CPV O Cursinho que Mais Aprova na GV

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1 MATEMÁTICA CPV O Cursinho que Mais Aprova na GV FGV Economia 0/nov/0 0. As torneiras A, B e C, que operam com vazão constante, podem, cada uma, encher um reservatório vazio em 0 horas, 8 horas e 80 horas, respectivamente. Para encher esse mesmo reservatório vazio, incialmente abre-se a torneira A por quatro horas e, em seguida, fecha-se a torneira A e abre-se a torneira B por quatro horas. Por fim, fecha-se a torneira B e abre-se a torneira C até que o reservatório se encha por completo. De acordo com o processo descrito, o tempo necessário e suficiente para encher o reservatório por completo e sem transbordamento é de a) 8 horas. b) 7 horas. c) 7 horas. d) horas. e) 0 horas. Vazão = Volume Tempo V A = V t A V B = V t B V C = V t C V A = V 0 V B = V 8 V = V 0. + V 8. + V 80. t C = t C t C 80 = + 0 Þ t C 80 = 0 V C = V 80 t C = 8 horas Þ T = Þ T = 7 horas Alternativa B 0. Aníbal, Cláudio, Daniel, Rafael e Renato são interrogados na investigação do roubo de uma joia. Sabe-se que apenas um deles cometeu o roubo. No interrogatório, as seguintes falas foram registradas: Renato: Aníbal roubou a joia. Aníbal: Cláudio não roubou a joia. Rafael: Daniel roubou a joia. Daniel: Aníbal não roubou a joia. Cláudio: Renato roubou a joia. Se apenas três dos cinco disseram a verdade em sua fala e se quem roubou a joia mentiu na sua fala, então quem roubou a joia foi a) Aníbal. b) Cláudio. c) Daniel. d) Rafael. e) Renato. Como Renato e Daniel falam afirmações opostas, um deles está falando a verdade. Assim: ) se Renato fala a verdade, temos: Renato (verdade) Aníbal Rafael (mentira) Daniel (mentira) Claudio (mentira) ) se Daniel fala a verdade, temos: Renato (mentira) Aníbal (verdade) Rafael (mentira) Daniel (verdade) Claudio (verdade) não pode, pois três disseram mentira pode, pois três disseram a verdade Portanto, quem roubou a joia foi o Renato. Alternativa E FGVECONOV0 F

2 0//0 CPV o Cursinho que Mais Aprova na GV 0. A conta armada a seguir indica a adição de três números naturais, cada um com três algarismos, resultando em um número natural de quatro algarismos. Os algarismos que compõem os números envolvidos na conta, indicados pelas letras A, C, D e E, representam números primos distintos entre si. A E C + C D D E A E C D C 0. O quadrado PQRS está inscrito em um círculo de centro C. A corda BQ intersecta a diagonal PR do quadrado em A, sendo que QA = cm e AB = cm. Assim, o valor de E. D + A. C é igual a a). b). c). d) 9. e) 7. Sabendo que A, C, D e E só podem ser os números,, ou 7, temos, pela conta armada, que: C + D + E = 0 + C D + E = 0 + E + D + A = 0 + D Þ E + A = 9 + A + C + E = 0 + C A + E = 9 Nas condições descritas, a medida do lado do quadrado PQRS, em cm, é igual a a) 0. b). c). d). e) 7. De onde obtemos: D =, E = 7, A = e C = Portanto: E. D + A. C = = Alternativa C a a a x x a a Se a é o lado do quadrado, então a diagonal PR = a. Aplicando a Potência do Ponto A, temos: AQ. AB = AR. AP Þ. = x (a x) (I) Aplicando a Lei dos Cossenos no Δ AQR, temos: = a + x ax cos º Þ = a + x ax (II) Desenvolvendo a equação (I), temos: x ax =. Substituindo em (II), temos: = a Þ a = 0 Portanto o lado do quadrado a = cm. Alternativa C FGVECONOV0 F

