com sua capacidade máxima ocupada) é tal que x pertence ao intervalo a) 0 < x < 0 b) 0 x 40 c) 40 x < 60 d) 60 x < 80 1) (AFA 014) Na figura abaixo, tem-se um cubo cuja aresta mede k centímetros, as superfícies S 1 e S, contidas nas faces desse cubo, são limitadas por arcos de circunferências de raio k centímetros e centros em, respectivamente, D e B, H e F. O volume do sólido formado por todos os segmentos de reta com extremidades em S 1 e S, paralelos a CG e de bases S 1 e S, é, em cm, igual a a) k π 1 b) k π c) k π 1 4 d) k π 4 GABARITO: B C D D D C B A C 1 C B 16

17 TESTES MILITARES(PIRÂMIDES): 1) (EEAR 005) O perímetro da base de um tetraedro regular mede 9cm. A área total desse tetraedro, em cm, é 7) (EEAR 01) A figura mostra duas pirâmides regulares iguais, unidas pela base ABCD, formando um octaedro. Se ABCD tem 4 cm de lado e EF = 6 cm, o volume do sólido da figura, em cm, é a) 9 b) 18 c) 18 d) 9 ) (EEAR 006) Se uma pirâmide tem 9 faces, então essa pirâmide é a) eneagonal. b) octogonal. c) heptagonal. d) hexagonal ) (EEAR 006) Se a aresta da base de um tetraedro regular mede cm, então sua altura, em cm, é a) b) c) 6 d) 6 4) (EEAR 007) Uma pirâmide regular de base hexagonal tem 0cm de altura e 10 cm de aresta da base. O apótema dessa pirâmide mede, em cm a) 6 b) 8 c) d) 4 8) (EsPCEx 008) Para obter o sólido geométrico representado abaixo, partiu-se de um cubo de aresta L e retirou-se de cada um dos vértices desse cubo uma pirâmide de base triangular com as arestas laterais medindo L/4, conforme a figura. Denominando-se V o volume do cubo a partir do qual foi obtido o sólido, pode-se concluir que o volume desse sólido é a) 5 b) 5 17 c) 5 19 d) 5 5) (EEAR 008) O perímetro da base de uma pirâmide quadrangular regular é 80 cm. Se a altura dessa pirâmide é 15 cm, seu volume, em cm, é a) 00. b) 000. c) d) ) (EEAR 010) Uma pirâmide quadrangular regular tem 6cm de altura e base de 8cm de perímetro. O volume dessa pirâmide, em cm, é a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 a) V/4 b) 47V/48 c) 71V/7 d) 95V/96 e) 14V/144 17

18 9) (EsPCEx 010) Na figura abaixo, está representado um sólido geométrico de 9 faces, obtido a partir de um cubo e uma pirâmide. Sabendo que todas as arestas desse sólido têm medida, então as medidas da altura (distância do ponto V à face ABCD) e da superfície total desse sólido são, respectivamente, 1) (AFA 011) Um sólido maciço foi obtido quando a base de uma pirâmide hexagonal regular de altura 6 cm foi colada à base de uma pirâmide reta de base retangular e altura cm, de forma que 4 dos 6 vértices da base da primeira coincidam com os vértices da base da segunda, conforme figura. Desprezando-se o volume da cola, se a aresta da base da pirâmide hexagonal mede 5 cm obtido, em cm, é igual a: a) l + b) l + c) l + d) l e) l e l + 4 e l + 5 e l e l + 5 e l ) (AFA 007) Considere um hexaedro regular S onde A, B e C são pontos médios de três de suas arestas concorrentes no mesmo vértice. Seja α um plano que secciona S nos pontos A, B e C separando-o em dois sólidos S1 e S de volumes V1 e V, respectivamente, onde V1 < V Marque (V) verdadeiro ou (F) falso em cada afirmativa. ( ) S ainda poderia ser dividido em 47 sólidos de volume igual a V1 ( ) A área total de S1 é 6( + ) da área total de S ( ) Se em cada três arestas concorrentes de S forem retirados os sólidos com volumes iguais ao do sólido S1, então, o volume do sólido restante seria aproximadamente igual a 8,% do volume de S. Tem-se a seqüência correta em a) V F V b) F V F c) F F V d) V V F 11) (AFA 008) Ultimamente, vários adereços têm sido utilizados em bailes e em festas noturnas. Em alguns casos, lá pelas tantas horas, são distribuídos óculos coloridos, colares, chapéus e plumas. É um dos momentos de maior descontração na festa. Em geral, acima da pista de dança, é colocado um objeto luminoso, chamado sputinik. Considere um sputinik construído do seguinte modo: 1º) toma-se um cubo de aresta p cm º) em cada encontro de três arestas, retira-se um tetraedro cuja base é um triângulo equilátero de lado p cm e º) no sólido restante, são acopladas pirâmides triangulares de altura p cm e pirâmides octogonais de altura p cm ; ambos os tipos de pirâmides são retas e possuem bases coincidentes com as faces desse sólido. Se o volume desse sputinik é xp cm, então x é um número do intervalo a) 15 b) 0 c) 5 d) 0 1) (AFA 01) Uma pirâmide regular ABCV, de base triangular ABC, é tal, que sua aresta lateral AV mede cm. Sendo 5 cm a altura de tal pirâmide, a distância, em cm, de A à face BCV é igual a: a) 0/ b) 7 c) 6/ d) 14) (AFA 01) Considere uma pirâmide regular ABCDV de base ABCD. Sendo cm a medida da aresta da base e cm a medida da altura dessa pirâmide, a distância, em cm, de A à aresta lateral VC é a) b) c) 4 d) GABARITO: A B D C B C C B B 1 A B B A B a) [7, 78[ b) [78, 8[ c) [8, 88[ d) [88, 10] 18

