PROCESSOS ESTOCÁSTICOS

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA DEARTAMENTO DE ESTATÍSTICA DISCILINA: EST5 ROCESSOS ESTOCÁSTICOS ROCESSOS ESTOCÁSTICOS ROFESSOR: FERNANDO CÉSAR DE MIRANDA NATAL/RN

2 ocessos Estocástcos of Feado Césa ROCESSOS ESTOCÁSTICOS INTRODUÇÃO Defção U ocesso estocástco {X(t), t T} é ua coleção de vaáves aleatóas ode t eeseta, a aoa das vezes, o teo E X(t) eeseta o estado do ocesso o teo t O Cojuto T é chaado o cojuto ídce do ocesso - Se T é u cojuto eueável, etão {X(t), t T} é u ocesso estocástco dsceto o teo - Se T é u cojuto ão eueável ou T é u tevalo abeto ou fechado da eta, etão {X(t), t T}, é u ocesso estocástco cotíuo o teo Exelos: a) {X,,, } é u ocesso estocástco dsceto o teo dcado o teos ão-egatvos b) {X t, t } é u ocesso estocástco cotíuo o teo dcado o úeos eas ão-egatvos O Esaço de estados de u ocesso estocástco é defdo coo o cojuto de todos os valoes ossíves ue a vaável aleatóa X(t) ode assu O Esaço de estados seá eesetado o S Defção U ocesso estocástco cotíuo {X(t), t T}, dz-se te ceetos deedetes se aa todos os teos t t t t, as vaáves aleatóas X(t ) X(t ), X(t ) X(t ), X(t ) X(t ),, X(t ) X(t - ) são deedetes Defção U ocesso estocástco cotíuo {X(t), t T} te ceetos estacoáos se X(t s) X(t ) te a esa dstbução de X(t s) X(t ), aa todo valo de t T Resudo: U ocesso estocástco é ua faíla de vaáves aleatóas ue desceve a evolução de algu ocesso atavés do teo wwwestatstcaccetufb

3 ocessos Estocástcos of Feado Césa CADEIAS DE MARKOV DISCRETAS Defção Seja T {,,,, } e seja {X, T} u ocesso estocástco dsceto Suõe: (X j/x, X,, X - -, X ) (X j/x ) aa uasue ue seja os estados,,, -,, j e todo Etão o ocesso estocástco {X, T} é chaado ua Cadea de Maov Obsevações: A euação aca é deoada oedade Maovaa e te a segute teetação: a dstbução codcoal de ualue estado futuo X dado os estados assados X, X,, X - e o estado esete X, é deedete dos estados assados e deede ucaete do estado esete a) X, sgfca ue o ocesso está o estado a etaa b) Notação: (X j / X ) ; Ex:(X / X ) c) Os são cohecdos coo as obabldades de tasção e ua etaa da Cadea de Maov d) As obabldades de tasção são estacoáas, sto é, elas deede de, sto é, (X j / X ) e), j,,, j,,, é a obabldade de ue o ocesso j estado o estado, teá obabldade ula ou ostva de aa o estado j f) Matz de Tasção é a Matz (uadada) de Tasção e ua etaa da cadea de Maov MARKOV (856-9) Ade Adeyevch Maov asceu o da 4 de juho de 856 e Ryaza, a Rússa Se foou a uvesdade de St etesbug (878), ode se toou ofesso e 886 Os eos tabalhos de Maov foa calete e teoa dos úeos e aálse, fações cotíuas, ltes de tegas, teoa da aoxação e a covegêca de sées Aós 9 Maov alcou o étodo das fações cotíuas, calete desevolvdo o Chebyshev, a teoa da obabldade Ele tabé estudou seüêcas de vaáves utuaete deedetes, eseado estabelece as les da obabldade de foa as geal Ele tabé ovou o teoea do lte cetal Maov é atculaete lebado elo seu estudo de cadeas de Maov Cadeas de Maov são u foalso de odelage de ssteas ue desceve o sstea coo u ocesso estocástco Deste oto de vsta o sstea odelado é caactezado elos seus estados e a foa ela ual eles se altea Maov oeu o da de julho de 9 e etogad (agoa St etesbug), Rússa wwwestatstcaccetufb

