TÓPICOS DE MATEMÁTICA

INSTITUTO SUPERIOR DE CONTABILIDADE E ADMINISTRAÇÃO DE COIMBRA SOLICITADORIA E ADMINISTRAÇÃO TÓPICOS DE MATEMÁTICA CÁLCULO EM R

I.Revisões Cálulo om frções Reore que, pr, Not:...3.4 R e, R \ {0}: + + pois + pois pois + + + + om 0 + Cálulos om Potênis Reore que, seno,. R e m, n N: 0, om 0. n... (n ftores) n.3, om 0 n.4 n n ( se n é pr, 0) m n mn.5 ( ).6 m n m+ n

.7 m m n m n, om 0 n.8 m m ( ) m.9 m m m, om 0 3 Polinómios Um polinómio, n vriável x, om oefiientes reis, é um som form: n n n x + n x +... + x + x + 0 one n e, n n,...,,, 0 C prel o polinómio é, portnto, o tipo m x, om n, n,...,,, 0 e m n, n-,,,, 0, e esign-se por termo o polinómio. No termo m x, esign-se por oefiiente e m é o gru. O termo e gru 0 hm-se termo inepenente. O gru o polinómio é igul o mior gru os termos (não nulos) que o ompõem. Termos om o mesmo gru izem-se termos semelhntes. 3. Csos notáveis multiplição ( ) + + + ( ) + ( )( + ) II. Distinção entre Expressão Numéri, Equção, Desigule e Inequção. Expressões Numéris Pr resolver prolems o quotiino, usmos frequentemente, sem que tenhmos onsiêni isso, expressões mtemátis e vários tipos. O tlão e ix um supermero não é mis que um exemplo isso mesmo. Exemplo : Suponh que foi o supermero e omprou us grrfs e zeite e,64,,5 kg e lrnjs,45 /kg, pão por 0,74 e um lt e feijão por 0,59. Qunto tem que pgr? 3

Prouto Quntie Preço unitário Totl pril Azeite,64,64 Lrnjs,5,45,5,45 pão 0,74 0,74 feijão 0,59 0,59 O totl pgr será:,64+,5,45+0,74+0,59 5,8 +,75+0,74+0,59 8,785 Expressões mtemátis, omo utiliz no exemplo, que envolvem um sequêni e operções inis ms não efetus, não são mis que esignções onheis omo expressões numéris. Ests inluem tos s operções funmentis (ição, sutrção, prouto, quoiente) ms tmém potenição e riis. Tmém, poem figurr prêntesis (urvos, retos, hvets). As operções relizm-se teneno à orem s operções já ini:. Exeutr s operções entro e prêntesis o mis interior pr o mis exterior.. Enontrr s potênis e riis 3. Exeutr multiplições e ivisões esquer pr ireit. 4. Exeutr ições e sutrções esquer pr ireit. Exemplo. Determine: ) O totl pgr no exemplo ) ( 3) 3+ 6 4 + 3 ) 4+{ [3( -3)+6/] -3(-) }+ 8/+5 ),64+,5,45+0,74+0,59 5,8 +,75+0,74+0,59 8,785 ) ( 3) 3+ 6 4 + 3 9 6 + 6 4 4 + 3 4

