Introdução à Integral de Lebesgue

UNIVERSIDADE ESTADUAL DA PARAÍBA CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA COORDENAÇÃO DE MATEMÁTICA EMANUELA RÉGIA DE SOUSA COELHO Introdução à Integrl de Lebesgue Cmpin Grnde, PB Julho de 2012

EMANUELA RÉGIA DE SOUSA COELHO INTRODUÇÃO À INTEGRAL DE LEBESGUE Trblho de Conclusão do Curso Licencitur Plen em Mtemátic d Universidde Estdul d Príb. Em cumprimento às exigêncis pr obtenção do Título de Licencid em Mtemátic. Orientdor: Prof. Dr. ALDO TRAJANO LOURÊDO Cmpin Grnde, PB Julho de 2012

FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA CENTRAL UEPB C650i Coelho, Emnuel Régi de Sous. Introdução à Integrl de Lebesgue [mnuscrito] / Emnuel Régi de Sous Coelho. 2012. 59 f. : il. Digitdo. Trblho de Conclusão de Curso (Grdução em Mtemátic) Universidde Estdul d Príb, Centro de Ciêncis e Tecnologi, 2012. Orientção: Prof. Dr. Aldo Trjno Lourêdo. Deprtmento de Mtemátic. 1. Mtemátic Teori dos Números. 2. Teori d Integrção. 3. Integrl de Lebesgue. 4. Integrl de Riemnn. I. Título. 21. ed. CDD 512.7

Dedictóri Aos njos que me protegem dirimente: minh e pinho.

Agrdecimentos Agrdeço primeirmente quem me incentiv dirimente correr trás dos meus sonhos e me permite fzer isso: meus pis, Ald e Enoque, o csl mis humno que conheço. Aos migos que cminhrm comigo em lguns momentos importntes dess trjetóri: Lincoln, Diego, Jqueline, Klécio, Jiro, Vnlex, Dni e Dnilo seres mis que especiis. Aos meus irmãos, Anderson pel compreensão e poio e Alvro pelo brço pertdo n volt pr cs. As professors Lucin e Joselm por ceitrem exminr este trblho. Por fim, grdeço especilmente o professor Aldo Trjno, pelos 2 nos de orientção em Inicição Científic e, mis que isso, pelo exemplo de ser humno e de profissionl que é. Agrdeço pel pciênci, poio, incentivo e, principlmente, por creditr e confir no meu trblho.

Resumo A teori de Lebesgue foi primeir tenttiv frutífer de orgnizção mtemátic d noção de integrl e, nesse sentido, costum-se dizer que teori d integrção foi crid no século XX. O conceito de Integrção de Lebesgue revolucionou Análise Mtemátic, não pens pelo fto de se bser num teori de medid, ms por ser muito mis plicável que os conceitos de Riemnn usdos té então. Este trblho trt de presentr integrl introduzid por Lebesgue, bem como fzer um breve comprção entre est e integrl de Riemnn. Dividimos o texto em três prtes onde, no primeiro cpítulo presentmos lguns dos principis resultdos sobre qudrturs o longo d históri que culminm com Integrl de Lebesgue; no segundo cpítulo introduzimos o conceito de medid de Lebesgue pr então definirmos su Integrl e, por fim, fremos um comprção entre s integris de Riemnn e Lebesgue, presentndo idei d construção d integrl feit por Lebesgue e o resultdo que grnte que clsse ds funções integráveis à Riemnn está contido n clsse ds funções integráveis à Lebesgue. Plvrs-Chve: Teori d Integrção; Integrl de Lebesgue; Integrl de Riemnn; Teori d Medid.

Abstrct Lebesgue s theory ws the first ttempt to orgnize fruitful mthemticl concept of the integrl nd, ccordingly, it is sid tht the theory of integrtion ws creted in the twentieth century. The concept of Lebesgue Integrtion revolutionized the Anlysis Mthemtics, not only becuse it is bsed on theory of mesure, but becuse it is much more pplicble thn the concepts of Riemnn used hitherto. This work ims to present the integrl introduced by Lebesgue, s well s brief comprison between this nd the Riemnn integrl. We divide the text into three prts where the first chpter we present some of the min results on squres throughout history culminting in the Lebesgue Integrl, in the second chpter we introduce the concept of Lebesgue mesure nd then define its integrl, nd finlly, we will compre the integrls of Riemnn nd Lebesgue, presenting the ide of construction of the Lebesgue integrl nd the result by ensuring tht the clss of Riemnn integrble functions is contined in the clss of the Lebesgue integrble functions. Keywords: integrtion theory, Lebesgue Integrl, Riemnn Integrl, Mesure Theory.

Sumário Introdução 7 1 Destques Históricos 9 1.1 Rerrnjos....................................... 9 1.2 Eudoxo (408-355.C.) e o Método d Exustão.................. 10 1.3 As luns de Hipócrtes (430.C).......................... 11 1.4 Arquimedes (287-212.C.)............................. 13 1.5 Pierre Fermt (1601-1665).............................. 14 1.6 Leibnitz (1646-1716); Newton (1642-1723).................... 15 1.7 Cuchy (1789-1857).................................. 17 1.8 Riemnn (1823-1866)................................. 18 1.9 Emile Borel (1871-1956), Cmile Jordn (1838-1922), Giuseppe Peno ( 1858-1932).......................................... 22 1.10 Henri Lebesgue (1875-1941); Willim Young (1863-1942)............. 24 2 A integrl de Lebesgue 26 2.1 Medid Exterior.................................... 26 2.2 Conjuntos Mensuráveis............................... 30 2.3 Funções Mensuráveis................................. 36 2.4 A Integrl de Lebesgue................................ 40 2.4.1 Teorems de Convergênci......................... 42 3 A integrl de Riemnn à Lebesgue 46 3.1 Construção de Lebesgue............................... 46 3.2 Exemplos de Funções Integráveis.......................... 49 5

3.3 A Integrl de Lebesgue como extensão d Integrl de Riemnn......... 51 Considerções Finis 53 6

Introdução Pode-se dizer que Lebesgue criou primeir teori d integrção de fto. Váris definições, teorems e exemplos ntecederm seu trblho, ms não tinhm consistênci e completude de um verddeir teori. No entnto, estes resultdos nteriores contribuírm diretmente pr elborção de um teori sofisticd de integrção. Especificmente, permitirm Lebesgue ter medid como ponto de prtid à crição de su integrl e fornecerm-lhe um quntidde rzoável de problems teóricos descobertos no estudo d integrl de Riemnn. Lebesgue percebeu que integrl de Riemnn tem o defeito de só se plicr em csos excepcionis, pois el ssume não mis que uns poucos pontos de descontinuidde pr um função. Se um função y = f(x) tem muitos pontos de descontinuidde, então à medid que o intervlos (x i 1, x i ) vão diminuindo, os vlores f(x i 1 ) e f(x i ) não se tornm necessrimente próximos. Assim, o invés de prticionr o domínio d função, Lebesgue decompôs imgem de f em intervlos y i e definiu "soms integris" prtir dess decomposição e d medid dos conjuntos dos pontos do domínio tl que imgem de f estej contid em y i, tendo o vlor d integrl qundo os comprimentos dos intervlos d decomposição tendem zero. As ideis de Lebesgue se fstrm tnto ds usds n époc que form, em principio, refutds e extremmente criticds, ou ind, ceits com desconfinç (inclusive o próprio Lebesgue foi tomdo por dúvids interiores cerc de seus trblhos). Porém, com o pssr do tempo o vlor de sus ideis encontrou constnte reconhecimento e noção de medid e integrl no sentido de Lebesgue foi se tornndo cd vez mis imprescindível o desenvolvimento e orgnizção de novs teoris, principlmente, no cmpo d Análise Mtemátic. Este trblho trt de presentr integrl introduzid por Lebesgue, bem como fzer 7

um breve comprção entre est e integrl de Riemnn. Cbe slientr que nosso trblho foi bsedo nos resultdos obtidos no Progrm de Inicição Científic d UEPB, prtir do projeto intituldo "Introdução à Integrl de Lebesgue, Análise Funcionl e Aplicções". Porém, no desenvolvimento do mesmo nos utilizmos do método de Riesz pr construção d Integrl de Lebesgue, o qul não vmos trtr nesse texto, devido os objetivos trçdos pr este trblho. Assim, dividimos o texto em três prtes, onde no primeiro cpítulo, noss propost é "fzer um psseio" pel históri d Teori d Integrção, presentndo lguns dos principis resultdos sobre qudrturs que culminm com Integrl de Lebesgue; no segundo cpítulo presentmos lguns resultdos cerc d medid de Lebesgue pr então introduzirmos su Integrl e, por fim, fremos um comprção entre s integris de Riemnn e Lebesgue, lém de presentr idei d construção d integrl feit por Lebesgue e demonstrr o resultdo que grnte que clsse ds funções integráveis à Riemnn está contido n clsse ds funções integráveis à Lebesgue. 8

