5 INTEGRAIS DEFINIDAS, INDEFINIDAS E SUAS APLICAÇÕES O conceto de ntegrl tem sus orgens no Método d Eustão, tendo Arqumedes como um de seus grndes desenvolvedores. A motvção deste método fo o cálculo de áres e volumes de fgurs e sóldos com fronters curvs. Todo polígono tem um número ssocdo denomndo Áre. A áre de um retângulo, por eemplo, é defnd como sendo o produto d medd d su se pel d su ltur. Já áre do trângulo é determnd pel metde do produto d medd d su se pel d ltur reltv à se. Como todo polígono pode sempre ser decomposto em trângulos, su áre é som ds áres desses trângulos..h.. h A = A = =. h A = h = Já o círculo é um pouco ms compleo. Os gregos resolverm o prolem de determnr su áre de um mner muto nturl. Prmero eles promrm ess áre, nscrevendo no círculo um qudrdo. Depos melhorrm promção, psso psso, dorndo e redorndo o número de ldos, sto é nscrevendo um octógono regulr depos um hedecágono regulr polígono com 6 ldos, e ssm por dnte. As áres dos polígonos nscrtos promm-se d áre et do círculo com um precsão cd vez melhor. Ess dé lev à fórmul fmlr pr áre A de um círculo em termos de seu ro r: A = πr² Ms, pr consegur ess etdão, consder-se que o círculo tenh nscrto nele um polígono regulr com um número grnde de ldos. O qul é sudvddo em trângulos sósceles com vértce no centro do círculo. A som ds áres desses trângulos result num promção d áre do círculo.
Este é o Método d Eustão, cujo nome fornece um o descrção desse processo, porque áre do círculo é eurd pels áres dos polígonos nscrtos. 5. O Prolem d Áre Sej y = f um função não-negtv defnd num ntervlo fechdo. Clculr áre d regão so o gráfco de f, cm do eo ds scsss e entre s rets vertcs = e =. Sendo [, ], como defndo, um ntervlo fechdo e função f contínu nesse ntervlo, pr cd ponto c pertencente o ntervlo [, ], devemos ter lm f = c f c Pr determnr áre d regão hchurd o d curv, pode-se utlzr o método d eustão como segue: Método d eustão pr o prolem d áre so curv - Dvdr o ntervlo [, ] em n suntervlos gus; - Em cd suntervlo construr o retângulo ms lto que fc ntermente so o gráfco; - Anote som S n ds áres desses retângulos. Ess som prom áre so o gráfco e promção é melhord tomndo-se vlores cd vez mores de n; - Clcule áre et so o gráfco chndo o vlor lmte o qul tendem s soms promds S n qundo n tende o nfnto A = lm A n n
Eemplo: Usndo o método d eustão vmos clculr áre A so curv y = ² no ntervlo [, ]. É fácl perceer que < A <, pos A está contd num qudrdo de ldo A Pr promr melhor áre A, dvdmos regão so curv em fs, utlzndo pr sto s rets vertcs =, = e =. Podemos promr cd f por um retângulo com se gul à lrgur d f e ltur gul o ldo dreto d f. As lturs desses retângulos são os vlores d função f = ² nos etremos dretos dos suntervlos:,,,,, e,. Chmndo de R som ds áres desses retângulos, temos: Como áre A é menor que R podemos frmr que Podemos tmém promr A usndo os retângulos menores, cujs lturs são os vlores de f nos etremos esquerdos dos Sendo ssm, Podemos repetr esse procedmento pr um número Com 8 fs, otemos s mor de soms:
