Reconstrução-Difusão: Um Algoritmo de Reconstrução MENT Melhorado Baseado em Difusão Anisotrópica Robusta

Transcrição

1 Recontrução-Difuão: Um Algoritmo de Recontrução MENT Melhorado Baeado em Difuão Aniotróica Robuta Harold I. A. Buto, Hae Yong Kim Ecola Politécnica, Univeridade de São Paulo. Reumo - Máxima entroia (MENT) é uma técnica de recontrução bem conhecida baeada na otimização do funcional de cuto entroia. Se unicamente uma quantidade equena de dado de aquiição etiver dionível, o reultado dete algoritmo converge a uma imagem ruidoa e ouco nítida. Proomo uma melhoria dete algoritmo que conite em alicar alternadamente o MENT e a Difuão Aniotróica Robuta (RAD). Tetamo eta idéia ara recontrução a artir de aquiição de dado em aralelo e ângulo comleto, ma a idéia ode er alicada a qualquer cenário de aquiição de imagem. A nova técnica tem roduzido imagen urreendentemente clara e com areta bem definida memo uando uma quantidade extremamente equena de dado de rojeção. Palavra-chave: Difuão aniotróica, recontrução máxima entroia, tomografia comutadorizada. Abtract - Maximum entroy (MENT) i a well-known recontruction technique baed on the otimization of the entroy cot functional. If only mall amount of acquired data are available, the reult of thi algorithm converge to a noiy and blurred image. We rooe an imrovement to thi algorithm that conit on alying alternately the MENT recontruction and the robut aniotroic diffuion (RAD). We have teted thi idea for the recontruction of arallel rojection data from comlete angular amling, but the idea can be alied to any data acquiition cenario. The new technique ha yielded urriingly clear image with har edge even uing extremely mall amount of rojection data. Index Term: Aniotroic diffuion, maximum entroy recontruction, comuterized tomograhy. 1.Introdução Tomografia é uma técnica uada ara obter a ditribuição de um meio não obervável diretamente a artir de ua rojeçõe. Ela tem um amlo eectro de alicaçõe que vão do camo atômico ao cómico. Exitem muita técnica de recontrução or exemlo, retro-rojeção filtrada [1], máxima entroia [, 3], tranformada de Fourier [1], etc. Nete artigo, etamo intereado em técnica de tomografia que geram imagen recontruída de boa qualidade memo uando uma quantidade equena de dado de rojeção. Em muita alicaçõe rática, é vantajoo minimizar a irradiação, ara não danificar a amotra endo irradiada ou ara arear a aquiição do dado. O algoritmo de máxima entroia (MENT) é uma da melhore técnica quando omente 1 ouco dado etão dionívei. Porem, memo ete método roduz imagen borrada com ruído e artefato numa ituação de dado ecao. Delaney and Breler roueram uma técnica tomográfica eecialmente rojetada ara gerar imagen clara a artir de ouco dado [4]. Porém, na rática ete algoritmo requer uma quantidade um tanto grande de dado ara gerar uma imagem clara. Difuão aniotróica é uma técnica bem conhecida u- ada ara filtragem, detecção de areta e análie multiecala. Recentemente, Black et al. decreveram a relação entre difuão aniotróica e etatítica robuta, reultando numa técnica teoricamente ólida denominada difuão aniotróica robuta (RAD) [5]. Nete artigo, melhoramo o algoritmo MENT uando a filtragem RAD. A idéia rincial dete novo algoritmo é intercalar, em cada etaa iterativa do MENT, uma filtra-