3 CPV o Cursinho que Mais Aprova na GV 0//0 0. As cidades A, B, C e D estão ligadas por uma rodovia, como mostra a figura seguinte, feita fora de escala. 0. Na tabela de 8 colunas e infinitas linhas numeradas, indicada na figura, podemos formar infinitos quadrados coloridos x, como mostra um exemplo. Por essa rodovia, a distância entre A e C é o triplo da distância entre C e D, a distância entre B e D é a metade da distância entre A e B, e a distância entre B e C é igual a km. Por essa estrada, se a distância entre C e D corresponde a x% da distância entre A e B, então x é igual a a). b),. c) 7. d) 7,. e) 8. Temos que a + a = b + b Þ a = b e a = b + a = b a = b + Como b A B C D a b a = x% Þ (b + ) = b Þ b = e a = 0 x 00 = 0 \ x = 7, a b Alternativa D Nessa tabela, o quadrado colorido x cuja soma dos 9 elementos é igual a 80 ocupa três linhas, sendo uma delas a linha a) 7. b) 7. c). d) 9. e). Observamos que numa tabela genérica (x), os números da linha formam uma P.A. de razão e os três números da coluna formam uma P.A. de razão 8. Então: a a + a + a + 8 a + 9 a + 0 a + a + 7 a + 8 Como a soma dos 9 elementos pedidos é 80, temos que S = 9a + 8 = 80 a = Observamos que, ao dividir um elemento qualquer da tabela por 8, temos: exemplo 9 8 indica a adicionando coluna temos linha logo 8 adicionando coluna temos a linha Portanto, o número está na linha e o quadrado ao qual ele pertence é composto pelas linhas, 7 e 8. Alternativa B FGVECONOV0 F

4 0//0 CPV o Cursinho que Mais Aprova na GV 07. Removendo um número do conjunto {,, 7, 8,, 9, 0} formamos um novo conjunto com média aritmética dos elementos igual a 8,. A mediana dos elementos desse novo conjunto é igual a a),. b),0. c) 0,. d) 7,. e),. Seja x o número que foi retirado do conjunto inicial. Então: x = 8, Þ 0 x = Þ x = 9 (número removido) O novo conjunto obtido foi {,, 7, 8,, 0}, cuja mediana é = 7, Alternativa D 08. Em uma prova de matemática de 0 questões, cada questão vale zero ou um ponto, não havendo pontuações intermediárias. Concede-se conceito C para os alunos que fizerem de a pontos, conceito B para os que fizerem de 7 a 8 pontos, e A para os que fizerem de 9 a 0 pontos. Alunos que fizerem menos do que pontos recebem conceito insatisfatório. A respeito do desempenho dos alunos de uma classe nessa prova, sabe-se que nenhum deles recebeu conceito insatisfatório, 0% receberam conceito A, alunos não receberam conceito A e x% dos alunos receberam conceito C, sendo x um número inteiro positivo. Apenas com os dados informados, é possível concluir que a pontuação dos alunos que tiraram conceito A ou conceito B nessa prova pode ter sido, no máximo, igual a a). b). c). d) 90. e) 0. Como alunos não receberam conceito A, eles obrigatoriamente receberam conceito B ou C, pois nenhum aluno recebeu conceito insatisfatório. Assim, esses alunos representam 80% do total, ou seja, o total de alunos é 0,80 = Sabendo que x% dos alunos receberam conceito C, sendo x um número inteiro positivo e que deve ser o mínimo possível, temos x = 0. 0% de = 9 alunos receberam conceito C e portanto 9 = 7 alunos receberam conceito B. Portanto, a pontuação dos alunos será no máximo = 0 conceito A conceito B Alternativa E FGVECONOV0 F

5 CPV o Cursinho que Mais Aprova na GV 0//0 09. A torre de controle de tráfego marítimo de Algés, em Portugal, tem o formato de um prisma oblíquo, com base retangular de área 7 m. A inclinação da torre é de aproximadamente 7,7º, com deslocamento horizontal de 9 m da base superior em relação à base inferior do prisma. Dados: α sen α cos α tg α,º 0, 0,97 0, 0. Os pontos de coordenadas cartesianas (, ) e (, ) pertencem a uma circunferência. Uma reta que passa, necessariamente, pelo centro dessa circunferência tem equação a) x y + 9 = 0. b) x + y 9 = 0. c) x + y = 0. d) x + y = 0. e) x + y 9 = 0. Sejam os pontos: A (; ), B ( ; ) e C (x; y), sendo C o centro da circunferência. Nas condições descritas, o volume do prisma que representa essa torre, aproximado na casa da centena, é igual a a) 900 m. b) 8900 m. c) 800 m. d) 00 m. e) 00 m. Sabe-se que a distância de A até C é a mesma de B até C (raio da circunferência). Assim: d AC = d BC Þ (x ) + (y ) = (x + ) + (y ) Þ Þ x x + + y y + 9 = x + x + + y y + Þ Þ x + y 8 = 0 Þ x + y = 0 O centro (C) deve estar sobre esta equação encontrada., o Alternativa C h 7,7º 9 Pela figura, temos: h = altura de prédio; V = volume do prédio tg, o = 9 h Þ 0, = 9 h Þ h = 7, m V = 7 m. 7, m = 9, m Aproximando na casa da centena, chegamos em 900 m. Alternativa A FGVECONOV0 F

