MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV)

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1 MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV) INTRODUÇÃO A partir de agra, passarems a estudar um tip de miment em que a elcidade nã é mais cnstante. N MRUV passa a existir a aceleraçã cnstante, iss significa que a elcidade aria de uma frma unifrme. Pderíams citar cm exempl desse tip de miment uma pedra caind de uma certa altura u um carr freand a er s sinal ermelh. Entã, MRUV é aquele em que móel sfre ariações de elcidades iguais em interals de temp iguais. MOVIMENTO ACELERADO MOVIMENTO RETARDADO N MRUV, cm a aceleraçã é cnstante, a aceleraçã média será igual a instantânea, lg: a = a m

2 3. - FUNÇÃO DA VELOCIDADE Determinarems, agra, a expressã que relacina elcidade e temp n MRUV. Para iss farems algumas cnsiderações iniciais. Obsere esquema abaix: móel parte cm elcidade inicial n instante t = 0; Num instante t qualquer ele estará cm elcidade. Partind da definiçã da aceleraçã: a = t = t t 1 1 Aplicand as bserações a = descritas acima, tems: t 0 Simplificand a expressã, tems que: = Island a elcidade, fica: + = Prtant a Funçã da elcidade n MRUV é dada pr: = +

3 EXERCÍCIOS 34> Um móel realiza um MRUV e sua elcidade aria cm temp de acrd cm a funçã: = t (SI) Determine: (a) a elcidade inicial e a aceleraçã escalar; (b) sua elcidade n instante t = 4 s; (c) instante em que atingirá a elcidade de 0 m/s; (d) instante em que crrerá a inersã n sentid d miment. 35> Um pnt material parte d repus cm aceleraçã cnstante e 4 s depis tem elcidade de 108 km/h. Determine sua elcidade 10 s após a partida. 3.3 GRÁFICO DA VELOCIDADE E ACELERAÇÃO NO MRUV Passems a analisar s gráfics d Miment Retilíne Unifrmemente Variad. GRÁFICOS DA VELOCIDADE EM FUNÇÃO DO TEMPO ( x t) N cas d MRUV a funçã da elcidade é: = + Obserams que a funçã é d 1 grau, prtant gráfic será uma reta crescente u decrescente. GRÁFICOS DA ACELERAÇÃO EM FUNÇÃO DO TEMPO (a x t) N MRUV a aceleraçã é cnstante, e prtant gráfic será uma reta paralela a eix t.

4 3.4 - FUNÇÃO HORÁRIA DO MRUV Precisams encntrar uma funçã que ns frneça a psiçã d móel em qualquer instante num Miment Retilíne Unifrmemente Variad. Cnsiderand que móel realiza um MRUV e está partind, n instante t = 0, d espaç inicial s cm elcidade inicial e aceleraçã a, passems a demnstrar a funçã hrária s = f (t). Obserand gráfic x t d MRUV, tems: Calculand a área d Trapézi fica: A = B + b h = + t mas, sabems que: = + a. t Lg, pdems rescreer a área da seguinte maneira: A = + +.t = t + A =.t Finalmente a área fica: + Cm ims na a prpriedade de gráfics d MRU, deslcament s é numericamente igual a área, lg: s A u ainda, s s = A s s.t Finalmente tems, entã que: = + u seja: s = s +.t +

5 Sabems que essa funçã é d grau e ns frnecerá a psiçã d móel num instante qualquer. EXERCÍCIOS 36> Um móel realiza um MRUV regid pela funçã hrária: s = 3 + t t (SI) Determine: (a) espaç inicial, a elcidade inicial e a aceleraçã; (b) a funçã elcidade; (c) espaç e a elcidade d móel n instante s; (d) instante em que móel inerte sentid d miment; (e) instante em que móel passa pela rigem ds espaçs. (FUVEST-SP) 37> Um eícul parte d repus em miment retilíne e acelera a m/s. Pdese dizer que sua elcidade e a distância percrrida, após 3 segunds, alem, respectiamente: (a) 6 m/s e 9 m; (b) 6 m/s e 18 m; (c) 3 m/s e 1 m; (d)1m/s e 36m; (e) m/s e 1 m. GRÁFICOS DO ESPAÇO EM FUNÇÃO DO TEMPO (s x t) N cas d MRUV a funçã hrária é: s = s + t + 1 at Cm a funçã hrária é d grau pdems ter s seguintes gráfics para MRUV: PROPRIEDADES NOS GRÁFICOS DO MRUV N gráfic x t, n MRUV tems:

