Disciplina de Matemática Aplicada I Curso Técnico em Mecânica Profª Valéria Espíndola Lessa APOSTILA 1

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1 Disciplin de Mtemátic Aplicd I Curso Técnico em Mecânic Profª Vléri Espíndol Less APOSTILA Frções Decimis Potêncis Rzão e Proporção Porcentgem Regr de Três Erechim, 0

2 FRAÇÕES E NÚMEROS DECIMAIS Frções As frções ou números frcionários representm quntiddes não inteirs, n qul o denomindor indic em qunts prtes s uniddes (espços entre os inteiros) form dividids e o numerdor indic em qul posição está prte tomd. Um frção pode estr representd num ret numéric ou em figurs geométrics. Eemplo: Representr grficmente s frções seguintes (i) (ii) (iii) 0 (iv) Números Decimis Os números decimis são outr form de representr lguns tipos de frções. Eles possuem um prte inteir e outr não inteir depois d vírgul. Qundo dividimos o numerdor pelo denomindor de um frção, podemos obter dois tipos de resultdos: Números com css decimis finits => número deciml; Números com css decimis infinits => dízim periódic. Eemplo: Trnsformr s frções em números decimis ou dízims periódics. (i) = (ii) = (iii) 0000 =

3 (iv) 0 = (v) = (vi) 9 = Eemplo: Trnsformr os números decimis em frções (i) 0, (ii), (iii) 0,0000 (iv),00 (v) 0,0 (vi), Frções Equivlentes São s que representm mesm prte do inteiro, ou sej, são s frções que representm mesm quntidde, o mesmo número deciml. Se multiplicrmos os termos (numerdor e denomindor) de um frção sucessivmente pelos números nturis, teremos um conjunto infinito de frções que constitui um conjunto que é conhecido como clsse de equivlênci d frção dd. / / /6 /8 / / / /6 /6 /6 /8 /8 /8 /8 / / / /6 /6 /6 /8 /8 /8 /8 6 8 Se dividirmos os dois termos d frção pelo mesmo número nturl, obteremos frções equivlentes e mis simples. Este é o processo de simplificção de frções. Qundo não conseguimos mis simplificr, obtemos frção irredutível. Eemplos: (i) 8 : : 6 (ii) : : : : : : : :

4 (iii) 6 (iv) 80 6 Número Misto Ns frções que representm quntiddes miores do que podemos relizr um operção de decomposição dest frção em um prte inteir e um prte frcionári e o resultdo é denomindo número misto. No eemplo de / temos o seguinte: / / / / / / / / Eemplo: Trnsforme s frções em número misto. (i) 0 0 (ii) (iii) (iv) 6 Eemplo: Trnsforme os números mistos em frções (i) 6 (ii) (iii) (iv) Adição e Subtrção de Frções Frções com Denomindores iguis: Bst somr/subtrir os numerdores e conservr o denomindor. ) 9 0 b) c) d) Frções com Denomindores diferentes: É preciso obter frções equivlentes com denomindores iguis. Pr isso, bst encontrr um número que sej múltiplo dos dois denomindores. Eemplo: ) Primeiro é necessário trnsformr s frções dds em outrs equivlentes de modo que os denomindores fiquem iguis pr depois somr ou subtrir. Obtendo o MMC dos denomindores temos mmc (,) = 0. Este vlor nos indic que s novs frções devem ter denomindores iguis 0.

5 ? 0? 0 b) 6 c) 0 9 d) e) f) g) 9 Multiplicção de Frções Multiplic-se o numerdor com numerdor e denomindor com denomindor. Se necessário, simplifique o produto. ) b) c) 0 d) 0 e) 9 6 f) ) Divisão de Frções Devemos multiplicr primeir frção pelo inverso d segund. 6 6 b) c) 0 d)

