MÉTODOS ITERATIVOS E MÉTODOS DE DIFERENÇAS FINITAS PARA RESOLVER EQUAÇÕES DE DIFUSÃO LINEAR E NÃO- LINEAR

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1 MÉTODOS ITERATIVOS E MÉTODOS DE DIFEREÇAS FIITAS PARA RESOLVER EQAÇÕES DE DIFSÃO LIEAR E ÃO- LIEAR eyva Maria Lopes Romeiro romeiro@el.br iversidade Esadal de Lodria Deparameo de Maemáica - CCE Rodovia Celso Garcia Cid Km 8 Camps iversiário Lodria Paraá Brasil. Cibele Aparecida Ladeia cibele_ma_el@yahoo.com.br iversidade Federal do Rio Grade do Sl Ra Sarmeo Leie 45- adar CEP 957- Poro Alegre RS- Brasil. Palo Laere ai plai@el.br iversidade Esadal de Lodria Deparameo de Maemáica - CCE Rodovia Celso Garcia Cid Km 8 Camps iversiário Lodria Paraá Brasil. Resmo. Ese rabalho avalio o méodo de ieração variacioal Laplace-Padé MIVLP qe é ma eesão do méodo da ieração variacioal MIV a obesão de solções aproimadas de problemas lieares e ão lieares cas solções aalíicas são cohecidas. Verifico-se qe MIVLP aplicado ao problema liear da rasmissão do calor eqação do calor proporcioo solções ieraivas qe covergiram para a solção aalíica após pocas ierações. Cosao-se ambém reslados covergees para MIV qado aplicado à eqação do calor porém ese eigi mias ierações do méodo para gerar solções covergees. Aálise similar aplicada ao problema ão liear descrio pela eqação de Brgers reslo em solção aalíica aproimada a primeira ieração do MIVLP observado qe o MIV é m méodo de covergêcia rápida qado aplicado à eqação ão liear. Aida ese rabalho apresea solções méricas dos problemas aalisados pelos méodos ieraivos ilizado méodos de difereças fiias com esraégia pwid de primeira ordem o ermo ão liear da eqação de Brges. Dispodo de solções aalíicas aálises de erro mérico foram realizadas a parir da orma L. Palavras-Chave: Laplace-Padé Méodo da Ieração Variacioal Difereças Fiias pwid Brgers. CILAMCE Proceedigs of he XXXIV Iberia Lai-America Cogress o Compaioal Mehods i Egieerig Z.J.G. Del Prado Edior ABMEC Pireópolis GO Brazil ovember -

2 Templae for CILAMCE doble-click o edi shor ile field ITRODÇÃO O méodo de ieração variacioal MIV foi proposo primeiramee por He He 997a He 997b; He 999; He ; He 4; He 6; He 7a He 7b. O MIV em sido aplicado com scesso em mias siações para a obeção de solções aalíicas o solções aalíicas aproimadas He 997b; Abdo 5; Taari 7; Baiha 7. Mios aores em comprovado a eficiecia do MIV para ma variedade de aplicações cieíficas Wazwaz 997; He 999; Momai 5; Abdo 5; Ablwafa 6; Momai 6; Wazwaz 7a; Wazwaz 7b ilizado eqações lieares o ão lieares. Verifica-se qe o MIV é m méodo de covergêcia rápida qado aplicado a ma ampla gama de problemas ãolieares Odiba ; Sweilam e al ; Omidvar e al ; Yag. Ereao o MIV gera ieraivamee a solção por meio de ma série rcada o qe limia a região de covergêcia da mesma o aida a covergêcia só é obida após m úmero mio grade de ierações. Aalmee esdam-se modificações do méodo variacioal ode mias desas modificações esão sedo irodzidas com o obeivo de amear o domíio e a região de covergêcia He ; Abassy e al. 6; Abassy e al. 7. Desa forma o MIV foi reirodzido ilizado aproimaes de Padé MIVP Abassy 4; Abassy e al. 6; Abassy e al. 7; oor e al 9; Torabi e al e a Trasformada de Laplace com Padé MIVLP Khri ; Abassy e al. 7. Assim a êfase dese rabalho ecora-se em ilsar a eficiecia do MIVLP aplicado o problema liear da rasmissão do calor e o problema ão liear descrio pela eqação de Brgers. Apresea aida solções méricas dos problemas aalisados pelos méodos ieraivos ilizado méodos de difereças fiias com esraégia pwid de primeira ordem o ermo ão liear da eqação de Brges. Por fim várias aálises de erro mérico foram realizadas a parir da orma L. MÉTODOS. MIV para a solção da série rcada Para ilsrar o coceio básico do MIV cosidera-se a eqação diferecial a forma padrão de operador dada por: L R ode L R é o operador liear e é o ermo ão liear. R e ão possem derivada parcial com respeio a He 997a; Abassy e al 7a. De acordo com o MIV He 997b; He 6; Abassy e al 7b a solção pode ser cosrida ieraivamee a parir de por: L R d ode é m mliplicador de Lagrage ideificado a eoria variacioal eqao qe R e são cosideradas as resrições variacioais Wazwaz e al 8; Dehgha e al 8 iso é R e ode o sbídice idica a ordem h da aproimação. As codições esacioárias para a Eq. podem ser obidas a parir de: CILAMCE Proceedigs of he XXXIV Iberia Lai-America Cogress o Compaioal Mehods i Egieerig Z.J.G. Del Prado Edior ABMEC Pireópolis GO Brazil ovember -