Cpítulo 1 Destques Históricos Um ds principis crcterístics que diferem mtemátic de outrs ciêncis é o fto de que, com o pssr do tempo, seus conceitos são sempre extendidos, jmis corrigidos. Cd grnde mtemático crescent lgo novo o já existente, ms nd tem que ser retirdo. O conceito de integrl, como prte dess históri, tmbém obedece regr: Cd nov idei é um extensão d nterior. Por isso, dedicmos este cpítulo um breve presentção ds miores descoberts sobre qudrturs que culminm com integrl de Lebesgue. 1.1 Rerrnjos Há centens de nos os mtemáticos usm os rerrnjos pr tentr encontrr áre de regiões curvs. O método consiste em "reorgnizr" figur de modo que fique semelhnte um imgem cuj áre é conhecid. Seguem lguns exemplos desse método. 9

1.2 Eudoxo (408-355.C.) e o Método d Exustão Eudoxo foi o responsável pel noção de proximção de regiões curvs trvés de regiões poligonis. Est noção foi usd pr mostrr que s áres de dois círculos estão um pr outr como os qudrdos de seus diâmetros, o que é óbvio pr polígonos regulres. Esse resultdo é bsedo no fmoso Axiom de Eudoxo o qul é presentdo seguir: Se de um grndez qulquer subtrirmos um prte não menor que su metde e do resto novmente subtri-se um prte não menor que metde e se esse processo de subtrção é continudo, finlmente restrá um grndez menor que qulquer grndez de mesm espécie. Em terminologi modern: Ddos M e ɛ > 0, com 0 < ɛ < M, considere: M, M rm (1 r)m, (1 r)m r(1 r)m (1 r) 2 M,..., com 1 < r 1. O xiom grnte que 2 pr n suficientemente grnde, existe N tl que, (1 r) N M < ɛ ou ind, equivle dizer que lim n M(1 + r) n = 0. Um consequenci disso, diz que os números nturis não são 10

limitdos superiormente. Retornndo o problem, devemos mostrr que ddos os círculos c e C com áres e A e diâmetros d e D respectimente, temos /A = d 2 /D 2. Suponh que /A > d 2 /D 2, então, existe <, com 0 < e /A = d 2 /D 2. Sej ɛ <. Inscrev polígonos regulres de áres p n e P n nos círculos c, C e considere s áres p n e A P n : Agor, dobrndo o número de ldos temos p 2n < 1 2 ( p n). Logo, em cd fse d duplicção nós subtrimos um vlor mior que metde do vlor nterior. Assim, dobrndo sucessivmente o número de ldos podemos, pelo Axiom de Eudoxo, determinr N tl que, 0 < p N < ɛ < ou sej, temos um polígono regulr de N ldos inscrito no círculo c, cuj áre p N >. Ms, p N /P N = d 2 /D 2 e desde que /A = d 2 /D 2, então p N /P N = /A, o que crret P N > A. Absurdo, pois P N é re de um poligono inscrito no circulo C de áre A. De form nálog mostrmos que não pode ser /A < d 2 /D 2. Donde podemos concluir /A = d 2 /D 2 1.3 As luns de Hipócrtes (430.C) Hipócrtes de Chios, um comercinte de Atens, foi um dos primeiros indivíduos encontrr áre de um figur pln limitd por curvs. Ele teve grnde sucesso n qudrtur de certs luns especiis (um lun é um figur limitd por dois rcos circulres de rios diferentes). Como exemplo do trblho de Hipócrtes, observemos figur bixo: 11

ABC e AF C são rcos circulres de centro E e D, respectivmente. Hipócrtes mostrou que áre d região limitd pelos rcos círculres ABC e AF C é extmente áre do qudrdo cujo ldo é o rio do círculo. A demonstrção depende dos seguintes pressupostos: () As áres dos dois círculos estão, um pr outr, como os qudrdos de seus rios. (b) A prtir d hipótese nterior concluímos que os setores circulres de mesmo ângulo centrl dos dois círculos, estão um pr o outro como o qudrdo de seus rios. (c) Os segmentos de dois círculos com ângulo centrl igul estão um pr o outro como os qudrdos dos seus rios. Segue, então, o rgumento de Hipócrtes: 12

Prtindo de (c), temos que A 1 /A 4 = r 2 /( 2r) 2 = 1/2. Assim, A 1 = 1 2 A 4, A 2 = 1 2 A 4 e ind A 1 + A 2 = A 4. Logo, áre d lun é áre d lun = A 1 + A 2 + A 3 = A 4 + A 3 = áre do triângulo = 1 2 ( 2r)( 2r) = r 2 = áre do qudrdo. 1.4 Arquimedes (287-212.C.) Arquimedes de Srcus é considerdo um dos miores intelectuis de todos os tempos e o mior mtemático d Antiguidde. Um de seus grndes feitos foi resolver questão de qudrr um secção cônic, mis especificmente, um segmento de prábol, o qul fez primeirmente pelo método de exustão de Eudoxo, sendo prov, por este cminho, long e elbord. Arquimedes demonstrou rigorosmente que áre K de um segmento prbólico é 4/3 d áre de um triângulo inscrito ABC, tendo mesm bse e mesm ltur. Arquimedes deu, tmbém, um segund prov pr esse mesmo teorem, diferente d primeir, qul vmos presentr seguir. Considere um segmento de prábol como o d figur bixo. 13

A demonstrção segue d seguinte form: Combinds, s áres do triângulos ADC e BEC equivlem 1/4 d áre do triângulo ACB, isto é, ADC + BEC = 1 4 ( ACB)1 Repetindo o processo n tenttiv de "esgotr" áre entre curv prbólic e o triângulo inscrito, obtemos: K = áre do segmento prbólico = ACB + 1 4 ( ACB) + 1 (1 4 4 ( ACB)) +... = ACB ( 1 + 1 4 + 1 4 2 +...) = 4 3 ( ACB) 1.5 Pierre Fermt (1601-1665) Por volt de 1630, o mtemático itlino Cvlieri demonstrou que 0 x n dx = bn+1 n + 1 pr n = 1, 2, 3,..., 9 usndo um rgumento geométrico que comprv potêncis dos segmentos num prlelogrmo prlelos à bse com s potêncis correspondentes de segmentos em qulquer dos dois triângulos em que um digonl divide o prelogrmo. Fermt, então, provou que onde p/q é um número rcionl positivo. 0 x p q dx = b p q +1 p q + 1 O rciocínio de Fermt é presentdo seguir: Fermt dividiu o intervlo [0, b] num sequenci infinit de subintervlos com s extremiddes d form br n, 0 < r < 1 e ergueu um retângulo de ltur (br n ) p q sobre o intervlo [br n+1, br n ]. 1 O símbolo está sendo usdo pr denotr "áre de" 14

