6. Método do Lugar das Raízes

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1 6. Métd d Lugar das Raízes 6 6. Métd d Lugar das Raízes 6. Itrduçã O Métd d Lugar das Raízes (M.L.R.) é uma técica gráfica que permite visualizar de que frma s pls de um sistema em malha fechada variam quad se altera valr de um parâmetr específic ( gah, em geral). Origialmete, a técica era utilizada para determiar valr uméric ds pls de malha fechada de um sistema. Pr essa razã era ecessári efetuar a cstruçã gráfica da frma mais precisa pssível. Fi desevlvid um istrumet auxiliar, chamad espírula, para esse fim. Atualmete, prém, é pssível bter s pls d sistema em malha fechada de maeira rápida e precisa usad prgramas cmputaciais. Apesar diss, M.L.R. ctiua sed uma ferrameta de grade utilidade prjet de sistemas de ctrle pr permitir a prjetista defiir adequadamete a estrutura d ctrladr aprpriad a cada prblema. 6. O Lugar Gemétric das Raízes O Lugar Gemétric das Raízes (L.G.R.) é um gráfic cstruíd a partir d checimet ds pls e zers d sistema em malha aberta. Tmad gah cm parâmetr, L.G.R. é cjut ds pts pla cmplex que crrespdem as pls d sistema em malha fechada. Csiderems etã sistema em malha fechada represetad pel diagrama de blcs a lad. Cfrme já vims, sua Fuçã de Trasferêcia em malha fechada é dada pr: C s R s G s G s H s e, prtat, s pls d sistema em malha fechada (que, aturalmete, determiam as características da respsta d sistema em malha fechada) sã as raízes da equaçã: u seja: G s H s 0 G s H s j 0 A frma cmplexa fi usada para efatizar que se trata de uma igualdade de úmers cmplexs. Pr esta razã, a equaçã desdbra-se em uma cdiçã de fase: Hs 80 i 360 i 0,,, G s e uma cdiçã de módul (u de gah): G s H s Csiderems cas geral em que: G s m s p s p s p s z s z s z H s (Frma de pls e zers) de z, z,..., z m sã s zers em malha aberta; p, p,..., p sã s pls em malha aberta e é gah (u, mais aprpriadamete, gah aparete), que, pr simplicidade, vams supr psitiv: 0. R(s) + - G(s) H(s) C(s) 6

2 6. Métd d Lugar das Raízes 6 Ates de prsseguir, te que s pls d sistema em malha fechada sã as raízes de d pliômi característic: s p s p s p s z s z s z m 0 e que, em geral, é impssível calculá-las aaliticamete para >5. Vltad a prblema, a cdiçã de fase pde ser escrita cm: s z s z s z m s p s p s p G s H s 0, ist é, as raízes 80 i 360 ( i = 0,,,... ) O L.G.R. é defiid cm sed cjut ds pts s d pla cmplex que satisfazem a esta cdiçã. Esta frma de escrever a cdiçã de fase serve de base para a bteçã de regras que facilitam traçad d L.G.R.. Nte que s-z i, pr exempl, é um úmer cmplex que pde ser represetad pla cmplex cfrme ilustrad a figura a lad, de: i s z i é seu âgul de fase, medid setid ati-hrári a partir d eix real. Se represetarms pr i a fase de s-p i, ist é, i s, a cdiçã de fase pde ser reescrita cm: p i m 80 i 360 i 0,,,. Esta é, pis, a cdiçã gemétrica que permite determiar se um dad pt d pla cmplex pertece u ã a L.G.R.. Observe que essa cdiçã é idepedete d valr d gah, pis sed psitiv, sua fase é ula. Csidere etã um pt s particular d pla cmplex para qual a cdiçã de fase é satisfeita. A cdiçã de gah permite determiar valr de assciad a este pt s em particular, pis: z i i s G s H s s z s z s z s p s p s p m e, prtat: s p s p s p s z s z s z m Em resum, a cdiçã de fase permite, em tese, traçar L.G.R. e a cdiçã de gah, parametrizá-l em terms d gah. Exempl: Seja sistema: R(s) + - s s C(s) 6

