Eduardo. Matemática Geometria

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1 Matemática Geometria Eduardo Matemática Geometria

2 3. (ENEM 2010 ) Em canteiros de obras de construção civil é comum perceber trabalhadores realizando medidas de comprimento e de ângulos e fazendo demarcações por onde a obra deve começar ou se erguer. Em um desses canteiros foram feitas algumas marcas no chão plano. Foi possível perceber que, das seis estacas colocadas, três eram vértices de um triângulo retângulo e as outras três eram os pontos médios dos lados desse triângulo, conforme pode ser visto na figura, em que as estacas foram indicadas por letras. A região demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria ser calçada com concreto. Nessas condições, a área a ser calcada corresponde a) a mesma área do triângulo AMC. b) a mesma área do triângulo BNC. c) a metade da área formada pelo triângulo ABC. d) ao dobro da área do triângulo MNC. e) ao triplo da área do triângulo MNC. Matemática Geometria

3 10. (Enem 2014) Um carpinteiro fabrica portas retangulares maciças, feitas de um mesmo material. Por ter recebido de seus clientes pedidos de portas mais altas, aumentou sua altura em 1/8, preservando suas espessuras. A fim de manter o custo com o material de cada porta, precisou reduzir a largura. A razão entre a largura da nova porta e a largura da porta anterior é: Matemática Geometria

4 10. Por ter recebido de seus clientes pedidos de portas mais altas, aumentou sua altura em 1/8, preservando suas espessuras. A fim de manter o custo com o material de cada porta, precisou reduzir a largura. A razão entre a largura da nova porta e a largura da porta anterior é: h 9.h 8 A i = A f h.l = x. 9.h 8 8 = x 9 L L x Gabarito: D Matemática Geometria

5 8. (Enem 2013) O dono de um sítio pretende colocar uma haste de sustentação para melhor firmar dois postes de comprimentos iguais a 6m e 4m. A figura representa a situação real na qual os postes são descritos pelos segmentos AC e BD e a haste é representada pelo EF, todos perpendiculares ao solo, que é indicado pelo segmento de reta AB. Os segmentos AD e BC representam cabos de aço que serão instalados. Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF? x y 4 = x 6 y y = 1,5x h = x 6 2,5x h = 2,4m Gabarito: C Matemática Geometria

6 (ENEM Médio) Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo visual a fazendo mira em um ponto fixo P da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto B de modo que fosse possível ver o mesmo ponto P da praia, no entanto sob um ângulo visual 2α. A figura ilustra essa situação: Suponha que o navegante tenha medido o ângulo α = 30 e, ao chegar ao ponto B, verificou que o barco havia percorrido a distância AB = 2000 m. Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto fixo P será: Matemática Triângulos Geometria Plana

7 x Suponha que o navegante tenha medido o ângulo α = 30 e, ao chegar ao ponto B, verificou que o barco havia percorrido a distância AB = 2000 m. Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto fixo P será: tg60 = 3= x 1000 x 1000 x= Gabarito: b Matemática Triângulos Geometria Plana

8 (ENEM Fácil) Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 quilômetros a Noroeste de São Paulo), na noite do último domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista, na região de Presidente Prudente, assustando agricultores da região. O artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil, França, Argentina, Inglaterra e Itália, para a medição do comportamento da camada de ozônio, e sua descida se deu após o cumprimento do tempo previsto de medição. Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão? a) 1,8 km b) 1,9 km c) 3,1 km d) 3,7 km e) 5,5 km Matemática Triângulos Geometria Plana

9 ...Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão? x 1,8km ,6km a) 1,8 km b) 1,9 km c) 3,1 km d) 3,7 km e) 5,5 km tg60 = x 1,8 3= x 1,8 x=1,7.1, 8 x= 3,06 Matemática Triângulos Geometria Plana

