Autores: Prof a. Adriana Rodrigues de Matos Prof. Alcides Martinelli Esquilache Prof. Américo Augusto Barbosa Prof. Geraldo Magela Barbosa Prof.

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1 Autores: Prof a. Adriana Rodrigues de Matos Prof. Alcides Martinelli Esquilache Prof. Américo Augusto Barbosa Prof. Geraldo Magela Barbosa Prof. Ivan Pegoretti 1

2 Plano de ensino 1 - Conjuntos numéricos. Expressões numéricas. - Números reais. Expressões algébricas. Operações. 3 - Equações de 1º. Grau. Resolução. 4 - Equações de º. Grau. Resolução. 5 - Funções do 1º. Grau. Resolução. 6 - Funções do º. Grau. Resolução. 7 - Aplicações das funções de 1º e º graus na Economia; representação gráfica das funções: demanda e oferta. 8 - Determinação algébrica e gráfica do ponto de equilíbrio 9 - Aplicações das funções de 1º e º graus na Economia: receita total, custo total, custo fixo, custo variável, lucro total, prejuízo Determinação algébrica e gráfica do ponto crítico (Break even point). Caro aluno, APRESENTAÇÃO O objetivo deste material é preparar o discente para a vida acadêmica, despertando-lhe o desejo de aprimorar seus conhecimentos, de conhecer, pesquisar e investigar os mais diferentes aspectos da realidade em que vive ou que venha a participar socialmente. Este material tem como objetivo principal mostrar, de forma clara, por meio de exemplos práticos, o conceito dos Fundamentos da Matemática e suas aplicações, e utiliza para isso uma metodologia objetiva e de fácil compreensão. Vale lembrar que este material faz parte de um conjunto de textos, baseados em livros, apostilas, sites, que foram e continuam sendo aprimorados com o tempo, pelo autor. Este material serve como complemento para o aluno a fim de facilitar a sua compreensão, dessa forma, não substitui, em hipótese alguma, a pesquisa em livros específicos. Os autores. Jamais considere seus estudos como uma obrigação, mas como uma oportunidade invejável para aprender a conhecer a influência libertadora da beleza do reino do espírito, para seu próprio prazer pessoal e para proveito da comunidade à qual seu futuro trabalho pertencer." Albert Einstein

3 3 Nenhuma parte desta apostila, sem autorização prévia por escrito do autor, poderá ser reproduzida ou transmitida sejam quais forem os meios empregados: eletrônicos, mecânicos, fotográficos, gravação ou quaisquer outros. Regra de Sinais A grande maioria dos alunos erram em sinais e em frações, talvez porque não entenderam bem ou por não ter sido bem explicado, um dos casos, talvez, seja a maneira pela qual é apresentada a regra de sinais, que muitas vezes confundem o aluno: "mais com mais", etc. Apresentamos aqui, a mesma e velha regra de sinais tentando diminuir as chances de erros do aluno. Primeiro, vamos lembrar que o erro se dá no sinal, então devemos lembrá-los que antes de efetuar a conta eles devem obter qual será o sinal, após o qual deve calcular o resultado obedecendo a operação em questão. REGRA DE ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO Pense em débito (-) e crédito (+) Primeiro devemos informar que não há necessidade de se "decorar" uma regra, se pensarmos em débito(-) e crédito(+) não erramos nunca, pois podemos dizer que se temos por exemplo R$ 10,00 (dez reais) e recebemos mais R$ 5,00 (cinco reais), ficamos com R$ 15,00 (quinze reais); ou se devemos R$ 10,00 (dez reais) a alguém e devemos R$ 5,00 (cinco reais) a outra pessoa então devemos ao todo R$ 15,00 (quinze reais) (sinais iguais soma-se e repete o sinal); agora se temos os mesmos R$ 10,00 (dez reais) e gastamos R$ 5,00 (cinco reais) ficamos com R$ 5,00 (cinco reais); ou se temos R$ 5,00 (cinco reais) e devemos a alguém R$ 10,00 (dez reais), só podemos pagar o que temos, isto é, os R$ 5,00 (cinco reais), e ainda assim ficamos devendo R$ 5,00 (cinco reais) (sinais diferentes subtraí-se e dá o sinal do maior número em valor absoluto).

4 REGRA DE MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO 4 Para não esquecer a regra de sinais de produtos e divisões vamos considerar um número positivo como amigo e um número negativo como inimigo. Assim: O amigo (+) de meu amigo (+) é meu amigo (+). O amigo (+) de meu inimigo (-) é meu inimigo (-). O inimigo (-) de meu amigo (+) é meu inimigo (-). O inimigo (-) de meu inimigo (-) é meu amigo (+). Portanto, sinais iguais, resultado positivo; sinais diferentes, resultado negativo. EXPRESSÕES NUMÉRICAS As expressões numéricas são expressões matemáticas que envolvem números. Devemos lembrar de que existe uma ordem para resolvermos qualquer expressão numérica. Resumidamente: 1) Parênteses ( ) ) Colchetes [ ] 3) Chaves { } 4) Potência ou Radiciação 5) Multiplicação ou Divisão 6) Soma ou Subtração Sempre da esquerda para a direita Veja o exemplo abaixo: 1º exemplo: [6 + (9 / 3). ( ) (40 : 8-3)] / (1 ) [ (4 + 16) - 1. (5-3)] / -1 [ (0) - 1. ] / -1 [ ]/ / -1-64

