CAPITALIZAÇÃO DE JUROS:

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1 CAPITALIZAÇÃO DE JUROS: POSSÍVEIS EFEITOS DA ADI 2.36 CLOVIS DE FARO* Resuo: Está aida pedete de apreciação fial pelo Supreo Tribual Federal a ADI 2.36, que trata da adissibilidade de haver capitalização de juros e prazos iferiores a u ao. E sedo acolhida, as istituições fiaceiras serão copelidas a laçar ão do regie de juros siples. A par de icosistêcias fiaceiras, ostra-se que o resultado pode ser egativo para os toadores de crédito. Palavras-chave: Aortização. Juros siples. Juros copostos. JEL: K34, E4, E5 Brad evaluatio: a arketig ad accoutig atter Abstract: A fial decisio by the Brazilia Supree Court whether or ot the fiacial istitutios ay ake use of copoud iterest for tie itervals shorter tha oe year is still pedig. It is show that, cotrary to ituitio, the cosequece of the adoptio of siple iterest ay tur out to be detrietal to borrowers. Key-words: Aortizatio. Siple iterest. Copoud iterest. JEL: K34, E4, E5 * Professor Titular da Escola Brasileira de Ecooia e Fiaças (EPGE/FGV). INTRODUÇÃO E istigate artigo de Doigues (20), que aida peraece uito relevate e atual, e e que se faz uso da alegoria sibolizada pela espada de Dâocles, soos alertados para possíveis efeitos da Ação Direta de Icostitucioalidade (ADI) 2.36, que foi proposta o já logíquo ao de 2000, pelo atigo Partido Liberal. Tal ADI 2.36, que cotiua pedete de defiição por parte do Supreo Tribual Federal (STF), diz respeito ao artigo 5º da Medida Provisória (MP) /200, que estabelece: Art. 5º. Nas operações realizadas pelas istituições itegrates do Sistea Fiaceiro Nacioal, é adissível a capitalização de juros co periodicidade iferior a u ao. Ou seja, e outras palavras, aida ão há decisão fial, pois o STF ão cocluiu sua apreciação da atéria, sobre se o chaado regie de juros copostos pode ser epregado e prazos que seja frações do ao. Não etrado aqui o érito da iadequabilidade, e teros de ausêcia de cosistêcia fiaceira, do regie dito de juros siples, e sobre a preseça ou ão de aatociso os fiaciaetos celebrados 9

2 tato segudo a popular Tabela Price (TP), coo de acordo co o Sistea de Aortizações Costates (SAC), o que já foi tratado e trabalhos ateriores (c.f. de Faro, 2009, 203-a, 203-b e 204) o propósito do presete artigo é o de aalisar possíveis cosequêcias do que pode resultar da proibição legal de capitalização esal de juros. 2 PRESTAÇÕES CONSTANTES COM CAPITALIZAÇÃO MENSAL DOS JUROS Especializado a aálise para o caso de prestações costates, característica básica dos cotratos de fiaciaeto celebrados segudo a Tabela Price, cosidere-se o epréstio de valor F, cotratado à taxa aual i de juros copostos, taxa de juros esta que é suposta ser efetiva, co resgate ao logo de aos, ediate o pagaeto de prestações esais e costates. Na hipótese de que, coo estabelecido a MP /200, que aida está sub-júdice, seja aditida a capitalização esal de juros, o valor P de cada ua das 2 prestações esais pode ser deteriado a partir da seguite equação: 2 2 j () j= ( + ) = ( + ) F i P i Equação essa que estabelece a equivalêcia fiaceira, quado se cosidera o fi do prazo cotratual, época, coo data de coparação (data focal), etre o valor F do fiaciaeto e a sucessão das 2 prestações esais, todas