10 4. (ENEM Médio) Em canteiros de obras de construção civil é comum perceber trabalhadores realizando medidas de comprimento e de ângulos e fazendo demarcações por onde a obra deve começar ou se erguer. Em um desses canteiros foram feitas algumas marcas no chão plano. Foi possível perceber que, das seis estacas colocadas, três eram vértices de um triângulo retângulo e as outras três eram os pontos médios dos lados desse triângulo, conforme pode ser visto na figura, em que as estacas foram indicadas por letras. A região demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria ser calçada com concreto. Nessas condições, a área a ser calcada corresponde a) a mesma área do triângulo AMC. b) a mesma área do triângulo BNC. c) a metade da área formada pelo triângulo ABC. d) ao dobro da área do triângulo MNC. e) ao triplo da área do triângulo MNC. Matemática Triângulos Geometria Plana

11 3. (ENEM Fácil) x 60 x x 60 x O polígono que dá forma a essa calçada é invariante por rotações, em torno de seu centro, de: a) 45 b) 60 c) 90 d) 120 e) 180 S = i 180.(n - 2) D= n(n - 3) 2 Matemática Triângulos Geometria Plana

12 ( ENEM 2012 ) O losango representado na Figura 1 foi formado pela união dos centros das quatro circunferências tangentes, de raios de mesma medida. Dobrando-se o raio de duas das circunferências centradas em vértices opostos do losango e ainda mantendo-se a configuração das tangências, obtém-se uma situação conforme ilustrada pela Figura 2. O perímetro do losango da Figura 2, quando comparado ao perímetro do losango da Figura 1, teve um aumento de: a) 300%. b) 200%. c) 150%. d) 100%. e) 50%. Matemática Triângulos Geometria Plana

13 R R R R 2R R R 2R R R R R 2R R R 2R 2P = 8R 2P = 12R Dobrando-se o raio de duas das circunferências centradas em vértices opostos do losango e ainda mantendo-se a configuração das tangências, obtém-se uma situação conforme ilustrada pela Figura 2. O perímetro do losango da Figura 2, quando comparado ao perímetro do losango da Figura 1, teve um aumento de: a) 300%. b) 200%. c) 150%. d) 100%. e) 50%. 12R 8R = 1,5 Matemática Triângulos Geometria Plana

14 5. (ENEM Médio) Uma metalúrgica recebeu uma encomenda para fabricar, em grande quantidade, uma peça com o formato de um prisma reto com base triangular, cujas dimensões da base são 6 cm, 8 cm e 10 cm e cuja altura é 10 cm. Tal peça deve ser vazada de tal maneira que a perfuração na forma de um cilindro circular reto seja tangente as suas faces laterais, conforme mostra a figura. O raio da perfuração da peça é igual a: a) 1 cm. b) 2 cm. c) 3 cm. d) 4 cm. e) 5 cm. Matemática Triângulos Geometria Plana

15 O raio da perfuração da peça é igual a: Áreas de Triângulos r A= b.h 2 A= a.b.senc 2 A= p(p - a)(p - b)(p - c) A= p.r 6.8 = 2 r= r 2 A= D 2 A= abc 4R A= 2 l. 3 4 Equiláteros S= p.a A= p.r a) 1 cm. b) 2 cm. c) 3 cm. d) 4 cm. e) 5 cm. Matemática Triângulos Geometria Plana

16 13. (Enem 2005) Quatro estações distribuidoras de energia A, B, C e D estão dispostas como vértices de um quadrado de 40km de lado. Deseja-se construir uma estação central que seja ao mesmo tempo equidistante das estações A e B e da estrada (reta) que liga as estações C e D.A nova estação deve ser localizada: a) no centro do quadrado. b) na perpendicular à estrada que liga C e D e passando por seu ponto médio, a 15km dessa estrada. c) na perpendicular à estrada que liga C e D e passando por seu ponto médio, a 25km dessa estrada. d) no vértice de um triângulo equilátero de base AB oposto a essa base. e) no ponto médio da estrada que liga as estações A e B. Matemática Triângulos Geometria Plana