Denotndo por S r som ds áres dos retângulos, segue que: S r = (b br)b p q + (br br 2 )(br) p q +... + (br n br n+1 )(br n ) p q +... = b p q +1 (1 r) [ 1 + r p q +1 + r ( p q +1)2 +... + r ( p q +1)n +... ] = b p q +1 (1 r) 1 r p q [ +1 ] 1 (r 1 = b p q ) q 1 q +1 (1 r q ) [ ] (1 r 1 q ) 1 (r 1 q ) p+q = b p q +1 (1 + r 1 q +... + r q 1 q ) (1 + r 1 q +... + r p+q 1 q ) r 1 b p q +1 q p + q = b p q +1 p q + 1. 1.6 Leibnitz (1646-1716); Newton (1642-1723) Durnte os séculos dezessete e dezoito integrl foi pensd em sentido descritivo, como um ntiderivd, isso por cus do Teorem Fundmentl do Cálculo (TFC), tl como foi desenvolvido por Leibnitz e Newton. Atulmente, Newton e Leibnitz são tidos como os inventores do Cálculo Diferencil, seus trblhos perfeiçorm o método de Arquimedes, lnçndo s bses do Cálculo Integrl. Um função prticulr f definid em [, b] estv integrd qundo encontrv-se um ntiderivd F, isto é, F = f ou encontrndo um expnsão em séries de potêncis e usndo o TFC pr integrr termo termo. A integrl de Leibnitz-Newton de f ssumi o vlor de F (b) F (), ou sej, onde F = f. f(x)dx = F (b) F (), A seguir, presentremos um rgumento de Leibnitz e um resultdo de Newton pr mostrr cpcidde desses gênios. 15

Leibnitz mostrou que: π 4 = 1 1 3 + 1 5 1 7 +... Tomndo um qurto do círculo (x 1) 2 + y 2 = 1, 0 x 1 cuj áre é π/4: Leibnitz determinou áre do setor circulr dividindo- em triângulos infinitesimis OAB, sendo A e B dois pontos próximos, pertencentes circunferênci, e somndo sus áres. (Pr estimr áre de OAB, vmos escrever, de gor em dinte OAB). Ele trçou tngente do círculo no ponto A, com perpendiculr, pssndo pel origem, em C. Então OAB 1/2AB OC. Pelo conhecimento de triângulos semelhntes, AB/dx = z/oc, ssim OAB = 1/2zdx. Note que: x = 1 cos φ = 2sen 2 φ 2 e z = tn φ 2 isto é, x = 2z 2 /(1 + z 2 ). Leibnitz sbi que xz = zdx + xdz: Portnto 16

Áre do setor circulr = e, dcionndo1/2 mbos os membros 1 0[ 1 2 zdx = 1 xz 1 0 2 [ = 1 2 1 1 0 1 0 xdz ] ] 2z 2 1 + z dz 2 = 1 1 2 z 2 (1 z 2 + z 4...)dz 0 = 1 2 1 3 + 1 5 1 7 +... π 4 = 1 1 3 + 1 5 1 7 + 1 9 + 1 11... π Newton mostrou que: 4 2 = 1 + 1 3 1 5 1 7 +... Um vez que Newton hbitulmente integrv séries termo termo, e (1+x 2 )/(1+x 4 ) = (1 + x 2 )(1 x 4 + x 8...) = 1 + x 2 x 4 x 6 +..., obtemos 1 0 1 + x 2 1 + x 4 dx = 1 + 1 3 1 5 1 7 + 1 9 + 1 11... Vmos completr o rgumento observndo que [ ] 1 + x 2 1 + x = 1 1 4 2 1 2x + x + 1 2 1 + 2x + x 2 e depois vlindo s integris dequds com substituição x + 2 2 = 1 2 tn θ, donde temos que 1 0 1 + x 2 1 + x 4 dx = π 4 2. 1.7 Cuchy (1789-1857) Cuchy foi um dos primeiros mtemáticos usr o conceito de limite tl qul conhecemos hoje, o que lhe serviu pr redefinir derivção e integrção. A definição de Cuchy 17

de derivd deixv clro que derivd não existe num ponto em que função é descontínu, ms integrl poderi não ter dificulddes nesse mesmo ponto. Em 1823, Cuchy formulou um rquitetd definição de integrl, recordndo s proximções de Cvlieri e Fermt, ms com um diferenç fundmentl: o invés de funções específics (x 2, x 1/3,...) ele começou com um função genéric f definid em [, b] e estbeleceu som: S = f(x 0 )(x 1 x 0 ) + f(x 1 )(x 2 x 1 ) +... + f(x n 1 )(x n x n 1 ), onde = x 0 < x 1 <... < x n 1 < x n = b é um prtição de [, b]. A integrl de Cuchy er o limite de tl som qundo o máximo dos (x n x i 1 ),denotdo por x, se proxim de zero: f(x)dx = lim x 0 n f(x i 1 )(x i x i 1 ). i=1 Cuchy rgumentou que se f é continu em [, b], então este limite existe. Além disso, devemos mencionr que Cuchy provou o Teorem Fundmentl do Cálculo, e ssim fixv integrção de funções contínus em intervlos fechdos e limitdos. Cbe ressltr, tmbém, que é do conceito de Cuchy de integrl como limite de som em vez de ntiderivção que provierm s muits e frutífers generlizções d integrl. A construção de Cuchy: f(x 0 )(x 1 x 0 ) + f(x 1 )(x 2 x 1 ) +... + f(x n 1 )(x n x n 1 ) 1.8 Riemnn (1823-1866) Distrído investigndo s Séries de Fourier e, consequentemente, questão d convergênci, Riemnn (1854) questionou: "O que se deve entender por f(x)dx?". Su respost (que é mis usd n definição de integrl), é chmd Integrl de Riemnn: f(x)dx = lim x 0 18 n f( x i )(x i x i 1 ), i=1

onde x i é um ponto rbitrário de [x i 1, x i ] e f é limitd em [, b]. A construção de Riemnn: f( x 1 )(x 1 x 0 ) +... f( x i )(x 2 x 1 ) +... + f( x n )(x n x n 1 ) Com est nov definição, Riemnn determinou um exigênci menor com relção obrigtoriedde d continuidde discrit por Cuchy. Ele provou que o limite n f( x i )(x i x i 1 ) lim x 0 i=1 existe se, e somente se, f é limitd em [, b] e pr cd pr de números positivos ε e δ, existe um η > 0 tl que, sendo P um prtição de [, b] onde x < η, som dos comprimentos dos subintervlos [x i 1, x i ], com sup f inf f δ [x i 1,x i ] [x i 1,x i ] é menor que ɛ. Em outrs plvrs um função f é integrável à Riemnn em [, b] se, e somente se, s grndes oscilções de f são restrits um "pequeno"conjunto. Em seguid, Riemnn dá um exemplo genil de um função f que é descontínu em um conjunto de pontos denso em R, ms, no entnto, é integrável à Riemnn. Exemplo 1.8.1. Função/Exemplo de Riemnn: f(x) n=1 (nx) n 2, onde (x) denot diferenç entre x e o inteiro mis próximo, se x não é d form k + 1 2, k Z. Cso contrário, se x é d form k + 1 então (x) = 0. Vmos exminr cuiddosmente 2 est função. Sej φ n (x) = (nx), n = 1, 2, 3,.... Se n = 1; φ 1 é descontínu em x = 2k+1. Pois, 2 (( 2k + 1 ) ) φ 1 = + 1 ( 2k + 1 ) 2 2, φ 1 2 (( 2k + 1 ) + ) = 0 e φ 1 = 1 2 2.2 2 ( 2k+1 2 ) denot o limite de φ 1 (x) qundo x se proxim de ( 2k+1 2 ) pel esquerd, nlogmente, ( 2k+1 2 ) + é o limite direit de φ 1 (x) qundo x tende ( 2k+1 2 ). 19