iguais a P, e se trabalha co a taxa esal de juros i, equivalete à taxa aual i. Podeos tabé escrever 2 { } ( ) ( ) F + i = P + i i ( ) Etão, tedo presete que ( i) /2 i = + decorre que: /2 P = F + i + i Alterativaete, o que será iportate a aálise adiate apresetada, a equação que expressa a equivalêcia fiaceira etre o valor F do fiaciaeto e a sucessão forada pelas 2 prestações esais, todas iguais a P, pode ser escrita toado a época de cocessão do fiaciaeto, época zero, coo data focal. Nesta evetualidade, trabalhado-se co a taxa esal i, a equação é escrita coo: 2 {( ) } ( ) j= 2 ( ) j ( ) F = P + i = P + i i (2) (3) Cupre destacar que, devido à propriedade de cidibilidade de prazo, que é característica fudaetal do regie de juros copostos, a equação (4) coduz exataete à esa solução que a derivada da equação (). (4) 3 PRESTAÇÕES CONSTANTES SEM CAPITALIZAÇÃO MENSAL DOS JUROS Por outro lado, e sedo decidido, por iposição legal, que se teha de trabalhar segudo os ditaes do chaado regie de juros siples, para cada subperíodo de 2 eses do prazo total de aos, teos, e pricípio, duas distitas possibilidades. 2 Possibilidades essas que, fazedo uso da taxa esal i 2, que é a taxa esal de juros siples correspodete à taxa aual i, reflete a particular data focal que se teha escolhido. 20

3 M < M 2 3. DATA FOCAL NA ÉPOCA Na hipótese de que, aalogaete ao caso da equação (), seja adotada coo data focal a época do pagaeto da últia prestação esal, a equação de equivalêcia fiaceira, deotado por ˆP o valor da resultate prestação esal, passa a ser escrita coo: 2 k F ( i) Pˆ + = + i ( 2 l) 2 ( + i) (5) k= Equação esta que expressa o fato de que, para cada subperíodo de 2 eses, se acuulou, o fi do respectivo subperíodo, o otate, a juros siples e à taxa esal i 2, das correspodetes 2 prestações. Co cada u dos otates assi obtidos, sedo etão acuulados à taxa aual i de juros copostos, até o fi do prazo cotratado de aos. Podeos tabé escrever F ( + i) = Pˆ ( 2 + 5,5i ){( + i) } i (5 ) do que decorre que: {( ) ( ) } P ˆ = i. F 2 + 5,5 i + i 3.. COMPARAÇÃO ENTRE OS VALORES DE P e de P Cofrotado-se as expressões dadas por (3) e por (6), é evidete que tereos P Pˆ. Resta saber, etretato, se, dados F, e i, tereos sepre doiâcia de u valor de prestação sobre o outro. Ates de apresetaros ilustrações uéricas das difereças etre os valores de P e de Pˆ, é oportuo que se itroduza arguetos que os perite cocluir que tereos ˆP < P; se, o que é o caso de iteresse prático, a taxa i for (estritaete) positiva. 3 Isso será feito co base o fato de que, cotrariaete ao que poderia ser esperado, por se afigurar coo cotraituitivo, o valor acuulado o regie de juros siples a ua dada taxa i de juros, supera o que se acuularia o regie de juros copostos, à esa taxa i, o caso de prazos fracioários. Preliiarete, co base a esa iterpretação fiaceira que os levou a escrever a relação (5), se for calculado o otate de cada cojuto de 2 prestações esais, cosiderado a taxa esal equivalete de juros copostos i, e aplicar os resultates otates, à taxa aual i, até o fi do prazo cotratual de aos, a equação () pode ser coveieteete reescrita coo: Cofrotado-se as relações (5) e (7), fica evidete que a difereça etre os valores de P e de Pˆ é devida a cosiderar-se juros copostos ou juros siples, à esa taxa aual i, para o cálculo dos otates de cada cojuto de 2 pagaetos esais. Motates esses cujas respectivas expressões, o caso de pagaetos uitários, são e 2 2 F i P i i k = 2 l ( + ) = ( + ) ( + ) 2 { ( 2 l) 2} (. l 2) M = + i = + + i ˆ Para cocluir-se que M < M2, basta coparar, paral sedo qualquer u dos prieiros úeros aturais, as parcelas hoólogas k l l 2 l 2 ( ) ( ) ( ) M = + i = + i = + + i (6) (7) (8) (9) 2

