MATEMÁTICA 8. ANO 1 MARCELO CRIVELLA PREFEITURA DA CIDADE DO RIO DE JANEIRO CÉSAR BENJAMIN SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO

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2 MATEMÁTICA 8. ANO 1 MARCELO CRIVELLA PREFEITURA DA CIDADE DO RIO DE JANEIRO CÉSAR BENJAMIN SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO MARIA DE NAZARETH MACHADO DE BARROS VASCONCELLOS SUBSECRETARIA DE ENSINO KATIA REGINA DAS CHAGAS MOURA GERÊNCIA DE ENSINO FUNDAMENTAL SILVIA MARIA SOARES COUTO ORGANIZAÇÃO CLAYTON BOTAS ELABORAÇÃO FRANCISCO RODRIGUES DE OLIVEIRA NELSON GARCEZ LOURENÇO SIMONE CARDOZO VITAL DA SILVA REVISÃO AGRADECIMENTOS ESPECIAIS(IMAGENS DA CAPA) MOANA MARTINS E EQUIPE ORQUESTRA SINFÔNICA JUVENIL CARIOCA MULTIRIO CONTATOS E/SUBE nazareth@rioeduca.net mariamcunha@rioeduca.net cemp@rioeduca.net Telefones: / EDIGRÁFICA IMPRESSÃO FÁBIO DA SILVA MARCELO ALVES COELHO JÚNIOR DESIGN GRÁFICO

3 Multirio MATEMÁTICA 8. ANO 2 Bem vindos ao 3.º bimestre! Antes de iniciarmos os conteúdos novos, vamos revisar o que já estudamos até o 2.º bimestre deste ano. Marque os conteúdos que você já revisou e, se tiver dúvidas, pergunte ao Professor(a) ou consulte os cadernos pedagógicos dos bimestres anteriores: Números racionais e dízimas periódicas Números irracionais Arredondamento de números Comparação e ordenação Ângulos suplementares, complementares e congruentes Polinômios Polígonos Após a revisão, vamos, então, iniciar os conteúdos novos. São eles: Produtos notáveis Fatoração Desigualdades Ângulos de polígonos Média aritmética simples NÚMEROS RACIONAIS E DÍZIMAS PERIÓDICAS 1) Efetue as divisões e escreva os números na forma decimal: 3 a) = 2 b) 2 5 = c) d) = 7 9 = e) 1 3 = f) 4 11 = 2) Escreva os números, apresentados a seguir, na forma fracionária e simplifique ao máimo. a) 0,8 = Pegue seu material e comece a estudar. O final do ano já está chegando!!! b) 1,2 = c) 0,25 = d) 0,1 =

4 MATEMÁTICA 8. ANO 3 3) Encontre as frações geratrizes das dízimas periódicas: a) 0, ത6 Trabalhando com frações... 4) Escreva o número racional 6, na forma fracionária: b) 0, NÚMEROS IRRACIONAIS 5) Complete as lacunas com os símbolos de pertence ou não pertence. Se necessário, justifique a sua resposta, como no eemplo: c) 0,222 a) 0,444 Q Pois 0,444 = 4 9 b) 3 5 Q c) 2 3 I d) 0, 72 d) 1, I e) 2, I f) 7 I e) 0, Q I g) 9 I Lembre-se dos significados dos símbolos: Conjunto dos números racionais Conjunto dos números irracionais Pertence Não pertence

5 MATEMÁTICA 8. ANO 4 6) Abaio, temos uma arte da representação decimal do número Pi:, Em relação à classificação do número Pi, podemos afirmar que ele é um número. (A) irracional, pois não tem período de repetição. (B) racional, com decimal infinito de período 14. (C) racional e está na forma fracionária. (D) inteiro, pois não possui decimais. 10) Complete as sentenças com >, < ou =. Se necessário, efetue as divisões dos números na forma fracionária: a) b) , ) Realize a aproimação dos números irracionais por números inteiros: a) 40 7) Efetue os arredondamentos para 1 casa decimal: a) 0, b) 7, c) 2,1255 8) Efetue os arredondamentos para 2 casas decimais: a) 0, b) 7, c) 2,1255 9) Efetue os arredondamentos para 3 casas decimais: b) ) Efetue os cálculos aproimados: a) a) 0, b) 7, c) 2,1255 Demonstre, para os seus colegas e para o seu Professor, de que forma você chegou aos resultados. b)

6 MATEMÁTICA 8. ANO 5 13) Observe os números abaio, representados pelas letras. Coloque estes números em ordem crescente e represente-os na reta numérica apresentada a seguir: 2) Identifique se os ângulos são adjacentes ou opostos pelo vértice. Depois, encontre seus valores. a) â A= 53 9 B= 11 2 C= 5,05 D= 5, b) 85 ô 5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 5,8 5,9 6 ÂNGULOS 1) Observe os desenhos. Em seguida, indique quais dos ângulos desconhecidos ( e y) são complemento ou suplemento dos seus ângulos adjacentes. Depois, encontre seus valores: 110 3) Em cada um dos esquemas apresentados a seguir, use as propriedades de ângulos formados por uma transversal a duas retas paralelas e encontre as medidas angulares desconhecidas. a) r 120 s r//s t b) 113 y y 67 Nas retas paralelas, encontramos: suplementares b a congruentes a + b = 180 c d a = c = e = g c + d = 180 f e b = d = f = h b + c = 180 g h a + d = 180

7 MATEMÁTICA 8. ANO 6 4) Encontre o valor das incógnitas nos esquemas apresentados a seguir: a) POLÍGONOS 1) Abaio, temos um heágono. Encontre o número total de diagonais do heágono: b) 4y ) Durante a reforma de sua casa, Marcela vai trocar o carpete e o rodapé da sua sala. Abaio, temos a planta da sala de Marcela, sem contar com as portas. Veja: y 10 3,4 m Trabalhando com frações... 5) Encontre o valor da incógnita no esquema apresentado a seguir: 5,2 m Se Marcela quer contornar toda a sala, de quantos metros de rodapé ela vai precisar? z z 2 40 O carpete cobre toda a superfície da sala. Sendo assim, quantos metros quadrados de carpete ela vai precisar? Eplique, para os seus colegas e para o seu Professor, como você chegou ao resultado.