19 TESTES MILITARES(CONES): 1) (EEAR 007) Um cilindro equilátero é equivalente a um cone, também equilátero. Se o raio da base do cone mede cm, o raio da base do cilindro mede, em cm, a) 1 b) 6 c) d) 6 ) (EEAR 009) Em um cone, a medida da altura é o triplo da medida do raio da base. Se o volume do cone é 8π dm, a medida do raio da base, em dm, é a) 0,5. b) 1,5. c). d). ) (EEAR 010) Um cone e um cilindro, ambos equiláteros, tem bases de raios congruentes. A razão entre as áreas das seções meridianas do cone e do cilindro é 4 a) b) c) 1 4 7) (EsSA 011) Um tanque subterrâneo tem a forma de um cone invertido. Esse tanque está completamente cheio com 8dm³ de água e 56dm³ de petróleo. Petróleo e água não se misturam, ficando o petróleo na parte superior do tanque e a água na parte inferior. Sabendo que o tanque tem 1m de profundidade, a altura da camada de petróleo é: a) 10 m b) 9 m c) 8 m d) 7 m e) 6 m 8) (EsSA 014) Dobrando o raio da base de um cone e reduzindo sua altura à metade, seu volume: a) dobra. b) quadruplica. c) não se altera. d) reduz-se à metade do volume original. e) reduz-se a um quarto do volume original. 9) (EsPCEx 01) Um recipiente em forma de cone circular reto, com raio da base R e altura h, está completamente cheio com água e óleo. Sabe-se que a superfície de contato entre os líquidos está inicialmente na metade da altura do cone. O recipiente dispõe de uma torneira que permite escoar os líquidos de seu interior, conforme indicado na figura. Se essa torneira for aberta, exatamente até o instante em que toda água e nenhum óleo escoar, a altura do nível do óleo, medida a partir do vértice será d) 1 4) (EEAR 011) O raio da base de um cone equilátero mede cm. O volume desse cone, em cm, é a) 4 π b) 8 π c) 4π d) 18π 5) (EEAR 014) Um filtro com a forma de cone circular reto, tem volume de 00 cm e raio da base de 5 cm. Usando π =, pode-se determinar que sua altura, em cm, é igual a a) 10. b) 9. c) 8. d) 6. 6) (EsSA 010) Um cone reto, de altura H e área da base B, é seccionado por um plano paralelo à base. Consequentemente, um novo cone com altura H é formado. Qual a razão entre os volumes do maior e o menor cone o de altura H e o de altura H a) b) c) d) e) 7 h 7 h 1 h h h a) b) 6 c) 9 d) 18 e) 7 19