Se n = 2; φ 2 é descontínu em x = 2k+1. Pois, 4 (( 2k + 1 ) ) φ 2 = + 1 ( 2k + 1 ) 4 2, φ 1 4 (( 2k + 1 ) + ) = 0 e φ 1 = 1 4 2 Pr n N φ n é descontínu em x = 2k+1. Pois, 2n ( 2k + 1 ). (( 2k + 1 ) ) φ 1 = + 1 2n 2, φ 1 2n. (( 2k + 1 ) + ) = 0 e φ 1 = 1 2n 2 E ssim por dinte. (nx) Agor, em quis pontos f(x) = é contínu? Pelo Teorem de Weirstrss, n 2 n=1 m (nx) sequênci f m (x) = converge uniformemente pr f em R. Portnto, se x 0 não n=1 n 2 é d form (2k + 1)/2n; n, k = 1, 2, 3,... então φ n é contínu pr todo n, e desde que convergênci uniforme de um sequênci de funções contínus grnte continuidde d função limite, f é contínu em x 0. Rest-nos mostrr que f é descontínu num conjunto de pontos {(2k + 1)/2n; k, n = 1, 2, 3,...} 20

denso em R. Denote (g(x ) g(x + )) por g(x). Pr n = 1. Sej x = 2k+1 2. Logo, φ 1 = 1, φ 2 = 0, φ 3 = 1 e em gerl, φ 2i = 0, φ 2i 1 = 1, i N. Assim, ( 2k + 1 ) f = 1 2 1 + 1 2 3 + 1 π2 +... = 2 52 8. Pr n = 2. Sej x = (2k + 1)/4. Logo, φ 1 = 0, φ 2 = 1, φ 3 = 0, φ 4 = 0, φ 5 = 0, φ 6 = 1, φ 7 = 0, etc. Repetindo sempre o seguinte pdrão 0, 1, 0, 0, 0, 1. Assim, }{{} ( 2k + 1 ) f 4 = 1 2 + 1 2 6 + 1 2 10 +... [ 2 ] = 1 1 2 2 1 + 1 2 3 + 1 2 5 +... 2 = 1 2 2 π2 8.. Pr n N. Sej x = 2k+1 2n. Logo, φ 1 = φ 2 =... = φ n 1 = 0, φ n = 1, φ n+1 =... = φ 2n = 0,.... Repetindo sempre o seguinte pdrão 0, 0,..., 0, 0, 1, 0, 0,..., 0, 0, 0, 0,.... }{{}}{{} n ftores n ftores Assim, ( 2k + 1 ) f 2n = 1 n + 1 2 (3n) + 1 2 (5n) +... [ 2 ] = 1 1 n 2 1 + 1 2 3 + 1 2 5 +... 2 = 1 n 2 π2 8. Observe que no cálculo de f usmos o fto d convergênci ser uniforme, e ssim "lim = lim", e então mostrmos que f é descontínu num conjunto denso de pontos {(2k + 1)/2n; k, n = 1, 2, 3,...}, onde os "sltos" em (2k + 1)/2n são f((2k + 1)/2n) = 1/n 2 π 2 /8. Cso contrário, f é contínu. Desde que π 2 /8 > δ pr pens um número finito de vlores de n, podemos "cobrir" com um número finito de pequenos intervlos, e ssim f é integrável segundo Riemnn. 21

Agor, como 1 φ 0 n(x)dx = 1 (nx)dx = 0, podemos concluir que, 0 1 0 (nx) n 2 dx = 1 n 2 1 0 (nx)dx = 0 pois como convergênci é uniforme podemos lternr " "e " ". Isto complet noss discussão cerc d função de Riemnn. Durnte os últimos nos do século dezenove váris reformulções d integrl de Riemnn form feits por Peno, Jordn, Volterr, Drboux, e outros os quis vmos reunir sob s "soms de Drboux". Drboux (1875) introduziu s integris superior ( b f(x)dx) e inferior ( f(x)dx) de Riemnn pr funções limitds em [, b]: b sobre tod prtição P de [, b]. f(x)dx = sup P f(x)dx = inf P n inf f.(x i x i 1 ) [x i 1,x i ] i=1 n sup f.(x i x i 1 ) [x i 1,x i ] i=1 Assim, f é dit integrável à Riemnn se, e somente se, b f(x)dx = f(x)dx. Ess definição é equivlente à de Riemnn, porém sendo mis fácil de plicr. 1.9 Emile Borel (1871-1956), Cmile Jordn (1838-1922), Giuseppe Peno ( 1858-1932) Peno tentou fzer conexão entre integrbilidde de um função não-negtiv com "áre" do conjunto S = {(x, y); x b, 0 y f(x)}. Est já er um idei usd pelos ntigos mtemáticos pr funções específics, ms contribuição de Peno (1887) foi formulr mtemticmente um definição de áre. Ele definiu áre intern de S, o qul denotou por i (S), como o menor limite superior ds áres de todos os polígonos que estão contidos em S, e áre extern de S, 0 (S), como o mior limite inferior d áre de todos os polígonos que contêm S. O conjunto S foi, então, definido como tendo áre sempre que i (S) = 0 (S). Not: Se S = {(x, y); 0 x 1, 0 y 1, x, y irrcionl} então i (S) = 0, 0 (S) = 1. 22

Jordn (1892) introduziu idei de conteúdo interior de um conjunto S, c i (S), e conteúdo externo, c 0 (S), determindos por coberturs finits pr definir medid de Jordn. O c 0 (S) n n er ddo por inf mp(i k ), onde I k recobre S e os I k são dois dois disjuntos, nlogmente o c i (S) = sup n mp(i k ) ssim, um conjunto seri mensurável à Jordn qundo c i (S) = c 0 (S) e su medid de Jordn er denotd por c(s). Em seguid, ele pssou definir integrl de um função limitd em um conjunto mensurável de Jordn d seguinte form: Sej P um prtição do conjunto mensurável E em conjuntos mensuráveis E 1,..., E n, onde os E i são dois dois disjuntos. Então s integris superior e inferior de f são dds por: e b f(x)dx = sup P f(x)dx = inf P n i n i inf E i f.c(e i ) sup E i f.c(e i ). Qundo vler iguldde, tem-se integrl de f segundo Jordn. O que difere idei de Jordn ds ideis de Cuchy e Riemnn é o fto de ele prticionr o intervlo [, b] em conjuntos mensuráveis o invés de subintervlos. Borel (1898) crcterizou um medid em conjuntos, determinndo quis proprieddes um plicção deve stisfzer pr ser considerd um medid: Um medid é não negtiv. A medid d som de conjuntos disjuntos é som ds medids dos conjuntos individuis. A medid d diferenç de dois conjuntos, qundo um é um subconjunto do outro, é diferenç entre s medids. Se medid de um conjunto é diferente de zero então ele é não enumerável. Tendo descrito s proprieddes referentes um medid, Borel disse que est deveri ser restrit conjuntos E que podem ser "construídos" por: Um união, finit ou enumerável, de intervlos disjuntos; 23

O complementr de qulquer conjunto E que pode ser construído pel união, finit ou enumerável, de intervlos disjuntos, com respeito qulquer outro conjunto G que tmbém pode ser "construível"como E e que cobre E. Por exemplo, medid de Borel de um intervlo seri seu comprimento, medid de um conjunto berto seri som dos comprimentos dos intervlos que o compõem. Em seguid, poderímos medir um conjunto fechdo como sendo o complemento de um berto, etc. N integrl de Jordn b f(x)dx = inf f.c(e 1 ) +... inf f.c(e i ) +... + inf f.c(e n ) E 1 E i E n f(x)dx = sup E 1 f.c(e 1 ) +... sup f.c(e i ) +... + sup f.c(e n ) E i E n Os conjuntos E i são mensuráveis à Jordn, pois são proximções de intervlos limitdos. O desenho seguir mostr construção de jordn. 1.10 Henri Lebesgue (1875-1941); Willim Young (1863-1942) Willim Young desenvolveu um teori de medid e um teori de integrção independentemente de Lebesgue, ms cerc de três ou qutro nos depois. Porém ele não conseguiu combinr s ideis de áre de um form coerente, como fez Lebesgue. Por outro ldo, ele foi responsável por mostrr que bordgem de Lebesgue poderi ser vist como um generlizção muito nturl d integrl de Jordn: mp([x i 1, x i ]) c(e i ) m(e i ). Young tmbém mostrou que su definição de conjuntos mensuráveis er equivlente de Lebesgue e levntou questão d existênci de conjuntos não mensuráveis, questão ess que foi resolvid por Vitli em 1905. 24

