Receptor Ótimo para Sistemas OFDM Cooperativos com Amplificadores de Potência Não Lineares

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1 Receptor Ótimo para Sistemas OFDM Cooperativos com Amplificadores de Potêcia Não Lieares Éder Jacques P. Farias, Diego A. Sousa, C. Alexadre R. Ferades e C. Estêvão R. Ferades Resumo A diversidade de cooperação e a multiplexação por divisão de frequêcias ortogoais orthogoal frequecy divisio multiplexig - OFDM) são duas das pricipais tecologias para os sistemas de comuicação sem fio. Neste artigo, propõe-se um receptor ótimo, o setido da razão sial ruído sigal-tooise ratio - SNR), para um sistema OFDM cooperativo ão liear. O modelo de sistema utilizado iclui um trasmissor com amplificador de potêcia ão liear e um repetidor relay) do tipo amplifica-e-ecamiha amplify-ad-forward - AF), sedo este último também equipado com um amplificador de potêcia ão liear. Usado a técica de diversidade por combiação de razão máxima maximum ratio combiig - MRC) para tratar os siais recebidos, o receptor proposto cosidera tato as iformações oriudas do camiho direto fote-destio) como as proveietes do repetidor. Resultados uméricos de simulação são apresetados, evideciado o desempeho do receptor proposto. Palavras-Chave OFDM, diversidade de cooperação, amplificador ão liear, receptor ótimo, MRC. Abstract Cooperatio diversity ad orthogoal frequecy divisio multiplexig OFDM) are two key techologies for wireless commuicatio systems. I this paper, we develop the optimum receiver, i the sigal-to-oise ratio SNR) sese, for a oliear OFDM cooperative system. The system model cosidered icludes a trasmitter with a oliear power amplifier ad a amplifyad-forward AF) relay also usig a oliear power amplifier. The proposed receiver uses a maximum ratio combiig MRC) diversity techique to treat the received sigals, assumig that both the direct lik source-destiatio) ad the relay lik are available. Numerical simulatio results are provided to illustrate the performace of the proposed receiver. Keywords OFDM, cooperative diversity, oliear power amplifier, optimum receiver, MRC. I. INTRODUÇÃO A tecologia de multiplexação por divisão de frequêcias ortogoais OFDM, orthogoal frequecy divisio multiplexig) pode ser ecotrada em diversos padrões de trasmissão sem fio, como IEEE a, IEEE , 3GPP LTE, DVB- T Digital Video Broadcastig - Televisio), DAB-T Digital Audio Broadcastig - Televisio), bem como os padrões de redes celulares 4G e 4.5G 1, 2. Este tipo de modulação multiportadora é muito eficaz o combate à iterferêcia etre-símbolos ISI, itersymbol iterferece) e aproveita bem Dpto. Eg. Teleiformática, Uiv. Federal do Ceará, Fortaleza, Brasil, Egeharia da Computação, Uiv. Federal do Ceará, Campus UFC Sobral, Brasil, Cetro de Tecologia, Uiv. Federal do Ceará, Fortaleza, Brasil, s: eder.jacques@gmail.com, diego@gtel.ufc.br, alexadreferades@ufc.br, estevao@ufc.br. Este trabalho recebeu suporte fiaceiro dos seguites projetos de pesquisa: CAPES/DS, PRONEX/Fucap cotrato N o /08, PPP/Fucap cotrato N o CV2153/SUB10 FCPC) e BPI/FUNCAP cotrato N o BP /10. o espectro utilizado frequêcias ortogoais. Os símbolos OFDM são trasmitidos em badas superpostas de forma a ão haver a ecessidade de bada de guarda etre as subportadoras. Além disso, a implemetação digital dos trasceptores OFDM é bastate simples, diferetemete da tecologia predecessora, a multiplexação por divisão de frequêcias FDM, Frequecy- Divisio Multiplexig), que tiha alto custo de implemetação e meor eficiêcia espectral. Um dos grades problemas das modulações multiportadoras é a alta razão etre a potêcia de pico e a potêcia média PAPR, peak average power ratio) do sial recebido 1. A PAPR é defiida como a razão etre a potêcia máxima istatâea e a potêcia média do sial trasmitido. Devido às