4 Y e = ( + i) l 2 Y = ( + i) l 2 Y2 = + i. l 2 Ora, iterpretado l coo variável cotíua o itervalo [0,2], e cosiderado as duas prieiras derivadas de Y co a relação a l 4, costata-se que a fução Y é crescete e covexa, ao passo que a fução Y 2 é crescete e liear. Por coseguite, observado que Y = Y 2 =, se l = 0, co Y = Y 2 = + i, se l = 2, coo a corda está sepre acia do arco de ua fução covexa, te-se que ( + i) l /2 < + i.l/2, para l =,2,..., Cosequeteete M < M2, o que iplica que se teha ˆP < P COMPARAÇÃO NUMÉRICA Para gáudio dos que cosidera que o regie de juros copostos é abusivo, coclui-se que, dados F,, e aos, e sedo i ua taxa efetiva aual, suposta positiva, a evetual proibição de capitalização de juros e prazos iferiores a u ao poderá levar a que se teha u eor valor de prestação esal para o utuário. Isso, etretato, deve ser ressaltado quado se adota a época coo data focal ao escrever-se a equação de equivalêcia fiaceira, etre o valor F do fiaciaeto e a sucessão de 2 pagaetos esais iguais a ˆP. Ates de passaros a aalisar as cosequêcias fiaceiras, especificaete quado da apuração de saldos devedores, afigura-se coo iteressate apresetar ilustrações uéricas das difereças etre P e P ˆ. Observado que { ( ) ( )} 2 (0) P / Pˆ = + i 2 + 5,5i i (2) relação esta que ão depede do prazo cotratual, a Tabela I apreseta os valores da razão cojuto represetativo de taxas auais de juros. Tabela I - Razão ˆ P P i (%) P Pˆ i (%) P Pˆ i (%) Fote: Elaborada pelo autor. ˆ P P (), , , , , , , , , ,00028, , , , , , , , , , , ˆ P P, para u A Tabela I evidecia que as difereças uéricas etre P e Pˆ, que aueta co a taxa aual de juros i, são relativaete pequeas. Assi, por exeplo, se fixaros F = R$ ,00, = 20 aos, e i = 2% 22

5 ao ao, fazedo uso das relações (3) e (6), tereos P = R$.058,62 e Pˆ = R$.057,49, respectivaete, cuja razão é exataete igual ao valor apresetado a Tabela I. Ou seja, para i = 2% ao ao, o valor da prestação costate, obtida quado se adite capitalização de juros e frações do ao, será soete 0,068% superior àquele obtido quado ão se adite a capitalização de juros e frações do ao. Isso, qualquer que seja o úero de aos do prazo cotratual. Sedo que, eso o caso extreo cosiderado, co a elevada taxa de juros aual de 40%, o acréscio de P e relação a ˆP é iferior a %. P 3.2 DATA FOCAL NA ÉPOCA ZERO: O REVERSO DA MEDALHA Cosidereos agora a situação ode seja estipulado que a equação de equivalêcia fiaceira etre o valor F do fiaciaeto e a sucessão das 2 prestações esais, que passareos a deotar ter o valor P, seja escrita toado a data de cocessão do fiaciaeto, época zero, coo data focal. E tal evetualidade, que pode ser etedida coo elhor represetado a operação fiaceira e questão, cada cojuto de 2 prestações esais será cosiderado co base o correspodete valor atual, o iício de cada u dos aos do prazo do