8 MATEMÁTICA 8. ANO 7 3) Encontre a área de cada uma das figuras: 95 m 105 m 80 m POLINÔMIOS 1) Reduza os termos semelhantes nos polinômios abaio apresentados: a) 2 3y + + 5y b) c) 2b 7 + 3b 2 3b + 2b cm d) a 3c + 2b + 5a 2b + 2c 55 cm 2) Efetue as operações com os polinômios apresentados abaio: a) 3 y y = 20 mm b) a b 2a 2b = c) = 5 mm d) 3z t z + 5 = 7 m e) = 50 m f) 2m + n m n + 3 = Eplique, para os seus colegas e para o seu Professor, de que forma você chegou aos resultados.

9 MATEMÁTICA 8. ANO 8 3) Encontre as áreas das figuras cujos lados são representados por polinômios: y y PRODUTOS NOTÁVEIS Acabamos de revisar de que forma devemos realizar multiplicações entre polinômios. Observamos que algumas dessas multiplicações possuem um padrão. Por esse motivo, essas multiplicações são chamadas de produtos notáveis. Produtos são, em Matemática, o resultado de uma multiplicação. Já a palavra notável significa aquilo que deve ser notado, que chama atenção. Observe: notável notar nota. No nosso caso, os produtos notáveis são as multiplicações entre polinômios que possuem um resultado especial. Eemplo: um binômio multiplicado por ele mesmo. Veja: 7 z 7 z a + b a + b = a + b 2 Epressão multiplicada por ela mesma Epressão ao quadrado Trabalhando com frações... 4) Efetue e reduza os monômios semelhantes: y (3 + y) 2 Lembre-se de que quando não escrevemos o sinal entre parênteses, a operação é sempre a multiplicação! Eplique, para os seus colegas e para o seu Professor, de que forma você chegou aos resultados. Multirio a + b a + b = a + b a + b

10 MATEMÁTICA 8. ANO 9 QUADRADO DA SOMA Para desenvolver o quadrado da soma de dois termos, vamos observar um eemplo com dois termos simples. Neste caso, deve-se utilizar a propriedade distributiva da multiplicação pela soma. Veja: a + b 2 = a + b a + b a + b 2 = a 2 + ab + ba + b 2 Observe que cada uma das setas representa uma multiplicação. Os termos coloridos são os resultados de cada uma delas. Finalmente, somamos os termos semelhantes: Propriedade comutativa - a ordem dos fatores não altera o produto. Atenção: ab e ba são iguais, pois a multiplicação é comutativa. Logo, são semelhantes: ab + ba = ab + ab = 2ab a + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 Observe que os termos a e b aparecem no resultado final: a + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 a 1.º termo da soma b 2.º termo da soma Como vimos anteriormente, observemos mais um eemplo do desenvolvimento de um quadrado de uma soma: = = (2) = = é o dobro do produto = (2) 2 Quadrado do primeiro termo Dobro do produto dos termos 3 2 Quadrado do segundo termo A multiplicação de polinômios pode ser calculada através das áreas de polígonos, sendo os lados representados por esses polinômios. Assim, estudaremos, também, os produtos notáveis como áreas de polígonos. Continua

11 MATEMÁTICA 8. ANO 10 Usando a geometria... Observe este quadrado: Vamos calcular sua área de duas maneiras. Primeiro, se usarmos o lado do quadrado como 2 + 3, obteremos: 1) Use a propriedade distributiva e encontre a forma desenvolvida dos produtos notáveis: a) 3 + y A = b) 2a c) Agora, vamos dividir os lados em segmentos de medida 2 e 3. Em seguida, calcularemos as áreas de cada um dos quatro retângulos que formam o quadrado. Observe: 2) Desafio: Tente encontrar o desenvolvimento do produto notável, apresentado a seguir, sem utilizar a propriedade distributiva, tomando, como eemplo os casos anteriores. b A = A = 6 3) Encontre a epressão que representa a área deste quadrado: (7 + y) (7 + y) A = A = = A = A = 9 3 Trabalhando com frações... 4) Desenvolva o produto notável: a

12 MATEMÁTICA 8. ANO 11 QUADRADO DA DIFERENÇA Neste momento, desenvolveremos o produto de uma epressão que representa uma subtração multiplicada por ela mesma. Observe: Lembre-se das regras dos sinais para a multiplicação! a b 2 = a b a b Usando a geometria... Para ver este produto notável geometricamente, vamos iniciar com um quadrado com a medida de seu lado igual a a: a a A área desse quadrado é: A = a 2 Multirio a b 2 = a 2 ab ba + b 2 Os termos ab e ba(= ab) são semelhantes. Então, podemos efetuar: a b 2 = a 2 ab ab + b 2 a b 2 = a 2 2ab + b 2 a b 2 = a 2 2ab + b 2 REGRA DE SINAIS NA MULTIPLICAÇÃO: -sinais iguais, resultado positivo +. + = +. = + - sinais diferentes, resultado negativo +. =. + = Porém, nós precisamos encontrar uma epressão para a área do quadrado que possui lado igual a a b. Isto é, vamos retirar a quantidade b anteriormente. Veja: do lado do quadrado que tínhamos a b b a b a b 2 2 A área do quadrado verde é: A = (a b) 2 b 1 3 Quadrado do 1.º termo Menos o dobro do produto dos termos Quadrado do 2.º termo Para encontrar a epressão da área verde, vamos tirar as áreas cor-de-rosa. Começamos calculando cada uma delas. Observe: Continua

