1. CIÊNCIAS, GRANDEZAS FÍSICAS E UNIDADES. 1.1 Objetivos de aprendizagem: 1.2 A natureza da física. 1.3 Grandezas e Dimensões

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1 1. CIÊNCIAS, GRANDEZAS FÍSICAS E UNIDADES. 1.1 Objetivos de aprendizagem: VOCÊ APRENDERÁ: O conceito de física e sua natureza. As grandezas fundamentais e as unidades usadas pelos físicos para medi-las. Análise dimensional. Conversão de unidades e como não perder de vista os algarismos mais significativos nos seus cálculos. Conceitos básicos de trigonometria. 1.2 A natureza da física A ciência e a engenharia se baseiam em medições e comparações. Assim precisamos de regras para estabelecer de que forma as grandezas devem ser medidas e comparadas, e de experimentos para estabelecer as unidades para essas medições e comparações. A física é uma ciência experimental, e assim como a química e a matemática, forma a base de todas as engenharias. Nenhum engenheiro pode projetar uma tela plana de TV, uma nave espacial, um reator ou até mesmo uma ratoeira mais eficiente, sem antes entender os princípios básicos da física. 1.3 Grandezas e Dimensões Os experimentos físicos exigem medidas, e normalmente usamos números para descrever os resultados das medidas. Medir refere-se a comparar uma grandeza com um padrão que é a unidade de medida. Uma grandeza física descreve quantitativamente um conceito quando o exprime na forma de número e em função de uma unidade de medida. Por exemplo, duas grandezas físicas para descrever você são a sua massa e a sua altura. Para cientistas e engenheiros, em grande parte do mundo, o sistema padrão utilizado é conhecido como Sistema Internacional ou SI. No SI a massa é medida em quilogramas (Kg) e a altura (comprimento) em metros (m). Existem outros sistemas como CGS e o sistema de Engenharia Britânico (BE) conforme exposto na Tabela 1.1. UNIDADES SI CGS BE Comprimento Massa Metro(m) Quilograma (kg) Centímetro (cm) Grama(g) Tempo Segundo(s) Segundo(s) RELAÇÕES IMPORTANTES 1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm 1 kg = 1000 g 1 ton = 1000 kg 1 h = 60 min = 3600 s 1 min = 60 s Pé (ft) Slugs (sl) Segundo Tabela 1.1 Relações entre os diversos sistemas de unidades. 1.4 Análise Dimensional Em física, o termo dimensão é usado para se referir à natureza física de uma grandeza. A preocupação com a dimensionalidade de uma grandeza ou de uma fórmula antecede a questão da unidade usada. Por exemplo, para medir a distância entre dois objetos podemos utilizar fita métrica graduada em centímetro, decímetro ou metro. Entretanto, ninguém discute que essa medida deverá ser feita a partir de uma unidade de comprimento. Em outras palavras, a análise dimensional é usada para verificar relações matemáticas quanto à consistência das suas dimensões. Na mecânica, parte da Física que envolve a cinemática e a dinâmica, a totalidade dos conceitos básicos dessa área pode ser expressa em termos de uma combinação de dimensões fundamentais. São elas: Comprimento [L] Tempo [T] Massa [M] (s) 5