6 d) 8 e) Frções de Quntiddes Em muits situções s frções precem indicndo um prte de um cert quntidde. Eemplo: O luguel do prtmento de cert pesso cust ¾ de seu slário. Sbendo que pesso gnh menslmente R$.00,00, qunto el pg de luguel? de Adição e Subtrção de números decimis Somr ou subtrir os números que pertencem mesm "cs deciml". Como nos números inteiros sommos unidde com unidde, dezen com dezen e ssim por dinte, nos decimis funcion d mesm form, sommos décimos com décimos, centésimos com centésimos, e ssim por dinte. Números inteiros possuem css decimis zerds: =, ), + 0, = b), + 0,0 = c) +, = d) - 9,0 = e),6 -, = f) 0,0 + 0,00 0,0 = Multiplicção de números decimis Fz-se multiplicção norml desconsiderndo vírgul, depois cont-se qunts css decimis têm os dois números juntos, e coloc-se este número de css n respost d multiplicção. ), =,6 ( cs nos ftores, cs no produto). b) 0,006 0, = 0,00 (+ css nos ftores, css no produto) c), 0,000 = 0,00069 (+ css nos ftores, 6 css no produto) 6

7 d),, = e) 0, 0,00 = f) 0,000 = g), 6 = Divisão de números decimis º) Igulr o número de css decimis crescentndo zeros à direit d vírgul qundo necessário. º) Cncelr vírgul. Cuiddo o cncelr vírgul, pois os zeros trás do número são relevntes e os zeros que estão n frente do número podem ser descrtdos. º) Dividir normlmente. E.: ) : 0, =,0 : 0, = 0 : = 60 b) : 0,00 =,000 : 0,00 = 000 : = 0 c), : =, :,00 = : 00 = 0, d),8 : =, (em lguns csos é mis fácil fzer divisão diret) e) 60, : =, f) 0,6 : 0,6 = g) 0,000 : 0,0 = h) 0,0 : 6 = i) 0,0 : 0,08 = j) 0, : 0,00009 = REGRAS DE SINAIS NAS OPERAÇÕES Adição Pr melhor entendimento dest operção, ssociremos os números inteiros positivos idei de gnhr e os números inteiros negtivos idei de perder. gnhr + gnhr = gnhr (+) + (+) = (+) + + = + perder + perder = perder (-) + (-) = (-) - = - gnhr 8 + perder = gnhr (+8) + (-) = (+) + 8 = + perder 8 + gnhr = perder (-8) + (+) = (-) = - Atenção: O sinl (+) ntes do número positivo pode ser dispensdo, ms o sinl (-) ntes do número negtivo nunc pode ser dispensdo. Subtrção Subtrir dois números é o mesmo que dicionr o primeiro com o oposto do segundo:

8 (+) (+) = (+) + (-) = + = + (+) (-) = (+) + (+) = + Multiplicção e Divisão Positivo Positivo = Positivo (+6). (+) = 6. = + Positivo Negtivo = Negtivo (+6). (-) = 6. (-) = = Negtivo Positivo = Negtivo (- 6). (+) = - (+6). (+) = - (+) = Negtivo Negtivo = Positivo (- 6). (- ) = - (+6). (-) = - ( - ) = + Eercícios LISTA Frções e Números Decimis. Trnsforme s frções bio em números decimis primeirmente sem usr clculdor, depois utilizá-l pr conferir s resposts. ) b) c) d) e) f) 8 9. Trnsforme os números decimis bio em frções. ) 0, b) 0,00 c), d) 0,000 e) 0,00 f),0 g),. Resolv s operções com frções bio. 9 ) b) c) d) e) f) g) 9. Um pesso recebeu o seu slário no vlor de R$.80,00. Ontem gstou / do dinheiro, e hoje, gstou / do que lhe restv. Com quntos reis pesso ficou?. Clcule o vlor ds epressões: ) 0,. 0, b),.,8 +,. 0, c),.,0,0.,0 d). (,,08) +. (,0.,0) 6. Fç os cálculos bio mentlmente e depois, se quiser, utilize clculdor pr conferir os resultdos: ),. 0 f) 0. 0, k) 0,08 : 0 b), c) 8, d) 0,8. 00 e) ,9 g) 000., h) 00. 0,0 i),8 : 0 j) 6,9 : 00 l) 8,9 : 000 m) 0,0 : 00 n) 6, : 000. Resolv s divisões primeirmente sem clculdor, depois utilize- pr conferir s resposts: ) : 0, e) : 0, i) 8 :, b) 9 : 0,06 f) : 0,6 j) :, c),08 : 0,8 g), : 0, k) 9,8 : 0,9 d), : 0,6 h), :, l) 0,06 : 0,09 Gbrito:. () 0,; (b),666...; (c),; (d) 0,0; (e) 0,0; (f) 0,...; 8

