FIBRAS AMPLIFICADORAS

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1 FOTÓICA AO LECTIVO DE 3/4 FIBRAS AMPLIFICADORAS DOPADAS COM ÉRBIO Prof. Carlo R. Paiva Deartamento de Engenharia Electrotécnica e de Comutadore Intituto Suerior Técnico Março de

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3 Modelo commercial de uma EDFA da firma JDS Unihae: htt:// ota hitórica: Em 987 Dave Payne deenvolve, na Univeridade de Southamton, a rimeira EDFA oerada em.55 µm. Índice. Amlificação laer numa fibra doada com iõe de érbio 3. Coeficiente de ganho 7 3. Modelo ara a amlificação de um inal WDM 4. Modelo imlificado ara uma EDFA com comrimento ótimo 9 5. Caracterização eectral 6. Ruído devido à emião eontânea (ASE) 6 Bibliografia 3

4 . Amlificação laer numa fibra doada com iõe de érbio Ante de 99 o rinciai erviço de telecomunicaçõe, tai como o POTS (lain old telehone ervice) e a televião or cabo ou CATV (common-antenna [cable] televiion), baeavam-e na tranmião eléctrica. Paulatinamente, dede 99, a rinciai comanhia de telecomunicaçõe têm vindo a introduzir a tranmião ótica embora a rimeira geração de itema de comunicação ótica eja de 98. A decoberta, em 985, de que a fibra ótica odem er amlificadore laer ara a terceira janela centrada em.55µm, rereenta um do marco deciivo ara o deenvolvimento actual da tecnologia fotónica. O aarecimento, em 989, da fibra amlificadora doada com érbio ou EDFA (erbium-doed fiber amlifier) em que o bombeamento é feito or laer emicondutore, roduziu uma autêntica revolução na conceção do itema de comunicação ótica. Efectivamente, a geração actual de tranmião ótica exlora dua técnica fundamentai: (i) a amlificação ótica que veio ubtituir o regeneradore electrónico 3R (retiming, rehaing, recaling); (ii) a multilexagem no comrimento de onda ou WDM (wavelength-diviion multilexing) que veio aumentar ignificativamente a caacidade e a velocidade da tranmião. Dado que a EDFA ó funcionam na terceira janela, a dierão cromática na fibra ótica continua a ucitar algun roblema elo meno de forma mai ignificativa do que na egunda janela centrada em.3µm. Ete roblema têm vindo a er uerado atravé de vária técnica: (i) a utilização de DS-SMF (dierion-hifted ingle-mode fiber); (ii) a getão da dierão (dierion management) com DCF (dierion-comenating fiber); (iii) a utilização combinada de tranmião controlada de olitõe com a getão da dierão. A amlificação ótica na egunda janela quer atravé de laer emicondutore quer atravé de fibra doada com novo tio de iõe não tem, contudo, roduzido o memo tio de reultado que a amlificação ótica baeada em EDFA. Uma EDFA é uma fibra ótica doada com iõe de érbio. Ete iõe exibem um decaimento radiativo em que o temo de vida do etado excitado elo bombeamento é ufucientemente longo. Para analiar o roceo de amlificação ótica numa EDFA vai-e começar or coniderar o itema laer da Fig.. Trata-e de um itema que rereenta o trê nívei de energia do iõe de érbio que doam a fibra ótica. Ao nível de energia 3 correonde a denidade oulacional ( m ) m de iõe de érbio. E (com m 3 ) m 3