Henri Lebesgue, mtemático frncês, publicou, em 1901, um pequen not no "C.R. Acd. Pris, 132, (1901) pp.86-88" modificndo de modo profundo mneir de definir integrl d idelizd por Riemnn. Como integrl de Riemnn foi mis ceit entre os mtemáticos por um longo período, s ideis de Lebesgue form, em princípio, bstnte refutds e severmente criticds ou, n melhor ds hipóteses, ceits com desconfinç. A integrl de Lebesgue foi primeir tenttiv frutífer de orgnizção mtemátic d noção de integrl, e, tlvez por isso, el se tornou cd vez mis imprescindível o desenvolvimento e orgnizção de novs teoris, principlmente no cmpo d Análise Mtemátic. A integrl de Lebesgue veio snr, ou o menos diminuir, váris deficiêncis d Integrl de Riemmn, como, por exemplo, comuttividde de Σ com, ou sej, f k (x) = k=0 k=0 f k (x) o qul, n integrl de Riemmn, só é possível se série ds funções (f k ) converge uniformente. No último cpítulo desse trblho trtmos de bordr de form mis clr s principis diferençs entre s dus integris, e presentr, de form breve, o conteúdo d primeir not de Lebesgue sobre su integrl onde ele fz um construção técnic de su integrl prtir d integrl de Riemmn. 25

Cpítulo 2 A integrl de Lebesgue Embor integrção sej tão ntig qunto o tempo de Arquimedes, como vimos no cpítulo nterior, costum-se dizer que " teori d integrção foi crid no século XX" e grnde prte desse mérito se deve do conceito de integrl introduzido por Lebesgue. Este cpítulo trt d presentção d integrl de Lebesgue e lgums de sus proprieddes, bem como dos conceitos de conjuntos e funções mensuráveis à Lebesgue. 2.1 Medid Exterior Definição 1. Ddo E R, chm-se medid exterior de E, e denot-se por m e (E) o número m e (E) = inf {I k } A mp(i k ) 1 (2.1) onde A denot coleção de todos os recobrimentos {I k } enumeráveis de E por intervlos I k bertos ou não. Observção 1. Em (2.1) podemos supor os intervlos I k bertos. De fto, ddo ε > 0, existe {I k } A tl que mp(i k ) < m e (E) + ε, isto pel crcterizção do ínfimo. Assim, se k e b k são os extremos de I k e se designrmos por I k, k = 1, 2..., 1 mp(i k ) denot mplitude, ou sej, o comprimento do intervlo I k 26

o intervlo berto ( ) k ε, b 2 k+2 k + ε 2, temos k+2 mp(i k ) = = mp(i k) + ε 2 k+2 mp(i k) + ε 2 < m e(e) + ε. Proposição 1. A medid exterior de E stisfz s seguintes proprieddes: (i) m e (E) 0 (ii) m e ( ) = 0 (iii) m e (E) m e (F ) se E F (iv) m e ({x}) = 0, qulquer que sej o x R (v) m e (E F ) m e (E) + m e (F ) (vi) m e (I) = mp(i), pr todo intervlo I R Prov: (i) Como mp(i k ) 0, I k R, segue que mp(i k ) 0, pr tod fmili {I k } A. Donde segue o resultdo. (ii) Pr todo ε > 0 ddo, o conjunto vzio pode ser coberto por um único intervlo berto de comprimento ε, segue dí que m e ( ) = 0. (iii) Sej {I k } um recobrimento enumerável de F por intervlos bertos. Assim, E F k N I k. Agor, como E F existe {J r } {I k } tl que {J r } recobre E, logo inf E J r I k mp(j r ) inf F I k r=1 (I k ) ou sej, m e (E) m e (F ). (iv) A prov se dá com o mesmo rgumento usdo em (ii). 27

(v) Ddo ε > 0, sejm {I k } e {I r } recobrimentos enumeráveis de E e F respectivmente, tis que e m e (E) > k m e (F ) > r mp(i k ) + ε 2 mp(i r ) + ε 2, o que é possível pel crcterizção do ínfimo. Logo, m e (E) + m e (F ) > k mp(i k ) + r mp(i r ) + ε Pondo {J s } = {I k } {I r}, temos que {J s } é um recobrimento enumerável de E F e mp(j s ) mp(i k ) + mp(i r) s k r Dí, m e (E) + m e (F ) > k mp(i k ) + r mp(i r) + ε s mp(j s ) + ε m e (E F ) + ε Donde m e (E) + m e (F ) > m e (E F ) + ε como ε é qulquer, segue o resultdo. (vi) Consideremos inicilmente I = [, b], fechdo e limitdo. Ddo ε > 0, temos que o intervlo berto ( ε, b + ε) contém [, b]. Assim, m e ([, b]) mp(( ε, b + ε)) = b + 2ε ou sej, m e ([, b]) b. (2.2) Agor, sej {I k } um recobrimento enumerável de [, b] por intervlos bertos. Segue do Teorem de Borel-Lebesgue que {I k } possui um subrecobrimento finito de [, b], o qul vmos denotr por {J 1,..., J n }. Assim n mp(j i ) mp(i k ). i=1 n Como J i, então J i0 pr lgum i 0 {1,..., n}. Denotemos este intervlo por i=1 ( 1, b 1 ), deste modo, temos 1 < < b 1. Se b 1 b, então b 1 [, b]. Como b 1 / ( 1, b 1 ), então pr lgum i 1 {1,..., n}, b 1 J ii = ( 2, b 2 ) e 2 < b 1 < b 2. 28

Prosseguindo com este rciocínio segue que existem ( 1, b 1 ),..., ( n, b n ) intervlos bertos em {J i }, tis que 1 < < b 1, 2 < b 1 < b 2,..., n < b < b n. Donde podemos concluir que 1 < e b < b n. Logo, n mp(i k ) mp(j i ) = (b n n ) +... k N i=1 + (b 1 1 ) = b n ( n b n 1 )... ( 2 b 1 ) 1 > b n 1 > b Portnto, mp(i k ) > b. (2.3) k N Segue de 2.2 e 2.3 que (b ) é cot superior e cot inferior de m e ([, b]), donde concluímos que m e ([, b]) = b Sej I = (, b]. Como [, b] = (, b] {} e (, b] [, b] segue de (iii) que m((, b]) m([, b]) = b. Agor, por (iv) e (v), obtemos b = m e ([, b]) m e ((, b]) + m e ({}) = m e ((, b]). Logo, Assim b m e ((, b]) (b ). m e ((, b]) = b. Os outros csos pr intervlos limitdos são nálogos. Se I é um intervlo ilimitdo, digmos I = [, + ), tome I c fechdo, com I c I, tl que mp(i c ) = c, c > 0. Assim, m e (I) m e (I c ) = c, c > 0. Donde segue que m e (I) = mp(i) = +. 29

Proposição 2. Sej {M k, k N} um fmíli enumerável de conjuntos e sej M = k N M k. Então, m e (M) m e (M k ). k N Prov: Se pr lgum k N, m e (M k ) = +, então nd fzer. Se m e (M k ) < +, k N então, ddo ε > 0, pr cd k existe um coleção enumerável {I k,i } i N de intervlos bertos, tl que {I k,i } i N, recobre M k e M mp(i k,i ) < m e (M k ) + ε 2. k i N Dí, k N{I k,i } é um recobrimento enumerável de M por intervlos bertos e ind, m e (M) mp(i k,i ) = k,i = ( ) mp(i k,i ) k N i N < (m e (M k ) + ε ) = m 2 k e (M k ) + ε. k N k N Portnto, m e (M) < k N m e (M k ) + ε. Como ε é rbitrário, segue o resultdo. Corolário 1. Se E é um conjunto enumerável, então m e (E) = 0. Prov: Sendo E enumerável, temos E = n N{p n }, p n R. Como, pr cd n N, m e {P n } = 0, segue que 0 m e (E) n N m e (p n ) = 0. Logo, m e (E) = 0. 2.2 Conjuntos Mensuráveis Slvo menção explícit, todos os conjuntos considerdos ness seção são subconjuntos de um intervlo [, b] de R. 30