2 gem RAD. Eta idéia é batante diferente de uma imle ó-filtragem da imagem gerada elo MENT. Como o algoritmo MENT gera uma imagem muito borrada e ruidoa em ituação de ouco dado, nenhuma ó-filtragem conegue melhorar ubtancialmente a qualidade da imagen gerada. Porém, incororando a filtragem RAD dentro do algoritmo MENT, imagen nitidamente recontruída odem er obtida memo uando ouco dado de rojeção. Decrevemo noa idéia ara um ambiente de aquiição de dado em feixe aralelo e ângulo comleto (180 o ) em nenhum dado em falta. Imlementamo e tetamo a técnica roota omente ara eta ituação. Porém, a idéia deenvolvida nete artigo odem er alicada diretamente a qualquer cenário de aquiição: feixe aralelo ou divergente, ângulo comleto ou limitado, com ou em dado em falta. Tetamo noo algoritmo uando uma quantidade extremamente equena de dado. Sob eta condição, o algoritmo MENT original gera imagen ruidoa e borrada onde memo a areta imortante não ão claramente recontruída. Noo algoritmo gerou imagen nítida.. Algoritmo de Recontrução.1 Retro-Projeção Filtrada Retro-rojeção filtrada é uma técnica de recontrução de imagem cláica [1]. Ete algoritmo roduz boa imagen recontruída e o dado de rojeção ão abundante e dionívei em ângulo comleto. Infelizmente, ete algoritmo roduz recontruçõe obre e exitem ouca rojeçõe, rojeçõe em falta ou e a rojeçõe etão ditribuída em ângulo limitado. Iremo uar retrorojeção filtrada ara obter a imagem recontruída ideal quando rojeçõe etão dionívei abundantemente.. Algoritmo de Máxima Entroia Minerbo roô o algoritmo MENT em [6] e em eguida muito autore roueram diferente melhoria a ete algoritmo [, 3]. Neta eção, exlicamo muito brevemente a verão de Rei e Roberty do algoritmo MENT, adotando a mema notação que ele uaram em []. O roblema de recontrução conite em encontrar uma função imagem alvo f ( x, y) 0. Vamo denotar a verão dicretizada dete função como f, onde rereenta um ixel. Rei e Roberty recontroem a função alvo f numa artição de bae natural, que oui uma reolução ub-ixel. Ele denotaram um elemento da bae natural como e e a imagem alvo neta artição como f e, ito é: f = fe, i 1 (1) e onde (i) é o ao de iteração do algoritmo MENT. Vamo uor que há J rojeçõe aralela. Rei e Roberty denotaram a faixa na rojeção j [ 1, J ] que contém o ub-ixel e como nj(. A função alvo f no ub-ixel e ode er comutada uando a eguinte equação : J 1 fe = F nj(, i 1 () A j= 1 onde A é a área total do objeto a er recontruído e F nj( é o arâmetro dual de Lagrange aociado à faixa [ ( ) nj(]. Um arâmetro de Lagrange F i nj ode er comutado iterativamente uando dado tomográfico exerimentai h, e a largura z da rojeção j: j nj z h nj, i = 0 h nj A (3) ( i+ 1) =, 1 i < ζ F nj NE J ae Fk, nk( e= 1 k = 1 k j onde NE é o numero de elemento da faixa [ nj] e a e é a área do elemento e. (1) A inicialização F nj = z h nj na equação (3) é omente uma aroximação ouco acurada do arâmetro de Lagrange deconhecido. Aim, a fórmula (3) deve er iterada muita veze até a convergência. Infelizmente, J erro numérico do roduto F k = 1, k j k, nk ( na equação (3) e roagam muito raidamente quando a fórmula iterativa é comutada []. Ito conduz a uma recontrução ouco nítida e ruidoa. Se a imagem alvo foe conhecida aroximadamente, arâmetro de Lagrange mai acurado oderiam er encontrado. Aim, roomo uar a imagem recontruída elo MENT e filtrada elo RAD como uma etimativa da imagem alvo f. Eta imagem etimada irá ermitir-no encontrar uma melhor etimativa do arâmetro de Lagrange. 3. Difuão Aniotróica Robuta Black et al. [5] roueram recentemente a difuão aniotróica robuta (RAD). Ela aume que a entrada é uma imagem contante em cada região corromida or ruído aditivo Gauiano de média zero e equena variância. O objetivo é etimar a imagem original a artir de dado ruidoo. Black et al. uaram a etatítica robuta ara reolver ete roblema. Ele comutaram uma imagem I