6 0//0 CPV o Cursinho que Mais Aprova na GV. Para certos valores reais de k, o polinômio P(x) = x x + k 7 é divisível por x. A soma de todos esses valores é igual a a) 8. b) 7. c). d). e). Quando P(x) for divisível por x, temos obrigatoriamente P() = 0. Assim: P() =. + k 7 = 0 Þ k 7 =. Suponha que fosse possível dar uma volta completa em torno da linha do Equador caminhando e que essa linha fosse uma circunferência perfeita na esfera terrestre. Nesse caso, se uma pessoa de m de altura desse uma volta completa na Terra pela linha do Equador, o topo de sua cabeça, ao completar a viagem, teria percorrido uma distância maior que a sola dos seus pés em, aproximadamente, a) cm. b), m. c), km. d), km. e) km. C (I) k 7 = ou (II) k 7 = C R (I) k = (II) k = + = 7 Alternativa B R + Sendo C a circunferência que representa a linha do Equador: os pés dessa pessoa percorreram o comprimento dessa circunferência: C = π R a cabeça dessa pessoa percorreu a circunferência C, de raio R + m. C = π (R + ) Þ C = π R + π Logo, C = C + π Sendo π =,, temos que π =,. Como a unidade é metro, o topo da cabeça dessa pessoa percorreu uma distância maior que a sola dos seus pés em aproximadamente, m. Alternativa B FGVECONOV0 F

7 CPV o Cursinho que Mais Aprova na GV 0//0 7. O índice de Angstrom (I A ), usado para alertas de risco de incêndio, é uma função da umidade relativa do ar (U), em porcentagem, e da temperatura do ar (T), em ºC. O índice é calculado pela fórmula I A = U T, e sua interpretação 0 feita por meio da tabela a seguir. I A > Condição de ocorrência de incêndio improvável, < I A desfavorável < I A, favorável < I A provável I A muito provável Tabela adaptada de A temperatura T, em ºC, ao longo das horas de um dia, variou de acordo com a função T(x) = 0,x +,8x, sendo x a hora do dia (0 x ). No horário da temperatura máxima desse dia, a umidade relativa do ar era de % (U = ). De acordo com a interpretação do índice de Angstrom, nesse horário, a condição de ocorrência de incêndio era a) improvável. b) desfavorável. c) favorável. d) provável. e) muito provável. Sendo T(x) = 0,x +,8 x, a temperatura máxima é dada por: (,8). ( 0,) = 8,8º Assim, I A = 7 8,8 + = 0 0 0,8 0 =,7 Sendo < I A, a ocorrência de incêndio era provável. Alternativa D. Um estudante de Economia precisa escolher exatamente duas dentre três disciplinas eletivas, que são: econometria, microeconomia, macroeconomia. A probabilidade de ele escolher econometria é a mesma que a de ele escolher microeconomia, cada uma igual a,%. A probabilidade de ele escolher econometria e microeconomia é de %. Sendo assim, a probabilidade de esse estudante escolher macroeconomia é igual a a) b) 8 c) d) 8 e) O estudante deverá escolher exatamente duas dentre três disciplinas eletivas. A probabilidade de ele escolher econometria, independemente da outra matéria a ser escolhida junto, é,%; o mesmo vale para microeconomia. Colocamos essa informação e as seguintes na tabela abaixo. Eco Micro Macro P Eco % 7,%,% Micro % 7,%,% Macro 7,% 7,% 7% Q,%,% 7% A probabilidade de ele escolher econometria e microeconomia nos dá a intersecção, na tabela, entre a linha Eco e a coluna micro, sendo igual a %. Como P(Eco) =,% e P(Eco Ç micro) + P(Eco Ç macro) = P(Eco), temos que % + P(Eco Ç macro) = 7,%. Analogamente, pode-se preencher a tabela sabendo que a soma dos valores em cada linha deve ser igual ao valor na coluna P e a soma dos valores em cada coluna dever ser igual ao valor na linha Q. Dessa forma, a probabilidade desse estudante escolher macroeconomia é igual a 7% ou. Alternativa A FGVECONOV0 F