9 . () /8; (b) /000; (c) /0; (d) /00; (e) /00; (f)/0; (g)/. () 6/; (b) -/; (c) /; (d) /8; (e) -/; (f) /8; (g). R$ 6.0. () 0,96; (b) 0,; (c),6; (d),08 6. confir n clculdor. confir n clculdor POTENCIAÇÃO E PROPRIEDADES Definição E: ,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0, n n vezes Epoente pr *Sempre positivo Epoente ímpr *Se bse for positiv o resultdo será positivo *Se bse for negtiv o resultdo será negtivo Epoente Negtivo 8 n n * ATENÇÂO: epoente negtivo não dei bse negtiv. 9

10 0 Epoente Frcionário => n m n m Proprieddes (I) Multiplicção de potêncis de mesm bse conserv-se bse e som-se os epoentes: n m n m E. ) b) c) d) 9 w w w (II) Divisão de potêncis de mesm bse, conserv-se bse e subtri-se os epoentes. n m n m n m E.: ) : b) : 8 c) y y : d) (III) Potênci de potênci, conserv-se bse e multiplic-se os epoentes: nm m n E.: )

11 b) (IV) Potênci de um multiplicção ou divisão é o mesmo que multiplicção ou divisão ds potêncis: E.: ) b) y c) b d) 9 n n m b b n n m b b Epoente zero Aplicndo definição: Aplicndo propriedde: Então: 0 0 Observções Importntes: A colocção de prênteses modific ordem ds operções: = 9 = e ( ) = 6 = 6 = 6 e ( ) = +6 0 Potêncis de Bse Dez Muits vezes é conveniente escrever um número muito grnde ou muito pequeno, que contenh muitos zeros, n form de potênci. Eemplos: ) zeros b) 0, css decimis zeros 0

12 Notção Científic Com o uso ds potêncis de dez, podemos trnsformr números grndes ou pequenos em notções que fcilitem visulizção. Eemplos: )A distânci d Terr o sol é de Km , 8 cssà esquerd 0 8 b) A mss de um próton é 0, kg 0, ,60 cssà direit Podemos entender que pr trnsformr um número muito grnde ou muito pequeno em notção científic, bst ndr com vírgul. Número muito grnde terá potênci de dez com epoente positivo Número muito pequeno terá potênci de dez com epoente negtivo Trnsformr em notção científic: c) = d) 0,00000 = e) 0, = f) = D mesm form pr trnsformrmos um notção em números grndes ou pequenos, fzemos: 6 6 g), 0, css pr o umentr número 6 6 h), , 0 0, i), 0 6 css pr diminuir o número j),880