5 Exercícios: 5 Calcule o valor de cada expressão numérica: 1) -(-7+.5):(-1) Resposta 5 ) 16-30:[6-.(3-1)+3] Resposta: 10 3) [(+3)+(-5)]:[1-(+3).(-)] Resposta:1 4) -15-(-8).(+4)-(+0):(-5) Resposta: 1 5) {86-[-(3-10+4)+(13-0+4)]}-36 Resposta: 50 6) 51-{[46+(6-7)]-[3-(5+6+18)]} Resposta: 9 7) -11.(-3)-5+(-3):4-[16:(-)-(-8):4] Resposta: 6 8) {-[--5.(-)]+(-3).(-)-(7-3-1)}:(-5) Resposta: 1 9) -3-3.{ [4.(-8)-.(- 4+8:7)]} Resposta:-65 Números Racionais Efetue: ) Resposta: ) Resposta: ) Resposta: ) Resposta: ) Resposta: ) 8 Resposta: ) 4. Resposta: ) Resposta: ) 3 :. Resposta: ) :. Resposta:

6 EXPRESSÕES ALGÉBRICAS 6 São expressões matemáticas que apresentam letras e podem conter números. São também denominadas expressões literais. Exemplos A = a + 7b B = (3c + 4) 5 C = 3c + 4 As letras nas expressões são chamadas variáveis o que significa que o valor de cada letra pode ser substituída por um valor numérico. Prioridade das operações numa expressão algébrica Nas operações em uma expressão algébrica, devemos obedecer a seguinte ordem: Potenciação ou Radiciação Multiplicação ou Divisão Adição ou subtração Observações: Antes de cada uma das três operações citadas anteriormente, deve-se realizar a operação que estiver dentro dos parênteses, colchetes ou chaves. A multiplicação pode ser indicada por x ou por um ponto (. ) ou às vezes sem sinal, desde que fique clara a intenção da expressão. Muitas vezes devemos utilizar parênteses quando substituímos variáveis por valores negativos. Exemplos: Consideremos P=A+10 e tomemos A=5. Assim P = (5) + 10 P = P = 0 Aqui A é a variável da expressão, 5 é o valor numérico da variável e 0 é o valor numérico da expressão indicada por P. Observe que ao mudar o valor de A para 9, teremos: A = (9) + 10 A = A = 8 Quando A=9, o valor numérico de P=A+10 é igual a 8. Seja X = 4A + + B - 7 e tomemos A=5 e B=7. Desse modo: X = 4.(5) X = X = Quando A=5 e B=7, o valor numérico de X = 4A + + B - 7, é igual a 8. Seja Y = 18 - C D + 8C, onde C=- e D=1. Então : Y = 18 -(-) (-) Y = Y = Y = 14 Se C=- e D=1, o valor numérico de Y=18-C+9+D+8C, é 14. Operações Algébricas Adição e Subtração Podemos subtrair ou adicionar termos que sejam semelhantes. Ex: 7xy xy + 5xy. Os termos xy são semelhantes, portanto basta adicionar ou subtrair a parte numérica e conservar a parte literal. Solução: (7-1+5).xy = 11xy. OBS: Quando a expressão algébrica tiver sinais de associação e for precedido por um sinal negativo, devemos trocar todos os sinais de dentro dos parênteses, colchetes ou chaves. Ex: a) 8x + ( -5x) = 8x 5x = 3x b) 7x ( 4x 5) = 7x 4x + 5 = 3x + 5

7 EXERCICIOS EXPRESSÕES 7 1) Calcule o valor das expressões numéricas: a) (-3) 4 (-1) + 5 = b) 15 + (-4). (+3) 10 = c) [(+0) : (-4) + 3] = d) 5 + (-3) + 1 = e) 10 + (-) 3 4 = f) 18 - (+7) + 3 = g) (-) 3 + ( 3) 5 = h) (-3). (+5) + = i) = j) 40:[(-1) 9 + (-) 3 11] = k) 10 [5 + (-) + (-1)] = l) {3 + [4 (1 -) + 3] -4} = m) 50:{-5 + [-1 (-) 5 + (-) + 3]} = n) 7 [6 (-1) 5 ] = ) Resolva as expressões algébricas: a) 5ab ab + ab = b) 3y + (-y) = c) 4xy + (-3xy) + 5xy = d) 5y + 4y 3 = e) 6a + ab + (-3a) = f) 19x 3 34x 3 + (-y) = g) 5x x 9 = h) 4x 5 y 6 6 x 5 y 6 = i) (6x 3 + x 3x + 1) + (x 3-4x + x - ) = j) (x 5-3x + ) - (4x 5 + x 3-4x + ) = 3) Para as expressões a seguir se, x = e y = - 3, encontre o valor de A. a) A = 3x + y b) A = - 4x + 3y c) A = y + 3x d) A = - 5x + y 4) Calcule o valor numérico das expressões algébricas: a) (x + 1). (x + ). (x + 3), para x = - 4 b) a b, para a = 3 e b = 4 c) x 1 + 7x 3, para x = 4 d) 3 x + x, para x = x xy y e), para x = 1 e y = 3 x y f) x = b b 4. a. c, calcule x, para a = 3,b = - 7 e c =. a