4 ocessos Estocástcos of Feado Césa Exelo X Cosdee ua áua ue o íco de u dado da atcula ou está uebada ou está oeado e efeta codção Suodo ue essa áua esteja uebada o íco do -éso da, ela teá ua obabldade de ue o íco do () éso da ela estaá cosetada e e codções efetas de fucoaeto Suõe ada, ue se o íco do -éso da ela estve oeado e efetas codções, ela teá ua obabldade de ue o íco de () éso da estaá uebada Defa os estados e ecote a atz de tasção se a áua está uebada o éso da se a áua está fucoado o éso da (X / X ) (X / X ) (X / X ) - (X / X ) - Matz de tasção: S {, } Exelo X Suoha ue choveá ou ão aahã, deedeá das codções evstas ela eteoologa se chove ou ão hoje e ão das codções eteoológcas assadas Suoha tabé ue se chove hoje, etão choveá aahã co obabldade α, e se ão chove hoje, etão choveá aahã co obabldade β Defa os estados e ecote a atz de obabldade de tasção se ão chove o éso da S {, } se chove o éso da (X / X ) β (X / X ) - β Matz de tasção: (X / X ) α (X / X ) - α β α β α Exelo O ível ecoôco de u hoe é classfcado e tês categoas: co (R), classe éda (M) e obe () Suõe ue dos flhos de u hoe co, 95% são cos e 5% são de classe éda No caso de u dvíduo da classe éda, % são cos, 7% da classe éda e % são obes No caso de u hoe obe % são de classe éda e 7% são obes Suodo ue cada hoe te aeas u flho, ache a Cadea de Maov ue eesetaá ua faíla atavés de geações sucessvas R se a ésa geação a faíla é ca X M se a ésa geação a faíla é classe éda se a ésa geação a faíla é obe S {R, M, } (X R / X R) 95%,95 (X M / X R) 5%,5 (X / X R) (X R / X M) %, R M (X M / X M) 7%,7 R,95,5 (X / X M) %, Matz de tasção: M,,7, (X R / X ) (X M / X ) %,,,7 (X / X ) 7%,7 wwwestatstcaccetufb

5 ocessos Estocástcos of Feado Césa Exelo 4 Cosdeado o exelo ateo, suoha ue todo hoe ão te ecessaaete u flho e ue a obabldade de te u flho é,9 Suodo ue u hoe ão teha flho, a geação fda e o esólo va aa o Estado Defa os estados e ecote a atz de tasção R se a ésa geação a faíla é ca M se a ésa geação a faíla é classe éda X se a ésa geação a faíla é obe E se a ésa geação a faíla extgu - se e o esólo va aa o estado S{R, M,, E} (X R / X R) (ele te u flho e cotua co) (te flho) (co cotua co),9,95,855 (X M / X R) (ele te u flho e assa / c éda) (te flho) (co assa / éda),9,5,45 (X / X R) (ele te u flho e assa / obe) (te flho) (co assa / obe),9 (X E / X R) (ele ão te u flho), R M E Matz de tasção: R M E,855,9,45,6,7,8,6,,, CADEIA DE RUÍNA DO JOGADOR Exelo 5 Cosdee u jogado ue e cada lace de u jogo ou gaha R$, co obabldade ou ede R$, co obabldade Suoha ue ele ae de joga uado fca se dheo, ou uado cosegue acuula R$ N, Se X eeseta o catal do jogado u state, defa os estados e ecote a atz de obabldade de tasção X {, se o -éso lace ele te eas,,,, N} S {,,, N} R$ j ; j N (X j / X ) j ;, N j ;, N N N Matz de tasção: N N wwwestatstcaccetufb 4