várias subportadoras com símbolos idepedetes, a soma coerete destes pode gerar um alto valor em amplitude, ocasioado uma alta PAPR. Por cota da ão liearidade dos amplificadores de potêcia PA, power amplifier) existetes os trasmissores, quado a PAPR é elevada, os picos do sial podem atigir a região de saturação da curva de resposta do amplificador, resultado em distorções que podem causar erros a detecção do sial 5, 3, 4. A fim de ão deteriorar a qualidade do elace, o trasmissor deve utilizar um alto valor de recuo de etrada IBO, iput back-off ) 5. O IBO é defiido como a razão etre a potêcia de saturação e a potêcia média a etrada do PA. Altos valores de IBO resultam em uma baixa razão sial ruído SNR, sigal-to-oise ratio) o receptor e em uma perda de eficiêcia de potêcia de trasmissão, ocasioado uma subutilização do PA. Assim como o OFDM, a diversidade de cooperação assumiu um papel de destaque o deseho das tecologias de comuicações móveis atuais e futuras. Sistemas com diversidade de cooperação têm sido objeto de pesquisa de muitos trabalhos que tratam da trasmissão de dados sem fio 6. Tais sistemas têm como pricipais objetivos ampliar a cobertura, eficiêcia espectral e capacidade. Em sistemas de múltiplas etradas e múltiplas saídas MIMO, multiple-iput multipleoutput), o uso da diversidade de cooperação permite que se explore a diversidade espacial, com a vatagem de ão precisar utilizar múltiplas ateas em um mesmo termial 7, 8. Os sistemas cooperativos são compostos por um trasmissor, um ou mais repetidores relays) distribuídos e um ou mais receptores destio) 9, 6. O modo de fucioameto desses repetidores é defiido pelo seu protocolo de retrasmissão. Atualmete, existem vários destes protocolos para sistemas cooperativos, detre os quais destacam-se as estratégias amplifica-e-ecamiha AF, amplify-ad-forward) e decodifica-e-ecamiha DF, decode-ad-forward). Neste

2 trabalho, o protocolo AF será utilizado por razões de simplicidade computacioal e de latêcia do sistema, visto que este caso o repetidor ão realiza operações de codificação e decodificação. x SR R NL) x SRD Neste artigo, propõe-se um receptor ótimo, o setido de maximizar a razão sial ruído SNR, sigal-to-oise ratio), para um sistema OFDM cooperativo do tipo AF assumido que ambos os elaces fote-destio e fote-repetidor-destio estão dispoíveis e que os PAs tato da fote quato do repetidor são ão lieares. Com o ituito de explorar a diversidade espacial, o receptor proposto utiliza um algoritmo de combiação de razão máxima MRC, maximum ratio combiig), uma técica clássica de diversidade baseada a combiação de réplicas descorrelacioadas de um sial recebidas em um arrajo de ateas 10. Cotudo, ates de modelar o receptor MRC, faz-se ecessário fazer um pré-braquameto dos siais recebidos. Esse pré-braqueameto é madatório, pois, como verificaremos adiate, os ruídos proveietes das distorções ão lieares adicioados aos dois siais recebidos o destio são correlacioados, fato que iviabiliza a realização do receptor MRC a sua forma clássica. Resultados uméricos de simulação são apresetados, evideciado o desempeho do receptor proposto. Na etapa de simulações, faremos aálises de taxa de erro de símbolo do receptor proposto, para várias SNRs e IBOs, fazedo comparações com receptores que ão cosideram a diversidade e com casos em os PAs são lieares. Atualmete, existem poucos trabalhos que ivestigam o impacto das distorções ão lieares em sistemas de comuicação cooperativos. Deve ser destacado que, o melhor do osso cohecimeto, ão há trabalhos a literatura que cosiderem um sistema cooperativo ode ambos, fote e repetidor, possuem amplificadores ão lieares e ode ambos os elaces fotedestio e fote-repetidor-destio são utilizados. Em 11, um receptor ótimo para um sistema de comuicação cooperativo OFDM-AF