5 3 R 3 τ 3 τ 3 R 3 W τ τ W τ 3 Fig. Amlificação laer de trê nívei. A eta a cheio indicam traniçõe induzida (exceto R 3 que rereenta o bombeamento). A eta a tracejado indicam traniçõe eontânea (i.e., decaimento da oulação). uma ituação de equilíbrio termodinâmico ter-e-ia 3 < <, uma vez que e tem E 3 > E > E. De facto, de acordo com a etatítica de Maxwell-Boltzmann, virá 3 E E ex, BT (.a) E3 E ex. BT (.b) Para que a fibra e comorte como um meio activo (i.e., com ganho), é neceário que e dê uma inverão da oulação entre o nívei E e E, ou eja, é neceário que ao contrário da Eq. (.a) e verifique que >. Ma, ara que haja uma tal inverão da oulação, é recio que atravé de um roceo de bombeamento o iõe do nível aem ara o nível. Porém, ete roceo faz intervir, em geral, o nível 3. Como, no entanto, ete nível ode er coniderado intável, o iõe raidamente decaem ara o nível. Por io deignaremo o nível como metaetável. a Fig. o roceo de decaimento etão indicado or eta a tracejado. O bombeamento é rereentado or uma taxa R 3. A emião etimulada, or ua vez, etá rereentada ela taxa R 3 e W. A aborção correonde à taxa W. Toda eta taxa têm unidade. O roceo de decaimento odem er radiativo ou não-radiativo. O temo 4

6 de vida correondente à emião eontânea ão τ 3, τ 3 e τ. O temo de vida correondente a traniçõe não-radiativa ão τ 3 e τ. É oível derezar todo o roceo de decaimento à exceção da emião eontânea caracterizada elo temo de vida τ. Aim, na rática, o nível 3 tem uma denidade oulacional nula dada a ua intabilidade (i.e., 3 ). Pelo que a denidade oulacional total erá ρ +. (.) Conequentemente, o itema laer da Fig. ode er analiado em termo do modelo imlificado da Fig.. W (λ ) W (λ ) W (λ ) τ W (λ ) Fig. Modelo imlificado do itema laer de uma EDFA. O bombeamento dá-e ara λ λ e é rereentado ela taxa W ( λ ). A emião etimulada de interee dá-e ara λ λ e é rereentada ela taxa W ( λ ). o modelo da Fig. o inal tem o comrimento de onda λ enquanto que o bombeamento (uming) tem o comrimento de onda λ. O doi comrimento de onda mai vulgare ara o bombeamento numa EDFA ão.98µm e.48µm. uanto ao inal, o ico de amlificação ocorre na vizinhança de.53µm. ote-e que, em relação à Fig., a taxa W ( λ ) deverá er nula no cao em que λ.98µ m. 5

7 o cao mai geral, orém, não exite aena um canal a er amlificado ma im um inal WDM. Por ea razão deigna-e genericamente or λ o comrimento de onda do vário inai: conidera-e m e faz-e λ λ. Ou eja: exitem m inai WDM ara amlificar. Deta forma é neceário fazer intervir coeficiente comrimento de onda λ λ (incluindo o bombeamento ara ). ( ) W e ( ) W ara cada O bombeamento, numa EDFA, ode er de doi tio: (i) unidireccional (coroagante ou contraroagante); (ii) bidireccional (coroagante e contraroagante imultaneamente). ete aontamento a análie vai-e centrar obre o bombeamento unidireccional coroagante. 6

8 . Coeficiente de ganho Deignemo or P a otência tranortada na EDFA ara o comrimento de onda λ (com m ). o cao de exitir aena um canal ( m ) erá P P ara λ λ e P P ara λ λ. Para itema WDM tem-e m > ma ainda com λ λ e P P. Sendo a o raio do núcleo da fibra ótica, rereenta-e or a o raio efectivo da concentração de iõe de érbio, i.e., ρ, r a ρ() r (.), r > a em que r + x y e onde, de acordo com a Eq. (.), ρ rereenta a concentração total de iõe de érbio. Aim, a área tranveral dea concentração erá A π. (.) a Então, deignando or φ (com [ ] m φ ) a denidade do fluxo de fotõe correondente ao feixe, o fluxo total de fotõe erá (com [ ] ) tal que A φ. (.3) eta condiçõe, a otência P do feixe erá ( h f ) P (.4) em que f c / λ é a frequência correondente a λ e h é a contante de Planc. Comecemo or notar que, num comrimento elementar, o aumento denidade do fluxo de fotõe ara o feixe é dado or dφ da ( ) ( ) ( ) ( ) [ R R ] W W dφ { } (.5) t ab 7

