Um modelo inteiro misto com trigonometria direta para o corte de polígonos convexos aplicado à indústria

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1 Um modelo ntero msto com trgonometra dreta para o corte de polígonos convexos aplcado à ndústra Leandro Resende Mundm Insttuto de Cêncas Matemátcas e de Computação Avenda Trabalhador São-carlense, , São Carlos - SP, Brasl mundm@cmc.usp.br Luz Henrque Cherr Insttuto de Cêncas Matemátcas e de Computação Avenda Trabalhador São-carlense, , São Carlos - SP, Brasl INESCTEC, Faculdade de Engenhara, Unversdade do Porto Rua Dr. Roberto Fras, , Porto, Portugal lhcherr@cmc.usp.br Mara Antóna Carravlla INESCTEC, Faculdade de Engenhara, Unversdade do Porto Rua Dr. Roberto Fras, , Porto, Portugal mac@fe.up.pt José Fernando Olvera INESCTEC, Faculdade de Engenhara, Unversdade do Porto Rua Dr. Roberto Fras, , Porto, Portugal jfo@fe.up.pt Franklna Mara Bragon de Toledo Insttuto de Cêncas Matemátcas e de Computação Avenda Trabalhador São-carlense, , São Carlos - SP, Brasl fran@cmc.usp.br Marna Andretta Insttuto de Cêncas Matemátcas e de Computação Avenda Trabalhador São-carlense, , São Carlos - SP, Brasl andretta@cmc.usp.br RESUMO No problema de corte de tens rregulares em faxa, desejamos alocar um conjunto de tens no menor comprmento de uma faxa com altura fxa. Para resolver este problema dversas heurístcas vêm sendo propostas desde a década de 1960, mas os prmeros modelos de programação matemátca foram publcados apenas nos últmos anos. Neste trabalho, apresentamos um novo modelo de programação ntera msta para o problema de corte de tens convexos em faxa. Este modelo fo desenvolvdo para uma empresa têxtl e utlza apenas nformações geométrcas dos tens para evtar a sobreposção entre eles. Os expermentos computaconas foram realzados utlzando problemas encontrados em uma ndústra de corte de aventas e nstâncas da lteratura. Com os expermentos fo possível verfcar a efcáca do modelo em encontrar soluções ótmas para algumas nstâncas e em encontrar soluções de boa qualdade quando um crtéro de parada dferente da otmaldade é utlzado. PALAVRAS CHAVE. Problema de corte de tens rregulares em faxa, modelagem matemátca, ndústra têxtl.

2 Área Prncpal: PM - Programação Matemátca, IND - PO na Indústra. ABSTRACT In the rregular strp packng the am s to pack a set of tems on a strp of fxed heght, mnmsng the used strp s length. To solve ths problem several heurstcs have been proposed snce the sxtes but the frst mathematcal programmng model only recently (last couple of years) have been publshed. In ths work we present a new mxed-nteger programmng model for the rregular strp packng problem. Ths model was developed for a textle company and only uses tem geometrc nformaton to avod overlap among the several tems. The computatonal experments were run over problems found n an apron producton ndustry and over nstances form the lterature. From these experments t was possble to prove the model s effcacy n fndng for some nstances optmal solutons and, when the stoppng crtera s not the soluton optmalty proof, good qualty feasble solutons. KEYWORDS. Irregular strp packng, mathematcal programmng, textle ndustry. Man Area: PM - Mathematcal Programmng, IND - OR n Industry.

