EP33D Matemática Discreta 2013/2S

Transcrição

1 EP33D Matemática Discreta 2013/2S Lista 01 Lógica Proosicional Problema 1. Qual é a negação de cada roosição a seguir? a) Hoje é quinta-feira. b) Não há oluição em São Paulo. c) 2+1=3 d) O verão no Rio é quente e ensolarado. Problema 2. Considere : Eu comrei um bilhete da loteira esta semana. e q: Eu ganhei a bolada de um milhão de reais na sexta-feira.. Exresse as seguintes roosições na língua ortuguesa: a) b) q c) d) q e) q f) q g) q h) ( q) Problema 3. Determine se estes bicondicionais são verdadeiros ou falsos. a) 2+2=4 se e somente se 1+1=2. b) 1+1=2 se e somente se 2+3=4. c) 1+1=3 se e somente se macacos uderem voar. d) 0>1 se e somente se 2>1. Problema 4. Quantas linhas aarecem na tabela-verdade ara cada uma destas roosições comostas? a) b) ( r) (q s) c) q s r t u Problema 5. Construa a tabela-verdade ara cada uma dessas roosições comostas: a) b) c) ( q) q d) ( q) ( q) e) () ( q ) f) () (q ) g) h) ( q) ( q) 1

2 i) ( q) ( q) j) () ( ) k) (() r) s l) ( q) (r s) Problema 6. A sentença Esta declaração é falsa. é uma roosição? Problema 7. Uma antiga lenda siciliana diz que o barbeiro em uma cidade longínqua, que ode ser alcançada aenas se for ercorrida uma erigosa estrada na montanha, barbeia aquelas essoas e aenas aquelas essoas que não odem se barbear sozinhas. Pode haver lá esse barbeiro? Problema 8. Use a tabela-verdade ara verificar as seguintes equivalências: a) V b) F c) F F d) V V e) ( ) f) q q g) q q h) (q r) ( q) ( r) i) ( q) q Problema 9. Mostre que as seguintes roosições condicionais são tautologias: a) ( q) b) ( q) c) () d) ( q) () e) () f) () q g) [ ( q)] q h) [() (q r)] ( r) i) [ ()] q j) [( q) ( r) (q r)] r Problema 10. Considere P(x) como a roosição x 4. Quais são os valores-verdade de P(0), P(4) e P(6)? Problema 11. Considere P(x) com a roosição x assa mais do que cinco horas estudando todos os dias., em que o domínio de x são todos os alunos de Matemática Discreta. Exresse cada uma das sentenças a seguir em língua ortuguesa: a) xp(x) b) xp(x) c) x P(x) d) x P(x) Problema 12. Considere Q(x): x + 1 > 2x. Se o domínio de x forem todos os números inteiros, quais serão os valores verdade de: a) Q(0) b) Q( 1) c) Q(1) d) xq(x) e) xq(x) f) x Q(x) 2

3 g) x Q(x) Problema 13. Suonha que o domínio da função roosicional P(x) sejam os números inteiros de 1 a 5. Exresse as roosições abaixo sem utilizar quantificadores (aenas utilizando negações, conjunções e disjunções). a) xp(x) b) xp(x) c) xp(x) d) xp(x) e) x((x 3) P(x)) x P(x) Problema 14. Transcreva cada uma das roosições abaixo, de duas maneiras distintas, em exressões lógicas usando redicados, quantificadores e conectivos: a) Ninguém é erfeito. b) Nem todos são erfeitos. c) Todos os meus amigos são erfeitos. d) Pelo menos um de seus amigos é erfeito. e) Todos são seus amigos e erfeitos. f) Nem todos são seus amigos ou alguém não é erfeito. Problema 15. Suonha que o domínio de Q(x,y,z) seja {0,1,2} {0,1} {0,1}. Desenvolva: a) yq(0, y, 0) b) xq(x, 1, 1) c) z Q(0, 0, z) d) x Q(x, 0, 1) Problema 16. Determine se as roosições abaixo envolvendo quantificadores são logicamente equivalentes. a) x(p(x) Q(x)) e xp(x) xq(x) b) x(p(x) Q(x)) e xp(x) xq(x) c) x(p(x) Q(x)) e xq(x) xq(x) Problema 17. Transcreva ara o ortuguês as roosições abaixo, em que o domínio de cada variável consiste nos números reais: a) x y(x < y) b) x y(((x 0) (y 0)) (xy 0)) c) x y z(xy = z) Problema 18. Considere L(x, y) como a roosição x ama y, em que o domínio ara x e y são todas as essoas do mundo. Exresse as setenças abaixo utilizando quantificadores: a) Todos amam Jerry. b) Todas as essoas amam alguém. 3