3 9 3 3+ 6 3 ) 4+ {[3( -3)+6/] -3(-) }+ 8/+5 4+{[3(4-3)+3] +6}+4+5 4+[(3 +3) +6]+4+5 4+ (6 +6)+4+5 4++4+5 5 Not. Já tomámos ontto om lgums expressões numéris quno fizemos s revisões e Cálulos om Frções e Cálulos om Potênis.. Expressões Algéris Muitos prolems o quotiino poem ser truzios por fórmuls, isto é, ominções e números reis ( 3,, 5 ), e letrs (, x, t, ), hms vriáveis, 7 ligs pels operções funmentis (ição, sutrção, prouto, quoiente) e tmém potenição e riis. Ests expressões hmm-se expressões lgéris e inluem s expressões esigntóris e s expressões proposiionis. As vriáveis representm toos os números reis pr os quis expressão lgéri se trnsform num esignção ou num proposição. Exemplo 3: O volume V um ix e omprimento, lrgur l e ltur h poe ser enontro trvés expressão lgéri V l h. O vlor futuro V e um investimento e P euros, que ren um juro simples (juro não pitlizo), um tx nul r, epois e t nos, é o pel expressão VP(+rt) Ests expressões lgéris poem ter spetos mis ou menos omplios, e teremos ontto om els n mei em que els neessitemos. De entro s expressões lgéris têm prtiulr interesse s equções, s esigules, s inequções e os sistems e equções. 5

. - Equções.. Noções funmentis Um equção é um onição que exprime um igule () entre us expressões esigntóris. As vriáveis ujo vlor se pretene eterminr hmm-se inógnits. A expressão que se enontr à esquer o sinl hm-se º memro e que se enontr à ireit hm-se º memro equção. Resolver equção é eterminr o(s) vlor(es) que stisfzem equção. A um estes vlores hm-se solução (ou riz) equção. O onjunto s soluções hm-se onjunto-solução equção. Um equção iz-se possível quno tem pelo menos um solução e izse impossível no so ontrário. Dus equções izem-se equivlentes quno têm o mesmo onjuntosolução... Prinípios e equivlêni pr equções Somno mos os memros e um equção o mesmo número rel, otemos um equção equivlente à primeir. Multiplino mos os memros e um equção pelo mesmo número rel iferente e zero, otemos um equção equivlente à primeir...3 Equções Polinomiis Um equção polinomil e gru n é um igule que se poe esrever n form p(x) 0, one p(x) é um polinómio n vriável x e e gru n. (i) Csos prtiulres () Equção o ºgru (ou equção liner): x + 0 ( 0) Um equção liner tem um solução rel (zero ou riz): x + 0 x - x - Exemplo.. Resolv em R : 4x 7 8x + 6

4x 7 8x + 4x 8x + 7-4x 9 x - 4 9 () Equção o ºgru (ou equção quráti): x + x + 0 ( 0) Um equção quráti poe não ter solução rel, um ou us soluções reis istints: Se x + x + 0 ± x 4 >0, equção tem us soluções reis; 4 Se 4 0, equção tem um solução rel upl; Se 4 < 0, equção não tem solução rel, é impossível em R. Exemplos.. Resolv em R : ) x 6x + 8 0 ( 6 ) 4 8 4 reis: ( 6) ± 4 6 ± x x x 4 x ) x + 8x 6 0 8 4 ( ) ( 6 ) 4 upl: 36 3 4 > 0, equção tem us soluções 64-64 0, equção tem um solução rel x 8 ± 0 ( ) x 4 ) x 4x + 8 0 ( 4 ) 4 8 4 reis. 6 3-3 < 0, equção não tem soluções 7

(ii) Cso gerl De um moo gerl, ns equções polinomiis e qulquer gru resolvem-se por ftorizção o polinómio envolvio, seguino-se plição lei o nulmento o prouto, isto é, p(x) 0 (x) (x) k(x) 0 (x)0 (x)0 k(x) 0 one p(x) (x) (x) k(x) orrespone à ftorizção o polinómio p(x) em polinómios o º gru e/ou º grus. Exemplo..3 Resolv em R : (x-)(x + 3)(4-x) 0 (x-) 0 (x + 3) 0 (4-x) 0 x x -3 x 4 x x - 3/ x 4. Desigules Chmmos esigule to onição one figurem os sinis, >,, < ou entre us expressões esigntóris... Quno o sinl existente entre s expressões esigntóris é, o onjunto solução otém-se e moo semelhnte o s equções. Exemplo..: Determine em R o onjunto solução s esigules: ) x +5x+4 0 ) (x-3) (x+)(x +3) 0 ) O polinómio x +5x+4 0 tem us rízes reis ( -4 5-6 9 >0 ). O onjunto solução é {-4, -}. Assim x +5x+4 0 x -4 x -, isto é, o onjunto solução é R \ {-4, -} ) (x-3) (x+)(x +3) 0 x-3 0 x+ 0 x +3 0 impossível) x 3 x - x -3 ( últim onição é 8