6 ocessos Estocástcos of Feado Césa CADEIA DE EHRENFEST Exelo 6 Suoha duas caxas I e II e tês bolas ueadas o, e Icalete, alguas destas bolas estão a caxa I e o estate a caxa II U teo é selecoado ao acaso ete, e e a bola coesodete àuele teo é eovda da caxa e ue se ecota e colocada a caxa oosta Este ocedeto é eetdo deftvaete, sedo as seleções deedetes de esao aa esao Se X eeseta o º de bolas a caxa I aós o -éso esao, ache a atz de tasção X {º de bolas a caxa I aós a -éso esao,,,, } S {,,, } Matz de tasção: Exelo 7 Cosdeado o exelo ateo, suoha agoa uato bolas X {º de bolas a caxa I aós a -éso esao,,,,, 4} S {,,,, 4} Matz de tasção: aul Ehefest, veo de ua faíla juda obe Ele teve cco ãos, sedo ele o caçula Quado caça aul ea uto doete e fcou ófão aos 6 aos, otato o deseeho dele a escola ão ea uto bo, o úco assuto ue ele cotuou sueado ea ateátca Os teesses telectuas dele cescea o assuto, talvez coo ua foa de ego-oteção Estudou o Techsche Hochschule e Vea Lá ele foou ua azade íta co tês outos estudates de ateátca, Hech Tetze, Has Hah e Heglotz Chaados de "uateto seaável" EHRENFEST (88-9) Euato asssta alestas de ateátca, Ehefest setu falta de ua jove estudate ussa Tatyaa Ele desejou sabe o ue ela ão a às alestas, etetato descobu ue a azão ea ue a éoca as ulhees ão tha essão aa assst Ehefest desafou esta ega e, deos de ua eal batalha, ôde udá-la Ea o coeço da azade deles ue coduzu ao atôo Juto co a esosa tabalhou o atgo sobe ecâca estatístca ue levou uto as teo aa coclu do ue eseava Ehefest fo de gade otâca aa a Físca e a Estatístca wwwestatstcaccetufb 5

7 ocessos Estocástcos of Feado Césa CADEIA DE NASCIMENTO E MORTE Exelo 8 Cosdee ua Cadea de Maov co esaço de estados S {,,, } ou S {,,,, d} tal ue cado o estado, a cadea estaá ou e, ou ou aós ua etaa As obabldades de tasção aa esta cadea são dadas o:, j,, j,, j,, c c - Se S fo fto, adta-se ue haja d, estados, etão, d - Se S fo fto, a atz de tasção seá: d d - Se a cadea fo fta: d As cadeas de Ehefest e Ruía do Jogado são exelos da cadea de Nasceto e Mote A fase "Nasceto e Mote" oga-se de alcações e ue os estados da cadea foa ua oulação de algu "sstea vvo" Nestas alcações, ua tasção do estado aa o estado coesode a u "asceto" euato ua tasção do estado aa o estado coesode a ua "ote" d d j d d j CADEIA DE FILA Exelo 9 Cosdee u sevço de atedeto, coo o exelo, ua fla e u sueecado As essoas chega e váos states de teo e são evetualete ateddas Se exste fegueses aa see ateddos o íco de ualue eíodo, exataete u feguês seá ateddo duate auele eíodo, e se ão exste fegueses aa see ateddos o íco de u eíodo, etão gué seá ateddo Seja ξ o úeo de fegueses ue chega à fla duate o -éso eíodo Suõe ue ξ, ξ,, ξ são vaáves aleatóas deedetes co valoes teos ãoegatvos ue tê ua desdade cou f Seja X o úeo de fegueses a fla ao fal do -éso eíodo Etão se: X X ξ X X X ξ O ocesso estocástco {X, } é ua Cadea de Maov co esaço de estados S {,,, } e a fução de obabldade de tasção seá deteada o: > Matz de Tasção: (X j / X ) (X j/ X ) (X ξ j / X ) f() f() f() f() (ξ j) (ξ j - ) f() f() f() f() f(j) f (j ) f(j) f(), f(j) f(), f(j) f() f (j ) f( ) f() f (j ) f( ) f() f (j ) f( ) f() f() f() f() f() f() wwwestatstcaccetufb 6

8 ocessos Estocástcos of Feado Césa CÁLCULO COM AS FUNÇÕES DE TRANSIÇÃO DISTRIBUIÇÃO INICIAL - Defção A fução π (), S, defda o: π () (X ), S ode, π () S e π (), é deoada Dst Ical da cadea de Maov Exelo Se {X, } é ua cadea de Maov co esaço de estados 5 7 S{,,, } e π,,, é a Dstbução Ical da cadea Etão: π () (X ) /6 π () (X ) 7/6 π () (X ) 5/6 π () (X ) /6 DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA DAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS X, X,, X N NA CADEIA DE MARKOV (X, X,, X - -, X ) π ( ),, - ova: Lebete: (A B CN) (A)(B/A)(C/A B)(D/A B C) (N/A B N-) (X, X, X,, X - -, X ) (X )(X /X )(X /X, X )(X )/X, X, X - - ) (X )(X /X )(X / X )(X )/ X - - ) π ( ),, - Exelo Cosdee a atz de tasção , ode S {,,, } e π,,, Detee: a) (X, X, X ) b) (X, X, X, X ) c) (X, X, X ) d) (X, X, X, X ) a) (X, X, X ) (X ) (X / X ) (X / X, X ) (X ) (X / X ) (X / X ) π () b) (X, X, X, X ) (X ) (X / X ) (X / X, X ) (X / X, X, X ) (X ) (X / X ) (X / X ) (X / X ) π () c) (X, X, X ) d) (X, X, X, X ) π () π () wwwestatstcaccetufb 7

