3.18 A função de Dirac

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1 A função de Dirac Mostre como as seguinte formulas da lei de Coulomb para distribuições de densidade um-, dois e tri-dimensional, E( r) = 1 V 3 ρ( r )dv E( r) = 1 E( r) = 1 A C 3 σ( r )da 3 ( r )dc são relacionadas usando a noção da função δ de Dirac, definida por, para x = 0 δ(x) = tal f(x)δ(x a)dx = f(a) 1 0 para x 0 = f(a). Utilise os exemplos de a. uma distribuição linear de carga ao longo do eixo x, dada por ρ( r ) = (x )δ(y )δ(z ), e b. uma distribuição superficial de carga no plano z = 0, dada por ρ( r ) = σ(x, y )δ(z ). Solução: a. Temos E( r) = 1 V 3 ρ( r )dv = 1 = 1 3 (x )dx = 1 b. Temos E( r) = 1 = 1 3 ρ( r )dv = 1 V 3 σ(x, y )dx dy = 1 3 (x )δ(y )δ(z )dx dy dz r x ê x r x ê x 3 (x )dx. 3 σ(x, y )δ(z )dx dy dz r x ê x y ê y r x ê x y ê y 3 σ(x, y )dx dy.

2 3.19. CAMPO ELÉTRICO GERADO POR UMA DISTRIBUIÇÃO LINEAR DE CARGA Campo elétrico gerado por uma distribuição linear de carga Calcule o campo elétrico gerado por uma distribuição linear de carga. Analise o campo numa região afastada. Solução: Colocamos a distribuição de carga (x) = /L ao longo do eixo x e o ponto de observação em x = 0. Seguindo a lei de Coulomb temos Usando obtemos E( r) = 1 x x 1 E x (r) = E y (r) = x y y (x x ) + (y y ) 3 (x )dx = x zdz z + a = 1 3 z + a x x dx = x 1 x + y 3 x x 1 com as abreviações r k y x + y 3 dx = e x x 1 dz z + a 3 = 0 y 0 dx. x + y 3 x z a z + a, x 1 + y x + y x + y x 1 + = ( 1 1 ) y r r 1 x x 1 + y x 1 x + y x + y y x 1 + y = ( x yr x 1 yr 1 x k + y. Em grandes distâncias ao longo do eixo x, x 1, x L, temos E y (x) = 0 por razões de simetria e E x (x) = ( 1 1 ) = L x x 1 L x 1 (x 1 + L) x. 1 Em grandes distâncias ao longo do eixo y, isto é, y L, temos E x (x) = 0 e ). E y (x) = (x 1 + L) x 1 + y x 1 (x1 + L) + y x 1 + y y (x 1 + L) y x 1 y (x 1 + L) + y y y = L y y. Para uma distribuição de carga infinita, x = x 1 y, E y (x) = x x 1 + y x 1 x + y x 1 + y y x + y = x y x + y πε 0 1 y.

3 Campo elétrico produzido por um anel e um disco carregado Calcule o campo elétrico gerado por a. um anel e b. um disco de raio R carregado com a carga. Solução: a. Utilizamos coordenadas cilíndricas com eixo de simetria z, x R cos φ y R sin φ E( r) = 1 anel 3 ρ( r )r dr dφ dz z 0 = πr anel (x R cos φ ) + (y R sin φ ) + z 3 Rdφ. No eixo de simetria temos E x (z) = E y (z) = 0 e z E z (z) = πr anel R cos φ + R sin Rdφ φ + z3 πzr = πr R + z = z 3 R + z, 3 usando = πr = const. b. Campo elétrico produzido por um disco carregado E( r) = 1 disco 3 ρ( r )r dr dφ dz = πr disco No eixo de simetria temos E x (z) = E y (z) = 0 e z E z (z) = πr r cos φ + r sin r dr dφ φ + z 3 disco = πr πz r disco r + z 3 dr = ( z = πε 0 R R + z + z ), z x R cos φ y R sin φ z 0 (x r cos φ ) + (y r sin φ ) + z 3 r dr dφ. πr πz 1 R r + z com udu = 1 u +z 3 u. Considerando um disco de extensão infinita, R, mas com +z densidade superficial de carga constante, σ /πr = const, obtemos, E z (z) = σ z ε 0 z. Isto é, o campo elétrico é uniforme e contrário nos dois lados do disco. 0