3 6. Métd d Lugar das Raízes 63 O L.G.R. assciad a este sistema é seguite: = j = 0 = = = 0 -j Exercíci: verifique que tds s pts d diagrama acima de fat pertecem a L.G.R., ist é, satisfazem a cdiçã de fase. Verifique também que, cfrme ilustra a figura: para =: s pls d sistema em malha fechada sã reais e iguais a -; para =: s pls em malha fechada sã -+ j; 6.3 gras para Traçad d L.G.R. Uma vez defiid L.G.R., passems a elabrar regras que permitam simplificar e sistematizar seu traçad. Ctiuidade d L.G.R. Cm as raízes ds pliômis sã fuções ctíuas ds ceficietes, L.G.R. é cstituíd pr curvas ctíuas pla cmplex. Simetria d L.G.R. Cm pliômi característic tem ceficietes reais, suas raízes pdem ser de dis tips apeas: * raízes reais; * pares de raízes cmplexas cjugadas. Sed assim, é imediat ccluir que L.G.R. é simétric em relaçã a eix real d pla cmplex. Númer de rams d L.G.R. Cm pliômi característic de malha fechada ( s p )( s p) ( s p ) ( s z)( s z) ( s z m tem grau, ele tem raízes e, prtat, L.G.R. também tem rams, ist é, s pls de malha fechada descrevem curvas. Pts de Iíci e Térmi d L.G.R. O pass prelimiar para se cstruir L.G.R. csiste em marcar s pls e zers de malha aberta pla cmplex. Utilizam-se para iss s símbls "x" e "", respectivamete. O gah pde variar, em pricípi, iterval: 0 ) 63

4 6. Métd d Lugar das Raízes 64 Csiderarems cm pts de iíci (u partida) d L.G.R. aqueles crrespdetes a térmi (u chegada), s assciads a. Cfrme vims, s pls de malha fechada sã as raízes da equaçã característica: s p s p s p s z s z s z m 0 e, prtat, L.G.R. tem iíci (=0) s pls de malha aberta. 0 e, cm de Para determiar s pts de térmi d L.G.R., é ecessári aalisar âgul de chegada s zers, que será feit adiate. N etat, apeas cm idicaçã de que s zers de malha aberta cstituem pts de térmi d LGR, te-se que a cdiçã de módul pde ser reescrita cm: s z s z s zm. s p s p s p Assim, quad, L.G.R. tede as zers de malha aberta d sistema. Cm úmer de rams d L.G.R. deve, bviamete, ser igual a úmer de pls d sistema em malha fechada (, ss cas) e cm, em geral, m, há m rams que tedem para zers ifiit quad. Estes rams cstituem as chamadas assíttas. Discutirems a sua determiaçã psterirmete. L.G.R. Sbre Eix al Vejams, iicialmete, qual é a ctribuiçã de um par de pls cmplexs cjugads de malha aberta para a cdiçã de fase sbre eix real. Da figura, é imediat que 360 e, prtat, referid par de pls ã ctribui para a cdiçã de fase. É evidete que mesm se verifica para pares de zers cmplexs cjugads de malha aberta. Sed assim, para determiar quais s pts d eix real que pertecem a L.G.R., é ecessári csiderar uicamete s pls e zers reais. Csidere-se um pt sbre eix real. Neste cas, as pssíveis ctribuições para a cdiçã de fase sã: * 80 para cada zer real de malha aberta z i à direita de s; i * 80 para cada pl real de malha aberta p i à direita de s; i * i i 0 para cada zer real z i u pl real p i de malha aberta à esquerda de s; Dessa maeira, para que referid pt s d eix real perteça a L.G.R., úmer ttal de pls e zers reais de malha aberta à direita de s deve ser ímpar. Exempl: Ilustraçã de L.G.R. sbre eix real. p p Nte-se que este exempl está em ccrdâcia também cm as regras aterires vistas, a saber: ctiuidade d LGR, úmer de rams d LGR, pts de iíci e térmi d L.G.R. e simetria cm respeit a eix real; s Assíttas Cm vims aterirmete, as assíttas para sã em úmer igual a excess de pls sbre zers. Sed assim, esta regra deve ser aplicada apeas cas em que m. 64