6 A definiçã de tangente: tg θ = catet pst catet adjacente Aplicand a definiçã de tangente n nss cas, tems: tg θ = t Sabend que entã: a =, tems t a tg θ N gráfic a x t, n MRUV tems: A área de um retângul: A = B.h Aplicand em nss cas, tems: A = t. a Sabend que a. t =, terems entã: A Prtant, se tierms um gráfic a x t n MRUV, a área abaix da cura, ns frnecerá alr d deslcament.

7 EXERCÍCIOS 38> O gráfic a lad frnece a elcidade de um crp n decrrer d temp. (a) Qual a aceleraçã d crp? (b) Qual a funçã hrária da elcidade? (c) Qual a elcidade d crp n instante 0 s? 39> A psiçã inicial para móel que descree miment retilíne, cuj gráfic x t é representad a lad, ale 5 m. Quais sã as equações hrárias para miment cnsiderad? 40> O gráfic s x t d miment de um móel é mstrad a lad. Calcule a elcidade desse móel n instante t = 6 s. 41> Um móel descree um miment em que sua elcidade escalar aria cm temp de acrd cm gráfic a lad. Calcule: (a) a aceleraçã escalar desse móel n instante t = 3 s; (b) seu deslcament entre s instantes t = s e t = 1 s. DESAFIO: (FUVEST-SP) 3> Um trem de metrô parte de uma estaçã cm aceleraçã unifrme até atingir, após 10 s, a elcidade 90 km/h, que é mantida durante 30 s, para entã desacelerar unifrmemente durante 10 s até parar na estaçã seguinte. (a) Represente graficamente a elcidade em funçã d temp. (b) Calcule a distância entre as duas estações. (c) Calcule a elcidade média d trem nesse percurs. DESAFIO: (FUVEST-SP) 4> Um ciclista A inicia uma crrida a partir d repus, acelerand 0,50 m/s. Nesse instante passa pr ele um utr ciclista B, cm elcidade cnstante de 5,0 m/s e n mesm sentid de A. (a) Depis de quant temp, após a largada, ciclista A alcança ciclista B? (b) Qual a elcidade d ciclista A a alcançar ciclista B?

8 3.6 - EQUAÇÃO DE TORRICELLI Até agra estudams sempre equações que relacinaam grandezas físicas cm temp. A equaçã de Trricelli é uma relaçã de extrema imprtância pis ela independe d temp e será fundamental em prblemas que nã trabalhem cm mesm. Para bterms a Equaçã de Trricelli terems que eliminar a grandeza temp e farems iss cmbinand a funçã da elcidade cm a funçã hrária. Partind da funçã da elcidade: = + ( ) = + Eleand a equaçã a quadrad e desenlend, tems: = = +.a..t + (1) a.t A funçã hrária: 1 s = s + t + a. t Rescreend a funçã hrária, tems: s s = t + 1 a. t Ou ainda: 1 s = t + a. t () Substituind a Eq. () na Eq. (1), tems a Equaçã de Trricelli: = +.a. s