3 1. Introdução Problemas de corte (ou empacotamento) de objetos pequenos a partr de (ou dentro de) objetos maores é um problema muto estudado na área de otmzação. Estes problemas podem ser encontrados em dversas ndústras, como por exemplo durante o corte de bobnas de papel (caso undmensonal), durante o corte de vdros e placas de madera (caso bdmensonal) e durante o empacotamento de camnhões (caso trdmensonal). Uma varante do caso bdmensonal é o problema de corte de tens rregulares em faxa, no qual os tens devem ser alocados no nteror de um recpente com altura fxa e comprmento consderado nfnto. O objetvo é encontrar um posconamento factível (sem sobreposção entre tens e todos os tens completamente dentro do recpente) no menor comprmento de faxa possível. Este problema é encontrado em dversas ndústras, como a movelera, a de calçados, a de produção automoblístca, entre outras. A grande maora dos trabalhos de empacotamento em faxa bdmensonal ldam com objetos (tens e recpentes) retangulares. Apesar deste ser o caso de mutas ndústras, exste uma grande quantdade de empresas cujo processo de fabrcação envolve o corte de tens rregulares. A ndústra têxtl, estudada neste trabalho, corta tens dversos e na grande maora das vezes tens rregulares (não retangulares e não crculares). Segundo a tpologa proposta por Wäscher et al. (2007), o problema de corte de tens rregulares em faxa (ou rregular strp packng problem) é um problema de dmensão aberta. Este problema é estudado por dversos autores, como por exemplo Jakobs (1996), Dowsland et al. (1998, 2002), Gomes e Olvera (2002), Egeblad et al. (2007), Imamch et al. (2009), Sato et al. (2012), Elkeran (2013) e mutos outros. A grande maora dos trabalhos utlzam abordagens heurístcas, que em geral obtêm soluções de boa qualdade em um baxo tempo computaconal. É possível classfcar os modelos para a resolução do problema corte de tens rregulares como de domíno contínuo e domíno dscreto. Denomnamos por modelos contínuos aqueles em que os tens podem ser posconados em qualquer posção do recpente. Fschett e Luzz (2009) propuseram o prmero modelo de programação ntera msta para o problema de corte de tens rregulares em faxa em que os tens e a placa são defndos por polígonos convexos e não convexos. Recentemente, Alvarez-Valdes et al. (2013) formalzam a geração de algumas estruturas geométrcas utlzadas no modelo de Fschett e Luzz (2009) e propõem um algortmo branchand-bound para a resolução do problema. Além dsso, Alvarez-Valdes et al. (2013) estendem o modelo de compactação de Gomes e Olvera (2006) para o problema do corte de tens rregulares em faxa. No caso dos modelos dscretos, o posconamento dos tens pode ser feto em um número fnto de pontos da placa. Nesta lnha, Carravlla et al. (2003) propõem um método de solução va programação por restrções para a resolução do problema. Este fo o prmero método exato para a resolução do problema corte de tens rregulares em faxa. Um modelo de programação ntera msta para a resolução deste problema baseado em pontos de posconamento fntos fo proposto por Toledo et al. (2013). Com este modelo fo possível resolver até a otmaldade nstâncas de maor porte. É mportante ressaltar que a otmaldade da solução dos modelos de domíno dscreto é condconada à dscretzação utlzada. Todos estes métodos exatos exstentes na lteratura utlzam a técnca de no-ft polygon para evtar a sobreposção entre os tens, seja nos modelos de domíno contínuo ou dscreto. Neste trabalho, propomos um novo modelo ntero msto para polígonos convexos que utlza trgonometra dreta para evtar a sobreposção. Este modelo é mas smples de mplementar por não requerer estruturas geométrcas complexas. Em expermentos computaconas fo possível verfcar que o modelo é compettvo com o melhor modelo contínuo da lteratura (HS2 proposto por Alvarez- Valdes et al. (2013)). O modelo proposto neste trabalho fo desenvolvdo para um estudo de caso de uma ndústra de aventas do nteror de São Paulo. Nesta ndústra, os tens que compõem os aventas são polígonos convexos e no problema real são permtdas rotações lvres. Por uma questão de smplfcação não consderamos rotações no modelo.