13 MATEMÁTICA 8. ANO 12 b a b 1 b A área deste retângulo é: A = b a b = ab b 2 Mesma área Assim como no caso do quadrado da soma (ver página 9), a visão geométrica leva ao mesmo resultado da visão algébrica, que é realizada através da propriedade distributiva.. Agora, vamos observar mais um eemplo do desenvolvimento do quadrado de uma diferença: 3 y 2. a b 2 A área deste retângulo é: A = a b b = ab b 2 3 y 2 = 3 y 3 y b b 3 A área deste quadrado é: A = b 2 3 y 2 = (3) 2 3 y y 3 + (y) 2 3 y 2 = 9 3y 3y + y 2 3 y 2 = 9 6y + y 2 Multiplicação entre duas diferenças Multiplica-se cada termo da 1.ª subtração para cada termo da 2.ª subtração. Agora, vamos encontrar a epressão da área verde. Com base nas figuras acima, repare que encontrar a área verde é o mesmo que encontrar a área do quadrado azul, subtraindo as áreas dos três retângulos cor-de-rosa. Observe o esquema: = ( ) a b 2 = a 2 (ab b 2 + ab b 2 + b 2 ) Efetuando os monômios semelhantes e eliminando os parênteses: a b 2 = a 2 (2ab b 2 ) a b 2 = a 2 2ab + b 2 Multirio y 2 6y + 9 Antes de realizar as atividades a seguir, tente encontrar um padrão para o desenvolvimento do quadrado da diferença. O que você notou no desenvolvimento deste produto notável? Peça ajuda a seu (sua) Professor(a), se precisar.

14 Multirio MATEMÁTICA 8. ANO 13 1) Desenvolva os produtos notáveis: a) 2b c 2 4) Desenvolva os produtos notáveis apresentados a seguir: Preste atenção nos sinais! b) 4y 5 2 a) c) 3 z 2 b) c) 3b 2c 2 d) d) 1 + 9w 2 2) Desenvolva, agora, estes dois produtos notáveis. Depois, indique e calcule a diferença entre seus resultados: Trabalhando com frações... e) ) Encontre o polinômio que representa a área do quadrado: 6 2 f) y + 3z

15 MATEMÁTICA 8. ANO 14 PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA Nesse caso, o produto é de binômios diferentes, em que um dos fatores representa a soma de dois termos e o outro representa a subtração dos mesmos termos. Por eemplo: a + b a b ou a b a + b Essas epressões são equivalentes. Lembre-se da propriedade comutativa: a ordem dos fatores, não altera o produto. Vamos realizar a propriedade distributiva, lembrando que precisamos usar a regra do sinal para a multiplicação. Observe: a + b a b Utilizando a geometria... Calcular o produto notável a + b a b é o mesmo que encontrar a área do retângulo: a b a + b a b A = a b (a + b) Vamos construir uma outra figura geométrica, sem alterar a área da inicial. Observe: a b Retiramos um retângulo de largura b. a a + b a b = a 2 ab + ba b 2 Neste caso, os termos semelhantes ab e +ba (= +ab) são opostos, isto é, quando somamos ambos, encontramos como resultado zero. Colocamos o retângulo do outro lado da figura. a a b b a b a + b a b = a 2 ab + ab b 2 Quadrado do 1.º termo 0 a + b a b = a 2 b 2 Menos o quadrado do 2.º termo a b a b b A área da figura é a mesma do retângulo inicial. A = a b (a + b)

16 MATEMÁTICA 8. ANO 15 A = a b (a + b) a a 1) Desenvolva os produtos notáveis: a) 3 + 5y 3 5y a b b a a 2 b b b 2 b) d 10 2d Depois de rearrumada, a figura formada mede o mesmo que o quadrado de lado a, retirando-se o espaço determinado pelo quadrado laranja. Então, a área inicial é igual à área do quadrado de lado a (a 2 ), menos a área do quadrado laranja (b 2 ): a b a + b = a 2 b 2 Observe mais um eemplo do desenvolvimento deste produto notável: produto da soma pela diferença (5 2y)(5 + 2y) c) d) e) (5a 2b)(5a + 2b) 5 2y 5 + 2y 2) Encontre o polinômio que representa a área de cada retângulo: 7 y y 5 + 2y = y 10y (2y) y 2 5 2y 5 + 2y = 5 2 (2y) 2 = 25 4y²

17 MATEMÁTICA 8. ANO 16 Trabalhando com frações... 3) Desenvolva o produto da soma pela diferença: z 5 3 z ) Identifique o produto notável e realize seu desenvolvimento corretamente: a) ) Desenvolva os produtos notáveis: Se precisar de ajuda com as frações, revise os cadernos pedagógicos do 7.º Ano! b) 8 + 2b (8 2b) a) Quadrado da soma c) 3y + z 2 b) Quadrado da diferença: 1 7 y 2 2 d) 2a 1 2a + 1 e) w 2 c) Produto da soma pela diferença: 2 3y y 5 f) 5b 3 2 Eplique, para os seus colegas e para o seu Professor, de que forma você chegou aos resultados.

18 MATEMÁTICA 8. ANO 17 6) Encontre as epressões que representam as áreas dos retângulos: 2a b 7) Observe o desenvolvimento de cada produto notável apresentado a seguir. Depois, complete com os termos que faltam: 3 + y 2 = y 2 2a b 6 + 2a 10 2 = 40a (7 z)(7 + z) = z = b 2 = 9a 2 12ab + 4b = 4t w v +1 2 = b 2 = + 36 w + v +y y = 9 2 3d + 2 Trabalhando com frações... 3d + 2 Eplique, para os seus colegas e para o seu Professor, de que forma você chegou aos resultados. + b 3 b 3 = a2 4

19 MATEMÁTICA 8. ANO 18 APLICAÇÃO DOS PRODUTOS NOTÁVEIS Vamos iniciar com um desafio: você sabe como encontrar o valor de de uma forma rápida? Observe o eemplo: Vamos ver outro eemplo: o produto Vamos escrever: = ( )(100 1) Vamos escrever 198 como uma subtração de números mais fáceis de elevar ao quadrado: = = Logo, o resultado é = Finalizamos, realizando as operações de subtração e soma Dessa forma, encontramos a resposta: = Se você lembrar do produto notável, realizará as operações ainda mais rápido. Observe o próimo eemplo. Encontrar o valor de Quadrado do primeiro termo = Dobro do produto dos termos Quadrado do segundo termo

20 MATEMÁTICA 8. ANO 19 1) Utilizando produtos notáveis, efetue as multiplicações a seguir: a) Trabalhando com frações... 2) Também podemos utilizar os produtos notáveis para resolver 2 quadrados de números mistos. Vamos calcular b) Este número misto representa um inteiro e três terços! 2 2 Multirio = c) Desenvolva este produto notável: 2 3) Utilizando produtos notáveis, encontre o valor de d) e) Eplique, para os seus colegas e para o seu Professor, de que forma você chegou aos resultados.

