DINÂMICA ESTRUTURAL E CONTROLE DE VIBRAÇÕES EM PONTES

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1 DINÂMICA ESTRUTURAL E CONTROLE DE VIBRAÇÕES EM PONTES P. A. Lpez-Yaez Uiversidade Federal da Paraíba, Cetr de Teclgia Pós-graduaçã em Egeharia Mecâica Jã Pessa, PB , BR J. T. G. de Susa Uiversidade Federal da Paraíba, Cetr de Teclgia Pós-graduaçã em Egeharia Mecâica Jã Pessa, PB , BR Resum. Neste artig, demstra-se a eficiêcia de um mecaism de ctrle passiv prpst, para ateuar as vibrações trasversais de uma viga de pte, riudas da açã d tráfeg ds veículs. O mecaism utilizad é frmad pr tirates de aç prtedids em cjut cm um pste cetral e uma placa retagular de material viscelástic. O mdelamet da estrutura primária e sua assciaçã cm mecaism de ctrle passiv é feit cm base métd ds elemets fiits para vigas e a açã ds veículs represetada pr uma carga impulsiva, que salta sbre s ós da estrutura a uma velcidade cstate. Cm resultad, btém-se a respsta d sistema para carregamet diâmic csiderad, de pde-se verificar a eficiêcia d mecaism para ctrle. Palavras-chave: diâmica de ptes, ctrle passiv, amrtecedr viscelástic 1. INTRODUÇÃO Vigas de ptes sã elemets flexíveis, prtat estã sujeitas a vibrações prvcadas pela a passagem ds veículs u pela açã d vet. Esta situaçã tat pde afetar a itegridade da estrutura cm também causa descfrt as seus usuáris. O ctrle das vibrações em ptes, prvcadas pela açã d tráfeg de veículs, tem sid bjet de estud de váris pesquisadres. Detre s trabalhs publicads essa área, pde-se meciar as pesquisas realizadas pr Abdel-Rhma & Leiphlz (1978), (1980) e Abdel-Rhma & Nayfeh (1987). Tds estes trabalhs demstram a eficiêcia d ctrle das scilações lgitudiais em vigas de ptes utilizad-se um sistema de tirates e atuadres. A utilizaçã de mecaisms de ctrle ativ para reduzir as vibrações em sistemas, apesar de ter sua eficiêcia cmprvada em muits cass, efreta dificuldades para sua implemetaçã prática em bras de cstruçã civil, dada a dificuldade de se ectrar atuadres de ptêcia e velcidade adequadas às massas evlvidas e a temp de excitaçã. Assim, a utilizaçã de mecaisms de ctrle passiv tais cm sciladres sicrizads (Cradall,1973), pstes e tirates prtedids (Michalpuls et al. 1997) e amrtecedres

2 viscelástics (Zhag et al. 1989) frecem uma alterativa, detr de suas limitações, para a reduçã ds efeits civs das vibrações. Neste trabalh, apreseta-se um mecaism de ctrle passiv usad para aliviar as vibrações de uma viga de pte de ccret, prvcadas pela açã de uma carga impulsiva que salta sbre s ós da estrutura, percrred tda sua extesã a uma velcidade cstate. Este trabalh, é dividid em três etapas, de a primeira desevlve-se prcedimet usad para mdelamet d sistema e d carregamet atuate. Depis, resumidamete, mstra-se, cm base trabalh de Zhag et al. (1989), cm avaliar efeit ds amrtecedres viscelástics sbre fatr de amrtecimet mdal d sistema. Fialmete, a parte ds resultads pde-se bservar a respsta temp d sistema cm e sem us ds amrtecedres e assim verificar sua eficiêcia a reduçã das vibrações d sistema. 2. MODELAMENTO DO SISTEMA E DO CARREGAMENTO 2.1 Represetaçã Gráfica A estrutura aalisada csiste de uma viga de pte simplesmete apiada, acplada a um sistema cmpst pr um pste cetral e um par de tirates prtedids. Além diss, para aumetar amrtecimet d sistema fi dimesiada uma placa de material viscelástic, a ser clcada etre a pte e pste (Fig. 1). Figura 1 Represetaçã gráfica d sistema 2.2 Mdelamet d Sistema Para mdelamet, a estrutura é decmpsta em várias vigas as quais estã u sb flexã u sb extesã, cfrme tip de esfrç predmiate. As cveções para s deslcamets em cada tip de barra sã mstradas a Fig. 2, equat s siais para as reações elásticas sã dads a Fig. 3. As equações matriciais, segud Lpez-Yaez & Susa (1997), que relaciam cada deslcamet às frças as extremidades das vigas, sã apresetadas a ctiuaçã. Vigas sb extesã. Para cas de vigas sb extesã a equaçã matricial pde ser escrita cm: N N i f = AE 1 1 i A - + ρ l l 1 1 f i N i F + f N f F (1) de N i e N f sã as reações elásticas rmais, i e f s deslcamets assciads as reações, N i F e N f F as reações de egaste perfeit, sed s ídices i e f crrespdetes às