9 onde ( ) ( ) Rt W é a taxa de emião e ( ) ( ) Rab W a taxa de aborção. o cao da EDFA é neceário introduzir uma ecção eficaz σ e de emião diferente da ecção eficaz σ a de aborção ambo definido ara o feixe. Então, endo Γ o factor de confinamento ótico do feixe, tem-e W W ( ) Γ σe φ, (.6a) ( ) Γ σ a φ, (.6b) em que A Γ A (.7) e onde A é a área efectiva do feixe, com A π. (.8) a O factor de confinamento ótico Γ é, de acordo com uma aroximação gauiana, Γ a ex ex, (.9a) R ( f ) ( ) r f a.5 6 () v ( v +. v ) r 879 (.9b) em que, com ω/ c f / c, a frequência normalizada v é dada or π v (.) a n n endo n (re., n ) o índice de refracção do núcleo (re., da bainha) da fibra ótica. ote-e que, em geral, a r ( f ). Só quando a << r ( f ) é que e ode ecrever Γ a / r ( f ) e, então, r ( ). a f 8

10 Aim, da Eq. (.5) e (.6), tira-e que dφ g φ (.) onde g é o coeficiente de ganho do feixe (com [ g ] m ) tal que g ( σ σ ) Γ e a. (.) ote-e que, e e atender à Eq. (.3) e (.4), e ode ecrever ainda d g (.3) e dp g P. (.4) É uual definir-e, ainda, o coeficiente η como σ e η. (.5) σ a Com eta definição o coeficiente de ganho, introduzido na Eq. (.), ode er ecrito na forma g ( η ) Γ σ a. (.6) Em regime linear (inai fraco) o coeficiente de ganho não deende da otência e, conequentemente, da coordenada z. Então, da Eq. (.4), vem P P ( ) ex( g z). (.7) 9

11 Sendo L o comrimento da EDFA, define-e o ganho do amlificador ara o feixe como endo P ( L) ( ). (.8) P Aim, em regime linear, tem-e ( g L) ex. (.9) ote-e que, em geral, não é oível ecrever a Eq. (.9) uma vez que e retende uma amlificação razoável o que imlica o funcionamento em regime não-linear. De acordo com a Eq. (.6) a fibra comorta-e como um meio activo dede que η >. uando η a fibra comorta-e como um meio tranarente. Finalmente, quando η <, a fibra introduz atenuação em vez de ganho. Para e conhecer a evolução da otência ao longo da EDFA há que reolver, e.g., a Eq. (.3). Porém, é neceário determinar rimeiro a forma como a denidade oulacionai e deendem do vário inai (incluindo o bombeamento). Conideremo, de novo, o equema imlificado da Fig.. um amlificador laer comum a inverão da oulação correonde a ter-e >. uma EDFA, orém, dado que a ecção eficaz de emião difere da ecção eficaz de aborção, é neceário redefinir a inverão da oulação. Com efeito, ó ocorrerá amlificação dede que g >. Pelo que, de acordo com a Eq. (.6), e define o coeficiente como egue: D de inverão da oulação numa EDFA D η ρ ( + η ). (.) ρ Exitirá amlificação dede que D >. Com eta definição o coeficiente de ganho ainda e ecreve, de acordo com a Eq. (.6), na forma

12 g D (.) onde e introduziu o coeficiente de aborção tal que Γ σ a ρ. (.) Se e introduzir, ainda, o coeficiente de emião γ tal que γ Γ σ ρ η, (.3) e o coeficiente de ganho exrime-e na forma g ρ ( + γ ) (.4) que é adotada frequentemente na literatura.