3 F. Ahor S. Ahor T. Ahor doble-click o edi ahor field CILAMCE Proceedigs of he XXXIV Iberia Lai-America Cogress o Compaioal Mehods i Egieerig Z.J.G. Del Prado Edior ABMEC Pireópolis GO Brazil ovember -. De em-se qe e a Eq. ora-se. d R L 4 O segdo ermo à direia de 4 é chamado de ermo de correção qe é resolvido ilizado ma a codição como aproimação iicial. Defiido o ermo de correção em forma de operador por d R L A 5 e as compoees A 6 e sbsiido em 4 em-se 7 qe coseqeemee resla em k k. Desa forma a solção da Eq. pode ser obida sado 5 e 6 em forma de série lim 8 qe para o propósio de aproimação cosidera-se a solção aproimada 8 pela série rcada de ordem h k k. A codição iicial pode ser escolhida arbirariamee desde qe saisfaça as codições iiciais e de cooro do problema Odiba. A covergêcia do méodo depede da escolha adeqada da codição iicial. ese rabalho a covergecia dos méodos será aálisada por meio da ordem do erro ilizado o cálclo do erro relaivo por meio da orma L defiida por aalíica mérica aalíica i i i i i L E h 9

4 Templae for CILAMCE doble-click o edi shor ile field ode é o úmero de poos da malha.. Trasformada de Laplace com Padé para a solção da série rcada Para calclar ieraivamee ma solção MIVLP de ordem iicia-se com a solção do MIV de ordem calclada por meio de 5 em segida omado a rasformada de Laplace L qe em a forma de ma série de ermos racioais a variável s. de obem-se Tomado o aproimae de Padé de obem-se a solção LP. Difereças fiias L e por úlimo a rasformada iversa de Laplace qe é ma solção do MIVLP. ese rabalho iliza-se o méodo de difereças fiias MDF para discreizar a eqação do calor e de Brgers. A ideia geral cosise em discreizar o domíio e sbsiir as derivadas presees a eqação diferecial por aproimações evolvedo somee valores méricos da fção cas fórmlas podem ser obidas aravés do desevolvimeo em série de Taylor Collaz 966; Roache 976; Ames 977. Desa forma ese rabalho aplica-se difereças fiias cerada ao o ermo emporal qao o ermo difsivo da eqação do calor reslado o méodo implício de Crak-icolso. Já para a discreização da eqação de Brgers iliza-se difereças fiias para free o ermo emporal difereça ceral o ermo difsivo e o ermo covecivo sa-se a discreização obida pelo esraégia pwid Ferreira 5 gerado desa forma m méodo eplício. A esraégia pwid ilizada o ermo covecivo ecora-se apreseada em i i i i h i e i i i são calcladas por i i i em qe as variáveis i i i. As variáveis i e i de são deermiadas ilizado o esqema pwid de primeira ordem Fig.. Para isso é ecessário deermiar os ós D Dowsream psream e R Remoe-psream em relação a face cosiderado o sial da velocidade coveciva h i i e f Figra Esecil compacioal para deermiar a variável i CILAMCE Proceedigs of he XXXIV Iberia Lai-America Cogress o Compaioal Mehods i Egieerig Z.J.G. Del Prado Edior ABMEC Pireópolis GO Brazil ovember -