4 Este trabalho está organzado da segunte forma. Na Seção 2 apresentamos a defnção do problema e algumas estruturas báscas, essencas para a compreensão do restante do trabalho. Na Seção 3, propomos um novo modelo para o problema. Em seguda, na Seção 4 reportamos os resultados computaconas obtdos e na Seção 5 apresentamos as conclusões e dreções futuras. 2. Defnção do problema e estruturas báscas O problema de corte e empacotamento de tens em faxa (ou strp packng problem) é uma das varantes dos problemas de corte e empacotamento. Nestes problemas, N tens devem ser alocados sem sobreposção no nteror de um recpente de altura H fxa e comprmento L lmtado (ou sufcentemente grande para alocar todos os tens). Os tens são representados por um conjunto de vértces ordenado (em sentdo horáro). Destes pontos, um é escolhdo para ponto de referênca do tem. A posção do tem na placa é defnda a partr da localzação de seu ponto de referênca. A Fgura 1 lustra um tem e seus vértces. O ponto de referênca do tem é destacado em preto. Nesta fgura também são defndos h mn (h max ), que representa a dstânca entre o ponto de referênca e o ponto mas acma (abaxo) do tem, e l mn (l max ), que é a dstânca entre o ponto de referênca e o ponto mas à esquerda (dreta) do tem. Estas dstâncas são útes para garantr que o tem está nteramente contdo na placa. h mn h max l mn l max Fgura 1: Representação de um tem e algumas meddas mportantes. Város métodos para ldar com a sobreposção já foram propostos, a saber: trgonometra dreta (D-functon) (utlza dretamente as característcas geométrcas dos tens, sem necessdade de pré-processamento), no-ft polygon (regão, calculada a pror, onde os tens se sobrepõem) e phfuncton (equação matemátca que nforma a posção relatva de dos tens). O cálculo dos no-ft polygons e a defnção das ph-functons requer ferramentas geométrcas que são complexas e de dfícl mplementação. Neste trabalho, a sobreposção entre os tens é evtada utlzando trgonometra dretamente sobre as nformações geométrcas referentes aos tens. A únca função utlzada é a D- functon. Consderando os pontos a = (a x, a y ), b = (b x, b y ) e r = (r x, r y ), a D-functon é dada por: D abr = (a x b x )(a y r y ) (a y b y )(a x r x ). (1) A Fgura 2, mostra os valores que D abr pode assumr. Se D abr > 0 (Fgura 2), o ponto r está à esquerda da lnha que passa pelos pontos a e b; se D abr = 0 (Fgura 2), o ponto r está sobre da lnha que passa pelos pontos a e b; e D abr < 0 (Fgura 2) se o ponto r está a dreta da reta que passa pelos pontos a e b.

5 D abr > 0 D abr = 0 D abr < 0 r b b b r r a a a () () () Fgura 2: Exemplo de valores que a D-functon pode assumr. O conceto de nner-ft polygon é utlzado para delmtar as posções váves para o posconamento dos tens dentro do recpente. Mas especfcamente, o nner-ft polygon determna a regão dentro do recpente onde o ponto de referênca do tem pode ser alocado de forma que o tem esteja completamente contdo no recpente. Quando o recpente é retangular o nner-ft polygon é um retângulo e pode ser calculado por uma smples adção de coordenadas. A Fgura 3 lustra o nner-ft polygon de um tem. Fgura 3: Exemplo do nner-ft polygon (regão hachurada) de um tem em um recpente retangular. 3. Modelo ntero msto Um modelo de programação ntera msta para a resolução do problema de corte de tens rregulares em faxa é apresentado nesta seção. A maor vantagem deste modelo comparado com outros da lteratura está na forma como as restrções de não sobreposção são tratadas. As restrções de não sobreposção entre tens são as que apresentam a maor dfculdade nos problemas de corte de tens rregulares. Para evtar a sobreposção entre cada par de tens, utlzaremos apenas análses sobre os vértces dos polígonos que compõem os tens, não utlzando portanto ferramentas geométrcas mas complexas que necesstam de cálculo a pror, como é o caso do no-ft polygon. Para defnr as restrções de não