7 Apreçamento de Derivativos

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1 7 Apreçameno de Derivaivos Nese capíulo os resulados aneriores são combinados em dois modelos de apreçameno de opções usando apenas informações da série hisórica da curva de juros sem incorporar a volailidade implícia negociada em mercado. No Brasil as duas principais classes de opções de renda fixa são negociadas sobre fuuros de IDI e fuuros de DI. O primeiro ipo como assinalado por Almeida e Vicene 006 corresponde a uma opção asiáica com valor erminal dependendo da rajeória da axa de curíssimo prazo. O segundo ipo é uma opção sobre axas a ermo de juros e pode ser avaliado por méodos mais amplamene usados em economias cenrais. Por sua imporância como insrumeno de hedging e gesão aiva diversos modelos de apreçameno foram proposos para as duas classes de opções no passado recene: Neo e Pereira 000 obiveram uma fórmula fechada para opções de IDI usando o modelo de Vasicec 977. Ainda sobre opções de IDI Glucksern 00 e Almeida e al. 003 esaram aplicações com o modelo de Hull-Whie; Barbachan e Ornelas 003 usaram o modelo CIR Cox e al. 985 e Almeida e Vicene 006 cobriram o apreçameno via esruura de modelagem afim proposa por Duffie e Kan 996. Em Barbedo e al. 00 foi esada a aderência a mercado do apreçameno de opções de IDI aravés de um modelo mulifaorial HJM com calibragem de volailidades hisóricas. Para as opções sobre fuuros de DI Silva 997 propôs um modelo de apreçameno usando o modelo BD Black e.al 990 mas sua comparação com dados de mercado foi limiada pela baixa liquidez das opções de DI na época do esudo. Focamos nesa seção o apreçameno de opções sobre fuuros de DI um ipo menos explorado pela lieraura local usando duas abordagens: uma variane do modelo proposo por Brace e al. 997 conhecido por BGM e um modelo usando elemenos de eoria da Informação via maximização de enropia. Esse segundo modelo será subdividido em duas formas de paramerização uma delas incorporando a evolução hisórica do preço de risco brasileiro incluindo volailidade curose e assimeria. As definições básicas referenes ao capíulo são dadas na próxima seção.

2 9 7. Definições Básicas As opções esadas são negociadas sobre fuuros de DI na verdade sobre um segmeno a ermo sineizado por dois conraos fuuros. Um fuuro de DI é um conrao virual em que nada é enregue no vencimeno e o fluxo de caixa é realizado apenas aravés dos ajuses diários com preço de vencimeno em equivalene a ponos - com muliplicador para a conversão em R$ vigene em 0. Chamando o preço em de um fuuro de DI de no conexo do capíulo para não misurarmos a noação com o íulo idealizado B que paga uma unidade moneária no vencimeno emos: r onde r é a axa anualizada com vencimeno em negociada no mercado fuuro de DI seguindo a convenção de capialização composa e dias úeis. O pagameno/recebimeno de ajuses é feio aravés da diferença de preços de mercado com sinal respeiando posições compradas ou vendidas em axa muliplicada pelo número de conraos negociados. Para eviar o problema de decaimeno no empo os preços equivalenes ao ajuse de fechameno do dia feio por um call pós-mercado f são converidos em preços de aberura do dia seguine aravés da muliplicação pela axa inerbancária de a curíssimo prazo DI ou CDI na erminologia de mercado. Assim: a f 5 DI 09 Se o CDI em não for igual à axa de fechameno r f a posição erá um cuso de carregameno posiivo ou negaivo na passagem de um dia para o ouro. Uma opção sobre fuuros de DI é uma opção endo como objeo de negociação uma axa a ermo f balizada pelos conraos fuuros de DI negociada em para o segmeno fuuro compreendido enre e.