13 Eercícios LISTA Potencição e Notção Científic. Clcule s potêncis: ) 6 = b) 9 c). Aplicndo s proprieddes d potencição, simplifique os cálculos deindo um só potênci: ) 8 b) 9 0 b) 9 6. d) Pr medir distânci entre s estrels, os strônomos usm medid chmd no-luz, que é distânci que luz percorre em um no. Ess distânci é proimdmente km (nove trilhões e quinhentos bilhões de quilômetros). Escrev este número em notção científic.. Pesquisdores em Nov York, descobrirm que um ônibus espcil o ser lnçdo, liber 6 tonelds de ácido clorídrico, cusndo sérios dnos à cmd de ozônio. Sbendo que toneld corresponde 000 kg, dê notção científic dess mss liberd em kg.. Cd mililitro de sngue humno contém, em médi,. 0 6 glóbulos vermelhos. Um ser humno dulto tem, em médi,, litros de sngue. De cordo com esses ddos, o número médio de glóbulos vermelhos de um dulto é: ),. 0 6 b),. 0 c),. 0 d),.0 8 e), Simplificndo epressão 0,0000 0,00 0,00 Um grupo de glóbulos vermelhos pssndo por um rteríol (rtéri finíssim), com colorido rtificil (mplição de 0 vezes). 000, obtêm-se qul potênci de 0?. Um no-luz é distânci que luz percorre em um no. Considerndo que, proimdmente, velocidde d luz é de trezentos milhões de metros por segundo e um no tem milhões de segundos, devemos multiplicr (trezentos milhões) por ( milhões) pr obter o vlor do no-luz em metros. Efetue est cont em notção científic. 8. Escrev os seguintes números em notção científic: ) b) c) 0, d) 0,00000 e) 0 f) g) h) 0, i) 0,0 0 - j) 0, 0-6 Gbrito:

14 . () 6; (b) ; (c) 6/9;. () ; (b) - ; (c) ; (d) ,. 0.,6. 0 kg. letr (e) , () 6,.0 8 ; (b).0 ; (c) 6,.0-0 ; (d),.0-6 ; (e),.0 ; (f),89.0 ; (g),; (h).0 - ;(i),.0-9 ; (j).0 - RAZÃO E PROPORÇÃO Rzão A rzão do número e o número b (diferente de zero) é o quociente entre e b. b ou Proporção Ddos, em um cert ordem, qutro números (, b, c e d) diferentes de zero, dizemos que eles formm um proporção qundo rzão entre os dois primeiros ( e b) for igul rzão entre os dois últimos (c e d). Logo, proporção é um iguldde de rzões. b : b c d Propriedde Fundmentl ds Proporções Sejm, b, c e d números reis diferentes de zero, tis que: b c d d bc Eemplo : Verifique se os números 8, 6, e 9, nest ordem, formm um proporção. Eemplo : Verifique se os números 8,, e 6, nest ordem, formm um proporção? Eemplo : Verifique se são verddeirs ou não s proporções bio: ) 8 6 b)

15 c) 8 d), Cálculo do Termo Desconhecido ns proporções Aplicndo propriedde fundmentl ds proporções é sempre possível determinr o vlor de um termo desconhecido de um proporção qundo são conhecidos os outros três. Eemplo : Encontre o vlor desconhecido ns proporções: ) 60 0 b) 6 c) d) e) f) g) 0

16 Porcentgem e Aplicções O cálculo de porcentgem é um operção muito ntig em termos de cálculos comerciis e finnceiros. A epressão por cento é indicd por meio do sinl %, que signific divisão por 00. Há três forms de representr um porcentgem: usndo o símbolo %; n form de um rzão; ou de um número deciml. 0, % 0, 0,% 0, A porcentgem represent um quntidde tomd de 00, dess form tmbém chmmos de t percentul. Já os vlores 0, e 0,00 representm um quntidde tomd de, portnto, chmmos de t unitári. Pr os cálculos de Mtemátic Finnceir, sempre se utiliz t unitári. É importnte lembrr: As porcentgens indicm vlores numéricos que estão relciondos certs quntiddes. Qundo dizemos que o slário teve um umento de 0%, não sbemos o certo quntos Reis estes 0% significm. Será preciso sber o vlor do slário. Se o slário for de R$.000,00 estes 0% significm R$00,00. Ms se o slário for de R$.000,00 estes 0% significm R$00,00. Qundo efetumos os cálculos de porcentgem n verdde estmos efetundo um simples cálculo de proporção. Vejmos os eemplos: Eemplo : Ds.00 peçs que um máquin produz, 0 peçs sem com defeito. Qul é t percentul d produção de peçs com defeito dess máquin? Eemplo 6: Qunto é 0% de R$ 800,00? Eemplo : Por qunto se deve vender cert mercdori que custou R$.6,, pr obter um rentbilidde (lucro) de 6%? Eemplo 8: Este no, um fábric umentou em % o número de funcionário que tinh. Com isso, pssou ter 690 funcionários. Quntos funcionários tinh ntes? 6