R,9875 pr os retângulos mores. R,775 pr os retângulos menores. Assm, melhormos noss promção d áre A so curv pr:,775 < A <,9875 Pr oter melhores estmtvs, st umentr o número de fs. A tel o ldo mostr os resultdos pr o cálculo d áre A usndo n retângulos. n Áre,85 < A <,85 Oserve que com retângulos otvemos um om estretmento d desguldde. 5, < A <,,85 < A <,85,85 < A <,85 Um estmtv dequd é otd fzendose méd rtmétc dos vlores desse ntervlo. Portnto, A,5. Há outr form de comprovr que som ds áres dos retângulos é promdmente / : utlzndo o lmte d som dos n retângulos, qundo n tende o nfnto no sentdo postvo. Vej: R n é som dos n retângulos superores. Cd retângulo tem lrgur gul /n e lturs determnds pel função f = ² nos pontos /n, /n, /n,..., n n/n. Isto é, s lturs são:,,,...,. n n n n Assm: R n = n n n... n n n n n n R =.. ² ² ²... n² n n n² Ftorndo temos: Como som dos qudrdos dos n prmeros números nteros postvos é n n n ² ² ²... n² = 6 n n n Otemos: R n = n³ 6 n n Ou sej: R n = 6n²
Clculndo o lmte de R n qundo n tende o nfnto, temos: n n n lm lm lm lm.. = 6 ² 6 n R = = = n n n n = n n n n 6 n n 6 O mesmo pode ser mostrdo pr s soms dos n retângulos nferores. Assm, áre A d regão so curv é defnd pelo lmte d som ds áres dos retângulos promntes. O que nos lev conclur que A =. 5. A Antdervd A ntdferencção é operção contrár d dferencção. Por eemplo, dd f = e F = 5, temos que F' =, então, dzemos que F é ntdervd de f =. Concluímos que um função F será chmd de ntdervd de um função f num ntervlo I, se F ' = f pr todo no ntervlo I. Oserve que se G = 7 possu dervd G' =, então G tmém é ntdervd de f, emor G F. A únc dferenç entre F e G é o vlor d constnte, 5 e -7. Concluímos então que tod função do tpo H = C é ntdervd de f. Antdferencção é o processo de encontrr o conjunto de tods s ntdervds de um função. O símolo denot ntdferencção e escrevemos f d F = C, onde F ' = f e tmém podemos dzer d F = f d. Usmos
f d dentro de pr dzer que função f é dervd com relção de lgum função. Às ntdervds tmém chmremos de ntegrs. Encontrremos s ntdervds utlzndo lgums regrs: I A ntegrl d dervd de é gul ms um constnte rtrár C. d = C. n n II Se n for um número rconl, d = C n A frmção cm dz que dervd de n C é n, n. n. Confr o resultdo. Eemplo: d = Eemplo: = d d = Eemplo: = d d = III A ntegrl d constnte vezes função é gul constnte vezes ntegrl d função. f d f d =. d E: d = =
IV A ntegrl d som é som ds ntegrs. Se f e f forem defnds no mesmo ntervlo, então f d = f d f d ] [ f. E: 7 d = d d 7d = Atvddes. Fç ntdferencção e verfque o resultdo clculndo dervd d su respost. 5 d 5 8 9 7 d c d 5t 7 d dt t e d f 7 d g d h d t 5 5u du j d k d l dy y m 6t tdt n 7 d o d 5 p u u du q y y y dy r 5 d s t t dt
t 6 dt u 8 6 5 d v 8 d d y c d z d d 5 d c d d d e y y dy y f d 7t g dt t Oserve que qundo clculmos um ntegrl, por eemplo: d = C, onde C é qulquer vlor rel. Pr cd vlor de C otemos um curv dferente, neste cso deslocmos curv f = em C unddes pr cm e pr o n dreção do eo y. No mesmo plno crtesno fç um esoço dos gráfcos de f = C pr C ={,,,5 }
A equção f = C represent um fmíl de curvs. Pr otermos curv específc que pss pelo ponto, 6, fzemos: 6 = C 6 = C C =. A equção procurd então é f = que esoçmos no gráfco cm. Atvddes. Em qulquer ponto, y de um determnd curv, ret tngente tem um nclnção gul 5. Se curv contém o ponto, 7, che su equção. Lemrete: A nclnção d ret tngente um curv em qulquer ponto, y é dervd nesse ponto.. O ponto, está num curv em qulquer ponto, y sore curv nclnção d ret tngente é gul. Ache um equção d curv.. A nclnção d ret tngente num ponto qulquer, y de um curv é. Se o ponto 9, está n curv, che um equção pr el. 5. Os pontos -, e, estão num curv e em qulquer ponto, y d d y curv =. Ache um equção d curv. d d y dy' Sugestão: fç = e otenh um equção envolvendo y,, e um d d constnte rtrár C. Dess equção, otenh um outr envolvendo y,, C e C. Usndo s condções, clcule C e C.