foi proposto, cosiderado ão liearidade apeas o repetidor. Em 12, foi proposta uma técica de alocação de potêcia para um sistema com múltiplos repetidores AF com PAs ão lieares. Uma aálise de probabilidade de outage iterrupção de serviço) de um sistema de comuicação cooperativo AF foi desevolvida em 13, 14, levado em cosideração o impacto da saturação da potêcia média. No etato, ão se cosidera em 13 as distorções ão lieares causadas pela saturação da amplitude istatâea dos siais trasmitidos e, e em 14 é cosiderado que apeas o relay possui amplificador de potêcia ão liear. Em 15, uma expressão de probabilidade de erro de bit foi desevolvida para um sistema cooperativo, assumido ão liearidade o trasmissor e o repetidor. Vale salietar que em 15, 12, 13 é assumido que ão existe camiho direto etre a fote e o destio. O restate do artigo está orgaizado da seguite forma. A Sessão II descreve o modelo de sistema cosiderado; a Sessão III, o receptor ótimo proposto é desevolvido; a Sessão IV resultados de simulação computacioal são apresetados e, fialmete, a Sessão V sitetiza as coclusões deste artigo e discute perspectivas para trabalhos futuros. Fig. 1. S NL) Modelo de Trasmissão x SD II. MODELAGEM DO SISTEMA O ceário do sistema proposto é composto por três compoetes básicos: a fote S), o relay R) e o destio D), ode se presume que a fote e o relay possuem PAs ão lieares, como mostrado a Fig. 1. Tato o camiho direto etre a fote e o destio S-D), quato o camiho passado pelo relay S- R-D) são levados em cosideração, sedo o relay do tipo AF. A trasmissão dos dados é feita utilizado OFDM e todos os ós são equipados com uma úica atea operado em modo half-duplex. Assumimos que os caais sem fio são seletivos em frequêcia com desvaecimeto Rayleigh e que os símbolos trasmitidos pelos três ós estão sicroizados. Além disso, cosidera-se que todas as subportadoras do sial trasmitido a fote possuem a mesma potêcia P s. Seja s o símbolo de iformação que será trasmitido a -ésima subportadora o domíio da frequêcia, com 1 N, ode N é o úmero de subportadoras, e s o sial trasmitido o domíio do tempo, ou seja, a trasformada discreta de Fourier iversa IDFT, iverse discrete Fourier trasform) de s, com 1 N. Os dados trasmitidos s são assumidos idepedetes e ideticamete distribuídos i.i.d.), com distribuição uiforme e modulação de amplitude em quadratura QAM, Quadrature Amplitude Modulatio) ou modulação por deslocameto de fase PSK, Phase Shift Keyig). Para um alto úmero N de subportadoras, s pode ser cosiderado uma variável aleatória com distribuição Gaussiaa complexa 16. Assumido que a forma de oda é retagular e usado a extesão do Teorema de Bussgag para etrada Gaussiaa complexa, podemos expressar a saída do PA da fote o domíio do tempo como 16: D f S s ) = α ss +d S), 1) ode d S) é uma distorção descorrelacioada com s, α s é uma costate complexa e f S ) é uma fução ão liear sem memória que modela o PA da fote. No domíio da frequêcia, escreve-se: f S = α ss +, 2) ode f S, s e são respectivamete as trasformadas discretas de Fourier DFT, discrete Fourier trasform) de f S s ), s e d S), com 1, N. Assumido que o tamaho do prefixo cíclico do OFDM é maior ou igual ao espalhameto de atrasos do caal delay spread) e deotado por x o sial em bada base discreto o domíio da frequêcia, da -ésima subportadora, recebido