epréstio, calculado o regie de juros siples à taxa esal i/2. Ou seja, deveos ter P coo solução da seguite equação: 2 k F = P ( + i. l 2) ( + i) (3) k= ou 2 ( ) (. l 2) ( ) F = P + i + i + i i Do que decorre que 2 P i. F ( i. 2) = i ( i) + l + + (3 ) (4) 3.2. COMPARAÇÃO ENTRE OS VALORES DE P e de P Para fis de coparação etre os valores P e de P, é coveiete que a equação (4) seja reescrita de odo aálogo ao que fudaetou a equação (3). Ou seja, trabalhado-se co o valor atual, à taxa esal de juros copostos i, de cada cojuto de 2 prestações esais, te-se que 2 F = P + i + i k= ou 2 l 2 F = P ( + i) ( + i) { ( + i) } i (4 ) Deste odo, fica evidete que a difereça etre os valores de P e de P é devida soete à difereça etre os valores atuais dos cojutos de 2 prestações esais, respectivaete dados por: 2 ( ) l 2 V= + i V e 2 ( ) = + l ( ) ( ) 2 i l k (4 ) (5) 23

6 V 2 2 = + ( i. l 2) Ora, para l =,2,...,, já vios que l ( ) 2 (. l 2) Y = + i < Y = + i 2, sedo abos positivos Logo: Y = 2 i l + > Y = + i. l 2 V > V ( ) ( ) 2 2 Cosequeteete, tereos P < P. Ou seja, cotrariaete ao que parece ser o objetivo dos propoetes da proibição da capitalização de juros co periodicidade iferior a u ao, tereos prestações aiores do que as que seria obtidas a ausêcia da proibição. E outras palavras, o tiro sairia pela culatra. (6) COMPARAÇÃO NUMÉRICA Do eso odo que o caso da adoção da época coo data focal, é iteressate que se apresete ilustrações das difereças uéricas etre os valores das prestações P e P. Observado que 2 { ( ) } ( ) (. 2) 2 P P = + i + i + i l (7) expressão que ão depede do úero de aos do prazo cotratual do fiaciaeto, a Tabela II apreseta os valores da razão P P, para o eso cojuto de taxas auais de juros que foi cosiderado a Tabela I. Tabela II - Razão P P i (%) P P i (%) Fote: Elaborada pelo autor. P P i (%) P P, , , , , , , , , ,00027, , , , , , , , , , , Aalogaete ao caso ode se adota a data do últio pagaeto, época, coo data focal, a Tabela II os ostra que as difereças uéricas etre P e P ão são de grade ota. E especial, o caso, já visto, ode i = 2% ao ao, F = R$ ,00 e = 20 aos, quado P = R$.058,62 e Pˆ = R$.057, 49, tereos P = R$.059, 75. O que iplica e que se teha P / P =, Razão esta que, a eos de erros de aproxiação, é o resultado apresetado a Tabela II; e que, por coicidêcia fortuita, é igual ao que, para a esa taxa aual de 2% a.a, é apresetado a Tabela I para a razão P Pˆ ˆ. Sedo que, e particular, para o caso da aior taxa aual cosiderada, 40%, P ão chega a ser % superior ao valor de P. 24

7 Etretato, frise-se, a questão ão é o valor da difereça, as si seu setido. 4 A QUESTÃO DA DETERMINAÇÃO DO SALDO DEVEDOR Ua questão de iportate caráter prático, que se faz presete tato o caso de aortizações extraordiárias coo a evetualidade de liquidação atecipada do débito, é a de deteriação do saldo devedor. Coo já ateriorete arguetado (de Faro, 203-b e 204), u sistea de aortização de débitos só é fiaceiraete cosistete se o estado da dívida (saldo devedor ou débito reaescete), puder ser idistitaete calculado segudo qualquer u dos três étodos clássicos de apuração do saldo devedor: os chaados étodos retrospectivo, prospectivo e de recorrêcia. 