Antdervds de Funções Trgonométrcs As ntegrs o são consequencs drets ds dervds ds funções trgonométrcs conhecds. I Função Seno. Se f = sen então d II Função Cosseno. sen = cos C. Se f = cos então d sen III Função Secnte o qudrdo. cos = C. Se f = sec então d tg sec = C. IV Função Cossecnte o qudrdo.. Se f = cosec então cos sec d cot g V Função Secnte vezes tngente. = C Se f = sec tg então tg d sec VI Função Cossecnte vezes cotngente. sec = C. Se f = cosc cot g então ec cot g d cosec cos = C..
d = Eemplo: sec tg 5cosec Algums dentddes trgonométrcs frequentemente usds no cálculo de ntdervds trgonométrcs: sen cos ec = sec = cos sec = cos tg cot g = sen cosc = tg = sen cos sen cos = cos cot g = tg = sec sen cot g = cosec sen t = cost sen ± = sen cos ± sen cos cos ± = cos cos sen sen sen = sen cos cos = cos sen cot g sen Eemplo: d = sen d = Eemplo: tg cot g Atvddes 6. Fç ntdferencção e verfque o resultdo clculndo dervd d su respost. sent cos t dt =
d = sen c d = cos cos d d = sen e cos eccot g sec d = 5cos sen dt = f cos ec t 5sec t tgt dθ = g cot g θtg θ tgθ cos θ h dθ = cosθ Regr d Cde pr Antdferencção Pr clculr dervd de f = plcmos regr d cde, e 9 9 otemos: f = ' =. Pr clculr 9 d 9 g g' d, vemos que fzendo g = e que g' =, temos. And fzendo g = u, temos u = e du du = d = d. Fzendo s susttuções temos: 9 du 9 u u = u du = C = C. Resultdo: Se g for um função dferencável e se n for um número rconl, n n [ g ] [ g ] [ g' d] = C, pr n. n Note que fzemos um susttução, u = e, n prátc, é utlzdo o termo ntegrl por susttução, o nvés de regr d cde pr ntegrs. Eemplo: Clcule Fzendo d d., utlzmos susttução u = Eemplo: Clcule 8 5 d.
Eemplo: Clcule cos d. Eemplo: Clcule d prossegumos os cálculos.. Fzemos u = u = u =, e Atvddes 7. Clcule ntegrl por susttução, ou sej, utlzndo regr d cde: sen d s d ydy c d d 6 d e 5r dr f 9d g d h d 6 d j 5 9 d k d y l dy 5 y s m ds s n d o 5 5d p d q t dt t r r dr r 7 t d u 5 d v cos θd θ sen d y 6 sen d z t cos t dt sec 5d cosec θdθ c y cosecy cot gy dy d r sec r dr 5 e cos sen d sen f d cos d g dt h t t sen cos d j sen cos d k cos tsentdt
l sen θcosθdθ m tg cot g d n cos d sen o cos d sen sec t p dt t q d r d s s s ds t y y dy u t t dt v r dr r t t t t dt y d z d sen sencos d sec tg cossec d
Integrl d Função Eponencl e Logrítmc Função eponencl é tod função cuj vrável ndependente estej no epoente, ou sej, um função d form f = onde >, é um função eponencl e o número rel é se. A ntegrl de tl função é dd por d = C, onde ln = log e, ou sej, ln ln é o logrtmo neperno de, que nd ms é que o logrtmo cuj se é o número de euler. Eemplo: d = d, fzendo susttução u du u u u = du = d = d, temos: du = du = C. ln Retornndo susttução, fnlzmos: C. ln Qundo se d função eponencl é o número de euler e, temos função eponencl nturl f = e. Utlzndo função cm, temos: e e e d = C = C = e C. ln e du Eemplo: e d =, fzendo susttução u = du = d = d, u u u temos: e du = e du = e C. Retornndo susttução, fnlzmos: e C. Qundo se do logrtmo é o número de euler e temos log e, que chmmos de ln. Tl função é conhecd como logrítmc nturl ou logrtmo neperno e oedece s mesms regrs de logrtmos. Se u for um df função de dferencável, e f u = ln u, então = u' df = u' du, plcndo du u u ntdervd em mos os ldos d guldde, df = u' du f u = ln u C. u Oservção: Lemrmos que o domíno d função logrítmc são os res postvos eclundo o zero. Portnto, os vlores consderdos pr s equções o que estão nos logrtmos nepernos devem ser pens s mgens res e postvs. O snl de vlor soluto que prece nos lvros de cálculo fo omtdo.