17 Quatro estações distribuidoras de energia A, B, C e D estão dispostas como vértices de um quadrado de 40km de lado. Deseja-se construir uma estação central que seja ao mesmo tempo equidistante das estações A e B e da estrada (reta) que liga as estações C e D.A nova estação deve ser localizada: D 40-x 20 x x P x C x =20 +(40-x) 2 2 x = x+x x = 25km A 40km B Matemática Triângulos Geometria Plana

18 (Enem Difícil) Quatro estações distribuidoras de energia A, B, C e D estão dispostas como vértices de um quadrado de 40km de lado. Deseja-se construir uma estação central que seja ao mesmo tempo equidistante das estações A e B e da estrada (reta) que liga as estações C e D.A nova estação deve ser localizada: a) no centro do quadrado. b) na perpendicular à estrada que liga C e D e passando por seu ponto médio, a 15km dessa estrada. c) na perpendicular à estrada que liga C e D e passando por seu ponto médio, a 25km dessa estrada. d) no vértice de um triângulo equilátero de base AB oposto a essa base. e) no ponto médio da estrada que liga as estações A e B. Matemática Triângulos Geometria Plana

19 10. (ENEM Médio) Em exposições de artes plásticas, é usual que estátuas sejam expostas sobre plataformas giratórias. Uma medida de segurança é que a base da escultura esteja integralmente apoiada sobre a plataforma. Para que se providencie o equipamento adequado, no caso de uma base quadrada que será fixada sobre uma plataforma circular, o auxiliar técnico do evento deve estimar a medida R do raio adequado para a plataforma em termos da medida L do lado da base da estátua. Qual relação entre R e L o auxiliar técnico deverá apresentar de modo que a exigência de segurança seja cumprida? Matemática Triângulos Geometria Plana

20 ...Uma medida de segurança é que a base da escultura esteja integralmente apoiada sobre a plataforma. Para que se providencie o equipamento adequado, no caso de uma base quadrada que será fixada sobre uma plataforma circular, o auxiliar técnico do evento deve estimar a medida R do raio adequado para a plataforma em termos da medida L do lado da base da estátua. Qual relação entre R e L o auxiliar técnico deverá apresentar de modo que a exigência de segurança seja cumprida? R L D=L 2 2R = L 2 R= L 2 2 Matemática Triângulos Geometria Plana

21 ( ENEM Fácil) A figura seguinte mostra um modelo de sombrinha muito usado em países orientais. Esta figura é uma representação de uma superfície de revolução chamada de a) pirâmide. b) semiesfera. c) cilindro. d) tronco de cone. e) cone. Matemática Triângulos Geometria Espacial

22 Elementos de um Cone r raio h g h altura g geratriz r g² = h² + r² Matemática Geometria

23 Áreas e Volume de um Cone Área Lateral A l = g.π.r Volume h r g Área Total A t = A b + A l A t = π.r 2 + g. π.r A.h b V= 3 V= 2 π.r.h 3 Matemática Geometria

24 12. ( ENEM 2012 ) João propôs um desafio a Bruno, seu colega de classe: ele iria descrever um deslocamento pela pirâmide a seguir e Bruno deveria desenhar a projeção desse deslocamento no plano da base da pirâmide. O deslocamento descrito por João foi: mova-se pela pirâmide, sempre em linha reta, do ponto A ao ponto E, a seguir do ponto E ao ponto M, e depois de M a C. O desenho que Bruno deve fazer é: Matemática Triângulos Geometria Espacial

25 C E M O deslocamento descrito por João foi: mova-se pela pirâmide, sempre em linha reta, do ponto A ao ponto E, a seguir do ponto E ao ponto M, e depois de M a C. O desenho que Bruno deve fazer é: A Matemática Triângulos Geometria Espacial

26 15. (Enem 2013) Gangorra é um brinquedo que consiste de uma tábua longa e estreita equilibrada e fixada no seu ponto central (pivô). Nesse brinquedo, duas pessoas sentam-se nas extremidades e, alternadamente, impulsionam-se para cima, fazendo descer a extremidade oposta, realizando, assim, o movimento da gangorra. Considere a gangorra representada na figura, em que os pontos A e B são equidistantes do pivô: A projeção ortogonal da trajetória dos pontos A e B, sobre o plano do chão da gangorra, quando esta se encontra em movimento, é: Matemática Geometria