5 6. Métd d Lugar das Raízes 65 O argumet que serve de base para a determiaçã das assíttas é bastate simples. agiems etã um pt s suficietemete afastad da rigem d pla cmplex, ist é, tal que seu módul seja muit mair d que aqueles ds pls e zers de malha aberta d sistema. Nessas cdições, sã praticamete iguais s âguls i e j, ist é: i m, i j j de é âgul da assítta cm eix real. A cdiçã para que pt s perteça a L.G.R. reduz-se etã a: m 80 i 360 i 0,,, u, equivaletemete: 80 i 360 i 0,,, m m A seguda parcela desta expressã mstra claramete a existêcia de -m assíttas. Dessa maeira, seria mais aprpriad detar s âguls das assíttas pr i 0 i m. Pde-se mstrar que pt de cruzamet das assíttas sbre eix real é dad pr: s 0 p m i i i m z i R(s) ist é: + - i i i 0, (u 70 ) Nte que, para pts suficietemete afastads, lcalizads sbre a assítta de âgul 90 0, as ctribuições ds pls e zers para a cdiçã de âgul sã: ; 90 ; 90 3 que idica que tais pts pertecem a L.G.R.. Para a assítta de âgul (u 70 0 ): e, prtat: 90 s s s s 90 ; 90 ; C(s) Exempl: csidere sistema da figura a lad. Em malha aberta, este sistema tem um zer (m=) em z = - e três pls (=3) em p = 0, p = - e p 3 = -3. Há, prtat, um excess de m pls sbre zers e L.G.R. ctém duas assíttas. Seus âguls sã dads pr:

6 6. Métd d Lugar das Raízes 66 de de se cclui que, também este cas, s pts fazem parte d L.G.R.. O pt de cruzamet das assíttas é dad pr: 0 3 s Verifique, pr fim, que as demais regras já discutidas sã bedecidas pel diagrama apresetad. Pts de Partida e de Chegada Sbre Eix al Se huver dis pls de malha aberta adjacetes sbre eix real e se segmet etre eles fr parte d L.G.R., etã existirá pel mes um pt de partida esse segmet. De maeira aálga, se huver dis zers adjacetes sbre eix real e se segmet etre eles fizer parte d L.G.R., etã haverá pel mes um pt de chegada pertecete a esse segmet. Esta regra se aplica também a cas em que um ds zers é ifiit. Se segmet etre um pl e um zer reais pertecer a L.G.R., etã úmer de pts de partida sbre segmet igualará úmer de chegadas, icluid-se aí cas em que tal úmer é ul. Essas regras derivam diretamete da prpriedade ds L.G.R.'s de terem iíci em pls e termiarem em zers de malha aberta. Exempl: z z p p gra empírica Zers atraem L.G.R. e pls repelem-. Outras gras As regras de cstruçã d L.G.R. vistas até este pt permitem esbçar diagrama cm relativa rapidez. Cm base apeas esse esbç, prjetista pde, muitas vezes, defiir a estrutura d ctrladr mais adequada a um prblema específic. A esclha ds valres umérics ds parâmetrs d cmpesadr, ctud, requer rmalmete que se bteha L.G.R. de frma mais precisa. Atualmete esta tarefa se ectra grademete facilitada pel barateamet prgressiv ds recurss cmputaciais. As regras a serem vistas a seguir têm cm característica permitir detalhar cm precisã algus pts d L.G.R. e, pelas razões acima, perderam parte da imprtâcia rigial. N etat, em situações particulares, tais regras pdem ser de utilidade. Determiaçã ds pts de partida e chegada sbre eix real: Defiid s pliômis: A s s p s p s p 66

7 6. Métd d Lugar das Raízes 67 B s s z s z s z m a equaçã característica pde ser escrita cm: A s A s Bs 0 B s Para cada pt s d L.G.R. pdems ecarar essa equaçã cm defiid a frma de uma fuçã implícita de s. Csiderems, para fixar idéias, cas de um trech d L.G.R. etre dis pls adjacetes sbre eix real cfrme ilustrad a figura a lad. À medida que cresce, s pls de malha fechada se distaciam de p e p até que, quad = *, eles cicidem (se ctiuarms aumetad além de *, s pls se trarã cmplexs cjugads). Neste pt, evidetemete, assume valr máxim sbre eix real. Uma cdiçã ecessária para iss é que: d ds da s db s 0 Bs A s 0 ds ds As raízes desta equaçã plimial frecem s pssíveis cadidats a sluçã d prblema. Nte que, pr hipótese, só s iteressam as sluções s * tais que: A s* * 0 B s* É imprtate bservar que a bteçã das sluções da equaçã plimial acima pde, muitas vezes, ser uma tarefa bastate trabalhsa (u mesm impssível aaliticamete, depeded ds graus ds pliômis evlvids). Determiaçã ds âguls de partida u chegada: Neste tópic tratarems da questã de cm determiar s âguls de partida de pls e âguls de chegada a zers. Para fixar idéias, csiderems cas ilustrad a figura a lad e suphams que prblema seja determiar âgul de partida d pl p. Se s restrigirms a pts s uma regiã d pla cmplex suficietemete pequea em tr de p, pderems csiderar que as ctribuições ds zers e demais pls para a cdiçã de âgul sã praticamete cstates e dadas pr: i p i p z i ( i =,,..., m ) p i ( i =, 3,..., ) = 0 p p p = * s = 0 3 z p 3 Pr utr lad, a ctribuiçã d pl p pde variar etre 0 e 360, depeded da psiçã d pt s: s, p i A cdiçã de fase permite determiar âgul de partida cm sed a primeira determiaçã de: p = p * m j j j j i ( i = 0,,,... ) A mesma argumetaçã se aplica à determiaçã ds âguls de chegada em zers. 67