4 3.1. CAMPO ELÉTRICO PRODUZIDO POR UMA CAMADA ESFÉRICA Campo elétrico produzido por uma camada esférica a. A carga + seja distribuída numa camada esférica infinitamente fina com raio R. Parametrize a distribuição de carga ρ( r). b. Calcule o campo dentro e fora da esfera. Gabarite: Dentro E r = 0, fora E r = 4πɛ 0 r. Solução: a. A densidade de carga é dada por uma função δ: ρ( r) = C δ (3) (r R), onde a constante C deve ser determinada por integração sobre o espaço inteiro. Integrando a densidade, esperamos obter a carga total: ρ( r) = C δ (3) (r R). V Do outro lado, a integral sobre a função δ reproduz a superfície total: δ (3) (r R) = 4πR. Portanto, C = = σ fica a densidade superficial de carga. 4πR b. A partir da lei de Gauss sabemos, E da =. ɛ 0 Escolhendo como superfície uma camada esférica com raio r, temos E da = E r 4πr = r, ɛ 0 onde r é a carga dentro do raio r. Se r < R temos S V S V E r = 0, e se r > R, temos, o que é justamente a lei de Coulomb. E r = 4πɛ 0 r,

5 7 3. Campo de uma esfera homogeneamente carregada Calcule com a lei de Gauss o campo elétrico de uma esfera homogeneamente carregada (carga, raio R) a. para r < R e b. para r R. Solução: Por razões de simetria o campo elétrico E produzido pela carga deve mostrar radialmente para fora e o modulo E só pode depender de r. A densidade de carga da esfera é ρ( r) = ρ 0 = 4πR 3 /3 para r R, senão ρ( r) = 0. Seguinte a lei de Gauss, temos subesfera E df = 1 ε 0 subesfera ρ( r)d3 r. Portanto, para r < R 4πr E r = ρ 0 r sin θdrdθdφ = 4πρ 0 ε 0 subesfera 3 r3, e finalmente Para r R temos e finalmente E r = R 3 r. 4πr E r = ρ 0 r sin θdrdθdφ = 4πρ 0 ε 0 esfera 3 R3, E r = r.

6 74 und daher 0 fürr < R i r E(r) = ê r 3 Ri 3 1 für R Ra 3 R3 r i i r R a für r > R a 1 r Im Außenbereich erhalten wir also dasselbe Verhalten wie unter b. Hier hängt das Feld nur von der kugelsymmetrisch verteilten Gesamtladung ab. d. Wir wollen den Ursprung in den Mittelpunkt der großen Kugel (Vollkugel) legen. Ein beliebiger Aufpunkt r hat dann bezüglich des Mittelpunkts der kleinen Kugel (Hohlkugel) den Vektor r = r d. Wir nehmen nun als Ladungsdichte. und benutzen, daß ρ 1 = 4π 3 (R3 a Ri 3) E = E V ollkugel E Hohlkugel. Nun gilt sowie Daraus folgt sofort E V ollkugel = r r { 4π r für r 3 ρ Ra 1 für r > R a R 3 a r { E Hohlkugel = r 4π r r 3 ρ für r R i 1 Ri 3. fürr > R r i d E( r) = 4π 3 ρ 1 r r d r d 3 R3 i r R 3 r 3 a r d r d 3 R3 i im Innenbereich der Hohlkugel im Mantelbereich im Außenbereich.