Eemplo: Clcule d. du Fzemos segunte susttução de vráves: u = du = d = d. du Então d = = du = u C = C u ln ln. u Eemplo: Encontrr d Como é um frção rconl mprópr, pos temos dus rízes no polnômo do numerdor e um rz no polnômo do denomndor sso crcterz frção rconl mprópr, dvdmos o numerdor pelo denomndor, =. Então: d = d = ln C. ln Eemplo: Clcule d d Fz-se susttução: u = ln du = du = d. Então temos: ln u d = du = udu = u C = ln C. A prtr d ntegrl do logrtmo neperno, podemos oter fórmul d ntegrl de funções trgonométrcs que não form vsts té então: sen I Função tngente: tg d = d. cos du Fzendo susttução de vráves: u = cos du = sen d = d sen temos: sen sen du du d = = = lnu C =lncos C, por propredde cos u sen u de logrtmo, fzemos f = lncos C = lncos C = ln C = lnsec C. cos Eemplo: Clcule tg d = II Função Cotngente: cot g d = cos d sen du Fzendo susttução de vráves: u = sen du = cos d = d temos: cos
cos cos du du d = = = ln u C = ln sen C. sen u cos u Eemplo: Clcule cot g d III Função Secnte: sec d = lnsec tg Multplcmos e dvdmos tl função por sec tg. sec tg sec sec tg sec d = sec d = d. Fzendo susttução sec tg sec tg du u = sec tg du = sec tg sec d = d, temos: sec tg sec sec sec tg u du sec tg = du = ln u C = lnsec tg sec u C. IV Função Cossecnte: cos c d = lncosc cot g C Multplcmos e dvdmos tl função por cosc - cotg, de form nálog função trgonométrc nteror. Eemplo: Clcule d sen
Atvddes 8. Clcule o vlor ds ntegrs o: d d 7 c d d d e d 5 f d cost g dt sent sen t h dt cos t cot g5 cos ec5 d j tg sec d sen k d cos cos l d sen m d 5y n dy y d o ln d p ln q d ln r d ln ln s d [ln ln ] 5 5 t d tgln u d g t v cot dt t e 5 d y e d z e d e e e d e e c e d e d e d d e e f d g n d h t e t dt d 5 j d d k z ln z ln z dz y y y e e l e dy ln m d n d Integrl por prtes
Se tvermos um função do tpo h = f g, su dervd é dd pel regr do produto pr dervds: h' = f g ' = f ' g f g', donde temos, solndo f ' g : f ' g = f g ' f g'. Aplcndo ntegrl em mos os memros: f ' g d = [ f g ' f g' ] d som ds ntegrs:. Como ntegrl d som é f ' g d = f g ' d f g' d = f g d = f g f g' d '. Se fzer v = f dv = f ' e tmém u = g du = g', e ssm fórmul fc d form: u dv = u v v du. Então pr usr tl fórmul, st dentfcr n ntegrl quem será u e quem será dv. Eemplo: ln d d Fzemos u = ln du = e tmém dv = d v =, logo d ln d = ln e então é só utlzrmos o método de susttução conhecdo. Eemplo: e d Eemplo: cos d Eemplo: e d Eemplo: e send Atvddes 9. Clcule ntegrl por prtes: e d cos d c sec tgd d d
e ln d f ln d g sec d h ln d e d j send k sen lncos d l sen ln d m e cos d 5 n e d o d sen p d e q send r e e d s cos d Integrção de Funções Rcons por Frções Prcs P Um função rconl é um função d form H =, onde P e Q Q são polnômos. Qundo o gru do numerdor for mor ou gul o gru do denomndor, temos um frção rconl mprópr, então pr relzr ntegrção, fzemos dvsão do numerdor pelo denomndor, té oter um frção rconl própr, ou sej, um frção rconl cujo gru do numerdor é menor que o gru do numerdor. É com frções rcons próprs que vmos