sobreposção, consdere os pontos a k = (a k x, a k y) e b k = (b k x, b k y), dos vértces consecutvos que compõem uma aresta k de um tem. Defnmos então gx rj e gy rj como as dstâncas horzontal e vertcal entre o ponto de posconamento de um tem (x, y ), e o vértce r de um tem j. Com sto, podemos redefnr a D-functon apresentada em (1) crando a desgualdade (2) que, se satsfeta, elmna a sobreposção entre os tens e j. D abg = (a k x b k x)(a k y gy rj ) (a k y b k y)(a k x gx rj ) 0. (2) Esta expressão pode ser reescrta substtundo a dstânca ao vértce r do tem j e o ponto de referênca do tem pela soma da dstânca entre os pontos de referênca dos tens e j mas a dstânca do ponto de referênca do tem j ao vértce r. Consdere assm a dstânca horzontal e

6 vertcal entre o ponto de referênca de um tem j e o seu vértce r, dadas respectvamente por g jrj x e g jrj y. Utlzando este fato, podemos reescrever a desgualdade (2) como apresentado em (3). (a k x b k x)(a k y + y y j gy jrj ) (a k y b k y)(a k x + x x j gx jrj ) 0 (3) Com algumas manpulações algébrcas, obtemos a segunte desgualdade (4). em que C kr j C kr j + (a k x b k x)(y y j ) + (a k y b k y)(x x j ) 0, (4) é a constante defnda por (ak x b k x)(a k y gy jrj ) (a k y b k y)(a k x gx jrj ). Vale a pena ressaltar que não é necessáro crar uma restrção para cada vértce r de um tem j, vsto que este somente é relevante para a defnção da constante Cj kr. De fato, defnndo Ck j como a constante dada por max r {C kr }, a restrção (4) pode ser smplfcada como apresentado em (5). j C k j + (a k x b k x)(y y j ) + (a k y b k y)(x x j ) 0 (5) A restrção (4) ou (5) garante a não sobreposção entre dos tens convexos, mpondo que todos os vértces de um tem j estejam à dreta da reta defnda pela aresta k de um tem. No entanto esta condção não tem que ser verfcada para todas as arestas do tem, bastando que seja verfcada para uma das arestas. Deste modo, precsamos anda defnr qual reta será atvada para garantr a não sobreposção entre os tens mnmzando o comprmento da placa utlzado. Para sto, consdere as varáves vj k, que assumem o valor 1 se a reta k de um tem é a reta que separa os tens e j, e 0 caso contráro. Consdere K o conjunto de retas que contêm uma aresta do polígono. A nova restrção pode ser formulada como abaxo: C k j + (a k x b k x)(y y j ) + (a k y b k y)(x x j ) (1 v k j)m, = 1,..., N, j = 1,..., N, j, k K, em que M é um número real sufcentemente grande para manter a desgualdade sempre válda. Sabemos que, para cada par de tens e j, uma desgualdade deve ser atva para evtar a sobreposção entre os tens. Desta forma, é necessáro, crar uma restrção que garanta que uma das desgualdades relaconadas a cada par de tens será válda. A segur, apresentamos a restrção que garante que exatamente uma das restrções que separam os tens e j será atva. k K v k j + k K j v k j = 1, 1 < j N. Para garantr a factbldade da solução, é necessáro que todos os tens a serem cortados estejam dentro da placa. Como a placa é retangular, esta restrção pode ser garantda utlzando nformações geométrcas smples sobre cada tem, apresentadas na Fgura 1. As restrções abaxo garantem que os tens estão nteramente alocados dentro da placa. h mn l mn x, = 1,..., N, y H h max, = 1,..., N.

7 Nosso objetvo é cortar todos os tens dentro da faxa de menor comprmento possível L. Para dar suporte a esta função objetvo, ntroduzmos as restrções x L l max, = 1,..., N, que garantem que o comprmento da placa utlzado pelo corte dos tens mas à dreta seja contablzado. O modelo completo, denomnado Modelo de Trgonometra Dreta (MTD), é apresentado em (6)-(12). mnmzar L sujeto a l mn h mn x L l max, = 1,..., N, (7) y H h max, = 1,..., N, (8) C k j + (a k x b k x)(y y j )+ (a k y b k y)(x x j ) (1 vj)m, k, j = 1,..., N, j, k K, (9) vj k + vj k = 1, 1 < j N, (10) k K k K j (x, y ) R 2, = 1,..., N, (11) v k j [0, 1],, j = 1,..., N, j, k K. (12) A relaxação lnear do