13 3. Modelo ara a amlificação de um inal WDM o cao geral do regime não-linear há que etabelecer de que forma a denidade oulacional, na Eq. (.4), deende do fluxo de fotõe ao feixe com o comrimento de onda tranição ara o nível. De acordo com o modelo imlificado da Fig., tem-e ou, e e referir, da otência P aociada λ. Para ee fim vai-e formular a equação de d dt W W τ. (3.) a auência de traniçõe induzida e de bombeamento, eria aena d dt τ (3.) cuja olução motra o decaimento da oulação do nível. De facto, t () t ( ) ex, (3.3) τ onde τ é o temo de vida da emião eontânea. Deve alientar-e que, ao ecrever a Eq. (3.), e ubentendeu que ( ) W, (3.4a) W ( ) W. (3.4b) W o regime etacionário tem-e d / dt. Pelo que, da Eq. (3.), vem ( W W ) τ. (3.5) Então, e e atender à Eq. (.6), vem ainda

14 τ Γ ( σe σ a ). (3.6) A Aim, tendo em conideração a Eq. (.) e (.3), infere-e que τ d. (3.7) A Eta equação ermite conhecer de que forma a oulação deende do vário feixe. ote-e que aena e conidera o cao do bombeamento unidireccional co-roagante. Agora, ubtituindo a Eq. (3.7) na Eq. (.4), obtém-e g at j d j (3.8) onde e introduziu o fluxo de aturação at + γ (3.9) e em que o arâmetro de aturação é dado or A ρ. (3.) τ Dete modo, ubtituindo a Eq. (3.8) na Eq. (.3), tira-e que d at j d j. (3.) Logo, integrando eta última equação entre z e z L, reulta 3

15 ( L) ( ) in out ex L + (3.) at onde e fez ( ) in, (3.3a) out ( L). (3.3b) Somando a Eq. (3.) em, obtém-e ainda out in out ex L + at. (3.4) ( ) A Eq. (3.) e (3.4) ão, frequentemente, areentada numa forma diferente. Com efeito, de acordo com a Eq. (3.9), eta dua equaçõe odem er reecrita na forma alternativa + γ in, (3.5a) ( ) ( ) ( ) L ex L + out out + γ in out. (3.5b) ( ) ex L + ( ) A Eq. (3.5) contituem um modelo analítico ara a amlificação de inai WDM em EDFA. Com efeito, conhecendo ( ) (3.5b) em ordem a ara,,, m é oível reolver a Eq. out. Então, ubtituindo out aim obtido na Eq. (3.5a), determiname todo o ( L) a artir da entrada ( ). Eta é uma olução elegante que evita a reolução numérica do itema de equaçõe diferenciai acolada da Eq. (3.), i.e., d at j d j. (3.6) 4

16 6 45 L 5 m L m L 5 m L m 3 [db] P [W] Fig. 3 Variação do ganho do inal com a otência de bombeamento, à entrada da fibra, ara vário valore do comrimento do amlificador. Conidera-e P.µ W. in a Fig. 3 5 areentam-e algun reultado ara λ.48µ m e λ.55µ m. Conideram-e o eguinte arâmetro: 5 3x m, 3dB/m, 3.3dB/m, γ.db/m e γ 4.8dB/m. A Eq. (3.6) odem er areentada numa forma normalizada. Introduzindo, de acordo com a Eq. (3.9), a otência de aturação at at ( h f ) P, (3.7) definem-e a variávei normalizada P. (3.8) P at at 5

17 5 P mw P - 9 mw 4 P mw 3 [db] L [m] Fig. 4 Variação do ganho do inal com o comrimento do amlificador ara vário valore da otência de bombeamento (à entrada da fibra). Conidera-e P.µ W. in ote-e, agora, que e ode ecrever W τ, (3.9a) + η η τ W, (3.9b) + η de acordo com a Eq. (.6). Por outro lado, e e ubtituir or obtém-e ρ na Eq. (3.5), W τ ρ. (3.) + ( W + W )τ 6