trlhr. Por eemplo, em d efetundo dvsão temos: d d 6. É com epressões como o ntegrndo d segund prcel que vmos trlhr. Preocupremo-nos em escrever funções rcons próprs n form de som de frções prcs. Incmos ftorndo o denomndor em produto de ftores lneres e qudrátcos. Então serão consderdos os csos: I Em Q P H =, os ftores de Q são todos lneres e nenhum é repetdo. Então som de frções prcs é dd por: n n n A A A Q P =... Eemplo: d II Em Q P H =, os ftores de Q são todos lneres e lguns são repetdo. Supondo que sej repetdo p vezes, então: p p p p A A A A... Eemplo: d III Em Q P H =, os ftores de Q são qudrátcos e nenhum ftor é repetdo. Os ftores qudrátcos permnecem porque não é possível oter rízes res pr eles, então eles devem permnecer como um equção do segundo gru. A frção prcl que possu polnômo de segundo gru no denomndor fc d form: c B A. Eemplo: = C B A d
P IV Em H =, os ftores de Q são qudrátcos e nenhum, ou lguns Q dos ftores são repetdos. Se um ftor qudrátco de Q, que pode ser c repetdo p vezes, então teremos som de p frções prcs d form: A B A B Ap B p... p p. c c c Eemplo: d 5 Atvddes. Clcule ntegrl: d d 6 5 c d e d
w f dw w 7w 9t 6t 5 g dt t 5t 6 h d d d j k d d l m d 7 n d dt o t t z p dz z 5 5 d q 5 5 7 r d 5 s d 5 5 7 t d 9 6 d u 6 8 d v d d z 6 d w 8 t t dt t t w w dw w w d c d d 9 d e d f d g 5 9 d h 5z z 5z dz z z 5 dt j t d k 7 5 e d l e 8d m 9 d n 6 o 6w w 9w w dw w 8 w A Integrl Defnd Pr que possmos compreender ntegrl defnd, entenderemos prmermente som de Remnn. Imgne um função qulquer, por eemplo f =. Pr otermos áre do gráfco de tl função com o eo no ntervlo que v de ¼ té, Remnn sugeru o segunte processo:
Oservmos que f é defnd no ntervlo [ ¼, ], ou sej, todos os vlores do ntervlo tem vlor rel pr função dd, e portnto função é contínu no ntervlo. Podemos esoçr o gráfco pr oservr: Dvdmos o ntervlo [ ¼, ] em n suntervlos. Pr tl fzemos = e n =, e escolhemos qulquer um dos n pontos ntermedáros entre ¼ e de modo que < <... < n < n. Os pontos,,,..., n, n não são necessrmente eqüdstntes. Podemos escolher por eemplo: = =,5, =, 7 9 = = =, 5, = = =, 75, = = =, 5, = 5. No gráfco temos: O comprmento de cd suntervlo, será denotdo por Δ, donde temos que Δ =, Δ =,..., Δ =. O conjunto desses suntervlos form um prtção do ntervlo que podemos chmr de prtção Δ. Pr o eemplo, temos os vlores de delt: Δ = = = =, 75, 7 Δ = = = =,5, Δ = = = =, 5, 9 7 9 Δ = = = = =,5, Δ5 = 5 = = =, 75. E ssm, temos que Δ = = =, 75, que é o mesmo que otemos fzendo Δ = Δ Δ Δ Δ Δ 5 =,75,5,5,5,75 =,75. Ao comprmento de cd suntervlo clculdo nterormente chmmos norm e ndcmos por Δ. Em cd prtção Δ escolhemos um ponto qulquer ξ, tl que < ξ <. Pr o eemplo, podemos tomr ξ =, pos < <, o que quer dzer que <ξ <. Stsfzendo condção < ξ <, podemos 5 7 escolher ξ = = =, 5, ξ = = =, 75, ξ = e ξ 5 = = =, 75.