3 9 Desconsiderando diferenças de reinvesimeno enre fluxos pagos no vencimeno e fluxos com ajuses diários a equação 99 pode ser reescria direamene via preços de fuuros de DI: Para ransformarmos em axa efeiva: 5 F 0 Fe Dado um srike K expresso em axa anualizada podemos considerar a opção sobre fuuro de DI como uma opção sobre um íulo virual vencendo em com pagameno em. Lembrando a relação inversa enre preços e axas o comprador de uma opção de compra sobre fuuros de DI receberá no vencimeno : ODI V 5 5 K r ou ODI V 3 5 K com a noação radicional [ x] max x;0. As opções sobre fuuros de DI são negociadas em diversos vencimenos sempre casados com os fuuros de DI que vencem no primeiro dia úil de cada rimesre e nos rês meses subsequenes à daa correne. A diferença - deermina o ipo da opção: 3 meses = ipo I; 6 meses = ipo II meses = ipo III; > meses empo cusomizado = ipo IV. As definições acima permiem enramos direamene na modelagem esudada para o apreçameno das opções.

4 93 7. Modelo BGM Brace Gaarek & Musiela Modelos de mercado são assim chamados porque permiem o apreçameno de derivaivos sob a fórmula de Black & Scholes 973 ou de Black 976. A simplicidade de paramerização de B&S em um apelo muio grande enre raders endo se ornado um modelo padrão em mesas de operação. Com a sofisicação e ampliação dos mercados o modelo de B&S coninuou a ser usado na práica mesmo perdendo seus fundamenos eóricos no apreçameno de alguns aivos base. Como exemplo axas a ermo discreas foram apreçadas pelo modelo em paricular o exremamene líquido mercado de derivaivos de LIBOR a axa inerbancária londrina negociada em vários vencimenos sem uma jusificaiva própria para que a axa de descono livre de risco fosse usada de forma esocásica e ao mesmo empo deerminísica na sua formulação final. Migrando para o ambiene HJM uma especificação de volailidade consane por pares vinculada a axas discreas leva a resulados explosivos anes do vencimeno. A pesquisa eórica foi praicamene forçada a fechar a lacuna com a práica endo sucesso aravés principalmene dos rabalhos de Milersen e al. 997 Brace e al. 997 e Jamshidian 997. Os auores chegaram por vias diversas denro e fora da especificação HJM a um resulado que jusifica eoricamene o uso da fórmula de Black para o apreçameno de axas a ermo discreas sob a medida erminal prazo de vencimeno da pona longa da axa a ermo. A simplicidade da mudança de numerário e de medida subsiuindo a evolução da axa de curo prazo pelo preço do íulo vencendo em como faor de descono - esconde um processo basane rabalhoso de garania de exisência e unicidade da solução. Sob a nova medida a axa a ermo segue uma dinâmica log-normal sem endência: df F dw 4 O resulado 4 será usado para o apreçameno de opções sobre fuuros de DI. O mercado nacional usa exensivamene o modelo de Black para calcular opções de renda fixa sobre DI e IDI. Evenualmene o que esá sendo inserido na fórmula original como volailidade não deve ser inerpreado em senido

5 94 lieral já que o parâmero serve mais como uma forma de comunicação enre praicanes do que como uma mérica bem definida de risco sobre o aivo de ineresse. Nese esudo em paricular sob o modelo BGM a volailidade recupera seu senido próprio. Volando à equação sob a medida neura ao risco para uma opção de compra com pagameno em emos: ODI r K V K K K Fe 5 K Fe K onde 5 K é a axa efeiva do srike Ke Podemos usar a equação 5 direamene no modelo de Black: ODI V 5 K Black Ke Fe 6 Black Ke Fe = d Ke d Fe 7