3 o elace etre a fote S) e o relay R), com 1 N, obtém-se: x = h f S +η, 3) ode h é a resposta em frequêcia da -ésima subportadora do caal SR e η é o ruído braco Gaussiao aditivo AWGN, additive white gaussia oise) do camiho etre fote S) e relay R) da -ésima subportadora. Aplicado 2) em 3), obtém-se: x = h = h α s s + α s s +h ) +η, +η. 4) Será cosiderado que o relay adicioa um gaho variável g a cada subportadora do sial recebido x, dado por: Pr g = h. 5) 2 P s +σ 2 η ode P r é a potêcia do sial o relay e σ 2 é a potêcia η do AWGN do camiho etre fote S) e relay R) da -ésima subportadora. De forma similar a 1) e 2), podemos expressar a -ésima subportadora da saída f R do PA do relay o domíio da frequêcia, como: f R = α r g )+d R), 6) ode α r é uma costate complexa, d R) é uma distorção descorrelacioada com g e f R é uma fução ão liear sem memória que modela o PA do relay. Deve-se ressaltar que, para a aplicação do Teorema de Bussgag o PA do relay, é ecessário assumir que o sial recebido o relay o domíio do tempo seja uma sial Gaussiao complexo. Esta hipótese é justificada cosiderado-se que o ruído η é Gaussiao e que a resposta ao impulso do caal é de média ou loga duração, como ilustrado as simulações apresetadas a Seção IV. Ademais, α s e a potêcia de depedem do modelo do PA da fote, equatoα r e a potêcia de d R) depedem do modelo do PA do relay. Para certas classes de modelos de PA, expressões fechadas para estes parâmetros podem ser obtidas 15, 16. Dessa forma, o sial recebido pelo destio através do relay caal RD) a -ésima subportadora o domíio da frequêcia é dado por: f R +ηrd), 7) ode h RD) é a resposta em frequêcia da -ésima subportadora do caal RD e η RD) é o correspodete AWGN. De forma similar, aplicado 6) em 7), temos que: ) g α r x +d R) +η RD) h α s α r g s +h α r g η α r g h RD) d R) +η RD) +. 8) Por outro lado, usado 6), o sial recebido pelo destio diretamete da fote caal SD) a -ésima subportadora o domíio da frequêcia pode ser escrito da seguite forma: α s s +h SD) +η SD), 9) ode h SD) é a resposta em frequêcia da -ésima subportadora do caal SD e η SD) é o correspodete AWGN. Dessa forma, os siais recebidos o destio podem ser expressos como: { ode h 1 h 2 ν 1 ν 2 = h 1 s +ν 1, 10) = h 2 s +ν 2 h α s α r g, 11) α s, 12) = h h RD) α r g +hrd) α r g η + g d R) +η RD), 13) +ηsd). 14) As equações defiidas em 10), caracterizam um modelo liearizado para o sistema ão liear utilizado este trabalho, permitido assim que seja desevolvido um receptor ótimo baseado em MRC, que será apresetado a próxima seção. III. RECEPTOR ÓTIMO Nesta seção, será desevolvido o modelo de um receptor que maximiza a SNR do sistema cooperativo OFDM ão liear decrito a Seção II. Neste modelo, será utilizado o MRC para combiar as duas compoetes do sial recebido o destio e fazer a recuperação da iformação trasmitida. É assumido que o receptor possui cohecimeto exato dos caais sem fio, dos parâmetros dos PAs e da variâcia do ruído. No etato, para a realização deste tipo de receptor é ecessário que os ruídos ν 1 e ν 2 sejam descorrelacioados. Cotudo, uma vez que a distorção ão liear itroduzida pelo PA da fote está presete tato em ν 1 quato em ν 2, pode-se cocluir que ν 1 e ν 2 são correlacioados. Desta forma tora-se ecessário fazer um pré-braqueameto dos siais recebidos. Para iiciar o processo de pré-braqueameto, os siais recebidos são reescritos a forma matricial, da seguite forma: ou de forma resumida = h1 h 2 s + ν1 ν 2, 15) x = h s +ν. 16) Deota-se por A a matriz de pré braqueameto que é defiida de forma que: A R ν A H = I 2, 17) ode I 2 é a matriz idetidade de dimesão 2 2 e R ν é a matriz de correlação do vetor de ruídos ν dada por: R ν = E{ ν1 2 } E{ν 1 ν 2 } E{ν 1 ν 2 } E{ ν 2 2 }. 18)