Clculmos o vlor d função em cd um dos pontos f ξ = ξ. Então temos: 7 7 = 5 = 6 6 f = e f, = 6 f = = 9, 7 f = =. 6 ξ, fzendo 5 5 7 f = = 8, 6 5 Oservmos que o produto f ξ Δ é áre do retângulo de se Δ e ltur f ξ. Somndo s áres dos retângulos formdos por cd um ds prtções podemos promr áre formd entre o gráfco de f = e o eo, no ntervlo [ ¼, ]. Então f ξ Δ f ξ Δ f ξ Δ f ξ Δ f ξ5 Δ5 = 7 5 7 86 9 8 6 6 = 8 = = 8, 667, que é 6 6 6 áre promd. O somtóro d áre formd por cd prtção, d form n Δ f ξ Δ... f ξn Δn = f = f ξ ξ Δ é denomnd som de Remnn, por cus do mtemátco Georg Frederc Bernhrd Remnn 86-866. O gráfco d função pode estr o do eo, fzendo com que no somtóro, áre de um dd prtção sej descontd e não somd, então não terímos áre entre o gráfco e o eo, como podemos ver n fgur o: No eemplo, f ξ, f ξ, f ξ5, f ξ8, f ξ9, f ξ são negtvos gerndo prcels negtvs. Por cus desses csos é que estmos nteressdos no vlor soluto ds prcels e ssm fzemos f ξ Δ. Oserve que qunto mor o número de prtções n = Δ, menor norm desss prtções
n Δ, e ms o somtóro f ξ Δ se prom d áre rel entre o = gráfco e o eo. Então áre entre o gráfco e o eo no ntervlo [, ], onde função é defnd pode ser promdo por n lm f ξ Δ. m Δ = Assm, consdermos que norm d prtção de mor comprmento tende zero, logo o comprmento ds dems prtções tmém tenderá zero, e os retângulos rão se justndo entre o gráfco e o eo, de form que o somtóro de sus áres sej um o promção d áre entre o gráfco e o eo. O lmte cm epress ntegrl defnd num ntervlo. Defnção: Se f for um função defnd no ntervlo fechdo [, ], então ntegrl defnd de f de té, denotd por f n f m Δ = d = lm f ξ Δ, se o lmte estr. d, será dd por N notção de ntegrl defnd f d, f é chmd de ntegrndo, de lmte nferor e de lmte superor. O símolo, utlzdo pr ntegrção é o mesmo utlzdo pr o cálculo d ntdervd. Seu formto é precdo com S, que lemr som, pos ntegrl defnd é o lmte de um som. Pr clculr ntegrl defnd, temos que n verdde clculr o lmte de um som, o que nem sempre torn-se vável de se fzer. Podemos clculr ntegrl defnd trvés d ntdervd, por sso tmém o snl ser usdo em mos os csos. O segundo teorem fundmentl do cálculo defne o cálculo d ntegrl defnd pel ntdervção ou pelo cálculo d ntegrl ndefnd d segunte form: Segundo Teorem Fundmentl do Cálculo: Sej f um função contínu no ntervlo fechdo [, ] e sej g um função tl que g ' = f pr todo em [, ]. Então f t dt = g g. Ou sej, st clculr ntdervd, e fzer o vlor d ntdervd no etremo superor menos ntdervd no etremo nferor. Dess form ntdervd fc conhecd tmém como ntegrl ndefnd. Eemplo: Encontre o vlor de d geometrcmente. e nterprete o resultdo As mesms propreddes d ntdervd, ou sej, d ntegrl ndefnd são válds pr ntegrl defnd. Então, o verfcmos o lgums propreddes d ntegrl defnd que são dferentes que d ntdervd:
I Se >, então f d = f d se Eemplo: Verfque que = d d. f d estr. II Se f este, então Eemplo: d f d. III Se função f for ntegrável nos ntervlos [, ], [, c] e [c, d], então c f d = f d f d, onde < c <. Eemplo: Verfque que d d c = d IV Se função f for ntegrável nos ntervlos [, ], [, c] e [c, d], então c f d = f d f d, não mportndo ordem de, e c. Eemplo: Verfque que d d c = d V Se s funções f e g forem ntegráves no ntervlo fechdo [, ] e se f g pr todo em [, ], então: f d g d Eemplo: Comprove o resultdo pr f = e pr ntervlo [, ] e fç o gráfco ds funções. g = no Atvddes
. Clcule o vlor d ntegrl defnd usndo os resultdos: π d = d = = send π sen d = π 5 d g d 8 d c 5 d d d e d f 5 d π h d π sen cos d π j cos d π k cos d l sen d π cos d =. Clcule s ntegrs defnds o: 5 d 7 d c 5d d 6 d 5 5 e d f d 7 g d h 5 d d j d 6 k d l d m 8 6 d n 8 6 d π o π send 6 π π p cos d q d r 5d s d 5 t d 5 π u cos 9cos d π π v sen d π 6 9 d y d z d w d π sen cos d d c d 6 d d e 5 d f d 5 g y y dy z h dz z
d j 5 d 5 k t t dt l w w dw dy m y π n send o π cos d p t t dt q d y y r dy y y w w s dw w 5 w t d w 5 u d v d d y d z e d e w d e d e ln d e c d e ln d e e d e e d e d f e e
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