5 F. Ahor S. Ahor T. Ahor doble-click o edi ahor field O esqema pwid de primeira ordem defiido por em qe é ma variável escalar geérica ese rabalho refere-se a compoee da velocidade e a variável ormalizada ˆ Ferreira e al 5; Ferreira e al é defiida por f ˆ R. D R A aplicação do esqema pwid de primeira ordem para aproimar eão por: i i Se e ˆ R i ˆ i eão i i Se e ˆ i Se e ˆ i Se e ˆ i i i i D i R i i i i i eão i i i i eão i i i i i i i eão i i i. i e i é dada Obido os méodos a serem abordados apresea-se ma comparação dos reslados da solção da série rcada aravés da aplicação dos méodos da ieração variacioal MIV e MIVLP da solção via MDF em relação a solção eaa da eqação de difsão liear eqação do calor e da eqação de difsão ão liear eqação de Brgers. EQAÇÃO DO CALOR Cosiderado a eqação do calor D dada por:. com codições iiciais e de cooro do ipo Dirichle dadas respecivamee por se [ ]. 4 A solção aalíica da eqação saisfazedo as codições e 4 é dada por se e.. Solção da Eqação do Calor sado o MIV As solções da eqação por meio do méodo da ieração variacioal MIV represeada por ilizado as codições dadas em e 4 são obidas ieraivamee por: d. 5 CILAMCE Proceedigs of he XXXIV Iberia Lai-America Cogress o Compaioal Mehods i Egieerig Z.J.G. Del Prado Edior ABMEC Pireópolis GO Brazil ovember -

6 Templae for CILAMCE doble-click o edi shor ile field ilizado a codição iicial em 5 obem-se as segies aproimações scessivas si si si 4 si si si 4 si si si 4 6!! 6 si! si. Verifica-se em 6 qe o MIV gero ieraivamee a solção por meio da série k k k rcada si. Além disso é fácil observar qe a solção ko k! coverge para a solção eaa qado mediae o so da epasão de Taylor da fção e. Reslados do procedimeo MIV da eqação de difsão para. 5 avaliado sob a orma L o cálclo do erro ere as solções aproimadas e a solção aalíica são apreseados a Tabela. 6 Tabela : Reslados das ierações do procedimeo MIV da eqação para. 5 avaliado em E L ierações E ierações E L L Verifica-se a Tabela qe o procedimeo MIV reslo em erros de ordem a - a orma L após 7 ierações. Com o obeivo de aigir a covergêcia de em m úmero meor de ierações o MIV foi reirodzido ilizado aproimaes de Padé Abassy e al. 6; Abassy e al 7a; oor e al 9; Torabi e al ] e a Trasformada de Laplace com Padé Abassy e al. 7; Khri. CILAMCE Proceedigs of he XXXIV Iberia Lai-America Cogress o Compaioal Mehods i Egieerig Z.J.G. Del Prado Edior ABMEC Pireópolis GO Brazil ovember -