27 (...) A projeção ortogonal da trajetória dos pontos A e B, sobre o plano do chão da gangorra, quando esta se encontra em movimento, é: a) b) c) d) e) Matemática Geometria

28 ( ENEM Fácil) Alguns objetos, durante a sua fabricação, necessitam passar por um processo de resfriamento. Para que isso ocorra, uma fábrica utiliza um tanque de resfriamento, como mostrado na figura. O que aconteceria com o nível da água se colocássemos no tanque um objeto cujo volume fosse de cm 3? a) O nível subiria 0,2 cm, fazendo a água ficar com 20,2 cm de altura. b) O nível subiria 1 cm, fazendo a água ficar com 21 cm de altura. c) O nível subiria 2 cm, fazendo a água ficar com 22 cm de altura. d) O nível subiria 8 cm, fazendo a água transbordar. e) O nível subiria 20 cm, fazendo a água transbordar. Matemática Triângulos Geometria Espacial

29 V = a.b.c 2400 = x x = 2 O que aconteceria com o nível da água se colocássemos no tanque um objeto cujo volume fosse de 2400 cm 3? a) O nível subiria 0,2 cm, fazendo a água ficar com 20,2 cm de altura. b) O nível subiria 1 cm, fazendo a água ficar com 21 cm de altura. c) O nível subiria 2 cm, fazendo a água ficar com 22 cm de altura. d) O nível subiria 8 cm, fazendo a água transbordar. e) O nível subiria 20 cm, fazendo a água transbordar. Matemática Triângulos Geometria Espacial

30 ( ENEM Fácil) A siderúrgica Metal Nobre produz diversos objetos maciços utilizando o ferro. Um tipo especial de peça feita nessa companhia tem o formato de um paralepípedo retangular, de acordo com as dimensões indicadas na figura que segue. O produto das três dimensões indicadas na peça resultaria na medida da grandeza a) massa. b) volume. c) superfície. d) capacidade. e) comprimento. Matemática Triângulos Geometria Espacial

31 ( ENEM 2012 Fácil) Maria quer inovar em sua loja de embalagens e decidiu vender caixas com diferentes formatos. Nas imagens apresentadas estão as planificações dessas caixas. Quais serão os sólidos geométricos que Maria obterá a partir dessas planificações? a) Cilindro, prisma de base pentagonal e pirâmide. b) Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide. c) Cone, tronco de pirâmide e prisma. d) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma. e) Cilindro, prisma e tronco de cone. Matemática Triângulos Geometria Espacial

32 12. (Enem 2014) Uma empresa que organiza eventos de formatura confecciona canudos de diplomas a partir de folhas de papel quadradas. Para que todos os canudos fiquem idênticos, cada folha é enrolada em torno de um cilindro de madeira de diâmetro d em centímetros, sem folga, dando-se 5 voltas completas em torno de tal cilindro. Ao final, amarra-se um cordão no meio do diploma, bem ajustado, para que não ocorra o desenrolamento, como ilustrado na figura. Em seguida, retira-se o cilindro de madeira do meio do papel enrolado, finalizando a confecção do diploma. Considere que a espessura da folha de papel original seja desprezível. Qual é a medida, em centímetros, do lado da folha de papel usado na confecção do diploma? a) πd b) 2πd c) 4πd d) 5πd e) 10πd Matemática Geometria

33 Para que todos os canudos fiquem idênticos, cada folha é enrolada em torno de um cilindro de madeira de diâmetro d em centímetros, sem folga, dando-se 5 voltas completas em torno de tal cilindro. Qual é a medida, em centímetros, do lado da folha de papel usado na confecção do diploma? h 5.π.d C = 2πR C = 2.π.d 2 C = π.d a) πd b) 2πd c) 4πd d) 5πd e) 10πd Matemática Geometria