18 .8 P 8 P. P [mw] P [mw] L [m] Fig. 5 Variação da otência de inal e da otência do bombeamento ao longo do in amlificador. Conideram-e: P.µ W, P mw. in Logo, da Eq. (3.9) e (3.), vem ρ + η +. (3.) Agora, atendendo à Eq. (.), ode-e ecrever o coeficiente de inverão da oulação na forma D + + j j j η η + η j j j. (3.) Aim, de acordo com a Eq. (.), vem finalmente 7

19 d g (3.3) em que g + + j j j η η + η j j j. (3.4) i.e., em que Conideremo, ara concretizar, o cao de um único inal (além do bombeamento), λ λ e λ λ. Façamo, ainda, q e. eta condiçõe, P, (3.5a) P at P q, (3.5b) P at obtendo-e então d dq η η + q, (3.6a) + + q + η q η η +. (3.6b) + + q + η A Eq. (3.6) odem er reolvida numericamente a artir da condiçõe iniciai ( ) e ( ) q. q Areentaram-e, ortanto, doi modelo equivalente ara a amlificação de um inal WDM. O rimeiro modelo conite na Eq. (3.5) e baeia-e na determinação de zero de equaçõe algébrica trancendente. O egundo modelo conite na Eq. (3.3) e (3.4) e baeia-e na reolução numérica de itema de equaçõe diferenciai ordinária. 8

20 4. Modelo imlificado ara uma EDFA com comrimento ótimo Vai-e agora areentar um modelo imle ara reolver o cao articular de uma EDFA com comrimento ótimo e ara um único inal (além do bombeamento). Pretende-e calcular e q, introduzido na Eq. (3.5), em ter que reolver a Eq. (3.6). Comecemo or definir o ganho e como endo L, (4.a) ql, (4.b) q em que L ( L) e q L q( L). Então, de acordo com a Eq. (3.), vem at ( ) + q ( ), (4.a) at ln L + at ( ) ( ) + at ln L + q. (4.b) Logo, reolvendo eta equaçõe em ordem a L e igualando, obtém-e [ q ] [ ln + U ( ) ] ln U ( ), (4.3) onde e introduziram o coeficiente U U η η, (4.4a) + η η η. (4.4b) + η Com efeito, tem-e 9

21 at at + γ + γ + η + η U U. (4.5) A Eq. (4.3) ermite relacionar orém, que e com atravé da condiçõe iniciai e q. ote-e, não odem variar arbitrariamente: uma vez fixada a condiçõe iniciai o ganho ficam univocamente etabelecido. ganho tal que Deigna-e or comrimento ótimo L ot da EDFA o comrimento ara o qual o atinge, ara uma dada otência de bombeamento, o eu valor máximo (Fig. 4), i.e., d z L ot. (4.6) Aim, da Eq. (3.6a), tira-e que q L + η. (4.7) η η U Como q L >, deverá ter-e η > η, elo que U > e U >. eta condiçõe, infere-e que U q. (4.8) Logo, ubtituindo eta última exreão na Eq. (4.3), obtém-e [ ln + U ( ) ] ( U q lnu q ) ln. (4.9) Eta equação ermite calcular o ganho EDFA tenha um comrimento ótimo. com bae na condiçõe iniciai dede que a