17 Eercícios LISTA Proporções e Porcentgens ) Clcule o termo desconhecido ns proporções: ) b) c) 6 6 d) ( = ) ( = -6) ( = -0) ( = /9) ) Dos 90 cndidtos pr o processo seletivo do IFRS, form provdos. Qul t percentul de provdos? (Apro. 6,%) ) Um pesso devi R$ 0.000,00 e pgou R$.00,00. Quntos por cento d dívid form pgos? (R. %) ) Clcule: ) 9% de R$.9,00 (R. R$ 6,) b),% de R$.00,00 (R. R$0,0) c) 0,% de R$.6,0 (R. R$ 6,) d) % de R$.000,00 (R. R$ 0,00) e) 0,6% de R$ 00,00 (R. R$,80) ) Sbe-se que um máquin está produzindo % menos de peçs do que deveri, devido um defeito. Se hoje el produziu. peçs, qunto el deveri produzir se estivesse funcionndo corretmente? (R. 00 peçs) ) N compr de um prelho de som obtive um desconto de % por ter feito o pgmento à vist. Se pguei R$0,00 pelo prelho, qul er o preço originl? (R. R$ 0,00) ) Por quecimento, o comprimento de um brr de ferro ument /000 em relção o vlor inicil. Isso signific que o umento do comprimento é de quntos por cento? (R. 0,%) ) Um empres concedeu umento de 8% seus funcionários. Após o umento, um dos funcionários pssou receber R$.60,80. Qul er o slário desse funcionário? (R. R$.60,00) 6) Um mercdori que custv R$,0 teve um umento e pssou vler R$,0. De quntos por cento foi o umento sobre o preço ntigo? (R. 8%) ) A populção de um cidde, com hbitntes, cresce nulmente em,%. Quntos hbitntes terá o finl de no? E o finl de nos? (R. 9.0 e 9.6 hbitntes) 8) Um pesso, o engordr, pssou ter 8% mis em su mss corporl. Sbendo que ele ficou com 0,kg depois que engordou, clcule su mss inicil. (R. 80kg) 9) N compr de um televisão, cujo preço er de R$.890,00, foi concedido um desconto de %. Qunto custou televisão com o desconto? (R. R$.,0) 0) Um plc retngulr de metl com 00 cm² de áre, será recortd pr montgem de um peç. Sbendo % do mteril será desperdiçdo, clcule áre, em cm², que será proveitd. (R..cm²)

18 REGRA DE TRÊS SIMPLES Regr de três é um orgnizção dos ddos de um problem n form de um tbel e depois n form de um proporção. Só é possível plicr regr de três em ddos que formm um proporção. Assim, podemos dizer que os eemplos nteriores, envolvendo porcentgens, são resolvidos por regr de três. As grndezs envolvids nos problems podem ser diretmente proporcionis ou inversmente proporcionis. Grndezs Diretmente Proporcionis Eemplo : Um operário recebe R$ 86,00 por 0 dis de trblho. Qunto receberá por dis? Ao montr tbel é necessário nlisr o crescimento ds grndezs. Se trblhndo 0 dis recebe R$ 86,00, trblhndo mis dis receberá mis. Como s dus grndezs umentm, dizemos que são diretmente proporcionis. Dí resolução você já conhece. dis 0 R$ 86, ,00 R.: Receberá R$.6,00 por dis de trblho. Eemplo : Um máquin produz 600 peçs em hors. Em 0 hors produzirá qunts peçs? (R. 00) Grndezs Inversmente Proporcionis Eemplo : Um vigem foi feit em dis, percorrendo-se 0km por di. Quntos dis serim necessários pr fzer mesm vigem, percorrendo-se 00km por di? Se percorrermos mis km por di, signific que chegremos ntes o destino, ou sej, em menos dis. Vej que grndez distânci ument e grndez di diminui. dis km 0 0 inverter R.: Levrá 9 dis percorrendo 00km por di. Eemplo : Um trem 60 km/h demor hors pr percorrer um distânci de 0 km. ) Qul distânci percorrid em hors? (R.: 0km) 8