7 F. Ahor S. Ahor T. Ahor doble-click o edi ahor field. Solção da Eqação do Calor sado o MIVP ilizado as codições dadas em e verifica-se qe a solção da eqação por meio do méodo da ieração variacioal Padé MIVP represeada por saisfaz P para L e para L as epressões de P depedem ao de L qao de M porém coverge para ma solção aalíica aproimada. Para avaliar os aproimaes de Padé apreseam-se a Tabela os reslados de algs aproimaes cosiderado. 5 e idicado a ieração o qal o MIVP coverge para a solção aalíica P aproimada assim como o erro a orma E a ieração a qal o méodo covergi. P L obido em cada aproimae L Tabela : Reslados aproimaes de Padé do procedimeo MIVP da eqação para. 5 Aproimaes de Padé E P avaliado em L P L E Ieração qe MIVP coverge para a solção aalíica aproimada [/]. 4 [/].68 6 L M [4/4].4-8 [5/5] 7. - [6/6] 86-4 [7/7] [/]. 5 [4/] L M [5/4] [6/5].4 - [7/6] Observa-se a Tabela qe o úmero de ierações ecessárias para qe o méodo MIVP alcace a covergêcia para a solção aalíica aproimada é eqivalee a L M ierações. Verifica-se qe os aproimaes de Padé para valores da diagoal L M qado comparados com os aproimaes de Padé sedo L M reslam em meores aas de erro Wazwaz. Verifica-se aida qe o aproimae de Padé [5/4] apresea ma ordem do erro eqivalee a - reslado a solção aalíica aproimada após 9 ierações em comparação com a mesma ordem de covergêcia obida pelo MIV o qal ecessio de 7 ierações. Também verifica-se qe o aproimae de Padé [4/4] com 8 ierações apresea ma ordem de erro próima a obida pelo MIV cosiderado 6 ierações. CILAMCE Proceedigs of he XXXIV Iberia Lai-America Cogress o Compaioal Mehods i Egieerig Z.J.G. Del Prado Edior ABMEC Pireópolis GO Brazil ovember -

8 Templae for CILAMCE doble-click o edi shor ile field. Solção da Eqação do Calor sado o MIVLP Aalogamee ilizado a codição iicial dada a Eq. verifica-se qe a solção de por meio do méodo da ieração variacioal Laplace-Padé MIVLP represeado por LP LP saisfaz para L e para L as epressões de LP depedem ao de L qao de M porém covergem para ma solção aalíica aproimada pariclarmee ese caso a solção é a própria solção aalíica. Mais aida verifica-se qe o úmero de ierações ecessárias para qe o méodo MIVLP alcace a covergêcia para a solção aalíica é eqivalee a L ierações cosiderado o caso pariclar da eqação do calor e a codição de qe o aproimae de Padé ilizado eha-se L M. Ese reslado ecora-se ilsrado sado o aproimae de Padé de ordem [/]... Solção da Eqação do Calor sado Aproimae de Padé [/] Cosiderado o aproimae de Padé [/] e observado qe a solção aproimada do MIV de ordem para a Eq. epresada por 4 6 si si si si. 7 é ma soma parcial da série de Taylor da solção eaa. Para ober a solção do MIVLP de ordem aplica-se a rasformada de Laplace em 7 L s 4 6 si s s! 4 6 s qe resla em ma série de fções racioais em s. Tomado a variável s o aproimae de Padé [L/M] para L e M obém-se si L 9 s / M Calclado a rasformada de Laplace iversa de 8 emos a solção MIVLP LP L M si e L / qe coverge para solção aalíica..4 Discreização da Eqação do Calor sado Difereças Fiias: Crak- icolso O méodo de Crak-icolso cosise em aplicar a discreização da eqação diferecial m ível iermediário ere e o sea o poo qe ão é malha i /. sado a fórmla cerada a variável a derivada em relação a em / será aproimada pela média das discreizações de segda derivada os íveis de empo e o sea a derivada em relação a em / aproimada pela média das discreizações de segda derivada o ível de empo reslado em 8 CILAMCE Proceedigs of he XXXIV Iberia Lai-America Cogress o Compaioal Mehods i Egieerig Z.J.G. Del Prado Edior ABMEC Pireópolis GO Brazil ovember -

9 F. Ahor S. Ahor T. Ahor doble-click o edi ahor field / i i i / i. i a derivada em relação a em / aproimada pela média das discreizações de segda derivada o ível de empo reslado em i / i i. / i i Somado as Eqs. e obem-se as aproimações do méodo de Crak-icolso dadas por: i i i i. i i i. i difereça ceral difereça ceral difereça ceral em / em em Defiido em-se a eqação do calor a forma discreizada i i i i. i 4 i formado o sisema liear ridiagoal qe é diagoalmee domiae..5 Reslados da Eqação do Calor Os reslados da eqação do calor dada em ilizado os procedimeos descrios acima podem ser observados a Fig. ode ilsra-se as sperfícies das solções aproimadas para algs dos processos ieraivos do MIV para algs dos processos ieraivos do MIVLP cosiderado o aproimae de Padé [/] a solção sado o MDF implício Crak- icolso e a solção aalíica. Para eses reslados ilizo-se e empo fial de simlação. 5. CILAMCE Proceedigs of he XXXIV Iberia Lai-America Cogress o Compaioal Mehods i Egieerig Z.J.G. Del Prado Edior ABMEC Pireópolis GO Brazil ovember -

