Pirâmide. P e R pertencem, respectivamente, às faces ABCD e EFGH; Q pertence à aresta EH; T é baricentro do triângulo ERQ e pertence à diagonal EG RF

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1 Pirâmide 1. (Unifesp 01) Na figura, ABCDEFGH é um paralelepípedo reto-retângulo, e PQRE é um tetraedro regular de lado 6cm, conforme indica a figura. Sabe-se ainda que: P e R pertencem, respectivamente, às faces ABCD e EFGH; Q pertence à aresta EH; T é baricentro do triângulo ERQ e pertence à diagonal EG RF é um arco de circunferência de centro E. da face EFGH; a) Calcule a medida do arco RF, em centímetros. b) Calcule o volume do paralelepípedo ABCDEFGH, em cm.. (Uepb 01) A altura de um tetraedro regular que possui área total e volume numericamente iguais, é: a) 6 b) 6 c) 6 d) 6 e) 1. (Upe 01) Para a premiação dos melhores administradores de uma galeria comercial, um designer projetou um peso de papel com a forma de um tetraedro regular reto, de aresta 0 cm que será entregue aos vencedores. Esse peso de papel será recoberto com placas de platina, nas faces laterais e com uma placa de prata na base. Se o preço da platina é de 0 reais por centímetro quadrado, e o da prata é de 50 reais por centímetro quadrado, assinale a alternativa que apresenta o valor mais próximo, em reais, do custo desse recobrimento. Considere a) b) c) d) e) ,7 Página 1 de

2 4. (Uepg 01) Uma pirâmide quadrangular regular tem 6 cm que a altura da pirâmide tem cm, assinale o que for correto. 01) A área lateral da pirâmide é o dobro da área da base. 0) A área total da pirâmide é o triplo da área da base. 04) A área de uma face lateral da pirâmide é a sexta parte de sua área total. 08) A razão das áreas total e lateral dessa pirâmide é um número fracionário. 16) O volume dessa pirâmide é 108 cm. de área da base. Sabendo 5. (Fuvest 01) No paralelepípedo reto retângulo ABCDEFGH da figura, tem-se AB, e AE 4. AD a) Qual é a área do triângulo ABD? b) Qual é o volume do tetraedro ABDE? c) Qual é a área do triângulo BDE? d) Sendo Q o ponto do triângulo BDE mais próximo do ponto A, quanto vale AQ? 6. (Epcar (Afa) 01) Uma pirâmide regular ABCV, de base triangular ABC, é tal, que sua aresta lateral AV mede cm. Sendo a) b) c) d) 5 cm a altura de tal pirâmide, a distância, em cm, de A à face BCV é igual a 7. (Insper 01) Em uma pirâmide quadrangular regular, a área lateral é o dobro da área da base. Nesse caso, cada face lateral forma com o plano da base um ângulo que mede a) 15. b) 0. c) 45. d) 60. e) 75. Página de

3 8. (Enem 01) Maria quer inovar em sua loja de embalagens e decidiu vender caixas com diferentes formatos. Nas imagens apresentadas estão as planificações dessas caixas. Quais serão os sólidos geométricos que Maria obterá a partir dessas planificações? a) Cilindro, prisma de base pentagonal e pirâmide. b) Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide. c) Cone, tronco de pirâmide e prisma. d) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma. e) Cilindro, prisma e tronco de cone. 9. (Epcar (Afa) 01) Um sólido maciço foi obtido quando a base de uma pirâmide hexagonal regular de altura 6 cm foi colada à base de uma pirâmide reta de base retangular e altura de forma que 4 dos 6 vértices da base da primeira coincidam com os vértices da base da segunda, conforme figura. Desprezando-se o volume da cola, se a aresta da base da pirâmide cm, hexagonal mede 5 cm, então, o volume do sólido obtido, em cm, é igual a a) 15 b) 0 c) 5 d) (Ufsj 01) Se o volume de um tetraedro regular é é, em centímetros: a) b) / c) 6 d) ( )/ cm, a medida de sua aresta Página de

4 11. (Fuvest 01) Em um tetraedro regular de lado a, a distância entre os pontos médios de duas arestas não adjacentes é igual a a) a b) a c) d) e) a a a 4 1. (Upf 01) Nesta figura estão representados dois poliedros de Platão: o cubo ABCDEFGH e o octaedro MNOPQR. Cada aresta do cubo mede 6 cm e os vértices do octaedro são os pontos centrais das faces do cubo. Então, é correto afirmar que a área lateral e o volume do octaedro medem, respectivamente: a) b) c) d) e) 7 cm e 54 cm 6 cm e 18 cm 6 cm e 6 cm 18 cm e 6 cm 6 cm e 18 cm 1. (Ufpe 01) Um joalheiro fabricou um pingente maciço de prata banhado a ouro, no formato de tetraedro regular com 1cm de aresta. O custo com material para confeccionar o pingente foi R$11,5 (R$,75 em prata e R$7,50 em ouro). Quanto o joalheiro gastará com material para confeccionar outro pingente do mesmo tipo com aresta cm? Considere que a espessura do banho de ouro permanece constante nos pingentes. 14. (Ufrgs 01) Se duplicarmos a medida da aresta da base de uma pirâmide quadrangular regular e reduzirmos sua altura à metade, o volume desta pirâmide a) será reduzido à quarta parte. b) será reduzido à metade. c) permanecerá inalterado. d) será duplicado. e) aumentará quatro vezes. Página 4 de