MTD (6)-(12) fornece lmtantes nferores de má qualdade. Bons lmtantes nferores podem ajudar na velocdade de convergênca dos métodos de solução. Para este problema, um lmtante trval é dado pelo comprmento do tem mas longo a ser cortado. Outro lmtante váldo está assocado à área necessára para efetuar o corte dos tens, e é calculado somando a área de todos os tens a serem cortados e dvdndo pela altura da placa. Note que este lmtante corresponde ao valor da solução se não houver desperdíco no corte. O máxmo entre estes dos lmtantes é tdo como o lmtante nferor ncal para o valor da solução do MTD. 4. Expermentos computaconas Nesta seção apresentamos os expermentos computaconas para o MTD proposto neste trabalho, mplementado em lnguagem C++ e usando o software de otmzação IBM ILOG CPLEX Todos os expermentos foram realzados em um computador Intel Core com 16 GB de memóra RAM usando o sstema operaconal Ubuntu LTS. O Tempo Lmte (TL) para o modelo provar a otmaldade fo restrngdo a 3600 segundos (uma hora). Na Seção 4.1, são descrtas as nstâncas utlzadas nos expermentos computaconas. Na Seção 4.2 é apresentada uma análse comparatva entre os resultados obtdos e os resultados de modelo HS2 proposto por Alvarez-Valdes et al. (2013), que é atualmente o melhor modelo da lteratura. Na Seção 4.3, apresentamos expermentos com nstâncas reas Instâncas Para realzar os testes computaconas, dos conjuntos de nstâncas foram utlzados. O prmero conjunto é composto por nstâncas com tens convexos utlzadas em Alvarez-Valdes et al. (2013). Com este conjunto pretende-se avalar a efcênca do MTD frente ao modelo HS2 de Alvarez-Valdes et al. (2013). As nstâncas utlzadas são: fu e suas varações (fu5, fu6, fu7, fu8, fu9 e fu10) e three, também com suas varações (threep2, threep2w9, threep3 e threep3w9). Mas detalhes sobre estas nstâncas podem ser encontrados em Alvarez-Valdes et al. (2013). O segundo conjunto de expermentos é composto por nstâncas reas provenentes do corte de aventas na ndústra têxtl. Consderamos um tpo específco de avental, denomnado avental de churrasco, que é composto pelo corpo do avental e o bolso. (6)

8 4.2. Analsando a performance do MTD Nesta seção, é feta a comparação entre o MTD e o modelo HS2 de Alvarez-Valdes et al. (2013). Os resultados do modelo HS2 foram retrados de Alvarez-Valdes et al. (2013). Sob a perspectva computaconal, os computadores utlzados para realzar os testes são semelhantes dferndo apenas na versão do software de otmzação IBM ILOG CPLEX (Alvarez-Valdes et al. (2013) utlzam a versão 12.1). A Tabela 1 apresenta os resultados computaconas para o MTD e o modelo HS2. Na tabela, o nome da nstânca resolvda é apresentado na prmera coluna, segudo pelo número de tens da nstânca, apresentado na segunda coluna. As colunas três, quatro e cnco apresentam, respectvamente, o comprmento da solução (lmtante superor), gap de otmaldade e tempo computaconal em segundos para o modelo HS2. Para o MTD, o lmtante superor, gap de otmaldade e tempo computaconal são apresentados nas colunas ses, sete e oto. O gap de otmaldade é dado pela dferença entre os Lmtantes Superor (LS) e Lmtante Inferor (LI), dvdda pelo lmtante nferor, ou seja, (LS-LI)/LS. Tabela 1: Resultados computaconas para as nstâncas do grupo 1. Instânca Número HS2 MTD de tens LS GAP Tempo LS GAP Tempo three 3 6,00 0,00 0,8 6,00 0,00 0,0 fu ,89 0,00 0,1 17,89 0,00 0,1 fu ,00 0,00 0,5 23,00 0,00 0,0 threep2 6 9,33 0,00 3,9 9,33 0,00 0,8 threep2w9 6 8,00 0,00 8,5 8,00 0,00 4,8 fu ,00 0,00 1,0 24,00 0,00 0,1 fu ,00 0,00 1,3 24,00 0,00 0,1 fu ,00 0,00 70,0 25,00 0,00 9,6 threep3 9 13,53 0, ,0 13,53 0,27 TL threep3w9 9 11,00 0,09 TL 11,00 0,23 TL fu ,68 0, ,0 28,68 0,00 260,0 fu 12 33,80 0,29 TL 33,14 0,14 TL TL: O tempo lmete de uma hora fo atngdo. Na Tabela 1, é possível notar que o modelo proposto (MTD) consegue provar a otmaldade para 9 das 12 nstâncas avaladas, enquanto o modelo HS2 prova a otmaldade para 10 destas nstâncas. Em contrapartda, em relação ao lmtante superor, o modelo MTD é sempre melhor ou gual ao HS2. As Tabelas 3 e 2 apresentam o desenho das soluções obtdas pelo modelo MTD e também o valor da solução obtda para cada nstânca. As nstâncas que possuem um astersco na frente do nome atngram a otmaldade. Tabela 2: Soluções encontradas para as nstâncas three. three* threep2* threep2w9* threep3 threep3w9 Sol.: 6,00 Sol.: 9,33 Sol.: 8,00 Sol.: 13,53 Sol.: 11,00