21 Multirio MATEMÁTICA 8. ANO 20 4) Uma praça possui formato quadrado. Nela, será construída uma ciclovia de largura em todo o seu contorno. No meio, terá uma área quadrada recoberta por gramas com 20 metros de lado, como podemos observar no esquema. Agora, responda: 20 m 20 m a) Que epressão representa o lado da praça? b) Qual a epressão que representa a área total da praça? 5) Nathy ajudou sua irmã mais nova a encontrar a área de um quadrado com 22 centímetros de lado, isto é, o valor de Para isso, ela desenhou as linhas tracejadas, separando os lados em segmentos de 20 e 2 centímetros e utilizou um produto notável. Reproduza a área como Nathy fez, calculando a área de cada um dos 4 polígonos separados: 6) Leia a epressão: y + b 2 y b 2 Marque a alternativa que representa a forma mais simples dessa epressão: (A) 2yb (B) 4yb (C) 2y 2 (D) 2b 2 7) Vamos aprender um novo produto notável: o cubo da soma. Para isso, vamos ter que utilizar a propriedade distributiva da multiplicação pela soma diversas vezes. Observe e complete: + y 3 = + y ( + y) ( + y) Quadrado da soma 22 = y 3 = + y ( ) Reduza os monômios semelhantes do resultado que encontrou: Eplique, para os seus colegas e para o seu Professor, de que forma você chegou aos resultados.

22 MATEMÁTICA 8. ANO 21 FATORAÇÃO DE EXPRESSÕES ALGÉBRICAS A palavra fatorar quer dizer, neste momento, transformar adições e subtrações dos termos de uma epressão algébrica em uma multiplicação. Lembre-se que fatores são os termos da multiplicação. Observe este eemplo: 2 3y = 6y Fator Fator Produto Sendo assim, realizar uma fatoração é encontrar termos cujo produto resulte na epressão que desejamos. Você consegue encontrar uma fatoração para o monômio apresentado a seguir? 8a 2 b Podemos ver a fatoração como aplicação oposta da propriedade distributiva. Logo, é importante que saibamos utilizar essa propriedade em epressões algébricas. Veja o eemplo a seguir: Distribuir 3 + 2y = y Fatorar FATOR COMUM EM EVIDÊNCIA Colocar um fator em evidência é identificar, em dois ou mais termos, um mesmo fator e, em seguida, pensar quais as multiplicações por este fator que resultam na epressão que temos inicialmente. Isto é, determinar o fator comum às epressões algébricas. Observe: Eemplo 1: Fatorar a epressão y Primeiramente, identificamos que o fator 5 é comum aos termos 10 2 e 25y. Veja: 10 2 = y = 5 5y Agora, escrevemos a epressão na forma fatorada onde o fator comum é posto em evidência y = y = 5 (2 + 5y) Forma fatorada Eemplo 2: Colocar os fatores comuns em evidência da epressão 4a 3 8a Observe que os fatores 2, a, 4, 2a e 4a são fatores comuns aos dois termos. Porém, sempre que falarmos de fatoração, devemos pensar em fatorar o máimo de termos possíveis. Dessa forma, o fator comum é 4a que abrange todos os fatores comuns de ambos os termos: 4a 3 = 4a a 2 Fator comum 4a 3 8a = 4a (a 2 2) Forma fatorada 8a = 4a ( 2)

23 MATEMÁTICA 8. ANO 22 Como a propriedade distributiva e a fatoração são operações opostas, podemos distribuir o resultado final como prova real. Observe os eemplos que vimos na página anterior: 1) Nas epressões apresentadas a seguir, coloque os fatores comuns em evidência. Se necessário, realize a propriedade distributiva (ver página 9) como prova real. a) 2 + a 5 (2 + 5y) = y b) 14a 21b 4a (a 2 2) = 4a 3 8a Eemplo 3: Fatorar, por fator comum em evidência, o trinômio: 12b 3 + 3b 9bc Neste caso, precisamos encontrar o fator comum aos três termos. Veja: 12b 3 = 3b 4b 2 3b = 3b 1 Observe que, neste caso, o termo 3b é igual ao fator que será posto em evidência. Então, utilizamos o 1 pois 3b = 3b 1 12b 3 + 3b 9bc = 3b (4b c) 9bc = 3b ( 3c) c) 4y + 6y 10yz d) 10y + 5 e) f) 25zt 10z z Forma fatorada Agora, faça a prova real para verificar o resultado: g) 14ab 6b bc 2b

24 MATEMÁTICA 8. ANO 23 FATORAÇÃO POR AGRUPAMENTO Para fatorar, por agrupamento, uma epressão com 4 termos, vamos aplicar a fatoração por fator comum em evidência duas vezes: Eemplo 1 4ab + 6a + 10b + 15 Vamos encontrar fatores comuns, em pares, de termos da epressão. Observe: 4ab + 6a + 10b + 15 Fator comum 2a Fator comum 5 2a 2b (2b + 3) Agora, cada um dos dois termos fatorados está multiplicado pelo fator comum (2b + 3). Esse será o fator comum que vamos colocar em evidência do lado direito, agrupando os termos fatorados em outros parênteses, do lado esquerdo: 2a 2b (2b + 3) Fator comum (2b + 3) Eemplo 2: Fatorar, por agrupamento, a epressão y 3y Primeiro, encontramos os fatores comuns nos pares: y 3y Fator comum 5 Fator comum y y ( 3) Agora, complete com o fator comum e a forma fatorada: y ( 3) Fator comum ( 3) 5 + y ( 3 ) Forma fatorada Finalmente, realize a prova real, distribuindo a forma fatorada que você encontrou. Caso haja termos semelhantes, lembre-se de efetuá-los: 2a + 5 2b + 3 4ab + 6a + 10b + 15 = 2a + 5 (2b + 3) Forma fatorada