4 c) Há alguém que é amado or todos. d) Ninguém ama a todos. e) Há alguém que Lídia não ama. f) Há alguem a quem ninguém ama. g) Há exatamente uma essoa a quem todos amam. h) Há exatamente duas essoas a quem Lynn ama. i) Todos amam a si rório. j) Há alguém que não ama ninguém além de si rório. Problema 19. Determine o valor-verdade de cada uma das roosições abaixo se o domínio ara as variáveis são todos os números inteiros: a) n m(n 2 <m) b) n m(n<m 2 ) c) n m(n+m=0) d) n m(nm = m) e) n m(n 2 +m 2 =5) f) n m(n 2 +m 2 =6) g) n m(n+m=4 n m=1) h) n m(n+m=4 n m=2) i) m n (=(m+n)/2) Problema 20. Exresse as negações das roosições abaixo, tal que todos os símbolos de negação recedam imediatamente os redicados: a) z x yt(x, y, z) b) x yp(x,y) x yq(x,y) c) x y(q(x,y) Q(y,x)) d) y x z(t(x,y,z) Q(x,y)) Problema 21. Mostre que xp(x) xq(x) é logicamente equivalente a x y(p(x) Q(y)). Problema 22. Para cada gruo de remissas abaixo, qual conclusão (ou quais conclusões) odem ser tiradas? a) Se eu tiro o dia de folga, chove ou neva. Eu tirei o dia de folga na terça-feira ou na quinta-feira. Fez sol na terça-feira. Não nevou na quinta-feira. b) Se eu como comida aimentada, eu tenho sonhos estranhos. Eu tenho sonhos estranhos quando cai um trovão enquanto eu durmo. Eu não tive sonhos estranhos. c) Eu sou eserto ou sortudo. Eu não tenho sorte. Se eu tivesse sorte, então eu ganharia na loteira. d) Todos os roedores roem sua rória comida. Ratos são roedores. Coelhos não roem sua comida. Morcegos não são roedores. 4

5 Problema 23. Use a tabela-verdade ara mostrar que as seguintes regras de inferência são argumentos válidos: q q q r r q q q q q q q r q r Problema 24. Mostre que 1, 2,, n (q r) é válido se 1, 2,, n,q r é válido. Problema 25. Mostre que o seguinte argumento é válido: [( t) (r s)],[q (u t)],[u ],[ s] [q r] Problema 26. Determine se cada um dos argumentos abaixo é válido. Se sim, quais as regras de inferência utilizadas? Se não, quais foram os erros lógicos cometidos? a) Se n é um número real tal que n>1, então n 2 >1. Suonha que n 2 >1. Então n>1. b) Se n é um número real tal que n>3, então n 2 >9. Suonha que n 2 9. Então n 3. Problema 27. Determine se o seguinte argumento é válido: Se o suer-homem era caaz e tinha contade de combater o mal, ele seria benevolente. Se o suer-homem não fosse caaz de combater o mal, ele seria imotente; se ele não tivesse vontade de combater o mal, ele seria malevolente. O suer-homem não combate o mal. Se o suerhomem existe, ele é ou imotente ou malevolente. Por isso, o suer-homem não existe. Problema 28. O seguinte argumento é válido? Justifique. Queijos tem buracos. Quanto mais buracos, menos queijos. Quanto mais queijo, mais buracos. Portanto, quanto mais queijo, menos queijo. 5