8 8 0//0 CPV o Cursinho que Mais Aprova na GV. Uma fração, definida como a razão entre dois inteiros, chama-se imprópria quando o numerador é maior ou igual ao denominador e chama-se decimal quando o denominador é uma potência de dez. Dois dados convencionais, de seis faces equiprováveis, possuem cores diferentes: um deles é branco, e o outro preto. Em um lançamento aleatório desses dois dados, o número obtido no dado branco será o numerador de uma fração, e o obtido no dado preto será o denominador. A probabilidade de que a fração formada seja imprópria e equivalente a uma fração decimal é igual a. Os pontos A(0, ), B(, ), C(, 0) e D( k, k), com k > 0, formam o quadrilátero convexo ABCD, com eixo de simetria BD sobre a bissetriz dos quadrantes ímpares. a) 7 b) c) 9 d) 9 e) 7 Branco Preto A tabela mostra todos os casos possíveis, e os valores assinalados são as frações impróprias e equivalentes a uma fração decimal. Assim, temos 9 casos em, e a probabilidade é 9. Alternativa C O valor de k para que o quadrilátero ABCD seja dividido em dois polígonos de mesma área pelo eixo y é igual a a) + d) + Da figura, temos: ( k, k) b) + e) + equação da reta por CD: y = ponto E ( 0; k + k ). Assim, devemos ter: S ADE = S ABCE ( k + + k ). k ( = + k + k ) +. k. (x ) + k k k = 0 (k > 0) Þ k = + E k (0, ) C(, 0) c) + Alternativa E FGVECONOV0 F

9 CPV o Cursinho que Mais Aprova na GV 0// A equação algébrica x 7x + kx + = 0, em que k é um número real, possui três raízes reais. Sabendo-se que o quadrado de uma das raízes dessa equação é igual ao produto das outras duas, então o valor de k é igual a a). b). c). d) 8. e). Dada a equação x 7x + kx + = 0 α, β e γ são raízes reais sendo que α. β. γ =. Como α = β. γ temos α. β. γ = \ α = Portanto, α = e P( ) = 7. k + = 0 k = α = Alternativa B 8. O coeficiente de x na expansão de ( + x + x ) 0 é igual a a) 0. b) 90. c) 8. d) 0. e). No desenvolvimento de [( + x ) + x ] 0, temos: ( ) T p+ = 0 p. ( + x ) 0 p. x p = = ( 0 p ) (. 0 p q ) (. xq. xp = 0 p ) Logo, no termo em x devemos ter: q + p = Þ q = e p = 0. (. 0 p q ). xq + p Assim, o coeficiente de x é dado por: 0 ( 0 ) (. 0 ) = 0 Alternativa A FGVECONOV0 F

10 0 0//0 CPV o Cursinho que Mais Aprova na GV 9. Somando todos os números de três algarismos distintos que podem ser formados com os dígitos,, e, o resultado será igual a a) 00. b). c) 000. d) 00. e) 0. A quantidade total de números de algarismos distintos que podem ser formados com os dígitos,, e é C,.! =. =. Para o dígito das unidades, cada um dos algarismos aparecerá = vezes. Portanto a sua soma será. ( ) = 0. Para o dígito das dezenas, a soma será 0 +, pois há dezenas provenientes da soma das unidades. Assim, teremos a soma:. + 0 números de algarismos distintos que podem ser formados com os dígitos,, e Alternativa E 0. Para todos os inteiros n de a 0, temos que: a n =, se log n for um número inteiro; ( ) n, se log n não for um número inteiro. Sendo assim, a soma a + a + a + + a 0 + a 0 é igual a a) 8. b) 7. c). d). e) 8. Os valores entre e 0 que tornam log n um número inteiro são: n = log = 0 n = 0 log 0 = n = 00 log 00 = n = 000 log 000 = Portanto a = a 0 = a 00 = a 000 =. Entre e 0, temos 008 números ímpares, cuja soma dos termos será 008. ( ) = 008; mas, como a =, essa soma será 008 ( ) + = números pares, cuja soma dos termos será 008. () = 008; mas, como a 0 = a 00 = a 000 =, essa soma será 008. () +. = 0. Portanto, a soma dos termos a + a a 0 = =. Alternativa C FGVECONOV0 F