2 Exemplo: Considere um carro que parte do repouso e acelera até uma velocidade v em um tempo t. Desejamos calcular a distância x percorrida pelo carro, mas não temos a certeza de se a relação correta é x = 1 v. t² ou x = 1 v. t. 2 2 Podemos verificar as grandezas em ambos os lados da equação para vermos se possuem as mesmas dimensões da seguinte maneira: Na equação x = 1 2. v. t2, aplicamos as dimensões [L], [T], teremos: [L] = [ L ]. [T]²[L] = [L]. [T] T A dimensão do lado esquerdo da equação não coincide com a dimensão do lado direito. Logo, a relação não está correta, pois não faz sentido trabalharmos com uma fórmula do tipo posição = velocidade. Afinal, estamos medindo posição ou velocidade? Daí a necessidade de que a dimensão do lado esquerdo da fórmula seja igual à do lado direito e, caso seja composta por mais de uma parcela, essas devem ter a mesma dimensionalidade entre si e a mesma compatibilidade com a descrição da fórmula em questão. Portanto, todas as fórmulas que utilizamos, independentemente do contexto em questão, deve ter o dimensionamento consistente. Caso contrário deve ser reanalisada ou simplesmente descartada. Lembre-se disso ao final das suas resoluções de problemas e exercícios! Para a equação x = 1. v. t,temos: 2 [L] = [ L ]. [T][L] = [L] T A dimensão em ambos os lados coincidem, logo essa equação está dimensionamento correta. 1.5 Conversões de unidades Uma vez que qualquer grandeza pode ser medida em diferentes unidades é importante saber como converter um resultado expresso em uma(s) unidade(s) para outra(s) unidade(s). A conversão pode envolver uma única unidade, como por exemplo, converter 1 km para metros, 1 km = 10 3 m. Pode também envolver mais de uma unidade. Por exemplo, converter uma velocidade dada em km/h para m/s. Neste caso, precisamos expressar quilômetro em metros e hora em segundos. Em todos os casos de conversão de unidades pode-se afirmar que não há nada mais envolvido que as operações de multiplicação e divisão. As regras de conversão podem ser sintetizadas a partir de um cálculo simples envolvendo regra de três. É necessário que se diga, embora óbvio, que só é possível converter uma unidade para outra unidade quando sabemos o quanto vale uma unidade de medida em termos da outra e vice-e-versa. Façamos o caso da conversão de velocidade de km/hm/s. Sabemos que 1 quilômetro possui 1000 metros e que 1 hora possui 3600 segundos (60x60s). Logo, 1km/h=1000m/3600s 0,2778m/s. Sabemos quanto vale 1km/h em m/s. E quanto vale 1m/s em termos de km/h? Vamos para a regra de três! 1km/h ,2778m/s x m/s A leitura é feita da seguinte forma: 1km/h vale 0,2778m/s. 1m/s (que ainda não sabemos quanto vale em km/h) em termos de km/h vale x (incógnita). Em seguida fazemos uma multiplicação em diagonal (repare que de um lado temos somente uma unidade (km/h) e do outro lado somente com outra unidade (m/s)). Assim ficamos com: 1 km/h.1m/s = x.0,2778m/s x = 1km/h 0,27778 = 3,6km/h Portanto, x, que é igual a 1 m/s escrito em termos de unidade de velocidade em m/s vale 3,6 km/h. A forma de montar uma regra de três é sempre simples. Mas atenção! Fazer uma mudança de unidades não altera a dimensão da grandeza que você está trabalhando! 6

3 Exemplo 1: O Sistema de unidades estadunidense é diferente do Sistema Internacional (Système National d Unités), que é utilizado no Brasil e na maioria dos países. Nos Estados Unidos, para medir massa, por exemplo, utiliza-se a unidade libras (pounds). Já no Brasil, geralmente se utiliza o quilograma. Para grandes medidas de altura, os norte-americanos utilizam a unidade pés (feet), enquanto que nós utilizamos metros ou quilômetros. Imagine que durante seu período de graduação você faça um intercâmbio acadêmico para os Estados Unidos e sua primeira aula seja de conversão de unidades. Assim, determine quanto vale 3212ft (feet) em metros. Obs.: 1ft=30,48cm=0,3048m Estratégia de raciocínio: 1 ft = 0,3048m. A pergunta é: quanto vale 3212ft expresso em metros? Vale x metros. É o que queremos descobrir. Vamos montar nossa regra de três! 1ft ,3048m 3212ft x A regra de três foi montada corretamente. Agora é só fazer a multiplicação em diagonal e isolar o fator x. 3212ft.0,3048m = x.1ft x = 979,0 m Não se esqueça de fazer o corte nas dimensões também! ft do lado esquerdo corta com ft do lado direito da equação e a resposta é dada em metros, conforme desejamos. 1.6 Incertezas e Algarismos Significativos As medidas sempre envolvem incertezas. Em muitos casos, a incerteza de um número não é apresentada explicitamente. Em vez disso, ela é indicada pelo número de dígitos confiáveis, ou algarismos significativos, do valor da medida. Por exemplo, medimos a espessura da capa de um livro e encontramos o valor 2,91mm, esse valor apresenta três algarismos significativos. Com isto, queremos dizer que os dois primeiros algarismos são corretos, enquanto o terceiro dígito é incerto. O último dígito está na casa dos centésimos, de modo que a incerteza é aproximadamente igual a 0,01mm. 1.7 Funções Trigonométricas Básicas A trigonometria é uma área da matemática muito aplicada na física, sobretudo nos tipos de problemas tratados pela mecânica. Em especial, três funções trigonométricas básicas são mais utilizadas. São essas: o seno, o cosseno e a tangente de um determinado ângulo. Podemos definir essas funções a seguir em termos de símbolo que aparecem no triângulo retângulo abaixo: Figura Triângulo Retângulo Pelo teorema de Pitágoras, determina-se que: h 2 = h o 2 + h a 2 h = comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo h 0 = comprimento do cateto oposto ao ângulo θ h a = comprimento do cateto adjacente ao ângulo θ Em que: sen θ = h o h, cos θ = h a h e tan θ = h a h o O seno, o cosseno e a tangente são números sem unidades (nem dimensões) porque cada um é a razão entre os comprimentos de dois lados de um triângulo retângulo. 7