8 8 Respostas: 1-) a) 31 h) 47 b) - 7 i) 14 c) 30 j) - d) 15 k) 8 e) - l) - 5 f) 0 m) 50/7 g) - 4 n) 46 -) a) 4ab f) - 15x 3 y b) y g) 17x 9 c) 6xy h) - x 5 y 6 d) 9y 3 i) 8x 3 x x - 1 e) 3a + ab j) - 3x 5 x 3 + x 3-) a) A=0 b) A =-17 c) A=3 d) A = ) a) -6 b) 5 c) 8 d) 81 e) -8 f) POTENCIAÇÃO Conceito: Potência é um produto de fatores iguais. Seja a um número real e n um número natural, logo Obs: a = base e n = expoente a n a. a. a. a... a n fatores Da definição decorre que: a) a 3 a. a. a c) a 1 1 b) a 0 1 Exemplos: a) b) c) d) ( ) ( ).( ) 4 3 e) ( ) ( ).( ).( ) 8 Base Negativa: Expoente par = resultado positivo Expoente ímpar = resultado negativo Propriedades: 1) m n a. a m n a (0,15). (0,15) 3 = (0,15) + 3 = (0,15) 5 m a m n ) a n a (0,19) 6 : (0,19) = (0,19) 6 = (0,19) 4 n n n 3)a. b a. b (. 5 ) 3 =

9 n n a a 4) n b b n m m. n 5) a a [(0,3) 3 ] = (0,3) 3. = (0,3) 6 Potência de expoente negativo n 1 6) a n a Sendo a um número real não-nulo e n um número inteiro. Exemplos: = 1_ = 1_ 4 ( - 3) 4 = 1 = 1_ (- 3) 4 81 Exercícios: 1) Calcule o valor das potências: a) 3 5 = b) 0 4 = c) -3 3 = 3 d) e) 5 f) (-3) 4 = g) 6 = 5 h) 3 1 i) 3 j) 3 1 k) 5 4 l) 3 1 m) 3 n) 4 ) Reduza a uma única potência usando as propriedades: a) x y 3 b) x 3 y c) x y. x y 4

10 3 3 d) x y. x y 3 4 e) x y. x. y f) 6 5. g) h) i) j) k) Respostas exercícios: 1) a) 43 b) 0 c) 7 d) h) 3 1 i) 43 3 Exercício : 1 16 e) f) 81 g) j) k) l) m)4 n) a) x 4.y b) x 9.y 1 c) x 6.y 1 d) x 15.y 9 e) x 15.y 1 f) g) 3 h) 4 4 i) 5 4 j) 3 - k) 5 17 FUNÇÃO DO 1 0 GRAU Chamamos de função do 1 o grau ou afim a qualquer função IR em IR definida por f(x) = ax + b, onde a e b são números reais e a é não nulo. Definição: f: IR IR definida por f(x) = ax + b, a IR* e b IR OBS.: a) O gráfico da função do 1 o grau é uma reta. b) O conjunto imagem da função do 1 o grau é IR. c) A função do 1 o grau com b = 0, ou seja f(x) = ax é chamada linear. Exemplo Construa o gráfico e dê o conjunto imagem das seguintes funções de IR em IR. Considerar x = 0 e 1. a) f(x) = x + x f(x) = x = = 3 3 f(x) Im = IR x

11 11 b) f(x) = 5x x f(x) = 5x = = 5 5 f(x) Im = IR 1 x Observe que a função f(x) = 5x, é uma função linear, e é uma reta que passa pela origem (0, 0), pois para x = 0 temos f(x) = 0, para construirmos o gráfico basta obter apenas mais um ponto. Raiz ou zero da função do 1 o grau Dada a função do 1 o grau f(x) = ax + b, chama-se raiz ou zero da função, o valor de x para qual ax + b = 0, ou seja o valor de x que anula a função. Então, para determinarmos a raiz ou zero da função, fazemos f(x) = 0 e resolvemos a equação. Exemplo Determine a raiz das seguintes equações: a) f(x) = 3x - 6 Resolução: 3x 6 = 0 3x = 6 x = 6/3 x = b) f(x) = 8x Resolução: 8x = 0. ( 1) x = 0/8 x = 0 Observe que em f(x) = 3x 6, f(x) = 0 e x =, calculado anteriormente, o ponto (, 0) é a intersecção da reta com o eixo x. FUNÇÃO QUADRÁTICA (FUNÇÃO DO O GRAU) As funções do segundo grau, utilizando-se os mesmos critérios de equivalência das funções do primeiro grau, reduzem-se à seguinte expressão: f(x) = ax + bx + c Esta maneira de apresentar a equação de segundo grau recebe o nome de forma ou fórmula geral. Temos três coeficientes: onde a, b e c são números reais, com a 0, e x é a incógnita. Os números a, b e c são os coeficientes da função. Exemplos: a) f(x) = 5x + 3x a = 5 b = 3 c = b) f(x) = x + 4x a = 1 b = 4 c = 0 c) f(x) = x 5 a = 1 b = 0 c = 5 Observe que o coeficiente de a, nunca será zero, pois se isto ocorrer não teremos mais uma função do o grau e sim uma função do 1 o grau.