6 95 com d Fe ln Ke onde pode ser inerpreada como a variância oal da axa a ermo efeiva enre e. Um problema que requer aenção diz respeio à inerpolação dos vérices da curva à visa para o cálculo dos segmenos a ermo. A variação da curva segmenada geralmene é mal condicionada em relação à curva à visa. Como exemplo se a mariz de covariância da curva a ermo segmenada for visualizada aravés da Análise de Componenes Principais possivelmene aparecerão auoveores fanasmas ou seja muio diferenes dos idenificáveis como nível inclinação curvaura e dupla curvaura com auovalores enre os quaro mais alos. A curva a ermo é muio sensível a pequenas variações da curva à visa gerando algum nível espúrio de volailidade nos segmenos esudados. Como forma de miigar o problema foram esadas inerpolações por axas a ermo consanes por splines cúbicas e splines quáricas. Nenhuma das rês abordagens apresenou resulados significaivamene melhores que as ouras. Uma alernaiva adicional seria a exração das volailidades a ermo direamene da curva à visa usando um méodo linear de proporcionalidade de duraion. Enreano pela premissa de log-normalidade da axa a ermo efeiva e a impossibilidade de esimação da correlação enre as axas em e a inerpolação da curva à visa deveria preceder o cálculo de volailidades porano as axas dos vérices de ineresse foram esimadas manendo o méodo de splines cúbicas. A variância dos log reornos proporcionais da axa efeiva enre e foi calculada para odos os i dias da dimensão espacial aé dada uma janela de ervações emporais. A volailidade oal inserida no modelo de Black para uma daa foi calculada como: i 8 i O apreçameno de opções usando um modelo de mercado serviu de base comparaiva para a abordagem proposa na próxima seção.

7 Apreçameno por Maximização de Enropia A eoria da Informação I fornece criérios basane inuiivos de esimação de disribuições de probabilidade desconhecidas ou apenas parcialmene inferidas. No conexo desa ese podemos usar a I para incorporar a evolução do preço de risco da EJ de uma forma naural baseada em mercados incompleos. O uso do modelo de Black & Scholes via mudança de medida para o caso de axas a ermo na seção anerior ilusra a revolução ocorrida na área de Finanças Quaniaivas após os arigos originais de 973 incluindo o de Meron. A inrodução do princípio de não-arbiragem garaniu a exisência de medidas neuras ao risco reduzindo o apreçameno de derivaivos ao descono de fluxos fuuros por axas livres de risco. Alguns problemas surgem em mercados incompleos mesmo que informacionalmene eficienes. Primeiro a garania de exisência não é acompanhada por unicidade ou um méodo definido de consrução da medida. Um segundo pono exremamene relevane para esa pesquisa se refere à definição e mensuração da incereza. No escopo de B&S a incereza ou risco é associada à volailidade segundo o princípio básico de que apenas a quanidade de risco é relevane para a precificação de derivaivos e não o grau de aversão a risco presene nos mercados. No enano para a previsão de risco fuuro é muio difícil separar as duas medidas risco e preço de risco especialmene em um ambiene em evolução em que os preços de risco são varianes no empo como o mercado brasileiro de renda fixa. Por isso a I foi usada para incorporar o processo hisórico do preço de risco em um conjuno de informações definido a priori buscando maximizar o grau remanescene de incereza da disribuição usada para apreçameno. O conceio de Maximização de Enropia é adequado ao nosso propósio sendo explicado brevemene a seguir.

8 Enropia de Shannon A definição de enropia remona a conceios de física clássica com aplicações à eoria ermodinâmica. No enano foi no âmbio da eoria da Informação que a enropia ganhou uma base sólida de ligação com o nível de incereza de uma disribuição. No arigo original de Shannon 948 republicado em 949 ano indicado na bibliografia uma variável x pode assumir n valores discreos com uma probabilidade p i associada a cada valor. Shannon procura deerminar uma quanidade H p... p que meça de forma única o grau de n incereza represenado pela disribuição oal. A parir de rês condições de consisência ele consegue provar a unicidade de sua medida dada por: H p... p K p ln p 9 n Inuiivamene a maximização da quanidade acima represena o nível mais alo de ignorância a respeio de uma disribuição após considerarmos um conjuno apriorísico de informações sobre a mesma. O uso da enropia como medida de incereza em finanças foi discuido por hiel 967 e Arrow 97 em um conexo de equilíbrio econômico. Aaques mais práicos volados ao apreçameno de derivaivos foram sugeridos por Suzer 996 renda variável Suzer e Chowdhury 999 renda fixa e Gulko 999 renda variável; e 00 renda fixa. Suzer busca minimizar a pseudo disância criério de informação de Kullback-Leibler enre a disribuição real dos aivos e a disribuição neura ao risco o que para um conjuno equiprovável de preços ou reornos equivale a maximizar a enropia de Shannon. Aplicando ao apreçameno de íulos de renda fixa Suzer acumula um caálogo hisórico de hisogramas para pinçar a disribuição mais represenaiva no conexo vigene de mercado. Embora seguindo a heurísica de Suzer a abordagem de Gulko esá mais próxima dese rabalho embora ainda com diferenças fundamenais. O auor maximiza a versão conínua de 9 fornecendo o primeiro e o segundo momenos da disribuição além da resrição naural de densidade recuperando a poseriori a medida neura ao risco em uma solução fechada de apreçameno. No i i i