Definição 2. Um conjunto E [, b] é dito mensurável à Lebesgue qundo m e (E) + m e (E c ) = b, onde E c denot o complementr de E reltivo [, b]. Neste cso, m e (E) é dit medid de Lebesgue de E e é denotd por m(e). Observção 2. Segue d definição que se E é mensurável à Lebesgue, então E c tmbém o é. m e (E) + m e (E c ) b, qulquer que sej E [, b]. De fto, sejm {I k }, {J s } recobrimentos enumeráveis de E e E c, respectivmente, por intervlos bertos, tis que m e (E) + ε 2 > k mp(i k ) e m e (E c ) + ε 2 > j mp(j s ), onde ε > 0 é rbitrário. Dí, temos que {I k } {J s } é um recobrimento de [, b], donde pelo Teorem de Borel- Lebesgue, dmite um recobrimento finito, {S 1,..., S n }, de [, b]. Agor, n mp(s i ) i=0 mp(i k ) + mp(j s ) k s < m e (E) + m e (E c ) + ε, n como [, b] S i, segue que i=1 b Como ε é rbitrário, segue que n mp(s i ) < m e (E) + m e (E c ) + ε. i=1 b m e (E) + m e (E c ). Proposição 3. Se m e (E) = 0, então E é mensurável. Prov: Devemos mostrr que b m e (E) + m e (E c ). De E c [, b], segue que m e (E c ) b. Por hipótese, m e (E) = 0, logo m e (E) + m e (E c ) 0 + b = b. 31

Proposição 4. Sejm E, F [, b] mensuráveis, então: (i) E F é mensurável; (ii) Se E F, então F E é mensurável e m(f E) = m(f ) m(e). Prov: (i) Devemos mostrr que M e (E F ) + m e ((E F ) c ) = m e (E F ) + m e (E c F c ) b. Note que E F = F (E F c ), logo m e (E F ) m e (F ) + m e (E F c ). Assim, m e (E F ) + m e (E c F c ) m e (F ) + m e (E F c ) + m e (E c F c ). (2.4) Agor, pr tod fmíli {I k } que recobre E F c e {J s } que recobre E c F c, temos m e (E F c ) k mp(i k ) e m e (E c F c ) s mp(j s ). Como F c é união disjunt de E c F c e E F c, segue que {S r } = {I k } {J s } recobre F c e ess união pode ser considerd disjunt pr lgum fmíli {I k } que recobre E F c e {J s } que recobre E c F c. Assim, m e (E F c ) + m e (E c F c ) k mp(i k ) + s mp(j s ) = r mp(s r ). Donde obtemos, Substituindo em (2.4), obtemos m e (E F c ) + m e (E c F c ) m e (F c ). m e (E F ) + m e (E c F c ) m e (F ) + m e (F c ) = b, pois, por hipótese F [, b] é mensurável. (ii) Como E F, segue que F = E (F E c ). 32

Sej {I k } um recobrimento enúmervel de F por intervlos bertos, tl que ddo ε > 0, m(f ) + ε > mp(i k ). Temos que {I k } = {J s } {S r } onde {S r } recobre (F E c ), e {J s } s N é um recobrimento de E.{J s } e {S r } podem ser considerdos disjuntos, visto que I k é k N berto e portnto pode ser escrito como união disjunt de intervlos bertos. Dí, m(e) mp(j s ) que implic em m(e) mp(j s ), donde, s N s N m(f ) m(e) + ε > mp(i k ) mp(j s ) = mp(s r ) k N s N r N m e (F E c ) = m e (F E). Assim, m(f ) m(e) + ε > m e (F E), como ε é rbitrário, segue que m(f ) m(e) m e (F E) (2.5) Por outro ldo, (F E c ) c = (F c E) donde m e ((F E) c ) = m e (F c E) m(f c ) + m(e) (2.6) De 2.5 e 2.6, obtemos m(f ) m(e) + m(f c ) + m(e) m e (F E) + m e ((F E) c ) Como, pel Observção 2: b = m(f ) + m(f c ) m e (F E) + m e ((F E) c ) m e (F E) + m e ((F E) c ) b segue m e (F E) + m e ((F E) c ) = b. (2.7) Logo F E é mensurável. Agor, por 2.6 segue que m ((F E) c ) m(f c ) + m(e). Usndo 2.7 e o fto de F ser mensurável obtemos b m(f E) b m(f ) + m(e) 33

donde, m(f E) m(f ) m(e). Como, em 2.5 temos desiguldde contrri, segue que m(f E) = m(f ) m(e). Lem 1. Sejm E 1,, E n um sequênci finit de conjuntos mensuráveis disjuntos. Então ( n ) m E i = i=1 n m(e i ) i=1 Prov: Podemos considerr que onde E n+1 = [, b] n i=1 E i. n E i = [, b], pois do contrário considermos [, b] = i=1 A prov segue por indução sobre n. Pr n = 1 iguldde é trivil. Suponh que iguldde vle pr n = k 1, ou sej, k Note que Ek c = (E i E k ) = i=1 k 1 i=1 m ( k 1 ) k 1 E i = m(e i ). i=1 E i.dí, i=1 b = m(e k ) + m(e c k) = m(e k ) + m k 1 = m(e k ) + m(e i ) = i=1 ( k 1 k m(e i ). i=1 ) E i i=1 n+1 i=1 E i, Proposição 5. Sej {M k ; k N} um fmíli enumerável de conjuntos mensuráveis e sej M = k N M k. Então (i) Se os M k são dois dois disjuntos, então M é mensurável e vle m(m) = m(m k ); (ii) Se fmilí {M k ; k N} é crescente, isto é, M 1 M 2... M k... então M é mensurável e tem-se m(m) = lim k m(m k ); (iii) Se os M k são qulquer, então M é mensurável e vle m(m) 34 m(m k )

n Prov: (i) Sej F n = M k segue que F n é mensurável, por plicções sucessivs do item (i) d Proposição 4 e F c n M c. Assim, b = m(f n ) + m(fn) c m(f n ) + m e (M c ), n segue do Lem nterior que m(f n ) = m(m k ), logo, b n m(m k ) + m e (M c ), donde pssndo o limite qundo n, obtemos b m(m k ) + m e (M c ) m e (M) + m e (M c ). Portnto, M é mensurável e m(m) = lim n m(f n ) = lim n ( n ) m(m k ) = m(m k ). (ii) Considere F 1 = M 1, F 2 = M 2 M 1,..., F k = M k M k 1. Segue do item (ii) d Proposição 4 que os F k são mensuráveis e tem-se que m(f k ) = m(m k ) m(m k 1 ). Além disso, eles são dois dois dsjuntos e M = F k. Logo, pelo item (i), temos M mensurável e vle m(m) = m(f k ) = k=2 (m(m k ) m(m k 1 )) + m(m 1 ) = lim k m(m k ). (iii) Considere {F k ; k N} onde F k =... F k.... Além disso, M = F k. k M n. Então cd F k é mensurável e vle F 1 F 2 n=1 Dí, por (ii) tem-se que M é mensurável e vle ( k m(m) = lim m(f k ) = lim m k k n=1 ) ( k M n lim k n=1 ) m(m n ) = m(m k ). Proposição 6. Sej {M k, k N} um fmíli de conjuntos mensuráveis, e sej M = k N M k. Então 35

(i) M é mensurável (ii) Se fmíli {M k, k N} é decrescente no sentido de inclusão, então lim k m(m k ). Prov: (i) Como M c = k N M c k e cd M c k é mensurável, pois M k é mensurável pr todo k N, segue d Proposição 4 que M c é mensurável e portnto M é mensurável. (ii) Sendo fmíli {M k, k N} decrescente, segue que fmíli {Mk c, k N} é crescente. Como, M c = k N M k, segue pel Proposição 5 que m(m c ) = lim k m(m c k), ou sej, Donde, m(m) = lim k m(m k ). b m(m) = lim k ((b ) m(m k )) = b lim k m(m k ). 2.3 Funções Mensuráveis Nest seção presentmos o conceito de funções mensuráveis e lgums de sus proprieddes. Definição 3. Um função f : (, b) R é dit mensurável Lebesgue se o conjunto {x (, b); f(x) c} for mensurável qulquer que sej c R. Proposição 7. Sej f : (, b) R um função. Então, são equivlentes: () {x (, b), f(x) c} é mensurável c R; (b) {x (, b), f(x) > c} mensurável c R; (c) {x (, b), f(x) c} é mensurável c R; (d) {x (, b), f(x) < c} é mensurável c R. Prov: Os conjuntos {x (, b), f(x) c} e {x (, b), f(x) < c} são complementres, logo () (b), pelo mesmo motivo (c) (d). 36