3 que atifaz o eguinte critério de otimização : min ( I I, σ) (4) I ρ I η onde I é o valor da imagem I no ixel, η é a vizinhança eacial do ixel, ρ ( ) é uma norma de erro robuta e σ é um arâmetro de ecala. A equação (4) ode er reolvida elo método do gradiente decendente : I λ ( t+ 1) ( t) = I + η η g ( t) ( t) ( I, ) I, onde g ( x) = ρ ( x) x, a contante λ! é um ecalar (ț) que determina a taxa de difuão, e I rereenta o gradiente de intenidade no ixel em relação ao ixel vizinho. Black et al. ecolheram o etimador de Tukey como a norma de erro e ele tem motrado er um excelente detector de borda. + (5) 1 I 1, e I σ g ( I, σ) = σ (6) 0, cao contrário Vamo uor que a imagem I conite de regiõe com nívei de cinza contante. Intuitivamente, RAD calcula a média do ixel vizinho dentro de uma região, e evita calcular a média entre regiõe. Aim, ete roceo atenua ruído ao memo temo em que reerva nitidamente a forma da areta entre regiõe. 4. Algoritmo de Máxima Entroia Melhorado Vamo uor que a imagem a er recontruída é contante região or região. Como notamo ante, em condiçõe de ouco dado de aquiição, o algoritmo MENT recontrói imagem f ouco nítida e ruidoa. Eta imagem ode etar tão fortemente corromida que nenhum roceo de ófiltragem ode melhorá-la ubtancialmente. RAD é um excelente etimador da imagem original f a artir de ua verão corromida. Porém, uando-a como um roceo de ó-filtragem, omente uma leve melhoria ode er obtida. Noa idéia é uar eta imagem levemente melhorada ara encontrar uma melhor etimativa do arâmetro de Lagrange. Parâmetro de Lagrange mai acurado geram uma imagem recontruída melhor. Eta imagem melhorada ode er realçada ainda mai or RAD e uada ara encontrar arâmetro ainda melhore de Lagrange. E aim or diante. Uamo a equaçõe (3) e (5) ara comor o algoritmo de recontrução-difuão. Inicialmente, alicamo o algoritmo MENT uro, iterando a equação (3) ζ veze. Uando 3 (ζ) a equaçõe (1) e (), a imagem recontruída f é obtida. Eta imagem erá uada ara calcular a etimativa inicial do arâmetro de Lagrange, a erem uado no eguinte algoritmo de recontrução-difuão: F ( i+ 1) nj = (ara ζ i < υ) h nj J λ + g( f, ) f, F η k = 1 NE ae fe e= 1 η k j k, nk ( Note que a exreão dentro do colchete da equação (7) é a imagem filtrada or RAD. O denominador é o dado de rojeção recontruído da faixa [ nj]. Parece que filtrando a imagen intermediária com RAD, a roagação de erro no arâmetro de Lagrange é minimizada. 5. Reultado Exerimentai O objeto tete imulado é um cilindro com diâmetro 100 e denidade 5. Ete cilindro contém cinco cilindro interno arranjado em érie e delocado do centro. O rimeiro e o maior, no canto direito uerior, tem diâmetro 0 e denidade 15. O egundo tem diâmetro 14 e denidade 0. O terceiro tem diâmetro 10 e denidade 3. O quarto tem diâmetro 8 e denidade 5. O quinto tem diâmetro 5 e denidade 5. A denidade do fundo é 0,0. A máxima denidade neta ecala é 5. O hantom gerado artificialmente é motrado na figura 1a. O conjunto de dado exerimentai conite de omente 6 rojeçõe aralela obre 180 o com 100 raio or rojeção (600 raio ao todo). O algoritmo MENT cláico, e o algoritmo MENT+RAD recontrução-difuão foram executado com ete dado, gerando reectivamente a imagen 1b e 1c. Claramente, o algoritmo recontruçãodifuão gerou a melhor imagem. Imagem 1b foi obtida iterando 30 veze o algoritmo MENT cláico. Eta imagem foi uada como a etimativa inicial da imagem a er recontruída elo algoritmo de recontrução-difuão. Ete algoritmo foi iterado 30 veze uando o arâmetro de ecala σ=5, gerando a imagem 1c. A imagem 1d é obtida ó-roceando a imagem 1b elo filtro RAD (σ=5 e 100 iteraçõe). Claramente, uma ó-filtragem não ôde gerar uma imagem recontruída nitidamente. O critério de arada ara a iteraçõe baeia-e na convergência do arâmetro de controle ara ambo método. A ecolha de igma é manual e baeia-e num critério de buca binária entre doi limiare diferente até encontrar o limiar que ermite uma difuão da regiõe homogênea da imagem recontruída reervando a areta entre o diferente contorno. (7),

4 Toda a imagen têm reolução ixel. A diferença aboluta média entre a imagem ideal 1a e a imagen 1b, 1c, 1d, ão reectivamente 1,74%, 7,5%, 1,84%. 6. Concluão Nete artigo, rouemo um algoritmo MENT melhorado. Eta nova técnica é baeada em difuão aniotróica robuta. O novo algoritmo gerou uma imagem clara memo uando uma quantidade muito equena de dado de rojeção. A imagem recontruída contém ouco ruído e a areta ão claramente viívei. O método rooto tem motrado er uerior ao algoritmo MENT cláico e a retro-rojeção filtrada. O dado exerimentai motram a eficácia da técnica roota. Contato Av. Prof. Luciano Gualberto, tr. 3, 158, CEP , São Paulo, SP, Brail Tel: (0xx11) Fax: (0xx11) haroldivan@l.u.br, hae@l.u.br htt:// 7. Agradecimento O autore exream a ua gratidão a FAPESP (roceo 001/ e 000/0809-6) e a CNPq (roceo /98-5) ela aitência financeira arcial dete trabalho. Referência 1. A. K. Jain, Fundamental of Digital Image Proceing, Prentice Hall, M. L. Rei and N. C. Roberty, Image Recontruction Uing the Method of Maximum Entroy, Invere Problem, vol. 8, no. 4, , J. Duaoy and I. E. Abdou, The Extend MENT Algorithm: A Maximum Entroy Tye Algorithm Uing Prior Knowledge for Comuterized Tomograhy, IEEE T. Signal Proceing, vol. 39, no. 5, , May Alexander H. Delaney and Y. Breler, Globally Convergent Edge-Preerving Regularized Recontruction: An Alication to Limited-Angle Tomograhy, IEEE T. Image Proceing, vol. 7, no., February M. J. Black, G. Sairo, D. H. Marimont, and D. Heeguer, Robut Aniotroic Diffuion, IEEE T. Image Proceing, vol. 7, no. 3, March G. Minerbo, MENT: A Maximum Entroy Algorithm for Recontructing a Source from Projection Data, Comut. Grah. Image Proceing, vol. 71, ,

5 (a) (b) (c) (d) Fig. 1: (a) Phantom intético; (b) MENT uando 600 raio; (c) algoritmo recontrução-difuão rooto uando 600 raio; (d) imagem 1b filtrada elo RAD. 5