5 Ora, coo será aqui evideciado, a evetual proibição de que haja capitalização de juros co periodicidade iferior a u ao coduzirá, seja adotado a data ou a data zero coo datas focais, a u sistea fiaceiraete icosistete. Para tato, fareos uso do pricípio básico que os diz que o que se deve hoje é igual ao que se devia ateriorete, acrescido de juros à taxa pactuada, deduzido do que já se pagou. Foralete, deotado por S k o saldo devedor o istate iediataete posterior ao de pagaeto da k-ésia prestação, aqui geericaete deotada por P k, sedo iˆk a taxa de juros relativa ao período copreedido etre as épocas k - e k, o pricípio básico acia euciado é traduzido a seguite relação: P % ( ˆ ) S = + i S P k k k k Sedo que, recursivaete, se te: ( ˆ ) S = + i S P k + k + k k + ( ˆ )( ˆ ) ( ˆ ) = + i + i S + i P P k+ k k k+ k k + Ora, a expressão acia evidecia que a apuração do saldo devedor, para que se teha cosistêcia fiaceira, há que ser efetuada segudo o pricípio de juros copostos. Resta, etão, saber qual a taxa de juros que deve ser epregada para fis de apuração do saldo devedor. Coo estaos iteressados o caso ode as prestações esais são costates, fixeos coo i ˆ a taxa esal costate que deve ser utilizada para fis de deteriação do saldo devedor. Neste caso, a aplicação reiterada da relação (8) estabelece que o saldo devedor, que deve ser ulo, logo após o pagaeto da últia prestação, seja escrito coo: ( ) % ( ) 2 2 S = F + iˆ P + iˆ iˆ 2 ode represetaos por P % o valor da prestação esal costate, e, lebreos, é o úero de aos do prazo do fiaciaeto. Cosiderado, a título de ilustração, o caso já estudado ode F =R$ ,00, = 20 aos e i = 2% ao ao, exaieos as duas possibilidades de escolha da data focal. (8) (9) (20) a) Data focal o fi do prazo cotratual. Nesta evetualidade, teos a prestação esal costate P% = Pˆ = R$.057,49. Do que decorre que 25

8 o saldo devedor o fi do prazo cotratual de 240 eses será: S = iˆ.057,49 + iˆ iˆ 240 ( ) ( ) Se arbitraros i ˆ = 2% 2 = % ao ês, ter-se-á S240 = , ,66 = R$ 43.27,7 Se, por outro lado, arbitraros iˆ = i = ( + 0,2) 2 = 0,948879% a.., o saldo devedor fial será S240 = , , 60 = R$.032,72 Ou seja, quer trabalheos co a taxa efetiva esal de juros copostos de 0,948879%, ou co a taxa esal proporcioal de % a., ão tereos aulado o saldo devedor ao pagar a últia prestação cotratual. 6 b) Data focal a época de cocessão do fiaciaeto. Coo a prestação esal costate passa a ser P% = P = R$.059,75, tereos S ˆ 240 = ,37.048,363,37 = R$ ,00, se i = % a.. Ao passo que tereos S240 = , 93 = R$.026, 6, se i ˆ = 0,948879% a.. Ou seja, esta últia evetualidade, cocluiríaos que se pagou ais do que se devia. 4. A TAXA DE JUROS IMPLÍCITA Os resultados obtidos a deteriação do saldo devedor evidecia que, e qualquer ua das duas possibilidades para a fixação da data focal, ão se cosegue ua apuração cosistete quado se parte da taxa efetiva cotratual de 2% ao ao. Para que se preserve a cosistêcia fiaceira, para fis de apuração do estado da dívida, deve ser feito uso do coceito da taxa iplícita. Isto é, ua vez deteriado o valor da prestação esal costate, seja ele ˆP se for estipulado data focal coo a do fi de prazo cotratual, ou P se a data focal especificada for a de cocessão do fiaciaeto, a taxa esal iˆ deve ser a taxa itera de retoro do resultate fluxo de caixa. Taxa itera de retoro essa que é trivialete obtida ediate o uso de ua calculadora fiaceira. Assi, o caso do osso exeplo, deveos ter i ˆ = 0,947505% ao ês, se for estipulado que P% = Pˆ = R$.057,49. Sedo que deveos ter i ˆ = 0,950245% a.. se P% = P = R$.059,45. E abos os casos, ter-se-á, por costrução, que o saldo devedor será aulado quado do pagaeto da últia prestação cotratual. O que iplica que seja atido o pricípio de cosistêcia fiaceira. 