3 extremidades iicial e fial da barra. A é a área da seçã trasversal da peça, l seu cmprimet e ρ e E, a desidade e módul de Elasticidade d material, respectivamete, (Fig. 2). Figura 2 - Deslcamets Figura 3 Reações elásticas Vigas Sb Flexã. As vigas submetidas a flexã pdem ser aalisadas mediate a seguite equaçã matricial: Vi M i = Vf Mf F 12 6l 12 6l vi l 54 13l vi V i 2 2 EI 2 2 6l 4l 6l 2l θi A l + 22l 4l 13l 3l F ρ θi Mi 3 l 12 6l 12 6l vf 420 l l + F f vf Vf 2 2 6l 2l 6l 4l θ 13l 3l 22l 4l F θ M f f (2) sed, V i e V f as reações elásticas trasversais a eix da peça, v i e v f s deslcamets trasversais V i F e V f F as reações de egaste perfeit, M i e M f s mmets elástics, θ i e θ f as rtações, e M i F e M f F s mmets de egaste perfeit, de s ídices sã relativs às extremidades iicial e fial de uma barra de rigidez a flexã EI, (Fig. 3). 2.3 Mdelamet d Carregamet Diâmic N presete trabalh, apreseta-se um mdel simplificad para carregamet prpst, gerad pel tráfeg de veículs. O carregamet diâmic adtad para represetar mvimet de um veícul baseia-se a hipótese de que cm as dimesões trasversais da estrutura sã bem iferires às lgitudiais, veícul pde ser represetad pr uma carga ccetrada que percrre tda a extesã da pte cm velcidade cstate (Huag,1976). Além diss, a estrutura é discretizada um grade úmer de elemets de barra e a carga ccetrada pde ser substituída pr uma frça impulsiva móvel que salta sbre s ós da viga percrred tda sua extesã cm velcidade cstate (Fig. 4). Deve-se ressaltar, etat, que este tip de carregamet é csideravelmete mais sever, d que a atuaçã de carga ccetrada percrred a extesã da pte para uma velcidade cstate, que garate que s resultads ectrads estarã sempre a favr da seguraça.

4 Figura 4 Carregamet a lg d temp 2.4 Graus de Liberdade d Sistema A Figura 5 mstra uma represetaçã gráfica da estrutura, seus ós e elemets, e ds graus de liberdade admitids para sistema estudad. v v v v v θ θ θ θ θ θ /2-1 /2-1 /2 /2+1 /2 θ /2-1 /2 / v Figura 5 Graus de liberdade d sistema v 2.5 Equações d Mvimet Nã Amrtecid d Sistema As equações d mvimet ã amrtecid sã btidas fazed a aálise d equilíbri para cada ó, mediate as Eqs.(1) e (2). Desta maeira determia-se: [ M ]{} x + [ K]{} x = { P(t) } (3) sed [M] a matriz de massa, [K] a matriz de rigidez e {x} vetr ds deslcamets. Já vetr {P(t)}, represeta carregamet diâmic atuate, que este cas csiste de uma