10 Templae for CILAMCE doble-click o edi shor ile field Figra. Covergêcia da solção para o empo de simlação. 5 ilizado MIV MIVLP com aproimae de Padé [/] MDF implício e a solção aalíica. Observa-se a Fig. qe os méodos variacioais proporcioaram boas aas de covergêcia com o ameo do úmero de ierações Fig. a-c e e-g. Verifica-se observado a Fig. qe o MIV em ma covergêcia mais lea porém ao ober a covergêcia sa aa ecora-se próima da ordem eqao qe o MIVLP aigi a solção aalíica a ª ieração o qe leva a coclir qe ese méodo gera a covergêcia mio mais rápida qe o méodo MIV para o caso aalisado. Qao ao reslado do MDF implício ese aigi ma ordem de covergêcia próima da obida pelo MIV a ieração 7 ode foram cosiderados para esa simlação e empo fial. 5. Figra : Reslados da orma L o cálclo do erro sobre algmas ierações dos méodos MIV e MIVLP e do MDF implício. CILAMCE Proceedigs of he XXXIV Iberia Lai-America Cogress o Compaioal Mehods i Egieerig Z.J.G. Del Prado Edior ABMEC Pireópolis GO Brazil ovember -

11 F. Ahor S. Ahor T. Ahor doble-click o edi ahor field 4 EQAÇÃO DE BRGERS Cosiderado a eqação de Brges D dada por: v se [ ] 5 ode v é o coeficiee de viscosidade. As codições iiciais e de cooro do ipo Dirichle para 5 são dadas respecivamee por se [ ] 6. 7 A solção aalíica da eqação 5 para v saisfazedo as codições 6 e 7 dada por Plazma 964: J se 8 em qe J é a fção de Bessel de ordem de primeira espécie. ese rabalho cosidera-se a solção 8 rcada em ermos solção semi-aalíica. 4. Reslados da Eqação de Brger Os reslados da eqação de Brgers dada em 5 ilizado algs dos processos ieraivos do MIV algs dos processos ieraivos do MIVLP cosiderado o aproimae de Padé [/] a solção sado o méodo de difereças fiias eplício com esraégia pwid o ermo covecivo e a solção aalíica ecoram-se ilsrados a Fig. 4. Para eses reslados ilizo-se. 96. e empo fial de simlação. 5. CILAMCE Proceedigs of he XXXIV Iberia Lai-America Cogress o Compaioal Mehods i Egieerig Z.J.G. Del Prado Edior ABMEC Pireópolis GO Brazil ovember -

12 Templae for CILAMCE doble-click o edi shor ile field Figra 4. Covergêcia da solção para o empo de simlação. 5 ilizado MIV MIVLP com aproimae de Padé [/] MDF eplício com pwid de primeira ordem e a solção aalíica. Verifica-se a Fig. 4 qe o MIV para a eqação de Brgers apreseo covergecia rápida ao corario do caso avaliado aeriomee eqação do calor. Cofirmado desa foram qe o MIV é m méodo de covergêcia rápida qado aplicado a ma ampla gama de problemas ão-lieares Odiba ; Sweilam e al ; Omidvar e al ; Yag. Ereao o MIVLP ão reslo em reslados covergees com o ameo de ierações como pode ser observado a Figra e ode em sa segda ieração reslo em reslados ão covergees. Avaliado a Fig. 5 pode-se cosaar qe a aa de covergêcia do MIV a erceira ieração ecora-se próimo de 5. Qao ao reslado do MDF eplício com pwid de primeira ordem pode-se verificar qe ese aigi covergêcia de ordem ode foi cosiderado. 96. e empo fial de simlação. 5. Figra 5: Reslados da orma L o cálclo do erro sobre algmas ierações dos méodos MIV e MIVLP e do MDF eplício. 5 COCLSÃO ese rabalho esdo-se eesões do méodo da Ieração Variacioal MIV em pariclar aqeles associados ao procedimeo de Laplace Padé MIVLP. Aplico-se méodos ieraivos variacioais e méodo de difereças fiias a resolção de problemas lieares e ão lieares em pariclar a eqação do calor e de Brgers cas solções são cohecidas a lierara. Verifico-se a eqação do calor qe o MIV apreseo ma covergêcia após vários processos ieraivos. Por oro lado o MIVLP para Padé [/] e [4/4] covergiram para a solção aalíica á o erceiro processo ieraivo de maeira abrpa devido ao procedimeo de Padé associado. Lembrado qe o procedimeo de Laplace o MIVLP CILAMCE Proceedigs of he XXXIV Iberia Lai-America Cogress o Compaioal Mehods i Egieerig Z.J.G. Del Prado Edior ABMEC Pireópolis GO Brazil ovember -