34 19. (Enem 2010) Uma fábrica produz barras de chocolates no formato de paralelepípedos e de cubos, com o mesmo volume. As arestas da barra de chocolate no formato de paralelepípedo medem 3 cm de largura, 18 cm de comprimento e 4 cm de espessura. Analisando as características das figuras geométricas descritas, a medida das arestas dos chocolates que têm o formato de cubo é igual a: a) 5 cm. b) 6 cm. c) 12 cm. d) 24 cm. e) 25 cm. Matemática Geometria

35 19. As arestas da barra de chocolate no formato de paralelepípedo medem 3 cm de largura, 18 cm de comprimento e 4 cm de espessura. V 1 = V 2 4cm 18cm 3cm = a3 a = 6cm a a a a) 5 cm. b) 6 cm. c) 12 cm. d) 24 cm. e) 25 cm. Matemática Geometria

36 13. (Enem 2014) Uma empresa farmacêutica produz medicamentos em pílulas, cada uma na forma de um cilindro com uma semiesfera com o mesmo raio do cilindro em cada uma de suas extremidades. Essas pílulas são moldadas por uma máquina programada para que os cilindros tenham sempre 10mm de comprimento, adequando o raio de acordo com o volume desejado. Um medicamento é produzido em pílulas com 5mm de raio. Para facilitar a deglutição, deseja-se produzir esse medicamento diminuindo o raio para 4mm e, por consequência, seu volume. Isso exige a reprogramação da máquina que produz essas pílulas. Use 3 como valor aproximado para π. A redução do volume da pílula, em milímetros cúbicos, após a reprogramação da máquina, será igual a: Matemática Geometria

37 (...) cilindros tenham sempre 10mm de comprimento, adequando o raio de acordo com o volume desejado. Um medicamento é produzido em pílulas com 5mm de raio. Para facilitar a deglutição, deseja-se produzir esse medicamento diminuindo o raio para 4mm e, por consequência, seu volume. Use 3 como valor aproximado para π. A redução do volume da pílula, após a reprogramação da máquina, será igual a: Volume 1: Volume 2: 10mm Red = Red = 514mm 3 V = V cilindro + V esfera V = π.r 2.h + 4.π.r 3 3 V = V = 1250 mm 3 3 V = V cilindro + V esfera V = V = 736 mm 3 Matemática Geometria

38 (ENEM Difícil) Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide quadrangular regular com 19 cm de altura e 6 cm de aresta da base. Essas velas são formadas por 4 blocos de mesma altura 3 troncos de pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior, espaçados de 1 cm entre eles, sendo que a base superior de cada bloco é igual à base inferior do bloco sobreposto, com uma haste de ferro passando pelo centro de cada bloco, unindo-os, conforme a figura. Matemática Triângulos Geometria Espacial

39 Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, retirando a pirâmide da parte superior, que tem 1,5 cm de aresta na base, mas mantendo o mesmo molde, quanto ele passará a gastar com parafina para fabricar uma vela? 4cm Volume Total Ab.h V= 3 1,5cm Ab.h V= 3 2 1,5.4 V= 3 3 V=3cm V= 3 3 V=192cm 3 Vf =192-3 =189cm Matemática Triângulos Geometria Espacial

40 ( ENEM 2012 Fácil) Dona Maria, diarista na casa da família Teixeira, precisa fazer café para servir as vinte pessoas que se encontram numa reunião na sala. Para fazer o café, Dona Maria dispõe de uma leiteira cilíndrica e copinhos plásticos, também cilíndricos. Com o objetivo de não desperdiçar café, a diarista deseja colocar a quantidade mínima de água na leiteira para encher os vinte copinhos pela metade. Para que isso ocorra, Dona Maria deverá: Matemática Triângulos Geometria Espacial

41 Volume Jarra V = 2 π.r.h V = π V = 320π V = Ab.h Volume Copo 2 V = π.r.h V = π.4.4 V = 16π A) encher a leiteira até a metade, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo. B) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo. C) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo. D) encher duas leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo. E) encher cinco leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo. Matemática Triângulos Geometria Espacial