9 98 presene esudo serão considerados os quaro primeiros momenos de uma composição de duas disribuições reornos de corpo e cauda da EJ e incorporado o criério de neuralidade ao risco no conjuno apriorísico de informações. A solução de apreçameno é dada por um méodo numérico Descrição do Processo Na seção 7. observa-se que as opções sobre fuuros de DI podem ser calculadas sobre a evolução de axas a ermo ou sobre a evolução de preços dos fuuros. Considerando uma opção de compra sobre fuuros de DI lembrando que o objeo de negociação é axa no segmeno a vamos definir o preço equivalene da axa a ermo chamado f como: f 0 Definindo uma janela de ervações diárias serão definidos logreornos oais de preço equivalene da daa a assumindo uma disribuição invariane no empo. Para a i-ésima observação: S i f i ln f i i O uso do logarimo permie ampliar a disribuição de reornos oais sobre o espaço de esado. Com apenas os dois primeiros momenos definidos usando resulados esabelecidos a parir da definição de máxima enropia - eríamos uma disribuição Gaussiana de reornos e log-normal para preços equivalenes. Obido o veor de reornos oais foram segregados a cauda e o corpo do hisograma a parir de um parâmero α exaamene como feio no capíulo 6. Assim vamos achar a média de corpo e cauda ; volailidade de corpo e c e

10 99 cauda ; c e e assimeria e definida como a diferença enre a média de cauda e a média da disribuição oal. A implemenação foi dividida em duas pares: uma usou os esimadores enconrados na janela de escolhida. A segunda alerou os esimadores de volailidade e assimeria considerando a evolução hisórica dos preços de risco no conjuno apriorísico. O racional usado para o ajuse de faores de risco foi o de que preços de risco varianes podem ser indicadores anecedenes relevanes para a quanidade de risco fuura refleidos direamene na volailidade implícia das opções. Aqui devemos lembrar que o modelo de B&S refere-se apenas ao preço de volailidade e que sua premissa de homocedasicidade é excessivamene simplificadora. Mesmo modelos que buscam conornar o problema como os de volailidade esocásica Hull e Whie 987 que sugerem a variância média como parâmero consisene paa o modelo de B&S desconsiderando a evolução do preço de volailidade apresenam resulados dúbios na análise empírica ver Lamourex e Lasrapes 993. Em um mercado com desconinuidades caracerísicas como o de renda fixa brasileiro a liquidez dos derivaivos segue os alos e baixos do regime de volailidade vigene. O risco de um lançador de opções ficar impossibiliado de desaricular suas posições squeeze em cenários de esresse parece corroborar a impossibilidade de hedging eficiene enre o mercado de opções e o de fuuros. Diversos auores esudaram as implicações de mercados imperfeios. Smih e Whielaw 009 analisaram a relação causal cruzada enre preço e prêmio de risco e seu caráer cíclico. Duare 004 e Cheridio e al. 007 sugerem a incorporação indirea da evolução do preço de risco no veor de esados da classe de modelagem afim proposa por Duffie e Kan 996. Karazas e al. 99 conclui que em mercados incompleos - operacional ou informacionalmene - a função uilidade dos invesidores vola a er um papel cenral no apreçameno de aivos e derivaivos. No presene esudo a exisência de rês faores de risco e não apenas da volailidade com apreçameno dinâmico a limiação de observações da base disponível e a janela uilizada que capura um único ciclo econômico aé 008 orna inviável qualquer enaiva de modelagem empírica do processo subjacene aos preços de risco ou de uma forma funcional de uilidade variane no empo. No