13 F. Ahor S. Ahor T. Ahor doble-click o edi ahor field em o obeivo de gerar fções racioais porém é a écica do aproimae de Padé qe faz as solções ieraivas covergirem para solção aalíica devido ao fao qe aproimaes de Padé ameam a raio de covergêcia. Qao ao procedimeo ilizado o méodo de Crak-icolso apreseo reslado saisfaório mas ão sperior ao procedimeo MIV após m úmero elevado de ierações. Qao aos reslados ilizado a eqação de Brgers qe é ma eqação ão liear verifico-se qe o MIV é m méodo de covergêcia rápida á a erceira ieração apreseo ma aa de covergêcia próima a 5. Porém para os casos ode a eqação é ão liear o MIVLP ão reslo em reslados covergees com o ameo de ierações. O qe leva a coclir qe o MIV é m méodo de covergêcia rápida qado aplicado a eqação ão liear como a apreseada ese rabalho. Observado aida qe a ordem do erro do MIVLP esá codicioada ao empo e aos aproimaes de Padé. Iso é qao maior for gra do Padé [ L / M ] melhor será aproimação odavia iso ocasioa m cso compacioal. Qao às solções ilizado o méodo de difereças fiias em ambos os obeve-se aas de covergêcia aceiáveis. REFERECIAS Abassy T. A.; El-Tawil M. A.; El-Zoheiry H. Eac solios of some oliear parial differeial eqaios sig he variacioal ieraio mehod liked wih Laplace rasforms ad he Padé echiqe. Comp. Mah. Apll. v. 57 p Abassy T. El-Tawil M.A.. El-Zoheiry H. Toward a modified variaioal ieraio mehod MVIM Joral of Compaioal ad Applied Mahemaics i press doi:.6/.cam Abassy T.A. The solio of KdV ad KdV eqaios sig Adomia Padé approimaio Ieraioal Joral of oliear Scieces ad merical Simlaio Abdo M.A. Solima A.A. Variaioal ieraio mehod for solvig Brger s ad copled Brger s eqaios J. Comp. Appl. Mah Ablwafa E.M. M.A. Abdo A.A. Mahmod The solio of oliear coaglaio problem wih mass loss Chaos Solios Fracals 9 6. Ames W. F merical Mehods for Parial Differeial Eqaio d ed. ew York Academic Press. Baiha B. M.S.M. oorai I. Hashim E.S. Ismail The mliple sage variaioal ieraio mehod for class of oliear sysem of ODEs Phys. Scr Collaz L The merical Treame of Differeial Eqaios rd Spriger Verlag. ed. Berli Dehgham M. Dehgha Ad F. Shakeri Applicaio of He s variaioal ieraio mehod for solvig he Cachy reacio diffsio problem Comp. Appl. Mah Ferreira V.G. De Lima G A.B. Corrêa L. Meodologia para desevolvimeo de esqemas PWID de ala resolção. Sociedade Brasileira de Maemáica Aplicada e Compacioal. Ferreira V.G. De Lima G.A.B. Modelagem maemáica e simlação mérica em diâmica dos flidos. Sociedade Brasileira de Maemáica Aplicada e Compacioal 5. CILAMCE Proceedigs of he XXXIV Iberia Lai-America Cogress o Compaioal Mehods i Egieerig Z.J.G. Del Prado Edior ABMEC Pireópolis GO Brazil ovember -