9 EXERCÍCIOS 4> Um móel em MRUV parte d repus e atinge a elcidade de 0 m/s. Se a aceleraçã d móel é m/s, determine a distância percrrida pr esse móel. 43> Um carr em alta elcidade (10 km/h) bsera semáfr indicar ermelh. A mesm temp uma pessa atraessa sbre a faixa de segurança. Sabend que a distância entre carr e faixa de segurança é de 50 m, pergunta-se qual dee ser a aceleraçã mínima para que carr pare a temp de eitar uma catástrfe. EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES (UNITAU-SP) 44> A equaçã hrária d miment de um pnt material P é: s = 400 0t 4t, nde espaç s é dad em metrs e temp t em segunds. A elcidade média de P n interal de 0 a 5s é, em m/s: (a) 40; (b) 5; (c) 10; (d) 60; (e) 30. (ITA-SP) 45> De uma estaçã parte um trem A cm elcidade cnstante A = 80 km/h. Depis de cert temp, parte dessa mesma estaçã um utr trem B, cm elcidade cnstante B = 100 km/h. Depis de um temp de percurs, maquinista de B erifica que seu trem se encntra a 3 km de A; a partir desse instante ele acina s freis indefinidamente, cmunicand a trem uma aceleraçã a = - 50 km/h. O trem A cntinua n seu miment anterir. Nessas cndições: (a) nã hue encntr ds trens. (b) depis de duas hras trem B pára e a distância que separa de A é de 64 km. (c) hue encntr ds trens depis de 1 min. (d) Hue encntr ds trens depis de 36 min. (e) Nã hue encntr ds trens; cntinuam caminhand e a distância que s separa agra é de km. 46> É dad gráfic da elcidade em funçã d temp para um móel que realiza um miment em trajetória retilínea. Classifique miment (MRU u MRUV, prgressi u retrógrad, acelerad u retardad) para cada um ds trechs da cura dada. 47> Um pnt material mimenta-se segund: s = 1 4t (SI) Faça s gráfics das funções: s = f(t), = f(t) e a = f(t) desse miment.

10 48> O espaç de um pnt material aria n decurs de temp de acrd cm gráfic. Determine: (a) espaç inicial d miment; (b) que acntece cm pnt material n interal de temp de s a 5 s; (c) em que instantes móel passa pela rigem; (d) a elcidade escalar n instante 1,5 s. (FUVEST-SP) 49> A tabela indica as psições s e s crrespndentes instantes t de um móel deslcand-se numa trajetória retilínea. (a) Esbce gráfic s x t desse miment. (b) Calcule a elcidade média d móel entre s instantes t = 1 s e t = 3 s. t (s) s (m) 0 0,4 1,6 3,6 6,4... (FEI-SP) 50> O gráfic da aceleraçã escalar de um móel, em miment retilíne, em funçã d temp é dad na figura. Determine: (a) a aceleraçã escalar média n interal de 0 a 40 s; (b) gráfic da elcidade escalar em funçã d temp. Sabe-se que a elcidade inicial é nula.

11 GABARITO Exercícis e Exercícis Cmplementares 34> (a) -0 m/s e 4 m/s (b) - 4 m/s (c) 10 s (d) 5 s 35> 75 m/s 36> (a) 3 m, m/s, - m/s (b) = -.t (c) 3 m e - m/s (d) 1 s (e) 3 s 46> AB - MRU, prgressi. BC - MRUV, prgressi, retardad. CD - MRUV, retrógrad, acelerad. DE - MRU, retrógrad. EF - MRUV, retrógrad, retardad. FG - Parad. 47> 37> letra a 38> (a) 3,5 m/s (b) = 6 + 3,5.t (c) 76 m/s 39> s = t +,5.t = t 40> m/s 41> (a) 5 m/s (b) 160 m 48> (a) 5 m (b) repus (c) 7s; 13s (d),5 m/s 49> (a) 4> 100 m 43> - 11,09 m/s 44> letra a 45> letra c (b) 1,6 m/s 50> (a) 0,75 m/s (b) AUTORES: Mauríci Ru Lemes (Dutr em Ciência pel Institut Tecnlógic de Aernáutica) Luiz Fernand Sbruzzi (Mestre em Ensin de Física pela Uniersidade Federal de Sã Paul)