5 15. (Uepb 01) A área de uma circunferência circunscrita à base de um tetraedro regular de aresta 6 cm é: a) b) c) d) e) 6πcm 4πcm 9πcm 1πcm 6πcm 16. (Ufpe 01) Os vértices de um tetraedro são um dos vértices de um cubo de aresta 0 cm e os três vértices ligados a ele por uma aresta do cubo, como ilustrado na figura abaixo. Se V é o volume do tetraedro, em cm, assinale V/ (Fgv 01) Arestas opostas de um tetraedro são arestas que não têm ponto em comum. Um inseto anda sobre a superfície de um tetraedro regular de aresta 10 cm partindo do ponto médio de uma aresta e indo para o ponto médio de uma aresta oposta à aresta de onde partiu. Se o percurso foi feito pelo caminho mais curto possível, então o inseto percorreu a distância, em centímetros, igual a a) 10 b) 15 c) 10 d) 10 e) (Enem PPL 01) O Museu do Louvre, localizado em Paris, na França, é um dos museus mais visitados do mundo. Uma de suas atrações é a Pirâmide de Vidro, construída no final da década de A seguir tem-se, na Figura 1, uma foto da Pirâmide de Vidro do Louvre e, na Figura, uma pirâmide reta de base quadrada que a ilustra. Considere os pontos A, B, C, D como na Figura. Suponha que alguns reparos devem ser efetuados na pirâmide. Para isso, uma pessoa fará o seguinte deslocamento: 1) partir do ponto A e ir até o ponto B. deslocando-se pela aresta AB; ) ir de B até C, deslocando- se pela aresta que contém esses dois pontos; ) ir de C até D, pelo caminho de menor comprimento; 4) deslocar se de D até B pela aresta que contém esses dois pontos. Disponível em: Acesso em: 9 fev Página 5 de

6 A projeção do trajeto da pessoa no plano da base da pirâmide é melhor representada por a) b) c) d) e) 19. (Espcex (Aman) 011) Na figura abaixo, está representado um sólido geométrico de 9 faces, obtido a partir de um cubo e uma pirâmide. Sabendo que todas as arestas desse sólido têm medida, então as medidas da altura (distância do ponto V à face ABCD ) e da superfície total desse sólido são, respectivamente, a) b) c) d) e) e e e e e ( 4) ( 5) 5 4 ( 5) 4 4 Página 6 de

7 0. (Ufpe 011) Na ilustração a seguir, temos um octaedro regular com área total da superfície 6 cm. Indique o volume do octaedro, em cm. 1. (Ifsp 011) A base de uma pirâmide hexagonal regular está inscrita em um círculo que é a base de um cilindro reto de altura 6 cm. Se esses sólidos têm o mesmo volume, então a medida, em centímetros, da altura da pirâmide é a) 9. b) 1. c) 15. d) 18. e) 4.. (G1 - cftmg 011) João possuía 15 palitos de fósforos de mesmo tamanho. Usou nove deles e construiu a figura 1 de área figura de área S. S 1. Depois, usando os seis palitos restantes, construiu a Com base nesses dados, e correto afirmar que a área S 1é igual a a) 1 S 4 b) 1 S c) S d) S. (Ufpe 011) Uma pirâmide hexagonal regular tem a medida da área da base igual à metade da área lateral. Se a altura da pirâmide mede 6 cm, assinale o inteiro mais próximo do volume da pirâmide, em cm. Dado: use a aproximação: 1,7. Página 7 de