14 Templae for CILAMCE doble-click o edi shor ile field He J Variaioal ieraio mehod for delay differeial eqaios Commicaios i oliear Sciece ad merical Simlaio 4 997b 5-6. He J. Variaioal priciples for some oliear parial differeial eqaios wih variable coefficies Chaos Solios Fracals He J. Some asympoic mehods for srogly oliear eqaios Iera. J. Moder Phys. B He J. Variaioal ieraio mehod- a kid of o-liear aalyical echiqe: Some eamples I. J. oliear Mech He J. Variaioal ieraio mehod for aoomos ordiary differeial sysems Appl. Mah. Comp He J. Variaioal ieraio mehod Some rece resls ad ew ierpreaios J. Comp. Appl. Mah. 7 7a 7. He J. W Variaioal ieraio mehod: ew developme ad applicaios Comp. Mah. Appl b He J.H. He A ew approach o oliear parial differeial eqaios Commicaios i oliear Sciece ad merical Simlaio 4 997a -5. Khri S. A Laplace decomposiio algorihm applied o a class of oliear differeial eqaios Joral of Applied Mahemaics : Momai S. Momai Z. Odiba Aalyical approach o liear fracioal parial differeial eqaios arisig i flid mechaics Phys. Le. A Momai S. S. Absaad Applicaio of He s variaioal-ieraio mehod o Helmholz eqaio Chaos Solios Fracals oor M.A. S.T. Mohyd-Di Variaioal ieraio mehod for seady flow of gas hrogh a poros medim sig He s polyomials ad Pade approimas Compers ad Mahemaics wih Applicaios Odiba Z.M. "A sdy o he covergece of variaioal ieraio mehod" Mahemaical ad Comper Modellig doi:.6/.mcm..4.. Omidvar M. Barari A. Domairry G. Solio of diffsio eqaios sig homoopy perrbaio ad variaioal ieraio mehods Joral of Scieces Vol. 8 o. pp -8. Plazma G.W. A eac iegral of complee specral eqaios for seady oedimesioal flow. Tells v. 6 p Roache P.J. Compaioal Flid Dyamics Hermosa Pb. Albqerqe ew Meico 996. Shi-Pig Yag Ai-Go Xiao Covergece of he variaioal ieraio mehod for solvig mli-delay differeial eqaios Compers ad Mahemaics wih Applicaios Sweilam.H. Khader M.M. O he covergece of variaioal ieraio mehod for oliear copled sysem of parial differeial eqaios Ieraioal Joral of Comper Mahemaics Vol. 87 o. 5 April. CILAMCE Proceedigs of he XXXIV Iberia Lai-America Cogress o Compaioal Mehods i Egieerig Z.J.G. Del Prado Edior ABMEC Pireópolis GO Brazil ovember -

15 F. Ahor S. Ahor T. Ahor doble-click o edi ahor field Taari M. Dehgha M. O he covergece of he s variaioal ieraio mehod J. Comp. Appl. Mah Torabi M. Yaghoobi H. ovel solio for acceleraio moio of a verically fallig spherical paricle by HPM Padé approima Advaced Powder Techology Wazwaz A. A reliable algorihm for solvig bodary vale problems for higherorder iegro-differeial eqaios Applied Mahemaics ad Compaio Wazwaz A. A sdy o liear ad oliear Schrodiger eqaios by he variaioal ieraio mehod Chaos Solios ad Fracals Wazwaz A.M. ecessary codiios for he appearace of oise erms i decomposiio solio series Appl. Mah. Comp Wazwaz A.M. A compariso bewee he variaioal ieraio mehod ad Adomia decomposiio mehod J. Comp. Appl. Mah. 7a i press. Wazwaz A.M. The variaioal ieraio mehod for raioal solios for KdV K Brgers ad cbic Bossiesq eqaios J. Comp. Appl. Mah. 7b i press. CILAMCE Proceedigs of he XXXIV Iberia Lai-America Cogress o Compaioal Mehods i Egieerig Z.J.G. Del Prado Edior ABMEC Pireópolis GO Brazil ovember -