Teori dos Jogos Prof. Muríio Bugrin Eo/UnB -I Roteiro Cpítulo : Jogos dinâmios om informção omplet. Jogos Dinâmios om Informção Complet e Perfeit. Jogos Dinâmios om Informção Complet ms imperfeit Informção imperfeit: Não observbilidde e Nturez Utilidde esperd e Equilibrio de Nsh Exemplos Estrtégis mists omportmentis e o Teorem de Kuhn
. Jogos Dinâmios om Informção Complet e Imperfeit Observção: (i) Nos jogos estátios, um jogdor não observ jogd de seus oponentes ntes de tomr su deisão, pois s deisões são simultânes. Exp.: Pr ou ímpr, Btlh dos Sexos, Cournot, et. (ii) Em outros, ind que dinâmios, é possível que um jogdor não observe um jogd nterior de lgum oponente ntes de tomr su própri deisão. Exp: Um ldrão, o deidir ssltr um txist, não sbe se este está rmdo. Um pís, o entrr em guerr om outro, não sbe o erto o nível e quntidde de rmmentos que o outro pís possui. (Conflito USA-Irque) (iii) ilmente, pode tere onteer lgum fenômeno letório que fet o resultdo do jogo pr todos os jogdores ms que não é observdo qundo um deles jog. Exp.: Regimes utoritários tendem esonder o estdo de súde de seus líderes supremos (Cub ntig União Soviéti, Venezuel) Questão: Como modelr esss situções om form extensiv?. Jogos Dinâmios om Informção Complet e Imperfeit Btlh dos Sexos: t B t B t B 3 3 Importnte diferenç: O oneito de Conjunto de informção : {t,t } Um jogdor fz mesm esolh em d um de seus onjuntos de informção!
. Jogos Dinâmios om Informção Complet e Imperfeit Definição: Conjunto de informção. Um onjunto de informção pr um jogdor é um oleção de nós de deisão stisfzendo s ondições seguir: (i) O jogdor tem o movimento em todo nó no onjunto de informção, e (ii) Qundo um nó do onjunto de informção é lnçdo, o jogdor om o movimento não sbe dizer qul dos nós no onjunto de informção foi lnçdo. Exemplo: Btlh dos sexos. t B {t } é um onjunto de informção (trivil) de. {t,t }: é um onjunto de informção (não trivil) de. t B t B 3 3. Jogos Dinâmios om Informção Complet e Imperfeit Definição: Conjunto de informção. Observção: Com o oneito de onjunto de informção: (i) gnh-se em pidde de modelgem, pois podemos tmbém modelr jogos estátios form extensiv t B (ii) ms perde-se um pouo interpretção sequenil d form, turlmente t B t B Observção: Deisão em um onjunto de informção Como o jogdor não sbe onde está qundo tinge um onjunto de informção, su jogd deverá ser mesm 3 3 em qulquer nó desse onjunto. Su deisão estrtégi é: O que jogr se eu tingir qulquer um dos nós desse onjunto? 3
. Jogos Dinâmios om Informção Complet e Imperfeit Exemplo: Brreir à Entrd: E ne t e M M t g x M M ( x M ) x M x M E xʹ M p M E pʹ M ( ( xe + xm )) xe ( ( x E + x M )) x M x E x E p E <p M ( ( xe + xʹ M )) xe ( ( x E + xʹ M )) xʹ M ( p )( p 6) 3 E p E =p M p p E >p M E E ( 3 pe )( p 6) E ( 3 p )( p 6) M M ( 3 p )( 6) M p M. Jogos Dinâmios om Informção Complet e Imperfeit Exemplo: Pedr, ppel ou tesour!! p# p# p# p# (,)! (, (, (, )! (,)! (,)! (,)! (, )! (,)! )! )! ()!