11 CPV o Cursinho que Mais Aprova na GV 0//0. Uma parábola P de equação y = x + bx + c, quando refletida em relação ao eixo x, gera a parábola P. Transladando horizontalmente P e P em sentidos opostos, por quatro unidades, obtemos parábolas de equações y = f(x) e y = g(x). Nas condições descritas, o gráfico de y = (f + g)(x) necessariamente será a) uma reta. b) uma parábola. c) uma hipérbole. d) uma exponencial. e) um círculo. P : P : y = x + bx + c e y = x bx c f (x) = (x + ) + b (x + ) + c g (x) = (x ) b (x ) + c f (x) = x + 8x + + bx + b + c g (x) = x + 8x bx + b + c Fazendo f (x) + g (x) = x + b + c A função (f + g) (x) = x + b + c é uma reta. Alternativa A. Certo capital foi aplicado em regime de juros compostos. Nos quatro primeiros meses, a taxa foi de % ao mês e, nos quatro meses seguintes, a taxa foi de % ao mês. Sabendo-se que, após os oito meses de aplicação, o montante resgatado foi de R$.,00, então o capital aplicado, em reais, foi aproximadamente igual a Dado: = a), 8. b),7 8. c),78 8. d),88 8. e),9 8. Temos: C(,0). (,0) =. Para facilitarmos os cálculos, faremos a aproximação (,0). (,0) = (,0) 8 Assim, temos: C(,0) 8 = ( ) 8 8 Þ C = (,0) 8 = 8 Alternativa E. O dono de uma papelaria comprou uma grande quantidade de canetas de dois tipos, A e B, ao preço de R$ 0,00 e R$,00 a dúzia, respectivamente, tendo pago na compra o valor de R$.00,00. No total, ele saiu da loja com 777 canetas, mas sabe-se que, para cada três dúzias de um mesmo tipo de caneta que comprou, ele ganhou uma caneta extra, do mesmo tipo, de brinde. Nas condições descritas, o total de dúzias de canetas do tipo B que ele comprou foi igual a a). b) 8. c). d). e) 7. 0A + B = 00 A + B + A. + B. = 777 Þ A = e B = 8 Alternativa B FGVECONOV0 F

12 0//0 CPV o Cursinho que Mais Aprova na GV. Seja Z um número complexo cujo afixo P está localizado no o quadrante do plano complexo, e sejam I, II, III, IV e V os afixos de cinco outros números complexos, conforme indica a figura seguinte.. Na representação gráfica do sistema de equações x + y = x no plano cartesiano, uma das soluções é (0; ). y = A distância entre os pontos que representam as duas outras soluções desse sistema é igual a a) Se a circunferência traçada na figura possui raio e está centrada na origem do plano complexo, então o afixo de Z pode ser a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V. Z = a + bi Pela localização de P no gráfico: Z >. Z. Z Z = Z Z b) c) d) e) 7 x + y = (I) x y = (II) (I) + (II) : y + y = 0 Como é raiz: y = Como Z > e Z Ì o quadrante, temos Substituindo y em (II) obtemos: Z Z pode ser o III. Alternativa C x A = e x B = d AB = ( + ) + ( 7 7 ) = Alternativa C FGVECONOV0 F