12 Cálculo das raízes da função do o grau 1 A existência e o número de soluções da função f(x)= ax + bx + c = 0 dependem do número b - 4ac, a que chamaremos discriminante e representaremos pela letra grega (delta maiúscula). Sempre terá duas raízes, elas até podem ser iguais. Portanto, = b 4ac No entanto, utilizaremos a fórmula de Báskara: Logo, Exemplos: Resolver as seguintes equações: a) x 8x + 1 = 0 a = 1, b = 8 e c = 1 (primeiro vamos calcular o valor de delta) (substituímos a por 1, b por 8 e c por 1) (Delta positivo) (fórmula de Baskara) x = ( 8) + 16 (substituímos b por 8, delta por 16 e a por 1) (1) x = x = 1 / = 6 x = 4 / = S = {6 ; }

13 13 b) x 1x + 36 = 0 a = 1, b = - 1 e c = 36 (Delta igual a zero) S = {6} c) x 4x + 3 = 0 a =, b = - 4 e c = 3 (Delta negativo) S = { }, não existe raiz de número real negativo

14 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA FUNÇÃO DO O GRAU 14 O gráfico desta função é uma curva plana denominada parábola, o domínio :Dom(f)=R e a imagem: Im(f)=R. O sinal do coeficiente do termo dominante (concavidade da parábola) : COEFICIENTE a O sinal do coeficiente do termo dominante desta função indica a concavidade da parábola ("boca aberta"). O coeficiente "a" desempenha no gráfico a propriedade de concavidade da parábola. Significa que se o "a" for positivo (a>0), a parábola terá concavidade para cima (boca sorridente), como no exemplo: Se este for negativo (a < 0), a parábola teria concavidade para baixo (boca triste). Veja o exemplo: Calma, isso quer dizer que devemos calcular quais os valores de x que a parábola "corta" o eixo dos X. Veja no exemplo o que é "raiz" graficamente:

15 15 COEFICIENTE "c" : A função do coeficiente "c" é nos indicar onde a parábola "corta" o eixo Y. Se ele for positivo ela irá "cortar" o eixo Y acima da origem; se for negativo irá "cortar" abaixo da origem e; se for ZERO, irá cortar o eixo Y na origem, ou seja, ponto (0,0). Veja o exemplo: Veja você que os coeficiente não dependem um do outro. Podemos ter "a" positivo com "b" negativo; "a" positivo com "b" positivo, ou seja, qualquer combinação de sinais. COEFICIENTE "b" A análise do coeficiente "b" nos diz a inclinação que a parábola toma após passar o eixo Y. Primeiro olhe a figura abaixo:

16 16 Neste exemplo, o "b" é negativo (b<0), pois seguindo a parábola para direita a partir do ponto de corte do eixo Y, iremos descer; então é negativo. Veja outros exemplos: Neste exemplo o "b" é maior que zero, pois acompanhando a curva iremos subir após o ponto de corte. Neste exemplo, "b" é igual a zero, pois logo após o ponto de corte, iremos reto. Este exemplo é muito particular, porque você pode achar que é positivo, pois irá subir. Porém, a regra diz que tem que ser no ponto mais próximo do corte, ou seja, milimetricamente, então neste exemplo vai reto. b=0.

17 17 Exemplo: Faça o esboço do gráfico da seguinte função : Resolução: Vamos primeiro calcular as raízes usando BÁSKARA. Os coeficientes são: A=1, B= 1 e C=. Colocando na fórmula, temos: As duas raízes são e 1, então já sabemos os pontos por onde a parábola corta o eixo X. No gráfico, fica: Agora fazemos o estudo dos coeficientes. Vamos primeiro olhar para o c. Ele vale, então o gráfico da parábola com certeza corta o eixo Y no ponto. Vamos marcá-lo: Pelo coeficiente a sabemos que ela tem a concavidade para cima, e pelo b sabemos que logo após o ponto de corte com Y ela tem que descer. Traçando o esboço, temos o seguinte:

18 18 Estudo do Vértice O que é vértice de uma parábola? - É o ponto em que a parábola atinge seu valor máximo ou mínimo. Veja os exemplos abaixo: O vértice de todas as parábolas tem uma característica própria, ele sempre se encontra "eqüidistante" de ambas as raízes, ou seja, a coordenada "x" do vértice fica exatamente no meio das coordenadas das duas raízes. A coordenada "x" do vértice é a média aritmética das coordenadas "x" das raízes, isto é, a soma das duas dividido por dois. Esta é a fórmula para encontrarmos o Xv.

19 19 Agora que já sabemos o Xv, devemos descobrir o Yv ("y" do vértice). Portanto a fórmula para o cálculo de Yv é: Observando os gráficos que representam a função quadrática f(x) = ax + bx + c: Se a > 0, a função assume um valor de mínimo: Y v = - 4a Assim o conjunto imagem da função quadrática será: Se a < 0, a função assume um valor de máximo: Y v = - 4a Assim o conjunto imagem da função quadrática será: Im = {y IR y > - Exemplo } 4a Im = {y IR y < - } 4a Determinar os vértices (Xv e Yv) da função y = x - x + 3, escreva se a função admite um máximo ou um mínimo e determine esse máximo ou esse mínimo. Resolução: Vértices Xv = - (-)/. 1 = b - 4ac Yv = -(-8)/4. 1 Xv = / = (-) Yv = 8/4 Xv = 1 = 4-1 = -8 Yv = a > 0, a função assume um valor mínimo S = (1, ) Y v = - = - (-8) = 4a (4. 1) Resumidamente temos: FUNÇÃO QUADRÁTICA Chamamos de função quadrática, qualquer função de IR em IR definida por f(x) = ax + bx + c, onde a IR*, b IR e c IR. Observe que o coeficiente de a, nunca será zero, pois se isto ocorrer não teremos mais uma função do º grau, e sim uma função do 1º grau. CONCAVIDADE DA PARÁBOLA a > 0 concavidade da parábola voltada para cima a < 0 concavidade da parábola voltada para baixo