25 MATEMÁTICA 8. ANO 24 1) Utilize, nas epressões, a fatoração por agrupamento: a) a + b + 5a + 5b b) 10b 5c + 2b c c) 12y y + 2 d) 25y 20t 2 + 5y 2 4yt 2 e) a 2 + ab + 4a + 4b FATORAÇÃO DA DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS Agora, vamos fatorar o binômio que é uma subtração de dois termos que são quadrados perfeitos. Para isso, vamos relembrar o produto da soma pela diferença de dois termos pois serão operações opostas. Observe: Distribuir a + b a b = a 2 b 2 Fatorar Eemplo 1: Fatorar a epressão Observe: bi radical latino significa dois bi binômio (dois monômios) Outros eemplos: bicampeão (duas vezes campeão) bilíngue (que fala duas línguas) bicicleta (duas rodas) Primeiro, devemos conferir se os termos são quadrados perfeitos: 4 2 é um quadrado perfeito, pois 4 2 = é um quadrado perfeito, pois 9 = 3 2. f) y + 21b 14by Para completar a fatoração, basta organizar os termos que estão sendo elevados ao quadrado como um produto da soma pela diferença. Observe: = (2 + 3)(2 3)

26 MATEMÁTICA 8. ANO 25 Será que podemos realizar essa fatoração de outra maneira? Eemplo 2: Efetuar a fatoração da epressão 25 c 2 25 é um quadrado perfeito, pois 25 = 5 2. c 2 é o quadrado de c. Vamos refazer a fatoração do Eemplo 1, utilizando a fatoração por agrupamento: Lembre-se de que estes termos são quadrados de 2 e 3, respectivamente. São esses termos que queremos fatorar. Para isso, vamos subtrair e somar o produto destes termos: = Subtrair e somar um termo não altera a epressão pois, neste caso, = 0 Agora, vamos fatorar por agrupamento: Fator comum: Fator comum: (2 3) Assim, basta organizarmos o produto da soma pela diferença. Observe: 25 c 2 = (5 + c)(5 c) 1) Antes de iniciarmos as atividades sobre fatoração, calcule os produtos notáveis dos resultados dos eemplos dados. Verifique se a forma fatorada é equivalente: a) (2 + 3)(2 3) b) (5 + c)(5 c) Fator comum: (2 3) (2 3) = (2 + 3)(2 3)

27 MATEMÁTICA 8. ANO 26 2) Fatore as epressões, a partir do produto notável diferença de dois quadrados: a) 25 a 2 FATORAÇÃO DO TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO Um trinômio quadrado perfeito é uma epressão que pode ser fatorada em uma subtração ou em uma soma elevada ao quadrado. Novamente, vamos rever os produtos notáveis para auiliar na fatoração: b) c) 16b 2 36c 2 d) 2 y e) 64 w 2 Distribuir a b 2 = a 2 2ab + b 2 Fatorar Distribuir a + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 Fatorar Trinômio quadrado perfeito O quadrado da subtração (a b)² ou da soma (a + b)² de dois termos é igual ao quadrado do 1º termo (a²) subtraído ou somado pelo dobro do produto desses termos (2ab), mais o quadrado do 2º termo (b²). f) 4y 2 1 Vamos relembrar as relações entre os termos do produto notável e da forma distribuída. Observe: g) 9d 2 16c 2 h) Diferença de dois quadrados O produto da soma de dois termos (a + b) pela diferença desses mesmos termos (a b) resulta na diferença dos quadrados desses termos (a² b²). a b 2 = a 2 2ab + b 2 Quadrado do 1.º termo Dobro do produto dos termos Quadrado do 2.º termo (a + b). (a b) = (a² b²) a + b 2 = a 2 + 2ab + b 2

28 MATEMÁTICA 8. ANO 27 Assim, um trinômio quadrado perfeito deve ser composto de dois quadrados perfeitos e o terceiro termo deve ser o dobro do produto dos termos que estão elevados ao quadrado. Quadrado de a a 2 + 2ab + b 2 Dobro de a b Quadrado de b Desta forma, podemos fatorar esta epressão utilizando o quadrado da soma (ou da diferença quando o dobro for negativo). Observe: a 2 + 2ab + b 2 = a + b 2 Forma fatorada Eemplo 1: Fatorar o trinômio quadrado perfeito Primeiro, verificamos se a epressão é um quadrado perfeito, encontrando os termos que estão elevados ao quadrado: Quadrado de Dobro de 3 Quadrado de Agora, organizamos a forma fatorada com os termos 3 e : = Também podemos verificar esta fatoração utilizando a fatoração por agrupamento. Para fatorar por agrupamento, vamos observar se 9 e 2 são quadrados perfeitos. Então, devemos fatorar os termos 3 e respectivamente. Sendo assim, vamos trocar o termo 6 por 3 + 3, o que não altera a epressão: Fator comum: Agora, vamos fatorar por agrupamento: Fator comum: (3 + ) Fator comum (3 + ) 3 + (3 + ) = Forma fatorada Realize a prova real, distribuindo o produto notável: = = =

29 MATEMÁTICA 8. ANO 28 Eemplo 2: Encontre a forma fatorada de 4a 2 4ab + b 2 Verificamos os termos: 4a 2 4ab + b 2 f) a a g) 20 20t + t 2 Quadrado de 2a Dobro de 2a b Quadrado de b h) 49z tz + 25t 2 Organizando a forma fatorada, temos: 4a 2 4ab + b 2 = 2a b 2 1) Verifique se os trinômios a seguir são quadrados perfeitos e, em caso afirmativo, efetue a fatoração: a) b) y y + 10 i) t + 2 t 2 2) Complete os quadros abaio com os termos corretos: a) 36b 2 24b + 4 = 2 2 b) d + 9d² = 4 2 c) 4a 2 + 8ab + b 2 c) 1 4w + 4w 2 = 1 2 d) b b + 49 d) 9b 2 + 4c 2 = 2c 2 e) 36y 2 24y + 4 e) = +3 2 f) 100a 2 = 6 2