4 Calculado os compoetes da matriz R ν, obtém-se: E{ ν 1 2 } = h e, fialmete, 2 h RD) 2 α r 2 g 2 σ2 + + h RD) 2 α r 2 gσ 2 2 η + h RD) 2 g 2 σ2 d R) E{ ν 2 2 } = h SD) 2 σ 2 E{ν 1 ν 2 } E{ν 1 ν 2 } h h RD) h h RD) + +σ 2 η RD), 19) +σ 2, 20) η SD) g α r σ 2, 21) g α r σ2. 22) Assim, defie-se a matriz de pré braqueametoa como: A = Λ 1 2 E H, 23) ode E e Λ represetam respectivamete as matrizes de autovetores e de autovalores da matriz R ν, e o expoete H deota o Hermitiao cojugado-trasposto) de uma matriz. Assim: λ1, 0 Λ =, 24) 0 λ 2, ode E = e1, e 2, 1 1, 25) λ 1, = E{ ν 1 2 }+E{ ν 2 2 }, 26) 2 λ 2, = E{ ν 1 2 }+E{ ν 2 2 }+, 27) 2 e 1, = λ 1, E{ ν 2 2 }, 28) E{ν 1 ν 2 } e 2, = λ 2, E{ ν 2 2 }, 29) E{ν 1 ν 2 } em que λ 1,,λ 2, R 0 e = E{ ν1 2 } E{ ν 2 2 } ) 2 +4E{ν1 ν 2 }E{ν 1 ν 2 }. Dessa forma a matriz de braqueameto é defiida como: A = Λ 1 2 E H, 1 0 = λ1, e 1, e λ2, 2, 1 e 1, 1 = λ1, λ1, e. 30) 2, 1 λ2, λ2, Aplicado a matriz de braqueametoa os siais recebidos, pode-se defiir um ovo sistema com ruídos ortoormais como: x b = A x = A h s +A ν 31) = h b s +ν b 32) ode ν b = A ν é o vetor cotedo os ruídos ortoormais e h b = A h é o vetor cotedo os coeficietes do sistema a ova base. Note que E{ν b ν b H } = I 2. Usado o MRC, coclui-se que o receptor ótimo para o sistema proposto em 10) é dado por y = w T x b, ode w = h b / h b 2 C 2 1, represetado a orma de um vetor. A SNR a saída do MRC é etão dada por: SNR = σ 2 s h b 2 = σ 2 sh H A H A h, = σ 2 s hh E Λ 1 EH h, = σ 2 sh H R 1 ν h. 33) IV. RESULTADOS DE SIMULAÇÃO Nesta seção, serão apresetados resultados de simulações computacioais a fim de promover uma avaliação de desempeho do modelo de receptor proposto. No que segue, assumese seletividade em frequêcia e desvaecimeto Rayleigh para todos os caais, e os símbolos trasmitidos pertecem a uma costelação 16-QAM distribuição uiforme etre 0 e 15). Cosidera-se que os amplificadores de potêcia, da fote e do relay, são limitados em potêcia usado soft-clippig, cujo modelo é defiido o apêdice I, com potêcia de saturação igual a 0 db. O prefixo cíclico do sial OFDM é assumido igual ou maior que o espalhameto de atraso do caal delay spread). Em todas as simulações, foram utilizadas 64 subportadoras o trasmissor OFDM e os resultados apresetados são a média de 10 5 simulações de Mote Carlo. Aálises de taxa de erro de símbolo SER, symbol error ratio) são apresetadas para diversos ceários de comparação. A Fig. 2 mostra a comparação do receptor MRC, x MRC), com os receptores idividuais do camiho direto etre a fote e o destio,, e do camiho passado pelo relay,, cosiderado a SNR igual a 20 db. Verifica-se que, para a maior parte dos valores de IBO testados, o receptor x MRC) apreseta um gaho cosiderável quado comparado com e, forecedo uma SER aproximadamete 10 vezes meor o poto ótimo de IBO do receptor, poto esse que é de 8 db para o sistema proposto. A existêcia do poto ótimo é explicada pelo fato de que, para altos valores de IBO, temos uma meor potêcia de trasmissão e, por cosequêcia, um sial mais fraco é obtido o receptor. Por outro lado, para valores muito baixos de IBO, os efeitos da ão liearidade sobre o sial trasmitido são acetuados, criado assim um poto em que a SER é piorada, mesmo quado se aumeta a IBO. Para baixos valores de IBO IBO 3 db), o receptor apreseta desempeho praticamete igual ao receptor, devido aos efeitos da ão liearidade do amplificador sobre o sial. Na Fig. 3, estudou-se o receptorx MRC) cosiderado IBOs iguais a 1 db, 5 db, 10 db, 15 db e cosiderado PAs lieares a fote e o relay. Podemos verificar que, para baixos valores de IBO e elevados valores de SNR, o receptor x MRC) tem o seu desempeho prejudicado pelas altas distorções ão lieares. Nota-se uma cosiderável melhora a SER à medida em que se aumeta a IBO, para SNRs elevadas e moderadas. é iteressate otar que, o receptor x MRC) com IBO fixada