20 RAÍZES OU ZEROS DA FUNÇÃO QUADRÁTICA 0 Raízes ou zeros da função quadrática f(x) = ax + bx + c são os valores de x para os quais a função se anula (y = 0) Determinamos as raízes da função quadrática resolvendo a equação: ax + bx + c = 0 o que pode ser feito aplicando a fórmula resolutiva: b x onde: b 4ac a INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DAS RAÍZES Se Se Se 0 0 a função tem dois zeros reais desiguais ( x e x ). 0 a função tem um zero real duplo ( x = x ). 0 a função não tem zero real. y y x 1 y x x x 1 y x x 0 0 y x x 1 x y x x 1 x x x

21 VÉRTICE DA PARÁBOLA 1 As coordenadas do vértice são adquiridas através das fórmulas: b x v a e y v 4 a IMAGEM DA FUNÇÃO QUADRÁTICA Observando os gráficos que representam a função quadrática f(x) = ax + bx +c : a 0 y v y x v x Se a > 0, a função assume um valor de mínimo: y v. 4 a Assim o conjunto imagem da função quadrática será: Im = { y IR y 4a } a 0 y v y x v x Se a < 0, a função assume um valor de máximo: y v. 4 a Assim o conjunto imagem da função quadrática será: Im = { y IR y 4a } Exercícios: 1. Determine os coeficientes de a, b e c nas funções do º grau: a) y = x 5 b) y = x + x 1 c) y = 5x + 13x d) y = 3x 6x + 9 e) y = x 18 f) y = x 10x + 5. Dada a função do º grau: y = x 6 determine: a) f(5) b) f(- ) c) f(0) 3. Construa o gráfico da função definida por cada uma das funções: a) y = x 4x + 3 b) y = x 4x + 6 c) y = x + 6x d) y = x + e) y = x + x 1 f) y = x 4

22 Respostas dos exercícios. 1. a) a = 1, b = 0 e c = - 5 b) a = 1, b = e c = 1 c) a = 5, b = 13 e c = 0 d) a = 3, b = 6 e c = 9 e) a = 1, b = 0 e c = 18 f) a = 1, b = 10 e c = 5. a) 44 b) c) 6 APLICAÇÕES ECONÔMICAS DAS FUNÇÕES DO 1 º e º GRAU Se pensarmos nos conjuntos A e B e aplicarmos a teoria das funções, podemos relacionar as variáveis x e y como: a) Custo de produção de um dado produto e a matéria-prima utilizada; b) Quantidade do produto vendido e o preço de venda desse produto; c) Custo total de produção e a quantidade produzida. A OFERTA B Indústria Comércio Prest. De serviços Diversões Mercado DEMANDA O administrador deverá ter como objetivo estabelecer as funções econômicas e procurar maximizar lucros e minimizar custos. LEI DA DEMANDA OU DA PROCURA A quantidade de um produto demandado depende de várias variáveis, dentre elas, podemos citar: renda do consumidor, preço unitário do produto, gosto do consumidor, etc. A lei da procura determina em quanto menor o preço de um determinado produto, mais será a quantidade demandada por unidade de tempo, ou seja, mantidas constantes as demais condições. Configuremos os conjuntos A e B e chamaremos o conjunto A de p( preço) e o conjunto B de qd( quantidade de demanda). Na teoria das funções podemos associar (qd) com a variável y e (p), com a variável x, ou seja: qd = ap + b (linear afim) ou qd = ap + bp + c (quadrática)

23 3 Verificamos que, normalmente o gráfico de qd em função de p é uma reta decrescente, pois as duas grandezas são inversamente proporcionais, ou seja, quanto maior for o preço, menor será a quantidade de demanda, e vice-versa. qd p INTERCEPTOS Os pontos da forma (x, 0) e (0, y) são chamados de interceptos da função. Os pontos de forma(p, 0), são os interceptos de p, pois se um valor qd é zero, a reta intercepta(corta) o eixo de p (eixo das abscissas, por analogia) e quando temos o ponto (0, qd) a reta intercepta o eixo de qd ( eixo das ordenadas). EXEMPLOS 1) Determine os interceptos, dada à função demanda: a) qd = -p + 1 Resolução: p=0 qd = 0 qd q =? p=? qd = - p + 1 qd = - p + 1 qd = = -p + 1 qd = 1-1 = -p. (-1) 1 (p, qd) (p, qd) (0, 1) (1, 0) Se p = 0, temos que qd = 1 Se qd = o, temos que p =1 Interceptos: A = { 0, 1} 0 1 B = {1, 0} p ) A quantidade de demanda de televisores da marca KW-0 é dada pela lei qd = 100-0p, onde qd representa a quantidade de demanda e o p o preço em reais. Represente graficamente a função qd em função do preço p. Resolução: Encontrando os interceptos: Se p = 0 qd = qd = 100 qd 100 Se qd = 0 0 = 100 0p -100 = -0p. (-1) 100 = 0p p = 100 p = 5 0 Interceptos: p = 0 qd = 100 p qd = 0 p = 5 0 5