11 00 enano o problema que se coloca para o apreçameno de derivaivos é o mesmo levanado por Suzer: qual o hisograma de reornos mais adequado para o conexo de mercado correne? O méodo de Suzer de comparar axas a ermo fuuras com axas realizadas períodos à frene conando a parir da daa hisórica de apuração coloca algumas dificuldades na ransposição para o mercado local. Primeiro a janela de apuração fica parcialmene deerminada pela janela da axa a ermo reduzindo a flexibilidade do processo. Segundo em uma década de redução conínua da axa básica mesmo que inercalada por períodos de apero moneário a comparação de axas a ermo esperadas com realizadas disorceria significaivamene o perfil dos hisogramas. Nesa pesquisa foi fixado um período de referência sendo calculado como muliplicador dos esimadores de risco a razão enre os preços de risco da janela correne e os do período usado como base. Na forma proposa a janela de observações fica desacoplada da janela da axa a ermo e o caálogo de hisogramas é subsiuído por ajuses baseados na evolução hisórica dos preços de risco. O méodo de deerminação dos ajuses ainda em um alo grau de subjeividade ligado à escolha do período referencial para os preços de risco iniciais mas ilusra a flexibilidade do modelo enrópico. No rabalho o ano escolhido para o cálculo dos preços base de risco foi o de 003 em que a incereza gerada pela crise de ransição políica ainda esava sendo capurada pela janela hisórica de observações mas os emores iniciais de mercado sobre a condução da economia haviam sido parcialmene dissipados. Para esimação dos preços de risco foi usado o mesmo processo do capíulo 6 sob uma janela móvel rimesral. Alguns parâmeros iveram que ser flexibilizados. O inervalo de cauda foi alerado para 095 e a janela de observação para 5 dias úeis. A significância de core dos esimadores foi fixada em 5%. Acima desse valor o muliplicador foi manido em. Um cuidado adicional foi omado com o sinal do muliplicador de assimeria que deve respeiar a relação enre os sinais do período base e da janela recene de apuração. Segue a abela de muliplicadores dos esimadores para cada rimesre:

12 0 abela 3 Muliplicadores dos esimadores de risco rim rim rim 3 rim 4 rim rim rim 3 rim 4 c e e rim rim rim 3 rim 4 rim rim rim 3 rim 4 c e e Os muliplicadores foram usados com um rimesre de defasagem para eviar qualquer anecipação de filragem. Assim foram obidos novos esimadores ' diários de volailidade e assimeria: ' ' c ; e ; e Considerando S a densidade de probabilidade dos reornos oais no espaço emos a densidade neura ao risco obida por maximização de enropia dada pela solução da seguine oimização: argmax Sln S ds sujeia a S ds 3 S S ds cn en 4 S S ds cn cn en en 5 S S ds 3 cn cn cn en 3 en en 6 S S 4 4 ds 6 cn cn cn cn en en en A equação 3 represena a resrição de densidade. Em 4 emos uma aproximação da condição maringal incorporada a priori na oimização. A média en

13 0 da disribuição de reornos oais não pode ser obida da série hisórica mas calculada a cada daa como: f dn ln 8 f i Obida a média de não arbiragem da disribuição e sabendo o valor da assimeria de cauda hisórica podemos calcular direamene as médias de corpo e cauda ajusadas a não arbiragem: dn dn e cn 9 en 30 dn e As resrições 5 a 7 represenam a composição de momenos não cenrados. A mesma oimização foi repeida usando os faores de risco ajusados pelos muliplicadores de preço. A solução de máxima enropia foi calculada por um algorimo descrio no apêndice II. O espaço de reornos foi discreizado e i associado ao veor de probabilidades S. Para uma parição em n reornos o preço da opção de compra sobre fuuros de DI em pode ser represenado por: V ODI exp n i Si exp Si 3 5 K