8 4. (Ufmg 010) Em uma indústria de velas, a parafina é armazenada em caixas cúbicas, cujo lado mede a. Depois de derretida, a parafina é derramada em moldes em formato de pirâmides de base quadrada, cuja altura e cuja aresta da base medem, cada uma, Considerando-se essas informações, é CORRETO afirmar que, com a parafina armazenada em apenas uma dessas caixas, enche-se um total de a) 6 moldes. b) 8 moldes. c) 4 moldes. d) moldes. 5. (Fgv 010) Uma pirâmide de base quadrada é seccionada por um plano paralelo à sua base, distante m dela. A área total da pirâmide menor, obtida pela secção, é igual à metade da área total da pirâmide original. a) Calcule a altura da pirâmide original. b) Calcule o volume do tronco de pirâmide obtido pela secção para o caso em que a aresta da base da pirâmide maior mede m. 6. (Enem 009) Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide quadrangular regular com 19 cm de altura e 6 cm de aresta da base. Essas velas são formadas por 4 blocos de mesma altura troncos de pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior, espaçados de 1 cm entre eles, sendo que a base superior de cada bloco é igual à base inferior do bloco sobreposto, com uma haste de ferro passando pelo centro de cada bloco, unindo-os, conforme a figura. a. Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, retirando a pirâmide da parte superior, que tem 1,5 cm de aresta na base, mas mantendo o mesmo molde, quanto ele passará a gastar com parafina para fabricar uma vela? a) 156 cm. b) 189 cm. c) 19 cm. d) 16 cm. e) 540 cm. Página 8 de

9 7. (Ufrgs 007) A partir de quatro dos vértices de um cubo de aresta 6, construído com madeira maciça, foram recortadas pirâmides triângulares congruentes, cada uma tendo três arestas de medida, conforme representado na figura 1. O sólido obtido após a retirada das pirâmides está representado na figura, a seguir. O volume do sólido obtido é a) 198. b) 04. c) 08. d) 1. e) (Ufu 007) Na figura a seguir, temos um cubo ABCDEFGH de aresta a = 6 cm. Os pontos I, J, K, L, M e N são pontos médios das arestas a que pertencem. Determine o volume da pirâmide de base hexagonal IJKLMN e vértice H. Página 9 de

10 9. (Fuvest 007) O cubo ABCDEFGH possui arestas de comprimento a. O ponto M está na aresta AE e AM =. ME. Calcule: a) O volume do tetraedro BCGM. b) A área do triângulo BCM. c) A distância do ponto B à reta suporte do segmento CM. 0. (Ufpr 006) Sejam AB, BC e AC diagonais das faces de um cubo de aresta 10 cm, conforme a figura a seguir. a) Calcule a área do triângulo ABC. b) Calcule a área total da pirâmide ABCD. c) Calcule o volume da pirâmide ABCD. Página 10 de

11 Gabarito: Resposta da questão 1: a) Como PQRE é tetraedro regular, segue que EQR é um triângulo equilátero. Logo, π QER rad π 6 e, portanto, REF rad, pois EFGH é retângulo. Por conseguinte, dado que ER 6cm, segue que o comprimento do arco RF é π 6 πcm. 6 b) Sabendo que a altura de um tetraedro regular de aresta é dada por do tetraedro PQRE 6 6 AE 6 cm. 6, é igual à altura do paralelepípedo ABCDEFGH, obtemos e que a altura Se RF é um arco de circunferência de centro E, triângulo retângulo EFG, vem FG FG tgfeg tg60 EF 6 FG 6 cm. Portanto, o volume do paralelepípedo é dado por então EF ER 6cm. Além disso, do EF FG AE cm. Resposta da questão : [E] Sejam e h, respectivamente, a aresta e a altura do tetraedro. Se a área total e o volume são numericamente iguais, então 1 h h 1 u.c. 4 Resposta da questão : [A] Como as faces de um tetraedro regular são triângulos equiláteros, segue que o custo pedido é dado por 0 ( 0 50) 100 1, R$ Página 11 de

12 Resposta da questão 4: = 15. [01] (Verdadeira). [0] (Verdadeira). [04] (Verdadeira). 6 6 AL 4 7 cm. AT cm AF 18cm [08] (Verdadeira). AT 108. AL 7 [16] (Falsa). 6 V 6 cm. Resposta da questão 5: Logo, a área do triângulo BDE será dada por: a) A /. Página 1 de

13 b) c) V 1/ AQ 4 AQ Resposta da questão 6: [A] No triângulo VOM: No triângulo VOM: R 5 R 4 R m 5 1 m 6 e a = 1 O triângulo AMV é isósceles de base VM (AM = AV = ) Logo, d d 9 d 4 Página 1 de

14 Resposta da questão 7: [D] Considere a figura, em que V médio da aresta AB. é o vértice da pirâmide, O é o centro da base e M é o ponto Queremos calcular a medida do ângulo VMO. Sabendo que a a área lateral é o dobro da área da base, vem que AB VM A Ab 4 AB VM AB. Portanto, do triângulo VOM, obtemos AB OM cos VMO cos VMO VM AB 1 cos VMO cos VMO cos 60 VMO 60. Resposta da questão 8: [A] De acordo com as planificações, Maria poderá obter, da esquerda para a direita, um cilindro, um prisma de base pentagonal e uma pirâmide triangular. Página 14 de