24 4 Obs.: 1) A função demanda( procura) qd é decrescente, isto é, aumentando o preço a demanda diminui. ) O preço é positivo (p 0) e a quantidade também é positiva (qd 0), pois não há sentido em algum deles ser negativo. 3) Se p é R$ 5,00 (valor máximo) a procura é nula. 3) Quando o preço de venda de um videocassete de marca KW é de R$ 10,00, nenhum vídeo é vendido, porém quando o preço é liberado gratuitamente, 100 vídeos são vendidos. Sabendo-se que a representação é uma reta, determinar: a) A função demanda. b) Esboçar o gráfico. c) Dar a demanda se o preço for R$ 60,00. d) Qual o preço de vídeo se a demanda é de 75 unidades. Resolução: (a) Vamos resolver por sistema de duas equações: Se p = 0 qd = 100 Se qd = 0 p = 10 A função demanda é qd = ap + b Substituindo I II 100 = a. 0 + b 0 = a b multiplica-se a a por ( -1), temos: 100 = a. 0 + b 0 = a b (+) 100 = -10 a a = a = Se a = = a. 0 + b = b 6 b = 100 Então: qd = - 5 p+ 100 função demanda 6

25 (b)gráfico Interceptos: A( 0, 100) B( 10, 0) qd p (c) Se p = 60, então : qd = -5 p qd = qd = pela lei qd = -5 (10) qd = qd = vídeos serão vendidos se o preço for R$ 60,00 (d) Se qd = 75, então: qd = -5 p = -5 p = -5 p 6-5 = -5 p. (-1) 6 pela lei 5 = 5 p = 5p 150 = 5p p = 150/5 p = 30,00 se foram vendidos 75 vídeos, o preço foi R$ 30,00 4) Se uma concessionária compra sempre 10 carros para qualquer preço do mercado, esboçar o gráfico. Resolução:

26 6 A demanda será sempre constante, ou seja, para qualquer preço p 0, sempre q = 10. neste caso temos uma função constante. qd 10 0 p 5) A quantidade demandada de bolas de futebol da marca Penalty é dada pela lei qd = 1600 p : a) Esboçar o gráfico; b) Qual a demanda se o preço for R$ 30,00 a unidade. Resolução: (a) A função de demanda é uma equação do 0 grau (quadrática), portanto devemos encontrar as raízes da equação. Através dos interceptos podemos calcular como: Se p = 0 Se qd = 0 qd = 1600 p 0 = 1600 p (equação incompleta) qd = p = 1600 a > 0 qd = 1600 p = 1600 p = 40 Interceptos: qd A (0, 1600) B (40, 0) 1600 C (-40, 0) p (b) Se p = 30, então: qd = 1600 p qd = 1600 (30) qd = qd = 700 serão vendidas 700 bolas, se o preço unitário for de R$ 30,00.

27 Exercícios 7 1. Num estacionamento para automóveis, o preço por dia de permanência é R$ 0,00. A esse preço estacionam 50 automóveis por dia. Se o preço cobrado for R$ 15,00, estacionarão 75 automóveis. Admitindo linear a curva de demanda, obtenha sua equação e esboce o gráfico.. Em um supermercado, a quantidade de demanda de CD s de Chitãozinho e Xororó é dada pela lei qd=5 p, para o preço de R$ 10,00 a unidade, qual a quantidade de demanda? 3. Uma empresa vende 00 unidades de um produto por mês. Se o preço unitário é de R$ 5,00. A empresa acredita que, reduzindo o preço em 0%, o número de unidades vendidas será 50% maior. a) Obter a equação de demanda admitindo-se ser uma equação de 1 0 grau; b) Esboce o gráfico através dos interceptos. LEI DA OFERTA Analogamente à lei da demanda, a quantidade de ofertada pelo produtor depende de vários fatores, como: o preço da matéria-prima, o preço do bem, tecnologia, etc. A lei da oferta determina que quanto maior o preço de um determinado produto, maior será a quantidade maior será a quantidade procurada por unidade de tempo, ou seja, mantidas constantes as demais condições. Configuremos os conjuntos A e B e chamemos o conjunto A de p(preço) e o conjunto B de qo( quantidade ofertada). Na teoria das funções podemos associar (qo) com a variável y e (p), com a variável x, ou seja: qo = ap + b (linear afim) ou qo = ap + bp + c (quadrática) No gráfico verificamos que qo em função de p é uma reta crescente,( ao contrário da quantidade de demanda), pois as grandezas são diretamente proporcionais, ou seja, quanto maior for o preço(p), maior será a quantidade ofertada(qo) e vice-versa. qo P EXEMPLOS 1) Quando o preço unitário de um produto é R$10,00, 5000 unidades de um produto são colocados no mercado por mês; se o preço for R$1,00, 5500 unidades estarão disponíveis. Admitindo que a função ofertada seja do 1 0 grau e linear afim, obtenha suas equações e esboce o gráfico. Resolução: Se é uma função do 1 0 grau, linear afim, teremos: f(x) = ax + b (função linear afim) qo = ap + b (função quantidade oferta) Pelo problema temos: Se p = 10 qo = 5000u (I) Se p = 1 qo = 5500u (II)

28 Devemos montar o sistema de equações lineares, para encontrar os termos a e b. 8 I II 5000 = 10a + b multiplicando a 1 a equação por (-1), temos,: 5500 = 1a + b = -10a - b 5500 = 1a + b (+) 500 = a a = 500 a = 50 Substituindo em I ou II, temos: 5000 = b 5000 = b = b b = 500 Portanto a equação da lei da oferta será: qo = 50p+ 500 Interceptos: Se p = 0 qo = 500 Se qo = 0 p = - 10 A(0, 500) B(-10, 0) qo p ) A função dada por qo = /p, com 10 < p < 0, onde p é o preço por unidade e qo é a correspondente oferta de mercado. Construa o gráfico. Resolução: p = 0 qo = - 5 qo p = 10 qo = 0 p = 0 qo = p -5 (oferta) 10 < p < 0, (qo > 0)