14 Resulados dos Modelos Os rês modelos definidos foram baizados BGM Enropia e Enropia Ajusada e usaram uma janela de observação de 5 dias. Sua aderência foi esada sobre uma base de opções sobre fuuros de DI compreendendo do período de março de 007 a dezembro de 0. Só foram comparadas opções de compra no esudo por sua maior liquidez. odos os preços foram apurados em mercados de balcão seja por negócios fechados ou por apreçameno via calls de fechameno. Como discuido a maior resrição à comunicação enre o mercado de fuuros DI e o de opções é a fala de liquidez do úlimo. No enano os calls de fechameno e o ajuse da esruura de volailidade feio pelas ponas de mesa mais aivas na negociação de opções de DI reflee oda a movimenação de roca de spreads ao longo do pregão sendo relaivamene represenaivo mesmo quando poucos negócios são fechados no dia. Na base foram considerados odos os vencimenos e srikes de cada série dos ipos I II e III. Foram observadas 55.9 opções no oal anes da filragem inicial. A filragem excluiu da base opções com preços abaixo de 003 para não disorcer a esaísica de erros percenuais e com volailidades implícias acima de 300%. As esaísicas de aderência foram baseadas em erros médio absoluos erros médios percenuais absoluos e percenuais/erros médios de overpricing e underpricing opções calculadas com preço acima e abaixo das obervadas respecivamene. Para a análise de exremos de moneyness razão enre o valor do fuuro e o srike a esaísica se mosrou um indicador mais informaivo do que a pelos alos erros percenuais em opções de baixo valor. Conra opções próximas do dinheiro a recupera sua imporância como indicador comparaivo. As opções foram divididas em prazos para vencimeno e 36 meses ipo I II e III e 0 caegorias de moneyness enre 84% mínimo da base e 55% máximo. O resulado foi um mosaico de 80 abelas que se fossem reporadas inegralmene rariam poucos benefícios analíicos. Porano a pesquisa se preocupou em apresenar resulados chave que ilusrassem as

15 04 caracerísicas básicas de cada modelo e sua aderência ao longo de períodos diversos de esudo. A primeira abela informa os resulados consolidados para a base ineira esudada: abela 4 Esaísica consolidada global BGM Enropia Enropia Aju BGM Enropia Enropia Aju erro médio 3% 40% 3% desvio erro 7% 39% 40% o quaril % 4% % o quaril 34% 84% 56% % overpricing 9% 3% 5% 9% 3% 5% % underpricing 7% 68% 85% 7% 68% 85% erro overpricing % 5% 4% erro underpricing 3% 57% 33% E as abelas segregadas por ipo: abela 5 Esaísica consolidada ipo I.576 BGM Enropia Enropia Aju BGM Enropia Enropia Aju erro médio 7% 3% 8% desvio erro 3% 36% 79% o quaril % 3% % o quaril 44% 57% 35% % overpricing 5% 30% 48% 5% 30% 48% % underpricing 95% 70% 5% 95% 70% 5% erro overpricing 4% 7% 37% erro underpricing 9% 4% 0% abela 6 Esaísica consolidada ipo II BGM Enropia Enropia Aju BGM Enropia Enropia Aju erro médio 5% 38% 6% desvio erro 9% 38% 34% o quaril % 4% % o quaril 4% 79% 4% % overpricing 6% 30% 8% 6% 30% 8% % underpricing 74% 70% 7% 74% 70% 7% erro overpricing 4% 4% % erro underpricing 6% 53% 8%