22 Para calcular L ot bata reolver a Eq. (4.9) em ordem a e ter a Eq. (4.a) em conideração. Vem então, de acordo com a Eq. (4.9), L ot ( U q ) ln + ( ) [ ]. (4.) U Saliente-e, mai uma vez, que eta última equação não ode er coniderada earadamente: ó deoi de conhecer o valor aroriado de, atravé da reolução da Eq. (4.9), é que e ode calcular o comrimento ótimo ela Eq. (4.). Ito ignifica que, a um dado ar de condiçõe iniciai (,q ), correonde um (e aena um) comrimento ótimo L ot ara valore fixado do coeficiente,, η e η. o cao geral, em que o comrimento da EDFA é conhecido em er ótimo, é neceário reolver imultaneamente a Eq. (4.): L L L [ ln + ( ) ] + q ( ) + L U U [ ln + q ( ) ] + ( ) + L L U U, (4.a). (4.b) A Eq. (4.) odem então er reolvida em ordem a iniciai (,q ) e conhecido o arâmetro η e e η bem como o roduto a artir da condiçõe e L. L

23 5. Caracterização eectral Um do aecto fundamentai de uma EDFA é a ua caracterização eectral. O coeficiente de ganho g ode er entendido como g g( ω ), tendo-e ω π f πc / λ. A Eq. (.4) ode er ecrita, mai geralmente, na forma g ( z ω) [ ( ω) + γ( ω) ], ( ω) (5.) ρ em que, de acordo com a Eq. (3.), e tem ρ + + η (5.) η e onde, ara um inal WDM,,,, m tal como e viu anteriormente. com η( ) ω Só e a EDFA foe eectralmente uniforme (i.e., tivee um ganho lano) é que e oderia omitir a deendência com ω na Eq. (5.). ote-e que, memo no cao de e retender amlificar aena um inal, a caracterização eectral é imortante dado que e tem λ λ. A deendência, na Eq. (5.) e (5.), com a coordenada longitudinal z advém da amlificação do inal à cuta da atenuação rogreiva do bombeamento (cao do bombeamento unidireccional coroagante). otando que a Eq. (3.3) e ode ecrever, com generalidade, na forma d ( z, ω) ( z, ω) g( z, ω), (5.3) obtém-e, deoi de integrar entre z e z L, a relação L,. (5.4) ( L ω) (, ω) ex g( z, ω) Aim, definindo o ganho da EDFA como

24 ( L, ω) (, ω) ( ω), (5.5) infere-e que L ex. (5.6) ( ω) g( z, ω) De acordo com a Eq. (.) e (.3), tem-e ( ω) Γ( ω) σ ( ω)ρ a, (5.7a) ( ω) Γ( ω) σ ( ω)ρ γ e, (5.7b) ou ainda ( ω) η( ω) ( ω) γ, (5.8) dede que e faça ( ) η ω σ σ e a ( ω) ( ω) (5.9) atendendo à Eq. (.5). O factor de confinamento ótico Γ ( ω) é, em conformidade com a Eq. (.9a), dado or a ex r Γ( ω) ( ω). (5.) Aim, ara a caracterização eectral de ( ω), há que conhecer a ecçõe eficaze de tranição σ a ( ω) e σ e ( ω) que aarecem na Eq. (5.7). 3

25 Convém, ante de mai, referir que σ a ( ω) e ( ω) efeito, motra-e que σ e e odem relacionar entre i. Com σ a ( f ) σ e η ( f ) h( f f ) max max ex, (5.) BT onde h é a contante de Planc, B a contante de Boltzmann, T a temeratura aboluta, f a frequência em que ( f ) max σ é máxima e onde e σ η max. (5.) σ max e max a Conidera-e uualmente a temeratura calcular ( f ) σ. a A forma mai correcta de calcular ( f ) T 3 K. Aim, bata conhecer σ ( f ) ara σ é baear ee cálculo em reultado exerimentai. Frequentemente ee reultado exerimentai ão aroximado or uma íntee numérica baeada na oma de gauiana, tal que e e σ e max ( λ) σ I( λ) e, (5.3) em que I ( ) ( ) ( ) J λ λ j λ a j 4ln ex. (5.4) λ j j tem a Tabela areenta-e um exemlo tíico, com J 8, de uma EDFA ara a qual e λ max 53nm, η max. 9 e max σ e 4.7 x 5 m. a Fig. 6 rereentam-e, ara ete tio de EDFA, a ecçõe eficaze de tranição no intervalo.4µ m λ.6µ m. 4