5 carga impulsiva cm amplitude de 225(KN), que percrre a extesã da viga cm velcidade cstate. O amrtecimet presete sistema é calculad cm base a teria apresetada a seçã 3 e as sluções para as equações d mvimet amrtecid, pdem ser btidas através d métd da sma ds mds rtgais e a itegral de Duhamel (Thms, 1978). 3. CÁLCULO DO FATOR DE AMORTECIMENTO MODAL 3.1 Prpriedades ds Amrtecedres Viscelástics. Um material viscelástic, quad submetid a uma defrmaçã d tip harmôica (Fig. 6), apreseta características cmbiadas de um sólid elástic e de um líquid viscs, ist é, após um cicl cmplet de defrmaçã, material retra a sua frma rigial. Prém, durate cicl, crre uma certa liberaçã de eergia que se evidecia pel aquecimet d material. Assim, para uma defrmaçã relativa escrita cm: γ = γ se ωt (4) a expressã da tesã pde ser escrita cm σ = σ se( ωt + δ) σ = σ (se ωt cs δ + csωt se δ) (5) de γ O é a amplitude de defrmaçã relativa e σ O é a amplitude da tesã. A Figura 5 mstra esta defasagem etre a tesã e a defrmaçã. Figura 6 - Defrmaçã e Tesã a Lg d Temp Quad cmprtamet elástic d material é csiderad ( E E =σ / γ ), a expressã para a tesã escrita em fuçã da amplitude de defrmaçã é dada pr,

6 [ E ( ω) se( ωt) + E ( ω) cs( ωt) ] σ = γ (6) sed E = ( σ / γ )csδ e E = ( σ / γ ) siδ, quatidades fuções da freqüêcia ω e pdem ser demiadas cm módul de elasticidade lgitudial de armazeamet e de perda, respectivamete. Carga F I Extesã I F Figura 7 - Diagrama carga extesã Após um cicl de defrmaçã harmôica, gráfic carga versus extesã frma um cicl histerétic, Fig. 6. A área detr deste gráfic é igual a eergia dissipada pr cicl. Esta quatidade pde ser escrita em fuçã de E e γ, cm 2πω / d E = σ γ 2 dt = πγ E ( ω) 0 dt (7) para uma uidade de vlume de material viscelástic. Fialmete, a eergia ttal dissipada um cicl pr um amrtecedr de vlume ttal V é dada pr 2 E = E V = πγ E ( ω) V, (8) d de para um dad material VE sb certas freqüêcias, as dimesões de V e módul de perda E ( ω ), pdem ser csiderads cstates. 3.2 Determiaçã d efeit d amrtecimet De frma geral, qualquer amrtecedr pde ser iterpretad cm um tip de absrvedr de eergia u dissipadr. Ou seja, seu efeit pde ser avaliad em terms de uma razã de amrtecimet equivalete, que é prprcial à razã etre a eergia dissipada um cicl E d e a máxima eergia de defrmaçã E ms. N cas de um sistema cm um úic grau de liberdade, uma fórmula que pde ser usada para cálcul da razã de amrtecimet equivalete é: ξ 1 eq = E d 4πE (9) ms