29 Exercícios lei da oferta 9 1. Seja a oferta de mercado de um produto dada por: qo = p 11p + 8, com p < 60 (reais). Qual o valor da oferta para p = R$ 50,00?. Seja a oferta de mercado de uma utilidade dada por: qo = -0 + p, com p < 70 (reais). a) Qual o valor da oferta para p = R$ 70,00? b) A que preço a oferta será de 180 unidades? 3. A empresa WP, analisou a venda do produto lanterna à pilha, e verificou-se que ao se fazer investimentos em propaganda desse produto, suas vendas seriam 0% maiores a cada aumento de R$,00 no preço unitário da lanterna. Quando o preço é de R$ 1,00 a empresa vende 500 unidades. Sabendo-se que a representação é uma reta qual é a lei da oferta? EQUILÍBRIO DE MERCADO Ponto de equilíbrio de mercado é o ponto de intersecção do gráfico entre a qd e a qo, ou seja é o ponto onde ocorre a igualdade entre qd e qo. Suas coordenadas são preço de equilíbrio (pe) e a quantidade de equilíbrio (qe). Podem ocorrer gráficos como: 1) q PE qo qd p O gráfico tem PE(pe, qe), localizado no 1 o quadrante. Isso quer dizer que podemos considerá-lo como ponto de equilíbrio significativo. ) q qo PE qe qd Neste gráfico temos um preço negativo, dizemos que é um PE não significativo. pe p 3) q qe qd pe PE qo p Neste gráfico temos uma quantidade negativa, dizemos que é um PE não significativo.

30 Exemplos: 30 1) Num modelo linear de oferta e procura, as quantidades ofertadas e demandadas obedecem respectivamente as funções lineares de preço abaixo: qd = 4 p qo = p Pede-se: a) o preço e a quantidade de equilíbrio b) esboçar o gráfico da situação Resolução: a) Se PE é a igualdade entre qo e qd, então: PE qo = qd ou qd = qo, teremos o PE: 4 p = 10p + p = 10p + p 44 = 11p 44/11= p p = 4 Substituindo em qd ou qo, temos: qd = 4 p qo = (4) qd = 4 4 qo = qd = 0 qo = 0 Logo, pe = 4 e qe = 0 b) Gráfico p q interceptos de qd p = 0 qd = 4 A(0, 4) qd = 0 p = 4 B(4, 0) interceptos de qo p = 0 qo = -0 C(0, -0) qo = 0 p = D(, 0) qo, qd 4 qo 0 PE(4, 0) qd 4 4 p -0

31 31 ) Dadas: qd = 16 p e qo = -3,5 + 3,5p, determinar o preço de equilíbrio e a quantidade de equilíbrio (qe). Resolução: pe qd = qo 16 p = -3,5 + 3,5p ,5 = p + 3,5p 19,5 = p + 3,5p p + 3,5p 19,5 =0 = b 4ac = 3,5 4(1)(-19,5) = 1, = 90,5 p = - b a p = - 3,5 90,5.1 p = - 3,5 9,5 p = -3,5 + 9,5 p = 6 = 3 p = -3,5-9,5 p = -13 = -6,5 qe =? Substituindo em qd ou qo, temos: qd = 16 (3) qo = -3,5 + 3,5p qd = 16 9 qo = -3,5 + 3,5(3) qd = 7 qo = -3,5 + 10,5 qo = 7 Logo, pe = 3 e qe = 7 Exercícios Equilíbrio de Mercado 1. Determinar o preço de equilíbrio em cada um dos seguintes casos: a) qd = 0-5p e qo= p 8 b) qd = 10 0,p e qo = 1/p Determinar o preço de equilíbrio, a quantidade de equilíbrio. qd = 34 5p qo = -8 + p 3. Em uma certa localidade, a função oferta anual de um produto agrícola é 0,01qo = p + 3, onde p é o preço por Kg e qo é expresso em toneladas: a) que preço induz uma produção de 500 toneladas? b) Se o preço por kg for R$ 3,00, qual a produção anual? c) Qual o ponto de equilíbrio de mercado, se a função demanda anual for 0,01qd = -p + 10? RECEITA TOTAL Poderemos definir receita total como sendo o valor em moeda que o produtor recebe pela venda de x unidades se um determinado produto. Assim sendo, se chamarmos de p, (o preço constante) do produto a ser vendido e q, a quantidade produzida, teremos uma função linear do tipo: f(x) = a. x RT = p. q OBS.: o domínio da função na receita total é q (quantidade) e RT a imagem.

32 Exemplos: 3 1) Se o preço de um fogão da marca KW é de R$ 80,00, determine a receita total para venda de fogões. Resolução: p = 80 q = RT =? RT = p. q RT = 80. RT = 6160 (receita total para o fabricante) Representação gráfica A semi-reta linear do gráfico de RT terá origem no ponto de intersecção das retas, portanto na origem dos eixos coordenados, pois q = 0. Se p = 0 RT = 0 A (0, 0) q = 0 RT = 0 B(0, 0) OBS.: Se o preço for variável, a quantidade de demanda irá variar com o preço e a receita, sendo o produto do preço pela quantidade, também irá variar, o que significa que o gráfico não é necessariamente uma reta. ) Se a demanda de um determinado produto é dada por qd = -p/4 + 0, teremos que p = - 4q Resolução: RT= p.q RT = (-4q + 80). q RT = - 4q + 80q - 4q + 80q = 0 (equação incompleta) - 4q + 80q (dividir por (-4)) q - 0q = 0 Por Bháskara: b ( 0) q =.a.(1) q = = = q =0 Coordenadas do vértice: qv = -b = -(-0) = 0 = 10 a (1) cálculo de = b 4ac = (-0) 4(1). 0 = 400 V(10, 400) Gráfico: RT 400 V q