26 Tabela Valore do arâmetro da gauiana ara o cálculo da ecção eficaz de emião numa EDFA codoada com eo Al O 3 SiO. j j j 3 j 4 j 5 j 6 j 7 j 8 a j λ j [nm] λ j [nm] E-5 4.E-5 [m ] σ e.e-5 σ a.e λ [µm] Fig. 6 Variação da ecçõe eficaze de emião e de aborção de uma EDFA, codoada com eo Al O 3 SiO, em função do comrimento de onda. 5

27 6. Ruído devido à emião eontânea (ASE) Um do aecto negativo da EDFA é a exitência de ruído devido à emião eontânea. Ete tio de ruído foi, até agora, ignorado. Pretende-e, neta ecção, entrar em linha de conta com o ruído roveniente da ASE (amlified ontaneou emiion). O coeficiente de ganho g ode er ecrito, de acordo com a Eq. (.), na forma g a b, (6.) dede que e faça Γ σ a e, (6.a) Γ σ b a. (6.b) Deignando or n o número médio de fotõe ao longo do amlificador, oderá ecrever-e em rincíio d n gn, (6.3) à emelhança, e.g., da Eq. (.3). Só que, na Eq. (6.3), e ignorou a exitência de fotõe roveniente da emião eontânea. uando não e ignora a ASE, deve ecrever-e em vez da Eq. (6.3) a equação alternativa d n ( n + ) b n a (6.4) de acordo com a Eq. (6.). Com efeito, o coeficiente a a de emião actua não ó obre o número n de fotõe atravé da emião etimulada, ma também obre a emião eontânea emitindo um número de fotõe. O coeficiente b b de aborção, tal como a emião etimulada, actua obre o número n de fotõe. ote-e que, aena no cao de 6

28 uma EDFA em regime monomodal etrito, é que ; quando não e faz ditinção entre a dua olarizaçõe ortogonai do modo fundamental, tem-e. Aena quando e dereza a emião eontânea é que e a Eq. (6.4) reduz-e à Eq. (6.3). Trata-e, então, de integrar a Eq. (6.4) tendo em conideração que, de acordo com a Eq. (6.), tanto a como b ão funçõe de z. Comecemo or notar que o ganho da EDFA ode er ecrito na forma z ex dζ (6.5) [ a( ζ) b( ζ) ] e e atender à Eq. (6.3) e tal como já e tinha feito na Eq. (5.6). Se e fizer u n e P b a, (6.6a) a, (6.6b) a Eq. (6.4) ode er ecrita na forma canónica du u + P. (6.7) Ma, or outro lado, como ela Eq. (6.5) d P, (6.8) tem-e d u du P + ( ) u( z) z. (6.9) Ora, e e multilicar ambo o termo da Eq. (6.7) or /, obtém-e 7

29 du P + u. (6.) Logo, da Eq. (6.9) e (6.), reulta d u. (6.) Aim, integrando eta última equação, vem u z ( ζ) ( ζ) dζ + c, (6.) onde c é uma contante de integração. Facilmente e verifica que c u( ) oi ( ) Donde e infere que. n n( ) + (6.3) onde e introduziu z a ( ζ) ( ζ) dζ. (6.4) uando e dereza a emião eontânea, é e Eq. (6.3) ara o cálculo de n. Ito ignifica que não contribui de acordo com a deve er identificado com o ruído introduzido ela ASE. Com efeito, na auência dete termo, a Eq. (6.3) afirma que o número de fotõe à aída é igual ao número de fotõe à entrada multilicado elo ganho do amlificador, i.e., correonde ao número médio de fotõe gerado ela ASE no troço ζ z. que uando e conidera que o coeficiente a e b ão contante, reulta da Eq. (6.5) 8