30 MATEMÁTICA 8. ANO 29 3) Realize a fatoração correspondente a cada um dos casos apresentados a seguir: a) 100 t 2 4) (OBMEP Adaptada) Um número natural é dito composto quando ele pode ser escrito como um produto de dois números diferentes de 1. Podemos utilizar a fatoração para mostrar que um número é composto. Observe este eemplo: O número é composto, pois: b) 9a at 12t c) d) ab + 5b + 6a + 30 e) = Quadrado de 100 Quadrado de = = (100 3)( ) AGORA, É COM VOCÊ!!! = Demonstre que o número, apresentado a seguir, é um número composto: f) g) 1 6y + 9y 2

31 Trabalhando com frações... 5) Observe os eemplos de simplificação de frações. O primeiro, com números racionais: = 6 15 = : 32 5 : 2 : 3 Simplificamos, dividindo numerador e denominador por um mesmo número. Podemos fazer o mesmo com frações algébricas, eliminando fatores iguais no numerador e no denominador. 5 (2 + 1) 5 ( 2 + 3) = : 5 Nas frações algébricas a seguir, fatore o numerador e o denominador e simplifique fatores iguais entre eles: a) 16+8c+c 2 16 c 2 MATEMÁTICA 8. ANO 30 DESIGUALDADES Comparar dois números reais é dizer qual é a relação de ordem entre esses números. Sendo assim, há apenas três situações. Elas podem ser representadas por meio de três sinais: Maior que > Menor que < Igual a = Vamos ver alguns eemplos de comparações de números reais: racionais e irracionais. Observe: 15 > 12 2,3 < 2,8 4 > 7 Para comparar, podemos efetuar a divisão das frações. 7 9 > 2 5 0,777 0,4 5 4 = 1,25 1,25 Multirio 1) Complete, corretamente as lacunas, com os sinais >, < ou =: a) 3 2 Facilitando... d) 0,3 0,25 > maior que lembra o número 7 < menor que lembra o número 4 b) d 2 9 d 2 6d+9 b) e) Eplique, para os seus colegas e para o seu Professor, de que forma você chegou aos resultados. c) 0,4 0,12 f) 5 10

32 MATEMÁTICA 8. ANO 31 INEQUAÇÃO Inequação é uma desigualdade entre duas epressões algébricas. Leia uma situação-problema resolvida por uma inequação: Eemplo 1: Valentina e Enzo ajudaram sua mãe a levar as sacolas do mercado. Valentina levou a sacola mais pesada, que continha 1 kg de feijão e 4 latas de óleo. Já Enzo levou a sacola mais leve que continha 2 latas de óleo e mais 3 kg de arroz. Será que podemos descobrir qual a massa da lata de óleo? Primeiro, precisamos escrever o problema em linguagem matemática. Vamos lá! Sacola de Valentina: Sacola de Enzo: O representa a massa de uma lata de óleo: a quantidade desconhecida desta situação. Como a sacola de Valentina é a mais pesada, a massa dessa sacola é maior que a massa da sacola de Enzo: > Para encontrar uma condição para a massa da lata de óleo, vamos, primeiro estudar algumas propriedades das inequações. 1.ª propriedade Somar ou subtrair um número ou uma epressão, em ambos os membros de uma inequação, não a altera: 5y > y + 2 > a > 3a a 7a 3a > 3a 3a < < ª propriedade Uma inequação não se altera ao se multiplicar ou se dividir seus termos por um número positivo: b + 2 < 5 10 b < a > 12 : 4 4a: 4 > 12: 4 3.ª propriedade Quando multiplicamos ou dividimos os membros por um número negativo, a inequação inverte o sinal: 2 > 3 2 ( 3) 2 ( 3) < (3 2) ( 3) 2c < 10 : ( 2) 2c: 2 > 10: ( 2)

33 MATEMÁTICA 8. ANO 32 Agora, vamos voltar à situação-problema apresentada anteriormente: > > > > > > 2 : 2 2: 2 > 2: 2 > 1 Para eliminar o 1 no primeiro membro, diminuímos 1 nos dois membros da inequação. Diminuímos 2 nos dois membros da inequação para assim eliminá-lo no segundo membro. Dividimos por 2 para isolar o. A resposta > 1 indica que a massa da lata de óleo possui mais que 1 kg, embora não possamos saber eatamente qual é a massa. Neste caso, pode ser 1,2 kg, 1,5 kg etc. Eemplo 2 Vamos resolver a inequação: 2y < 3y + 2 3y 2y 3y < 3y 3y + 2 y < 2 : ( 1) y: 1 > 2: ( 1) y > 2 Quando o termo do 1.º membro for negativo, dividimos ambos os membros por 1 e invertemos o sinal. Supondo que y seja igual a 1, vamos analisar as inequações y < 2 e y > 2 que apareceram neste eemplo: y 1 < > Sendo assim, estas inequações são equivalentes o que quer dizer que possuem as mesmas soluções. y

34 MATEMÁTICA 8. ANO 33 1) Resolva as inequações: a) 4 3 < 17 b) 3y 4 < 5y + 6 2) Veja, no eemplo, como podemos escrever os dados de uma balança desequilibrada sob a forma de inequação. Em seguida, encontre a inequação dos outros casos apresentados e resolva cada uma delas: a) 2 kg O lado mais alto possui massa ( peso ) menor! 8 kg < + 8 c) 25 2a < 10 7a 3 < < 6 < 3 b) d) 3c + 13 < c kg 2kg c) Trabalhando com frações... e) > kg 4 kg

35 MATEMÁTICA 8. ANO 34 ÂNGULOS INTERNOS E EXTERNOS DE POLÍGONOS Vamos relembrar alguns dos elementos dos polígonos que estudamos no 2.º bimestre: Diagonais: ligam dois vértices não adjacentes. Diagonal Queremos encontrar, agora, a soma dos três ângulos internos de um triângulo qualquer. Para isso, vamos marcar cada um dos ângulos do triângulo com uma cor, como no esquema apresentado a seguir: Radical latino: tri significa três. Observe: tricampeão triatleta triciclo ADJACENTE = ao lado de Vértice Lado Agora, recortamos os três ângulos do triângulo e juntamos estes em um mesmo vértice. vértice ângulo interno lado Ângulos eternos são formados pelo encontro de um lado e o prolongamento do lado adjacente ao primeiro. Podemos fazer isto com qualquer triângulo. Eperimente! ângulo eterno prolongamento do lado adjacente Os ângulos interno e eterno, em um mesmo vértice, são sempre suplementares, isto é, formam juntos, um ângulo de 180. Multirio ângulo interno + ângulo eterno = 180 (ângulos suplementares) Neste bimestre, vamos estudar como calcular as medidas dos ângulos internos e eternos de polígonos. Vamos iniciar com os ângulos internos do triângulo. Assim, podemos observar que os três ângulos juntos formam um ângulo raso, isto é, 180. A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre 180.