(b) (c) Sej c R. Note que {x (, b), f(x) c} = n=1 { x (, b); f(x) > c 1 }. n Pr cd n N o cojunto {x (, b), f(x) > c 1 } é mensurável por hipótese. Segue n d Proposição 5 que interseção rbitrári é mensurável, donde {x (, b), f(x) c} é mensurável. (c) (b) Como {x (, b), f(x) > c} = n=1 { x (, b); f(x) c + 1 }. n Então, como por hipótese, {x (, b), f(x) c + 1 } é mensurável pr cd n N, união n rbitrári é mensurável, donde segue o resultdo. Corolário 2. Se f : (, b) R, então {x (, b), f(x) = c} é mensurável pr todo c R. Prov: Temos que {x (, b), f(x) = c} = {x (, b), f(x) c} {x (, b), f(x) c} como intersecão de conjuntos mensuráveis é mensurável segue o resultdo. Proposição 8. Sejm α R e f e g funções mensuráveis em (, b). Então, são mensuráveis: (i) f + α; (ii) αf; (iii) f + g; (iv) f g; (v) fg. Prov: (i) Pr todo c R vle {x (, b), f(x) + α > c} = {x (, b), f(x) > c α}, onde o conjunto d direit é mensurável por hipótese. Logo f + α é mensurável. (ii) Se α = 0 então αf 0, x (, b). Afirmção: tod função constnte é mensurável. 37

De fto, sej g : (, b) R, tl que g(x) = L, L R. Se c L, o conjunto {x (, b), g(x) c} = (, b). Se c < L, então o conjunto {x (, b), g(x) c} =. Como (, b) e são mensuráveis, segue o resultdo. D firmção, segue que αf é mensurável. Se α > 0, temos {x (, b), (αf)(x) > c} = {x (, b), f(x) > α 1 c}, como o conjunto d direit é mensurável, segue o resultdo. Se α < 0, {x (, b), (αf)(x) > c} = {x (, b), f(x) < α 1 c} o qul é mensurável c R. Logo, αf é mensurável. (iii) Note que f(x) + g(x) > c f(x) > c g(x). Sej r Q, tl que f(x) > r > c g(x) o que é possível devido densidde de Q em R. Assim, f(x) + g(x) > c, se g(x) > c r e f(x) > r. Portnto, {x (, b), f(x) + g(x) > c} = r Q{x (, b), f(x) > r} {x (, b), g(x) > c r}, que é mensurável, pois é reunião enumerável de interseção de mensuráveis. (iv) Como f g = f + ( g), segue pelo feito nteriormente que f g é mensurável. (v) Como f.g = 1 ((f + 4 g)2 (f g) 2 ) result que nosso problem se reduz mostrr que f 2 é mensurável se f é mensurável, pois som e diferenç de funções mensuráveis são mensuráveis. Sej c R. Se c 0, então {x (, b), f(x) 2 > c} = {x (, b), f(x) > c} {x (, b), f(x) < c}, como direit d iguldde temos união de conjuntos mensuráveis, segue que {x (, b), f(x) 2 > c} é mensurável se c 0. Se c < 0 então {x (, b), f(x) 2 > c} = (, b), que é mensurável. Logo, f 2 é mensurável e portnto f.g é mensurável. Proposição 9. Sej (f k ) um sucessão de funções mensuráveis definids em (, b). Então são mensuráveis: 38

(i) (ii) sup f i, pr todo k N; 1 i k inf f i, pr todo k N; 1 i k (iii) sup f k ; k N (iv) inf k N f k; (v) lim k sup f k ; (vi) lim k sup f k. Prov: (i) Desde que { } x (, b); sup f i (x) > c = 1 i k k {x (, b); f i (x) > c} (2.8) segue o resultdo visto que direit d iguldde temos união de conjuntos mensuráveis. Mostrremos iguldde 2.8 { } k Sejm A = x (, b); sup f i (x) > c e B = {x (, b); f i (x) > c}. 1 i k i=1 Dí, se x A, então sup f i (x ) > c, donde f i (x ) > c pr lgum i {1,..., k}, logo 1 i k x {x (, b); f i > c}, portnto x B, ou sej, A B. Agor, se x B então, pr lgum i {1,..., k} tem-se f i (x ) > c. Assim, sup f i (x ) 1 i k f i (x ) > c e portnto, x A. Logo B A, donde temos 2.8. (ii) D relção i=1 inf f i = sup ( f i ), 1 i k 1 i k segue o resultdo, pois f k é mensurável desde que f k é mensurável, k N, por (i) sup ( f i ) e mensurável e portnto sup ( f i ) é mensurável. 1 i k 1 i k (iii) Como { } x (, b), sup f k (x) > α = {x (, b); f k (x) > α} k N segue que o sup f k é mensurável, pois é reunião enumerável de conjuntos mensuráveis. k N (iv) Temos que donde concluímos que inf k N f k é mensurável. inf f k = sup( f k ), k N k N 39

(v) Desde que segue de (iii) e (iv) o resultdo. (vi) De temos que lim k inf f k é mensurável. lim sup f k = inf (sup f i ), k k N i k lim inf f k = lim sup( f k ), k k Corolário 3. Se f, g são mensuráveis, então f g, f g, f +, f e f são mensuráveis, onde (f g)(x) = mx{f(x), g(x)}, (f g)(x) = min{f(x), g(x)}, f + (x) = (f 0)(x), f (x) = ( f 0)(x) e f (x) = f + (x) + f (x), com 0(x) = 0, x (, b). Corolário 4. Se (f k ) é um sequênci de funções mensuráveis e lim k f k (x) = f(x), então f(x) é mensurável. Prov: Como (f k ) é convergente, segue que f(x) = lim k f k (x) = lim k sup f k (x) Do item (v) d Proposição 9, temos que f(x) é mensurável. 2.4 A Integrl de Lebesgue Definição 4. Dizemos que um propriedde vle quse sempre (brevimos por q.s.) num conjunto E, qundo é vlid em E exceto num subconjunto de E cuj medid é nul. Considere um função f limitd e mensurável definid num intervlo limitdo [, b]. Sej (m, M) um intervlo contendo o conjunto de vlores de f, isto é, m < f(x) < M, x (, b). Sej P um decomposição de (m, M) pelos pontos m = y 0 < y 1 <... < y k = M e considere s "soms integris" k 1 k 1 s P (f) = y j m(e j ) e S P (f) = y j+1 m(e j ), (2.9) j=0 j=0 onde E j = {x (, b); y j < f(x) y y+1 }, j = 0, 1,..., k 1. 40