9 Tabela 3: Soluções encontradas para as nstâncas fu. fu5* fu6* fu7* fu8* fu9* fu10* fu Sol.: 17,89 Sol.: 23,00 Sol.: 24,00 Sol.: 24,00 Sol.: 25,00 Sol.: 28,68 Sol.: 33, Aplcando o método a problemas reas Nesta seção, apresentamos a nstânca da ndústra consderada neste trabalho e, em seguda, os expermentos computaconas. A Fgura 4 lustra o desenho de um avental de churrasco. Como podemos observar, exstem duas partes a serem cortadas: corpo do avental (em cnza claro) e o bolso (em cnza escuro). As lnhas pontlhadas representam as outras partes do avental que são fetas de outro materal e são lustradas por completude. Fgura 4: Desenho do avental de churrasco. Na empresa estudada, há uma certa demanda dára de aventas a serem produzdos. Para smular alguns cenáros, os expermentos computaconas apresentam nstâncas denomnadas Avental, onde o termo representa o número produzdo de aventas. São 16 nstâncas para = 1,..., 10 e nstâncas de grande porte com = 20, 30, 40, 50, 60 e 70. Os resultados são apresentados na Tabela 4. A prmera coluna apresenta o nome da nstânca, seguda pela coluna de quantdade de tens. As colunas seguntes reportam o lmtante nferor (tercera coluna), o comprmento ou lmtante superor (quarta coluna), o GAP (qunta coluna), a taxa de ocupação da solução (sexta coluna) e o tempo computaconal em segundos (sétma coluna). Podemos observar que o MTD fo muto efcente para a aplcação, obtendo soluções ótmas em pouco tempo computaconal para as cnco prmeras nstâncas. Podemos observar que, a partr de 12 tens, o MTD não conseguu provar a otmaldade de nenhuma nstânca, mas conseguu soluções com uma ocupação superor a 80% para as nstâncas com uma demanda par de aventas. Isso sugere, que sempre que possível, a empresa deve cortar uma demanda par de aventas. O MTD não encontrou solução para a nstânca Avental 70 com 140 tens. A Fgura 5 apresenta o desenho das soluções Avental 8 e Avental 10 que obtveram as melhores taxas de ocupação. A Fgura 6 apresenta o desenho da solução com 120 tens (60 aventas).

10 Tabela 4: Resultados do modelo proposto para uma nstânca real. Instânca Número MTD de tens LI LS GAP Ocupação Tempo Avental 1 2 6,40 6,40 0,00 47,51 0,0 Avental 2 4 7,21 7,21 0,00 84,35 0,0 Avental ,80 12,80 0,00 71,27 0,0 Avental ,39 13,39 0,00 90,84 13,4 Avental ,20 19,20 0,00 79,19 10,6 Avental ,20 19,79 0,03 92,19 TL Avental ,05 25,60 0,22 83,15 TL Avental ,19 26,19 0,15 92,88 TL Avental ,79 32,00 0,19 85,52 TL Avental ,66 32,80 0,13 92,71 TL Avental ,30 70,00 0,28 86,88 TL Avental ,00 102,00 0,17 89,44 TL Avental ,62 144,40 0,21 84,24 TL Avental ,28 186,40 0,23 81,57 TL Avental ,93 221,77 0,22 82,27 TL Avental TL TL: O tempo lmete de uma hora fo atngdo. Fgura 5: Desenho das soluções das nstâncas Avental 8 (à esquerda) e Avental 10 (à dreta). 5. Conclusões e pesqusas futuras Neste trabalho apresentamos um modelo de programação ntera msta para o problema de corte em faxa em que apenas trgonometra dreta é utlzada para elmnar a sobreposção entre os tens. A formulação apenas pode representar problemas que envolvem o corte de tens convexos. O modelo proposto (MTD) é mas fácl de mplementar que os modelos da lteratura, prncpalmente pelo fato de precsar apenas das nformações geométrcas dos tens, sem que requera algum préprocessamento. Apesar da aparente smplcdade do modelo, ele se mostrou compettvo com a lteratura, encontrando város resultados ótmos e