7 N presete trabalh, a Eq.(9) é geeralizada para um sistema de muits graus de liberdade, da seguite maeira (Zhag et al.,1989) ξ eq E d = (10) 4 πe ms sed ξ eq a razã de amrtecimet mdal equivalete, E d a eergia dissipada pel amrtecedr VE -ésim md e E ms a máxima eergia de defrmaçã deste md. Uma frma cveiete de se bter a máxima eergia de defrmaçã para cada md de vibraçã é simular a estrutura ã amrtecida usad a excitaçã estudada e ates de se realizar a cversã para as variáveis reais, determiar s pts de máxims valres para as variáveis dais. A matriz gerada a partir ds máxims deslcamets dais, tem suas cluas trasfrmadas em deslcamets reais da estrutura, mediate multiplicaçã pela matriz de trasfrmaçã mdal (Thms, 1978). Assim, a matriz cm s máxims deslcamets mdais, em crdeadas reais, pde ser redigida cm, x11 x12... x1 x x... x [ X] = x 1 x 2... x i i m j j (11) sed x m máxim deslcamet d ó m -ésim md. Fialmete a máxima eergia de defrmaçã de um md pde ser calculada mediate, T Ems = 1 { x} [ K]{ x} (12) 2 de [K] é a matriz de rigidez d sistema. O cálcul da eergia dissipada pels amrtecedres é feit cm base as defrmações reais de cada amrtecedr usad Eq.(8). Tais defrmações sã determiadas através da matriz de máxims deslcamets reais em cada md, assim E d = π (13) k l u k amrteced r 2 E ( ω) V j sed u k a defrmaçã real d k-ésim amrtecedr -ésim md e l amrtecedr é a espessura d amrtecedr. A razã de amrtecimet mdal fial da estrutura é determiada csiderad-se efeit ds amrtecedres VE mais amrtecimet própri da estrutura, que é respsável pela eergia dissipada iteramete através ds elemets estruturais. Assim, a primeira parte é calculada mediate a Eq.(10); já para a seguda parcela estimu-se um valr de 1% (Veletss & Huag,1970).

8 4. RESULTADOS Csiderad-se 103 ós sistema (101 a viga pricipal e dis as extremidades d pste), um mdel pde ser desevlvid usad sftware MATLAB (Shahia & Hassul,1993). A sluçã ectrada para a equaçã diferecial mstra cmprtamet da estrutura a lg d temp. N prblema sã usads, para a pte: módul de elasticidade lgitudial, E pte, é 29000(MPa), mdul de elasticidade trasversal, G pte, é 1210(MPa) e a desidade, ρ pte, é 2500(Kg/m 3 ); para pste: cmprimet, l pste, é 4,90(m), rigidez a extesã, EA pste, é 2470,02(MN) e a desidade, ρ pste, é 7850(Kg/m 3 ); para s tirates: cmprimet, l tirate, é 5,81(m), rigidez a extesã, EA tirate, é 157,71(MN) e a desidade, ρ tirate, é 7850(Kg/m 3 ); para amrtecedr viscelástic: cmprimet, l amrtecedr, é 0,10(m), a rigidez a extesã, EA amrtecedr, é 7,04(MN) e a defasagem etre a tesã e a defrmaçã, δ, 75. As Figuras 7, 8, 9 e 10 mstram s histórics da defrmaçã vertical cetral da viga d sistema, cm e sem s sistema de ctrle passiv, csiderad-se duas velcidades para móvel (V), 60Km/h e 100Km/h, de bserva-se efeit d amrtecimet adicial. 0,00 Pte Deslcamet (m) -0,02-0,04-0, Temp (s) Figura 8 - Históric da flecha cetral da pte para V = 60Km/h Pte -0,02 Deslcamet (s) -0,04-0, Temp (s) Figura 8 - Históric da flecha cetral da pte para V = 100Km/h