9 ocessos Estocástcos of Feado Césa FUNÇÃO DE TRANSIÇÃO EM M-ETAAS Defção A fução de tasção e -etaas aa ua cadea de Maov é: Exelos: 4 (X 4 j / X ) se j se j (X j / X ), 4 (X j / X 6 ), j S é a obabldade de ue a cadea vste o estado j aós -etaas (ou tasções) dado ue o state, ecota-se o estado 4 AS EQUAÇÕES DE CHAMAN-KOLMOGOROV aa ue ua cadea de Maov ue está calete o estado vste o estado j aós etaas, é ecessáo ue a at do estado a cadea vste u estado aós -etaas e a at deste estado, vste o estado j aós -etaas adcoas Ou seja: Obsevação: As obabldades ova: j ode se faclete obtdas atavés do oduto de atzes das obabldades de tasção e e etaas esectvaete Isto é (X ) (X j,x ) (X j,x,x j, X ) (X j / X (X ) ) (X )(X / X )(X j,x (X ) (X / X )(X j,x Substtudo e : ) j (X (X ) (X ) j, etão,x ) ) j Ade Nolayevch Kologoov O as fluete ateátco sovétco do século XX ascdo e Tabov, Rússa, cado da odea teoa da obabldade, cou aa ela ua base axoátca fudaetada a teoa dos cojutos Gaduou-se e físca e ateátca a Uvesdade Estatal de Moscou (95) e aa lá fo oeado ofesso (9) e deto do Isttuto de Mateátca (9) Estudado obleas teócos do cálculo de obabldades, sua ea ublcação de otâca fo a axoátca de Kologoov, ue ovê o cálculo de obabldades de ua base lógca foal KOLMOGOROV (9-987) Sua oba abage ada esusas e álgeba e toologa, ue ajudaa a estabelece as bases de estudos osteoes de aálse ateátca Eleto ebo da Acadea de Cêcas da Uão Sovétca (99), deos (95) dedcou-se ao estudo de obleas da teoa da foação, ssteas dâcos e ecâca clássca Co ogas cotbuções o cao das teoas das obabldades, Kologoov fo de gade otâca aa o desevolveto da Estatístca wwwestatstcaccetufb 8

10 ocessos Estocástcos of Feado Césa Exelo Cosdee a atz de tasção Detee,, e , ,5,5,65,,8,766,67,,5,5,875,46,7,,,5,5,5,4,44,45,7,85,5,75,475,4,969,69,977,85,5,5,65,,5,5,875,5,5,5,4,5,75,475,4,8 8,5,766 8, , 4 Exelo Cosdee a cadea de Maov co S{,, } e atz de tasção Detee e ³ 4 ³ ² Res: e 5 DISTRIBUIÇÃO DE XN A dstbução de X é eesetada o Π Se Π (), S, é a dstbução cal da cadea de Maov, etão: (X j) Π(), j S Π [ (X ); (X ), ] E teos atcas: Π Π wwwestatstcaccetufb 9

11 ocessos Estocástcos of Feado Césa ova: { X j} {X,X j} (X j) ( {X,X j}) (X Exelo 4 (X,X j ) (X )(X j / X j) Π ) () Dada a atz de tasção e a dstbução cal Π (,65;,5;,475;,875) Detee Π, Π, Π e Π 4 Π Π Π Π,5,5,65,,5,5,875,5,5,5,4 5,5,75,475 Π (),65 (,5),5 (,5),475 (,65),875 (,),5 Π (,5;,7;,8;,97) Π Π Π Π,8,766,67,,46,7,,,44,45,7,85,4,969,69,977,85 Π (),65 (,8),5(,766),475(,67),875(,),58 Π (,58;,7;,44;,88) Π Π Π Π,54,45,485,4,9,6,99,4,449,55,564,58,898,85,85,94 Π (),65(,54),5(,45),475(,485),875(,4),47 Π (,47;,;,54;,86) 4 Π Π Π 4 4 Π 4,469,46,454,466,,8,9,,57,55,54,5,874,886,88,89 Π 4 (),65(,469),5(,46),475(,454),875(,466),46 Π 4 (,46;,;,5;,88) wwwestatstcaccetufb