Note que s igulddes de 3.1 fzem sentido, visto que f é por hipótese, mensurável e portnto os E j, j = 0, 1,..., k 1 são conjuntos mensuráveis qulquer que sej decomposição π de (m, M). Nesss condições, definimos integrl de f em [, b] como sendo o limite de s P (f) qundo δ(p ) 0, onde δ(p ) denot mplitude máxim dos intervlos (y j 1, y j ) d decomposição P de (m, M). Se f é um função mensurável e não limitd definid em [, b], vmos dmitir inicilmente que f é não negtiv. Neste cso, pr cd k N considere função f k (x) = min{f(x), k}. Logo f k é não-negtiv, mensurável e limitd, pois 0 f k (x) k, x [, b] e pr cd k N, onde temos f k integrável em [, b]. Assim, sucessão (f k ) é um sucessão crescente, de funções integráveis convergindo q.s., pr f. Se sucessão ds integris f k for convergente, então definimos integrl de f em [, b] como sendo f(x)dx = lim k f k (x)dx. No cso gerl, qundo f é não limitd, escrevemos f = f + f, e dizemos que f é integrável se o forem f + e f, definindo integrl de f como diferenç ds integris de f + e f, isto é, f(x)dx = f + (x)dx f (x)dx. Observção 3. Segue d definição que, se f : [, b] R for mensurável e limitd então f é integrável. Proposição 10. O conjunto ds funções integráveis em [, b] constitui um Espço Vetoril Rel. (N verdde, um subespço ds funções reis definids em [, b]). Prov: Sejm f, g : [, b] R funções integráveis, limitds em [, b] e α, β R. Por serem integráveis segue que f, g são mensuráveis. Logo, pel Proposição 8, αf + βg é mensurável. Agor, como f, g são limitds então αf + βg é integrável. Se f, g são quisquer em (, b), então existem sucessões de funções integráveis e limitds convergindo q.s. pr f, g em (, b). D primeir prte segue que som e o produto por esclr de cd elemento d sequenci é integrável, donde segue o resultdo por pssgem o limite. 41

2.4.1 Teorems de Convergênci Nest seção presentmos vários resultdos referentes convergênci de funções integráveis. Lem 2. Se h(x) 0, x [, b], então h(x)dx 0. Prov: Sej M R, tl que 0 h(x) M e sej P um prtição de [0, M], pelos pontos 0 = y 0 < y 1 <... < y k = M. Assim s P (h) = onde E j = {x (, b], y j 1 < h(x) y j }. Agor, y j 1 lim s P (h) 0, ou ind δ(p ) 0 k y j 1 m(e j ), j=1 0 e m(e j ) 0, j = 1,..., k, donde segue que s P (h) 0 e portnto h(x)dx 0. Corolário 5. Se f, g são integráveis e f(x) g(x) então f(x)dx g(x)dx. Prov: Considere h(x) = g(x) f(x). Temos que h é integrável e h(x) 0 x [, b]. Donde Logo, h(x)dx 0. Ms h(x)dx = g(x)dx g(x)dx f(x)dx. f(x)dx 0. Teorem 1. (Beppo Levi) Sej (f k ) um sucessão crescente de funções integráveis em [, b], cuj sucessão ds integris ( f k ) é limitd superiormente. Então (f k ) converge q.s. pr um função integrável f e f(x)dx = lim k Prov: Consultr Referênci [5]. f k (x)dx. Teorem 2. (Beppo Levi) Se (f k ) é um sucessão decrescente de funções integráveis em [, b], cujo sucessão ds integris é limitd inferiormente, então (f k ) converge q.s. pr um função integrável f e f(x)dx = lim k f k (x)dx. 42

Prov: Segue d form crescente do Teorem 1, considerndo sucessão ( f k ). Observção 4. Sej f um função integrável em (, b). Denotemos por L s (f ) o conjunto ds funções f integráveis em (, b), tl que f(x) f (x), x (, b). Como f g f g segue que f f pr tod função f L s (f ). Assim, se (f k ) é um sucessão de funções em L s (f ), sucessão ds integris é limitd superiormente. Agor, se (f k ) é crescente, segue pelo Teorem 1 (Beppo Levi) que (f k ) converge em [, b] pr f, onde f é integrável em (, b), e ind, como f k f k N, segue que lim k 0 f k = f f. Assim, f L s (f ). Concluímos então que L s (f ) é fechdo por pssgem o limite de sucessões crescentes. Anlogmente o conjunto L i (f ) constituido pels funções f integráveis em [, b], tis que f(x) f (x), x (, b), é fechdo por pssgem o limite de sucessões decrescentes. Dí, se f 0, o conjunto L(f ) formdo pels funções f integráveis em [, b], tis que f (x) f(x) f (x) x (, b) é fechdo por pssgem o limite de sucessões monótons. Como consequênci desse resultdo, temos que, pr tod sucessão (f k ) de funções de L s (f ), função sup f k L s (f ), um vez que sup f k = lim g k, onde g k (x) = mx {f k N k N k i(x)}, 1 i k que é um sucessão crescente. Anlogmente, inf f k L i (f ), se (f k ) L i (f ). k N Donde concluímos que inf f k, sup f k pertencem L(f ) pr tod sucessão (f k ) L(f ), e k N k N ( desse modo, lim sup f k e lim inf f k pertencem L(f ), visto que lim sup f k = lim k k k k ( ) e lim inf f k ) = lim inf f n. k k k n ) sup f n k n Teorem 3. (Convergênci Domind ou Teorem de Lebesgue) Sej (f k ) um sucessão de funções integráveis em [, b], convergente q.s. pr função f. Se existir um função integrável f, tl que f k f q.s. pr tod k N, então f é integrável e vle f(x)dx = lim k f k. 43

Prov: Podemos supor que pr todo k N, f k (x) f (x), x [, b]. Cso contrário, podemos redefinir s f k em conjuntos de medid nul, s funções obtids serão ind integráveis, sus integris coincidirão com s de f k e sucessão dels ind será convergente quse sempre pr f em [, b]. D observção 4, segue que lim inf f k é integrável e vle f lim inf f k f. k k Como, por hipótese, (f k ) é convergente q.s. pr f, temos f = lim inf f k q.s. donde f é k integrável. Agor, ( ) lim inf f k = lim inf f n k k n k Assim, f é limite q.s. d sucessão crescente (g k ) onde g k = inf n k f n e ind, temos g k f m f m k, donde g k (x)dx f m (x)dx f (x)dx, m k, x (, b) De g k(x)dx f (x)dx, result que sucessão de integris ( g k ) tem um mjornte finito, e portnto, pelo Teorem 1, f(x)dx = lim k De g k(x)dx b f m(x)dx, m k, result que lim k f(x)dx lim k inf g k (x)dx. Anlogmente considerndo g k = sup f n, concluímos que n k Logo, f(x)dx = lim k g k (x)dx. f(x)dx lim k sup g k dx lim k inf f k (x)dx. g k (x)dx, f m (x)dx portnto, Teorem 4. (Lem de Ftou) Sej (f k ) um sucessão de funções integráveis em [, b] e não negtivos, convergente quse sempre pr um função f. Suponhmos que existe um constnte c R, tl que 0 f k (x)dx c k N. Então f é integrável em [, b] e tem-se 0 f(x)dx c. 44

Prov: Pr cd k N, sej g k = inf n k f n. Então, g k g k+1 e pel Observção 4, g k L i (0). Logo, (g k ) é um sucessão crescente de funções integráveis. Além disso, g k f k pr todo k N e, portnto, g k (x)dx f k (x)dx c (2.10) donde útim desiguldde segue ds hipóteses sobre (f k ). Temos então que (g k ) é um sucessão crescente de funções integráveis cuj sucessão ds integris tem um mjornte finito, donde pelo Teorem 1, (g k ) converge quse sempre pr um função integrável g e g(x)dx = lim k g k (x)dx. Agor, como (g k ) é crescente, result que ( ) g = lim g k = sup g k = sup inf f n = lim inf f k = f. k k N k N n k k Portnto f é integrável e f(x)dx = Donde desiguldde segue de 2.10. g(x)dx = lim k g k (x)dx c. 45

Cpítulo 3 A integrl de Riemnn à Lebesgue A not publicd por Lebesgue em 1901 que revolucionou teori d integrção continh, bsicmente, os seguintes pontos: Construção técnic de su integrl prtir d integrl de Riemnn. Primeirs definições de medid, função (limitd) mensurável e função integrável. Inclusão d integrl de Riemnn n construção feit por Lebesgue. Algums proprieddes básics ds funções integráveis segundo Lebesgue. Exemplo de um função não integrável à Riemnn, ms integrável à Lebesgue. Alguns desses pontos serão descritos neste cpítulo. 3.1 Construção de Lebesgue Pr definir seu novo conceito de integrl, Lebesgue fez seguinte observção: Suponh f : [, b] R, limitd e crescente, sendo m, M, respectivmente, o ínfimo e o supremo de f em [, b]. Agor observe figur bixo: 46