. Jogos Dinâmios om Informção Complet e Imperfeit Exemplo: Pedr, ppel ou tesour (lentidão estrtégi pril) O jogdor observ jogd de ntes de jogr! p#!!! p# p# p# (,)! (, (, (, )! (,)! (,)! (,)! (, )! (,)! )! )! (b)!. Jogos Dinâmios om Informção Complet e Imperfeit Exemplo: Pedr, ppel ou tesour (lentidão estrtégi) O jogdor onsegue identifir jogd pedr de ntes de jogr! p#!! p# p# p# (,)! (, (, (, )! (,)! (,)! (,)! (, )! (,)! )! )! ()! 5
. Jogos Dinâmios om Informção Complet e Imperfeit Observção: (i) Nos jogos estátios, um jogdor não observ jogd de seus oponentes ntes de tomr su deisão, pois s deisões são simultânes. Exp.: Pr ou ímpr, Btlh dos Sexos, Cournot, et. (ii) Em outros, ind que dinâmios, é possível que um jogdor não observe um jogd nterior de lgum oponente ntes de tomr su própri deisão. Exp: Um ldrão, o deidir ssltr um txist, não sbe se este está rmdo. Um pís, o entrr em guerr om outro, não sbe o erto o nível e quntidde de rmmentos que o outro pís possui. (iii) ilmente, pode tere onteer lgum fenômeno letório que fet o resultdo do jogo pr todos os jogdores ms que não é observdo qundo um deles jog. Exp.: Regimes utoritários tendem esonder o estdo de súde de seus líderes supremos (Cub ntig União Soviéti, Venezuel) Questão: Como modelr esss situções om form extensiv?. Jogos Dinâmios om Informção Complet e Imperfeit Exemplo: Jogo d verdde 6
. Jogos Dinâmios om Informção Complet e Imperfeit Exemplo: Jogo d verdde 3 f * f 5 f f 3 * t t 5 {,8} t t 3 N t {,} * t * t 6 * f 6 f 7 3 f * * f 8. Jogos Dinâmios om Informção Complet e Imperfeit Definição: Estrtégi. Um estrtégi pur pr um jogdor i, s i, é um função que ssoi d onjunto de informção de i, um ção que o jogdor pode tomr, bsendo-se quel informção. É um regr que diz o jogdor que ção esolher em d etp do jogo. Um perfil de estrtégis s=(s,,s n ) é um esolh de um estrtégi s i pr d jogdor i=,, n. 7
. Jogos Dinâmios om Informção Complet e Imperfeit Exemplo: Pedr, ppel ou tesour!! p# p# p# p# (,)! (, (, (, )! (,)! (,)! (,)! (, )! (,)! )! )! ()!. Jogos Dinâmios om Informção Complet e Imperfeit Exemplo: Pedr, ppel ou tesour (lentidão estrtégi pril) O jogdor observ jogd de ntes de jogr! p#!!! p# p# p# (,)! (, (, (, )! (,)! (,)! (,)! (, )! (,)! )! )! (b)! 8
. Jogos Dinâmios om Informção Complet e Imperfeit Exemplo: Pedr, ppel ou tesour (lentidão estrtégi) jogdor onsegue identifir jogd pedr de ntes de jogr! p#!! p# p# p# (,)! (, (, (, )! (,)! (,)! (,)! (, )! (,)! )! )! Oonjunto de estrtégis purs de é: ()! {(pe, pe),(pe, p),(pe, te),(p, pe),(p, p),(p, te),(te, pe),(te, p),(te, te)}. Jogos Dinâmios om Informção Complet e Imperfeit Observção: Ddo um perfil de estrtégis s num jogo om informção perfeit, está lrmente definido o resultdo do jogo ssoido esse perfil: primeiro form-se o minho ssoido s, =(t, t,..., t f ), e em seguid tem-se os pyoffs u(t f ). Qundo o jogo tem informção imperfeit envolvendo turez, pode-se determir o minho ssoido s pes pós os fenômenos letórios ssoidos à turez serem reveldos. Assim, ntes do iníio do jogo não existe um minho ssoido o perfil s, ms, de fto, vários minhos possíveis, dependendo d relizção do estdo d turez. A d um desses minhos, no entnto, está ssoido um pyoff. Além disso, dds s distribuições de probbiliddes dos eventos letórios modeldos pel turez, pode-se definir um distribuição de probbiliddes sobre os diferentes pyoffs ssoidos os diferentes possíveis minhos. 9
. Jogos Dinâmios om Informção Complet e Imperfeit Observção: Além disso, dds s distribuições de probbiliddes dos eventos letórios modeldos pel turez, pode-se definir um distribuição de probbiliddes sobre os diferentes pyoffs ssoidos os diferentes possíveis minhos. Logo, ddo s, pode-se determir os possíveis nós termiis t s, t s,, t sk, om s respetivs probbiliddes p s,, p sk. Destrte, do ponto de vist do jogdor i, se o perfil de estrtégis s for jogdo, su utilidde esperd será: U i (s)= p s u i (t s )+ + p sk u i (t sk ). Jogos Dinâmios om Informção Complet e Imperfeit Exemplo: Jogo d verdde, s=((, *), (*, )) 3 f * f 5 f f 3 * t t 5 {,8} t t 3 N t {,} * t * t 6 * f 6 f 7 3 f * * f 8 =(t, t, t 3, f ), om probbilidde,8 e pyoffs resultntes (,) =(t, t, t 6, f 7 ), om probbilidde, e pyoffs resultntes (3,) U (s)=,8 +, 3=
. Jogos Dinâmios om Informção Complet e Imperfeit Definição: Equilíbrio de Nsh Um perfil de estrtégis s=(s, s,..., s n ) é um equilíbrio de Nsh (EN) do jogo dinâmio se nenhum jogdor i, puder obter um utilidde esperd mior mudndo su estrtégi, se os outros jogdores mntiverem s sus. Equivlentemente, i=,..., n, U i (s i, s -i ) U i (s iʹ, s -i ) em que s iʹ é qulquer estrtégi ltertiv disponível pr o jogdor i e U i é utilidde esperd do gente i.. Jogos Dinâmios om Informção Complet e Imperfeit Exemplo. Considere o seguinte jogo entre dois jogdores. Um moed (não-viid) é jogd. jogdor observ o resultdo e post r () ou oro (*). Em seguid o jogdor eit () ou rejeit () post. Se o jogdor não eitr post, ele reebe e o jogo termi, om reebendo. Se o jogdor eit post, isso signifi que ele está postndo no oposto de. Nesse so, observ-se moed e o jogdor que ertr reebe, deixndo o outro jogdor om.