5 Taxa de Erro de Símbolo Fig. 2. Taxa de Erro de Símbolo x MRC) IBO db) Fig. 3. lieares SER versus IBO para SNR = 20dB IBO = 1dB IBO = 5dB IBO = 10dB IBO = 15dB Trasmissores Lieares SNR db) SER versus SNR para IBO = 1dB/5dB/10dB/15dB e caais em 10 db tem uma meor SER que o receptor com IBO fixada em 15 db, o que demostra mais uma vez que existe um compromisso a escolha da potêcia do sial, devido às distorções ão lieares adicioadas ao sial. V. CONCLUSÕES Neste artigo, um receptor MRC com pré-braqueameto dos siais recebidos foi proposto para um sistema OFDM cooperativo AF com amplificadores de potêcia ão lieares a fote e o relay. Os resultados das simulações realizadas mostraram que o sistema proposto apreseta um valor ótimo de IBO e que, a partir desse poto há uma deterioração do sial recebido, que ocorre devido o fato de que para IBOs baixas a distorção ão liear é grade e para IBOs muito altas a potêcia do sial é reduzida. Em trabalhos futuros, serão feitas aálises de capacidade, de probabilidade de outage e de otimização da potêcia da fote e do relay para o sistema cosiderado. Além disto, será desevolvido um receptor ótimo cosiderado múltiplos relays. REFERÊNCIAS 1 T. Hwag, C. Yag, G. Wu, S. Li, ad G. Y. Li, OFDM ad its wireless applicatios: a survey. IEEE Trasactios o Vehicular Techology, vol. 58,. 4, pág , Maio, C. Ciochia, F. Buda e H. Sari, A Aalysis of OFDM Peak Power Reductio Techiques for WiMAX Systems. IEEE Iteratioal Coferece o Commuicatios, vol. 10, pág , Juho, R. Prasad, OFDM for Wireless Commuicatios Systems. Artech House, Ic., 1st editio, D. A. Sousa, C. A. R. Ferades, C. E. R. Ferades, L. S. Cardoso Aálise de PAPR em sistemas VFDM para Rádio Cogitivo. Simpósio Brasileiro de Telecomuicações, Outubro, D.W. Chi ad P. Das, Effect of oliear amplifier i compaded OFDM with applicatio to wla,. i IEEE Global Telecommuicatios Coferece GLOBECOM), pág. 1-6, Dezembro J. N. Laema, D. N. C. Tse, ad G. W. Worell, Cooperative diversity i wireless etworks: Efficiet protocols ad outage behavior,. IEEE Tras. Iform. Theory, vol. 50,. 12, pág , Dezembro, Q. H. Specer, C. B. Peel, A.L. Swidlehurst, M. Haardt, A itroductio to the multi-user MIMO dowlik. IEEE Commuicatios Magazie, vol. 42,. 10, pág , Outubro, H. Falk, Prolog to Multi-User MIMO-OFDM for Next-Geeratio Wireless. Proceedigs of the IEEE, vol. 95,.7, pág , Julho, A. Bletsas, H. Shi, M. Z. Wi, Cooperative Commuicatios with Outage-Optimal Opportuistic Relayig. IEEE Trasactios o Wireless Commuicatios, vol. 6,. 9, Setembro, Witers, J.H., Optimum combiig i digital mobile radio with cochael iterferece. IEEE Trasactios o Vehicular Techology, vol. 33,. 3, pág , Agosto V. del Razo, T. Riihoe, F. H. Gregorio, S. Werer, ad R. Wichma, Noliear amplifier distortio i cooperative amplify-adforward OFDM systems. i Wireless Commuicatios ad Networkig Coferece WCNC), Budapest, Hugary, Abril, C. Zhag, P. Re, J. Peg, G. Wei, Q. Du, ad Y. Wag, Optimal relay power allocatio for amplify-ad-forward relay etworks with oliear power amplifiers. CoRR, vol. abs/ , Abril, M. O. Hasa ad M.-S. Alouii, A performace study of dual-hop trasmissios with fixed gai relays. IEEE Trasactios o Wireless Commuicatios, vol. 3,. 6, pág , Novembro, C.A.R. Ferades, Outage performace of cooperative amplify-adforward OFDM systems with oliear power amplifiers. IEEE Iteratioal Workshop o Sigal Processig Advaces i Wireless Commuicatios, T. Riihoe, S. Werer, F. Gregorio, R. Wichma, ad J. Hamalaie, BEP aalysis of OFDM relay liks with o-liear power amplifiers. i IEEE Wireless Commuicatios ad Networkig Coferece WCNC), Sydey, Australia, pág. 1-6, Abril, D. Dardari, V. Tralli, ad A. Vaccari, A theoretical characterizatio of oliear distortio effects i OFDM systems. IEEE Trasactios o Commuicatios, vol. 48,. 10, pág , Outubro APÊNDICE I O modelo de amplificador soft-clippig é defiido como: { x, se x f NL) Psat x) = P sat e j x 34), se x > P sat, ode P sat represeta o poto de saturação do amplificador 14, 16. Aplicado a extesão do teorema de Bussgag o referido amplificador, como mostrado em 6), obtêm-se que α é dado por: ) α = 1 e P sat ) πpsat Ps + 2 Psat erfc 35) P s Ps e a potêcia do ruído d proveiete da distorção é dada por: σd 2 = P s 1 e P sat ) Ps α 2) 36)