5 CONCLUSÃO Visto ser o regie de juros siples iadequado o caso de aortização de dívidas ediate o pagaeto de ais de ua prestação, pois que, por carecer da propriedade de cidibilidade do prazo, ebute isaáveis icosistêcias fiaceiras, seria de uito bo alvitre que o Supreo Tribual Federal ão veha a acolher a ADI Se, etretato, for vitoriosa a tese de que ão possa haver capitalização de juros co periodicidade iferior a u ao, que seja de cohecieto cou as possíveis cosequêcias. Preliiarete, que tabé veha a ser estipulada a data focal para o estabelecieto da equação que expressa a equivalêcia fiaceira etre o valor do fiaciaeto e a sucessão de prestações. E sedo estabelecido que, coo ais lógico, a data focal seja a de cocessão do fiaciaeto, o resultado será cotrário ao que parece ser a otivação dos propoetes da proibição da capitalização de juros e períodos iferiores ao ao. 26

9 Isso porque, coo aqui deostrado, os valores da prestação esal costate resultarão superiores aos que seria obtidos a hipótese de auteção do regie de juros copostos. De qualquer odo, a proibição de capitalização de juros e prazo iferiores ao ao terá coo cosequêcia sisteas de aortização de dívidas que, salvo a adoção do coceito de taxas de juros iplícita, serão fiaceiraete icosistetes. NOTAS EXPLICATIVAS Observe-se que a equação (4) pode ser obtida ultiplicado-se abos os ebros da equação () pelo fator ( ) ( ) 2 + i = + i 2 Efetivaete, o úero de possibilidades é ifiitaete grade. Pois que a data focal pode ser arbitrariaete estipulada coo sedo qualquer poto a reta. 3 Trivialete, te-se que Pˆ = P se i = 0 l 2 l 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ' " 2 4 Y = + i. log + i 2 e Y = + i. log + i 44 5 Para o coceito de cada u desses três étodos de apuração do saldo devedor, veja-se, por exeplo, de Faro e Lachteracher (202, p ). 6 Ao passo que, trabalhado-se co P% = P = R$.058,62 e, i = 0,948879% tereos, a eos de erros de aproxiação, efetivaete liquidado o débito ( S240 = R$ 3,06). REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS DOMINGUES, Gabriel Deetrio. Capitalização dos Juros por Istituições Fiaceiras: ua Aálise do Paoraa Legislativo e Jurisprudecial, Revista do BNDES,. 35, ju. 20, p FARO, Clovis. Aatociso: o Direito (a Justiça) e a Mateática Fiaceira, Revista de Direito do Tribual de Justiça do Estado do Rio de Jaeiro, v. 80, jul./ago./set. 2009, p Colaboração de Sergio Guerra. FARO, Clovis. Ua Nota sobre Aortização de Dívidas: Juros Copostos e Aatociso, Revista Brasileira de Ecooia, v. 67,. 3 jul./ set. 203, p FARO, Clovis. Aortização de Dívidas e Prestações Costates: ua Aálise Crítica, Esaio Ecoôico da EPGE,. 746, out FARO, Clovis. Aortização de Dívidas: o Caso de Prestações e Progressão Aritética, Esaio Ecoôico da EPGE,. 749, ja FARO, Clovis e LACHTERMACHER, Gerso. Itrodução à Mateática Fiaceira. Rio de Jaeiro/São Paulo: FGV/Saraiva,