. Jogos Dinâmios om Informção Complet e Imperfeit Exemplo. N {,5} {,5} * * *. Jogos Dinâmios om Informção Complet e Imperfeit Exemplo. N {,5} {,5} * * *
. Jogos Dinâmios om Informção Complet e Imperfeit Exemplo. N {,5} {,5} * * *. Jogos Dinâmios om Informção Complet e Imperfeit Exemplo. N {,5} {,5} * * * 3
. Jogos Dinâmios om Informção Complet e Imperfeit Exemplo. N {,5} {,5} * * * EN: ((, *), (, )). Jogos Dinâmios om Informção Complet e Imperfeit Exemplo. N {,5} {,5} * * *
. Jogos Dinâmios om Informção Complet e Imperfeit Exemplo. N {,5} {,5} * * * EN: (, ), (, )) e, por simetri, ((*, *), (, )). Jogos Dinâmios om Informção Complet e Imperfeit Exemplo. (poker) Considere o seguinte jogo entre dois jogdores. O jogdor retir um rt de um brlho om 5% de hne de ser um rt lt (A) e 5% de hne de ser um rt bix (B). Depois de olhr rt ele deide postr (p) ou não (np). Se ele esolhe não postr, ele pg $ o jogdor. Se ele post, então o jogdor deve deidir se eit () ou não () post, sem onheer se rt retird é lt ou bix. Se não eitr post, ele pg $ o jogdor. Cso eite post, verifi-se o vlor d rt retird por. Se for elevdo, pg $ o jogdor. Por outro ldo, se o vlor for bixo, então pg $ o jogdor. 5
. Jogos Dinâmios om Informção Complet e Imperfeit Exemplo. (poker). Jogos Dinâmios om Informção Complet e Imperfeit Exemplo. (poker) Não existe EN em estrtégis purs! 6
. Jogos Dinâmios om Informção Complet e Imperfeit Definição. estrtégi mist omportmentl Num jogo form extensiv, um jogdor poderi dotr um menismo letório de esolh em um nó ou onjunto de deisão espeífio. Qundo s possíveis "misturs" oorrem não sobre um estrtégi omplet, omo form norml, ms em d onjunto de deisão de um jogdor form extensiv do jogo, dizemos trtr-se de um estrtégi mist omportmentl. Observção. Memóri pefeit. Teorem de Kuhn: Qulquer jogo form extensiv finito om memóri perfeit dmite um equilíbrio de Nsh em estrtégis mists omportmentis. Idei d demonstrção: Todo jogo finito form extensiv pode ser trnsformdo em. Jogos Dinâmios om Informção Complet e Imperfeit Definição. estrtégi mist omportmentl Teorem de Kuhn: Qulquer jogo form extensiv finito om memóri perfeit dmite um equilíbrio de Nsh em estrtégis mists omportmentis. Idei d demonstrção: Todo jogo finito form extensiv pode ser trnsformdo em um jogo norml, mesmo que, pr tnto, sej neessário o álulo de utiliddes esperds. Qulquer estrtégi mist form norml equivle um estrtégi mist omportmentl form extensiv. Qulquer equilíbrio de Nsh form norml orresponde um equilíbrio de Nsh form extensiv. 7
. Jogos Dinâmios om Informção Complet e Imperfeit Exemplo. (poker) 8