36 MATEMÁTICA 8. ANO 35 1) Encontre o valor dos ângulos desconhecidos nos triângulos apresentados a seguir: Vamos usar o conhecimento de que todo triângulo possui a soma dos ângulos internos igual a 180, para encontrar a soma dos ângulos internos de outros polígonos. Iniciamos com um quadrilátero qualquer: Todo quadrilátero possui 4 ângulos internos. Queremos encontrar a soma destes ângulos. 53 y y y Observe: quatro quadrilátero quadrado quadrangular. Dividimos este quadrilátero por uma diagonal, formando dois triângulos. diagonal Veja: os ângulos internos dos dois triângulos formados são equivalentes aos ângulos internos do quadrilátero. z 42 t Observando a figura, vemos que o quadrilátero possui, como soma dos ângulos internos, o equivalente a dois triângulos: = 360 t A soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero é sempre 360.

37 MATEMÁTICA 8. ANO 36 Para encontrar a soma dos seus ângulos internos, podemos dividir qualquer polígono em triângulos? Vamos repetir o procedimento com um pentágono, um polígono com 5 lados, 5 vértices e 5 ângulos internos. Assim, um polígono com 6 lados pode ser dividido em 4 triângulos. Escolha um vértice e divida o heágono abaio: Vamos tomar este vértice como origem das diagonais. Radicais Gregos: Pentágono penta cinco Heágono hea seis Heptágono hepta sete Multirio Agora, complete: Observe que, deste vértice do pentágono, podemos traçar duas diagonais e formar 3 triângulos. E os ângulos internos destes triângulos coincidem com os ângulos do pentágono: = 540º Um heágono possui lados e pode ser dividido em triângulos. Assim, podemos afirmar que a soma dos ângulos internos de um heágono é 180 =. A soma dos ângulos internos de um heágono é Você consegue, sem traçar os triângulos, descobrir qual a soma dos ângulos internos de um heptágono, polígono com 7 lados? A soma dos ângulos internos de um pentágono é 540. Observe que, no quadrilátero (página 35), formamos 2 triângulos e no pentágono (figura acima) podemos formar 3. Sendo assim, a quantidade de triângulos formados é a quantidade de vértices menos 2. A soma dos ângulos internos de um heptágono é

38 MATEMÁTICA 8. ANO 37 Podemos observar que, com os desenvolvimentos da página anterior, a quantidade de triângulos é a quantidade de lados menos dois. Como cada triângulo possui 180, basta multiplicar a quantidade de triângulos por 180 para saber a soma dos ângulos internos de qualquer polígono. Se chamamos de n a quantidade de lados, obteremos a seguinte epressão para a soma dos ângulos internos: S i = n Vamos ver alguns eemplos de como aplicar este resultado? Eemplo 1: Quanto mede a soma dos ângulos internos de um polígono com 12 lados (dodecágono)? Nesse caso, usamos a fórmula com n = 12. S i = n S i = S i = S i = Neste caso, o número 10 que aparece na epressão é a quantidade de triângulos formados no polígono. Eemplo 2: A seguir, temos um heágono regular. Ele possui lados com a mesma medida e ângulos internos congruentes (ou seja, de mesma medida também). Vamos determinar a medida de cada um dos ângulos internos a i deste polígono. S i = n S i = S i = S i = 720 Observe que, desta forma, calculamos a medida da soma de todos os ângulos internos. No entanto, cada um dos 6 ângulos terá medida igual, já que o polígono é regular. Basta, então, dividir a soma pela quantidade de ângulos: a i = a i = 120 Para qualquer polígono regular, a medida do ângulo interno será a soma de todos os ângulos, dividida pela quantidade de ângulos. Veja: a i = Polígono regular Possui todos os lados congruentes e todos os ângulos com a mesma medida. n n

39 MATEMÁTICA 8. ANO 38 AGORA, É COM VOCÊ!!! 1) Qual a soma dos ângulos internos do eneágono (polígono com 9 lados)? 3) Calcule a soma dos ângulos internos de um pentágono. Em seguida, encontre o valor da incógnita : 2) O polígono apresentado a seguir é um octógono regular. Ele possui, portanto, todos os seus oito lados com medidas iguais. Seus ângulos internos também são congruentes (de mesma medida) Responda: a) Qual a soma dos ângulos internos deste polígono? 4) Qual o polígono que possui, como soma dos ângulos internos, 1 620? b) Qual a medida de cada um dos seus ângulos internos? Eplique, para os seus colegas e para o seu Professor, de que forma você chegou aos resultados.

40 MATEMÁTICA 8. ANO 39 SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS DE POLÍGONOS O que são ângulos eternos? Você se lembra? 2.º passo Separamos os ângulos eternos e juntamos esses ângulos em um mesmo vértice. Veja: vértice Ângulos eternos são formados entre um dos lados e o prolongamento de um outro lado adjacente. O triângulo desenhado acima possui 3 ângulos eternos. Em qualquer polígono, a quantidade de ângulos eternos é a mesma que a quantidade de lados do polígono. Nós vamos realizar um eperimento para tentar encontrar a soma dos ângulos eternos de um polígono qualquer. Observe os desenvolvimentos apresentados a seguir: Podemos, então, observar que os ângulos eternos do triângulo formam uma circunferência completa, isto é, um ângulo de º passo Marcamos os ângulos eternos do triângulo. Em seguida, cortamos este triângulo em três partes. Uma circunferência completa pode representar o ângulo de 360. Veja o transferidor ao lado. Lembre-se de que o ângulo raso, de 180, também pode ser chamado de meia volta. 180 A seguir, continuaremos com os desenvolvimentos para mostrar que, em qualquer polígono, a soma dos ângulos eternos é sempre 360. Continua

41 Investigando o... Vamos repetir os passos realizados anteriormente. Recorte os ângulos eternos dos polígonos ao lado. Depois, cole-os nos espaços indicados pelas setas. Observe o eemplo: MATEMÁTICA 8. ANO 40 Recorte essas figuras para completar a atividade ao lado.