8 6. Métd d Lugar das Raízes 68 Exempl: cas ilustrad a figura a lad, para determiarms âgul de partida d pl dupl a rigem, tams que a ctribuiçã agular d pl p 3 para a cdiçã de fase as vizihaças da rigem é: 3 p p 3 0 Pr utr lad, para pts s uma vizihaça suficietemete pequea da rigem: s p devem ser tais que a cdiçã de fase se verifique: e, prtat: 0 80i 360 ( i = 0,,... ) 90i 80 ( i = 0,,... ) que frece duas sluções em primeira determiaçã: 90 e 70 p 3 p = p Determiaçã ds pts de cruzamet cm eix imagiári: Para sistemas de rdem superir a 4, esta etapa pde ser extremamete trabalhsa, sed freqüetemete mitida quad se traça L.G.R. maualmete. A primeira maeira de calcular s pts de itersecçã cm eix imagiári csiste em: * utilizad Critéri de Ruth, btém-se s valres d gah crrespdetes a cruzamets d eix imagiári (tat setid S.P.E.S.P.D., quat setid S.P.D.S.P.E.); * substituem-se esses valres de a equaçã característica, faz-se s = j e btém-se s valres de prcurads após igualar a zer as partes real e imagiária. A utra frma de se bter s pts de itersecçã d L.G.R. cm eix imagiári crrespde a csiderar cm icógita e substituir s = j a equaçã característica. Igualad as partes real e imagiária a zer, btém-se duas equações que, em tese, permitem determiar e. Exempl: Seja sistema tal que G s H s 3 s 8s 3s cuja equaçã característica em malha fechada é: 3 s 8s 3s 0 Pel primeir prcedimet apresetad, aplicams Critéri de Ruth e btems = 56 cm sed valr de crrespdete à crrêcia de cruzamet d eix imagiári. Fazed s = j e substituid = 56 a equaçã característica, btems: De de resulta: j O segud prcedimet apresetad cduz diretamete a: j que tem cm úica sluçã de iteresse: 68

9 6. Métd d Lugar das Raízes 69 3 e Exempls de Aplicaçã Além de servirem cm exempls de aplicaçã das regras vistas até aqui, s prblemas que se seguem prcuram ilustrar também sigificad da regra heurística meciada aterirmete. Exempl : Seja sistema idicad a figura a lad que pde, pr exempl, represetar um sistema de ctrle de psiçã de uma iércia pura através de um ctrladr prprcial. R(s) + - s C(s). Pts de iíci e térmi d L.G.R: L.G.R. parte da rigem d pla cmplex (pl dupl);. L.G.R. sbre eix real: ã há; 3. Assíttas: este cas, m = 0 e =, de maeira que existem duas assíttas. Seus âguls sã: 90 e 70. O cruzamet das assíttas sbre eix real se dá pt de abscissa s 0 0, que sigifica que as assíttas cicidem cm s semi-eixs imagiáris psitiv e egativ, respectivamete. 4. Pts de partida e de chegada sbre eix real: ã há, pis ã existe parte d L.G.R. sbre eix real cas presete. 5. Âgul de partida: s âguls de partida sã 90 (já que a ctribuiçã ds zers para a cdiçã de fase é ula, uma vez que sistema ã tem zers). 6. Esbç d L.G.R.: é imediat ccluir que, este cas, L.G.R. cicide cm eix imagiári. O sistema resulta margialmete estável para qualquer > 0. Exempl : Csiderems agra sistema idicad a figura a lad. Pdems ecarar este cas cm sed crrespdete a de ctrle de psiçã de uma iércia pura através de um ctrladr PD (prprcial + derivativ). R(s) + - (s+) s C(s) Este, pr sial, talvez seja mdel mais simples utilizad em prblemas de ctrle de atitude de satélites artificiais. 69