12 ocessos Estocástcos of Feado Césa 6 MÉTODO ALTERNATIVO ARA SE OBTER (X N J) ode-se detea (X j) ela segute exessão: (X j) (X ) E teos atcas: ova: X j} {X, X j} Π Π { (X j) ( {X, X j}) (X, X j) (X )(X j / X ) (X j) (X ) Exelo 5 Detee Π, Π, Π, Π4, Π5 e fução da fóula aca Π Π Π Π Π (calculaos ateoete) Π (,5;,7;,8;,97) Π Π Π Π Π Π Π (,5;,7;,8;,97), Π (,58;,7;,44;,88) Π,5,5,65,5,5,875,5,5,5,4,5,75,475,4 Π Π Π Π Π Π Π (,58;,7;,44;,88) Π (,47;,;,54;,86),5,5,65,,5,5,875,5,5,5,4,5,75,475,4 Π Π Π Π Π Π 4 (,47;,;,54;,86) Π 4 (,46;,;,5;,88) 4 Π,5,5,5,5,65,875, Π Π Π Π Π Π 5 (,46;,;,5;,88) Π 5 (,46;,;,5;,88) 5 Π 4,5,5,5,5,65,875,,5,5,5,4,5,5,5,4,5,75,475,4,5,75,475,4 wwwestatstcaccetufb

13 ocessos Estocástcos of Feado Césa Defção Notação: TEMO DA RIMEIRA VISITA Seja A u subcojuto do esaço aostal S O teo da ea vsta ao cojuto A aa a cadea de Maov é defdo o: { >, X A} TA se X A, > () ou [T j ], obabldade de ue ua cadea de Maov, ue ca o estado, faça a ea vsta ao estado j o state Exelo 6 Cosdee a atz de tasção (),5 () Detee () () () e (),,5 (,5),5 (,65),5 (,),5,5,5,5,5,5,65,,5,5,875,5,5,5,4,5,75,475 ( ) ( ) ( ),5 [,5 (,5),5 (,65),75 (,)],5 [,875 (,5),5 (,65),475 (,)],5 [,4 (,65),4 (,)],5 (,455),5 (,5965),5 (,5),67,4 Resultado, () - jj { j ova: X j} U {T, X j} { X j / X } U {Tj, X j / X (X j / X ) ( U {Tj, X j / X )} (Tj, X j / X ) )} (Tj / X )(X j / X, Tj ) (Tj / X )(X j / Tj ) (T ) j () - jj - jj wwwestatstcaccetufb

14 ocessos Estocástcos of Feado Césa Exelo 7 Cosdee a atz de tasção () - jj () () Detee as obabldades,5(,5),5,8 e,5,5,65,,5,5,875 e fução de () - jj () () (),5,5,5,4 (),5,75,475,4,5(,8),5(,5),6,54 DETERMINAÇÃO DA ROBABILIDADE DA RIMEIRA VISITA Defção A obabldade da ea vsta a u estado j o state, aa ua Cadea de Maov ue ca o estado, é dada o: Obsevações: [T j ] [X j] ova: aa {T j /X } aa aa () ( ), () j () [X j] U j {X K, X j/x } [T j /X ] (X, X j / X ) () (X /X )(X j / X,X j) j () j (X, X j, X j / X ) (X /X )(X j, X j / X, X ) () j Desta foa a fóula é válda aa ualue () ( ) j wwwestatstcaccetufb

15 ocessos Estocástcos of Feado Césa Exelo 8 Cosdee a atz de tasção () Detee ( ) j () () e (), () ( ), 5 () ( ) () j ( ),5,5,65, () () (),5,5,875,5,5,5,4,5,75,475,5 (,5),5 (,65),5(,),5 () ( ) () ( ) j () () (),5 (,5),5 (,75),5 (,475),65,975,546875,9,4 Exelo 9 Cosdee ua atz de tasção de ua Cadea de Maov: () Detee ( ) j () () ( ) () j () ( ) () j ( ) () ( ) () j ( ) () () () (), e (), () ( ) ( ) () ( ) ( )( ) ( )² ( ) ( ) - wwwestatstcaccetufb 4