16 05 abela 7 Esaísica consolidada ipo III BGM Enropia Enropia Aju BGM Enropia Enropia Aju erro médio 0% 43% 35% desvio erro 5% 40% 35% o quaril % 5% 5% o quaril 9% 90% 66% % overpricing 34% 33% 36% 34% 33% 36% % underpricing 66% 67% 64% 66% 67% 64% erro overpricing % 5% 5% erro underpricing 9% 6% 5% BGM: Opções no dinheiro iveram uma esaísica de erros menor no modelo abela 8 Esaísica consolidada; moneyness enre 99% e 0%.595 BGM Enropia Enropia Aju BGM Enropia Enropia Aju erro médio 8% 56% 4% desvio erro 8% % 5% o quaril 6% 4% % o quaril 38% 7% 58% % overpricing 30% % % 30% % % % underpricing 70% 98% 79% 70% 98% 79% erro overpricing 9% 7% 3% erro underpricing 8% 57% 43% A enropia ajusada principalmene para opções ipo I e II - é geralmene mais aderene ao comporameno do smile. Alguns exemplos para prazos curos e longos: abela 9 - ipo I; Prazo 6; moneyness enre 90% e 95% 43 BGM Enropia Enropia Aju BGM Enropia Enropia Aju erro médio 98% 93% 43% desvio erro % 5% 9% o quaril 98% 90% 8% o quaril 99% 98% 65% % overpricing 0% 0% 63% 0% 0% 63% % underpricing 00% 00% 37% 00% 00% 37% erro overpricing NA NA 5% NA NA 46 erro underpricing 98% 93% 8%

17 06 abela 0 - ipo I; Prazo 6; moneyness enre 5% e 5% 74 BGM Enropia Enropia Aju BGM Enropia Enropia Aju erro médio 0% % 0% desvio erro % % % o quaril 0% % 0% o quaril 0% 3% 0% % overpricing 8% 97% 3% 8% 97% 3% % underpricing 8% 3% 87% 8% 3% 87% erro overpricing 0% % % erro underpricing 0% 4% 0% abela - ipo II; Prazo 6; moneyness enre 90% e 95% 7 BGM Enropia Enropia Aju BGM Enropia Enropia Aju erro médio 5% 83% 5% desvio erro 3% 6% 5% o quaril 9% 74% 9% o quaril 8% 96% 7% % overpricing 8% 0% 4% 8% 0% 4% % underpricing 7% 00% 59% 7% 00% 59% erro overpricing 33% NA 63% 534 NA 590 erro underpricing 59% 83% 44% abela - ipo II; Prazo 6; moneyness enre 5% e 5% 843 BGM Enropia Enropia Aju BGM Enropia Enropia Aju erro médio % % % desvio erro % % % o quaril 0% % 0% o quaril % 3% % % overpricing 7% 88% 35% 7% 88% 35% % underpricing 73% % 65% 73% % 65% erro overpricing % % % erro underpricing % % % abela 3 - ipo II; Prazo 4; moneyness enre 90% e 95% 60 BGM Enropia Enropia Aju BGM Enropia Enropia Aju erro médio 44% 7% 39% desvio erro 9% 3% 4% o quaril 3% 64% 0% o quaril 56% 8% 60% % overpricing 0% 0% % 0% 0% % % underpricing 00% 00% 88% 00% 00% 88% erro overpricing NA NA 3% NA NA 563 erro underpricing 44% 7% 44%