13 CPV o Cursinho que Mais Aprova na GV 0//0. A única solução da equação sen x. sen x = cos x. cos x, com 0 x < 90, é: a) 7 b) c) d) 8 e) 7. Uma esfera de raio r está apoiada sobre o chão plano em um dia iluminado pelo sol. Em determinado horário, a sombra projetada à direita do ponto onde a esfera toca o chão tinha comprimento de 0 m, como indica a figura. sen x. sen x = cos x. cos x cos x. cos x sen x. sen x = 0 cos x = 0 x = π + kπ Þ x = π 0 + kπ Para k = 0: x = π 0 Þ x = 8º Para k = : x = π 0 Þ x = º Para k = : x = π 0 = π Þ x = 90º não convém por ser igual a 90º Alternativa D Nesse mesmo horário, a sombra projetada por uma vareta reta de m, fincada perpendicularmente ao chão, tinha m de comprimento. Assumindo o paralelismo dos raios solares, o raio da esfera, em metros, é igual a a) 0 b) 0 0 c) d) e) 0 0 Na figura abaixo incluímos informações. Observe: F C r r r A E D B ΔEDB ~ ΔFAB \ = AF 0 Þ AF = No ΔABF temos: BF = 0 + Þ BF = Mas ΔFOC ~ ΔFBA Þ Þ r = r = r 0 Þ 0 0r = r Þ 0 ( + ) Þ r = 0 0 Alternativa B FGVECONOV0 F

14 0//0 CPV o Cursinho que Mais Aprova na GV 8. A probabilidade de ocorrência do evento A é igual a, e a de ocorrência do evento B é igual a. Apenas com essas informações, e sendo p a probabilidade de ocorrência de A e B, pode-se afirmar que o menor intervalo ao qual p necessariamente pertence é a) [, ] b) [, ] c) [, ] d) [, ] e) [, ] Como p(a) + p(b) = + = 7 >, A e B não podem ser mutuamente exclusivos. Há duas possibilidades para A Ç B. Observe tais possibilidades abaixo: Da figura, temos: 0 p(a È B) Û 0 p(a) + P(B) p(a Ç B) Û Û p (A Ç B) Û 0 p(a Ç B) Û Û 7 7 p(a Ç B) Û Û p(a Ç B) Û p Da figura, temos: A Ç B = B, o que maximiza p. Neste caso, p = p(b) = Assim, p Dessa forma, o menor intervalo ao qual p necessariamente pertence é [ ; ]. Alternativa E FGVECONOV0 F

15 CPV o Cursinho que Mais Aprova na GV 0//0 9. O volume do cilindro circular reto que se obtém aumentandose x metros no raio da base desse cilindro, com x 0, é igual ao do que se obtém aumentando-se x metros na sua altura. Nessas condições, x é um a) produto de dois números primos. b) número primo maior do que. c) número irracional. d) divisor de. e) múltiplo de 7. V = π. r. h V I = π. (r + x). h V II = π. r (x + h) Como V I = V II π (r h + r. h + x h) = π (r h + r x) x = r r h h Não há alternativa, por não haver definição de r e h. Por exemplo, r = e h =, temos x =. Sem alternativa 0. O total de números de cinco algarismos que possuem pelo menos dois dígitos consecutivos iguais em sua composição é igual a a).8 b) 9.90 c) 8. d) 7.90 e) 0.9 Devemos ter: Quantidade total de números com algarismos, distintos ou não: 9. 0 = Quantidade de números que não possuem dois algarismos consecutivos iguais: = 9.09 Portanto, a quantidade pedida é = 0.9 Alternativa E COMENTÁRIO DO CPV As questões de Matemática do Vestibular FGV-Economia a fase 07 mantiveram suas características tradicionais: foram claras e bem elaboradas, adequadamente distribuídas pelo conteúdo programático. O equilíbrio entre o grau de dificuldade das questões propostas deve favorecer uma seleção de candidatos bastante eficiente. DISTRIBUIÇÃO DOS TEMAS Razão e Proporção Lógica Aritmética Geometria Plana Aritmética Progressão Aritmética 7 Estatística 8 Porcentagem e Juros 9 Geometria Espacial 0 Geometria Analítica Polinômio Geometria Plana Funções do o Grau Probabilidades Probabilidades Geometria Analítica 7 Equações Algébricas 8 Números Complexos 9 Analise Combinátoria 0 Logaritmos Funções do o Grau Matemática Financeira Sistemas Lineares Números Complexos Geometria Analítica Trigonometria 7 Geometria Plana 8 Probabilidades 9 Geometria Espacial 0 Analise Combinátoria FGVECONOV0 F