7 3.4. CAMPO DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE CARGA COM SIMETRIA ESFÉRICA Campo de uma distribuição de carga com simetria esférica Eine Kugel vom Radius R befinde sich im Vakuum. Sie bestehe aus einem Material mit konstanter Dielektrizitätskonstante ɛ und trage in ihrem Mittelpunkt die Ladung q. a. Berechnen Sie das elektrostatische Feld E innerhalb und außerhalb der Kugel. b. Berechnen Sie das elektrostatische Potential Φ im gesamten Raum. Solução:

8 Fluxo Aufgabe 7 (Elektrostatische Energie) Wie groß ist die elektrostatische Energie (a) von vier gleichgroßen Ladungen, die sich an den Ecken eines Tetraeders mit Kantenlänge d befinden? (b) einer mit der Ladung homogen geladenen dielektrischen Kugel mit Radius R? Berechnen Sie hierzu das elektrische Feld innerhalb und ausserhalb des Kugelradius mit dem Gauss-Satz. Eine Punktladung Aufgabe 8 sitze (Fluss) im Zentrum einer gedachten Kugel mit Radius R, die an einer Seite Eine Punktladung sitze im Zentrum einer Kugel mit Radius R, die an einer Seite in in der Höhe h flach abgeschnitten wurde. Wie groß ist der Fluss des elektrischen Feldes durch der Höhe h flach abgeschnitten wurde. Wie groß ist der Fluss des elektrischen Feldes E die Schnittebene A? durch die Schnittebene A? A A h R Figura 3.4: Aufgabe 9 (Dipol im Feld) Gegeben sei ein Molekül, das aus zwei starr miteinander verbundenen Massen m 1 = m = Solução: Das 10 5 elektrische kg bestehe, Feld die sich ist gegeben im Abstand durch von d = 10 1 m befinden und Elementarladungen +e bzw. e besitzen. Berechnen Sie das elektrische Dipolmoment d = d ê x dieser Ladungsverteilung. Nun wird das Molekül durch Anlegen eines homogenen elektrischen Feldes E E(r) = 1 = 100 V/m ê z in Rotation versetzt. Berechnen r êr. Sie die Rotationsgeschwindigkeit des Moleküls als Funktion des Winkels zwischen Dipolmoment und elektrischem Feld. Weil im quellenfreien wirbelfreien Zentralfeld der Fluss erhalten bleibt, kann man statt des Flusses durch die Schnittebene A den Fluss durch die Kugelkalotte betrachten. Der Fluß des elektrischen Feldes ist dann 1 Φ = E(r)df = a a r êrdf 1 = a R R sin θdθdφ = π cos θ 0 arccos(h/r) 4πε = ( 1 h ). 0 ε 0 R

9 3.6. GERADOR DE VAN DE GRAAF Gerador de Van de Graaf Die Kugelschale (Radius R) eines Van de Graaf Generators soll auf eine Potentialdifferenz von 10 6 V aufgeladen werden. Welchen Durchmesser muss die mindestens Kugelschale haben, damit keine Blitzentladungen auftreten? Hinweis: Die Durchschlagfeldstärke von Luft betrage V/m. Solução: Aus dem Gaußschen Satz folgt E r = Die Potentialdifferenz gegenüber ist Das elektrische Feld an der Oberfläche ist r e φ = r. R r = V = R. R = V R. daraus folgt R = V E > V = 106 m = 33 cm. E durch 3 106

10 Gaiola de Faraday Zeigen Sie, dass in jedem durch eine geerdete Oberfläche eingeschlossenen ladungsfreien Raum das elektrische Feld verschwindet. Solução: Aus der zweiten Grundgleichung der Elektrostatik E = ρ/ε 0 mit ρ = 0 und mit dem Feld E = Φ, folgt die Poisson-Gleichung Φ = 0. Laut Randbedingung befindet sich die das Volumen einschließende Oberfläche auf festem Potential: Φ V = Φ 0 = const. Offensichtlich ist Φ(r) Φ 0 eine Lösung. Diese Lösung ist eindeutig. Das Feld in dem Volumen ist nun E = Φ = 0.