4 Exemplo: A finalidade principal de um teodolito é a medida de ângulos horizontais e verticais. Indiretamente, podem-se medir distâncias que, relacionadas com os ângulos verticais, possibilita obter tanto a distância horizontal entre dois pontos quanto à diferença de nível entre os mesmos. (Fonte: Teodolitos e Níveis Ópticos Verificação e Ajustes, FERRAZ, A.S; ANTONINO, L.C.). A Figura 1.2 mostra uma versão simplificada do Teodolito. Considere que um topógrafo precisa determinar a altura de um edifício para executar um projeto de engenharia. Verifica-se que este edifício produz uma sombra de 67,2 m de comprimento em um dia ensolarado. O ângulo, verificado com o auxílio do teodolito, entre os raios de sol e o chão é de θ = 50,0º, como mostrado na Figura 1.3. Qual a altura do edifício? Figura Teodolito como comprimento h 0 do cateto oposto ao ângulo θ, o comprimento da sombra é o comprimento h a do cateto adjacente ao ângulo θ. Sabemos que a razão entre o comprimento do cateto oposto e o comprimento do cateto adjacente é a tangente do ângulo θ que pode ser usada para se determinar a altura do prédio. Solução: Usamos a função tangente conhecida da seguinte maneira, com θ = 50,0º e h a = 67,2 m: Desse modo: Assim: tan θ = h o /h a h o = h a tan θ = (67,2 m)(tan 50,0 ) h o = (67,2 m)(1,19) = 80,0 m O valor de tan 50,0º é determinado usando a calculadora cientifica. Exemplo: A profundidade de um lago aumenta gradativamente com um ângulo θ, como indicado na figura abaixo. Por questões de segurança, é necessário se determinar a profundidade do lago em várias distâncias a partir da margem. Para fornecer informações a respeito da profundidade, um guarda-vidas rema até uma distância de 14,0 m da margem em direção ao interior do lago e solta uma linha de pesca com um peso. Medindo o comprimento da linha, o guarda-vidas determina a profundidade como sendo igual a 2,25 m. a) Qual o valor de θ? b) Qual seria a profundidade d do lago a uma distância de 22,0 m a partir da margem? Figura 1.3- Edifício e suas projeções. Estratégia de raciocínio: Desejamos determinar a altura do edifício. Para isso, analisamos as informações contidas no triângulo retângulo sombreado da figura dada. São elas: a altura Figura Lago e suas projeções. 8

5 Estratégia de raciocínio: Podemos observar que próximo a margem, os comprimentos dos catetos oposto e adjacente do triângulo retângulo formado na figura do lago são h 0 =2,25 m e h a =14,0 m, em relação ao ângulo θ. Após a identificação dessas informações, podemos usar o arco tangente (tan -1 ) para determinar o ângulo do item (a). Para determinar o item (b), consideramos que os catetos opostos e adjacentes passam a ser os mais afastados da margem onde h 0 = d e h a =22,0 m. Assim, com o valor de θ obtido no item (a), a função tangente pode ser usada para encontrar o valor da profundidade desconhecida. Considerando a forma com que a profundidade do lago aumenta com a distância na figura do lago, é de se esperar que a profundidade desconhecida seja maior do que 2,25 m. circular. Várias situações e fenômenos (periódicos e não periódicos) exigem descrição em termos de movimentos circulares (isso sem contar a íntima relação entre movimentos oscilatórios harmônicos e o movimento circular uniforme). Solução: a) Usando a função arco tangente conhecida, chegamos a: θ = tan 1 ( h o ) = tan 1 2,25 m ( h a 14,0 m ) = 9,13 b)com θ = 9,13º, a função tangente pode ser usada para determinarmos a profundidade desconhecida a uma distância maior da margem, onde h 0 = d e h a = 22,0 m. Conclui-se que: h o = h a tan θ d = (22,0 m)(tan 9,13 ) = 3,54 m Temos que 3,54m é maior que 2,25 m, o que já era esperado. 1.8 Círculo trigonométrico Do ponto de vista matemático é muito útil descrever relações trigonométricas em termos da geometria analítica. Do ponto de vista da física, é importante ter uma descrição matemática simples e completa para o movimento circular, pois muita coisa na natureza pode ser descrita em função desse tipo de movimento. Muitos artefatos produzidos pelo homem (a própria roda e vários tipos de sistema de engrenagens, apenas para ficar em alguns exemplos) possuem formato Figura 1.5 Ciclo Trigonométrico. O círculo trigonométrico é mais que o ponto de partida para a descrição matemática do movimento circular (se fosse só isso já não seria pouca coisa). O círculo trigonométrico relaciona um círculo de raio unitário adimensional (por definição) e um plano cartesiano com coordenadas (x,y). O centro do círculo coincide com a origem do plano cartesiano. A relação entre a localização de um ponto no círculo e o sistema de eixos coordenados é dada pela projeção ortogonal do ponto em relação a cada eixo coordenado. A partir daí formam-se triângulos retângulos que servem de base para definir todas as definições das funções trigonométricas. De maneira bem simples: O eixo x é o eixo dos cossenos. O eixo y é o eixo dos senos (ver Figura1.6). Sigamos com a análise do círculo trigonométrico fazendo referência à duas unidades de medida angular: radianos e graus. O círculo trigonométrico é dividido em quatro quadrantes, como segue: O I quadrante é 9