sempre soluções de gual ou melhor qualdade. O MTD fo testado em nstâncas nspradas em uma ndústra têxtl, consegundo bons resultados que podem mpactar em uma redução do custo de materal (ou matéra-prma) e reduzr o mpacto ambental, causado pela fabrcação de aventas. O MTD obteve soluções com mas de 80% de ocupação, para todas as nstâncas com uma demanda par, enquanto as demandas ímpares (com as demanda de 1, 3, 5, 7 e 9) obtveram as pores taxas de ocupação. Para quatro nstânca o MTD obteve mas de 90% de ocupação, o que representa um leaute menos de 10% de desperdíco que vra lxo ndustral. O MTD é o prmero modelo a apresentar soluções para nstâncas com mas de 70 tens, chegando ao lmte de 120 tens. O modelo que resolveu a maor nstânca da lteratura até o

11 Fgura 6: Desenho da solução da nstânca Avental 60. momento fo o de Toledo et al. (2013), que resolveu nstâncas com 56 tens na otmaldade e encontrou solução para uma nstânca com 70 tens. Como próxmos passos da pesqusa, serão estudadas formas de estender o modelo proposto para polígonos não convexos, além de consderar rotações para os tens. Pretendemos estudar novos lmtantes nferores e gerar cortes no modelo a fm de acelerar a sua velocdade de convergênca. Agradecmentos. Este trabalho contou com o apoo da CAPES, do CNPq (306918/2014-5), da FAPESP Temátco (2010/ ), CEPID da FAPESP (processo 2013/ ) e o Unversal do CNPq (processo /2013-4). Este trabalho fo anda parcalmente fnancado pelo ERDF - European Regonal Development Fund - através do Programa ON.2, e por fundos naconas portugueses, através da FCT, no âmbto do projeto Smart Manufacturng and Logstcs [Projeto NORTE FEDER ]. Referêncas Alvarez-Valdes, R.; Martnez, A.; Tamart, J. (2013). A branch & bound algorthm for cuttng and packng rregularly shaped peces. Internatonal Journal of Producton Economcs, 145(2), Carravlla, M. A.; Rbero, C.; Olvera, J. F. (2003). Solvng nestng problems wth non-convex polygons by constrant logc programmng. Internatonal Transactons n Operatonal Research, 10, Dowsland, K. A.; Dowsland, W. B.; Bennell, J. A. (1998). Jostle for poston: Local mprovement for rregular cuttng patterns. The Journal of the Operatonal Research Socety, 49(6), Dowsland, K. A.; Vad, S.; Dowsland, W. B. (2002). An algorthm for polygon placement usng a bottom-left strategy. European Journal of Operatonal Research, 141(2), Egeblad, J.; Nelsen, B. K.; Odgaard, A. (2007). Fast neghborhood search for two- and threedmensonal nestng problems. European Journal of Operatonal Research, 183(3), Elkeran, A. (2013). A new approach for sheet nestng problem usng guded cuckoo search and parwse clusterng. European Journal of Operatonal Research, 231(3), Fschett, M.; Luzz, I. (2009). Mxed-nteger programmng models for nestng problems. Journal of Heurstcs, 15(3), Gomes, A. M.; Olvera, J. F. (2002). A 2-exchange heurstc for nestng problems. European Journal of Operatonal Research, 141(2), Gomes, A.; Olvera, J. F. (2006). Solvng rregular strp packng problems by hybrdsng smulated annealng and lnear programmng. European Journal of Operatonal Research, 171(3), Imamch, T.; Yagura, M.; Nagamoch, H. (2009). An terated local search algorthm based on nonlnear programmng for the rregular strp packng problem. Dscrete Optmzaton, 6(4), Jakobs, S. (1996). On genetc algorthms for the packng of polygons. European Journal of Operatonal Research, 88(1), Sato, A. K.; Martns, T. C.; Tsuzuk, M. S. G. (2012). An algorthm for the strp packng problem usng collson free regon and exact fttng placement. Computer-Aded Desgn, 44(8),

12 Toledo, F. M. B.; Carravlla, M. A.; Rbero, C.; Olvera, J. F.; Gomes, A. M. (2013). The dotted-board model: a new mp model for nestng rregular shapes. Internatonal Journal of Producton Economcs, 145(2), Wäscher, G.; Hauβner, H.; Schumann, H. (2007). An mproved typology of cuttng and packng problems. European Journal of Operatonal Research, 183(3),