CÁLCULO NUMÉRICO
Aul 9 Sistems de Equções Lineres Prte
FATORAÇÃO LU Cálculo Numérico /6
FATORAÇÃO LU Um ftorção LU de um dd mtriz qudrd é dd por: onde L é tringulr inferior e U é tringulr superior. Eemplo: A = LU é A = ê ë 8 5 ù é ú = LU = ê û ë ùé úê ûë -7 ù ú û Cálculo Numérico /6
FATORAÇÃO LU Pode ser provdo que, pr qulquer mtriz não-singulr (inversível), s linhs podem ser reordends de form que mtriz resultnte A tenh um ftorção LU, onde: L Mtriz dos multiplicdores m jk com digonl principl,..., U Mtriz do sistem tringulr o finl d eliminção de Guss Cálculo Numérico 5/6
FATORAÇÃO LU Podemos, então, determinr mis fcilmente. Fzemos y = U Psso : Resolvemos o sistem Ly = b pr y. Psso : Resolvemos o sistem U = y pr. Cálculo Numérico 6/6
Teorem Se eliminção de Guss puder ser relizd no sistem liner A = b sem trocs de linhs, então mtriz A pode ser ftord no produto de um mtriz tringulr inferior L e um mtriz tringulr superior U, A = LU, em que: Cálculo Numérico 7/6
Cálculo Numérico 8/6 Eemplo Sej o sistem liner: Resolv utilizndo ftorção LU.
Eemplo A ftorção LU é obtid de: A jk m m m u u u u u u Cálculo Numérico 9/6
Eemplo Usndo o processo de Eliminção de Guss com estrtégi de pivotemento, pr tringulr A, temos: Psso : Eliminção de Pivô = = Multiplicdores: e Então, fremos: e A m E E 5 Cálculo Numérico /6 m E - m E m E ( ) ( E )
Eemplo e Um vez que os elementos são nulos, podemos gurdr os multiplicdores nests posições, então: A 5 MULTIPLICADORES Cálculo Numérico /6
Eemplo Psso : Eliminção de Pivô = = -/ Multiplicdores: Então, fzemos: m E E m E A 5 Cálculo Numérico /6
Cálculo Numérico /6 Eemplo Os ftores L e U são: e L 5 U
Cálculo Numérico /6 Eemplo y y y y y y y 5 y
Cálculo Numérico 5/6 Eemplo 5 5 5
Vntgem d Ftorção LU A ftorção LU é eficiente n solução de sistems de equções lineres que possuem mesm mtriz dos coeficientes A, porém vetor dos termos independentes b diferentes. Neste cso, resolução do novo sistem liner será quse imedit. Cálculo Numérico 6/6
FATORAÇÃO LU: Qundo trocs de linhs são necessáris Cálculo Numérico 7/6
Mtriz de Permutção Qundo s trocs de linhs forem necessáris, utilizremos um mtriz de permutção. Um n n, P = [p ij ] é obtid por meio d reorgnizção ds linhs de I n, mtriz identidde. Isso result em um mtriz com etmente um elemento não-nulo em cd linh e em cd colun, e cd elemento não-nulo é igul. Cálculo Numérico 8/6
Eemplo A mtriz: é ù P = ê êê ú úú ë û é um mtriz de permutção. Cálculo Numérico 9/6
Eemplo Pr qulquer mtriz A ( ), multiplicr à esquerd por P tem o efeito: ( E ) «( E ) PA Cálculo Numérico /6
Eemplo De mneir nálog, multiplicr A à direit por P troc segund e terceir coluns de A. AP Cálculo Numérico /6
Sej o sistem liner A = b e sejm os ftores L e U obtidos pelo processo de Eliminção de Guss com estrtégi de pivotemento. Qundo um troc de linhs for necessári: L e U serão ftores d mtriz A, onde A é mtriz A com s linhs permutds: A =PA Cálculo Numérico /6
Permutr s linhs de A implic permutr s equções de A = b. Então, s mesms permutções efetuds ns linhs de A devem ser efetuds sobre o vetor b: b =Pb A =b Equivlente A=b Cálculo Numérico /6
Se A = LU: A' = b' PA = Pb LU = Pb Resolvemos então: Cálculo Numérico /6
Cálculo Numérico 5/6 Eemplo Considere o sistem: Resolv utilizndo ftorção LU: 9
Eemplo Considere o sistem: A Resolv utilizndo ftorção LU: Como <, temos que fzer: E E Cálculo Numérico 6/6
Cálculo Numérico 7/6 Eemplo, ' P A ' A A P Pivô
Eemplo Usmos os k multiplicdores, cd um multiplicndo respectiv linh k. e fzemos: ( E - m E ) ( E ) j jk k j Cálculo Numérico 8/6
Cálculo Numérico 9/6 Eemplo E E E m = / m = / E E E MULTIPLICADORES
Eemplo A Como <, temos que fzer: E E Cálculo Numérico /6
Eemplo ( A' ) = é ê ê ê ë Pivô - - ù ú ú, P ú û ( ) = é ê ê ê ë ù ú ú ú û Cálculo Numérico /6
Cálculo Numérico /6 8 5 8 5 Eemplo E E E m = -/ MULTIPLICADORES
Cálculo Numérico /6 Eemplo Os ftores L e U são: e L 8 5 U 8 5 A
Cálculo Numérico /6 Eemplo Estes são os ftores d mtriz A = PA, onde P = P () : A' PA A'
Cálculo Numérico 5/6 Eemplo y 9 9 Pb
Cálculo Numérico 6/6 Eemplo y 9 y y y y y y 5 y
Cálculo Numérico 7/6 Eemplo 5 8 5
Referêncis BURDEN, Richrd L.; FAIRES, J. Dougls. Análise numéric. São Pulo, SP: Cengge Lerning, 8. iii, 7 p. ISBN 856. RUGGIERO, Mrci A. Gomes; LOPES, Ver Luci d Roch. Cálculo numérico: spectos teóricos e computcionis.. ed. São Pulo, SP: Mkron, c997. vi, 6 p. ISBN 856. CHAPRA, Steven C.; CANALE, Rymond P. Métodos numéricos pr engenhri. 5. ed. São Pulo: McGrw-Hill, 8. 89 p. ISBN 978-85- 868-87-8. Cálculo Numérico 8/6