30 [( a b) z] ex. (6.5) Então, neta condiçõe, tira-e da Eq. (6.4) que ( ) a z [ ( ) ] a b z. (6.6) Portanto, a otência média do ruído rovocado ela ASE erá, neta circuntância, P ( ) f n h f (6.7) ara a largura de banda f e onde e fez n a a b η η (6.8) dado que η σ e / σ a. Ao coeficiente n dá-e o nome de factor da emião eontânea. o cao geral em que o coeficiente a e b variam com a coordenada longitudinal z, a Eq. (6.7) continua a er válida dede que e faça n [ ] (6.9) tal como na Eq. (6.6) de acordo com a Eq. (6.8). Donde, em geral, tem-e n z a ( ζ) ( ζ) d. (6.) A Eq. (6.6) e (6.8) têm um ignificado imortante: ara valore elevado do ganho da EDFA (i.e., ara >> ), o valor médio de fotõe gerado ela ASE correonde à amlificação de n fotõe. Aim, n rereenta um ruído equivalente à entrada. 9

31 uando e verifica uma total inverão da oulação tem-e e ρ. Então, de acordo com a Eq. (6.8), tem-e n. eta condiçõe, a otência média de ruído, atendendo à Eq. (6.7) e ara, erá P ( ) f h f. (6.) Conclui-e, dete modo, que o ruído aociado à ASE é mínimo quando e verifica uma total inverão de oulação. como endo o cao geral em que n n define-e um factor de ruído equivalente à entrada n eq. (6.) Logo, de acordo com a Eq. (6.9) e (6.), tem-e n eq z a ( ζ) ( ζ) dζ. (6.3) Portanto, atendendo à Eq. (6.3) e (6.3), o ruído rovocado ela ASE erá n. eq Define-e o factor de ruído F n da EDFA como o quociente entre a relação inal-ruído à entrada e a relação inal-ruído à aída. Motra-e que, na generalidade do cao, e tem + F n. (6.4) Donde, ela Eq. (6.) e (6.4), vem F n eq +. (6.5) n 3

32 ote-e que, ara >>, e tem neq n, de acordo com a Eq. (6.) e (6.3). Pelo que, nea circuntância, F n n. Aim, memo no cao de total inverão da oulação, o valor mínimo do factor de ruído é F. n 3

33 Bibliografia E. Deurvire, Erbium-Doed Fiber Amlifier (ew Yor: Wiley, 994), Cha. -3. Einaron, Princile of Lightwave Communication (Chicheter: Wiley, 996), Cha. 7 C. R. ile and E. Deurvire, Modeling Erbium-Doed Fiber Amlifier, Journal of Lightwave Technology, vol. 9,. 7-83, Feb. 99. P. Agrawal, Alication of onlinear Fiber Otic (San Diego, CA: Academic Pre, ), Cha. 4 A. Bjarlev, Otical Fiber Amlifier: Deign and Sytem Alication (Boton: Artech Houe, 993). P. Agrawal, Fiber-Otic Communication Sytem (ew Yor: Wiley, nd ed., 997), Cha. 8 L. Kazovy, S. Benedetto, and A. Willner, Otical Fiber Communication Sytem (Boton: Artech Houe, 996), Cha. 5 J. R. Cota and C. R. Paiva, Multichannel Soliton Amlification in Erbium-Doed Fiber Amlifier, Microwave and Otical Technology Letter, vol. 9, , ov. 998 J. R. Cota, C. R. Paiva, and A. M. Barboa, Modified Slit-Ste Fourier Method for the umerical Simulation of Soliton Amlification in Erbium-Doed Fiber with Forward- Proagating oie, IEEE Journal of uantum Electronic, vol. 37,. 45-5, Jan. J. R. Cota, P. M. Ramo, C. R. Paiva, and A. M. Barboa, umerical Study of Paive ain Equalization With Twin-Core Fiber Couler Amlifier for a WDM Sytem, IEEE Journal of uantum Electronic, vol. 37, , Dec. 3