VETORES Cristinegedesprobr/cefet
Espço R 3
Exercício: Sej P m prlelepípedo com fces prlels os plnos coordendos Sbendo qe A = () e B = (345) são dois dos ses értices determine os otros értices 3
Distânci entre dois pontos 4 Sejm P(x y z ) e Q(x y z ) dois pontos do espço A distânci entre eles é dd por: d(p Q) = (x x ) + (y y ) + (z z )
Vetores 5 Módlo (Norm) Direção Sentido Vetor AB B A
Vetores Coplnres 6 São etores qe possem representntes no mesmo plno coplnres não coplnres
Sbtrção de etores 7 Definimos diferenç como + ( )
Adição de etores b b s ) ( ) ( ) ( z z y y x x b z y x b z y x 8
Proprieddes d Adição Associti Comtti Elemento netro Elemento oposto 3 ) ( ) ( V c b c b c b 3 V b b b 3 0 V 0 ) ( ) ( ) / ( 0 9
Mltiplicção por m esclr 0 Ddos: : rel : etor w é o etor ezes o etor Definição: Se =0 o =0 então =0 é definido como: comprimento: = direção: é prlelo sentido: se >0 o sentido é o mesmo de <0 o sentido é oposto o de Exemplo:
Proprieddes d mltiplicção por esclr Pr qisqer etores e e qisqer esclr e b reis são álids s segintes proprieddes: M M M3 ( b) ( b) b R ( ) R ( b) b b R M4 (elemento netro d operção) Versor de m etor Se 0 o se ersor é m etor nitário (modlo ) e possi mesm direção e mesmo sentido Representção: ersor de : * ˆ
Prodto Esclr Considere dois etores não nlos O prodto esclr de por é o número rel Se m dos etores for nlo o prodto esclr é igl zero Notção: cos z z y y x x ) ( ) ( z y x e z y x
Proprieddes do Prodto Esclr 3 Considere os etores e e sej t m número rel
0 Obsere qe os etores ds bses cnônic do R e do R 3 são ortogonis e nitários i j 0 0 b i j k 00 00 00 4
Norm (Módlo) de m etor 5 x y z A desigldde de Cchy-Schwrz contin álid: O ânglo entre os etores e θ é tl qe: 0 θ π cos θ = () / ( )
Ânglo entre dois etores 6 cos cos cos cos ) )( ( cos
Ânglos e Cossenos Diretores 7 Vmos determinr os ânglos entre m etor não nlo e os etores d bse cnônic: i xyz cos i 00 x i i j xyz cos j 00 y b j j k xyz cos k 00 z k k xyz rccos rccos rccos x y z
Obsere qe: x y z * cos( )cos( b)cos( ) Os ânglos b e são chmdos ânglos diretores e os cossenos desses ânglos são chmdos cossenos diretores Note qe: cos ( ) cos ( b) cos ( ) 8 Exemplo: Determine o ersor de m etor sbendo qe dois dos ses cossenos diretores são: cos( b) 6 6 cos( ) 6 3
Projeção de m etor 9 Ddos os etores e decompondo = + com // e O etor é chmdo de projeção ortogonl de sobre e é denotdo por: proj( )
Prodto Vetoril 0 O prodto etoril o contrário do prodto esclr reslt em m etor Notção do prodto etoril: x Sejm = ( b c ) e = ( b c ) então: i x x j y y k z z
x = - ( x ) ordem de colocção dos etores lter o sentido do etor resltnte x = 0 se e somente se // x x O etor x é simltnemente ortogonl e ( x ) = 0 e ( x ) = 0
Se é o ânglo entre os etores e então: x = sen O x é áre de m prlelogrmo de ldos igis o e
i k j 3
Prodto Misto 4 Definição: Sejm e w O prodto misto entre esses etores é m número rel denotdo e definido por:
5 Interpretção Geométric do Prodto Misto Sejm e w três etores não coplnres
Portnto podemos conclir qe: 6
Exemplos 7 ) Considere o prlelepípedo de rests OA OB e OC onde OA = (0) OB = (3) e OC = (0) Clcle o olme V deste prlelepípedo e m ds ss ltrs ) A respeito do tetredro de rests OA OB e OC sbemos qe OA = (x34) OB = (04) e OC = (3) Clcle o lor de x pr qe o olme desse tetredro sej igl