18 07 abela 4 - ipo II; Prazo 4; moneyness enre 5% e 5% 50 BGM Enropia Enropia Aju BGM Enropia Enropia Aju erro médio 8% 8% 6% desvio erro 4% 6% 4% o quaril 3% 3% 4% o quaril % 5% 8% % overpricing 0% 9% 4% 0% 9% 4% % underpricing 00% 8% 76% 00% 8% 76% erro overpricing NA 9% % NA erro underpricing 8% % 7% Seria ineressane analisar separadamene os anos de 009 e 00 em que ocorreu uma ransição imporane na condução de políica moneária frene a crises. A mudança de percepção do mercado em relação ao preço da assimeria deveria se refleir em preços mais baixos para opções denro do dinheiro em 009: abela 5 - Esaísica consolidada 009; moneyness enre 5% e 5%.099 BGM Enropia Enropia Aju BGM Enropia Enropia Aju erro médio 6% 3% 5% desvio erro 5% 3% 6% o quaril % % 0% o quaril 0% 4% 7% % overpricing 8% 7% 3% 8% 7% 3% % underpricing 9% 9% 77% 9% 9% 77% erro overpricing 7% % % erro underpricing % 5% 6% Em 00 a significância da curose poderia aumenar o apreçameno de séries longe do dinheiro: abela 6 - Esaísica consolidada 00; moneyness enre 90% e 95%.036 BGM Enropia Enropia Aju BGM Enropia Enropia Aju erro médio 7% 89% 64% desvio erro 6% % 48% o quaril 6% 83% 35% o quaril 84% 98% 85% % overpricing 0% 0% 8% 0% 0% 8% % underpricing 00% 00% 8% 00% 00% 8% erro overpricing NA NA 74% NA NA 888 erro underpricing 7% 89% 6%

19 08 abela 7 - Esaísica consolidada 00; moneyness enre 5% e 5%.076 BGM Enropia Enropia Aju BGM Enropia Enropia Aju erro médio 6% 4% 4% desvio erro 6% 4% 4% o quaril % % % o quaril 9% 5% 6% % overpricing 3% 55% 80% 3% 55% 80% % underpricing 97% 45% 0% 97% 45% 0% erro overpricing 0% % 4% erro underpricing 6% 6% 6% Além das abelas mosradas acima odo o conjuno de informações obido com a base de opções foi usado para raçar o quadro conclusivo a seguir: 7.5 Conclusões O resulado geral mosra que os preços esimados de opções foram em média inferiores aos negociados em balcão. Vários moivos conribuem para o resulado. Barbedo e al comenando o mercado de opções de IDI sugere que os agenes formadores de preço nos calls de balcão geralmene são lançadores de opções porano o preço se aproxima do de venda na divulgação ao fim do dia. Ouro pono exremamene relevane se refere às resrições de liquidez já comenadas na seção 7.3. que jusificam um prêmio adicional elevado para a monagem de esraégias com assimeria conrária. Na comparação de modelos o BGM obeve a melhor aderência consolidada mas é basane possível que pare do resulado venha da apuração de volailidades espúrias nos segmenos a ermo da curva. Como as volailidades implícias médias ficaram subsancialmene acima das realizadas uma falha sisemáica de modelo que superesime volailidades vai apresenar uma esaísica consolidada mais próxima dos resulados observados. Uma evidência de que o modelo BGM pode er sido afeado pela sensibilidade da curva a ermo é a sua grande superioridade em opções do ipo III em relações aos ouros modelos esados.

20 09 No caso dos modelos de enropia os dois ipos conseguiram gerar algum nível de smile no espaço de disância do dinheiro das séries. Aé 008 o formao da curva de volailidades implícias em relação ao moneyness das opções era basicamene crescene sem inflexões na proximidade do dinheiro. A parir de 009 e principalmene em 00 o formao radicional de smile observado em opções de renda variável por exemplo começou a se manifesar e foi capurado parcialmene por ambos os modelos. O modelo ajusado apresenou grande flexibilidade de adequação a preços. Embora a forma de ajuse proposa enha sido relaivamene arbirária ouras composições foram esadas com aderência saisfaória. Em paricular um modelo alernaivo com o parâmero alfa variando em função do nível de moneyness das opções se mosrou bem adapado ao smile de séries com prazos e ipos muio diversos sob várias janelas hisóricas. Para a implemenação jusificada do modelo no enano seria preciso esimar uma função uilidade endógena paramérica ou não para odo o especro da disribuição de reornos senão esaríamos abandonando qualquer eoria de formação de preços de opções e passando para a área de calibragem pura. O objeivo dese capíulo foi o oposo: enar inferir parcialmene a parir apenas da evolução hisórica da EJ seu poder explicaivo sobre a dinâmica do mercado de opções.