Assim (x-3) (x+)(x +3) 0 x 3 x -. O onjunto solução é então R \ {-, 3}.. Inequções... Noções funmentis Um inequção é um onição que exprime um esigule (<, >,, )) entre us expressões esigntóris. As vriáveis ujo vlor se pretene eterminr hmm-se inógnits. A expressão que se enontr à esquer os sinis <, >, ou hm-se º memro e que se enontr à ireit hm-se º memro equção inequção Resolver inequção é eterminr o(s) vlor(es) que stisfzem inequção. A um estes vlores hm-se solução (ou riz) inequção. O onjunto s soluções hm-se onjunto-solução inequção. Um inequção iz-se possível quno tem pelo menos um solução iz-se impossível no so ontrário. Dus inequções izem-se equivlentes quno têm o mesmo onjuntosolução.... Prinípios e equivlêni pr inequções Somno mos os memros e um inequção o mesmo número rel, otemos um equção equivlente à primeir. Multiplino mos os memros e um inequção pelo mesmo número rel: ) positivo, otemos um inequção equivlente à primeir. ) negtivo e trono o sinl esigule, otemos um inequção equivlente à primeir....3 Inequções polinomiis Um inequção polinomil e gru n é um esigule que se poe esrever n form p(x) < 0 (ou p(x) >0 ou p(x) 0 ou p(x) 0), one p(x) é um polinómio n vriável x e e gru n. (i) Cso prtiulres () Inequção o º gru (ou inequção liner): x + < >,, 0 ( 0) 9

Se > 0, tem-se x + < >,, 0 x < >,, - x < >,, -. Exemplo.. Resolv em R : 4x 7 > 3 4x 7 > 3 4x > 7 + 3 4x > 0 x > 5/ Se < 0, tem-se x + < >,, 0 x < >,, - x > <,, -. Exemplo..3 Resolv em R : 4x 7 > 8x + 4x 7 > 8x + 4x 8x > 7 + - 4x > 9 4x < -9 x < - 9/4 ()Inequção o º gru (ou inequção quráti): x + x + < 0 ( 0) >,. A resolução este tipo e inequção us o fto e representção gráfi e um polinómio o º gru ser um práol. ª psso: Resolver equção x + x + 0 (ou sej, eterminr o número e interseções práol om o eixo OX) º psso: Ientifir o sentio onvie práol: Se >0, onvie é volt pr im; Se <0, onvie é volt pr ixo. 3º psso : Ientifir o so, teneno o º e º pssos: 0

4 > 0 4 0 4 < 0 > 0 + - + + + + + + + x x x < 0 - + - x - - - x x - - - 4º psso: Anlisr o sinl e x + x + teneno à esigule inequção. Exemplo..4 Resolv em R : ) x 6x + 8 0 º psso: x 6x + 8 0 x 4 x (ver exemplo.. )) º psso : (>0) onvie volt pr im. 3º psso: 4 4 >0 >0 4ºpsso: x 6x + 8 0 x ]-, ] [4, + [ ) x + 8x 6 < 0 º psso: x + 8x 6 0 x 4 (ver exemplo.. )) º psso : - (< 0) onvie volt pr ixo. 3º psso: 4 0 < 0 4ºpsso: x + 8x 6 < 0 x ]-, 4[ ]4, + [ R \ { 4}