9 Pte e Mecaism de Ctrle Passiv Csiderad-se Amrtecimet Adicial 0,00 Deslcamet (m) -0,02-0,04-0, Temp (s) Figura 9 Históric da flecha cetral da pte para V = 60Km/h Pte e Mecaism de Ctrle Passiv Csiderad-se Amrtecimet Adicial 0,00 Deslcamet (m) -0,02-0,04-0, Temp (s) Figura 10 Históric da flecha cetral da pte para V = 100Km/h 5. CONCLUSÃO Um mecaism para ctrle passiv das vibrações trasversais de uma estrutura submetida a um carregamet diâmic é apresetad. O sistema pricipal estudad é uma viga de ccret simplesmete apiada, já a excitaçã usada é uma carga ccetrada impulsiva que percrre vã da pte cm velcidade cstate. O sistema auxiliar usad para ctrle passiv da pte csiste em uma assciaçã de um pste e tirates de aç cm um amrtecedr viscelástic. Os resultads clcads em gráfics mstram a variaçã temp d grau de liberdade da estrutura crrespdete a flecha cetral da viga pricipal, para s cass da viga sem e cm sistema de ctrle passiv. Na aálise ds dads ectrads, verifica-se uma csiderável reduçã as amplitudes das defrmações (estáticas e diâmicas) e temp de acmdaçã da estrutura. Ist pssibilita um aumet cfrt ds usuáris da estrutura, bem cm também, uma mair ecmia a esclha das dimesões ds elemets pte.

10 REFERÊNCIAS Abdel-Rhma, M. & Leiphlz, H. H., 1978, Active Ctrl f Flexible Structures, Jural f the Structural Divisi, vl. 104,. ST8, pp Abdel-Rhma, M. &. Leiphlz, H. H, 1980, Autmatic Active Ctrl f Structures, Jural f the Structural Divisi, vl. 106,. ST3, pp Abdel-Rhmam, M. & Nayfeh, A. H., 1987, Active Ctrl f Nliear Oscillatis i Bridges, Jural f the Egieerig Mechaics Divisi, Vl. 113, N EM3, Pg Cradall, S. H. & Mark, 1973, Radm Vibrati i Mechaical Systems, New Yrk. Lpez-Yaez, P..A & Susa, J. T. G., 1997, Aálise diâmica de Ptes Csiderad-se um Sistema de Ctrle Sb a Pista, Aais d XVIII CILANCE, Vl. 4, Pg Michalpuls, A., Stavrulakis, G. E., Zachareakis, E. C. & Paagitpulus, P. D., 1997, Pretressed ted Based Passive Ctrl System fr Bridges, Cmputers & Structures, Vl 63, N 6, Pg Shahia, B. & Hassul, M. Ctrl Syste Desig Usig MATLAB, Pretice-Hall Iteratial, New Jersey. Thms, W. T., 1978, Teria das Vibracões cm Aplicaçã, Iterciêcia, Ri de Jaeir. Veletss, A. S. & Huag T., 1970, Aalysis f Dyamic Respse f Highway Bridges, Jural f the Egieerig Mechaics Divisi, Vl. 96, N EM5, Pg Zhag, Ri-Hui, Sg, T. T. & Mahmdi, P., 1989, Seismic Respse f Steel Frame Structures With Added Viscelastic Dampers, Earquake Egierig ad Structural Dyamics, Vl. 18, Pg STRUCTURAL DYNAMICS AND VIBRATION CONTROL OF BRIDGES P. A. Lpez-Yaez Uiversidade Federal da Paraíba, Cetr de Teclgia Pós-graduaçã em Egeharia Mecâica Jã Pessa, PB , BR J. T. G. de Susa Uiversidade Federal da Paraíba, Cetr de Teclgia Pós-graduaçã em Egeharia Mecâica Jã Pessa, PB , BR Abstract. I this paper, the effect f a passive ctrl mechaism t mitigate the trasversal vibratis i a ccrete bridge beam due t vehicle traffic is shw. The mechaism used is frmed fr prestressed steel teds with a cetral pst ad a rectagular plate f viscelastic material. The mdelig f the primary structure ad its assciati with the passive ctrl mechaism is realized thrugh fiite elemet methd t beams ad the acti f the vehicles is represeted fr a impulsive lad jumpig the des f the bridge beam with cstat velcity. The results, shw the respse f the system t the dyamic ladig, where ca be verify the effects f the mechaism ad the damper t the ctrl. Key-wrds: dyamic f bridges, passive ctrl, viscelastic damper