10 6. Métd d Lugar das Raízes 70. Pts de iíci e témi d L.G.R. L.G.R. sbre eix real Assíttas: cm m = e =, existe apeas uma assítta, cuj âgul é 80i 360 Neste cas, a assítta cicide cm a parte d semi-eix real egativ situada à esquerda d pt -. Nte também que, em razã da simetria d L.G.R. cm relaçã a eix real, a úica pssibilidade de existêcia de uma só assítta crrespde a ela estar ctida eix real. 4. Pts de partida e de chegada sbre eix real: cm L.G.R. é simétric em relaçã a eix e cm ele se iicia s pls e termia s zers, ccluíms que existe um pt de chegada d L.G.R. sbre eix real (pdems imagiar que existe um zer em ). Para bter s pts de partida e chegada, escrevems: Daí: da s ds A s Bs s s db s Bs A s s s s s s 0 ds Prtat pt de chegada sbre eix real se lcaliza em: s 5. Âgul de partida: este cas, âgul de partida é Pts de cruzamet cm eix imagiári: pliômi característic em malha fechada é: s s 0 A Tabela de Ruth equivalete é mstrada a lad. Cm > 0, pdems ccluir que sistema em malha fechada será sempre estável. Prtat, ã haverá cruzamet d eix imagiári. s s s 0 70

11 6. Métd d Lugar das Raízes 7 7. Esbç d L.G.R.: L.G.R. pde ser esbçad cfrme ilustrad abaix, após aplicar a cdiçã de fase a algus pts d pla s Cmparad este diagrama cm d Exempl, tams que a preseça d zer prduziu uma "atraçã" d L.G.R. para próxim d pt -. Neste cas, sistema resultate é estável para qualquer valr d gah >0. Se quiserms, pr exempl, determiar valr de que crrespde a /, basta traçarms as retas de amrtecimet cstate cm âgul 45, bterms s pts de itersecçã delas cm L.G.R. e, utilizad a cdiçã de gah, calcularms valr de. A cdiçã de gah, este cas, fica: s 0 s 0 s s j Neste exempl, a parte d L.G.R. fra d eix real tem a frma de uma circuferêcia e, pr iss, valr de acima pde ser btid de imediat. N etat, em cass mais gerais, é ecessári desehar L.G.R. cm uma precisã razável e, diagrama, medir s cmprimets ds segmets s - p, s - p,..., s - p, s - z, s - z,..., s - z m, para etã calcular valr de através da cdiçã de gah. R(s) + - (s+) s s 4 C(s) Exempl 3: Seja agra sistema idicad a figura a lad. Pdems imagiar que prjetista, Exempl, teha deixad de icluir mdel pl em s = -4.. Pts de iíci e témi d L.G.R. L.G.R. sbre eix real Assíttas: este cas, = 3 e m =, prtat há duas assíttas, cujs âguls sã: 90 e 70 O pt de itersecçã das assíttas cm eix real tem abscissa dada pr: -4-7

12 6. Métd d Lugar das Raízes s Pts de partida e de chegada sbre eix real: cas presete, úic trech d eix real de pdem crrer pts de partida e de chegada é aquele situad etre pl em s = -4 e zer em s = -. N etat, úmer de pssíveis pts de chegada deve ser igual a de pts de partida (evetualmete, ambs uls). 5. Âgul de partida: s âguls de partida ds pls a rigem sã 90, já que as demais ctribuições para a cdiçã de fase esse pt sã ulas. 6. Pts de cruzamet cm eix imagiári: pliômi característic em malha fechada é: 3 s 4s s 0 A Tabela de Ruth equivalete é mstrada a lad. Cm > 0, ccluíms que sistema será sempre estável. Ou seja, ã haverá cruzamet etre L.G.R. e eix imagiári. 7. Esbç d L.G.R.: aplicad a cdiçã de fase a algus pts d pla s e utilizad as csiderações feitas até este pt, pdems esbçar L.G.R. (figura abaix) Cmparad este diagrama cm aquele btid Exempl, tams que a preseça d pl adicial em s = -4 teve, detre utrs, efeit de "repelir" L.G.R. para lge de si. Além diss, este exempl, a preseça d referid pl fez cm que se alterasse qualitativamete cmprtamet d L.G.R. para valres elevads de gah: equat Exempl sistema se trava superamrtecid (par de pls reais) para gahs alts, este cas, sistema se tra scilatóri (par de pls cmplexs cjugads). s 3 s 4 s 3 / 4 s 0 7