) x 4x + 8 0 º psso: x 4x + 8 0 não tem rízes reis (ver exemplo.. )) º psso : ( > 0) onvie volt pr im. 3º psso: 4 > 0 > 0 4ºpsso: x 4x + 8 0 x { } (ii) Cso gerl De um moo gerl, s inequções polinomiis e qulquer gru resolvem-se por ftorizção o polinómio envolvio, seguino-se onstrução e um tel pr nálise e sinl..3 - Sistems e equções Consiere o seguinte prolem: Suponh que um pesso tem 00000 investios, um prte 9% e outr prte 8%, e que o renimento nul esses ois investimentos é e 700. Se x representr qunti investi 9% e y representr qunti investi 8%, então, pr eterminr o pitl T investio em tx evemos enontrr os vlores e x e y que stisfçm ms s onições x + y 00000 e 0,09x + 0,08y 700 A onjunção quels us onições hm-se sistem e equções e representse n form x + y 00000 0,09x + 0,08y 700 O onjunto os pres orenos (x, y) que stisfzem simultnemente um s equções o sistem hm-se solução o sistem. Os sistems poem lssifir-se em possíveis e impossíveis. Um sistem iz-se impossível ou inonsistente quno o seu onjunto solução for. 4x + 3y 4 Exemplo.3.: 8x + 6y 0 Um sistem iz-se possível quno o seu onjunto solução tiver pelo menos um elemento.

x + y 00000 x 0000 Exemplo.3. : 0,09x + 0,08y 7000 y 80000 Um sistem possível iz-se inetermino quno o seu onjunto solução tiver mis o que um elemento. Exemplo.3.3: 4x + 3y 4 8x + 6y 8..3. Métoos e resolução um sistem e equções: Existem vários métoos e resolução um sistem e equções. Esturemos gor o métoo e sustituição e o métoo e reução. Estes métoos seim-se no fto e otermos um sistem equivlente quno fzemos um s seguintes operções: () Um expressão é sustituí por outr equivlente () Dus equções são tros (3) Um equção é multipli por um onstnte não-nul (4) Sommos um equção om outr epois e multipli por um onstnte.3.. Métoo e sustituição Este métoo sei-se n operção (). Pr resolver um sistem e us equções us inógnits pelo métoo e sustituição proee-se seguinte form:. Resolve-se um s equções em orem um s inógnits.. Sustitui-se n outr equção ess inógnit pel expressão enontr no psso nterior e moo oter um equção om um só inógnit. 3. Resolve-se equção oti em. 4. Sustitui-se n equção iniil solução enontr e resolve-se pr outr inógnit. 5. Verifi-se solução, sustituino no sistem iniil os vlores enontros. Exemplo.3.4: x + y 00000 Resolv por sustituição o sistem 0,09x + 0,08y 7000 3

.. x + y 00000 0,09x + 0,08y 700 x 00000 y 0.09x + 0,08y 700 x 00000 y 0.09x + 0,08y 700 x 00000 y 0,09(00000 y) + 0,08y 700 x 00000 y x 00000 y 8000 0,09y + 0,08y 700 0,0y 800 3. x 00000 y 0,0y 800 x 00000 y y 80000 4. 5. x 00000 y x 00000 80000 x 0000 y 80000 y 80000 y 80000 0000 + 80000 00000 0.09 0000 + 0,08 80000 700.3.. Métoo e reução ou eliminção Pr resolver um sistem e us equções om us inógnits pelo métoo e reução proee-se seguinte form:. Multipli-se um, ou ms, s equções por um onstnte não-nul, e moo que os oefiientes e um s inógnits em ms s equções sejm simétrios.. Somm-se ms s equções, eliminno-se ssim um s inógnits. 3. Resolve-se equção oti em relção à inógnit restnte. 4. Sustitui-se num s equções originis solução oti no psso nterior e resolve-se equção resultnte. 5. Verifi-se solução, sustituino no sistem iniil os vlores enontros Exemplo.3.5. Resolv por reução o sistem x + y 00000 0,09x + 0,08y 700 4