20 10) (AFA 006) Num cone reto, a medida do raio da base, da altura, e da geratriz estão, nessa ordem, em progressão aritmética de razão igual a 1. Sabendo-se que a soma destas medidas é 1 dm e que a área total da superfície deste cone é igual à área da superfície de uma esfera, a medida do raio da esfera, em dm, é a) b) 15 c) 5 d) 6 11) (AFA 007) Seja S a região do plano dada por x + y 16 x y. O volume do sólido gerado pela rotação de x 60 de S em torno da reta x + 1 = 0 é, em unidade de volume, igual a a) 08π b) 5π c) 5π d) 16π GABARITO: B C B C C E E A A 1 D A TESTES MILITARES(ESFERA): 1) (EEAR 007) Dois círculos concêntricos têm 4 m e 6 m de raio. A área da coroa circular por eles determinada, em m, é a) π. b) 10π. c) 0π. d) 5π. ) (EEAR 008) Considere duas esferas: a primeira com 16π cm de área, e a segunda com raio igual a 5/ do raio da primeira. A área da segunda esfera, em cm, é a) 100 π. b) 50 π. c) 40 π. d) 0 π. ) (EEAR 011) A cuba de uma pia tem a forma de uma semiesfera de dm de raio. A capacidade dessa cuba é π litros. a) 1 b) 14 c) 16 d) 18 4) (EEAR 01) Uma Escola de Samba carregou, em um de seus carros alegóricos, uma imensa esfera de 5m de raio. O pintor da Escola disse que gastou 10 litros de tinta para pintar cada 157 m da superfície da esfera. Considerando π =,14, o número de litros de tinta que foram gastos para pintar toda a superfície da esfera foi a) 16 b) 18 c) 0 d) 5) (EEAR 014) Considerando π =, utilizando 108 cm de chumbo podese construir uma esfera de cm de diâmetro. a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 6) (EsSA 01) Duas esferas de aço de raio 4 cm e 61 c m fundem-se para formar uma esfera maior. Considerando que não houve perda de material das esferas durante o processo de fundição, a medida do raio da nova esfera é de: a) 5 cm b) 5,5 cm c) 4,5 cm d) 6 cm e) 7 cm 0

21 7) (EsPCEx 01) Considere que uma laranja tem a forma de uma esfera de raio 4 cm, composta de 1 gomos exatamente iguais. A superfície total de cada gomo mede: a) 4 π cm b) 4 π 9 cm c) 4 π cm d) 4 π 9 cm e) 4 π cm 8) (AFA 006) Considere um triângulo retângulo inscrito em uma circunferência de raio R, tal que a projeção de um dos catetos sobre a hipotenusa mede, em cm, (m 1 ). Considere a esfera gerada pela rotação desta circunferência em torno de um de seus diâmetros. O volume da parte desta esfera, que não pertence ao sólido gerado pela rotação do triângulo em torno da hipotenusa, em cm, é dado por: TESTES MILITARES(TRONCOS): 1) (EsSA 01) O volume de um tronco de pirâmide de 4 dm de altura e cujas áreas das bases são iguais a 6 dm e 144 dm vale: a) 0 cm b) 70 dm c) 0 m d) 60 dm e) 6 dm ) (EsPCEx 009) Um reservatório em forma de tronco de pirâmide regular de base quadrada e dimensões indicadas na figura deverá ter suas paredes laterais externas cobertas por uma tinta impermeável, cujo rendimento é de 11m² por galão. 9) (AFA 01) Uma caixa cúbica, cuja aresta mede 0,4 metros, está com água até 7/8 de sua altura. Dos sólidos geométricos abaixo, o que, totalmente imerso nessa caixa, NÃO provoca transbordamento de água é a) uma esfera de raio dm. b) uma pirâmide quadrangular regular, cujas arestas da base e altura meçam 0 cm. c) um cone reto, cujo raio da base meça dm e a altura dm. d) um cilindro equilátero, cuja altura seja 0 cm. GABARITO: C A D C B A A A D O número mínimo de galões que devem ser adquiridos para tal operação é: a) 6 b) 7 c) 9 d) 10 e) 11 ) (EsPCEx 010) A figura abaixo representa a planificação de um tronco de cone reto com a indicação das medidas dos raios das circunferências das bases e da geratriz. A medida da altura desse tronco de cone é a) 1 cm b) 1 cm c) 11 cm d) 10 cm e) 9 cm GABARITO: E B B 1

22 TESTES MILITARES(SÓLIDOS INSCRITOS E CIRCUNSCRITOS): 1) (EsPCEx 008) Uma esfera de cm de raio é colocada no interior de um vaso cônico, conforme a figura a seguir. O vaso tem 1 cm de altura e sua abertura é uma circunferência com 5 cm de raio. Nessas condições, a menor distância (d) entre a esfera e o vértice do cone é a),0cm b),cm c),4cm d),6cm e),8cm ) (EsPCEx 014) Um cone de revolução tem altura 4 cm e está circunscrito a uma esfera de raio 1 cm. O volume desse cone (em cm ) é igual a a) 1 π b) π c) 4 π d) 8 π e) π ) (AFA 006) Um cubo tem quatro vértices nos pontos médios das arestas laterais de uma pirâmide quadrangular regular, e os outros quatro na base da pirâmide, como mostra a figura abaixo. A razão entre os volumes do cubo e da pirâmide é : a) 4 b) 1 c) 8 d) 1 8 GABARITO: B D C