33 33 Exercícios 1) O preço de uma bicicleta de marca x é de R$ 190,00, determine a receita total para a venda de: a) q = 1 bicicletas b) q = 8 bicicletas c) q = 7 bicicletas CUSTO TOTAL Se um fabricante abre uma empresa e se propõem a fabricar um determinado produto, não só terá receitas, como também terá gastado, que são denominados como custos empresariais. Podemos classificá-las como: A) Custo Variável: é o custo que dependerá da quantidade produzida e em conseqüência do material utilizado, como: embalagens, matéria-prima, mão-de-obra, máquinas, etc. O gráfico é uma semi-reta que parte da origem e a função é linear representada por: CV = a. q B) Custo Fixo: é o custo que não depende da quantidade produzida. São os custos como: aluguel, água, luz, telefone, salários, etc. O gráfico é uma semi-reta que será paralela ao eixo 0q, pelo ponto b(custo no período) e a função é constante representada por: CF = b CF b CF 0 q C) Custo Total: é o custo dado pela somatório do custo variável, com o custo fixo.é calculado pela fórmula abaixo: CT = CV+ CF

34 34 Onde: CF = b CV = p. q Logo, a função linear f(x) = ax + b CT = CV + CF CT E o gráfico é: CT b CV CF 0 q Exemplo: Esboçar o gráfico para o CT por CT = q + 4 Resolução: CV = q CF = 4 Logo se q = 0 CV = 0 A(0, 0) q =1 CV = B(1, ) CT = q + 4 Se q = 1 CT = CT = 6 C(1, 6) q = 0 CT = CT = 4 D(0, 4) CT CT 6 C CV D 4 CF B A 0 1 q

35 35 Exercícios 1. Suponha que a função C(q) = 0q + 40 represente o custo total de produção de um determinado objeto, onde C é o custo em reais e q é o número de unidades produzidas. Determine: a) o custo de fabricação de 6 unidades desse produto b) quantas unidades devem ser produzidas para que o custo seja de R$ 1.000,00?. Uma usina de açúcar tem um custo total mensal dado pela lei CT(q) = 1/10q + 5q + 800, onde q representa a quantidade de toneladas produzidas mensalmente e o custo em reais. Determinar: a) o custo mensal fixo b) o custo para a produção de 10 toneladas PONTO CRÍTICO (BREAK-EVEN POINT) É o ponto de intersecção entre o gráfico da receita total e do custo total. Nesse ponto ocorre a indicação da quantidade produzida tal que o lucro total é zero. É a partir desse ponto que se analisa através da quantidade mínima produzida para que se tenha lucro positivo. Esse ponto onde o lucro é nulo e a receita é igual ao custo total (RT = CT). Também é denominado de ponto de nivelamento. Exemplos 1) Numa empresa, o custo total é dado pela função CT = q e a receita total pela função RT = q. Qual o ponto crítico dessa empresa? Resolução: RT = q CT = q O ponto crítico será o valor de q que anula as funções, portanto: RT = CT q = q q q = q = q = q = 100 (o ponto crítico dessa empresa será de 100 quantidades) ) Se RT e CT são dadas, respectivamente, por RT = 14q e CT = 10q +8. Determine o ponto crítico. Resolução: RT = 14q CT = 10q + 8 RT = CT 14q = 10q q 10q = 8 4q = 8 q = 8 4 q = (o ponto crítico dessa empresa será de quantidades)

36 36 LUCRO TOTAL (Lucro positivo) Chama-se de função Lucro Total, a diferença entre a Receita Total e o Custo Total: LT = RT CT. Logo, para uma análise econômica, se RT > CT, teremos lucro positivo. Exemplo: Numa empresa, o custo total é dado pela função CT = q e a receita total pela função RT = q. Qual a função que representa o lucro total e o valor do lucro total para q =100 e q = 10? Resolução: RT = q CT = q LT = RT - CT LT = q - ( q) LT = q q LT = 5.000q Função Lucro Total Se tivermos q = 100 LT = zero Se tivermos q = 10 LT = LT = LT = (lucro positivo) PREJUÍZO (Lucro negativo) Chama-se de função prejuízo, a diferença entre Custo Total e Receita Total: PR = CT RT. Para uma análise econômica, se RT < CT, haverá prejuízo. No exemplo anterior, se q < 100, teremos: Resolução: CT = q RT = q PR = CT - RT PR = q q PR = q (função prejuízo) Se q = 90 PR = q PR= PR= PR= Prejuízo (lucro negativo) Exercícios 1. Determine o Ponto Crítico (Break-even-point), nos casos abaixo: a) CT = 3q + 5 e RT = 4q b) CT = q + 10 e RT = 4q. Uma editora vende certo livro por R$ 60,00 a unidade. Seu custo fixo é R$ ,00 por mês e o custo variável é R$ 40,00. Qual o ponto de nivelamento? 3. Determine a função que representa o lucro total: a) CT = 3q + 5 e RT = 4q c) CT = q + 10 e RT = 4q 4. Conhecendo-se a função Custo Total CT = q e a Receita Total RT = 14q. Determine: custo fixo; custo variável; o preço unitário do produto; o ponto crítico; o lucro total (expressão).