15 Resposta da questão 9: [B] Volume da pirâmide hexagonal: Lados da base da pirâmide retangular: V 6 15 cm H 4 x sen60 x Volume da pirâmide retangular: 1 V R Portanto o volume do sólido todo será Resposta da questão 10: [D] V cm Fórmula para o volume do tetraedro regular de aresta a: a V 1 a a 8 a 1 Resposta da questão 11: [D] a a a a.a a d d d d Página 15 de

16 Resposta da questão 1: [C] Seja J o ponto médio da aresta BG. Como o triângulo retângulo ONJ é isósceles, segue que ON cm. Sabendo que as faces laterais do octaedro são triângulos equiláteros congruentes, segue que a sua área lateral é ON 8 ( ) 6 cm. 4 O volume do octaedro é dado por 1 1 ON JG ( ) 6cm. Resposta da questão 1: 60. Sabendo que a área total de um tetraedro é diretamente proporcional ao quadrado da sua aresta, segue que o gasto com ouro no pingente de aresta cm será o quádruplo do gasto com o pingente de aresta 1cm, ou seja, 4 7,50 R$ 0,00. Por outro lado, como o volume de um tetraedro é diretamente proporcional ao cubo da sua aresta, segue que o gasto com prata no tetraedro de aresta cm será 8 vezes maior do que o gasto com prata no tetraedro de aresta 1cm, isto é, 8,75 R$ 0,00. Portanto, o joalheiro gastará 0 0 R$ 60,00 para confeccionar o pingente de aresta cm. Resposta da questão 14: [D] Area da base Altura V Pirâmide. Portanto: H (L) L H L H V1 e V. Página 16 de

17 Logo: V V 1 (O dobro do volume inicial). Resposta da questão 15: [D] Como as faces de um tetraedro regular são triângulos equiláteros, queremos calcular a área do círculo circunscrito a um triângulo equilátero de lado 6cm. Portanto, o resultado pedido é π 6 1πcm. Resposta da questão 16: 45. O volume do tetraedro é dado por cm. Resposta da questão 17: [D] Considere o tetraedro regular VABC ponto de chegada. abaixo, em que M é o ponto de partida do inseto e N é o Planificando o tetraedro, obtemos o losango AVCB. Assim, como M e N MN AV 10cm. são pontos médios de AB e VC, segue que MN AV e, portanto, Página 17 de

18 Resposta da questão 18: [C] A figura abaixo mostra a projeção do caminho feito sobre a pirâmide no plano de sua base. Portanto, alternativa [C] está correta. Resposta da questão 19: [B] Considere a figura abaixo, em que O é o centro da base da pirâmide. Como VE EF, segue que OE. Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo VOE, obtemos VO VE OE VO. Desse modo, a distância do ponto V à face ABCD é. A superfície total do sólido é dada por 4 (VEF) 5 (ABCD) ( 5). Página 18 de

19 Resposta da questão 0: Sabendo que a área total de um octaedro regular é dada por octaedro, segue que 6 a 6 a cm. Portanto, o volume do octaedro é dado por Resposta da questão 1: [B] a, em que a 6 a 6cm. é a aresta do A aresta da base da pirâmide tem a mesma medida do raio da circunferência. Logo, temos 1 6.r..h.r.6 h 1 4 Resposta da questão : [D] S 1 = S A figura é um tetraedro regular, sua superfície é formada por 4 triângulos equiláteros. Portanto, as áreas da figuras 1 e são iguais. Página 19 de

20 Resposta da questão : Sejam V o vértice da pirâmide, O o centro da base, M base e a medida da aresta da base da pirâmide. o ponto médio de uma das arestas da Como a área da base é igual à metade da área lateral, segue que 1 VM VM. por OM, Sabendo que VO 6cm e que o apótema da base é dado do Teorema de Pitágoras, aplicado no triângulo VMO, encontramos: VM VO OM ( ) Portanto, o volume da pirâmide é dado por inteiro pedido é 8. Resposta da questão 4: [C] VO 6 8,04cm, e o Volume do cubo = a Volume da pirâmide = 1 a a a. 4 Número de moldes = Volume do cubo a Volume da pirâmide a 4 4 Página 0 de

21 Resposta da questão 5: a) Se área total da maior é o dobro da área total da menor, então a área da base maior também será o dobro da área da base menor. Asec 1 x 1 x 4 A base x = (4 + )m b) Considerando a aresta da base m, temos a seguinte pirâmide. Seja V o volume do tronco. V = V(maior) V (menor). V = 1 1 V. (4 ) ( ) V (9 )m Página 1 de

22 Resposta da questão 6: [B] h 1,5 h Volume ,5.4 19cm Resposta da questão 7: [A] Resposta da questão 8: 7 1 cm Resposta da questão 9: a) b) a 6 5a 8 c) (5a 41) 41 Resposta da questão 0: a) 50 b) 50 ( + cm c) 500 cm ) cm Página de

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