6 constituído pelos ângulos que estão entre 0 e π/2; o II quadrante é constituído pelos ângulos que estão entre π/2 e π; o III quadrante comporta os ângulos situados entre π e 3π/2; e o IV quadrante comporta os ângulos situados entre 3π/2 e 2π. Em termos da medida angular em graus, o I quadrante é delimitado entre 0 e 90 o, o II entre 90 o e 180 o, o III entre 180 o e 270 o e o IV entre 270 o e 360 o. Para finalizar, faremos uma brevíssima introdução da expressão: C = 2πR O que ela traz de tão especial? C é o comprimento do círculo. Sendo um comprimento, trata-se, portanto de uma grandeza linear. Do lado direito da expressão temos 2π. No caso, isso significa 2π radianos. É, portanto, uma grandeza angular. Desse modo temos uma relação entre uma relação entre uma grandeza escalar (comprimento C do círculo) e uma grandeza angular (2π radianos). Outras expressões relacionando grandezas lineares com grandezas angulares surgirão no contexto da dinâmica. Vamos mostrar aqui um breve esclarecimento sobre o ciclo trigonométrico conforme segue nas figuras abaixo: π II III IMPORTANTE! Para que essa relação esteja correta, necessariamente a medida angular deve estar em radianos. Eixo dos senos π/2 I IV 0 2π Eixo dos cossenos 180 II III Eixo dos senos 90 I IV 270 Figura (b) Eixo dos cossenos Figura 1.6 Ciclo Trigonométrico: (a) em radianos e (b) em graus. É muito importante destacar que ao falar em ângulo, além de informar qual medida angular está utilizando, temos também de ser cuidadosos e explícitos em relação a como a medida angular é feita. De maneira clara: Dizer simplesmente que o ângulo é 30º não é preciso. Precisamos responder o seguinte: O ângulo foi tomado a partir do semieixo Ox+ ou do semieixo Oy+? A medida angular foi feita no sentido horário ou anti-horário? O usual (mas não obrigatório) é fazer a abertura angular a partir do semieixo Ox+ e tomar como sentido positivo a abertura em sentido horário (portanto o sentido anti-horário é negativo). Observe que o sentido positivo do círculo trigonométrico é o sentido anti-horário, enquanto que o sentido negativo é o sentido horário. IMPORTANTE! Cuidados com a medida angular: A especificação completa da medida angular envolve a escolha do semieixo e o sentido em que a abertura angular é realizada (horário ou anti-horário). 3π/2 Figura (a) 10

7 1.9 Lei dos Cossenos Para um triângulo qualquer podemos escrever a lei dos cossenos. a 2 = b 2 + c 2 2.b.c.cos() Onde é o ângulo oposto ao lado a. Figura Lei dos Senos Considere o triângulo ABC, onde CH é a altura relativa ao lado AB. Como mostrado na Figura 1.8. Assim, podemos concluir que: a sen A = b sen B = c sen C Equação essa conhecida como Lei dos senos ou Teorema dos senos. Exemplo 1 A água utilizada na casa de um sítio é captada e bombeada do rio para uma caixad água a 50m de distância. A casa está a 80m de distância da caixa-d água e o ângulo formado pelas direções caixa d água-bomba e caixa d água-casa é de 60º. Pretende-se bombear água do mesmo ponto de captação até a casa, quantos metros de encanamento são necessários? Figura 1.8 No triângulo ACH, temos que: Exemplo 2 - A figura mostra o trecho de um rio onde se deseja construir uma ponte AB. De um ponto P, a 100m de B, mediu-se o ângulo dos pontos APB = 45º e do ponto A, mediu-se o ângulo PAB = 30º. Qual o comprimento da ponte? No triângulo BCH, temos que: De (I) e (II),obtemos: Ou a sen A = b sen B 11