. x + y 00000 0,09x + 0,08y 7000 0,09 ( x + y 00000) ( )( 0,09x + 0,08y 700) 0,09x + 0,09 y 8000 0,09x 0,08y 700. 0,09x + 0,09y 8000 0,09x 0,08y 700 0,0y 800 3. 0,0y 8000 y 80000 4. y 80000 y 80000 y 80000 x + 80000 00000 x 00000 80000 x 0000 5. + 80000 00000 0000 0.09 0000 + 0,08 80000 700 Estes métoos generlizm-se filmente sistems e 3 equções 3 inógnits. Pr sistems om mis e 3 equções e mis o que 3 inógnits reorre-se outros métoos e resolução. Exemplo.3.6: Resolv o sistem 3x + y + z 6 x y z 0 x + y z 4 ) Pelo métoo e sustituição; ) Pelo métoo e reução. ) x + y + z 6 3x + y + z 6 3 y + z + y + z 6 5y + 4z 6 5 + 4z 6 x y z 0 x + y z 4 ( y + z) + y z 4 y 4 y x + y z 4 x y z 0 x y + z x y + z x + z 3 ( ) y y 4z 4 z x + z x ) 3x + y + z 6 x y z 0 x + y z 4 3x + y + z 6 x + y z 4 x y z 0 x-z4 3x + y + z 6 x z 4 x z 4 3x + y + z 6 ( x y z 0) x z 4 3x + y + z 6 x y z 0 x z 4 5x z 6 x z 4 ( )( 5x z 6) 5

5x-z 6 x z 4 0x + z -8x -8 x x x x z 4 z z z x + y z 4 x + y z 4 + y + 4 y III. Móulos e sus Propriees Por vezes estmos interessos n istâni que um número rel está origem (0) ret rel, ms sem preoupção se esse número está à ireit ou esquer origem. À istâni o número rel x à origem 0 hmmos vlor soluto, ou móulo, e x e not-se por x. Assim, se x for um número não negtivo, isto é, se x 0, então x x. Se x for um número negtivo, isto é, se x < 0, então x - x. Exemplo : ) 7 7; ) -7 7 x x - x se x 0 se x < 0 Propriees: x 0, isto é, o vlor soluto e um número é sempre positivo ou nulo. Um número e o seu simétrio têm o mesmo vlor soluto: x x Exemplo : 5 5 5 Seno >0. x < x < -x < x < x > - - < x< Exemplo 3: x < 3-3 < x< 3 o - o 6

. x x -x x x - Exemplo 4: x 3 x 3 x - 3-3. x > x > -x > x > x < - Exemplo 5: x > 5 x > 5 x < - 5 o o - O vlor soluto o prouto e ois números é igul o prouto os vlores solutos esses números, isto é, Exemplo 6: ( 5) 7-5. 7 5 7 35 O vlor soluto o quoiente e ois números é igul o quoiente os vlores solutos esses números, isto é, ; 0 Exemplo 7: 3 7 3 7 3 7 O vlor soluto som e ois números é menor ou igul que som os vlores solutos esses números, isto é, + + Exemplo 8:. ( 4 ) + 3 3 e 4 + 4 + 5. Neste so ( 4 ) + < 4 +. 7 + 9 9 e 7 + 7 + 9. Neste so 7 + 7 + 7

Exeríios resolvios. Simplifique expressão: x x Por efinição e móulo temos: x x - x se x - 0 x se x < 0 - x se x se x < Ms, pr que expressão tenh signifio, x- 0. x Então ( ) x - x - x - se x < x x x - se x > se x <. Resolv s equções: ) 5 3x 4 x - se x > - se x > se x < ) 5 x + 3x + 7 Resoluções. ) 5 3x 4 5 3x 4-3x ( 5-3x) 4 3x 5 4 3x 9 x 3 x 3 x 3 ) 5 x + 3x + 7 5x + 3x + 7 5x + x 6 ( 3x + 7) 8x 8 x 8 9 x 4 8