19 b) A90 km/h qunto tempo será necessário pr percorrer 0 km? (R.:,h => h e 0 min) ) Dus pessos gnhrm n loteri e cd um receberá R$ milhões. Se fossem 6 gnhdores, qunto cd um receberi? (R. milhões) REGRA DE TRÊS COMPOSTA Problems que envolvem mis do que dus grndezs, diret ou inversmente, proporcionis são resolvidos com procedimentos d Regr de Três Compost. Eemplos: Eemplo : Dois operários, depois de 8 dis de serviço, receberm R$ 00,00. Qunto receberão operários por dis de trblho? Anlise, isoldmente, colun com o vlor desconhecido com cd um ds outrs, pr identificr se ument ou diminui grndez. op d 8 R$ Respost: Os operários receberão R$.00,00. Eemplo : Se pintores, trblhndo 8 hors por di, pintm um edifício em 6 dis. Ns mesms condições, quntos dis serão necessários pr que 9 pintores, trblhndo hors por di, pintem o mesmo edifício? (R.: 6 dis) P 9 h / d 8 d 6 Eemplo : Se 0 máquins, funcionndo 6 hors por di, durnte 60 dis, produzem peçs, em quntos dis, desss mesms máquins, funcionndo 8 hors por di, produzirão peçs? (R.: 80 dis) 9

20 Eemplo : Um crro com velocidde médi de 80km/h percorre, em dis de vigem, 800km. Se velocidde for lterd pr 60km/h, qunto tempo ele levrá pr percorrer.km? (R.: dis) Eercícios LISTA Regr de Três ) O investimento de R$0.000,00 n melhori d logístic de um empres ger um economi de R$.000,00. ) Qul economi se investirmos R$.000,00? (R.: R$ 800,00) b) Pr termos um economi de R$.00,00 qunto devemos investir? (R.: R$.00,00) ) Pr trnsportr mteril bruto pr um construção, form usdos 6 cminhões com cpcidde de m³ cd um. Se cpcidde de cd cminhão fosse de m³, quntos cminhões serim necessários pr fzer o mesmo serviço? (R. 0 cminhões) ) Com um cert quntidde de rme pode-se fzer um tel de 0m de comprimento por,0m de lrgur. Aumentndo-se lrgur em,80m, qul será o comprimento de um outr tel feit com mesm quntidde de rme d tel nterior? (R. 0m) ) Em um treino de fórmul um piloto fez o percurso em 8 segundos, com um velocidde médi de 00 km/h. Se velocidde médi fosse de 0 km/h, qul seri o tempo gsto no percurso? (R. segundos) ) N etremidde de um mol, é colocd um peç de 0 kg, verificndo-se, então, que o comprimento d mol é de cm. Se colocrmos um peç de kg n etremidde dess mol, qul pssrá ser o comprimento del? (R. 6 cm) 6) Um tábu de m, qundo colocd verticlmente produz um sombr de 80 cm. Qul ltur de um edifício que, no mesmo instnte, projet um sombr de m? (R. 0m) ) Um ru tem 600 m de comprimento e está sendo sfltd. Em seis dis form sfltdos 80m d ru. Supondo que o ritmo de trblho continue o mesmo, em quntos dis o trblho estrá termindo? (R. dis) 8) Em 0 dis, um frot de táis consumem l de combustível. Em quntos dis um frot de 6 táis consumiri l de combustível? (R. 0 dis) 9) Um utomóvel com velocidde médi de 60km/h, rod 8h por di e lev 6 dis pr fzer certo percurso. Se su velocidde fosse de 80km/h e se rodsse 9 h por di, em qunto tempo ele fri o mesmo percurso? (R. dis) 0) Num fábric, trblhm 6 operários por o hors de serviço diário, produzindo 0 uniddes de certo produto. Quntos operários de mesm cpcidde são necessários pr produzir 600 uniddes do mesmo produto por di, com 0 hors de trblho diário? (R. ) 0