42 MATEMÁTICA 8. ANO 41 Com esse eperimento, podemos observar que qualquer polígono conveo possui a mesma medida para a soma dos ângulos eternos (S e ): 360 : S e = 360 Eemplo 1: Observe o quadrilátero em que estão marcados os ângulos eternos: Recorte as figuras da página Vamos encontrar o valor do ângulo desconhecido. Para isso, vamos lembrar que a soma dos quatro ângulos eternos desse quadrilátero é igual a 360. Observe: = = 360 = = 105

43 MATEMÁTICA 8. ANO 42 Eemplo 2: Observe o pentágono regular. Isto significa que possui todos os lados com a mesma medida. Podemos ver, marcados no esquema, os cinco ângulos eternos congruentes (de mesma medida). 1) Em cada um dos casos apresentados a seguir, escreva uma equação e encontre os valores desconhecidos, resolvendo-as: Já sabemos que a soma dos ângulos eternos é de 360 : S e = 360 Para encontrar o valor de um dos ângulos eternos (a e ), basta dividir o total pela quantidade de ângulos, já que todos possuem a mesma medida. Veja: 2y 2y 25 a e = a e = 72 Esse resultado vale para qualquer polígono regular. y y 2y 15 Para encontrar o valor da medida de um ângulo eterno, basta dividir 360 pela quantidade de ângulos do polígono regular. a e = 360 n

44 MATEMÁTICA 8. ANO 43 2) Leia o heágono regular apresentado a seguir. Encontre o valor do ângulo eterno α: O ângulo interno e o ângulo eterno de um polígono, em um mesmo vértice, são sempre suplementares: somam 180. Observe: α 3) Encontre os valores dos ângulos internos e eternos de um triângulo equilátero. Ângulo eterno Ângulo interno Os dois ângulos formam o ângulo raso como o transferidor ao lado. Ambos possuem medida angular de 180. ÂNGULOS INTERNOS E EXTERNOS DE POLÍGONOS REGULARES Multirio Eemplo: Se o ângulo interno do quadrilátero mede 105, qual o valor do ângulo eterno neste mesmo vértice? S i = n a i = n n S e = 360 a e = 360 n = 180 = = 75

45 MATEMÁTICA 8. ANO 44 PROPRIEDADE DO ÂNGULO EXTERNO DOS TRIÂNGULOS Leia a imagem do triângulo apresentado a seguir: b Nessa epressão, podemos simplificar o termo c aparece nos dois membros. a + b + c = c + d a + b + c c = c c + d a + b = d Observe este resultado no triângulo: que a c d b Nele, temos marcados os três ângulos internos e o ângulo eterno d. Queremos encontrar uma relação dos ângulos internos com este. Vamos lembrar, então, de dois fatos que já estudamos: A partir desses resultados, vamos encontrar duas equações em relação ao triângulo anterior. Veja: Ângulos internos A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre 180. Os ângulos interno e eterno de um polígono, quando adjacentes, são suplementares: somam 180 Ângulos suplementares a + b + c = 180 c + d = 180 Vamos igualar as epressões que são iguais a 180. Veja: a + b + c = c + d (a, b, c) a d = a + b A medida de um ângulo eterno de um triângulo é igual à soma dos ângulos internos não adjacentes a este. Eemplo 1: Encontrar a medida do ângulo apresentado a seguir: d = = 125

46 MATEMÁTICA 8. ANO 45 Eemplo 2: Qual o valor de y no triângulo abaio? 2) Descubra o valor da incógnita em cada triângulo: 115 y = y + 62 y = y = 53 1) Utilize a propriedade do ângulo eterno e encontre os ângulos desconhecidos nos triângulos abaio: y y 10 y + 30 b 111 y 70 5z 2z + 50 z d Eplique, para os seus colegas e para o seu Professor, de que forma você chegou aos resultados.

47 MATEMÁTICA 8. ANO 46 Minutos utilizados MÉDIA ARITMÉTICA Neste momento, estudaremos a média aritmética simples, que é uma medida de centralidade entre números dados. Vamos calculá-la somando todos os valores e dividindo pela quantidade destes. Eemplo 1: Um jogador de basquete está participando de um torneio. Ele anotou, em seu caderno, os pontos que marcou em seus últimos 4 jogos. Leia a tabela: Jogo 1 Jogo 2 Jogo 3 Jogo 4 Pontos Calcule a média de pontos por partida desse jogador. Somamos a quantidade de pontos em cada um dos quatro jogos e dividimos por 4: Nascimentos a cada hab/km = 4 =27,5 Assim, a média desse jogador é de 27,5 pontos por jogo. Eemplo 2: Leia o gráfico e responda: TAXA DE NATALIDADE BRASIL 1940 / 1999 Ano Taa de natalidade é a quantidade de nascidos a cada mil habitantes de uma determinada área ou região. Neste gráfico, podemos ler o desenvolvimento da taa de natalidade do Brasil entre os anos de 1940 e Agora responda: Qual é a média aritmética simples da taa de natalidade do ano de 1940 ao ano de 1980? Somamos os cinco valores dos anos presentes no gráfico: ,2 Dividimos pela quantidade de valores somados: ,2 5 = 200,2 5 = 40,04 De 1940 a 1980, a taa de natalidade, no Brasil, foi de 40,04 hab/km 2. Questão 1 Lendo o gráfico de coluna apresentado a seguir, percebemos que ele informa o consumo por mês de uma conta de telefone. Assinale a opção que representa a média aritmética aproimada do consumo mensal nesses meses CONSUMO MENSAL Julho Agosto Setembro MÊS (A) 202 minutos. (B) 182 minutos. (C) 180 minutos. (D) 168 minutos.

48 MATEMÁTICA 8. ANO 47